考前三个月新高考数学(文)二轮冲刺压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二)(含答案详析)
新高考数学二轮总复习 专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.2.已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (-1,32)是椭圆上一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程;(2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △HMA =6S △PHN ,求直线MN 的方程.5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1,√22)为椭圆上一点,且|PF 1|=3√22. (1)求椭圆的标准方程;(2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程.6.(2020天津河北一模,19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,直线x+y-√6=0与圆x 2+y 2=b 2相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (4,0)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A ,B ,线段AB 的中垂线为l 1,若l 1在y 轴上的截距为413,求直线l 的方程.专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线1.解(1)由已知可设C 2的方程为y 2=4cx ,其中c=√a 2-b2.不妨设A ,C 在第一象限,由题设得A ,B 的纵坐标分别为b 2a ,-b 2a ;C ,D 的纵坐标分别为2c ,-2c ,故|AB|=2b 2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b 23a ,即3×ca =2-2(c a )2,解得c a =-2(舍去),c a =12.所以C 1的离心率为12. (2)由(1)知a=2c ,b=√3c ,故C 1:x 24c 2+y 23c 2=1.设M (x 0,y 0),则x 024c 2+y 023c 2=1,y 02=4cx 0,故x 024c 2+4x 03c=1. ①由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.2.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=√3,b=1,则曲线Γ的方程为x 24+y2=1.(2)因为B 为CD 的中点,所以OB ⊥CD ,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 设B (x 0,y 0),则x 0(x 0-√3)+y 02=0. 又x 024+y 02=1,解得x 0=√3,y 0=±√2√3.则k OB =±√22,k AB =∓√2,则直线AB 的方程为y=±√2(x-√3), 即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0. 3.解设直线l :y=32x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)由题设得F (34,0), 故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32,由题设可得x 1+x 2=52.由{y =32x +t ,y 2=3x ,可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9.从而-12(t -1)9=52,得t=-78.所以l 的方程为y=32x-78. (2)由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2. 由{y =32x +t ,y 2=3x 可得y 2-2y+2t=0. 所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13. 故|AB|=4√133. 4.解(1)因为|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项,所以a=2c ,得a 2=4c 2,则b 2=a 2-c 2=3c 2.又P (-1,32)在椭圆上,所以14c 2+94b 2=1,即14c 2+34c 2=1,所以c=1. 则a 2=4,b 2=3, 椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)因为P (-1,32),由(1)计算可知A (2,0),H (0,1), 当直线MN 与x 轴垂直时,易验证,不合题意.当直线MN 与x 轴不垂直时,设直线MN 的方程为y=kx+1, 联立直线与椭圆的方程{y =kx +1,x 24+y 23=1,消去y ,可得(4k 2+3)x 2+8kx-8=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由韦达定理可得{x 1+x 2=-8k4k 2+3,x 1x 2=-84k 2+3.① 由S △HMA =6S △PHN ,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|, 所以|MH|=3|NH|,得x 1=-3x 2, 代入①,可得{-2x 2=-8k4k 2+3,-3x 22=-84k 2+3, 所以3×16k 2(4k 2+3)2=84k 2+3,解得k=±√62,所以直线MN 的方程为y=±√62x+1.5.解(1)设椭圆的左焦点F 1(-c ,0)(c>0),则|PF 1|=√(1+c )2+12=3√22,解得c=1,所以|PF 2|=√22,则由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a=2√2,∴a=√2,b=1. 故椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题意直线AB 的斜率必定不为零,于是可设直线AB :x=ty+1, 联立方程{x =ty +1,x 22+y 2=1,得(t 2+2)y 2+2ty-1=0,∵直线AB 交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴Δ=4t 2+4(t 2+2)=8(t 2+1)>0,由韦达定理得y 1+y 2=-2tt 2+2,y 1y 2=-1t 2+2,则y N =-tt 2+2,∴x N =ty N +1=-t 2t 2+2+1=2t 2+2.∵MN ⊥AB ,∴k MN =-t ,∴|MN|=√1+t 2·-2-2t 2+2=√1+t 2·2t 2+6t 2+2.又|AN|=12|AB|=12√1+t 2·|y 1-y 2|=√1+t 2·√2√1+t 2t 2+2, ∴tan ∠MAN=|MN ||AN |=√2(2√t 2+1=√2(√t 2+1√t 2+1)≥√2·2√2=4.当且仅当√t 2+1=√t 2+1,即t=±1时取等号.此时直线AB 的方程为x+y-1=0或x-y-1=0. 6.解(1)由题意得,{e =ca =12,b =√6|√1+1=√3,又a 2=b 2+c 2,∴a=2.∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意,直线l 的斜率k 存在且不为零. 设直线l 的方程为y=k (x-4),k ≠0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点Q (x 0,y 0). 由{y =k (x -4),x 24+y 23=1,消去y ,整理得(3+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-12=0. 由Δ=(-32k 2)2-4(3+4k 2)(64k 2-12)>0, 解得-12<k<12,且k ≠0,∴x 1+x 2=32k 23+4k 2.∴x 0=16k 23+4k 2,y 0=k (x 0-4)=-12k3+4k 2. ∴Q (16k 23+4k 2,-12k3+4k 2).由题意可知,l 1:y-y 0=-1k(x-x 0),即y+12k3+4k 2=-1k (x -16k 23+4k 2). 化简得,y=-1kx+4k3+4k 2.令x=0,4k3+4k 2=413.解得k=14或k=3.∵-12<k<12,且k ≠0,∴k=14.故直线l 的方程为y=14(x-4),即x-4y-4=0.。
浙江高考考前三个月数学文二轮复习冲刺压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一)(含答案详析)
压轴大题打破练 —— 直线与圆锥曲线 (一 )226，右焦点为 (2x 2 y 2的离心率为 2， 0)，斜率为 1 的直线 l1． 已知椭圆 G ： a ＋ b ＝ 1 (a>b>0) 3与椭圆 G 交于 A 、 B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，极点为P( －3,2)．(1)求椭圆 G 的方程；(2)求△ PAB 的面积．c 6解 (1)由已知得 c ＝ 2 2，a ＝ 3 .解得 a ＝ 2 3，又 b 2＝ a 2 －c 2 ＝4.x 2 y 2 因此椭圆 G 的方程为 12＋ 4＝ 1. (2)设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ m.y ＝x ＋ m，得 4x 2＋ 6mx ＋ 3m 2－12＝ 0.①由 x 2y 212＋4 ＝1设 A 、 B 的坐标分别为 (x 1，y 1)， (x 2， y 2) (x 1<x 2)， AB 中点为 E(x 0， y 0)，则 x 0＝x 1＋ x 2＝ 3mm2－ 4 ， y 0＝ x 0＋ m ＝ 4 ；由于 AB 是等腰 △ PAB 的底边，因此 PE ⊥ AB.m 2－ 4因此 PE 的斜率 k ＝ 3m ＝－ 1.解得 m ＝ 2.－3＋ 4此时方程 ① 为 4x 2＋12x ＝ 0.解得 x 1＝－ 3， x 2＝ 0.因此 y 1＝－ 1，y 2＝2.因此 |AB |＝ 3 2.此时，点 P(－ 3,2)到直线 AB ：x － y ＋ 2＝0 的距离 d ＝|－ 3－2＋ 2|32，2＝ 2 1 9因此 △PAB 的面积 S ＝ 2|AB| d ·＝ 2.2． 如图，倾斜角为α的直线经过抛物线 y 2＝8x 的焦点 F ，且与抛物线交于A 、B 两点，(1)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；(2)若 α为锐角，作线段 AB 的垂直均分线 m 交 x 轴于点 P ，证明 |FP|－ |FP|cos 2α为定值，并求此定值．p(1)解由已知得 2p ＝8， ∴ 2＝2.∴ 抛物线的焦点坐标为 F(2,0)，准线方程为x ＝－ 2.(2)证明A ， y AB ， y B)，直线 AB 的斜率为 k ＝ tan α，设 A(x )， B(x则直线方程为 y ＝ k(x － 2)．将此式代入 y 2＝ 8x ，得 k 2x 2－ 4(k 2＋2)x ＋ 4k 2＝ 0，故 x A ＋ x B ＝4 k 2＋ 2.2k设直线 m 与 AB 的交点为 E(x E ，y E )，x A ＋ x B 2 k 2＋ 2 ， y E ＝ k(x E － 2)＝4，则 x E ＝ ＝ 22 kk 故直线 m 的方程为 y － 4＝－ 1 2k 2＋ 4k 2.k kx － 2k 2＋ 4令 y ＝0，得点 P 的横坐标为 x P ＝ k 2 ＋ 4，4 k 2＋ 14故 |FP|＝ x P － 2＝ k 2＝ 2 .4 sin α4·2sin 2α ∴ |FP|－ |FP|cos 2α＝2 (1－ cos 2α)＝ 2 ＝ 8.sin αsin α ∴ |FP|－ |FP|cos 2α为定值．3． 已知过点 A(－ 4,0)的动直线 l 与抛物线 G ：x 2＝ 2py (p>0)订交于 B 、C 两点．当直线l 的斜率是 1 → →2 时， AC ＝ 4AB .(1)求抛物线 G 的方程；(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为b ，求 b 的取值范围．解 (1)设 B(x 1， y 1)， C(x 2， y 2)，当直线 l 的斜率是 11 时， l 的方程为y ＝ ( x ＋ 4)，即 x ＝2 22y － 4.x 2＝ 2py ，得 2y2－ (8＋ p)y ＋ 8＝ 0，由x ＝2y － 4y 1y 2＝ 4，①∴8＋ p1＋ y 2＝，②y2→ →又 ∵AC ＝4AB ， ∴ y 2＝ 4y 1， ③由 ①②③ 及 p>0 得： y 1＝ 1， y 2 ＝4， p ＝ 2，则抛物线 G 的方程为 x 2＝ 4y.(2)设 l ： y ＝ k(x ＋ 4)， BC 的中点坐标为 (x 0， y 0)，x 2＝ 4y 得 x 2－ 4kx － 16k ＝0， ④由y ＝k x ＋ 4∴ x 0＝ x C ＋x B＝ 2k ，y 0＝k(x 0＋4) ＝2k 2 ＋4k. 2∴线段 BC 的中垂线方程为 y－ 2k2－ 4k＝－1k(x－2k)，∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为：b＝ 2k2＋4k＋ 2＝ 2(k＋ 1)2，关于方程④ ，由＝ 16k2＋ 64k>0 得：k>0 或 k<－ 4.∴ b∈(2，＋∞ )．4．已知过抛物线 y2＝2px(p>0) 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A( x1， y1)，B(x2， y2)(x1<x2)两点，且 |AB|＝ 9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若→→→OC＝ OA＋λOB，求λ的值．p222解 (1)直线 AB 的方程是 y＝ 2 2(x－2)，与 y ＝ 2px联立，进而有4x － 5px＋ p ＝ 0，5p因此 x1＋x2＝.4由抛物线定义得|AB|＝ x1＋ x2＋ p＝9，2222(2)由 p＝ 4 知 4x － 5px＋ p ＝0 可化为 x － 5x＋ 4＝ 0，进而 A(1，－ 2 2)， B(4,4 2)．→设 OC＝( x3， y3)＝ (1，－ 2 2)＋λ(4,4 2)＝(4λ＋ 1， 4 2λ－ 2 2)，又 y23＝ 8x3，因此 [2 2(2λ－ 1)]2＝8(4λ＋ 1)，即 (2λ－ 1)2＝ 4λ＋ 1，解得λ＝ 0 或λ＝ 2.。
2020新高考数学二轮冲刺圆锥曲线全归纳(压轴题全解析)
MA MB
AB
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
( x,4
2
y)
( x,2)
0
，即
y
1
x2
2
。
4
【例 3】已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A，B 两点，
交 C 的准线于 P，Q 两点． （I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； （II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
5 轨迹 C 的方程.
