【创新设计】(江苏专用)高考数学二轮总复习 常考问题 集合与常用逻辑用语 文
高考数学(理科)二轮复习【专题1】集合与常用逻辑用语(含答案)
第1讲集合与常用逻辑用语考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．1．集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．4．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．5．基本逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．6．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川改编)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.(2)(2013·广东改编)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是________．①(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S；②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；③(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S；④(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1){－1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}．(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则M∩N＝________.(2)(2013·山东改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津改编)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件．(2)(2014·江西改编)下列叙述中正确的是________．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β.思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．答案(1)充要(2)④解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|.(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，①错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，②错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，③错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．(2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案(1)若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数(2)充分不必要解析(1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log3M>log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M>N；当M>N 时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义．故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件．热点三逻辑联结词、量词例3(1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，sin x<x，则下列命题正确的是________．①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p ∧(綈q )是真命题 ④命题p ∨(綈q )是假命题(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是_________________________________________________________________．思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围．答案 (1)③ (2)[1，＋∞)解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故③正确．(2)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②，得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是________．①p 真q 假 ②p 假q 真③“p ∧q ”为假 ④“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)③ (2)(1，＋∞)解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝________.答案{2}解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．2．(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q②綈p∧綈q③綈p∧q④p∧綈q答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故④为真命题．押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.2．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是________．答案 ②解析 命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．3．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x ＋210－x≥0，得－2≤x <10，即p ：－2≤x <10； 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3， 又m <0，所以实数m 的取值范围是－3≤m <0.(推荐时间：40分钟)1．(2014·陕西改编)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1)解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为_______________________________________________________________． 答案 13解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________．答案 7解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的________条件．答案 必要不充分解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件．5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是________． 答案 ∀x ∈(0，π2)，使得cos x >x 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”．6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的________条件． 答案 充要解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充要条件．7．(2013·湖北改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝________.答案 {x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是_________________________________________________________________．答案 2解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1消去y 得x 2＋x ＝0， 由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有2个元素．9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案 ③解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.答案 (1，＋∞)解析 由x (x －1)≥0可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1，则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________.答案 －4解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.答案 1解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0,1)，因为(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.。
届高考数学(文科江苏专版)大二轮专题复习第三篇 1集合与常用逻辑用语精品PPT课件
C．直角三角形
D．钝角三角形
要点回扣
第三篇 1
2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集
合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝
本 lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点
讲
栏 集．
目
开 [问题 2] 集合 A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则
本
讲 [问题 6] 已知实数 a、b，若|a|＋|b|＝0，则 a＝b.该命题的
栏
目 否命题和命题的否定分别是________________．
开
关 答案 否命题：已知实数 a、b，若|a|＋|b|≠0，则 a≠b；
命题的否定：已知实数 a、b，若|a|＋|b|＝0，则 a≠b
要点回扣
第三篇 1
7．在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改
成“且”．
本
讲 [问题 7] 若“x2－3x－4>0，则 x>4 或 x<－1”的否命题是
栏 目
__若__x_2_－__3_x_－__4_≤__0，__则__－__1_≤__x_≤__4______．
开
关
要点回扣
第三篇 1
8．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能
推出 A，且 A 不能推出 B；而“A 是 B 的充分不必要条件”
本 讲 栏 目 开 关
要点回扣
1．集合与常用逻辑用语
第三篇 1
1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集
本
合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
讲 栏
[问题 1] 集合 A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个
(江苏专用)高考数学总复习 (基础达标演练+综合创新备选)第一篇 集合与常用逻辑用语《第2讲 命题
2023高考总复习江苏专用（理科）：第一篇 集合与常用逻辑用语《第2讲 命题及其关系、充要条件》（根底达标演练+综合创新备选，含解析）A 级 根底达标演练 (时间：45分钟 总分值：80分)一、填空题(每题5分，共35分)1．命题：“假设x 2＜2，那么|x |＜2”的逆否命题是________________． 解析 “假设p 那么q ”的逆否命题是“假设綈q 那么綈p ”． 答案 假设|x |≥2，那么x 2≥22．“x ＞2”是“x 2＞4”的________条件． 解析 由x 2＞4，得x ＜－2或x ＞2.所以由“x ＞2”可推出“x 2＞4”，反之不成立． 答案 充分不必要3．(2023·山东省济南外国语学校检测)“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的________条件．解析 设A ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |x (x －3)＜0}＝{x |0＜x ＜3}，因为B A ，所以应填必要不充分条件．答案 必要不充分4．设x ，y ∈R 那么“x ＞y ＞0”是“xy＞1”的________条件． 解析 由x y ＞1⇒x －yy＞0⇒x ＞y ＞0或x ＜y ＜0. 因此“x ＞y ＞0”能推断“x y＞1”，反之不成立． 答案 充分不必要5．设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，那么“x ＝2”是“a ∥b ”的________条件”． 解析 由a ∥b ⇒1×3－(x －1)(x ＋1)＝0⇒x 2＝4⇒x ＝±2.所以“x ＝2”可推出“a ∥b ”，反之不成立． 答案 充分不必要6．(2023·山东省菏泽市测试)已知a ，b ∈R ，那么“log 3a ＞log 3b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b”的________条件．解析 log 3a ＞log 3b ⇒a ＞b ＞0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b，但⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b⇒a ＞b ，不一定有a ＞b ＞0. 答案 充分不必要7．(2023·山东省莱芜市检测)在锐角△ABC 中，“A ＝π3”是“sin A ＝32”成立的________条件．解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝π3⇔sin A ＝32.答案 充要二、解答题(每题15分，共45分)8．给出以下四个条件：①ab ＞0；②a ＞0或b ＞0；③a ＞0且b ＞0；④a ＋b ＞1，其中可以看作“假设a ，b ∈R ，那么a ＋b ＞0”的一个充分不必要的条件有哪些？并说明理由． 解 ①取a ＝b ＝－1，ab ＞0，但a ＋b ＜0；②取a ＝1，b ＝－2，但a ＋b ＜0，所以①②不符合题意，③a ＞0且b ＞0⇒a ＋b ＞0，反之不成立．④a ＋b ＞1⇒a ＋b ＞0，反之不成立，所以③④符合题意．9．设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x －2＜0，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －ax －a 2－2＜0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，假设q是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}， 因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，A ⊆B ， 从而有a ≤1且a 2＋1≤2，解得a ≤－1或a ＝1， 所以a 的取值范围是{1}∪{a |a ≥－1}．