三角形性质和判定定理
[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质
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[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质篇一: 三角形的定义性质定义由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形三角形的内角和三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角。
：⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；c.钝角三角形：有一个角大于90度。
d.证明全等时可用HL方法按角分a.锐角三角形：三个角都小于90度。
b.直角三角形：有一个角等于90度。
c.钝角三角形：有一个角大于90度。
按边分不等腰三角形；等腰三角形。
解直角三角形：勾股定理，只适用于直角三角形a+b=c, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。
比如：3，4，5。
他们分别是3，4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
[］2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形最少有2个锐角。
7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么这个三角形就一定是直角三角形。
三角形性质和判定定理
三角形性质和判定定理三角形是平面几何中最基本的图形之一，具有丰富的性质和判定定理。
本文将对三角形的性质和判定定理进行论述，探究其数学本质和应用。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每条线段都是连接两个非共线点的直线段。
三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等各种类型。
2. 三角形的性质2.1 三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，可以得出以下等式：A + B + C = 180度。
2.2 三角形的外角性质三角形的外角等于其余两个内角的和。
如果外角为θ，则有：θ = A + B 或θ = B + C 或θ = A + C。
2.3 三角形的边长关系三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设三角形的三个边分别为a、b、c，则有以下不等式成立：a + b > c，a + c > b，b+ c > a；a - b < c，a - c < b，b - c < a。
三角形的内角与其对边之间存在一定的关系。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，对边分别为a、b、c，则有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 三角形的判定定理3.1 三边长度判定定理如果三角形的三边长度分别为a、b、c，满足a + b > c，a + c > b，b +c > a，则可以构成一个三角形。
3.2 两边夹角与第三边关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角为θ，则可以根据余弦定理判断第三边的长度。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 -2abcosθ。
3.3 两边夹角与第三边夹角关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角分别为A、B，则可以根据正弦定理判断第三边夹角的大小。
正弦定理表达式为：sinC/a = sinA/b = sinB/c。
三角形的相似性质和判定
三角形的相似性质和判定三角形是几何中最基础的图形之一，具有广泛的应用价值。
在研究三角形的性质时，相似性质和判定是我们需要重点关注的内容。
本文将介绍三角形的相似性质和判定方法，帮助读者深入理解和应用这一重要概念。
一、相似三角形的定义和特点相似三角形指的是具有相同形状但可能不相等的三角形。
相似三角形的定义可以由以下两个条件来表示：1. 对应角相等：两个三角形的对应角度相等，即对应角度的度数相同。
2. 对应边成比例：两个三角形的对应边的比例相等，即两边的长度之比相同。
相似三角形具有以下重要的特点：1. 全等三角形是相似三角形的一个特例，全等三角形的对应边和角都相等。
2. 相似三角形的形状相似，但大小可能不同。
3. 当两个三角形相似时，它们的各个对应角度的度数相等，对应边长的比例相等。
二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有多种方法，以下是常用的两种判定方法：1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
这个定理又称为“角-角相似定理”。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的三个对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
这个定理又称为“边-边-边相似定理”。
需要注意的是，在使用相似三角形判定时，要保证对应角和对应边是正确对应的，否则可能会得出错误的结论。
三、相似三角形的应用相似三角形的概念在几何学和实际应用中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.解决实际测量问题：通过观察和测量，我们可以利用相似三角形的性质来计算无法直接测量的长度和距离。
2.设计和建筑：在建筑和设计领域，相似三角形的概念被广泛用于绘制和设计建筑物、家具、道路等的比例。
3.地图和导航：地图中的比例尺就是通过相似三角形的概念来确定的。
通过相似三角形，我们可以在地图上测量出实际距离。
4.影子和高度测量：在日常生活中，我们可以利用相似三角形的性质来测量高楼、树木等的高度，以及计算无法直接测量的距离。
直角三角形的判定和性质
等腰直角三角形的面积可以通 过其直角边计算，面积=1/2 * a * a = 1/2 * a^2。
30°-60°-90°的直角三角形
30°-60°-90°的直角三角形是具有30°和60°锐角的直角三角形，其中30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即c=2a，其中c为斜边，a为30°角所 对的直角边。
直角三角形中的三个角满足三角形内角和定理，即三角形的 三个内角之和等于180度。
直角三角形中的边长关系
直角三角形中，斜边是直角边中最长的一边，且斜边上的 中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即勾 股定理。
直角三角形的中线性质
直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 直角三角形的中线性质还包括，中线与直角相对的边平行且等于该边的一半。
04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形
直角三角形的判定和性质
目 录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的性质 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的特殊情况
01
直角三角形的定义
定义
01
直角三角形是有一个角为90度的 三角形。
02
在直角三角形中，斜边是最长的 一边，两个锐角的角度之和为90 度。
直角三角形的表示方法
运动学
在描述物体的运动轨迹时，我们经常需要使用直角三角形来计算角度、速度和加速度等物 理量。例如，在抛体运动中，我们可以使用直角三角形来计算物体的射程和仰角。
直角三角形的性质与判定
3.互逆命题与互逆定理
观察上面三组命题,你发现了什么?
