【金版新学案】2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2课时作业：3.2.1 Word版含解析
【金版新学案】2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2课时作业：3.2.2 Word版含解析
第三章 3.2 3.2.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知i 为虚数单位，z ＝i 1＋2i，则复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： z ＝i 1＋2i ＝i·(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝i －2i 25＝25＋15i.∴复数z 对应的点为⎝⎛⎭⎫25，15，位于第一象限．答案： A2．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝() A ．14 B ．12C ．1D ．2解析： 方法一：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i (1－3i )2＝|3＋i||1－3i|2＝24＝12.∴z z ＝|z |2＝14， 故选A.方法二：z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i(1－3)－23i＝3＋i－2(1＋3i ) ＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i－8＝－3＋i4. 则z ＝－34－14i ，z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ⎝⎛⎭⎫－34－14i＝316＋116＝14，故选A.答案： A3．已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝a ＋i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为() A ．－1 B ．1C ．－2D ．2解析： 因为z 1·z 2＝(a －1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0a ＋1≠0，解得a ＝1.答案： B4．已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i1＋i 2 012等于( )A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析： ∵1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i )(1－i )＝－2i2＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 012＝(－i)2 012＝i 503×4＝i 4＝1.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知复数z ＝2ii －1，则复数z 的共轭复数为________． 解析： z ＝2ii －1＝2i (－1－i )2＝－i ＋1，∴z ＝1＋i.答案： 1＋i6．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________ . 解析： 利用复数相等的条件求出a ，b 的值．3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2 ＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3. 答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．计算：(1)i 2 009＋(2＋2i)8－⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 50＋－23＋i 1＋23i ； (2)5i －1＋2i＋(2＋i)·(1－i)． 解析： (1)i 2 009＝i 4×502＋1＝i ，(2＋2i)8＝[2(1＋i)2]4＝(4i)4＝44＝256，⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 50＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 225＝⎝⎛⎭⎫22i 25＝(－i)25＝－i ，－23＋i 1＋23i ＝i (1＋23i )1＋23i ＝i ， 所以原式＝i ＋256＋i ＋i ＝256＋3i.(2)原式＝5i (－1－2i )5＋3－i 2－i ＝i(－1－2i)＋4－i＝－i ＋2＋4－i ＝6－2i.8．已知复数z 满足z z －1＝2i ，求复数z 对应点坐标． 解析： 方法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z z －1＝x ＋y i (x －1)＋y i＝2i ， 得x ＋y i ＝－2y ＋2(x －1)i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y y ＝2(x －1)⇒⎩⎨⎧ x ＝45y ＝－25，则复数z ＝45－25i.即复数z 对应点为⎝⎛⎭⎫45，－25.方法二：由zz －1＝2i ，得z ＝(z －1)2i ＝2z i －2i ， 则z (1－2i)＝－2i ，∴z ＝－2i1－2i ＝－2i (1＋2i )5＝4－2i 5＝45－25i.即z 对应点为⎝⎛⎭⎫45，－25. 尖子生题库 ☆☆☆ (10分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解析： (1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.。
名校新学案高中数学人教A版选修2-2课后作业2.1.2演绎推理(备选)(含答案详析)
名校新教案高中数学人教A版选修2-2课后作业2.1.2演绎推理(备选)(含答案详析)
选修2-2第二章 2.1
1．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③因此三角形不是矩形”中的小前提是()
A．① B ．②
C．③ D ．①②
[答案 ]B
[分析 ]由①②③的关系知，小前提应为“ 三角形不是平行四边形”．故应选B.
2．求函数 y＝log2x－ 2的定义域时，第一步推理中大前提是a存心义时， a≥0，小前提是log 2x－ 2存心义，结论
________．
是
[答案 ]log2x－ 2≥0
[分析 ]由三段论方法知应为log 2x－ 2≥ 0.
3．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋ b2≥2ab，
∴2(a2＋ b2)≥ a2＋ b2＋ 2ab.