10．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R . 假设a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 问：这个命题的逆命题是否成立，并给出证明．解 逆命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 假设f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0”． 该命题是真命题，证明如下：法一 (利用原命题的逆命题与否命题等价证明)： 假设a ＋b ＜0，那么a ＜－b ，b ＜－a ， 因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )， 因此f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，因为原命题的逆命题与它的否命题等价，所以该命题正确． 法二 (用反证法给出证明)：假设a ＋b ＜0，那么a ＜－b ，b ＜－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )， 因此f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，该命题正确．B 级 综合创新备选(时间：30分钟 总分值：60分)一、填空题(每题5分，共30分)1．a ，b 是非零向量，“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数“是a ⊥b ”的________条件． 解析 因为a ，b 是非零向量，所以f (x )＝a 2·x 2＋2a ·b x ＋b 2是偶函数的充要条件是a ·b ＝0，即a ⊥b . 答案 充要条件2．(2023·山东省实验中学测试)设p ：x 2－x －20＞0，q ：1－x2|x |－2＜0，那么p 是q 的________条件．解析 p ：x 2－x －20＞0⇒x ＜－4或x ＞5.q ：1－x2|x |－2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＜0，|x |－2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x |－2＜0⇒x ＜－2或－1＜x ＜1或x ＞2，那么p ⇒q ，q /⇒p ，p 是q 的充分不必要的条件．答案 充分不必要条件3．(2023·泰州质检)已知p ：“⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2”，q ：“x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)”．假设綈p 是綈q 的必要而不充分条件．那么实数m 的取值范围是________．解析 由p 可得x 的取值是－2≤x ≤10，令集合A ＝{x |－2≤x ≤10}．q ：(x －1)2≤m 2，所以1－m ≤x ≤1＋m ，令集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以綈q ⇒綈p ，且綈p ⇒/ 綈q . 由于原命题与逆否命题真假性相同，所以p ⇒q ，q ⇒/ p ，即p 是q 的充分而不必要条件，即集合A B . 故1－m ≤－2且1＋m ≥10，又m >0，所以m ≥9. 答案 [9，＋∞)4．(2023·山东卷改编)设{a n }是等比数列，那么“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的________条件．解析 {a n }为等比数列，a n ＝a 1·qn －1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1q <a 1q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1，那么数列{a n }为递增数列．反之也成立． 答案 充分必要5．(2023·南通调研)设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4(k ∈N *)．以下四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)解析 圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4的圆心坐标为(k －1,3k )，那么圆心在直线3x －y ＋3＝0上，由k ＝1,2,3可作图观察出所有圆都与y 轴相交，即(k －1)2＋(y －3k )2＝2k 4关于y 的方程有解；所有圆均不经过原点，即关于k 的方程(k －1)2＋9k 2＝2k 4，即2k 4－10k 2＋2k －1＝0，没有正整数解，因此四个命题中②④正确． 答案 ②④6．(2023·湖北改编)记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫ab ，bc ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫ab ，bc ，c a ，那么“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的________条件．解析 假设△ABC 为等边三角形，那么max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1，∴l ＝1. 令a ＝b ＝4，c ＝5，那么max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝54，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝45，所以l ＝1.答案 必要而不充分二、解答题(每题15分，共30分)7．已知a ＞0，设p ：不等式x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为∅，q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．解 “x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为∅”等价于“x 2＋2ax ＋a ≥0的解集为R ”，所以当p 成立，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤1.又a ＞0，∴0＜a ≤1“不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ”等价于： 法一 函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为1.∵x ＋|x －2a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，∴函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为2a ， 于是由2a ＞1，得a ＞12.法二 |x －2a |＞1－x 恒成立，即y ＝|x －2a |的 图象恒在y ＝1－x 图象的上方，如下图， 得2a ＞1，所以a ＞12.如果p 正确q 不正确，那么0＜a ≤12；如果p 不正确q 正确，那么a ＞1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)． 8．(2023·北京东城模拟)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，假设S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，那么a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． (1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．解 (1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，假设a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，那么S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2·a 1·qm ＋1＝a 1·qm －1＋a 1·q m.因为a 1≠0，q ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1.显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假． 当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2，S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 1＋12＋a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋11＋12＝43a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2， 故2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．综上所述，当a ＝1时，逆命题为假；当q ＝－12时，逆命题为假．。
江苏高考数学总复习--集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语知识网络考纲要求其中A（了解）：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.B（理解）：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.C（掌握）：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.复习策略在近几年的江苏高考中，集合知识主要考查集合与集合之间的运算，考查中常与其他知识相结合，比如不等式、方程以及函数的性质.逻辑知识重点考查充要条件，考查方式都是出现在解答题的证明或求解的语言叙述中，简单逻辑联结词、命题和新增加的量词近几年没有在小题中出现，它们只是以语言叙述的方式出现在题目中，说明这些了解性知识只是考查其最基本的含义.从上述考纲要求及分析可知，集合每年都以小题形式考查，涉及集合关系和运算，常与其他知识交汇，要学会化简、转化集合.对于充要条件,要理解其概念，要会从“充分”和“必要”两个方面判断.其他知识只要求了解其含义，会处理最基本的问题，无需提高要求.第1课 集合的概念与运算课前热身激活思维1．用“∈”或“∉”填空：3.14___________ Q ；π___________ R ；0___________ N ；-1____________{-2，0}；1.5___________{x |-2<x <3,x ∈Z }. [答案]: ∈,∈,∈,∉, ∉2．（2010·南京市学情分析）设集合A ={x |x ≤1|},B ={x |x ≥-2}，则A ∩B =___________. [答案]: {x |－2≤x ≤1-}3．（2009·全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U M N ð=___________.[答案]: {2，4，8} [解析]M N ={1,3,5,6,7}.4.（2009·浙江卷理改编）设U =R ，A ={x |x >0}，B ={x |x >1}，则()U A B ð=___________.[答案]: {x |0<x ≤1}[解析]因为ðU B ={}1x x ≤,所以A (ðU B )={}01.x x <≤5．（2009·上海卷理）已知集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ≥a }，且A ∪B =R ，则实数a 的取值范围是___________. [答案] (-≦,1］[解析]因为A B =R ,画数轴可知,实数a 必须在点1上或在1的左边,所以,a 1≤.知识梳理1．集合的概念(1) 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2) 集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法等.(3) 集合按所含元素个数可分为:有限集、无限集；按元素特征可分为：数集、点集.(4) 常用数集符号：N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. 2. 两类关系（1） 元素与集合的关系，用∈或()∉∈或表示.（2） 集合与集合的关系，用⊆，或=表示.当A B ⊆时，称A 是B 的子集；当AB 子时，称A 是B 的真子集；当A =B 时，称A是与B 相等的集合，两集合的元素完全相同.3． 集合的运算(1) 全集：如果集合S 含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U 来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集.（2） 交集：由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ={}x x A x B ∈∈且.(3) 并集：由属于A 或属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ={}x x A x B ∈∈或.(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集（或余集），记作A S ð，即A S ð={},x x S x A ∈∉但.4． 常见结论与等价关系(1) 若集合A 中有n （n ∈N +）个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n -2个. (2) A ∩B =A A B ⇔⊆;A ∪B =A A B ⇔⊇.(3)ðU (A ∩B )=()()U U A B 痧，ðU (A ∩B )=()()U U A B 痧.课堂导学知识点1 集合中元素的性质【例1】设a ，b ∈R ，集合{1,a +b ,a }=0,,b b a ⎧⎫⎨⎬⎭⎩，求b -a . ［思维引导］ 本题通过集合相等，考查集合中元素的关系.由于集合中元素性质的无序性,必须分别对应讨论，但从特殊观察上要能抓住关键的元素0进行分析. ［解答］∵a ≠0,∴a +b =0.∴ba=-1. ∴a =-1,b =1.∴b -a =2.［精要点评］本题利用集合元素的互异性与无序性，先找到特殊的元素0及a 处于分母位置作为突破口，从而逐个求出a ,b .因此，我们在处理问题时要注意观察题目的特点. 集合之间的关系2 知识点2 集合之间的关系【例2】已知集合A ={x |－2≤x ≤7}，B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅.若B A ⊆，求m 的取值范围.［思维引导］本题考查集合之间的关系，所给集合是用不等式表示的关于集合的包含关系，从而得知集合之间的元素关系，然后利用数轴来处理.［解答］∵B ⊆A ，且B ≠∅，∴(]12,217,24,2,4.121,m m m m m m +≥-⎧⎪-≤<≤∈⎨⎪+<-⎩得即 ［精要点评］学会利用数轴来处理有关不等式表示的集合关系问题，要注意端点是否取到.【变式拓展】已知集合A ={x |－2≤x ≤7}，B ={x |m +1<x <2m －1}.若A ∪B =A ，求m 的取值范围. ［解答］∵A ∪B=A ，∴B ⊆A .