解 析 设 M 的 坐 标 为 (x, y) ， P 的 坐 标 为 (x0 , y0 ) ， 因 为 M 为 PD 上 一 点 ， 且
|MD|=
4 5
|PD|，所以
x
y
x0
4 5
y0
x0 y0
x 5 4
y
，又
P (x0 ,
y0 )
若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线
A圆
B 椭圆
C 线段
D 一段抛物线
解析
设点
M
(x0
,
y0
),
P(x,
(全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)理
(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C ：y ＝－x 2，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为－12，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间(不包括点A ，点B )，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 的斜率k 的取值范围；(2)求|PA |·|PQ |的最大值．解 (1)由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94，设P (x P ，－x 2P )，－12<x P <32，所以k ＝－x 2P ＋14x P ＋12＝－x P ＋12∈(－1,1)，故直线AP 的斜率k 的取值范围是(－1,1)．(2)直线AP ：y ＝kx ＋12k －14，直线BQ ：x ＋ky ＋94k －32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k －14，x ＋ky ＋94k －32＝0，可知，点Q 的横坐标为x Q ＝3－4k －k 22k 2＋2，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x P ) ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k －k22k 2＋2＋k －12 ＝(k －1)2(1＋k )1＋k 2，|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋12＝1＋k 2(1－k )，所以|PA |·|PQ |＝(1－k )3(1＋k )，令f (x )＝(1－x )3(1＋x )，－1<x <1，则f ′(x )＝(1－x )2(－2－4x )＝－2(1－x )2(2x ＋1)，当－1<x <－12时，f ′(x )>0， 当－12<x <1时，f ′(x )<0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1上单调递减． 故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2716， 即|PA |·|PQ |的最大值为2716. 2．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，离心率为12，圆O ：x 2＋y 2＝c 2，A 1，A 2是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，△A 1AB 面积的最大值为2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，求|PQ |的取值范围． 解 (1)设B 点到x 轴距离为h ，则1A AB S ＝12A OB S ＝2·12·|A 1O |·h ＝a ·h ， 易知当线段AB 在y 轴时，h max ＝|BO |＝c ，∴1A AB S＝a ·c ＝2，∵e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，求得|PQ |＝3；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，∵直线为圆的切线，∴d ＝|m |1＋k 2＝1， ∴m 2＝k 2＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 判别式Δ＝48(3k 2＋2)>0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3，∴弦长|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝43·1＋k 2·3k 2＋24k 2＋3， 令t ＝4k 2＋3≥3， 则|PQ |＝3·－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋2t ＋3∈⎝⎛⎦⎥⎤3，463. 综上，|PQ |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，463. 3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴为MN ，点P (4,0)满足PM →·PN →＝15.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线l 与椭圆交于点A ，B ，是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)PM →·PN →＝(－4，b )·(－4，－b )＝16－b 2＝15，所以b ＝1，又c a ＝a 2－b 2a 2＝32，所以a 2＝4， 从而椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l 不为x 轴时，设l ：x ＝my ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立l 与C 的方程可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0， 所以y 1＋y 2＝－8m m 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4， OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2]＝(1＋λ)(1＋m 2)y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＝(12λ－20)m 2＋12(λ＋1)m 2＋4＋16. 因为OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值，所以12λ－201＝12(1＋λ)4， 解得λ＝239，此时定值为803. 当l 为x 轴时，A (－2,0)，B (2,0)．OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－4＋239·12＝803. 综上，存在λ＝239，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值803. 4．(2018·宿州质检)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32，以椭圆C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点P (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在直线l 0：x ＝x 0(x 0>2)，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|PA ||PB |恒成立，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵ca ＝32，∴c ＝32a ， 又∵4a 2＋b 2＝45，∴a 2＋b 2＝5，由b 2＝a 2－c 2＝14a 2， 解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 0为任意的x ＝x 0(x 0>2)都满足要求；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨令x 1>1>x 2)，则d A ＝x 0－x 1，d B ＝x 0－x 2，|PA |＝1＋k 2(x 1－1)，|PB |＝1＋k 2(1－x 2)， ∵d A d B ＝|PA ||PB |， ∴x 0－x 1x 0－x 2＝1＋k 2(x 1－1)1＋k 2(1－x 2) ＝x 1－11－x 2，解得x 0＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)(x 1＋x 2)－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2， x 0＝8k 2－81＋4k 2－8k21＋4k 28k21＋4k 2－2＝4. 综上可知，存在直线l 0：x ＝4，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|PA ||PB |恒成立． 5．(2018·四省大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点F (1,0)，过直线l ：x ＝2左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H ，∠HPF 的角平分线交x 轴于点M ，且|PH |＝2|MF |，记动点P 的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)过点F 作直线m 交曲线Γ于A ，B 两点，点C 在l 上，且BC ∥x 轴，试问：直线AC 是否恒过定点？请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，由题意可知|MF |＝|PF |，所以|PF ||PH |＝|MF ||PH |＝22， 即(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，化简整理得x 22＋y 2＝1， 即曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由已知可得直线m 的斜率不为0，∴可设直线m 的方程为x ＝ny ＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ny ＋1，x 22＋y 2＝1消去x ， 得(n 2＋2)y 2＋2ny －1＝0，Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2nn 2＋2，y 1y 2＝－1n 2＋2，x 1＝ny 1＋1， ∴直线AC 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－2，直线AC 的方程为y －y 2＝y 1－y 2x 1－2(x －2)，即y ＝y 1－y 2x 1－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋y 2(x 1－2)y 1－y 2，又y 2(x 1－2)y 1－y 2＝y 2(ny 1－1)－2nn 2＋2－2y 2＝y 2＋nn 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫nn 2＋2＋y 2＝12，∴直线AC 的方程为 y ＝y 1－y 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2＋12＝y 1－y 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，∴直线AC 过定点N ⎝⎛⎭⎫32，0.。
高考数学 考前三个月 压轴大题突破练 直线与圆锥曲线(二)
压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二)1． 已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围． 解 (1)直线x ＋ky －3＝0经过定点F (3,0)，即点F (3,0)是椭圆C 的一个焦点．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8， 所以a ＋3＝8，即a ＝5. 所以b 2＝a 2－32＝16.所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225(－5≤m ≤5)．所以原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2＝1925m 2＋16<1.所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交，L 2＝4(r 2－d 2)＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1925m 2＋16. 因为－5≤m ≤5，所以152≤L ≤465. 2． 已知点A 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称．线段AF 2的中垂线m 分别与AF 1、AF 2交于M 、N 两点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆F 1的半径为4， 且|MF 2|＝|MA |.从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MA |＝|AF 1|＝4>|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中长轴2a ＝4，得a ＝2，焦距2c ＝23，则短半轴b ＝1，∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2. 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0， 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0，得0<m 2<2且m 2≠1.S △OPQ ＝12|x 1－x 2||m |＝m 22－m 2，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．3． 如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：x 2b 2＋y2a2＝1(a >b >0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存 在，请说明理由．(3)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，1b 2＋2a 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程x 22＋y 24＝1.(2)解 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，所以Δ＝－8m 2＋64>0⇒－22<m <22，x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.所以|BD |＝1＋22|x 1－x 2|＝62·8－m 2. 设d 为点A 到直线BD ：y ＝2x ＋m 的距离，所以d ＝|m |3.所以S △ABD ＝12|BD |·d ＝24·8－m2m 2≤2，当且仅当8－m 2＝m 2，即m ＝±2时取等号．因为±2∈(－22，22)，所以当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2. (3)证明 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ，则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1，(*) 将(2)中①、②式代入(*)式，整理得22＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝0，即k AB ＋k AD ＝0.4． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝22，|AB |的最小值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若圆：x 2＋y 2＝23的切线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，问OP →与OQ →是否垂直？若垂直，请给出证明，若不垂直，请说明理由． 解 (1)设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，F (c,0)(c 2＝a 2＋b 2)， 则|AF |＋|BF |＝2a ＝22，∴a ＝ 2. |AB |＝2x 02＋2y 02＝2x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2b 2 ＝2b 2＋c 2x 20a2，∵0≤x 20≤a 2，∴|AB |min ＝2b ＝2，∴b ＝1. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设条件可知直线的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .l 与圆x 2＋y 2＝23相切，∴|m |1＋k2＝63，∴m 2＝23(k 2＋1)． 把l 的方程y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1中得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝8(2k 2＋1－m 2)>0，令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2① x 1x 2＝2m 2－21＋2k2② y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2③OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝3m 2－2k 2－21＋2k2＝0， ∴OP →⊥OQ →.。
高考文科数学二轮提分专题能力训练直线与圆锥曲线
专题能力训练17 直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.过抛物线C :y 2=4x 的焦点F ,且斜率为√3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l ,则M 到直线NF 的距离为( ) A .√5B .2√2C .2√3D .3√32.与抛物线y 2=8x 相切倾斜角为135°的直线l 与x 轴和y 轴的交点分别是A 和B ,那么过A ,B 两点的最小圆截抛物线y 2=8x 的准线所得的弦长为( ) A.4B.2√2C.2D.√23.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1) C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1) D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)4.已知倾斜角为30°的直线l 经过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F 1,交双曲线于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线经过右焦点F 2,则此双曲线的渐近线方程为 .5.(2019北京人大附中信息考试,18)已知抛物线C :y 2=2px 过点M (2,2),点A ,B 是抛物线C 上不同两点,且AB ∥OM (其中O 是坐标原点),直线AO 与BM 相交于点P ,线段AB 的中点为Q. (1)求抛物线C 的准线方程; (2)求证:直线PQ 与x 轴平行.6.已知椭圆C 的两个顶点分别为A (-2,0),B (2,0),焦点在x 轴上,离心率为√32. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ,N ,过D 作AM 的垂线交BN 于点E.求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.7.在平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :x 22+y 2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√3=0交M 于A ,B 两点,P为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程;(2)C ,D 为M 上两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值.8.(2019四川高三冲刺演练,20)已知直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点且与此抛物线相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,|AB|<8,直线l 与抛物线y=x 2-4相交于M ,N 两点,且M ,N 两点在y 轴的两侧. (1)证明:y 1y 2为定值;(2)求直线l 的斜率的取值范围;(3)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-48(O 为坐标原点),求直线l 的方程.二、思维提升训练9.(2019重庆一中月考,20)如图,点C ,D 是离心率为12的椭圆的左、右顶点,F 1,F 2是该椭圆的左、右焦点,点A ,B 是直线x=-4上的两个动点,连接AD 和BD ,分别与椭圆相交于E ,F 两点,且线段EF 恰好经过椭圆的左焦点F 1.当EF ⊥CD 时,点E 恰为线段AD 的中点.(1)求椭圆的方程;(2)判断以AB为直径的圆与直线EF的位置关系,并加以证明.10.(2019全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点N(x0,y0)(y0>0)为其上一点,点11.(2019湖南怀化质检,20)已知F(12M与点N关于x轴对称,直线l与抛物线交于异于点M,N的A,B两点,|NF|=5,k NA·k NB=-2.2(1)求抛物线的标准方程和点N的坐标;(2)判断是否存在这样的直线l,使得△MAB的面积最小.若存在,求出直线l的方程和△MAB面积的最小值;若不存在,请说明理由.专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=√3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,2√3).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2√3).因为F(1,0),所以直线NF:y=-√3(x-1).所以M到直线NF的距离为√3×√3|√(-√3)+1=2√3.2.C解析设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2√(√2)2-12=2.3.C解析由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在△AMK中,由|BN||AM|=|BK||AK|,得t3t=xx+4t,解得x=2t,则cos∠NBK=|BN||BK|=tx=12,∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k=tan 60°=√3,故直线方程为y=√3(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-√3(x-1),故选C.4.y=±x 解析 如图,MF 2为线段AB 的垂直平分线,可得|AF 2|=|BF 2|,且∠MF 1F 2=30°,可得|MF 2|=2c·sin 30°=c ,|MF 1|=2c·cos 30°=√3c. 