[答案 ]若a≥ b，则a＋c≥ b＋c
[分析 ]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋ b2，故大前提为：若a≥ b，则 a＋ c≥ b＋ c.
4．先解答下题，而后剖析说明你的解题过程切合演绎推理规则．设m 为实数，求证：方程 x2－ 2mx＋ m2＋1＝ 0 没有实数根．
[分析 ]已知方程x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 的鉴别式＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，因此方程 x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：假如一元二次方程的鉴别式<0，那么这个方程没有实数根；
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结论：一元二次方程x － 2mx＋ m ＋ 1＝ 0 没有实数根．
解题过程就是考证小前提建立后，得出结论．。
【金版学案】高二数学选修2-2习题：模块综合评价(2)(新人教A版)(含答案解析)
模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2015·课标全国Ⅰ卷)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析： 由1＋z 1－z ＝i 得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i ，所以|z |＝1. 答案：A2．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A ．0 B.π2C ．πD ．2π解析：z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，所以cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0，检验知θ＝π2.答案：B3．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1解析：左边的特点是分母逐渐增加1，末项为12n －1；由n ＝k 时，末项为12k －1到n ＝k＋1时末项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，所以应增加的项数为2k. 答案：C5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除 解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)D ．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，所以f ′(x )≤0恒成立，所以Δ＝4a 2－12≤0，所以－3≤a ≤ 3. 答案：D9．若f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，则∫10f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解析：设∫10f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，m ＝∫10f (x )d x ＝∫10(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋2mx |1＝13＋2m ，解得m ＝－13. 答案：B10．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：由导函数图象可知，当x ＜0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0＜x ＜x 1时，f ′(x )＞0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，所以选项D 正确．答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13 B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2， 设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2|0－2＝43. 答案：B12．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.因为f (x )＝0在上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m ＋2≥0，解得－2≤m ≤2.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：|z 2|＝|3＋4i|＝5，|z |2＝5，所以|z |＝ 5. 答案： 514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A -BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．设x ∈R ，若x ＋x －1＝4.则可猜测x 2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是________．解析：n ＝1时，x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝14；n ＝2时，x 4＋x －4＝(x 2＋x －2)2－2＝142－2＝194；n ＝3时，x 8＋x －8＝(x 4＋x －4)2－2＝1942－2，因为1942的个位数字是6， 所以1942－2的个位数字是4.猜想可得x 2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是4. 答案：416．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在 上有最小值3，那么在上f (x )的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(－2，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，所以最大值为f (3)＝54＋3＝57.答案：57三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3.－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数， 所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1， 所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， 所以复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S ＜2a .证明：因为S 2＝2ab ， 所以要证S ＜2a ， 只需证S ＜S 2b ，即b ＜S .因为S ＝12(a ＋b ＋c )，只需证2b ＜a ＋b ＋c ， 即证b ＜a ＋c .因为a ，b ，c 为三角形三边， 所以b ＜a ＋c 成立，所以S ＜2a 成立．19．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2 ，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．解：依题意得z 1＋z 2为实数， 因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0，解得a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝⎝⎛⎭⎫38，－1，OZ 2→＝(－1，1)． 所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1或t ＝－1(不合题意，舍去)． 当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：∴g (t )在h (t )＜－2t ＋m 在(0，2)内恒成立等价于g (t )＜0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m ＜0， ∴m 的取值范围为(1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， 所以f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x (x ＞0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2（a ＋1）x ＋2a x ＝2（x －1）（x －a ）x (x ＞0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0＜a ＜1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(a ，1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a ，1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2（x －1）2x≥0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞1时，在x ∈(0，1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间为(0，1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间上只可能有极小值点，所以f (x )在区间上的最大值必在区间端点取到，所以f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2，所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥e 2－2e 2e －2. 22．(本小题满分12分)是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝an 2＋nbn ＋2对一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明． 解：假设存在常数a ，b 使等式成立，则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2，得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立．证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＝k 2＋k 4k ＋2， 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝ k 2＋k 4k ＋2＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝k ＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3＝ k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22（2k ＋3）＝k ＋12k ＋1·（2k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3）＝ （k ＋1）（k ＋2）4k ＋6＝（k ＋1）2＋k ＋14（k ＋1）＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．。
