2020年中考数学专题训练7.圆的证明与计算

圆的证明与计算

1.如图，已知△ABC 内接于⊙O ， P 是圆外一点，PA 为⊙O 的切线，且PA ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D .

（1）求证：PB 为⊙O 的切线；

（2）若PA ＝PO ，⊙O 的半径为10，求线段 PD 的长.45

第1题图

(1)证明：如解图，连接OA 、OB ，

第1题解图

∵PA ＝PB ，OA ＝OB ，OP ＝OP ，

∴△OAP ≌△OBP (SSS)，

∴∠OAP ＝∠OBP ，

∵PA 为⊙O 的切线，

∴∠OAP ＝90°，

∴∠OBP ＝90°，

∵OB 为⊙O 的半径，

∴PB 为⊙O 的切线；

(2)解：∵PA ＝PO ，⊙O 的半径为10，

45

∴在Rt △AOP 中，OA ＝

＝10，PO 2－（45

PO ）2解得PO ＝，503∴cos ∠AOP ＝＝，AO OP OD AO

∴OD ＝6，

∴PD ＝PO －OD ＝.323

2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，且AD ＝DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连接DE .

（1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）若cos C ＝

，AC ＝24，求直径AE 的长.35

第2题图

(1)证明：∵AB ＝AC ，AD ＝DC ，

∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ，

∴∠DAC ＝∠B ，

又∵∠E ＝∠B ，

∴∠DAC ＝∠E ，

∵AE 是⊙O 的直径，

∴∠ADE ＝90°，

∴∠E ＋∠EAD ＝90°，

∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°，

即∠EAC ＝90°，

∴AE ⊥AC ，

∵OA 是⊙O 的半径，

∴AC 是⊙O 的切线；

(2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F

，

第2题解图

∵DA ＝DC ，

∴CF ＝AC ＝12，12

在Rt △CDF 中，∵cos C ＝＝，CF CD 35

∴DC ＝20，

∴AD ＝20，

在Rt △CDF 中，由勾股定理得，

1622==CF CD DF －∵∠ADE ＝∠DFC ＝90°，∠E ＝∠C ，

∴△ADE ∽△DFC ，

∴＝，AE DC AD DF

即＝，解得AE ＝25，AE 2016

20即⊙O 的直径AE 为25.

3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线EF ，交BC 于点F ．

（1）求证：EF ⊥BC ；

（2）若CD =2，tan C =2，求⊙O

的半径．

第3题图（1）证明：如解图，连接BE，OE．

第3题解图∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°．

∵AB=BC，

∴点E是AC的中点，

∵点O是AB的中点，

∴OE∥BC，

∵EF是⊙O的切线，

∴EF⊥OE．

∴EF⊥BC；

（2）解：如解图，连接AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

AD

∵CD=2，tan C=2，

CD

∴AD=4．

设AB =x ，

则BD =x －2．

在Rt △ABD 中，

由勾股定理得AB 2=AD 2+BD 2，

即x 2=42+（x －2）2，

解得x =5，即AB =5，

∴⊙O 的半径为．

2

54.如图，已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线交OC 的延长线于点D ，交BC 的延长线于点E .

（1）求证：∠DAC ＝∠DCE ；

（2）若AB ＝2， sin D ＝，求AE 的长.13

第4题图

(1)证明：∵AD 是⊙O 的切线，

∴∠DAB ＝90°.

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB ＝90°.

∵∠DAC ＋∠CAB ＝90°，∠CAB ＋∠ABC ＝90°，

∴∠DAC ＝∠ABC .

∵OC ＝OB ，

∴∠ABC ＝∠OCB ，

又∵∠DCE ＝∠OCB ，

∴∠DAC ＝∠DCE ；

(2)解：∵AB ＝2，

∴AO ＝1.

∵sin D ＝＝，AO OD 13

∴OD ＝3，DC ＝2，

在Rt △DAO 中，

由勾股定理得AD ＝＝2，

OD 2－OA 22∵∠DAC ＝∠DCE ，∠D ＝∠D ，∴△DEC ∽△DCA ，

∴＝，DC DA DE DC

即＝，222DE 2

解得DE ＝，2∴AE ＝AD －DE ＝.

25.如图，AB 是⊙O 的弦，D 为半径OA 的中点，过点D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于点F ，且BC 是⊙O 的切线.

（1）求证：CE ＝CB ；

（2）连接AF ，BF ，求∠ABF 的度数；

（3）若CD ＝15， BE ＝10，＝

，求⊙O 的半径.DE AE 513

第5题图

(1)证明：如解图，连接OB ，