由双曲线的定义可得|BF 1|-|BF 2|=2a ,|AF 2|-|AF 1|=2a , 即|AB|=|BF 1|-|AF 1|=|BF 2|+2a-(|AF 2|-2a )=4a ,即有|MA|=2a ,|AF 2|=√|MA |2+|MF 2|2=√4a 2+c 2,|AF 1|=|MF 1|-|MA|=√3c-2a. 由|AF 2|-|AF 1|=2a ,可得2+c 2(√3c-2a )=2a , 可得4a 2+c 2=3c 2,即c=√2a.故b=√c 2-a 2=a ,所以渐近线方程为y=±x. 5.(1)解 由题意得22=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的准线方程为x=-p2=-12.(2)证明 设A (y 122,y 1),B (y 222,y 2),由AB ∥OM 得k AB =k OM =1,则y 2-y 1y 222-y 122=2y 2+y 1=1,所以y 2+y 1=2. 所以线段AB 的中点Q 的纵坐标y Q =1.直线AO 的方程为y=y 1y 122x=2y 1x.①当y 2≠-2时,直线BM 的方程为y-2=y 2-2y 222-2(x-2)=2y 2+2(x-2). ②联立①②{y =21x ,y -2=2y 2+2(x -2),解得{x =y 12,y =1,即点P 的纵坐标y P =1. 当y 2=-2时,直线BM 的方程为x=2. ③联立①③{y =2y 1x ,x =2,解得{x =2,y =4y 1.因为y 2+y 1=2,所以y 1=4.所以y=1,即点P 的纵坐标为y P =1. 综上可知,直线PQ 与x 轴平行.6.(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0).由题意得{a =2,ca =√32,解得c=√3. 所以b 2=a 2-c 2=1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)证明 设M (m ,n ),则D (m ,0),N (m ,-n ). 由题设知m ≠±2,且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM =n m+2, 故直线DE 的斜率k DE =-m+2n . 所以直线DE 的方程为y=-m+2n (x-m ),直线BN 的方程为y=n2-m (x-2). 联立{y =-m+2n (x -m ),y =n2-m (x -2),解得点E 的纵坐标y E =-n (4-m 2)4-m 2+n 2. 由点M 在椭圆C 上,得4-m 2=4n 2.所以y E =-45n.又S △BDE =12|BD|·|y E |=25|BD|·|n|,S △BDN =12|BD|·|n|, 所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. 7.解 (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),则x 12a 2+y 12b2=1,x 22a 2+y 22b2=1,y 2-y 1x 2-x 1=-1, 由此可得b 2(x 2+x 1)2(y 21)=-y 2-y 12-x 1=1.因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 0x 0=12,所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(√3,0),所以a 2-b 2=3. 所以a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为x 26+y 23=1.(2)由{x +y -√3=0,x 26+y 23=1,解得{x =4√33,y =-√33或{x =0,y =√3.因此|AB|=4√63.由题意可设直线CD 的方程为y=x+n (-5√33<n <√3),设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).由{y =x +n ,x 26+y 23=1得3x 2+4nx+2n 2-6=0.于是x 3,4=-2n±√2(9-n 2).因为直线CD 的斜率为1, 所以|CD|=√2|x 4-x 3|=43√9-n 2.由已知,四边形ACBD 的面积S=12|CD|·|AB|=8√69√9-n 2. 当n=0时,S 取得最大值,最大值为8√6. 所以四边形ACBD 面积的最大值为8√63.8.(1)证明 由题意可得,直线l 的斜率存在,故可设直线l 的方程为y=k (x-1)(k ≠0),联立{y 2=4x ,y =k (x -1),得ky 2-4y-4k=0,则y 1y 2=-4k k =-4为定值.(2)解 由(1)知,y 1+y 2=4,x 1+x 2=y 1+y2+2=4k 2+2, 则|AB|=x 1+x 2+p=y 1+y 2k +2=4k2+4<8,即k 2>1. 联立{y =k (x -1),y =x 2-4,得x 2-kx+k-4=0, ∵M ,N 两点在y 轴的两侧,∴Δ=k 2-4(k-4)=k 2-4k+16>0,且k-4<0,∴k<4.由k 2>1及k<4可得k<-1或1<k<4, 故直线l 的斜率的取值范围为(-∞,-1)∪(1,4). (3)解 设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),则x 3+x 4=k ,x 3x 4=k-4,∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3x 4+y 3y 4=x 3x 4+k 2(x 3-1)(x 4-1)=(1+k 2)x 3x 4-k 2(x 3+x 4)+k 2 =(1+k 2)(k-4)-k 3+k 2=-3k 2+k-4=-48,解得k=-113或k=4.又k ∈(-∞,-1)∪(1,4),∴k=-113. 故直线l 的方程为y=-113x+113. 二、思维提升训练9.解 (1)∵当EF ⊥CD 时,点E 恰为线段AD 的中点,∴a+c=4-c.又e=ca =12,联立解得c=1,a=2.又a 2=b 2+c 2,∴b=√3.∴椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意可知直线EF 不可能平行于x 轴,设EF 的方程为x=my-1,E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),由{x 24+y 23=1,x =my -1,得(3m 2+4)y 2-6my-9=0,∴Δ=(-6m )2+36(3m 2+4)>0,{y 1+y 2=6m3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4.(*) 设A (-4,y A ),由A ,E ,D 三点共线得y A =-6y 1x 1-2=-6y 1my 1-3,同理可得y B =-6y2my 2-3. y A +y B =-6y 1my 1-3+-6y2my 2-3=-6[2my 1y 2-3(y 1+y 2)212-3m (y 12)+9] =-6(2m ·-93m 2+4-36m3m 2+4m 2·-93m 2+4-3m ·6m3m 2+4+9)=6m , ∴|y A -y B |=|-6y 1my1-3--6y 2my 2-3| =18[|y 1-y 2|m 2y 1y 2-3m (y 1+y 2)+9] =18[ √(6m 3m 2+4)2-4-93m 2+4m 2-93m 2+4-3m 6m 3m 2+4+9]=6√m 2+1.设AB 的中点为M ,则点M 的坐标为(-4,y A +y B),即(-4,3m ), ∴点M 到直线EF 的距离d=|-4-3m 2√2=32+1=12|y A -y B |=12|AB|.故以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切.10.解 (1)因为☉M 过点A ,B ,所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线x+y=0上,且A ,B 关于坐标原点O 对称,所以M 在直线y=x 上,故可设M (a ,a ). 因为☉M 与直线x+2=0相切,所以☉M 的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故可得2a 2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4. 故☉M 的半径r=2或r=6.(2)存在定点P (1,0),使得|MA|-|MP|为定值. 理由如下:设M (x ,y ),由已知得☉M 的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故可得x 2+y 2+4=(x+2)2,化简得M 的轨迹方程为y 2=4x. 因为曲线C :y 2=4x 是以点P (1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1. 因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P. 11.解 (1)由题意知p=1,故抛物线方程为y 2=2x.由|NF|=x 0+p 2=52,则x 0=2,y 02=4.∵y 0>0,∴y 0=2.∴N (2,2).(2)由题意知直线的斜率不为0,则可设直线l 的方程为x=ty+b. 联立{y 2=2x ,x =ty +b ,得y 2-2ty-2b=0.设两个交点A (y 12,y 1),B (y 22,y 2)(y 1≠±2,y 2≠±2),则{Δ=4t 2+8b >0,y 1+y 2=2t ,y 1y 2=-2b ,由k NA ·k NB =y 1-2y 122-2·y 2-2y 222-2=4(y 1+2)(y 2+2)=-2,整理得b=2t+3.此时,Δ=4(t 2+4t+6)>0恒成立.故直线l 的方程为x=ty+2t+3,即x-3=t (y+2),从而直线l 过定点E (3,-2). 又M (2,-2),∴△MAB 的面积S=12|ME||y 1-y 2|=√t 2+4t +6=√(t +2)2+2.∴当t=-2时,△MAB 的面积有最小值√2,此时直线l 的方程为x+2y+1=0.。
江苏省—高三数学专题练习及答案 ：直线与圆锥曲线2
直线与圆锥曲线（2）１、 6-=a 是直线()031:1=--+y a ax l 和直线()()02321:2=-++-y a x a l 垂直的 .条件 2、直线1l 在x 轴、y 轴上的截距分别是3和1，直线2l 的方程是01=+-y ax ，若直线2l 到1l 的角是︒45，则a 的值为3、若方程036=++-+k y x y x 仅表示一条直线，则k 的取值范围是4．已知)62,5(),62,5(y x y x -==，双曲线1=⋅上一点M 到F （7,0）的距离为11，N 是MF的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜＝5、已知圆锥曲线4m 4y m x 22＝+的离心率e 为方程02522=+-x x 的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为6、过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率等于7、与圆()2222=-+y x 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 。
8、圆锥曲线C 的一个焦点是()1,0F ，相应的准线方程为01=+y ，且曲线C 经过点()3,2，则曲线C 的形状是 。
9、Ｅ，Ｆ是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点Ｐ在l 上，则角EPF ∠的最大值是 。
10、直线l 经过两条直线1l ：0852=+-y x 和2l 01232=-+y x 的交点，且分这两条直线与x 轴围成的面积为2:3两部分，求直线l 的一般式方程。
11、设直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于直线0=+y x 对称，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示平面区域的面积。
12、如果探照灯的轴截面是抛物线x y =2（如图），表示平行于对称轴0=y 的光线经抛物线上的点Q P ,的反射情况，设点P 的纵坐标为a ，当a 取何值时，从入射点P 到反射点Q 的光线路程PQ 最短？13、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22，21,F F 为其焦点，一直线过点1F 与椭圆相交于B A ,两点，且AB F 2∆的最大面积为2，求椭圆的方程。
陕西数学高考压轴大题突破(直线与圆锥曲线,导数)
压轴大题突破练压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一)1．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1)设圆P 的半径为r ， 则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)由(1)知：2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. ①当l 的方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1|2k ＋b |1＋k 2＝2解之得：⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝24b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24b ＝－2. ∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2. 联立方程⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1y ＝24x ＋2化简：7x 2＋8x －8＝0.∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝187.综上，|AB |＝23或187.2．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． 解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y P )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， ∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0 ⇒m 2<3k 2＋1.①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又∵|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1.②把②代入①得m 2<2m ，解得0<m <2； 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上求得m 的取值范围是12<m <2.3．(2013·辽宁)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x224)，x 1≠x 2， 由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2. (1)解 由已知，可得b ＝2，a 2＝(2b )2＝8， 所求椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 若直线AB 的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.由k 1＋k 2＝8，得y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8，所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8，即2k ＋(m －2)·x 1＋x 2x 1x 2＝8.所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝12k －2.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－2. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2. 若直线AB 的斜率不存在，设AB 的方程为x ＝x 0， 设A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，由已知y 0－2x 0＋－y 0－2x 0＝8，得x 0＝－12.此时AB 的方程为x ＝－12，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－2.综上，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2. 压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二)1．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．(3)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，1b 2＋2a 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程x 22＋y 24＝1.(2)解 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 所以Δ＝－8m 2＋64>0⇒－22<m <22， x 1＋x 2＝－22m ，① x 1x 2＝m 2－44.②所以|BD |＝1＋(2)2|x 1－x 2|＝62·8－m 2. 设d 为点A 到直线BD ：y ＝2x ＋m 的距离， 所以d ＝|m |3. 所以S △ABD ＝12|BD |·d ＝24·(8－m 2)m 2≤2，当且仅当8－m 2＝m 2，即m ＝±2时取等号．因为±2∈(－22，22)，所以当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2. (3)证明 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ， 则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，(*)将(2)中①、②式代入(*)式， 整理得22＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即k AB ＋k AD ＝0(定值)．2．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到两定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)的距离之和为4，设动点M 的轨迹为曲线C .已知直线l 与曲线C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，向量m ＝(2x 1，y 1)，n ＝(2x 2，y 2)，且m ⊥n .(1)若直线l 过曲线C 的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线l 的斜率k 的值； (2)△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 解 (1)由题意知，|MF 1|＋|MF 2|＝4>|F 1F 2|＝23，根据椭圆的定义，知动点M 的轨迹是以F 1(0，－3)，F 2(0，3)为焦点，长轴长为4的椭圆， 设该椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2，c ＝3，∴a 2＝4，c 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝1， ∴曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1.设l 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1，消去y 得，(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，Δ＝(23k )2＋4(k 2＋4)>0， 且x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4.∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4x 1x 2＋y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3＝(k 2＋4)·－1k 2＋4＋3k ·－23k k 2＋4＋3＝0，解得k ＝±2. 即直线l 的斜率k 的值为±2.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，有x 1＝x 2，y 1＝－y 2.由m ·n ＝0，得4x 21－y 21＝0，即y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上， ∴4x 214＋x 21＝1， ∴|x 1|＝22，|y 1|＝ 2.∴S △OAB ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝|x 1|·|y 1|＝1(定值)．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k ′x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ′x ＋t ，y 24＋x 2＝1，消去y 得， (k ′2＋4)x 2＋2k ′tx ＋t 2－4＝0， Δ＝4k ′2t 2－4(k ′2＋4)(t 2－4)>0， 且x 1＋x 2＝－2k ′t k ′2＋4，x 1x 2＝t 2－4k ′2＋4.∵m ·n ＝0，∴4x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴4x 1x 2＋(k ′x 1＋t )(k ′x 2＋t )＝0， ∴(k ′2＋4)x 1x 2＋k ′t (x 1＋x 2)＋t 2＝0， ∴(k ′2＋4)·t 2－4k ′2＋4＋k ′t ·－2k ′tk ′2＋4＋t 2＝0，整理得2t 2－k ′2＝4.∴S △OAB ＝12·|t |1＋k ′2·|AB |＝12·|t |·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|t |4k ′2－4t 2＋16k ′2＋4＝4t 22|t |＝1(定值)．综上，△AOB 的面积为定值．3.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px 和⊙M ：(x －4)2＋y 2＝1，圆心M 到抛物线C 的准线的距离为174.过抛物线C 上一点H (x 0，y 0)(y 0≥1)作两条直线分别与⊙M 相切于A 、B 两点，与抛物线C 交于E 、F 两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； (3)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值． 