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时练 新人教A版选修22
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）课时练 新人教A 版选修22【金版新学案】2014-2015学年高中数学 1.2.2(2) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时练 新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x解析： A 项中(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确．答案： A2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2 解析： 因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)．解得f ′(1)＝－2，所以f ′(x )＝2x －4，所以f ′(0)＝－4.故选B.答案： B3．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝0 解析： y ′＝－12x －12，∵点(1,1)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12x －12|x ＝1＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x＋y －2＝0.答案： B4．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(3，f (3))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 解析： f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f ′(3)＝2e 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫3＋π4＜0，则此函数图象在点(3，f (3))处的切线的倾斜角为钝角． 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝x 2x ＋3的导数是________．解析： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′ ＝x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′x ＋32＝2x x ＋3－x 2x ＋32＝x 2＋6x x ＋32. 答案： x 2＋6x x ＋326．(全国大纲卷改编)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.解析： y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案： －6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1；(4)y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 解析： (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′＝5x 4－9x 2－10x .(2)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.方法二∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)方法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12 ＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(4)∵y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x4＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x .8．求下列函数的导数：(1)y ＝11－3x 4；(2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(3)y ＝ln(2x 2＋x )；(4)y ＝x ·2x －1.解析： (1)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝121－3x 5.(2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(2x 2＋x )′＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.先求t ＝2x －1的导数．设u ＝2x －1，则t ＝u 12， t x ′＝t u ′·u x ′＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 尖子生题库☆☆☆ (10分)已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l的方程．解析： ∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. ∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。
金版学案高中数学选修2-2人教A版2.3同步辅导与检测课件.ppt
另外，在推证“n＝k＋1〞时，还可以用整除的定义，将归 纳假设表示出来，假设n＝k时成立，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2 ＋a＋1整除，那么ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(x)(q(x)为多 项式)，所以，(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(x)－ak＋1，故当n＝k ＋1时，
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 用数学归纳法证明整除问题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．
分析：对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那 么A能被B整除．
证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题 显然成立．
如果增加一个满足条件的任一个圆，那么这个圆必与前k 个圆相交于2k个点．这2k个点把圆分成2k段弧，每段弧把它所 在的原有平面分成两个局部．因此，这是平面被分割的总数在 原来的根底上又增加了2k局部，
即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)
＋2. 金品质•高追求 我们让你更放心！
1)． 2．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12 n(3n－
证明：(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝12 ×1×(3－1)＝1，左边＝右边，等式成立．
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式也成立， 即 1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)，
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 用数学归纳法证明不等式
求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N*)．
【金版新学案】高中数学 2.1.1 推理与证明课件 新人教A版 选修2-2
(2)类比推理的适用前提
①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性
或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再 由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性．
②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．
合情推理
1．合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过______ 观察 、
1.今夜恰有大雾 2.曹操生性多疑 3.北军不善水战 ⇒草船借箭必将成功 弓弩利于远战 4.今夜恰有东风
[问题2]
蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用
肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬
行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的吗？
[提示2] 是．所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出
一个猜想． (3)检验这个猜想．
3 ．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2 ，则它 们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长 的比为1∶2，它们的体积比为多少？你能验证这个结论吗？
解析： 由类比推理得， 若两个正四面体的棱长的比为 1∶ 2，则它们的体积比为 1∶8.下面计算验证． 假设两个正四面体的棱长分别为 1 和 2， 如图， 正四面体 A －BCD 的棱长为 1，取 BC 的中点 E，作 AO⊥ED 于 O，则 OD 2 2 3 3 ＝3ED＝3× 2 ＝ 3 .