（1） 若B=∅，则m+1≥2m-1，即m ≤2；（2） 若B ≠∅，则12217,2 4.121,m m m m m +≥-⎧⎪-≤<≤⎨⎪+<-⎩得综上所述,(],4.m ∈-∞.知识点3 集合的运算【例3】已知全集U ={x |-1≤x ≤4}，A ={x |x 2-1≤0}，B ={x |0<x ≤3}，求A ∩B ，A ∪B ，ðU A ，(ðU B )∩A .［思维引导］本题主要考查集合的各种运算，首先要把集合A 化成最简单的集合形式，由于都是不等式形式，所以我们可以用数轴的方式进行处理，要注意端点的取舍.［解答］∵A ＝{x |x 2-1≤0}={ x |-1≤x ≤1}， ∴A ∩B={x |0<x ≤1}，A ∪B={x |-1≤x ≤3}，U A ð={x |1<x ≤4}，U B ð={x |-1≤x ≤0或3<x ≤4}.∴()UB ð A ={x |-1≤x ≤0}.［精要点评］对集合进行运算，首先要化简集合，再根据集合的类型选择数轴，或韦恩图，或转化为函数来处理.【变式拓展】（2009·苏、锡、常、镇二模）已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0,x ∈R }，B ={x |x 2-2mx +m 2-4≤0,x ∈R ,m ∈R }．(1) 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值； (2) 若R A B ⊆ð，求实数m 的取值范围．［解答］由已知得：A ={x |-1≤x ≤3}，B={x |m-2≤x ≤m+2}． (1) ∵A ∩B=［0,3］，∴20,23,m m -=⎧⎨+≥⎩∴2,2.1,m m =⎧=⎨≥⎩即m (2) R B ð={x |x <m -2或x >m +2}．∴R A B ⊆ð,∴m -2>3或m +2<-1.∴m >5或m <-3,即∈(),3-∞-()5,.+∞【备讲例题】设A ={x |x 2+4x =0}，B={x |x 2-ax -6a <0}.若A ∩B=A ，求a 的取值范围.［解答］由A ∩B =A ，知A ⊆B . 而A ={0,-4}，令f （x ）=x 2-a x -6a , 得()(0)60,8,8,.(4)16460,f a a f a a =-<⎧>∈+∞⎨-=+-<⎩所以即a规范答题赏析（2009·淄博一模）（本小题满分12分）已知集合A ={x ||x -2|≤a }，B ={x |x 2-5x +4≥0}.若A ∩B =∅，求实数a 的取范围.［规范解答］① 当a <0时，A =∅，显然A ∩B =∅成立.………………………………2分 ② 当a ≥0时，A ≠∅.A ={x |2-a ≤x ≤2+a },……………………………………………4分B ={x |x ≤1或x ≥4},……………………………………………………………………………6分由A ∩B =∅，得21,24,0,a a a ->⎧⎪+<⎨⎪≥⎩……………………………………………………………10分解得0≤a <1.…………………………………………………………………………………11分 综上所述，a 的取值范围为（-∞，1）. …………………………………………………12分［要点反思］ (1) 空集是一种不含任何元素的特殊集合，在解题中很容易被忽视，应引起足够的重视.(2) 分类讨论是一种重要的数学思想，它是思维是否严谨的重要体现.在分类讨论的过程中，要从简单的讨论着手，并注意讨论的完整性，最后更不要忘记总结结论.总结规律1．准确把握集合的有关概念与关系，能熟练地将集合语言、数学语言和图形语言进行转化.在分类讨论时要注意空集的情况，以及在集合关系转化时要特别注意端点.2. 解决集合问题时，一般经历化简、找关系、列式子、解答四个过程，主要思想方法是数形结合思想（利用数轴和韦恩图）、转化思想（转化集合的表达形式或化简问题）和分类讨论思想（把问题分成几个层次来处理）.3. 高考考查本课内容时，往往会涉及其他章节的内容,因此，我们在处理问题时,一定要及时提取其他章节处理问题的方法. 温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第1课时.第2课四种命题与充要条件课前热身激活思维1．(2009·淮安调研)已知集合A={3，m2},B={-1,3,2m-1}.若A B，则实数m的值为___________.[答案]1[解析]由m2=2m-1,得m=1.经验证,满足互异性.2．(2009·重庆卷文)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“___________”.[答案]若一个数的平方是正数，则它是负数[解析]因为一个命题的逆命题是将原命题怕条件与结论进行交换,所以逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”.3．命题“若a>1,则a2>1”的逆否命题是“___________”.[答案]若a2≤1,则a≤1[解析]因为一全命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换并否定，所以其逆命题为“若a2≤1,则a≤1”4．(2009·天津卷文改编)设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的___________条件.[答案]充分不必要[解析]因为x3=x,解得x=0,1或-1.显然条件表示的集合小，结论表示的集合大，所以由集合的包含关系，我们不难得出结论. 5．(2009·安徽卷文)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的___________条件.[答案]必要不充分[解析]当a>b且c>d时，必有a+c>b+d；当a+c>b+d时，可能有a>d且c>b.故填“必要不充分”知识梳理1． 记“若p 则q ”为原命题，则否命题为“若非p 则非q ”，逆命题为“若q 则p ”，逆否命题为“若非q 则非p ”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数个.2． 对命题“若p 则q ”而言，当它是真命题时，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；当它是假命题时，即pq ，p 是q 的非充分条件，q 是p 的非必要条件.3． ① 若p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；② 若pq ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；③ 若p ⇒q ，且q ⇒p ，即p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件；④ 若pq ，且qp ，则p 是q 的即不充分也不必要条件.4． 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).课堂导学知识点1 四种命题及其关系【例１】 写出“若x =3且y =2，则x +y =5”的逆命题、否命题和逆否命题. [思维引导]本题考查四种命题之间的转换，抓住条件与结论时行改写.[解答]逆命题:“若x +y =5，则x =3且y =2”;否命题:“若x ≠3或y ≠2，则x +y ≠5”;逆否命题:“若x +y ≠5，则x ≠3或y ≠2”. [精要点评]四种命题的转换，要抓住“若p ,则q ”的结构时行转换，先写成“若q ,则p ”，其次要注意常见的否定转换. 【变式拓展】写出“有一组对边平行且相等的四边形是菱形”的逆命题、否命题和逆否命题. [解答]将原命题改写成“若一个四边形有一组对边平行且相等，则这个四边形是菱形”. 逆命题:“若一个四边形是菱形，则这个四边形有一组对边平行且相等”； 否命题:“若一个四边形有一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是菱形”； 逆否命题:“若一个四边形不是菱形，则这个四边形有一组对边不平行或不相等”. 【备讲例题】写出“若x 2<1,则-1<x <1”的逆命题、否命题和逆否命题；［解答］逆命题:“若-1<x <1，则x 2<1”；否命题:“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤-1”；逆否命题:“若x ≥1或x ≤-1，则x 2≥1”. 知识点2 充要条件的判定与运用【例2】已知20,:100x p x x ⎧+≥⎧⎫⎪⎨⎨⎬-≤⎩⎭⎪⎩,q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}. (1) 若m =1,则p 是q 的什么条件?(2) 若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.［思维引导］问题(1)考查充要条件的判定,我们需要从“充分”和“必要”两个方面考查,并且用集合方法处理；问题（2）考查充要条件的应用,根据“若p 是q 的充分不必要条件”,得出所对应集合的关系,从而求出实数m 的取值范围.[解答］(1) 因为{20,:210},100x p xx x x ⎧+≥⎧⎫⎪=-≤≤⎨⎨⎬-≤⎩⎭⎪⎩q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}={x |0≤x ≤2},显然{x |0≤x ≤2}{x |-2≤x ≤10}， 所以p 是q 的必要不充分条件. (2) 由(1)知,p:{x |-2≤x ≤10}. 因为p 是q 的充分不必要条件,所以01211012110m m m m m >⎧⎪-≤-⎪⎨+≥⎪⎪-=-+=⎩与不同时相等,解得m ≥9，即m [)9,.∈+∞［精要点评］处理充要性问题，要先化简，再把充要性转化为集合的包含关系，然后再列关系式解之.【变式拓展】 把(2)中“若p 是q 的充分不必要条件”改为“若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”，求m 的取值范围. ［解答一］直接法求出p ⌝={x |x >10或x <-2}，q ⌝={x |x >m+1或x <1-m}.由“⌝p 是q ⌝的必要不充分条件”，01211012x m m m >⎧⎪-≤-⎪⎨+≥⎪⎪-=-⎩得与1+m=10不同时相等解得m ≥9，即[)9,.∈+∞［解答二］先根据互为逆否命题同真假把“若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”转化为“若p 是q 的充分不必要条件”，再用上面的过程解答.【备讲例题】在△A BC 中,“∠A =∠B ”是“cos A =cosB ”的什么条件? ［解答］∠A =∠B ⇒cos A =cosB,反之也成立,所以是充要条件. 知识点3 充要条件的证明【例3】 已知函数f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R ,求证：f (a )+f (b)≥f (-a )+f (-b )的充要条件是a +b ≥0. ［思维引导］本题考查充要条件的证明，涉及到函数的单调性，对充分性与必要性的证明要灵活变化命题. ［解答］(1) 充分性，即已知a +b ≥0，求证:f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）. ∵a +b ≥0, ∴a ≥-b ,b ≥-a .∴f （a ）≥f （-b ）,f （b ）≥f （-a ）. ∴f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）.（2） 必要性，即已知f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ），求证:a +b ≥0. 由于直接证明比较困难，所以可以用反证法. 假设a +b <0, ∴a <-b ,b <-a .∴f （a ）<f （-b ）,f （b ）<f （-a ） ∴f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b )， 与已知矛盾， 所以必要性成立.综合（1）（2），可得f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）的充要条件是a +b ≥0.［精要点评］充要条件的证明需要注意三个方面:（1） 从两个方面来证明，即充分性和必要性;（2） 注意充分、必要的方向;（3） 当直接解答较困难时，可以考虑命题的转化和反证法.规范答题赏析 (2008·江苏卷)(本小题满分12分)若f 1(x )=13x p -，f 2（x ）=2·23x p -，x ∈R ,p 1,p 2为常数，且112212(),()(),()(),()().f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩（1） 求f （x ）=f 1（x ）对所有实数成立的充要条件（用p 1,p 2表示）；（2） 略. ［规范解答］ （1） f （x ）=f 1（x ）恒成立⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔13x p -≤2·23x p -⇔123x p x p ---≤3log 23………………………………………………2分⇔|x -p 1|-|x -p 2|≤log 32.………………………………………………………………………3分因为|x -p 1|-|x -p 2|≤|（x -p 1）-（x -p 2）|=|p 1-p 2|,所以，只需| p 1-p 2|≤log 32恒成立.………5分 综上所述，f （x ）=f 1(x )对所有实数成立的充要条件是| p 1-p 2|≤log 32.…………………6分 (2)略.［要点反思］ 求充要条件即是求其等价条件，注意等价转化.总结规律(1) 写一个命题的其他三个命题时,首先要注意转化为标准的“若p 则q ”的结构，再进行转换;其次要注意否定中的“或”与“且”的转化. (2) 在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论;其次，要从两个方面即“充分”与“必要”分别考查.判定时，对于有关范围的问题可以从集合观点看，如p ,q 对应的范围为集合A ，B ，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(3) 充要条件的证明要注意从两个方面来证明，即充分性和必要性.如果是证不必要，或是不充分，只需要举出特殊例子否定即可. 温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第2课时.第3课 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词课前热身激活思维1． 已知命题p :a ∈M ={x |x 2-x <0}；命题q :a ∈N ={x ||x |<2},则p 是q 的___________条件． ［答案］充分不必要［解析］a ∈M ={x |x 2-x <0}={x |0<x <1}，a ∈N ={x ||x |<2}={x |-2<x <2},所以p 是q 的充分不必要条件.2． (2009·天津卷理改编)命题“0x ∃∈R ,使2x 0≤0”的否定是___________. ［答案］∀x ∈R ，2x >03． 下列是全称命题的有___________.① 末位是0的整数，可以被2整除；② 有些三角形不是等腰三角形； ③ 正四面体中两侧面的夹角相等；④ 有的菱形是正方形. ［答案］①③4． 若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，则下列各结论中正确的是___________. ① 命题“p 且q ”是真命题；② 命题“p 且q ”是假命题； ③ 命题“p 或q ”是真命题；④ 命题“p 或q ”是假命题. ［答案］①③［解析］命题“⌝p 或⌝q ”是假命题，则⌝p 、⌝q 都是假命题，所以p 、q 都是真命题，所以“p 且q ”是真命题，“p 或q ”也是真命题.5． (2009·金陵中学三模）若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是___________． ［答案］［1,2)［解析］x ∈［2,5］或x ∈{x |x <1或x >4}={x |x ≥2或x <1},而“x ∈［2,5］或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，所以x 的取值范围是［1,2). 