解 (1)由题意知⊙M 的圆心M 的坐标为(4,0)， 半径为1，抛物线C 的准线方程为x ＝－p2，∵圆心M 到抛物线C 的准线的距离为174，∴4＋p 2＝174，解得p ＝12，从而抛物线C 的方程为y 2＝x . (2)∵∠AHB 的角平分线垂直x 轴，∴点H (4,2)，∴∠AHB ＝60°， 可得k HA ＝3，k HB ＝－3，∴直线HA 的方程为y ＝3x －43＋2，联立方程⎩⎨⎧y ＝3x －43＋2，y 2＝x ，得3y 2－y －43＋2＝0，设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，则y E ＋2＝33， ∴y E ＝3－63，x E ＝13－433， 同理可得y F ＝－3－63，x F ＝13＋433，∴k EF ＝－14. (3)方法一 由题意可设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则k MA ＝y 1x 1－4，k MB ＝y 2x 2－4， ∵HA 、HB 是⊙M 的切线，∴HA ⊥MA 、HB ⊥MB ， 因此k HA ＝4－x 1y 1，k HB ＝4－x 2y 2，所以直线HA 、HB 的方程分别为(4－x 1)x －y 1y ＋4x 1－15＝0，(4－x 2)x －y 2y ＋4x 2－15＝0， 又点H 在抛物线上，有y 20＝x 0，∴点H 的坐标为(y 20，y 0)(y 0≥1)，分别代入直线HA 、HB 的方程得(4－x 1)y 20－y 1y 0＋4x 1－15＝0，(4－x 2)y 20－y 2y 0＋4x 2－15＝0，可整理为(4－y 20)x 1－y 0y 1＋4y 20－15＝0，(4－y 20)x 2－y 0y 2＋4y 20－15＝0， 从而可求得直线AB 的方程为(4－y 20)x －y 0y ＋4y 20－15＝0，令x ＝0，得直线AB 在y 轴上的截距为t ＝4y 20－15y 0＝4y 0－15y 0(y 0≥1)，考虑到函数f (x )＝4x －15x (x ≥1)为单调递增函数，∴t min ＝4×1－151＝－11. 方法二 由(1)知，设点H (y 20，y 0)(y 0≥1)，则HM 2＝y 40－7y 20＋16，HA 2＝y 40－7y 20＋15.以H 为圆心，HA 为半径的圆的方程为(x －y 20)2＋(y －y 0)2＝y 40－7y 20＋15，①又⊙M 的方程为(x －4)2＋y 2＝1.②①－②得：直线AB 的方程为(2x －y 20－4)(4－y 20)－(2y －y 0)y 0＝y 40－7y 20＋14.当x ＝0时，直线AB 在y 轴上的截距t ＝4y 0－15y 0(y 0≥1)，∵t关于y的函数在[1，＋∞)上单调递增，∴t min＝－11.4．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ＋y ＋2＝0相切．A 、B 是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设G 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，作GH ⊥x 轴于点H ，延长HG 到点Q 使得HG ＝GQ ，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为线段MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论． 解 (1)由题意可得e ＝c a ＝32.∵以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ＋y ＋2＝0相切， ∴|0＋0＋2|12＋12＝b ，解得b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2. ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，B (2,0)，直线l 的方程为x ＝2. 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0,0)，Q (x 0,2y 0)， 且有x 204＋y 20＝1，即4y 20＝4－x 20. 连接BQ ，设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ， ∵k AQ ·k BQ ＝2y 0x 0＋2·2y 0x 0－2＝4y 20x 20－4＝4－x 20x 20－4＝－1，即AQ ⊥BQ ，∴点Q 在以AB 为直径的圆上． ∵直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8y 0x 0＋2， 即M (2，8y 0x 0＋2)，∴N (2，4y 0x 0＋2)． ∴直线QN 的斜率为k QN ＝4y 0x 0＋2－2y 02－x 0＝－2x 0y 04－x 20＝－2x 0y04y 20＝－x 02y 0，∴k OQ ·k QN ＝2y 0x 0·－x 02y 0＝－1，于是直线OQ 与直线QN 垂直，∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．压轴大题突破练——函数与导数(一)1．已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ≠0，求函数f (x )的单调区间；(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4，又f (1)＝3， ∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0. (2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝－a 或x ＝a3.①当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a3.由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3，此时f (x )的单调递减区间为(－a ，a 3)，单调递增区间为(－∞，－a )和(a3，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )<0，得a3<x <－a .由f ′(x )>0，得x <a3或x >－a ，此时f (x )的单调递减区间为(a3，－a )，单调递增区间为(－∞，a3)和(－a ，＋∞)．综上：当a >0时，f (x )的单调递减区间为(－a ，a3)，单调递增区间为(－∞，－a )和(a3，＋∞)．当a <0时，f (x )的单调递减区间为(a3，－a )，单调递增区间为(－∞，a3)和(－a ，＋∞)．(3)依题意x ∈(0，＋∞)，不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，等价于2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x 在(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2.令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)，当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0. 当x 变化时，h ′(x )，h (x )变化情况如下表：∴当x ＝1时，h (x max ∴a ≥－2，∴a 的取值范围是[－2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝(1＋x )e－2x，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x ．当x ∈[0,1]时，(1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x；(2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x≥1－x ，只需证明(1＋x )e －x ≥(1－x )e x .记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )．当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0， 因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0，所以f (x )≥1－x ，x ∈[0,1]． 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x≤11＋x， 只需证明e x ≥x ＋1.记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1， 当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0， 因此K (x )在[0,1]上是增函数， 故K (x )≥K (0)＝0.所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]．(2)解 f (x )－g (x )＝(1＋x )e－2x－(ax ＋x 32＋1＋2x cos x )≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x＝－x (a ＋1＋x 22＋2cos x )．(由(1)知)故G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x .记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ， 当x ∈(0,1)时，H ′(x )<0， 于是G ′(x )在[0,1]上是减函数． 从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )<G ′(0)＝0. 故G (x )在[0,1]上是减函数． 于是G (x )≤G (0)＝2， 从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3.所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立． 下面证明，当a >－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立． f (x )－g (x )≤11＋x －1－ax －x 32－2x cos x＝－x 1＋x－ax －x 32－2x cos x＝－x (11＋x＋a ＋x 22＋2cos x )．(由(1)知)记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x ＋a ＋G (x )，则I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )，当x ∈(0,1)时，I ′(x )<0， 故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]． 因为当a >－3时，a ＋3>0， 所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)>0， 此时f (x 0)<g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．3．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )．(1)解 f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x ，由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎨⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a2x.由x 0＋2a ＝3a 2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <13e 时，h ′(t )>0； 当t (1－3ln t )<0，即t >13e 时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，13e )上为增函数，在(13e ，＋∞)上为减函数， 于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (13e )＝3223e ，即b 的最大值为3223e .(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x(x >0)．故F ′(x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数． 于是F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )． 4．设函数f (x )＝lnx ＋12＋1－x a (x ＋1)(a >0)． (1)若函数f (x )在区间(2,4)上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； (3)求证：当n ∈N *且n ≥2时，12＋13＋14＋…＋1n <ln x .(1)解 f ′(x )＝2x ＋1×12＋－a (x ＋1)－a (1－x )[a (x ＋1)]2＝1x ＋1＋－2a (x ＋1)2＝a (x ＋1)－2a (x ＋1)2＝x －(2a －1)(x ＋1)2(x >－1)，∴f (x )在(－1，2a －1)上为减函数，在(2a －1，＋∞)为增函数， ∴f (x )在x ＝2a －1处取得极小值．依题意⎩⎪⎨⎪⎧2<2a －1<4，a >0，解得25<a <23.所以实数a 的取值范围是(25，23)．(2)解 依题意⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤1，a >0，解得a ≥1.所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)． (3)证明 方法一 由(2)知：当a ＝1时， f (x )＝lnx ＋12＋1－x x ＋1在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x >1时，有f (x )>f (1)＝0， 即x >1时，ln x ＋12＋1－xx ＋1>0， 得lnx ＋12>－1－x x ＋1(x >1)． 取－1－x x ＋1＝1n (n ≥2)，则x ＝n ＋1n －1>1，x ＋12＝n n －1，即lnn n －1>1n(n ≥2)，∴12＋13＋14＋…＋1n <ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n n －1＝ln n . 方法二 由于ln n ＝ln(n n －1·n －1n －2·…·32·21)＝ln 2＋ln 32＋…＋ln n －1n －2＋ln nn －1，从而只需证明lnn n －1>1n(n ≥2)． 考查函数g (x )＝ln x －x －1x ＝ln x ＋1x －1(x >1)，而g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数， 所以g (x )min ＝g (1)＝0， 所以x >1时，g (x )>0， 令x ＝n n －1，ln n n －1>1n(n ≥2)， 则ln n ＝ln 2＋ln 32＋…＋ln n n －1>12＋13＋…＋1n ，所以命题得证．压轴大题突破练——函数与导数(二)1．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2.(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f (x )在[1e，e]上的最大值；(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题知，f (x )＝2ln x －12x 2，f ′(x )＝2x －x ＝2－x 2x，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1e ≤x <2； 令f ′(x )<0，得2<x ≤e ，∴f (x )在[1e ，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，则a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min . ∵x ∈(1，e 2]，∴ln x >0，∴h (a )在[0，32]上单调递增，∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2]都成立． ∵1<x ≤e 2，∴－e 2≤－x <－1， ∴m ≤(－x )min ＝－e 2.2．函数f (x )＝x ln x －ax 2－x (a ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)若函数f (x )的图象在直线y ＝－x 图象的下方，求a 的取值范围； (3)求证：2 0132 012<2 0122 013. (1)解 f ′(x )＝ln x －2ax . 因为f ′(1)＝0，所以a ＝0.(2)解 由题意，得x ln x －ax 2－x <－x ， 所以x ln x －ax 2<0.因为x ∈(0，＋∞)，所以a >ln xx .设h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2.令h ′(x )>0，得0<x <e ， 所以h (x )在(0，e)上单调递增； 令h ′(x )<0，得x >e ，所以h (x )在(e ，＋∞)上单调递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e ，所以a >1e.(3)证明 由(2)知h (x )＝ln xx 在(e ，＋∞)上单调递减，所以当x >e 时，h (x )>h (x ＋1)， 即ln x x >ln (x ＋1)x ＋1， 所以(x ＋1)ln x >x ln(x ＋1)，所以ln x x ＋1>ln(x ＋1)x ，所以x x ＋1>(x ＋1)x ，令x ＝2 012，得2 0122 013>2 0132 012. 3．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1.(1)若函数f (x )在点A (1，f (1))处的切线l 与直线4x ＋3y －3＝0垂直，求a 的值； (2)若f (x )≤0恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1(n ∈N *)．(1)解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .所以f ′(1)＝1－a . 所以切线l 的斜率为1－a .因为切线l 与直线4x ＋3y －3＝0垂直， 所以1－a ＝34，解得a ＝14.(2)解 若a ≤0，则f ′(x )＝1x －a >0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．而f (1)＝1－a >0，f (x )≤0不恒成立，故a >0. 考虑a >0，则当x ∈(0，1a ]时，f ′(x )＝1x －a >0；当x ∈[1a ，＋∞)时，f ′(x )＝1x －a <0.所以f (x )在(0，1a ]上是单调递增函数，在[1a ，＋∞)上是单调递减函数． 所以f (x )的最大值为f (1a)＝－ln a .要使f (x )≤0恒成立，只须－ln a ≤0即可．由－ln a ≤0，解得a ≥1，即a 的取值范围为[1，＋∞)．(3)证明 由(2)，知当a ＝1时，f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，且f (x )在(0,1)上是增函数，f (1)＝0，所以ln x <x －1在x ∈(0,1)上恒成立． 令x ＝k k ＋1(k ∈N *)，则ln k k ＋1<k k ＋1－1＝－1k ＋1，令k ＝1,2，…，n ，则有ln 12<－12，ln 23<－13，ln 34<－14，…，ln n n ＋1<－1n ＋1，以上各式两边分别相加，得ln 12＋ln 23＋…＋ln n n ＋1<－(12＋13＋…＋1n ＋1)，即ln 1n ＋1<－(12＋13＋…＋1n ＋1)，故ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1(n ∈N *)．4．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极小值；(2)当a ＝－1时，过坐标原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，设切点为P (m ，n )，求实数m 的值； (3)设定义在D 上的函数y ＝g (x )在点Q (x 0，y 0)处的切线方程为l ：y ＝h (x )，当x ≠x 0时，若g (x )－h (x )x －x 0>0在D 内恒成立，则称点Q 为函数y ＝g (x )的“好点”．当a ＝8时，试问函数y＝f (x )是否存在“好点”，若存在，请求出“好点”的横坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(x －1)(2x －1)x(x >0)，当0<x <12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当12<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝1时，f (x )取到极小值－2. (2)当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x 2－x ， f ′(x )＝2x －1－1x(x >0)，所以切线的斜率k ＝2m －1－1m ＝n －0m －0＝m 2－m －ln m m ，整理得m 2＋ln m －1＝0， 显然m ＝1是这个方程的解，又y ＝x 2＋ln x －1在(0，＋∞)上是增函数， 所以方程x 2＋ln x －1＝0有唯一实数解，故m ＝1. (3)当a ＝8时，f (x )＝8ln x ＋x 2－10x ， f ′(x )＝2x －10＋8x，函数y ＝f (x )在其图象上一点Q (x 0，f (x 0))处的切线方程h (x )＝(2x 0＋8x 0－10)(x －x 0)＋x 20－10x 0＋8ln x 0.设F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x 0)＝0，F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝(2x ＋8x －10)－(2x 0＋8x 0－10)＝2(x －x 0)(x －4x 0)x，①若0<x 0<2，F (x )在(x 0，4x 0)上单调递减，所以当x ∈(x 0，4x 0)时，F (x )<F (x 0)＝0，此时F (x )x －x 0<0，不合题意，所以y ＝f (x )在(0，＋∞)上不存在“好点”； ②若x 0>2，F (x )在(4x 0，x 0)上单调递减，所以当x ∈(4x 0，x 0)时，F (x )>F (x 0)＝0，此时F (x )x －x 0<0，不合题意，所以y ＝f (x )在(0，＋∞)上不存在“好点”； ③若x 0＝2，F ′(x )＝2(x －2)2x ≥0，即F (x )在(0，＋∞)上是增函数， 当x >x 0时，F (x )>F (x 0)＝0， 当x <x 0时，F (x )<F (x 0)＝0， F (x )x －x 0>0恒成立， 所以点(2，－16＋8ln 2)为函数y ＝f (x )的“好点”． 故函数y ＝f (x )存在“好点”，“好点”的横坐标为2.。
高考数学总复习 第二部分 高考22题各个击破 7.3【压轴大题2】直线与圆锥曲线课件 文
的弦称为通径,椭圆与双曲线的通径长为2������������2,过椭圆及双曲线焦点的 弦中通径最短;抛物线通径长是 2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.
椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c.
7.弦 AB 的中点与直线 AB 斜率的关系
(1)已知 AB 是椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)的一条弦,其中点 M 的坐标
抛物线、斜
全国 求斜率,求直
Ⅰ 线的方程
率、导数、直 线方程、两点
抛物线
点差法,方程 思想
的距离
2017 全国
Ⅱ
求轨迹方程, 证明直线过 定点
椭圆、直线、 向量相等及 椭圆 向量数量积
代换法,方程 思想
全国
Ⅲ
探索两直线 垂直,证明线 段为定值
抛物线、斜 抛物线、 率、直线、圆 圆
方程思想
-4-
年份 卷别 设问特点 涉及知识点 曲线模型 解题思想方法
2015
求椭圆方程,
全国 证明两直线
Ⅱ 斜率之积为
定值
圆、斜率,点到
直线的距离, 向量的数量
圆
积
椭圆、直线、 斜率、一元二 椭圆 次方程
方程思想
方程思想
-2-
年份 卷别 设问特点 涉及知识点 曲线模型 解题思想方法
求线段长度 直线、抛物
全国 之比,探索直
Ⅰ 线与曲线是
线、一元二次 方程及根的
抛物线
为(x0,y0).运用点差法求直线 AB 的斜率,设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵
A,B 都在椭圆上,则有
������12 ������2
届高考数学 考前三个月压轴大题突破练 直线与圆锥曲线二 文 新人教版【含答案】
压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二)1．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．(3)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解 由题意，可得e ＝ca ＝22，1b 2＋2a2＝1，a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程x 22＋y 24＝1. (2)解 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧ y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 所以Δ＝－8m 2＋64>0⇒－22<m <22，x 1＋x 2＝－22m ，① x 1x 2＝m 2－44.②所以|BD |＝1＋(2)2|x 1－x 2|＝62·8－m 2. 设d 为点A 到直线BD ：y ＝2x ＋m 的距离，所以d ＝|m |3. 所以S △ABD ＝12|BD |·d ＝24·(8－m 2)m 2≤2，当且仅当8－m 2＝m 2，即m ＝±2时取等号． 因为±2∈(－22，22)，所以当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2.(3)证明 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ，则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1，(*)将(2)中①、②式代入(*)式，整理得22＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 即k AB ＋k AD ＝0(定值)．2．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到两定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)的距离之和为4，设动点M 的轨迹为曲线C .已知直线l 与曲线C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，向量m ＝(2x 1，y 1)，n ＝(2x 2，y 2)，且m ⊥n .(1)若直线l 过曲线C 的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线l 的斜率k 的值；(2)△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解 (1)由题意知，|MF 1|＋|MF 2|＝4>|F 1F 2|＝23，根据椭圆的定义，知动点M 的轨迹是以F 1(0，－3)，F 2(0，3)为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 则a ＝2，c ＝3，∴a 2＝4，c 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝1，∴曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1. 设l 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1，消去y 得， (k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，Δ＝(23k )2＋4(k 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. ∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴4x 1x 2＋y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3＝(k 2＋4)·－1k 2＋4＋3k ·－23k k 2＋4＋3＝0，解得k ＝± 2. 即直线l 的斜率k 的值为± 2.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，有x 1＝x 2，y 1＝－y 2.由m ·n ＝0，得4x 21－y 21＝0，即y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，∴4x 214＋x 21＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝ 2. ∴S △OAB ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝|x 1|·|y 1|＝1(定值)． 当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k ′x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ′x ＋t ，y 24＋x 2＝1，消去y 得， (k ′2＋4)x 2＋2k ′tx ＋t 2－4＝0， Δ＝4k ′2t 2－4(k ′2＋4)(t 2－4)>0，且x 1＋x 2＝－2k ′t k ′2＋4， x 1x 2＝t 2－4k ′2＋4. ∵m ·n ＝0，∴4x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴4x 1x 2＋(k ′x 1＋t )(k ′x 2＋t )＝0，∴(k ′2＋4)x 1x 2＋k ′t (x 1＋x 2)＋t 2＝0， ∴(k ′2＋4)·t 2－4k ′2＋4＋k ′t ·－2k ′t k ′2＋4＋t 2＝0， 整理得2t 2－k ′2＝4.∴S △OAB ＝12·|t |1＋k ′2·|AB |＝12·|t |·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|t |4k ′2－4t 2＋16k ′2＋4＝4t 22|t |＝1(定值)．综上，△AOB 的面积为定值．3.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px 和⊙M ：(x －4)2＋y 2＝1，圆心M 到抛物线C 的准线的距离为174.过抛物线C 上一点H (x 0，y 0)(y 0≥1)作两条直线分别与⊙M 相切于A 、B 两点，与抛物线C 交于E 、F 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；(3)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．解 (1)由题意知⊙M 的圆心M 的坐标为(4,0)，半径为1，抛物线C 的准线方程为x ＝－p2， ∵圆心M 到抛物线C 的准线的距离为174，∴4＋p 2＝174，解得p ＝12， 从而抛物线C 的方程为y 2＝x .(2)∵∠AHB 的角平分线垂直x 轴，∴点H (4,2)，∴∠AHB ＝60°，可得k HA ＝3，k HB ＝－3，∴直线HA 的方程为y ＝3x －43＋2，联立方程⎩⎨⎧ y ＝3x －43＋2，y 2＝x ，得3y 2－y －43＋2＝0，设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，则y E ＋2＝33， ∴y E ＝3－63，x E ＝13－433， 同理可得y F ＝－3－63，x F ＝13＋433，∴k EF ＝－14. (3)方法一 由题意可设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则k MA ＝y 1x 1－4，k MB ＝y 2x 2－4， ∵HA 、HB 是⊙M 的切线，∴HA ⊥MA 、HB ⊥MB ，因此k HA ＝4－x 1y 1，k HB ＝4－x 2y 2， 所以直线HA 、HB 的方程分别为(4－x 1)x －y 1y ＋4x 1－15＝0，(4－x 2)x －y 2y ＋4x 2－15＝0， 又点H 在抛物线上，有y 20＝x 0，∴点H 的坐标为(y 20，y 0)(y 0≥1)，分别代入直线HA 、HB 的方程得(4－x 1)y 20－y 1y 0＋4x 1－15＝0， (4－x 2)y 20－y 2y 0＋4x 2－15＝0，可整理为(4－y 20)x 1－y 0y 1＋4y 20－15＝0，(4－y 20)x 2－y 0y 2＋4y 20－15＝0，从而可求得直线AB 的方程为(4－y 20)x －y 0y ＋4y 20－15＝0，令x ＝0，得直线AB 在y 轴上的截距为t ＝4y 20－15y 0＝4y 0－15y 0(y 0≥1)， 考虑到函数f (x )＝4x －15x(x ≥1)为单调递增函数， ∴t min ＝4×1－151＝－11. 方法二 由(1)知，设点H (y 20，y 0)(y 0≥1)，则HM 2＝y 40－7y 20＋16，HA 2＝y 40－7y 20＋15.以H 为圆心，HA 为半径的圆的方程为(x －y 20)2＋(y －y 0)2＝y 40－7y 20＋15，①又⊙M 的方程为(x －4)2＋y 2＝1.②①－②得：直线AB 的方程为(2x －y 20－4)(4－y 20)－(2y －y 0)y 0＝y 40－7y 20＋14.当x ＝0时，直线AB 在y 轴上的截距t ＝4y 0－15y 0(y 0≥1)， ∵t 关于y 的函数在[1，＋∞)上单调递增，∴t min ＝－11.4．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ＋y ＋2＝0相切．A 、B 是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设G 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，作GH ⊥x 轴于点H ，延长HG 到点Q 使得HG ＝GQ ，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为线段MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝32.∵以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ＋y ＋2＝0相切， ∴|0＋0＋2|12＋12＝b ，解得b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，B (2,0)，直线l 的方程为x ＝2.设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0,0)，Q (x 0,2y 0)，且有x 204＋y 20＝1，即4y 20＝4－x 20.连接BQ ，设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，∵k AQ ·k BQ ＝2y 0x 0＋2·2y 0x 0－2＝4y 20x 20－4＝4－x 2x 20－4＝－1，即AQ ⊥BQ ，∴点Q 在以AB 为直径的圆上．∵直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8yx 0＋2，即M (2，8y 0x 0＋2)，∴N (2，4y 0x 0＋2)．∴直线QN 的斜率为k QN ＝4y 0x 0＋2－2y 02－x 0＝－2x 0y 04－x 20＝－2x 0y04y 20＝－x 02y 0，∴k OQ ·k QN ＝2y 0x 0·－x 02y 0＝－1，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．。
2021-2022年高考数学二轮复习专项精练压轴大题突破练二直线与圆锥曲线2理
2021年高考数学二轮复习专项精练压轴大题突破练二直线与圆锥曲线2理1．(xx届浙江省嘉兴一中适应性测试)如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为(3，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆上的一个点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的上、下顶点分别为A，B，P(x0，y0)(x0≠0)是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l：y＝－1于点C，N为线段BC的中点，如果△MON的面积为32，求y0的值．解(1)设椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意，得c＝ 3.因为a2－c2＝b2，所以b2＝a2－3.又⎝⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆上的一个点，所以1a2＋34a2－3＝1，解得a2＝4或a2＝34(舍去)，从而椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)因为P(x0，y0)，x0≠0，则Q(0，y0)，且x204＋y20＝1.因为M为线段PQ的中点，所以M⎝⎛⎭⎪⎫x02，y0.又A (0,1)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 0－1x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1， 得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1.又B (0，－1)， N 为线段BC 的中点，则N ⎝⎛⎭⎪⎫x 021－y 0，－1. 所以NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 021－y 0，y 0＋1. 因此，OM →·NM →＝x 02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 021－y 0＋y 0·(y 0＋1) ＝x 204－x 2041－y 0＋y 20＋y 0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20－x 2041－y 0＋y 0 ＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.从而OM ⊥MN .因为|OM |＝x 204＋y 20＝1， |ON |＝x 2041－y 02＋1＝1－y 201－y 02＋1＝21－y 0， 所以在Rt △MON 中，|MN |＝|ON |2－|OM |2，因此S △MON ＝12|OM ||MN |＝121＋y 01－y 0. 从而有121＋y 01－y 0＝32，解得y 0＝45. 2．(xx 届江西省重点中学盟校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设B 为椭圆上顶点，P 是椭圆C 在第一象限上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问△PMN 与△PAB 面积之差是否为定值？说明理由．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20＋4y 20＝4，直线PA ：y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 则|BM |＝|1－y M |＝y M －1＝－1－2y 0x 0－2. 直线PB ：y ＝y 0－1x 0x ＋1， 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 则|AN |＝|2－x N |＝x N －2＝－2－x 0y 0－1，∴S △PMN －S △PAB ＝12|AN |·(|OM |－|OB |) ＝12|AN |·|BM | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2y 0x 0－2 ＝12·x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝12·4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 3．(xx·山西省实验中学模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)过点(0，－2)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，PF 1⊥x 轴，且△OPF 1的面积为 2.(1)求椭圆E 的离心率和方程；(2)设A ，B 是椭圆上两动点，若直线AB 的斜率为－14，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，－2)，所以b ＝2，由PF 1⊥x 轴，且△OPF 1的面积为2，得12×c ×b 2a ＝2，所以c a ＝22，即离心率e ＝22. 