1.两直线平行,内错角相等；
3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
2.内错角相等,两直线平行；
5.一个三角形中相等的边所对的角相等；6.一个三角形中相等的角所对的边相等；
┏
归纳总结
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
1.直角三角形的性质与判定
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.
2.勾股定理与逆定理
证明欣赏
b
a
c
b
a
c
1．总统证法：
美国第20任总统：詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2+ ，
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的重要概念，它们在很多问题的解决中起着关键作用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似定理AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。
当两个三角形的对应角度相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么这两个三角形是相似的。
2. SSS相似定理SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。
当两个三角形的对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。
具体而言，如果三角形ABC 和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。
3. SAS相似定理SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。
当两个三角形的一个对应边成比例，且两个对应边夹角相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和∠A = ∠D，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质相似三角形的对应角是相等的。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 高度与边成比例性质相似三角形的对应边上的高度成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。
4. 面积与边长平方的比例性质相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。
如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，则S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2，其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(DEF)表示三角形DEF的面积。
5. 定理勾股定理性质边长成比例的三角形中，对应边长的平方和成比例。
三角形的相关性质及判定定理
附：相关概念
1、三角形的内角（三角形的角）
2、（锐角、直角、钝角）三角形
3、三角形的角平分线
4、三角形的中线
5、三角形的高线
三角形的相关性质及判定定理
性质
判定定理
三角形
1、三角形三个内角的和等于180°
2、三角形任何两边的和大于第三边
等腰三角形
1、等腰三角形的两个底角相等（在同一个三角形中，等边对等角）
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（等腰三角形三线合一）
1、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。（在同一个三角形中，等角对等边）
等边三角形
1、等边三角形的各个内角都等于60°
1、三个角都相等的三角形是等边三角形
2、有一个角是60°的等腰三角形的两个锐角互余
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。a²+b²=c²
1、有两个角互余的三角形是直角三角形
(完整版)直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE：例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.B MC【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)∴△ABF,△DCE 是直角三角形∵BE=CF(已知)∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.求证:AN 平分∠BAC.(7分)BA21N MCB A E FC B AEF C D11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)B AE F D12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)BAE CD13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)C14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)B AE MFC D直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.【典型例题讲解】例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。
三角形的性质与定理（整理）
三角形的定义：由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。
其中，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
在小学和初中的教材中，所学的三角形都是平面三角形。
以下所涉及的相关性质定理也都是平面三角形的。
三角形的内角和外角：内角：（1）所有三角形的内角和都是180°。
（2）在三角形中最少有2个锐角。
（3）在三角形中至少有一个角大于等于60°，也至少有一个角小于等于60°。
（包括等边三角形）（4）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
证明三角形内角和等于180°的方法：方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180°。
方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°。
例1：已知一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°证明：做BC的延长线至点D，过点C作AB的平行线至点E ∵AB∥CE（已知）∴∠ABC=∠EC D(两直线平行，同位角相等)∠BAC=∠ACE(两直线平行，内错角相等)∵∠BCD=180°∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°外角：（1）定义：三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一个内角；（4）三角形的外角和等于360°。