பைடு நூலகம்
图形中归纳推理的特点及思路
1．此类题目的特点：
由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，这 类题颇有智力趣题的味道，解答时常用归纳推理的方法解决， 分析时要注意规律的寻找． 2．解决这类问题从哪入手：
金版新学案(人教版)高中数学选修2-2练习：模块综合检测A(含答案)
模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵z ＝2－i2＋i＝－2＋－＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45，在第四象限． 答案： D2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1D ．－37解析： f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，y －10＝7(x －1)，y ＝0时，x ＝－37.答案： D3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．①D ．②③解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案： A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1，x ＝3，当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. 当x ＝－1时，y 极大值＝5，x 取不到3，无极小值． 答案： C5．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析： 令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案： C6．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0 B ．⎠⎛1 0x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝0解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案： D7．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)时，在验证n ＝1时，左边的代数式为( )A ．12＋13＋14B ．12＋13C ．12D ．1解析： 当n ＝1时，不等式左边为11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝12＋13＋14.答案： A8．函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上的减区间是[－1,1]，则( ) A ．a ＝13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析： x ∈[－1,1]，y ′＝3ax 2－1≤0，且y ′|x ＝±1＝0， ∴3a ＝1，a ＝13.答案： A9．若z 1，z 2∈C ，则z 1z 2＋z 1z 2是( ) A ．纯虚数 B ．实数 C ．虚数D ．不能确定解析： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1z 2＋z 1z 2＝(a ＋b i)(c －d i)＋(a－b i)(c＋d i)＝(2ac＋2bd)∈R.答案： B10．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B．15C．－15 D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3m－2＝－1，m2－3m－3m－2＝12，m＝±15，而m>3，所以m＝15.答案： B11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为() A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案： B12．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是()A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H12解析：后一种化合物应有4个C和10个H，所以分子式是C4H10.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．解析： z ＝－1＋i1＋i －1＝－1＋i.答案： 二14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 解析： 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入到y ＝x 3＋3x 2－5，得b ＝－3，即P (－1，－3)，y ＋3＝－3(x ＋1)，3x ＋y ＋6＝0.答案： 3x ＋y ＋6＝015．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．解析： 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(0)＝0 ∴b ＝0，∴f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33| －a 0＝a 412，∴a ＝±3. 又－a >0⇒a <0，得a ＝－3. 答案： －316．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．解析： 在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2△P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④， ③÷④整理得M ＝N . 答案： M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析： (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ， 得y ′|x ＝x 0＝52x 0. ∵切线与y ＝2x －4平行， ∴52x 0＝2，∴x 0＝2516，∴y 0＝254，则所求切线方程为y －254＝2⎝⎛⎭⎫x －2516，即2x －y ＋258＝0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故需设切点坐标为M (x 1，y 1)，则切线斜率为52x 1.又∵切线斜率为y 1－5x 1，∴52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1，∴2x 1－2x 1＝x 1，得x 1＝4. ∴切点为M (4,10)，斜率为54，∴切线方程为y －10＝54(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.18．(本小题满分12分)设复数z 满足|z |＝1且(3＋4i)z 是纯虚数，求复数z . 解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1. ① (3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0. ②联立①②解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45＋35i 或z ＝－45－35i.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式；(2)f (x )的单调递增区间．解析： (1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)得a ＋b ＋1＝－3， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－43a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－6，∴f (x )＝2x 3－6x ＋1. (2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c .