因为a 2＝b 2＋c 2，所以a 2－c 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－c 2＝4，c a ＝22，解得⎩⎨⎧ a ＝22，c ＝2(舍负)，故椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设直线AB 的方程为y ＝－14x ＋t ， 与x 2＋2y 2＝8联立，消去y ，整理得98x 2－tx ＋2t 2－8＝0， 由Δ＝(－t )2－4×98(2t 2－8)＝－8t 2＋36>0， 得－322<t <322， x 1＋x 2＝8t 9，x 1x 2＝89(2t 2－8)， 故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋116×64t 281－3292t 2－8 ＝174×1699－2t 2 ＝41799－2t 2， 易知点O 到直线AB 的距离为d ＝4|t |17， 则△OAB 的面积S ＝12×4|t |17×41799－2t 2 ＝8922t 29－2t 2 ≤892×2t 2＋9－2t 22＝22， 当且仅当2t 2＝9－2t 2，即t ＝±32时取“＝”，经检验，满足要求，故△OAB 面积的最大值为2 2.4．(xx·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)在平面直角坐标系xOy 中，点F 1(－3，0)，圆F 2：x 2＋y 2－23x －13＝0，以动点P 为圆心的圆经过点F 1，且圆P 与圆F 2内切．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点(1,0)，且与曲线E 交于A ，B 两点，则在x 轴上是否存在一点D (t,0)(t ≠0)，使得x 轴平分∠ADB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)圆F 2的方程可化为(x －3)2＋y 2＝16，故圆心F 2(3，0)，半径r ＝4，而|F 1F 2|＝23<4，所以点F 1在圆F 2内．又由已知得圆P 的半径R ＝|PF 1|，由圆P 与圆F 2内切，可得圆P 内切于圆F 2，即|PF 2|＝4－|PF 1|，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|，故点P 的轨迹即曲线E 是以F 1，F 2为焦点，长轴长为4的椭圆．显然c ＝3，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，故曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的斜率不为0且存在时，设直线l ：x ＝ny ＋1，代入x 2＋4y 2－4＝0，得(n 2＋4)y 2＋2ny －3＝0， Δ＝16(n 2＋3)>0恒成立．由根与系数的关系，可得y 1＋y 2＝－2n n 2＋4，y 1y 2＝－3n 2＋4， 设直线DA ，DB 的斜率分别为k 1，k 2，则由∠ODA ＝∠ODB ，得k 1＋k 2＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1－t x 2－t ＝y 1ny 2＋1－t ＋y 2ny 1＋1－t x 1－t x 2－t＝2ny 1y 2＋1－t y 1＋y 2x 1－t x 2－t ＝0. 所以2ny 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)＝0，将y 1＋y 2＝－2n n 2＋4，y 1y 2＝－3n 2＋4代入得－6n －2n ＋2nt ＝0，因此n (t －4)＝0，故存在t ＝4满足题意．当直线AB 的斜率为0时，直线为x 轴，取A (－2,0)，B (2，0)，满足∠ODA ＝∠ODB ， 当直线AB 的斜率不存在时，取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，满足∠ODA ＝∠ODB . 综上，在x 轴上存在一点D (4,0)，使得x 轴平分∠ADB .。
高考数学三轮增分练 高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)理
(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值． 解 (1)由已知，得a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3， 此时方程①的解为x ＝2， 所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2,1)．(2)由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m 3，y ＝1＋2m3，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3，|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1， 同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m3－x 2.所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3x 1＋x 2＋x 1x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.2．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．3．(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.因此任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围为(0，22]． 4．(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．(1)证明 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以 AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.。
(全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)文
(二）直线与圆锥曲线(2）1．（2018·威海模拟）已知抛物线C:y2＝2px(p>0）的焦点F，直线y＝4与y轴的交点为P,与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2｜PQ|.(1）求p的值；(2)已知点T（t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点,且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－错误!,证明直线MN恒过定点,并求出定点的坐标．解（1）设Q(x0,4)，由抛物线定义知｜QF｜＝x0＋错误!，又|QF｜＝2｜PQ|,即2x0＝x0＋错误!,解得x0＝错误!，将点Q错误!代入抛物线方程，解得p＝4.(2)由(1)知，C的方程为y2＝8x，所以点T坐标为错误!，设直线MN的方程为x＝my＋n,点M错误!，N错误!，由错误!得y2－8my－8n＝0，Δ＝64m2＋32n〉0.所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n,所以k MT＋k NT＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝－错误!,解得n ＝m －1，所以直线MN 的方程为x ＋1＝m （y ＋1），恒过定点(－1，－1)．2．（2018·南昌模拟）已知动圆C 过点F （1，0），且与直线x ＝－1相切．（1）求动圆圆心C 的轨迹方程E ；(2）已知点P (4,－4），Q (8,4），过点Q 的直线l 交曲线E 于点A ，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2,求证：k 1k 2为定值，并求出此定值．解 （1)设C （x ，y )，由错误!＝错误!，得动圆圆心C 的轨迹方程E 为y 2＝4x ,(2)依题意知直线AB 的斜率不为0,设AB 方程为x －8＝m （y －4），即x ＝my －4m ＋8,设A （x 1,y 1),B （x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y 2＝4x ，x ＝my －4m ＋8，得y 2－4my ＋16m －32＝0,且Δ〉0恒成立,∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝16m －32，∴k PA ·k PB ＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－1(定值)．3．（2018·四省名校大联考）如图，在平面直角坐标系中，已知点F （1,0），过直线l ：x ＝4左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H ，∠HPF 的角平分线交x 轴于点M ,且|PH ｜＝2|MF ｜，记动点P 的轨迹为曲线C .（1)求曲线C 的方程；（2)过点F 作直线l ′交曲线C 于A ，B 两点，设错误!＝λ错误!，若λ∈错误!,求｜AB ｜的取值范围．解 （1）设P （x ,y ），由题意可知｜MF |＝|PF ｜，所以错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!，化简整理得错误!＋错误!＝1，即曲线C的方程为错误!＋错误!＝1.(2)由题意,得直线l′的斜率k≠0，设直线l′的方程为x＝my＋1，由错误!得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0。
高考数学冲刺—圆锥曲线大题压轴汇编解析
圆锥曲线大题压轴汇编1、椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；（3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出12k k +的取值范围；解：（1）2a =，又1c =，∴b ==∴椭圆方程为22143x y +=…4分 （2）直线:1l y x =-+，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得27880x x --=，有1287x x +=，1287x x ⋅=-．………………7分 12121212121212121233222()4144444()162y y x x x x x x k k x x x x x x x x ------+++⋅=⋅=⋅==-----++………………9分 （3）当直线AB 的斜率不存在时，不妨设3(1,)2A ，3(1,)2B -， 则13312412k -==-，13332412k +==-，故122k k +=．…………11分 当直线AB 的斜率存在时，设其为k ，则直线AB ：(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222(43)8(412)0k x k x k +-+-=，有2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+．………………13分 12121212121212121233332(53)()8(3)44444()16y y kx k kx k kx x k x x k k k x x x x x x x x -------+++++=+=+=-----++222222222241282(53)8(3)72(1)43432412836(1)4164343k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅+++++===-+-⋅+++……………16分2、设椭圆M :22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A 、中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥．（1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆M 于,D E 两点，且121k k =，求证：直线DE 恒过一个定点．解：（1）由 AP OP ⊥，可知1AP OP k k ⋅=-，又A 点坐标为(,0),a -故1122111+22a ⋅=---，可得1a =， ……………………………2分因为椭圆M 过P 点，故211+144b =，可得213b =， 所以椭圆M 的方程为22113y x +=． ……………………………4分 （2）AP 的方程为01110122y x -+=--+，即10x y -+=， 由于Q 是椭圆M 上的点，故可设3(cos ,sin )3Q θθ， ……………………………6分所以3cos sin 1312222APQ S θθ∆-+=⨯⨯ ……………………………8分123cos()1436πθ=++ 当2()6k k πθπ+=∈Z ，即2()6k k πθπ=-∈Z 时，APQ S ∆取最大值．故APQ S ∆的最大值为3164+． ……………………………10分 xy法二：由图形可知，若APQ S ∆取得最大值，则椭圆在点Q 处的切线l 必平行于AP ，且在直线AP 的下方． …………………………6分 设l 方程为(0)y x t t =+<，代入椭圆M 方程可得2246310x tx t ++-=，由0∆=，可得t =0t <，故t =． …………………………8分 所以APQ S ∆的最大值1124==． ……………………………10分 （3）直线AD 方程为1(1)y k x =+，代入2231x y +=，可得2222111(31)6310k x k x k +++-=，21213131A D k x x k -⋅=+，又1A x =-，故21211313D k x k -=+，21112211132(1)1313D k k y k k k -=+=++， ………………12分 同理可得22221313E k x k -=+，222213E k y k =+，又121k k =且12k k ≠，可得211k k =且11k ≠±， 所以212133E k x k -=+，12123E k y k =+，112211122211122112231323133(1)313E D DE E D k k y y k k k k x x k k k k k --++===---+-++， 直线DE 的方程为21112221112213()133(1)13k k k y x k k k --=-+++， ………………14分 令0y =，可得22112211133(1)21313k k x k k -+=-=-++． 故直线DE 过定点(2,0)-． ………………16分 （法二）若DE 垂直于y 轴，则,E D E D x x y y =-=，此时221222111133D E D D D E D D y y y y k k x x x y =⋅===++-与题设矛盾． 若DE 不垂直于y 轴，可设DE 的方程为+x ty s =，将其代入2231x y +=，可得222(3)210t y tsy s +++-=，可得22221,33D E D E ts s y y y y t t --+=⋅=++，………12分 又12111(1)(1)D E D ED E D E y y y y k k x x ty s ty s =⋅==++++++， 可得22(1)(1)()(1)0D E D E t y y t s y y s -+++++=， ………………14分故2222212(1)(1)(1)033s tst t s s t t ---++++=++，可得2s =-或1-，又DE 不过A 点，即1s ≠-，故2s =-．所以DE 的方程为2x ty =-，故直线DE 过定点(2,0)-． ………………16分3、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x yN a b.（1）求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程； （2）如果椭圆C 上的点3(1,)2的“伴随点”为13(,)22b，对于椭圆C 上的任意点M 及它的“伴随点”N ，求OM ON 的取值范围； （3）当2a =，b =l 交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 的“伴随点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求OAB ∆的面积．解：（1）解.设N （,x y ）由题意 00x x ay y b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则00x ax y by =⎧⎨=⎩，又2200221(0)x y a b a b +=>> ∴2222()()1(0)ax by a b a b+=>>，从而得221x y +=……………………3分（2）由112a=，得2a =.又221914a b +=，得b =分点00(,)M x y 在椭圆上，2200143x y +=，2200334y x =-，且2004x ≤≤，∴222000002(,)(,224x x OM ON x y x -=⋅=+=由于204->，OM ON的取值范围是2⎤⎦……8分（3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛⎝⎝; 1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+, 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x kmx m +++-=； 有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩① ……10分 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=；整理得:221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ②将①式代入②式得: 22342k m +=,………………………… 12分又点O 到直线y kx m =+的距离d =所以12OAB S AB d ∆==分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)3404m m --⋅=，解得22m =,从而232y = , 综上:OAB ∆的面积是定值,分4、设双曲线Γ的方程为2213y x -= .