《相似三角形专题复习》几个常用图形的简单应用_百度文.
相似三角形专题复习——几个常用图形的简单
CB CD CA
2
3、如图,∠ABC=90°, BD⊥AC于D,DC=4 ,AD=9, C 则BD的长为( ) (A)36 (B)16 16 . (C) 6 (D) A
9
D
C
B
BD AD
CD BD
2
(或BD AD CD)
3、如图,∠ABC=90°, BD⊥AC于D,DC=4 ,AD=9, B C 则BD的长为( ) (A)36 (B)16 16 . (C) 6 (D) A C
9
D
C
BD AD
CD BD
2
D
BA
(或BD AD CD)
E
B
C
F
D
A
4、如图,F、C、D共线,BD⊥FD, EF⊥FD , BC⊥EC ,若DC=2 ,BD=3,FC=9,则EF的长为( A ) (A)6 (B)16 27 FC CD EF (C) 26 (D)2 . CD BD ,即EF FC BD
C
O
D
B
A 例1如图,四边形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=10, 在线段BC上任取一点P,作射线 E PE⊥PD,与线段AB交于点E. B (1)试确定CP=3时点E的位置; (2)若设CP=x,BE=y,试写出y关 于自变量x的函数关系式,并求出自 变量x的取值范围.
相似中常用基本图形:
A字型 8字型 公共边角型 三垂直型 (K型图)
双垂直型
小组比赛 1.如图,已知⊙O的两条弦AB、 CD交于E,AE=BE=6,ED=4,则 9 CE=____.
CE AE
C
BE ED
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数).知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质(1)定义:在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:ad c b =. ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩,交换内项,交换外项.同时交换内外项 核心内容:bc ad = (2)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈0.618AB.即12AC BC AB AC ==简记为:长短=全长 注:①黄金三角形:顶角是360的等腰三角形②黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 (3)合、分比性质:a c abcd b d b d±±=⇔=.注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等.(4)等比性质:如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ .知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中: 由DE ∥BC 可得:ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念(1)定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例.注:①对应性:即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样,但大小不一定一样. ④全等三角形是相似比为1的相似三角形.(2)三角形相似的判定方法1、平行法:(图上)平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1:简述为:两角对应相等,两三角形相似.AA3、判定定理2:简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.SAS4、判定定理3:简述为:三边对应成比例,两三角形相似.SSS5、判定定理4:直角三角形中,“HL ” 全等与相似的比较:三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL )两角对应相等两边对应成比例,且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则∽==>AD 2=BD ·DC ,∽==>AB 2=BD ·BC ,∽==>AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.(2)相似三角形周长的比等于相似比.E BD DB C(3)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.知识点6 相似三角形的几种基本图形:(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图)(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
九年级数学相似三角形中常见基本图形及应用教学课件
∴ AC2 AD AB 即 62 AD10
∴AD= 18
5
典例分析
②若CF:CE=3:4,如图2所示. ∵△CEF∽△CBA, ∴∠CEF=∠B. 由折叠性质可知, ∠CEF+∠ECD=90°, 又∵∠A+∠B=90°, ∴∠A=∠ECD, ∴AD=CD. 同理可得:∠B=∠FCD,CD=BD, ∴D点为AB的中点, ∴AD=BD=5.
相似三角形中常见的 基本图形及应用
相似三角形中常见的基本图形
1.A字型及其变形
平行
2.x字型及其变形
不平行
子母型
平行
蝴蝶形
相似三角形中常见的基本图形
3.双垂直型
4.一线三等角型
直角形
非直角形
1.A字型及其变形
① DE//BC,则△ADE∽△ABC ② DE和BC不平行,∠B=∠ADE,则△ADE∽△ABC ③ D为线段AB上一点,∠B=∠ACD,则△ADC∽△ACB
A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9
【解析】设DE=x,
∵DE:AD=1:3, ∴AD=3x, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,BC=AD=3x, ∵点F是BC的中点, ∴CF=BC=x, ∵AD∥BC, ∴△DEG∽△CFG,
∴
=( )2=( )2= ,
故选:D.