知识梳理1. 全称量词我们把表示全体的量词称为全称量词.对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称命题.如“对任意实数x ∈M ,都有p （x ）成立”简记成“,()x M p x ∀∈”.2. 存在量词我们把表示部分的量词称为存在量词.对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”“有个”“某个”“有些”“有的”等词，用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在性命题.“存在实数x 0∈M ，使p （x 0）成立”简记成“00,()x M p x ∃∈”.3． 简单逻辑联结词有或（符号为∨），且（符号为∧），非（符号为⌝）. 4． 命题的否定：“,()x M p x ∀∈”与“,()x M p x ∃∈⌝”互否定.5. 复合命题的真假：对p 且q 而言，当q 、p 均为真时，其为真；当p 、q 中有一个为假时，其为假.对p 或q 而言，当p 、q 均为假时，其为假；当p 、q 中有一个为真时，其为真；当p 为真时,p ⌝为假；当p 为假时,p ⌝为真.6． 常见词语的否定如下表所示：课堂导学知识点1 含逻辑联结词命题的判定【例1】已知命题p :对任意实数a ，都有|a |>0;命题q:存在数列{a n }既是等差数列，又是等比数列.试判定“p 或q ”“p 且q ”“p ⌝”“p ⌝”的真假.［思维引导］本题考查复合命题的真假，对于复合命题的真假判定，首先要判定每一个命题的真假，再根据真值表判定复合命题的真假. ［解答］由于当a =0时，命题“对任意实数a ，有|a |>0”是假命题，所以命题p 是假命题.因为数列a n =1既是等差数列，又是等比数列，所以命题q 是真命题.所以“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题、“⌝p ”为真命题、“⌝q ”为假命题.［精要点评］判断命题的真假要注意：全称命题为真要证明，为假时要举反例；存在性命题为真时要举一个例子，为假要证明全称为假.【变式拓展】写出由下述各命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假. (1) p ：连续的三个整数的乘积能被2整除，q ：连续的三个整数的乘积能被3整除. (2) p ：对角线互相垂直的四边形是菱形，q ：对角线互相平分的四边形是菱形. ［解答］（1）p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或3整除; p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2和3整除;⌝p ：连续的三个整数的乘积不能被2整除.∵连续的三个整数中有一个（或两个）是偶数，且有一个是3的倍数， ∴p 真，q 真.∴“p 或q ”与“p 且q ”均为真，而“⌝p ”为假.（2） 根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式. p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形; p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形;⌝p ：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.∵p 假,q 假，∴“p 或q ”与“p 且q ”均为假，而“⌝p ”为真. 【备讲例题】（2009·辽宁卷文改编）有下列4个命题:（1） p 1:∃x ∈（0,+∞）,11;23x x⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） p 2: ∃x ∈（0,1）,12log x >13log x ;(3) p 3:∀ x ∈（0,+∞）,121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭;(4) p 4: ∀x ∈0,13, 131log 3xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭.其中，真命题有_________. ［答案］(2)(4)知识点2 含量词的命题的否定【例2】 写出下列命题的否定形式，并判定其真假. （1） p :不论m 取何实数，方程x 2+x -m =0必有实数根； （2） q :存在一个实数x ，使得x 2+x +1≤0； （3） r :等圆的面积相等，周长相等； （4） s :对任意角α，都有sin 2α+cos 2α=1.［思维引导］ 本题考查命题的否定形式，要分析其是全称命题还是存在性命题，要抓住本质，然后根据其否定形式来判断其真假. ［解答］（1） 否定为“∃m ∈R ，使方程x 2+x -m =0没有实数根”，由于Δ=1+4m <0有解，所以 ⌝p 为真；（2） 否定为“∀x ∈R ，有x 2+x +1>0”，由于x 2+x +1=213024x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以⌝q 为真；（3） 否定为“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识得知，⌝r 为假； （4） 否定为“∃α∈R ，使sin 2α+cos 2α≠1”，由三角知识，显然错误，所以⌝s 为假.［精要点评］要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题，还是存在性命题，注意与否命题区别.对于真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定. 知识点3 命题的真假问题【例3】 已知命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负数根；命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．［解答］240,: 2.0,m p m m ⎧∆=->∴>⎨-<⎩ q:Δ=16（m -2）2-16=16（m 2-4m +3）<0，∴1<m <3． ∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 真，q 假或p 假，q 真．∴21m m >⎧⎨≤≥⎩或1<m 3,或2,13,m m ≤⎧⎨<<⎩故m ≥3或1<m ≤2．即(][)1,23,.m ∈+∞【变式拓展】（2009·通州一模）若命题“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”是真命题，求实数a的取值范围. ［解答］令f（x）=x2+2x+a.先求其否定命题：∀x∈［1,2］,有x2+2x+a<0.即(1)0,3,8.(2)08f aaf a<<-⎧⎧⇒⇒<-⎨⎨<<-⎩⎩所以，所求实数a的取值范围为［-8，+∞）.【备讲例题】若命题“∃a∈［1,3］,使a x2+(a-2)x-2>0”是真命题，求实数x的取值范围. ［解答］令f(a)=a x2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2.先求其否定命题：∀a∈［1,3］,有(x2+x)a-2x-2≤0，即12,(1)0,21.2(3)0313xfxf x-≤≤⎧≤⎧⎪⇒⇒-≤≤⎨⎨≤-≤≤⎩⎪⎩所以，所求实数x的取值范围为（-∞,-1）2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭总结规律1. 判断一个命题是全称命题还是存在性命题时，要抓住其本质含义是全部还是部分，一般我们学过的定理都是全称命题.2．要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真需举一个例子，为假则要证明全称为假.3．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假.4．简易逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简易逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系.温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第3课时.第4课性集合与常用逻辑用语的综合应用课前热身激活思维1．(2009·广州二模)命题“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是___________.［答案］∀x ∈R ，x 2-2x +1≥02． 已知如图，其中A ，B 为全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合（用含有A 、B 、U 的式子表示）为___________.［答案］U ð（A ∪B ）或U UA B痧3． (2009·浙江卷文)“x >0”是“x ≠0”的___________. ［答案］充分而不必要条件［解析］对于“x >0”⇒“x ≠0”,反之不一定成立，因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件． 4． (2009·广州调研)命题“若a >b ，则a -1>b -1”的否命题是___________. ［答案］若a ≤b,则a -1≤b-15． （2009·北京卷文）设A 是整数集的一个非空子集.对于k ∈A ，如果k -1∉A 且k +1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个___________.［答案］6［解析］依题意可知，“孤立元”必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”3个元素的集合一定是相邻的3个数, 因此，符合题意的集合是：{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个.课堂导学知识点1 集合关系与运算综合【例１】 设A ={x |x 2+4x =0}.若B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2－1=0},A ∩B =B ,求实数a 的值. [思维引导]本题的关键是把A B =B 转化为B ⊆A . ［解答］A ={x |x 2+4x =0}={0，－4}. ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A .（1） 若B =∅，则Δ=4［（a +1）2-（a 2-1）］<0,∴a <-1.（2） 若B ={0}，则把x =0代入方程得a =±1. 当a =1时，B ={0,-4}≠{0};∴当a =-1时,B ={0}. ∴a =-1.（3） 若B ={-4}，则把x =-4代入方程得a =1或a =7. 当a =1时，B ={0，-4}≠{-4},∴a ≠1; 当a =7时，B ={-4，-12}≠{-4},∴a ≠7. （4） 若B ={0，-4}，则a =1. 综上所述,a ≤-1或a =1.［精要点评］不要忘记B =∅，B =A 的情况【变式拓展】 设A ={x |x 2+4x <0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2－1<0}.若A ∩B =A ,求实数a 的值. ［解答］A ={x |x 2+4x <0}={x |-4<x <0}. ∵A ∩B =A ,∴A ⊆B .令f （x ）=x 2+2(a +1)x +a 2－1, ∴(0)0,1.(4)0,f a f ≤⎧∴=⎨-≤⎩知识点2 常用逻辑关系的综合【例2】（2009·广州一模改编）已知p ：关于x 的不等式x 2+2a x -a >0的解集是R ，q ：-1<a <0.试判定p 是q 的什么条件. ［思维引导］ 本题考查充要条件问题，要先化简命题p,再从充分性与必要性两个方面判断. ［解答］∵关于x 的不等式x 2+2a x -a >0的解集是R ， ∴Δ=（2a ）2-4（-a ）<0，解得-1<a <0， 即p ：-1<a <0. ∴p 是q 的充要条件.【变式拓展】已知p ：关于x 的不等式x 2+a x -a >0的解集是R ，q ：-1<a <0.若“p 或q ”为真“p 且q ”为假，求a 的取值范围. ［解答］由关于x 的不等式x 2+ax -a >0的解集是R ，得Δ=a 2-4（-a ）<0，解得-4<a <0.即p ：-4<a <0. 若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 、q 中有且仅有一个为真. （1） p 真、q 假40,4 1.10a a a a -<<⎧⇒-<≤-⎨≤-≥⎩或（2）q 真、p 假10,.40a a a a -<<⎧⇒∈∅⎨≤-≥⎩或 所以a ∈（-4,-1］.【备讲例题】已知p ：关于x 的不等式x 2+2ax -3a 2>0的解集为{x ｜-3a ＜x ＜a }，q ：-1<x <0.若p 是q 必要不充分条件，求正数a 的取值范围. ［解答］关于x 的不等式x 2+2ax -3a 2>0的解为-3a <x <a . ∵p 是q 必要不充分条件，∴0,1313031a a a a a >⎧⎪-≤-⇒≥⎨⎪≥-≤-⎩与等号不能同时成立（取等号时满足条件）. ∴正数a 的取值范围为1,.3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭知识点3 集合与逻辑关系的综合【例3】设A ={x |-2≤x ≤a }，B ={y |y =2x +3,x ∈A }，C ={z |z =x 2,x ∈A }，求使C ⊆B 的充要条件.［思维引导］ 先化简集合B ，C ，注意集合是值域，再根据子集关系利用数轴来处理，求充要条件就是找等价关系. ［解答］B ={y |y =2x +3,x ∈A }={y |-1≤y ≤2a +3}.（1） 当-2≤a <0时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |a 2≤z ≤4}.由C ⊆B ，得234,.20a a a +≥⎧⇒∈∅⎨-≤<⎩（2）当0≤a ≤2时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |0≤z ≤4}.由C ⊆B ，得234,12.022a a a +≥⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩（3）当a >2时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |0≤z ≤a 2}.由C ⊆B ，得22,2 3.23a a a a >⎧⇒<≤⎨≤+⎩综上所述,使C⊆B的充要条件是13. 2a≤≤［精要点评］对集合问题要分清集合元素是什么，如不清楚，则先根据所涉及的知识化简、讨论，然后根据条件列关系式解答.总结规律本章内容处理的问题多数是以其他章节知识为核心内容，因此在解答时要联想对应章节的知识和方法.一般解题思路为：(1）认识是什么知识；（2）要不要化简转化，使命题或集合清晰化；（3）根据提供的条件列出关系式；（4）处理关系式.此外，本章知识有许多需要注意的地方：（1）集合中的空集；（2）利用互为逆否命题进行等价转化；（3）充要条件要注意两种说法和两种方法；（4）注意量词定义的理解.温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第4课时.。