证明： 已知a >b >c ，因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4， 所以a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.21．(本小题满分13分)用总长14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解析： 设该容器底面的一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，此容器的高为h ＝14.84－x －(x ＋0.5)＝3.2－2x (0<x <1.6)．于是，此容器的容积为V (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，其中0<x <1.6. 由V ′(x )＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，得x ＝1或x ＝－415(舍去)．因为V (x )在(0,1.6)内只有一个极值点，且x ∈(0,1)时，V ′(x )>0，函数V (x )单调递增；x ∈(1,1.6)时，V ′(x )<0，函数V (x )单调递减．所以，当x ＝1时，函数V (x )有最大值V (1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m 3)，h ＝3.2－2＝1.2(m)．即当高为1.2 m 时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 22．(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 2x －，给定数列{a n }，其中a 1＝a >1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N ＋)．(1)若{a n }为常数列，求a 的值；(2)判断a n 与2的大小，并证明你的结论． 解析： (1)若{a n }为常数列，则a n ＝a . 由a n ＋1＝f (a n )，得a ＝f (a )．因为f(x)＝x2x－，所以a＝a2a－.又a>1，所以a＝2(a－1)，解得a＝2.(2)当a＝2时，由(1)知a n＝2.当a≠2时，因为a1＝a，a n＋1＝f(a n)＝a2na n－，所以a2＝a21a1－＝a2a－.所以a 2－2＝a2a－－2＝a2－4a＋4a－＝a－2a－>0，即a2>2.因为a 3－2＝a22a2－－2＝a2－2a2－>0，所以a3>2.猜想当n≥2时，a n>2.下面用数学归纳法证明：①n＝2时，a2>2，显然猜想成立．②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k>2.当n＝k＋1时，a k＋1＝f(a k)＝a2ka k－，所以a k＋1－2＝a2k－4a k＋4a k－＝a k－2a k－.由a k>2，知a k＋1－2>0，所以a k＋1>2.根据①和②可知，当a≠2时，对于一切不小于2的正整数n都有a n>2.综上所述，当a＝2时，a n＝2；当1<a<2时，a1<2，a n>2(n≥2)；当a>2时，a n>2.。
金版学案 数学·选修2-2(人教A版)课件：第二章2.1-2.1.1合情推理
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和 类比等进行简单的推理(重点、难点)． 2.了解合情推理 在数学发现中的作用(重点).
1．归纳推理和类比推理
推理类型
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有 归纳推理是
某些特征，推出该类事物的全 由部分到整
3V S1＋S2＋S3＋S4.
答案：C
类型 4 类比推理的应用(误区警示) [典例 4] 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示 为 a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
易错提示：三角形的内角类比到空间中可以是线面 角，也可以是面面角，三角形的边类比到空间中是四面体 的棱还是面，具有不确定性，这些可能是导致出错的原因．
(2)因为 f(x)＝1－x x，所以 f1(x)＝1－x x.
又因为 fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
x 所以 f2(x)＝f1(f1(x))＝1－1－1－xx x＝1－x2x，
x f3(x)＝f2(f2(x))＝1－12－ ×12－xx2x＝1－x4x，
x f4(x)＝f3(f3ห้องสมุดไป่ตู้x))＝1－14－ ×14－xx4x＝1－x8x，
2．类比推理的步骤与方法： (1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的 (细微)差别． (2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地 表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含 糊认识说清楚．
于 D，有A1D2＝A1B2＋A1C2成立．那么在四面体 ABCD 中， 类比上述结论，你能得到怎样的猜想？试说明理由．
金版新学案(人教版)高中数学选修2-2练习：1.3.2函数的极值与导数(含答案)
第一章 1.3 1.3.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3解析：y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：答案： D2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点解析：由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．答案： C3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()解析：方法一：由y＝f′(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)为减函数，只有C 项符号，故选C.方法二：在导函数f ′(x )的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数f (x )在x ＝0时取得极大值．又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f (x )在x ＝2时取得极小值，只有选项C 符合，故选C.答案： C4．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝2或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－4，b ＝11 D ．以上都不对解析： f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，f ′(1)＝0即2a ＋b ＝3 ①， f (1)＝a 2－a －b ＋1＝10，即a 2－a －b ＝9 ②，解由①②组成的方程组，得a ＝－4，b ＝11(有极值)或a ＝3，b ＝－3(舍去，无极值)． 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.解析： f ′(x )＝2xx ＋－x 2＋ax ＋2＝x 2＋2x －a x ＋2由题意知f ′(1)＝0， ∴3－a22＝0，解得a ＝3.经验证，a ＝3时，f (x )在x ＝1取得极值． 答案： 36．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析： 函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解得a ＜－1或a ＞2.