变式训练
所以,∠CEF=∠BDE
所以△BDE∽△CEF; (2)因为△BDE∽△CEF,所以,
BE DE CF EF
因为点E是BC的中点,所以BE=CE,即, CE DE
又, C DEF 故△CEF∽△EDF,
CF EF
所以, CFE EFD 即FE平分∠DFC.
相似三角形的基本图形及其运用
复习指津
相似三角形的基本图形及其运用
) 江苏江阴市要塞中学 ( 2 1 4 4 3 2 蒋丽萍
是中考中的 相似三角形是初中几何 中 的 核 心 模 块 , 重要考点 , 也是考查学生分析 问 题 和 解 决 问 题 的 综 合 能 相 似 三 角 形 中 有 一 些 基 本 图 形, 如果能 力的 重 要 载 体. 掌握这些 基 本 图 形 , 并把它们从复杂的图形中挖掘出 构 成 几 何 问 题 中 的 核 心 结 构, 问题的解决也就水到 来, 渠成 . 首先我们来扫描一下相似三角形的基本图形 . 一、 常规基本图形 平行型 1. 此类型有两种基本图形 : 简称 “ 型图和 “ 型图 . A” X” , 、 、 如图 1, 中 点 分 别 在 若 B C D E A B A C 上, △A 则 △AD D E∥B C, E∽△A B C; 如图 2, 线段 AD、 相 若A 则 B C 交 于 点 E, B ∥C D, B E∽△D C E. △A
D
A E D E 利 用 △A 得 B C ∽ △DA E, = = B C A C B AD 3 设A 则B = . E=3 k, C=4 k, A C= A B 4
B C 1, 5 7 得到 求出 B 再求出 O 由 1· C= , C= , t = = 4 1 2 3 3 5
7 7 ; 就可求出t 秒) = ( ′的 位 置 在 点 B 的 上 方 ②当点 C 3 3 时, 过点 C 则 得 到 基 本 图 形 2, ′作 C ′ G ′⊥ 直线l于点 G ′, 利用 △B 同 ① 得到 B C ′ G ′∽△B OH , C ′= 1 7 1 7 ) 求出t 秒 . = , = ( 3 3 5, 再求出 O C ′ 3
相似三角形的几何意义与应用
相似三角形的几何意义与应用相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
在几何学中,相似三角形具有重要的意义和广泛的应用。
本文将讨论相似三角形的几何意义以及它在实际问题中的应用。
一、相似三角形的几何意义相似三角形中,对应角度相等,对应的边长成比例。
这意味着相似三角形保持了相同的形状,只是在大小上有所不同。
相似三角形的几何意义如下:1. 比例关系:相似三角形的边长成比例。
如果两个三角形的对应边长比值相同,那么这两个三角形就是相似的。
这个比例关系对于解决实际问题中的长度测量和比较非常有用。
2. 角度对应:相似三角形的对应角度相同。
这意味着相似三角形具有相似的内角,角度大小保持不变。
对于角度的测量和计算来说,相似三角形提供了一种简便的方法。
3. 边长比例:相似三角形的边长比例相同。
这意味着如果一个三角形的一个边长与另一个三角形的对应边长之比等于一个常数,那么这两个三角形就是相似的。
这个比例关系对于测量边长和确定位置关系非常有用。
二、相似三角形的应用相似三角形的几何特性赋予了它广泛的应用领域。
以下是一些相似三角形在实际问题中的应用:1. 测量高度:在实际测量中,经常会遇到无法直接测量的高度问题。
利用相似三角形的性质,可以通过测量已知高度的影子长度和目标物体的影子长度,计算出目标物体的高度。
这在建筑、测绘和天文学等领域非常常见。
2. 估算距离:在无法直接测量距离的情况下,可以利用相似三角形来估算距离。
例如,通过测量目标物体的视角和已知物体的实际尺寸,可以计算出目标物体的距离。
这在导航、激光测距和地理测量等领域有着广泛的应用。
3. 图像变换:相似三角形的比例关系使其成为图像变换中的重要工具。
例如,在计算机图形学中,可以利用相似三角形的性质进行图像的缩放、旋转和变形操作。
这对于图像处理、动画和计算机辅助设计等领域非常重要。
4. 比例模型:利用相似三角形的比例关系,可以制作比例模型。
比例模型在建筑、工程和地质学等领域中广泛使用,用于研究、展示和预测实际对象的特性和行为。
《相似三角形专题复习》几个常用图形的简单应用
B
M E
C
第四种作法:
理由: (1) ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B (2)AE:AB=AD:AC A
D
N
B
C
第五种作法:
理由: (1)DE∥BC B (2)∠ADE=∠ABC 或∠AED=∠ACB (3)AD:AB=AE:AC
A
C E
M
N
D
A
第六种作法:
M D
B
C N E
理由: (1) ∠ADE=∠ACB 或∠AED=∠ABC (2)AE:AB=AD:AC
方程思想 整体思想 转化思想 分类思想
构造相似图形间接求
学会从复杂图形中分解出基本图形
• 例3 在方格纸中,每个小格的顶点称为格 点,以格点的连线为边的三角形称为格点 三角形,如图所示的5×5的方格纸中,如 果想作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不 能为1),则C点坐标为