多边形的内角和外角：（1）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形。
（2）多边形的内角和：（n-2）·180°（n代表边数，n≥3）（3）任意多边形的外角和都等于360°（4）多边形的对角线数目：23-nn）（（n代表边数，n≥3）平面镶嵌：（1）符合镶嵌的条件：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于360°（2）任意一种正三角形、正方形或正六边形都可以镶嵌平面例2：如图1，AB ∥CD ，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E 的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60°〔解析〕∵AB ∥CD ∴∠A=∠ECD=70° 又∵∠1是△AB E 的外角 ∴∠A+∠E=∠1∴∠E=∠1-∠A=110°-70°=40°〔答案〕B例3：一个三角形三个内角度数的比是1︰5︰6，则其最大内角的度数为（ ） A.60° B.75° C.90° D.120°〔解析〕任意三角形的内角和都是180° 又∵此三角形三个内角度数的比是1︰5︰6 ∴最大内角的度数是：180°×6516++=90° 〔答案〕C例4：若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的内角和等于 度。
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
初中数学：全等三角形的性质及判定
初中数学：全等三角形的性质及判定一、知识点概述全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的三边和三角度数分别相等。
全等三角形具有许多重要性质，学习全等三角形的性质及判定，对于初中数学学习来说是非常重要的。
二、重点概念解释1. 全等三角形：两个三角形的三边和三角度数分别相等时，称这两个三角形为全等三角形。
全等三角形有六个对应部分相等，即三边和三角度数各有三个对应部分相等。
2. SSS全等定理：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
3. SAS全等定理：若两个三角形的一边和两个夹角分别相等，则这两个三角形全等。
4. ASA全等定理：若两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则这两个三角形全等。
5. RHS全等定理：若两个直角三角形的一个锐角和两个斜边分别相等，则这两个三角形全等。
三、典型例题分析例题1：已知三角形ABC和三角形DEF，已知AB=DE, BC=EF，∠ABC=∠DEF，判断是否全等。
如果两个三角形不完全重合，说明它们是什么关系？解答：由题意可以知道，两个三角形的两边和一个夹角分别相等，同时根据SAS全等定理可以得出这两个三角形全等。
如果两个三角形不完全重合，那么它们就是全等但不合同的。
例题2：如图所示，已知ABCD和EFGH是两个正方形，BC=EH，证明三角形ABE和FCH全等。
解答：因为两个正方形各边相等，所以BC=EH，又因为两个正方形的一条对角线分别为AC和EG，AC=EG，所以∠ACB=∠EGH。
根据ASA全等定理可以得到三角形ABE和FCH全等。
例题3：如图所示，已知三角形ABC、ADE，且∠ABC=∠ADE. BC=DE，证明三角形ABC和ADE全等。
解答：根据题意，两个三角形的一边和两个夹角分别相等，所以根据ASA全等定理可以得到三角形ABC和ADE全等。
四、结论全等三角形的性质及判定是初中数学中的重要概念，学习全等三角形可以帮助我们了解三角形的基本性质和规律，为我们解决一系列三角形相关的问题提供了基础。
相似三角形的性质和判定
相似三角形的性质和判定
相似三角形的性质是：
1. 三角形的边长比例相同；
2. 锐角的角度相同；
3. 所有顶角的平分线比例相同。
判定相似三角形：
1. 通迗等腰三角形：两边角相等，其它边等于相应两边角和的一半；
2. 通过等比三角形：边之比等同，两个角之间比例也相同；
3. 通过比例定理：三边比例相同，平分线比例也相同；
4. 通过勾股定理：比值即可表示三边的比例；
5. 通过拉贝尔定理：长度的平方和等于平分线的平方和；
6. 通过比例图：图像表示比例定理，可以比较快速判定相似三角形。
相似三角形判定条件与性质
相似三角形判定条件与性质相似三角形是指形状相似但大小不同的两个三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似有一些条件和性质。
下面将详细介绍相似三角形的判定条件与性质。
一、相似三角形的判定条件1. AAA相似定理（全等三角形基本性质之一）当两个三角形的对应角度分别相等时，这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. AA相似定理（全等三角形基本性质之二）当两个三角形的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS相似定理当两个三角形的对应边分别成比例时，这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 边比例性质在相似三角形中，相应边之间的比例相等。
如果两个三角形相似，则对应边的比例相等。
2. 角度性质在相似三角形中，对应角度相等。
如果两个三角形相似，则对应角度相等。
3. 高比例性质在相似三角形中，相应高的比例等于对应边的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应高之间的比例相等。
4. 周长比例性质在相似三角形中，相应边的比例等于相应高和周长的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应高以及周长之间的比例相等。
5. 面积比例性质在相似三角形中，相应边的比例的平方等于面积的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边的比例的平方等于面积的比例。
6. 中线比例性质在相似三角形中，相应中线的比例等于对应边的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应中线之间的比例相等。
通过上述判定条件与性质，我们可以方便地判断两个三角形是否相似，并且得出相应的比例关系。
相似三角形在几何学中具有广泛的应用，可以用于解决实际问题，如测量高度、距离等。
总结：相似三角形的判定条件包括AAA相似定理、AA相似定理和SSS相似定理。
相似三角形具有边比例性质、角度性质、高比例性质、周长比例性质、面积比例性质和中线比例性质等性质。
三角形性质和判定定理
三角形性质和判定定理角形。
性质：1、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，任意边的垂直平分线都是它的对称轴；2、等边三角形的三个角都相等，每个角都是60。
判定：1、三条边都相等的三角形是等边三角形；2、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；3、有两个角是60的三角形是等边三角形。
直角三角形：定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。
其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。