答案： a ＜－1或a ＞2三、解答题(每小题10分，共20分)7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解析： (1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1.故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝x ＋x －2x2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛⎭⎫因x 2＝－13不在定义域内，舍去. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.8．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，函数有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数的极小值．解析： (1)∵当x ＝1时，函数有极大值3.f ′(x )＝3ax 2＋2bx∴⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3. 解之得a ＝－6，b ＝9.经验证a ＝－6，b ＝9符合题意． ∴a ＝－6，b ＝9.(2)f ′(x )＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 当f ′(x )＝0时，x ＝0或x ＝1. 当f ′(x )>0时，0<x <1； 当f ′(x )<0时，x <0或x >1.∴函数f (x )＝－6x 3＋9x 2的极小值为f (0)＝0.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0解得x<－a，或x>a，由f′(x)<0解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．。
【金版新学案】高二数学人教A版选修2-3课时作业18Word版含解析
第三章 3.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪率是否有关系．其中，用独立性检验可以解决的问题有()A．①②③B．②④⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤解析：独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事情的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．②④⑤均可用独立性检验解决．故选 B.答案： B2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d算得，K2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由7.8>6.635知，有1－0.010即99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选A.答案： A3．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施()优、良、中差总计实验班48250对比班381250总计8614100A.有关B．无关C．关系不明确D．以上都不正确解析：随机变量K2的观测值k＝100×48×12－38×2250×50×86×14≈8.306＞6.635，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“实验效果与教学措施有关”．答案： A4．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：种子处理种子未处理总计得病32101133不得病61213274总计93314407 根据以上数据，可得出()A．种子是否经过处理跟是否生病有关B．种子是否经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的解析：由k＝407×32×213－61×101293×314×133×274≈0.164＜2.706，即不能肯定种子经过处理跟是否生病有关．答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了一些学生的专业情况，得到如下2×2列联表(单位：名)：非统计专业统计专业总计男131023女72027总计203050为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据计算得到K2的观测值k≈4.84，因为k＞3.841，所以认为“主修统计专业与性别有关系”．这种判断出错的可能性为________．解析：由k≈4.84＞3.841可知我们在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”．故判断出错的可能性为5%.答案：5%6．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：无效有效总计男性患者153550女性患者64450总计2179100设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则K2的观测值k≈________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．解析：由公式计算得K2的观测值k≈4.882，∵k＞3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．答案： 4.8825%三、解答题(每小题10分，共20分)7．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了 1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？解析：根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：经常上网不经常上网总计不及格80120200及格120680800总计200800 1 000得出等高条形图如图所示：比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，。
【金版新学案】2014-2015学年高二数学人教A版选修2-3模块综合测评B Word版含解析
模块综合测评(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．6名同学安排到3个社区A ，B ，C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为( )A ．12B ．9C ．6D ．5解析： 从甲、乙、丙以外的3人中选2人到C 社区，共C 23种，剩余的4人中除去甲后任选一人到A 社区共C 13种，剩余2人到B 社区，共有C 23·C 13＝9种．答案： B2．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )A.25B.15 C.320 D.920解析： 甲不去某地的概率是34，乙不去此地的概率是45，则在这段时间内至少有1人去此地的概率是1－34×45＝25.答案： A3．方程：3C x －7x －3＝5A 2x －4的根为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析： 原方程可化为3(x －3)！(x －7)！4！＝5(x －4)！(x －6)！，整理得x 2－9x －22＝0，所以x 1＝11，x 2＝－2. 经检验，x ＝11是方程的根，x ＝－2是方程的增根． 所以原方程的解是x ＝11. 答案： D4．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42B ．35C ．28D ．21解析： 利用二项展开式的通项求解．∵T r ＋1＝C r 7·17－r ·x r ＝C r 7·x r ，令r ＝2，则T 3＝C 27x 2，即展开式中x 2的系数为C 27＝21. 答案： D5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5解析： x ＝3＋4＋5＋64＝92，y ＝2.5＋t ＋4＋4.54＝11＋t4，又∵样本点中点(x ，y )在回归方程上， ∴11＋t 4＝0.7×92＋0.35，解得t ＝3. 