y
B O A
x
y
C2(4,4)
A
D
E B
M
N C
3.在平面直角坐标系,B(1,0), A(3,-3), C(3,0),点P 在y轴的正半轴上运动,若以O,B,P为顶点的三角形与△ABC 相似,则点P的坐标是__________________.
y
· P
O
· B
C
·
x
· A
N
B
C
A
第一种作法:
理由: (1)DE∥BC (2)∠ADE=∠B 或∠AED=∠C (3)AD:AB=AE:AC
D
E
B
C
第二种作法:
理由: (1) ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B (2)AE:AB=AD:AC
相似三角形及其应用
相似三角形及其应用相似三角形是指两个或多个三角形的对应角度相等,并且对应的边长成比例。
在几何学中,相似三角形是一个重要的概念,具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的性质以及它在实际问题中的应用。
一、相似三角形的性质1. AA相似定理:如果两个三角形的两个角分别相等,则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理:如果两个三角形的三条边对应成比例,则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理:如果两个三角形的两边成比例,且包含这两边的夹角相等,则这两个三角形相似。
4. 相似三角形中对应边的比例关系:如果三角形ABC与三角形DEF相似,那么AB与DE的比例等于AC与DF的比例,BC与EF的比例等于AC与DF的比例,AB与DE的比例等于BC与EF的比例。
二、相似三角形的应用1. 测量难以直接获取的距离:通过相似三角形的比例关系,可以利用已知的距离和长度来计算无法直接测量的距离和长度。
例如,在实际测绘中,可以通过测量一棵树的阴影以及测量人的身高和阴影长度,来计算树的高度。
2. 解决高空物体的测量问题:在很多时候,无法直接测量高空物体的高度,但可以通过相似三角形的比例关系来间接计算。
比如,在测量高楼的高度时,可以通过测量建筑物的阴影长度以及测量阴影与高楼的投影角度,来计算出高楼的实际高度。
3. 三角测量法的应用:在导航、航海和地理测量等领域,三角测量法是一种常用的测量技术。
这种方法利用相似三角形的性质,通过测量三角形的边长和角度来计算未知的长度和距离。
4. 建筑工程中的应用:在建筑工程中,相似三角形的概念经常被应用于设计、施工和测量。
通过相似三角形的比例关系,可以确定建筑物的尺寸、高度和角度,保证工程的准确性和稳定性。
5. 几何模型的相似:在计算机图形学和动画制作中,相似三角形的概念被广泛应用。
通过构建相似的几何模型,可以实现图形的放大、缩小和形变,从而实现各种特效和动画效果。
总结:相似三角形是几何学中一个重要的概念,用于描述两个或多个三角形的形状和尺寸关系。
《相似三角形应用举例》 知识清单
《相似三角形应用举例》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值称为相似比。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
2、相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
3、相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
四、相似三角形的应用举例(一)测量高度1、测量旗杆高度例如,在旗杆旁边立一根已知长度的标杆,测量出标杆的影长和旗杆的影长。
由于在同一时刻,太阳光线是平行的,所以标杆和旗杆与地面形成的夹角相等,那么标杆和旗杆与其各自影长所构成的两个直角三角形相似。
设旗杆高度为 h,标杆长度为 a,标杆影长为 b,旗杆影长为 c,则有:a/b = h/c,通过这个比例关系可以求出旗杆的高度 h。
2、测量建筑物高度在距离建筑物一定距离的地方,放置一个已知高度的物体(如测量杆),然后分别测量出物体的影长和建筑物的影长,利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
(二)测量距离1、测量河流宽度可以在河对岸选定一个目标点,然后在河的这一边选定两个点,使这两个点和对岸的目标点构成一个三角形。
再在这一边另选一个点,测量出这个点到刚才选定的两个点的距离以及这个点与对岸目标点所形成的夹角。
通过这些数据,可以利用相似三角形计算出河流的宽度。
2、测量不能直接到达的两点之间的距离比如,要测量 A、B 两点之间的距离,但 A、B 两点之间有障碍物不能直接测量。
可以在 A、B 两点之外找一个能同时看到 A、B 两点的点 C,测量出 AC、BC 的长度以及∠ACB 的度数。
根据三角形的余弦定理,可以求出 AB 的长度。
(三)在航海中的应用1、确定船只的位置通过观测两个已知位置的灯塔与船只所形成的角度,结合灯塔之间的距离以及相似三角形的知识,可以确定船只的位置。
中考复习:相似形的应用