高考数学二轮专题复习：集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语【考纲解读】1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系,知道常用数集及其记号,了解集合中元素的确定性,互异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.2.掌握集合的表示方法----列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,了解有限集与无限集的概念.3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义，会判断简单集合的相等关系.4．理解并集、交集的概念和意义，掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.5．了解全集的意义，理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握补集的求法.6.理解命题的概念;了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【考点预测】3.注意弄清元素与集合、集合与集合之间的包含关系.4.能根据Venn图表达的集合关系进行相关的运算.5.注意区分否命题与命题的否定,前者是同时否定条件和结论,而后者只否定结论.6.原命题与其逆否命题等价,当直接判定命题条件的充要性有困难时，可等价地转化为对该命题的逆否命题进行判断.7.全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.【考点在线】考点一集合的概念例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．这类题目主要考察不等式的性质成立的条件，以及条件与结论的充要关系.【备考提示】：正确理解集合中的代表元素是解答好本题的关键.练习1:若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．Q C． D．不知道【答案】B【解析】事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．考点二集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．(a2－3a－8), a3＋例2.若A={2，4, a3－2a2－a＋7},B={1, a＋1, a2－2a＋2,－12a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．【答案】2【解析】∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1． A={2,4,5}.当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．【解析】分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=a c且a＋2b=a c2，消去b得：a＋a c2－2a c=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=a c2且a＋2b=a c，消去b得：2a c2－a c－a=0，．∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－12考点三集合间的关系例3.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．【答案】A=B【解析】任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ a∈B,故A B⊆．①又任设b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故B A⊆②由①、②知A=B．【名师点睛】这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．【备考提示】：集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．考点四要注意利用数形结合思想解决集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．例4.设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A、B是________．【答案】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.【解析】由题意,画出图如下:由图可知: A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．【名师点睛】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．【备考提示】：熟练数形结合的思想是解答好本题的关键.练习4.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．【答案】A∪B=R,A∩B={x|－6≤x＜－3或0<x≤1}.【解析】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}．如图所示，∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．【易错专区】问题1：空集例1.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－a x＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______．解：∵ A∪B=A，,∴⊆B A∵ A={1，2}，∴ B=∅或B={1}或B={2}或B={1，2}．若B=∅，则令△<0得a∈∅；若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈∅；若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3．1.（2011年高考山东卷文科1)设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =( )（A ）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]【答案】A【解析】因为{}|32M x x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，故选A.2. （2011年高考海南卷文科1)已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个【答案】B【解析】因为{}1,3M N ⋂=中有两个元素，所以其子集个数为224=个，选B. 3．(2011年高考安徽卷文科2)集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则()U S C T 等于( )（A ）}{,,,1456 (B) }{,15 (C) }{4 (D) }{,,,,12345 【答案】B【解析】{}1,5,6U T =，所以(){}1,6U S T =.故选B.4．(2011年高考广东卷文科2)已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221x y +=，5． （2011年高考江西卷文科2)若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）A.M N ⋃B.M N ⋂C.()()U U C M C N ⋃D.()()U U C M C N ⋂【答案】D【解析】{}4,3,2,1=⋃N M ,Φ=⋂N M ,()(){}6,5,4,3,2,1=⋃N C M C U U ,()(){}6,5=⋂N C M C U U .6.（2011年高考福建卷文科1)若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N 等于A.｛0，1｝B.｛-1，0，1｝C.｛0，1，2｝D.｛-1，0，1，2｝【答案】A【解析】因为{}{}{}1,0,10,1,20,1M N ⋂=-⋂=,故选A.7．（2011年高考湖南卷文科1)设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4}答案：B解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。
【创新设计】(江苏专用)高考数学二轮总复习 倒数第8天集合与常用逻辑用语 文
体系通关四临考易忘、易混、易错知识大排查倒数第8天集合与常用逻辑用语[保温特训]1．设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为________．解析M＝[0,1]，N＝(－1,1)，则M∩N＝[0,1)．答案[0,1)2．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析分四种情况：(1)a＞0且b＞0；(2)a＞0且b＜0；(3)a＜0且b＞0；(4)a＜0且b＜0，讨论得y＝3或y＝－1.答案{3，－1}3．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊆B，∴a＜5.答案a＜54．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12人．答案125．“a≥0”是“∃x∈R，ax2＋x＋1≥0为真命题”的________条件．解析a≥0时，∃x∈R，ax2＋x＋1≥0；但∃x∈R，ax2＋x＋1≥0时，a＜0也可以．答案充分但不必要6．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.解析易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．答案{5}7．已知不等式x2－2x＋1－a2＜0成立的一个充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围应满足________．解析 由题意可知，当0＜x ＜4时，x 2－2x ＋1－a 2＜0成立，令f (x )＝x 2－2x ＋1－a 2，∴f (4)＜0得，a ＜－3或a ＞3，f (0)＜0得，a ＞1或a ＜－1.综上，a ＞3或a ＜－3.答案 a ＜－3或a ＞38．已知集合S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x －2x ＜0，T ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≥0}(a ∈R )，则S ∪T ＝R 的充要条件是________．解析 S ＝{x |0＜x ＜2}，T ＝{x |x ≥a ＋1或x ≤a }，若S ∪T ＝R ，则a ≥0且a ＋1≤2⇒0≤a ≤1.反之，若0≤a ≤1，则S ∪T ＝R .答案 0≤a ≤19．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．解析 A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，故满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数即为集合{3,4}的子集个数22＝4个．答案 410．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析 依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素．故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4，5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．答案 611．若自然数n 使得作加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)运算均不产生进位现象，则称n 为“给力数”，例如：32是“给力数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“给力数”，因23＋24＋25产生进位现象．设小于1 000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A ，则集合A 中的数字和为________．解析 给力数的个位取值：0,1,2给力数的其它数位取值：0,1,2,3，所以A ＝{0,1,2,3}集合A 中的数字和为6.答案 612．“a ＝1”是“函数f (x )＝2x －a 2x ＋a在其定义域上为奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析 根据奇函数的定义求出a 的值，再判断充分条件、必要条件．由函数f (x )＝2x －a 2x ＋a是定义域上的奇函数，所以f (－x )＝2－x －a 2－x ＋a ＝－f (x )＝－2x －a 2x ＋a对定义域上的每个x 恒成立，解得a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝2x －a 2x ＋a 在其定义域上为奇函数”的充分不必要条件．答案 充分不必要13．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥n n ⊂α⇒m ⊥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊂β⇒α⊥β； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；④⎭⎪⎬⎪⎫n ⊂βm ∥β⇒m ∥n 其中为真命题的序号是________．解析 ①错误，m 与α有可能斜交或平行或在α内；②正确；③正确；④错误，m 与n 可能异面．答案 ②③14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若(a 2－1)3＋2 012·(a 2－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 012(a 2 011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S 2 011＝2 011；②S 2 012＝2 012；③a 2 011＜a 2；④S 2 011＜S 2.解析 该题通过条件(a 2－1)3＋2 012(a 2－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 012(a 2 011－1)＝－1，考查函数与方程的思想，由于函数f (x )＝x 3＋x 是奇函数，由条件有f (a 2－1)＝1，f (a 2 011－1)＝－1.另外，f ′(x )＝3x 2＋1＞0，所以，f (x )是单调递增的，而f (1)＝2＞1＝f (a 2－1)，∴a2－1＜1，a2＜2，所以，a2－1＝－(a2 011－1)，∴a2＋a2 011＝2，且a2－1＞a2 011－1，∴a2＞0＞a2 011；又由等差数列{a n}考查等差数列概念与通项公式，由此可得S2 012＝a1＋a2 012＝S2 012－a2 012＝2 012－(2－a2＋d)＝2 010＋a1＞2×2 012＝2 012，d＜0，∴S2 011a1＋a2＝S2.答案②③[知识排查]1．在集合的基本运算中，一定要抓住集合的代表元素．2．在应用条件A∪B＝B⇔A⊆B；A∩B＝A⇔A⊆B时，忽略A为空集的情况，不要忘了借助数轴和Veen 图进行求解．3．命题的否定与否命题搞清楚，否定含有一个量词的命题时注意量词的改变．4．“甲是乙的什么条件”与“甲的一个什么条件是乙”弄清楚了吗？5．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1,2n－2.。
(江苏专用)高考数学二轮总复习 常考问题 集合与常用逻辑用语课件 文