性质：1、直角三角形的两个余角互余；2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2判定：1．有一个角是直角的三角形是直角三角形；2、、有两个角互余的三角形是直角三角形；3、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形；4、如果三角形的三边长a、b、c满足于a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上1 定理三角形两边的和大于第三边2 推论三角形两边的差小于第三边5外角2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1804外角1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和全等的判定：6边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等7角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等8推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等9边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等10斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
三角形全等的判定定理是什么
经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
而该两个三角形的
三条边及三个角都对应相等。
全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。
三角形全等的判定定理
(1)三边对应相等的三角形是全等三角形。
SSS(边边边)
(2)两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
SAS(边角边)
(3)两角及其夹边对应相等的三角形全等。
ASA(角边角)
(4)两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
AAS(角角边)
(5)在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
RHS(直角、斜边、边)
三角形全等顺口溜：全等三角形，性质要搞清。
对应边相等，对应角也同。
角
边角，边角边，边边边，角角边，四个定理要记全。
全等三角形的应用
1.性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
在写两个三角形全
等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
2.当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。
3.用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。
以及相等的角，可以用
于工业和军事。
4.三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。
三角形的所有性质
三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
7.一个三角形最少有2个锐角。
8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a??+b??=c?? 那么这个三角形就一定是直角三角形。
三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
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三角形性质和判定定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
等腰三角形：
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
性质：
1.等腰三角形的两条腰相等；
2.等腰三角形的两个底角相等；
3.等腰三角形是轴对称图形；
4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
判定：
1.有两条边相等的三角形是等腰三角形；
2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
等边三角形：
定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。
性质：
1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，任意边的垂直平分线都是它的对称轴；
2.等边三角形的三个角都相等，每个角都是60°。
判定：
1.三条边都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
3.有两个角是60°的三角形是等边三角形。
直角三角形：
定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。
其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。
性质：
1.直角三角形的两个余角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；
4.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
判定：
1．有一个角是直角的三角形是直角三角形；
2..有两个角互余的三角形是直角三角形；
3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形；
4.如果三角形的三边长a、b、c满足于
a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等
逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
1 定理三角形两边的和大于第三边
2 推论三角形两边的差小于第三边
5外角2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
3 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°4外角1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和
全等的判定：
6边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两
个三角形全等
7角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等
的两个三角形全等
8推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的
两个三角形全等
9边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形
全等
10斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应
相等的两个直角三角形全等。