中考复习:相似形的应用知识梳理一、相似三角形及其性质(1)概念:三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做相似比。
(2)性质:①相似三角形的对应角相等,对应边成比例;②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;③相似三角形的周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。
二、 相似三角形的判定(1)相似三角形的判定方法:①两角对应相等,两三角形相似;②三边对应成比例,两三角形相似;③两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似。
(2)三角形相似具有传递性:若△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,则△ABC ∽△A 2B 2C 2.(3)几种特殊三角形的相似的判定方法:①顶角(或底角)相等的两等腰三角形相似;②一腰和底对应成比例的两等腰三角形相似;③一锐角相等的两直角三角形相似;④斜边和一直角边对应成比例的两直角三角形相似;⑤所有的等边三角形、等腰直角三角形相似。
三、 相似多边形 (1)各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比.(2)两个n 边形(n ≥4)只有当对应边成比例和对应角相等两个条件同时满足时,这两个n 边形才相似。
(3)相似多边形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。
四、位似图形 (1)概念:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比。
(2)位似图形与相似图形的关系:位似图形是特殊的相似图形;如果两个图形是位似图形,那么这两个图形也必定是相似图形;两个相似图形却不一定是位似图形。
(3)性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
五、测量物体的高度(1)利用阳光下的影子测量物体的高度时:被测物体的影长被测物体的实际高度该物体的影长某物体的实际高度。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。
当两个图形形状相同时,我们称它们为相似图形,或者简称相似性。
需要注意的是,相似图形强调形状相同,与它们的位置、颜色、大小等因素无关。
相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
当两个图形形状和大小都相同时,这时是相似图形的一种特例——全等形。
相似多边形的性质如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例。
需要注意的是,当两个相似的多边形是全等形时,它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较,若两线段的长度分别为m和n,则它们的比为a:b=m:n(或bn)。
比的前项为a,后项为b。
比例指两个比相等的式子,如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积,即acbd=adbc。
比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。
其中,反比性质指如果注意:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。
例如:$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。
5.等比性质:若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$,其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$,则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。
注意:(1)此性质的证明运用了“设$k$法”,这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。
北师大版数学九上第四章《相似三角形的基本图形》专题复习(教案)
4.利用相似三角形解决实际问题的方法。
5.本章典型例题与习题的复习巩固,如相似三角形的应用题、图形的放大与缩小等。
6.相似多边形的性质及判定方法。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力,通过观察、分析相似三角形的基本图形,提高学生对几何图形的理解和识别能力。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《相似三角形的基本图形》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过需要测量不可到达的距离或高度的情况?”(如测量旗杆的高度)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在小组讨论环节,学生们表现得非常积极,能够主动提出自己的观点并与他人交流。但在分享成果时,部分学生的表达能力还有待提高。为了提高学生的表达能力,我计划在接下来的课程中增加一些课堂演讲或辩论环节,让他们有更多机会锻炼自己的口头表达能力。