(x ＋ 1)(x － 3) ＜ 0 得－ 1 ＜ x ＜ 3. 所以由 |x － 1| ＜ 2 可得到 (x ＋
1)(x－3)＜0，反之亦真．
答案 充要条件
[规律方法] 从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合： p：
A＝{x|p(x)成立}，q∶B＝{x|q(x)成立}，那么： ①若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B时，则p是q的充分 而不必要条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A时，则p是q的必要 而不充分条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件．
解析 (1)∵A＝{1,2}， ∴B＝{2,4}， ∴A∪B＝{1,2,4}， ∴∁U(A∪B)＝{3,5}． (2)由(x－1)2＜3x＋7 得－1＜x＜6，又 x≥5，所以 A ＝{x|5≤x＜6}，则 A∩N＝{5}．
答案 (1){3,5) (2){5}
热点二
交、并、补集的性质的综合应用
m 【例 2】(2011· 江苏卷)设集合 A＝{(x， y)}| 2 ≤(x－2)2＋y2≤m2， x， y∈R}， B＝{(x， y)|2m≤x＋y≤2m＋1， x， y∈R}， 若 A∩B≠ ∅，则实数 m 的取值范围是________．
【训练3】已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直
线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC” 的________条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”，“既不充分也不必要”中的一个)． 解析 因四边形ABCD为梯形，AB∥CD，则两腰AD，BC
必相交，由线面垂直的判定定理和性质定理可得“ l 垂直 于两腰 AD ， BC” 一定有 “ l 垂直于两底 AB ， DC” ，但反
“∀x∈M，非p(x)”．
【创新设计】（江苏专用）2021届高考数学二轮总温习 常考问题 集合与经常使用逻辑用语 文 (1)
常考问题17集合与经常使用逻辑用语(备用)
[真题感悟]
1．(2021·江苏卷)集合{－1,0,1}共有________个子集．
答案8
2．(2021·江苏卷)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，那么A∪B＝________.
解析由集合的并集意义得A∪B＝{1,2,4,6}．
答案{1,2,4,6}
3．(2020·江苏卷)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，那么A∩B＝________.
解析由集合的交集意义得A∩B＝{－1,2}．
答案{－1,2}
4．(2021·无锡五校联考)已知命题p：x2－x≥6，q：x∈Z，那么使适当x∈M时，“p且q”与“綈q”同时为假命题，那么x组成的集合M＝________.
解析x∈M时，“p且q”与“綈q”同时为假命题，即x∈M时，p假且q真．故令x2－x＜6，x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，从而所求的集合M＝{－1,0,1,2}．
答案{－1,0,1,2}
[考题分析]
高考对本内容的考查要紧有：集合中元素的性质(确信性、互异性、无序性)；元素与集合、集合与集合的关系；充分、必要条件的判定；全称命题与存在性命题的否定. 考查形式一样为填空题，多为容易题.。
【创新设计】（江苏专用）2021届高考数学二轮总温习 集合与经常使用逻辑用语训练试题 文(1)
常考问题17 集合与经常使用逻辑用语(备用)(建议历时：35分钟)1．假设全集U ＝R ，集合A ＝{x ||2x ＋3|＜5}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}，那么∁U (A ∩B )＝________.解析 A ＝{x ||2x ＋3|＜5}＝{x |－4＜x ＜1}，B ＝{x |y ＝log 3(x ＋2)}＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，因此A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，因此∁U (A ∩B )＝{x |x ≥1或x ≤－2}．答案 {x |x ≥1或x ≤－2}2．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，假设A ∩B ＝{2}，那么A ∪B ＝________.解析 由A ∩B ＝{2}可得：log 2(a ＋3)＝2，∴a ＝1，∴b ＝2，∴A ∪B ＝{1,2,5}．答案 {1,2,5}3．已知集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a }，且B ⊆A ，那么实数a 的值是________． 解析 a ≥0，那么a ＝1，且a ＋2＝3，解得a ＝1.答案 14．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，那么(∁U A )∩(∁U B )＝________.解析 依照集合运算的性质求解．因为A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，因此(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}． 答案 {7,9} 5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x ||x －1|＜a }，那么“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的________(填写“充分没必要要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也没必要要”中的一个)．解析 A ＝(－1,1)，B ＝(1－a,1＋a )，当a ＝1时，有A ∩B ≠∅知足，但当a ＝12时，也有A ∩B ≠∅知足．故答案为充分没必要要条件．答案 充分没必要要条件6．集合A ＝{0，log 123，－3,1,2}，集合B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈A }，那么A ∩B ＝________. 解析 ∵B ＝{y ∈R |y ＝2x ，x ∈A }＝{1,2,4，18，13}，∴A ∩B ＝{1,2}． 答案 {1,2}7．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}．那么A ∩B ＝________.解析 集合A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，集合B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故A ∩B ＝(3，＋∞)． 答案 (3，＋∞)8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，那么B 中所含元素的个数为________．解析 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案 109．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，∃a ∈R ，使得集合A 中所有整数的元素和为28，那么实数a 的取值范围是______．解析 由x 2＋a ≤(a ＋1)x 得1≤x ≤a ，又1＋2＋…＋7＝28，因此a 的取值范围是[7,8)．答案 [7,8)10．以下命题中的真命题是________．①∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32②∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞x ＋1③∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x④∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x解析 ∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2，∀x ∈(－∞，0)，2x ＞3x ，sin π4＝cos π4，因此①③④都是假命题．关于②，令f (x )＝e x －x －1⇒f ′(x )＝e x －1＞0，关于x ∈(0，＋∞)恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因此f (x )＞f (0)＝0⇒e x ＞x ＋1，②是真命题．答案 ②11．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x＜1，那么p 是綈q 成立的________条件． 解析 因为q ：1x ＜1，因此綈q ：1x≥1，即0＜x ≤1，因此p 是綈q 成立的必要不充分条件． 答案 必要不充分条件12．以下四种说法中，错误的个数是________．①A ＝{0,1}的子集有3个；②“假设am 2＜bm 2，那么a ＜b ”的逆命题为真；③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；④命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2≤0” 解析 A ＝{0,1}的子集有4个，①错误；“假设am 2＜bm 2，那么a ＜b ”的逆命题为“假设a ＜b ，那么am 2＜bm 2”在m ＝0时不成立，②错误；“命题p ∨q 为真”那么“命题p ∧q 不必然为真”，“命题p ∧q 为真”那么“命题p ∨q 为真”③正确；“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2＜0”④错误．四种说法中，错误的个数是3.答案 313．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋2ny ＋n 2－4＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－6mx －4ny ＋9m 2＋4n 2－9＝0}，假设A ∩B 为单元素集，那么点P (m ，n )组成的集合为________．解析 因为A ∩B 为单元素集，即圆x 2＋(y ＋n )2＝4与圆(x －3m )2＋(y －2n )2＝9相切，因此有3m 2＋2n ＋n 2＝3＋2或3m 2＋2n ＋n 2＝3－2，即m 2＋n 2＝259或m 2＋n 2＝19. 答案 {(m ，n )|m 2＋n 2＝259或m 2＋n 2＝19} 14．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，那么使p∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是________．解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两个正根别离为x 1，x 2，那么由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，解得m ＜－1，∴p ：m ＜－1.由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3. 由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p 和q 一真一假，当p 真q 假时，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，现在m ≤－2；当p 假q 真时，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，－2＜m ＜3，现在－1≤m ＜3， ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)． 答案 (－∞，－2]∪[－1,3)。
高考数学备考二轮专题复习集合与常用逻辑用语 第2讲常用逻辑用语 (江苏等八省市新高考地区专用)原卷版
第2讲 常用逻辑用语考点1 命题的真假：例1.(1)已知命题:p x R ∃∈，210mx +<，命题:q x R ∀∈，210x mx ++>，若p q ∧为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞- B ．[2-，0) C ．(2,0)- D ．(0,2)(2)下列三个命题：①命题p ：2, 0x R x x ∀∈+<，则命题p 的否定是：2, 0x R x x ∃∈+>；②命题p ：211x -≤，命题q ：101x>-，则p 是q 成立的充分不必要条件； ③在等比数列{}n b 中，若52b =，98b =，则74b =±； 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3【跟踪演练】1.(1)设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝(2)若“x R ∃∈，使得sin x x a =”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．()2,2-C ．(][),22,-∞-+∞D ．()(),22,-∞-+∞考点2 充分条件与必要条件：例2.(1)设11:22p x -<，:21x q ≥，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件(2)命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．12a <B ．12a ≤C ．2a ≤D ．3a ≤【跟踪演练】2.(1)已知命题p ：13x <<，q ：31x>，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件(2)已知直线:22l y k x ⎛-=+ ⎝⎭，则“1k =”是“直线l 与圆221x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点3 含有一个全称量词命题的否定：例3.(1)命题“000,1x x R e x ∃∈>+”的否定是（ ）A ．,1xx R e x ∀∈<+ B ．0001x x R e x ∃∈<+, C ．,1x x R e x ∀∈≤+D ．0001x x R ex ∃∈≤+,(2)设命题:(0,)p a ∃∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上是增函数，则（ ）A ．p 为真命题B ．p ⌝为(0,)a ∀∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上是减函数C ．p 为假命题D ．p ⌝为(0,)a ∀∈+∞，3()1f x x ax =-+在(1,)+∞上不是增函数【跟踪演练】3.命题:p “0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x <”的否定p ⌝为（ ） A ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x ≥ B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin tan x x > C ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ D ．00,2x π⎛⎫∃∉ ⎪⎝⎭，00sin tan x x ≥ 【仿真练习】一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∀∈，120x -> B ．