答案： A6．抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为S ＝{1,2,3,4,5,6}．令事件A ＝{2,3,5}，事件B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )的值为( )A.35B.12C.25D.15 解析： P (A |B )＝n (AB )n (B )＝25. 答案： C7．已知两个随机变量X ，Y ，且X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (X )和D (Y )分别为( ) A ．2和2.4B ．6和2.4C．2和5.6 D．6和5.6解析：由X～B(10,0.6)，易得E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝2.4.又X＋Y＝8，则Y＝8－X，所以D(Y)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4.答案： B8．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条B．62条C．71条D．80条解析：利用计数原理结合分类讨论思想求解．当a＝1时，若c＝0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线；若c≠0，则c有4种取值，b2有两种，共有2×4＝8(条)抛物线；当a＝2时，若c＝0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线；若c≠0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取－2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，c取－3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，∴共有3＋2＋2＋3＋3＝13(条)抛物线．同理，a＝－2，－3,3时，共有抛物线3×13＝39(条)．由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62(条)．答案： B9．为了调查西瓜爆炸与使用膨大剂的关系，调查人员得到了如下表的数据A．西瓜爆炸与是否使用膨大剂有关B．西瓜爆炸与是否使用膨大剂无关C．西瓜是否使用膨大剂决定是否爆炸D ．以上都是错误的 解析： 依题中数据计算得k ＝407×(35×203－98×71)2133×274×106×301≈0.008，因为k ＝0.008＜2.706，所以西瓜爆炸与是否使用膨大剂无关． 答案： B10．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤7)的值为( )A.1130B.1335C.1635D.726解析： 4只球中黑球个数可能为0,1,2,3，相应得分依次为4,6,8,10.P (X ≤7)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44C 47＋C 34C 13C 47＝135＋1235＝1335.答案： B11.某次我市高二教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体的平均数最小C ．乙科总体的标准差及平均数都居中D ．甲、乙、丙的总体的平均数不相同解析： 由图形可知μ甲＝μ乙＝μ丙，可知甲、乙、丙的总体的平均数相同；由σ甲＜σ乙＜σ丙可知甲科总体的标准差最小．答案： A12．设(1－2x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 1＋a 22＋a 322＋…＋a 1029的值为( )A ．2B ．2 046C ．2 043D ．－2解析： 令x ＝0得a 0＝1； 令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 10210＝0，所以a 1＋a 22＋a 322＋…＋a 1029＝－2a 0＝－2.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、第三、第五位置，其余7名队员选2名安排在第二、第四位置，那么不同的出场安排共有________种．(用数字作答)解析： 3名主力队员安排在第一、第三、第五位置，有A 33种排法，其余7名队员选2名安排在第二、第四位置，有A 27种排法．那么不同的排法共有A 33A 27＝252种．答案： 25214．(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________.解析： (a ＋x )4的展开式中的通项T r ＋1＝C r 4a 4－r x r，当r ＝3时，有C 34·a ＝8，所以a ＝2.答案： 215．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．解析： 利用独立事件和对立事件的概率公式求解．设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝⎛⎭⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 答案： 3816．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y ∧＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧必过(x ，y )；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．解析： 由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误． 答案： ②④⑤三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式中的二项式系数的和比(3a ＋2b )7展开式的二项式系数的和大128，求⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式中的系数最大的项和系数最小的项． 解析： 由题意知2n －27＝128， 所以n ＝8，⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项 T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r. 当r ＝4时，展开式中的项的系数最大，即T 5＝70x 4.当r ＝3或5时，展开式中的项的系数最小，即T 4＝－56x 7，T 6＝－56x .18．(本小题满分12分)为了考察某种新药的副作用，给50位患者服用此新药，另外50位患者服用安慰剂(一种和新药外形完全相同，但无任何药效的东西)，得到如下观测数据：解析： 由表中数据得K 2的观测值 k ＝100×(15×46－35×4)250×50×19×81≈7.862.因为7.862＞6.635，所以在犯错的概率不超过0.01的前提下认为新药会产生副作用．19．(本小题满分12分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．解析： 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中， 则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1 B 1)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3)＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3) ＝⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122×13＝427.20．(本小题满分12分)有一台机床可以按各种不同的速度运转，其加工的零件有一些是二级品，每小时生产的二级品零件的数量随机床运转的速度而变化．下面是试验的结果：(1)(2)求出机床运转的速度x 与每小时生产二级品数量y 的回归直线方程；(3)若实际生产中所允许的二级品不超过10个，那么机床的运转速度不得超过多少转/秒？