最后,从这节课的教学过程中,我也意识到了关注学生个体差异的重要性。有些学生可能需要更多的时间来消化和理解相似三角形的知识点,因此在课后,我要针对这些学生进行个别辅导,帮助他们克服学习难点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS)。
-掌握相似三角形的性质,尤其是对应角相等和对应边成比例。
-能够运用相似三角形解决实际问题,如测量不可到达的距离或高度。
-理解并运用直角三角形特殊比例关系(30°-60°-90°和45°-45°-90°)。
其次,在解决实际问题时,部分学生构建相似三角形模型的能力较弱。针对这一点,我打算在接下来的课程中,设计一些更具挑战性的问题,让学生们通过小组合作的方式,一起探讨如何将实际问题转化为数学模型。这样既能提高他们的解决问题的能力,也能培养他们的团队合作精神。
(完整word版)相似三角形复习专题.doc
荣江学校 九年级 数学(上) 导学案 班别:姓名:相似三角形复习专题★知识点一: 比例线段1、比例线段: 在四条线段 a,b, c,d 中,如果 a 和b 的比等于 c 和 d 的比,即ac,那么这四条线段 a, b, c, dbd叫做成比例线段,简称比例线段。
2、比例中项:如果三个数a ,b ,c 满足比例式a b,那么 b 叫做 a 、 c 的比例中项,此时有 b 2ac 。
b c3、黄金分割:如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB ,使PB AP,那么称线段 AB 被点 P 黄金分割,AP AB点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点,比值叫做黄金比。
长=短=5 1≈ 0.618全 长24、比例式变形:a c a bcd a a c 5、(比例的有关性质) :bdbd或b dba b ,交换内项)b dc d (a ca cd c,交换外项 )a c bcd c a bb d b a (badb或c ddadb.同时交换内外项 )(比例基本定理)合比性质: a bc dc a (bd等比性质:a cm dn0)a c m abdn (b等比性质 :dnbb1、如果 a = 2 ,那么 a =_____。
A . 1B .4C .5D .7b 3 a + b744a =3 a +b的值是 (,则 )xx+y2、若 b 5 b8 3 35 5. 若 3x -4 y =0,则 y =, y = .A 、 5B 、 5C 、 2D 、 81.下列各组数中,成比例的是(3、已知:ab b cc a,求 a : b : c 的值6.)10 1115A.-7,-5 , 14,5B.-6 ,-8 , 3,4 4.( 2015 东营)若 y3 ,则 xy的值为(x )C.3 , 5, 9, 12D.2,3, 6, 12x4★知识点二: 相似三角形1、定义:如果两个三角形中,三角对应相等,三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。
中考相似专题
D
C
BD AD
CD BD
2
D
BA
(或BD AD CD)
看谁的反应快
E
B
C
F
D
A
4、如图,F、C、D共线,BD⊥FD, EF⊥FD , BC⊥EC ,若DC=2 ,BD=3,FC=9,则EF的长为( A ) (A)6 (B)16 27 FC CD EF (C) 26 (D)2 . CD BD ,即EF FC BD
D
P
C
A 例1如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=10, 在线段BC上任取一点P,作射线 E PE⊥PD,与线段AB交于点E. ( B) (1)试确定CP=3时点E的位置; 过D作DH⊥BC于H, 由题意,得CH=3, 又CP=3 ∴P与H重合, 从而E与B重合
F E E F E
r
G
a
A C H4 4 4 4 Gy O D y B
O’ 2 D
a
x
D
y
B
A
G
D
B
知识链接
x
A
x
友情提醒:善于从复杂 图中分解出基本图形, 将会助你快速解题!
相似基本图形 的运用
已知相似图形直接求
方程思想 整体思想 转化思想 分类思想
构造相似图形间接求
学会从复杂图形中分解出基本图形
C
O
D
B
A 例1如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=10, 在线段BC上任取一点P,作射线 E PE⊥PD,与线段AB交于点E. B (1)试确定CP=3时点E的位置; (2)若设CP=x,BE=y,试写出y关 于自变量x的函数关系式,并求出自 变量x的取值范围.