x N *∀∈，()210x ->C ．x R ∃∈，lg 1x <D ．x R ∃∈，tan 2x =2.已知1::P p a≤1，2:10q a -≥则P 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.命题"1,ln(1)x x x ∀>-+≤且ln(1)"1+xx x+≥的否定是（ ） A ．1,ln(1)x x x ∀>-+>或ln(1)1+x x x +<B ．1,ln(1)x x x ∀≤-+>且ln(1)1+xx x+<C ．0001,ln(1)x x x ∃>-+>或000ln(1)1+x x x +<D ．0001,ln(1)x x x ∃>-+>且000ln(1)1+x x x +<4.设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，使得2sin 2sin x x+=成立． B ．命题p ：任意x R ∈，都有cos 1x ≤，则p ⌝：存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤． C ．命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为真命题．D ．若数列{}n a 是等比数列，*,,m n p N ∈则2m n p a a a ⋅=是2m n p +=的必要不充分条件． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．6.若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ）A ．32B ．22C ．3D ．927.下列四种说法中正确的有（ ）A ．命题“x R ∀∈，231x x >+”的否定是“x R ∃∈，231x x <+”；B ．若不等式210ax bx ++>的解集为{}13x x -<<，则不等式23650ax bx ++<的解集为()(),15,-∞-+∞C ．复数z 满足21z i -=，z 在复平面对应的点为(),x y ，则()2221x y +-= D ．已知1:32p x ≤≤，()21:100q x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是[)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 8.若命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，则实数a 的取值范围是______. 9.已知,a b ∈R ，则“1a ≤”是“1a b b -+≤”的_____________条件(填 “充分不必要条件” “必要不充分条件” “必要条件” “既不充分也不必要条件”10.设条件():0p x m m ≤>，:14q x -≤≤，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为____，若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为____.四、解答题：本题共4小题，共40分。
(江苏专用)高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第1讲 集合与常用逻辑
第1讲集合与常用逻辑用语 [2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．集合间的关系及运算第1题第1题第1题江苏高考对集合的考查一般包含两个方面：一是集合的运算，二是集合间的关系．试题难度为容易题，若以集合为载体与其他知识交汇，则可能为中档题．逻辑知识是高考冷点，复习时要抓住基本概念．2．四种命题及其真假判断3．充分条件与必要条件4．逻辑联结词、全称量词和存在量词1．必记的概念与定理(1)四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．(2)充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．2．记住几个常用的公式与结论(1)(A∩B)⊆(A∪B)；(2)A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B；(3)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2；(4)集合的运算：∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(∁U A)＝A．3．需要关注的易错易混点(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)有些全称命题并不含有全称量词，这时我们要根据命题涉及的意义去判断．对命题的否定，首先弄清楚是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定．(3)“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者不同，前者是“p ⇒q但q⇒/p”而后者是“q⇒p，p⇒/q”．集合间的关系及运算[典型例题](1)(2019·高考江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B ＝________．(2)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．(3)(2019·苏州第二次质量预测)已知集合P＝{x|y＝－x2＋x＋2，x∈N}，Q＝{x|ln x ＜1}，则P∩Q＝________．【解析】(1)由交集定义可得A∩B＝{1，6}．(2)因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1．(3)由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0，1，2}．因为ln x＜1，所以0＜x＜e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{1，2}．【答案】(1){1，6} (2)1 (3){1，2}解集合运算问题应注意以下两点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．[对点训练]1．(2018·高考江苏卷)已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________．[解析] 由集合的交运算可得A∩B＝{1，8}．[答案] {1，8}2．(2019·江苏省名校高三入学摸底)已知集合A＝{－1，3，m2}，集合B＝{3，－2m－1}，若B ⊆A ，则实数m ＝________．[解析] 因为B ⊆A ，所以m 2＝－2m －1或－1＝－2m －1，解得m ＝－1或m ＝0，经检验均满足题意，故m ＝－1或0． [答案] －1或0四种命题及其真假判断[典型例题](1)(2019·苏州第一次质量预测)下列说法正确的是________． ①“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1，则a 2≤1”； ②“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题； ③存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0＞4x0成立； ④“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题．(2)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．【解析】 (1)对于①，“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故①错误；对于②，“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以其逆命题为假命题，故②错误；对于③，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x ＞3x，故③错误；对于④，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故④正确． (2)易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．【答案】 (1)④ (2)1一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意的”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，“至多有n 个”的否定是“至少有n ＋1个”，“任意两个”的否定是“某两个”．像这类否定同学们不妨探究一下．[对点训练]3．已知命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是________．(只填序号)①否命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题 ②逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 ③逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 ④逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题[解析] 命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[答案] ④4．命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否定为________，否命题为________． [答案] 面积相等的三角形不是全等三角形 面积不相等的三角形不是全等三角形充分条件与必要条件[典型例题](1)若a ，b ∈R ，则“a (a －b )<0”是“ba>1”的____________．(填写“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中的一个)(2)已知条件p ：－1≤x ＋2≤1，q ：x ≥a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)因为b a >1⇔b a －1>0⇔b －a a >0⇔a (a －b )<0，所以“a (a －b )<0”是“ba>1”的充要条件．(2)因为p 是q 的充分不必要条件，故p ⇒q ，但q ⇒/p ，即不等式－1≤x ＋2≤1的解集是{x |x ≥a }的真子集，从而a ≤－3．【答案】 (1)充要条件 (2)(－∞，－3]判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．[对点训练]5．(2019·湖南湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是________．①m ＞14；②0＜m ＜1；③m ＞0；④m ＞1．[解析] 若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0．[答案] ③6．(2019·徐州模拟)若a ＝2x，b ＝log 12x ，则“a >b ”是“x >1”的________条件．[解析] 如图所示， 当x ＝x 0时，a ＝b ． 若a ＞b ，则得到x ＞x 0，且x 0＜1，所以由a ＞b 不一定得到x ＞1，所以“a ＞b ”不是“x ＞1”的充分条件； 若x ＞1，则由图象得到a ＞b ， 所以“a ＞b ”是“x ＞1”的必要条件． 故“a ＞b ”是“x ＞1”的必要不充分条件． [答案] 必要不充分逻辑联结词、全称量词和存在量词[典型例题](1)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定，下列正确的是________． ①∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 ②∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1③∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1④∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1(2)已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥2x；命题q：∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0．若命题“p∨q”是真命题，“﹁p∧q”是假命题，则实数a的取值范围为________．【解析】(1)改变原命题中的两个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即ln x ≠x－1．(2)命题p为真，则a≥2x(x∈[0，1])恒成立，因为y＝2x在[0，1]上单调递增，所以2x≤21＝2，故a≥2，即命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|a≥2}．若命题q为真，则方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4．故命题q为真时，实数a的取值集合为Q＝{a|a≤4}．若命题“p∨q”是真命题，那么命题p，q至少有一个是真命题；﹁由“﹁p∧q”是假命题，可得﹁p与q至少有一个是假命题．①若p为真命题，则﹁p为假命题，q可真可假，此时实数a的取值范围为[2，＋∞)；②若p为假命题，则q必为真命题，此时，“﹁p∧q”为真命题，不合题意．综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)．【答案】(1)③(2)[2，＋∞)全称命题(存在性命题)的否定是其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则是直接否定结论．[对点训练]7．(2019·无锡市高三上学期期末考试)命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是“________，x2＜4”．[解析] 由全称命题的否定是存在性命题得，命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是“∃x≥2，x2＜4”，故填∃x≥2．[答案] ∃x≥28．下列四个命题：①∃x∈R，使sin x＋cos x＝2；②对∀x∈R，sin x＋1sin x≥2；③对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2；④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2． 其中正确命题的序号为________．[解析] 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]；故①∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2错误； ④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2正确； 因为sin x ＋1sin x ≥2或sin x ＋1sin x ≤－2，故②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2错误；③对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >0，1tan x >0，由基本不等式可得tan x ＋1tan x ≥2正确．