过其右焦点F 且斜率不为零的直线1l 与双曲线交于,A B 两点, 直线2l 的方程为x t =, ,A B 在直线2l 上的射影分别为,C D (1) 当1l 垂直于x 轴, 2t =-时, 求四边形ABDC 的面积;048,0,043222>=∆>∴>+m m k 2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=3212121=-==∆y y m d AB S OAB(2) 当0t = , 1l 的斜率为正实数, A 在第一象限, B 在第四象限时, 试比较||||||||AC FB BD FA ⋅⋅和1的大小,并说明理由;(3) 是否存在实数(1,1)t ∈- , 使得对满足题意的任意直线1l , 直线AD 和直线BC 的交点总在x 轴上, 若存在, 求出所有的t 的值和此时直线AD 与BC 交点的位置; 若不存在, 说明理由.4、(1) 右焦点的坐标为(2,0)F . 故1:2l x =. （1分）联立222,13x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得3y =±. 故||6AB =, （3分） 又||4AC =, 故四边形ABDC 的面积为24. （4分）(2) 设1l 的方程为2x my =+, 这里0m >. 将1l 的方程与双曲线方程联立, 得到223(2)30my y +--=, 即22(31)1290m y my -++=. （6分）由120y y <知2310m -<, 此时,||||||||||||||||||||A B B A x y AC FB AC BF BD FA BD AF x y ⋅=⋅=⋅==⋅（8分）由于212031A B my y m -=+>-, 故0A B y y >->, 即||||0A B y y >>, 故2211A B y y <. 因此||||1||||AC FB BD FA ⋅<⋅.（10分） (3) 设直线:2AB x my =+, 与2213y x -=联立得 22(31)1290m y my -++=. (有两交点表示m ≠) 设(,)A A A x y , (,)B B B x y , 则(,)A C t y , (,)B D t y .,A B x x 的绝对值不小于1, 故A x t ≠, 且B x t ≠. 又因直线斜率不为零, 故A B y y ≠.直线AD的方程为B A B A y y x ty y x t--=--. 直线BC 的方程为A B A B y y xty y x t--=--. （12分） 若这两条直线相交在x 轴上, 则当0y =时, 两方程的x 应相同, 即()()B A A B A B B Ay x t y x t x t t y y y y ----=+=+--.故(2)(2)0A B B A y my t y my t +-++-=,即2(2)()0A B A B my y t y y +-+=. （14分） 现2931A B y y m =-, 21231A B my y m +=--, 代入上式, 得1812(2)0m t m --=对一切33m ≠±都成立. 即182412t =-, 12t =. （16分） 此时交点的横坐标为()B A A By x t x t y y --=+-2()(2)(2)11125222224A B BB A A B A B ty y t y my t t y y y y y -+--+--=+=+=+=---. （18分） 综上, t 存在, 12t =, 此时两直线的交点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭.5、已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值； （3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()1,n k =，求∆AOB 面积的最大值.【解】（1）232=+=m PC ，解得1±=m ………1分，所以点()0,1±P ………2分由于122=-=b a c ，………3分故Γ的焦点为()0,1±，所以P 在Γ的焦点上………4分.（2）设()y x D ,，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41322x y ………5分()324122222++-=+-=m mx x y m x PD （其中22≤≤-x ）………7分 对称轴m x 4=0>，所以当2-=x 时，PD 取到最大值3，………8分 故9442=++m m ，即0542=-+m m ，解得5-=m 或1=m ………9分 因为0>m ，所以1=m .………………10分（3）l :03=+-ky x ,………11分,将直线方程与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1340322y x ky x ，消去x 得，()03364322=--+ky y k ………12分 其中0>∆恒成立。
2022届高考数学二轮专题：直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系1．若直线:2l y kx 与曲线22:6(0)C x y x 交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A．,33B．0,3C．3D．,13【答案】D【解析】因为22:6(0)C x y x 表示双曲线226x y 的右支，由2226y kx x y消去y 得 2226x kx ，整理得 2214100k x kx ，设直线:2l y kx 与曲线22:6(0)C x y x 的两交点为 11,x y ， 22,x y ，其中1>0x ，20x ，则1221222100140110x x k kx x k k，解得1k ，又22164010Δk k，解得33k，综上：13k，故选D．2．设双曲线222:1(0)4x C y a a与直线:1l x y 相交于两个不同的点A ，B ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（）A．)B．)2 UC．,2D．2【答案】B【解析】 222222211488041x y a x a x a a x y ，所以 24221406448140a Δa a a ，2214120a a a，6)2e U ，故选B．3．（多选）已知双曲线22:1916x y C ，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于A ，B 两个不同的点，则下列判断正确的为（）A．AB 的最小值为323B．以F 为焦点的抛物线的标准方程为220y x C．满足2AB 的直线有3条D．若A ，B 同在双曲线的右支上，则直线l 的斜率44,,33kU 【答案】BD【解析】选项A．当直线l 的斜率为0时，A ，B 两点分别为双曲线的顶点，则26AB a 又3263，故选项A 不正确；选项B． 5,0F ，则以F 为焦点的抛物线的标准方程为220y x ，故选项B 正确；选项C．当A ，B 两点同在双曲线的右支时（通经为最短弦），则223223b AB a ，此时无满足条件的直线；当A ，B 两点分别在双曲线一支上时（实轴为最短弦），则262AB a ，此时无满足条件的直线，故选项C 不正确；选项D．过右焦点F 分别作两渐近线的平行线12,l l ，如图，将1l 绕焦点F 沿逆时针方向旋转到与2l 重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点，此时直线l 的斜率43k 或43k ，故选项D 正确，故选BD．4．已知在平面直角坐标系中，直线(0)y kx m k 既是抛物线24x y 的切线，又是圆22(1)1x y 的切线，则m _______．【答案】3【解析】联立y kx m 与24x y ，可得2440x kx m ，因为直线与抛物线相切，故216160Δk m ，即20k m ，因为直线y kx m 与圆 2211x y 相切，故可得圆心 0,1到直线的距离1d ，1 ，解得0m （舍）或3 ，故答案为3 ．5．已知斜率为13 的直线与椭圆22+197x y 相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________．【答案】2222【解析】设直线AB 的方程为13y x t，由2213+197y x t x y 消去y 并化简得22869630x tx t ，设 1122,,,A x y B x y ，1234x x t ，2129638t x x ，2236329630Δt t，解得t 12328x x t ， 1212121211373226648x x t y y x x t t t t．由于MA MB ，所以M 是AB 垂直平分线与y 轴的交点，AB 垂直平分线的方程为73388y t x t，令0x ，得14y t ，由于t1242t，也即M 的纵坐标的取值范围是2222 ，故答案为2222．6．若线段1(11)x y x 与椭圆22(0)32x y k k 没有交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】105k或73k 【解析】Q 线段1(11)x y x 与椭圆22(0)32x y k k 没有交点，线段1(11)x y x 在椭圆的内部或外部，线段1(11)x y x 在椭圆的内部时，131432k k，73k ；线段1(11)x y x 在椭圆的外部时，线段包含了所在直线在第一象限的部分，而椭圆的中心是原点，因此线段所在直线与椭圆无公共点，1y x 代入2232x y k可得256630x x k ， 3620630Δk ，0k Q ，105k ，综上所述，105k 或73k ，故答案为105k 或73k ．7．已知椭圆C的离心率2e，长轴的左右端点分别为 1A，2A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx b 与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x 相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点 1,0N ．【答案】（1）2212x y ；（2）证明见解析．【解析】（1）Q 椭圆长轴端点在x 轴上， 可设椭圆方程为 222210x y a b a b ，由题意可得22222a b c c e a a，解得11a b c ，椭圆C 的方程为2212x y ．（2）由2212x y y kx b，得 222124220k x kbx b ，Q 曲线C 与直线l 只有一个公共点， 228120Δk b ，即2221b k ，设 ,P P P x y ，则22422212P kb kb kx b b k，222221p P k b k y kx b b b b b ，21,k P b b；由2y kx b x，得22x y k b，即 2,2Q k b ，1,0N Q ，211,k NP b b u u u r ， 1,2NQ k b u u ur ，2210k k bNP NQ b b u u u r u u u r ，即NP NQ ⊥，以PQ 为直径的圆恒过定点 1,0N ．8．已知中心为坐标原点，关于坐标轴对称的椭圆C 经过点31,2M，,13N．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过椭圆C 的左焦点1F 交椭圆于A B 、两点，若95OA OB u u r u u u r ，求直线l 的方程．【答案】（1）椭圆C 的方程为22143x y ；（2）直线l0y或0y ．【解析】（1）设椭圆C 的方程为 2210,0,mx ny m n m n ，31,2M Q，,13N 在椭圆C 上，914813m n m n ，1413m n， 椭圆C 的方程为22143x y ．（2）由（1）可知：椭圆C 的左焦点 11,0F ，设直线l 的方程为 1y k x ，由221143y k x x y ，联立得 22223484120k x k x k ，Q 直线l 交椭圆于A B 、两点， 222284344120Δkk k ，设 1122,,A x y B x y 、，2122834k x x k ，212241234k x x k，又 111y k x Q ， 221y k x ，2212121212111y y k x x k x x x x ，222212222412891343434k k k y y k k k k，95OA OB u u r u u u r Q ，121295x x y y ，222241299=34345k k k k，k 直线l的方程为 1y x0y0y ．2．与圆锥曲线有关的弦长面积问题1．已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b的左､右焦点分别为1F ，2F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF ，则渐近线l 的方程为___________．【答案】2y x【解析】令双曲线的半焦距为c ，则2(,0)F c ，由双曲线对称性知，不妨令直线l 的方程为b y x a，则过点2F 且与l 平行的直线的方程为()by x c a，由2222()1b y x c a x y a b 消去y 并整理得222cx c a ，解得点M 的横坐标为222a c x c，于是得222222||||222a c c c a b MF c c a c a，2122b MF MF a ，由双曲线定义知122MF MF a ，因此有222b a a，即2ba ，所以渐近线l 的方程为2y x ，故答案为2y x ．2．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x 的焦点，P 为C 上一点，若4PF ，则POFV的面积为______．【答案】【解析】由题意，抛物线C 的焦点为 1,0F ，准线方程为1x ，由4PF ，设(,)P x y ，则14x ，3x ，所以y ，即点P 的坐标为 3, ，则POF V 的面积为112S故答案为3．设抛物线2:8E y x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过弦AB 的中点M 作E 的准线的垂线，与抛物线E 交于点P ，若72PF ，则AB ______．【答案】14【解析】Q 抛物线方程为28y x ，4p ，抛物线焦点为 2,0F ，准线为:2l x ，设 11,A x y ， 22,B x y ，由722PF知，直线AB 的斜率存在且不为0，如图，设直线AB 方程为 2y k x ，代入抛物线方程消去y ，得22224840k x k x k ，212122484k x x x x k ，Q 过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P ，设P 点的坐标为 00,x y ，可得 01212y y y， 112y k x Q ， 222y k x ，21212248844k y y k x x k k k k k ，得04y k ，022x k，得224,P k k，27PF Q ，27 ，解得243k ，21224810k x x k ，12||10414AB x x p ，故答案为14．4．抛物线2:2C y px 的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为K ，P 为准线上一点，线段PF与抛物线交于M 点，若PKF △是斜边长为的等腰直角三角形，则MF （）1C．4D．4 【答案】D【解析】∵PKF △是斜边长为的等腰直角三角形，∴2KF ，过M 作MN 垂直准线于N 点，则MN MF ，∴MN PMKF PF，即2MN 4MN 故选D．5．倾斜角为135°的直线l 与抛物线28y x 相切，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，过A ，B 两点的最小圆截抛物线28y x 的准线所得的弦长为（）A．4B．2C．【答案】B【解析】由题可设直线的方程:l y x t ，由28y x t y x，得2880y y t ，∴ 28480Δt ，解得2t ，∴:2l y x ，令0y ，得2x ；令0x ，得2y ，即 2,0,0,2A B ，∴过A ，B 两点的最小圆即以A ，B 为直径的圆，其圆心为 1,1 ，半径为，方程为 22112x y ，又抛物线28y x 的准线为2x ，∴过A ，B 两点的最小圆截抛物线28y x 的准线所得的弦长为2 ，故选B．6．过抛物线24y x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，且16||3AB ．若AF tFBu u u r u u r （其中1t ），则t 的值为（）A．32C．2D．3【答案】D【解析】抛物线24y x 的焦点(1,0)F ，依题意，直线AB 不垂直于坐标轴，设直线():1y k A x B ，由2(1)4y k x y x消去y 并整理得2222(24)0k x k x k ，而0k ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有121x x ，又1216||||||113AB AF BF x x，即12103x x ，因AF tFB u u u r u u r ，且1t ，即||||AF BF ，则有12x x ，解得1213,3x x ，又1122(1,)(1,)x y t x y ，于是得121(1)x t x ，1213131113x t x ，所以t 的值为3，故选D．7．已知1F ，2F 分别为双曲线221916x y 的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线2PF，则12PF F △的内切圆的面积为（）A．4 B．12 C．8 D．