中考数学复习必备相似三角形及其应用
2.若a.b d b.(3)若a中考数学复习必备相似三角形及其应用知识点回顾:相似三角形及其应用是中学的一个重要内容,学好相似三角形不仅能使我们对图形相似有更深刻的认识,也能使我们以前学过的全等三角形的知识得以巩固和提高.在各种考试中,相似三角形及其应用都是重点考查的内容.它包括:了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段,通过实例了解黄金分割;了解两个三角形相似的概念,掌握两个三角形相似的条件和性质;能够利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)知识点一:比例线段1.在四条线段中,如果其中两条线段的比等于,那么这四条线段叫做成比例线段.b=,则b叫做a、c的.b c3.比例的性质:(1)若(2)若a c=(b≠0,d≠0) b da c a±b==c m==……=(b+d+……+m≠0),b d n那么a+c+ +mb+d+ +n=.4.若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使是和的比例中项,则称线段AB被点C黄金分割,点C叫做黄金分割点.例1:(2009山西太原)如图1是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割.已知AB=10cm,则AC的长约为cm.(结果精确到0.1cm)解析:本题考查黄金分割的有关知识.由题意知AC2=BC⨯AB,∴AC2=(10-AC)⨯10,解得x≈6.2,故填6.2..同步检测一:图1因为 OA = 20cm ,OA ' = 50cm ,所以对应边的比为 .1.(2009 年孝感)美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618时,越给人一种美感.如图 2,某女士身高 165cm ,下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为()A .4cmB .6cmC .8cmD .10cm2.(2009 年衢州)在△ABC 中,AB =12,AC =10,BC =9,AD 是 BC 边上的高△.将 ABC 按如图所示的方式折叠,使点 A 与点 D 重合,折痕为 △E F ,则DEF 的周长为()图 2A .9.5C .11B .10.5D .15.5图 3知识点二:相似三角形的概念1.具有的图形称为相似性.2.对应角,对应边的三角形叫做相似三角形。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形,它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题,从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型,并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同,大小成比例。
相似三角形的对应边成比例,对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质,例如,相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型:两个三角形分别在两条平行线上,它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型:两个三角形有一个共同的顶点,且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似,以及求解一些角度问题。
角平分线模型:一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似,以及求解一些角度问题。
平行四边形模型:一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型:一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形,这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型:一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形,这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型:一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形,这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型:如果一个三角形与另一个三角形相似,那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型:如果一个三角形与另一个三角形相似,那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型,它们具有广泛的应用价值。
《相似三角形应用举例》 知识清单