[答案] ③④1．(2019·江苏名校高三入学摸底)设集合A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－3x －4≥0}，则A ∩(∁R B )＝______．[解析] 由B ＝{x |x 2－3x －4≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，得∁R B ＝{x |－1<x <4}，又A ＝{－2，2}，所以A ∩(∁R B )＝{2}．[答案] {2}2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________． [答案] 任意一个无理数，它的平方不是有理数3．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________．[解析] 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．[答案] 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<34．(2019·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________． ①∃x ∈R ，x ＋1x＝2；②∃x ∈R ，sin x ＝－1；③∀x ∈R ，x 2>0； ④∀x ∈R ，2x>0．[解析] 对于①x ＝1成立，对于②x ＝3π2成立，对于③x ＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．[答案] ①②④5．已知U ＝R ，A ＝{1，a }，B ＝{a 2－2a ＋2}，a ∈R ，若(∁U A )∩B ＝∅，则a ＝______． [解析] 由题意知B ⊆A ，所以a 2－2a ＋2＝1或a 2－2a ＋2＝a ．当a 2－2a ＋2＝1时，解得a ＝1；当a 2－2a ＋2＝a 时，解得a ＝1或a ＝2．当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a ＝2时，满足题意．所以a ＝2．[答案] 26．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a <0；所以－3≤a ≤0． [答案] －3≤a ≤07．(2019·南京调研)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．[解析] 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}＝(－1，1)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}＝(－∞，0]，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]． [答案] (0，1)∪(－∞，－1]8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合P ＝{x |x ≤a }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，若P ∩Q ＝Q ，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，得Q ＝{1，2}，又P ∩Q ＝Q ，所以a ≥2，即实数a 的取值范围是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)9．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________． [解析] 由题意得sin θ－1≥0．又－1≤sin θ≤1， 所以sin θ＝1．所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12．[答案] 1210．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知x ≠0，x ∈R ，则“2x<1”是“3x>9”的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)[解析] 由2x <1得x >2或x <0．由3x >9得x >2，所以由“3x>9”可以得“2x<1”，反之却无法得到，所以“2x<1”是“3x>9”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分 11．给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号) [解析] 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ．故填②． [答案] ②12．(2019·南京高三模拟)下列说法正确的序号是________． ①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”．[解析] 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确．由x ＝－1，能够得到x 2－5x －6＝0，反之，由x 2－5x －6＝0，得到x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x ＝y ，则sin x ＝siny ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，所以④不正确．[答案] ③13．若命题“∀x ∈[－1，1]，1＋2x＋a ·4x<0”是假命题，则实数a 的最小值为 __________．[解析] 变形得a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋14x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋122＋14，令t ＝12x ，则a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f (t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， 所以[f (t )]min ＝f (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋14＝－6，又因为该命题为假命题， 所以a ≥－6，故实数a 的最小值为－6． [答案] －614．(2019·江苏四星级学校高三联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．[解析] 法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2．故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1．z ＝a b的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬1，2，2，显然该集合中共有3个元素．[答案] 3。
江苏专用2020版高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第1讲集合与常用逻辑用语文苏教版
第1讲 集合与常用逻辑用语1．(2019·江苏名校高三入学摸底)设集合A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－3x －4≥0}，则A ∩(∁R B )＝______．[解析] 由B ＝{x |x 2－3x －4≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，得∁R B ＝{x |－1<x <4}，又A ＝{－2，2}，所以A ∩(∁R B )＝{2}．[答案] {2}2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________． [答案] 任意一个无理数，它的平方不是有理数3．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________．[解析] 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．[答案] 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<34．(2019·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________． ①∃x ∈R ，x ＋1x＝2；②∃x ∈R ，sin x ＝－1； ③∀x ∈R ，x 2>0； ④∀x ∈R ，2x>0．[解析] 对于①x ＝1成立，对于②x ＝3π2成立，对于③x ＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．[答案] ①②④5．已知U ＝R ，A ＝{1，a }，B ＝{a 2－2a ＋2}，a ∈R ，若(∁U A )∩B ＝∅，则a ＝______． [解析] 由题意知B ⊆A ，所以a 2－2a ＋2＝1或a 2－2a ＋2＝a ．当a 2－2a ＋2＝1时，解得a ＝1；当a 2－2a ＋2＝a 时，解得a ＝1或a ＝2．当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a ＝2时，满足题意．所以a ＝2．[答案] 26．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a <0；所以－3≤a ≤0．[答案] －3≤a ≤07．(2019·南京调研)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．[解析] 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}＝(－1，1)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}＝(－∞，0]，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]． [答案] (0，1)∪(－∞，－1]8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合P ＝{x |x ≤a }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，若P ∩Q ＝Q ，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，得Q ＝{1，2}，又P ∩Q ＝Q ，所以a ≥2，即实数a 的取值范围是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)9．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________．[解析] 由题意得sin θ－1≥0．又－1≤sin θ≤1， 所以sin θ＝1．所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12．[答案] 1210．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知x ≠0，x ∈R ，则“2x<1”是“3x>9”的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)[解析] 由2x <1得x >2或x <0．由3x >9得x >2，所以由“3x>9”可以得“2x<1”，反之却无法得到，所以“2x<1”是“3x>9”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分 11．给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号) [解析] 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ．故填②． [答案] ②12．(2019·南京高三模拟)下列说法正确的序号是________． ①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”．[解析] 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确．由x ＝－1，能够得到x 2－5x －6＝0，反之，由x 2－5x －6＝0，得到x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x ＝y ，则sin x ＝siny ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，所以④不正确．[答案] ③13．若命题“∀x ∈[－1，1]，1＋2x＋a ·4x<0”是假命题，则实数a 的最小值为 __________． [解析] 变形得a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋14x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋122＋14，令t ＝12x ，则a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f (t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， 所以[f (t )]min ＝f (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋14＝－6，又因为该命题为假命题， 所以a ≥－6，故实数a 的最小值为－6． [答案] －614．(2019·江苏四星级学校高三联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．[解析] 法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2．故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1．z ＝a b的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬1，2，2，显然该集合中共有3个元素．[答案] 3。
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常考问题17集合与常用逻辑用语(备用)
[真题感悟]
1．(2013·江苏卷)集合{－1,0,1}共有________个子集．
答案8
2．(2012·江苏卷)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
解析由集合的并集意义得A∪B＝{1,2,4,6}．
答案{1,2,4,6}
3．(2011·江苏卷)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
解析由集合的交集意义得A∩B＝{－1,2}．
答案{－1,2}
4．(2013·无锡五校联考)已知命题p：x2－x≥6，q：x∈Z，则使得当x∈M时，“p且q”与“綈q”同时为假命题，则x组成的集合M＝________.
解析x∈M时，“p且q”与“綈q”同时为假命题，即x∈M时，p假且q真．故令x2－x＜6，x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，从而所求的集合M＝{－1,0,1,2}．
答案{－1,0,1,2}
[考题分析]
高考对本内容的考查主要有：集合中元素的性质(确定性、互异性、无序性)；元素与集合、集合与集合的关系；充分、必要条件的判断；全称命题与存在性命题的否定. 考查形式一般为填空题，多为容易题.。