16【答案】B【解析】设 00,P x y ，由题意知 25,0F ，直线2PF，则直线2PF的方程为5)y x，∴ 2200351916x x ，化简整理得200112708190x x ，即 001139210x x ，∴021x 或03911x （舍去），即P ，∴232PF ，138PF ，设12PF F △的内切圆的圆心为Q ，半径为r ，连接1QF ，2QF ，QP ，则由121122PF F PQF QF F PQF S S S S △△△△，得 12012121122F F y PF PF F F r ，∴1110(323810)22r，得r ，（利用等面积法求内切圆的半径）故12PF F △的内切圆的面积为12 ，故选B．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为（）3B．25D．3【答案】B【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b的左焦点 1,0F c 、右焦点 2,0F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a，可得直线2AF 的方程为 by x c a，由 22221b y x c ax y a b，可得 222222a c x c b a c y ac，即 2222,22b a c a c A c ac ，设1AF m ，2AF n ，可得 1212121211223AF F A bS F F y F F AF AFV ，即 2211222223b c a bc c m n ac，整理可得 2232c a c m n a ，即2332c m n a c a，由双曲线的定义可得2m n a ，所以23522c n a c a ，设直线2AF 的倾斜角为 ，在12AF F △中， 22sin 2b c a n ac，tan b a，22sin cos 1 ，所以sin，所以222222222sin 222b c a b c a b c a c c a n ac ac b ac b a，所以22235222c c a a c a a，整理可得2220a ac c ，解得2a c 或a c （舍），所以双曲线的离心率为2ce a，故选B．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率3e ，椭圆的右焦点到直线0x y 的距离是4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆的上顶点A 的直线l 与该椭圆交于另一点B ，当弦AB 的长度最大时，求直线l 的方程．【答案】（1）221124x y ；（2）2y x 或2y x ．【解析】（1）因为椭圆的右焦点到直线0x y 的距离是4，4，∴c ，又因为离心率3c e a，所以a ，2224b a c ，∴椭圆方程为221124x y ．（2）当直线l 的斜率不存在时，||4AB ；当直线l 的斜率存在时：设直线l 的方程为2y kx ，联立2221124y kx x y，得 2213120k x kx ，∴10x ，221213k x k，∴21AB x ，令 2131t kt ，∴2222221441442111,1913k AB kt t t k，∴114t时，4t ， 22144211,19AB t t t 取得最大值，即1k 时，2AB 最大为18，即AB最大为，∴直线l 的方程为2y x 或2y x ．10．已知抛物线 2:20x py p 的焦点F 与双曲线22221y x 的一个焦点重合．（1）求抛物线 的方程；（2）过点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线 于A ，C 两点，过A ，C 作l 的垂线分别与y 轴交于B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）24x y ；（2）12839．【解析】（1）解：双曲线方程22221y x 化为标准方程是2211122y x ，其焦点坐标为 0,1， 0,1 ，因为抛物线 2:20x py p 的焦点F 与双曲线22221y x 的一个焦点重合，所以 0,1F ，12p，2p ，故抛物线 的方程为24x y ．（2）设直线 :10AC y kx k ，代入抛物线方程得2440x kx ，设点211,4x A x ，222,4x C x，则124x x k ，124x x ，直线 2111:4x AB y x x k ，所以点2110,4x x B k ，同理可得2220,4x x D k ，所以四边形ABCD 的面积221212121211224x x x x S BD x x x x k22221212811118124k x x x x k k k kk，由抛物线的对称性，只需考虑0k 的情形，则22381182k S k k kk，所以 2222283111832k k S k k k，令0S，得33k，当303k时，0S；当33k 时，0S ，所以当3k时，四边形ABCD 的面积最小，最小值为9．11．已知动圆M 过定点 4,0N ，且截y 轴所得弦长为8，设圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若,A B 为曲线C 上的两个动点，且线段AB 的中点P 到y 轴距离4d ，求AB 的最大值，并求此时直线AB 方程．【答案】（1）28y x ；（2）12，240x ．【解析】（1）解：设动圆圆心 ,M x y ，化简整理得28y x ，故曲线C 的轨迹方程为28y x ．（2）解：设直线AB 方程为x my n ， 1122,,,A x y B x y ，由28x my n y x消去x 得2880y my n ，所以264320Δm n ，220m n ，128y y m ，128y y n ，22121244,4422P x x y y x m n m n n m，222420Δm n m ，22m，12AB y y12，当且仅当2212m m ，即212m （满足22m ）时，|AB |取得最大值12，此时2m，2n，直线AB 方程为240x ．12．已知椭圆 2222:10x y C a b a b的焦距为1M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OM 平分，求AOB V （O 为坐标原点）面积的最大值．【答案】（1）221164x y ；（2）4．【解析】（1）由题意知2222212112a b c a b c，解得22164a b ，所以椭圆C 的方程为221164x y．（2）因为点M 的坐标为1，所以直线OM 的方程为y设 11,A x y ， 22,B x y ，AB 的中点 00,R x y，则0y ．因为A ，B 两点都在椭圆C 上，所以2211222211641164x y x y ，两式相减可得222221210164x x y y ，则0121212120241316422AB x y y x x k x x y y y．所以可设直线l的方程为2y x m，联立2221164y x m x y，整理得2240x m ，则222344160Δm m m ，解得44m，12x x ，2124x x m ，所以AB原点O 到直线l的距离d，所以 2216111122222AOBm m S AB d m △4 ，当且仅当2216m m ，即m 所以AOB V 面积的最大值为4．13．已知椭圆 2222:10x y E a b a b 的左、右焦点分别为1F ，2F ，31,2P是E 上一点，且1PF 与x 轴垂直．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点2F 的直线l 与E 交于A 、B 两点，点 0,1M ，且2MAF V 的面积是2MBF △面积的2倍，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y ；（2） 12y x ．【解析】（1）解：因为1PF 与x 轴垂直，所以 11,0F ， 21,0F ，且1c ，则123242a PF PF ，即2a ，所以b 故E 的方程为22143x y ．（2）解：由题意，得22AF BF ，当l 与x 轴重合时，23AF ，21BF ，从而2MAF V 面积是2MBF △面积的3倍，此时不适合题意；当l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1x ty ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立2213412x ty x y，得 2234690t y ty ，由题意，得222363634440Δt t t ，且122634t y y t，122934y y t ，由2MAF V 的面积是2MBF △面积的2倍，得222AF F B u u u r u u u r，所以122y y ，所以22634t y t，2229234y t ，即2226923434t t t ，解得245t ，所以直线l 的方程为 12y x．14．已知椭圆 2222:10x y G a b a b的焦距为4，点 在G 上．（1）求椭圆G 的方程；（2）过椭圆G 右焦点F 的直线l 与椭圆G 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若:3:1OMF ONF S S △△，求直线l 的方程．【答案】（1）22184x y ；（2）20x y ．【解析】（1）解：椭圆 2222:10x y G a b a b的焦距是4，所以焦点坐标是 2,0 ， 2,0，因为点 在G 上，所以2a，所以a 2b ，所以椭圆G 的方程是22184x y ．（2）解：显然直线l 不垂直于x 轴，可设l 的方程为 2y k x ， 11,M x y ， 22,N x y ，将直线l 的方程代入椭圆G 的方程，得2222218880k x k x k ，则2122821k x x k ，21228821k x x k ．因为:3:1OMF ONFS S △△，所以3MF FN u u u r u u u r，则 12232x x ，即2138x x ，由2122821k x x k ，得2124421k x k ，2224421k x k ．所以222222444488212121k k k k k k ，解得21k ，即1k ，所以直线l 的方程为20x y ．。
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压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二)
1． 已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．
解 (1)直线x ＋ky －3＝0经过定点F (3,0)，即点F (3,0)是椭圆C 的一个焦点．
设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)， 因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8，
所以a ＋3＝8，即a ＝5.
所以b 2＝a 2－32＝16.
所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216
＝1. (2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m 225＋n 216＝1， 即n 2＝16－16m 225
(－5≤m ≤5)． 所以原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离
d ＝1m 2＋n 2＝1925
m 2＋16<1. 所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交，
L 2＝4(r 2－d 2)＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1925m 2＋16. 因为－5≤m ≤5，所以152≤L ≤465
. 2． 已知点A 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称．线段AF 2的中垂线m 分别与AF 1、AF 2交于M 、N 两点．
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
解 (1)由题意得，F
1(－3，0)，F 2(3，0)，圆F 1的半径为4，
且|MF 2|＝|MA |.
从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MA |＝|AF 1|＝4>|F 1F 2|.
∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中长轴2a ＝4，得a ＝2，焦距2c ＝23，则短半轴b ＝1，
∴点M 的轨迹方程为x 24
＋y 2＝1. (2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，
x 2＋4y 2－4＝0
消去y 得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，
且x 1＋x 2＝－8km
1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2. 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.
因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，
所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2， 即－8k 2m 2
1＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12
. 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0，得0<m 2<2且m 2≠1.
S △OPQ ＝12
|x 1－x 2||m |＝m 2(2－m 2)， 所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．
3． 如图，已知点A (1，2)是离心率为2
2的椭圆C ：x 2b 2＋y 2
a
2＝1(a >b >0) 上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、
D 三点互不重合．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存
在，请说明理由．
(3)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．
(1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，1b 2＋2a
2＝1，a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，
所以椭圆C 的方程x 22＋y 2
4
＝1. (2)解 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，
所以Δ＝－8m 2＋64>0⇒－22<m <22，
x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44
. 所以|BD |＝1＋(2)2|x 1－x 2|＝62
·8－m 2. 设d 为点A 到直线BD ：y ＝2x ＋m 的距离，所以d ＝
|m |3. 所以S △ABD ＝12|BD |·d ＝24
·(8－m 2)m 2≤2，当且仅当8－m 2＝m 2，即m ＝±2时取等号． 因为±2∈(－22，22)，所以当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2.
(3)证明 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ，
则k AD ＋k AB ＝
y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1
，(*) 将(2)中①、②式代入(*)式，
整理得22＋m ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 即k AB ＋k AD ＝0.
4． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝22，|AB |的最小值为2.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若圆：x 2＋y 2＝23
的切线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，问OP →与OQ →是否垂直？若垂直，请给出证明，若不垂直，请说明理由．
解 (1)设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，F (c,0)(c 2＝a 2＋b 2)，
则|AF |＋|BF |＝2a ＝22，∴a ＝ 2.
|AB |＝
(2x 0)2＋(2y 0)2＝2 x 20＋⎝⎛⎭⎫1－x 2
0a 2b 2 ＝2 b 2＋c 2x 20a 2， ∵0≤x 20≤a 2，
∴|AB |min ＝2b ＝2，∴b ＝1.
所以椭圆E 的方程为x 22
＋y 2＝1. (2)由题设条件可知直线的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .
l 与圆x 2＋y 2＝23
相切， ∴|m |1＋k 2
＝63，∴m 2＝23(k 2＋1)．
把l 的方程y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1中得：
(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， Δ＝8(2k 2＋1－m 2)>0，令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝－4km
1＋2k 2 ① x 1x 2＝2m 2－2
1＋2k 2 ② y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2
③
OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝3m 2－2k 2
－2
1＋2k 2＝0， ∴OP →⊥OQ →.。