《相似三角形应用举例》知识清单一、相似三角形的定义及性质相似三角形是指对应角相等,对应边成比例的三角形。
相似三角形具有以下重要性质:1、对应角相等:两个相似三角形的对应角大小完全相同。
2、对应边成比例:相似三角形的对应边之比相等。
3、周长之比等于相似比:两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积之比等于相似比的平方:相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
二、相似三角形的判定方法1、两角对应相等的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边对应成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形在实际生活中的应用举例1、测量高度例如,要测量一棵大树的高度,但无法直接测量。
我们可以在同一时刻,测量出树的影子长度和一根已知长度的标杆的影子长度。
由于太阳光线是平行的,所以在同一时刻,树和标杆与地面形成的夹角相等,即三角形相似。
设树高为 h,标杆长为 a,标杆影子长为 b,树影子长为 c,则根据相似三角形的性质可得:h / c = a / b,从而可以求出树的高度 h。
2、测量距离在不能直接测量两点之间的距离时,可以利用相似三角形来解决。
比如,要测量一条河的宽度,在河的一侧选择一个点 A,在对岸选择一个点 B,然后在河这一侧再选择一个点 C,使得 AC 垂直于河岸。
接着,沿着 AC 的方向向后走一段距离,找到点 D,使得点 D、A、B 三点共线。
测量出 AD 和 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 相似,所以有 AB / AD = BC / CD,从而可以算出河的宽度 BC。
3、计算角度在一些实际问题中,已知一些边的长度,通过相似三角形可以求出未知的角度。
例如,在一个三角形 ABC 中,已知 AB、AC 和 BC 的长度,通过构造相似三角形,找到与已知角度相关的关系,从而求出未知角度。
4、地图比例尺地图上的距离与实际距离之间的比例关系可以用相似三角形来理解。
地图上的图形与实际的地理区域是相似的,通过比例尺可以将地图上的距离转换为实际距离,或者将实际距离转换为地图上的距离。
相似三角形的基本图形及其运用
相似三角形的基本图形及其运用作者:蒋丽萍来源:《中学教学参考·语英版》2012年第02期相似三角形是初中几何中的核心模块,是中考中的重要考点,也是考查学生分析问题和解决问题的综合能力的重要载体.相似三角形中有一些基本图形,如果能掌握这些基本图形,并把它们从复杂的图形中挖掘出来,构成几何问题中的核心结构,问题的解决也就水到渠成.首先我们来扫描一下相似三角形的基本图形一、常规基本图形1.平行型此类型有两种基本图形:简称“A”型图和“X”型图【例1】已知:如右图,直线l的解析式为y=43x+4,l与x轴、y轴分别交于点A、(1)求原点O到直线l的距离(2)有一个半径为1的⊙C从坐标原点出发,以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动,设运动时间为t(秒),当⊙C与直线l相切时,求t的值解析:(1)过点O作OH⊥AB于点H,利用等积法可求出斜边上的高OH,即原点O到直线l的距离为(2)当⊙C与直线l相切时,点C到直线l的距离等于⊙C的半径1,而点C的位置可能在点B的下方或上方,因此要分两种情况进行讨论①当点C的位置在点B的下方时,过点C作CG⊥AB于点G,则得到基本图形1,利用△BCG∽△BOH,得到BC4=1125,求出BC=53,再求出OC=73,由1·t=73就可求出t=73(秒);②当点C′的位置在点B的上方时,过点C′作C′G′⊥直线l于点G′,则得到基本图形2,利用△BC′G′∽△BOH,同①得到BC′=53,再求出OC′=173,求出t=173(秒)点评:此题中既用到了型图又用到了型图.从不同的视角分析图形,找准切入点,也就成了解决问题的关键2.相交型此类型也有两种基本图形:简称斜型图和斜型图如图3,△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,若∠ADE=∠ACB(或∠AED=∠ABC),则△ADE∽△特别地,当点E与点C重合时,又得到了如图4所示的基本图形如图5,线段AD、BC相交于点E,连结AB、CD,若∠A=∠C(或∠B=∠D),则△ABE∽△【例2】已知:如右图,矩形ABCD中,AC、BD交于点O,OF⊥AC于O交BA于点E,交CB的延长线于点F.求证解析:欲证,可寻找这四条线段所在的两个三角形,证出这两个三角形相似即可.连结AF得基本图形4,利用矩形的性质及OF⊥AC可证出∠1=∠2,又∠2+∠3=∠4+∠,所以∠4=∠2=∠1,所以△AOE∽△FOA,结论即可得证点评:由结论找到(或构造)要证的基本图形,追根寻源,问题迎刃而解【例3】已知:如右图,在⊙O中弦AB、CD相交于点E,若AB=10,CD=12,且点E是AB的中点,则点E也是CD的中点吗?为什么?解析:由题意可知,图中有基本图形5(这是圆中常用到的基本图形),利用△ACE∽△DBE得到512-CE=CE5,求出CE=6-11,DE=6+11,因此得出点E不是CD的中点点评:回归基本图形,以算代证,快速解决问题3.