不等式证明的常用基本方法(自己整编)

证明不等式的基本方法

导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式．

[自主梳理]

1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．

2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n

a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成

立．

3.证明不等式的常用五种方法

(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小．

(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．

(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点

先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法

①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．

②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．

题型一 用比差法与比商法证明不等式

1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A )

A.s ≥t

B.s>t

C.s ≤t

D.s

解析：∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n)2≥0，∴a ≥b.答案：D

3.设a,b ∈R,给出下列不等式:①lg(1+a 2)>0;②a 2+b 2≥2(a-b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,

其中所有恒成立的不等式序号是 ② .

②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②. 题型二 用综合法与分析法证明不等式

4.(1)已知x ，y 均为正数，且x>y ，求证：2x ＋1

x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3；

(2)设a ，b ，c>0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3.

证明 (1)因为x>0，y>0，x －y>0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y)＋

1

x －y

2

＝(x －y)＋(x －y)＋1x －y

2

≥3

3x －y

2

1x －y

2

＝3，所以2x ＋1

x 2－2xy ＋y 2

≥2y ＋3.

(2)因为a ，b ，c>0，所以要证a ＋b ＋c ≥

3，只需证明(a ＋b ＋c)2≥3.

即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca)≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1， 故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca)≥3(ab ＋bc ＋ca)． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.

而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 2

2＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成

立．

所以原不等式成立．

5.已知a 、b 都是正实数，且ab ＝2.求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：法一 因为a 、b 都是正实数，且ab ＝2，所以2a ＋b ≥22ab ＝4.

所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a ＋b ＋2ab ≥9.

法二 因为ab ＝2，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋2a)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a ＝5＋2⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a ＋1a .

因为a 为正实数，所以a ＋1

a

≥2

a ·1

a

＝2.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.

法三 因为a 、b 都是正实数，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋a ＋a)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＋b 2≥3·3

a 2·3·

3b 2

4＝9·

3a 2b 2

4

.又ab ＝2，所以(1＋2a)(1＋b)≥9.

思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 题型三 放缩法证明不等式

6.已知0

b ，且M ＝1

1＋a ＋1

1＋b ，N ＝a

1＋a ＋b

1＋b ，则M 、N 的大小关系是( A )

A. M>N

B. M

C. M ＝N

D.不能确定 解析：∵00,1＋b>0,1－ab>0， ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab

1＋a 1＋b >0.答案：A

7.若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b|1＋|a ＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|

1＋|b|

.

证明 当|a ＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a ＋b|≠0时， 由0<|a ＋b|≤|a|＋|b|⇒1

|a ＋b|≥1

|a|＋|b|， 所以|a ＋b|

1＋|a ＋b|

＝

11

|a ＋b|＋1≤

11＋1

|a|＋|b|＝

|a|＋|b|

1＋|a|＋|b|

＝|a|1＋|a|＋|b|＋|b|

1＋|a|＋|b|≤|a|

1＋|a|＋|b|

1＋|b|

.

思维升华 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： ①变换分式的分子和分母，如1

k 2<

1k k －1

，1

k 2>1k k ＋1

，1k <

2k ＋

k －1

，

1k >

2k ＋

k ＋1

.上面不等式中k ∈N *，k>1；

②利用函数的单调性；

③真分数性质“若00，则a b

b ＋m

”．

(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．