双垂直型(也称母子相似三角形)双垂直型图运用相当广泛,结合勾股定理,图中共有6条线段,只要已知其中的任意2条线段的长就可求出其余的4条线段来【例4】已知:如右图,C是半圆O上一点,,过点C作直径AB的垂线CP,P为垂足,弦AE分别交PC、CB于点D、F.(1)求证:;(2)求证:AD=CD;(3)若DF=54,DPAP=34,求PB的长解析:(1)欲证,需证△ACD∽△AEC,而这正是一个特殊的斜型图,即基本图形4,由条件证出∠ACD=∠B=∠AEC即可(2)由可得AC=CE,从而∠CAD=∠AEC=∠ACD,结论得证(3)可证出AD=CD=54,由DPAP=34,可得DP=34,AP=1,CP=2,图中有基本图形6,利用△CPA∽△BPC,得到12=2PB,从而求出点评:此题中既用到了特殊的斜型图又用到了双垂直型图,所以挖掘基本图形对于解题很重要二、特殊基本图形1.和为平角型如图7,点E在BC上,若∠AED=∠B=∠C,则△ABE∽△ECD.这个基本图形在几何综合图形中经常出现.特别地,当∠AED=∠B=∠时,又得到了如图8所示的基本图形【例5】已知:如右图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠保持不变,设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式;(3)在(2)中当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由解析:(1)由条件可证△ABM≌△DCM,得到AB=DC,从而结论得证.(2)图中存在基本图形7,利用△CPQ∽△BMP,得到x4=4-y4-x,从而求得-x+4;(3)利用二次函数的最值可求出当x=2时,最小值y=3,证得△PQC为直角三角形点评:从复杂图形中挖掘出特殊基本图形的方法就是要熟悉这些特殊的基本图形.拓展延伸如右图,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME 和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由解析:(问题探究) k=1时,易证△ABG≌△,得到AG=EP,同理AG=FQ,所以(拓展延伸)过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q,则得到基本图形8,利用△ABG∽△EAP,得到AGEP=ABEA,同理AGEP=ACFA.由AB=kAE,AC=kAF,得到ABEA=ACFA=k,从而EP=FQ.再由∠EHP=∠FHQ,得到△EPH≌△FQH,所以点评:此题一开始就将两个全等的直角三角形拼成了貌似图8的基本图形,然后一步步去构造出了含有两对此全等形的复杂图形,最后真正演变成了相似三角形中两个图8这样的基本图形,万变不离其宗2.和为直角型【例6】已知:如下图,四边形中,∠BAD=∠,CD=92,求四边形ABCD的面积解析:因为∠所以过点D作DE⊥AC于E,则得到基本图形9,利用△ABC∽△DAE,得AEBC=DEAC=ADAB=34.设AE=3k,则BC=4k,AC=12k,CE=9k,DE=9k,因为CD=92,所以k=1,可求得四边形ABCD的面积为点评:以和为直角型图形为依托,利用相似比例关系还原线段长度后定出面积大小由以上问题不难看出,识别并会利用相似三角形中的基本图形对解决几何问题是相当重要的.在解几何题时用好几何图形中的基本图形,可以有效解决问题并加深对问题本质的理解,从而达到提高解决综合问题能力的目的,正如华罗庚先生所言:不断积累,飞跃必来,突破随之(责任编辑金铃)。
相似三角形基本图形的应用
D
B
F
C
2.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,沿直线 MN 对折,使点 A,C 重合,直
线 MN 交 AC 于点 O ,求线段 OM 的长
A
N
D
O
B
M
C
三、双垂型图的应用
四、一线三等角型图的应用
4.如图,直线
y
4y 3
=x
-
4 316x与+ 1x6轴交于
A
点,与
y
轴交于
B
点,动点
CA 延长线于 E,求证: OC2 OAOE .
PAP /Q 为菱形时,求 t 的值
P/
(3)当 t 为何值时,△BPQ 是等腰三角形?
A
Q
BPDCFra bibliotekQ A
P D
B 5.如图,以△ABC 的两边 AB、AC 作等边三角形△ABE 和△ACD,BD 与 CE 相交于点 F,求∠DFC 的度数
E
C
A
(1)设△BPQ 的面积为 S,是否存在时刻 t,使得 S 1 ,若存在, S 矩 形ABCD 6
请求出 t 的值
(2)如图 2,连接 PA,将△PQA 沿 AQ 翻折,得到四边形 PAP /Q ,当四边形
二、X 型图的应用 4. 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 交于点 O,BE∥CD 交
y
B Q
x
O
PA
P
从
A 点出发,以每秒 2 个单位的速度沿 AO 方向向点 O 匀速运动,同时动点 Q
从 B 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿 BA 方向向点 A 匀速运动,当一个点停