解析： (1)散点图如下图所示：(2)易求得x ＝12.5，y ＝8.25，∴b ∧＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2≈0.728 6，a ∧＝y －b ∧x ＝－0.857 5， 即所求回归直线的方程为： y ∧＝0.728 6x －0.857 5. (3)根据公式，要使y ∧≤10， 只要0.728 6x －0.857 5≤10， 解得x ≤14.901 9，即机床的运转速度不能超过14.901 9转/秒．21．(本小题满分13分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望． 解析： 设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟．所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.方法二：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.22．(本小题满分13分)(2013·福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到1名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附： 2＝n (n 11n 2212n 21)n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫注：此公式也可以写成K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析： (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。
【金版学案】高二数学选修2-2习题：2.3数学归纳法(新人教A版)(含答案解析)
第二章 推理与证明2.3 数学归纳法A 级 基础巩固一、选择题1．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)( ) A ．对n 为任何正整数都成立B ．仅当n ＝1，2，3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立解析：经验证，n ＝1，2，3时成立，n ＝4，5，…不成立.答案：B2．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n 取1、2、3、4时2n ＞n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5.答案：C3．用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cos α＋cos 3α＋…＋cos (2n －1)α(α≠k π，k ∈Z ，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边所得的代数式为( )A.12B.12＋cos α C.12＋cos α＋cos 3α D.12＋cos α＋cos 3α＋cos 5α 解析：令n ＝1，左式＝12＋cos α. 答案：B4．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )＞n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( )A ．2k －1项B ．2k ＋1项C ．2k 项D ．以上都不对解析：观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项． 答案：C5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)……(n ＋n )＝2n ·1×3……(2n ＋1)(n ∈N *)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)……(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)．观察比较它们的变化知增乘了（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)． 答案：B二、填空题6．对于不等式n 2＋4n ＜n ＋2(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时， 12＋4＜1＋2，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋4k ＜k ＋2，则n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋4（k ＋1）＝k 2＋6k ＋5＜（k 2＋6k ＋5）＋4＝（k ＋3）2＝(k ＋1)＋2. 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法第________步错误．解析：第二步错误，证明过程中没有用到归纳假设．答案：(2)7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)依次计算出S 1、S 2、S 3、S 4后，可猜想S n 的表达式为________．解析：S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85， 猜想S n ＝2n n ＋1. 答案：2n n ＋18．对任意n ∈N *，34n ＋2＋a 2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________．解析：当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5；当a ＝3且n ＝2时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.答案：5三、解答题9．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝ n 4（n ＋1）. 证明： (1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18等式成立． (2)假设n ＝k 时，等式成立，即12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）成立． 当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋1（2k ＋2）（2k ＋4）＝k 4（k ＋1）＋1（2k ＋2）（2k ＋4）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝ （k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14[（k ＋1）＋1]. 所以n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)、(2)可得对一切n ∈N *，等式成立．10．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)试求：a 2、a 3、a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；(2)用数学归纳法加以证明．(1)解：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)， 可得a 2＝23， a 3＝24，a 4＝25. 由此可以猜想数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1. (2)证明：①当n ＝1时，a 1＝21＋1＝1，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)，时，猜想成立，即a k ＝2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k 2＋a k ＝2k ＋2. 这说明当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①、②可知，猜想对一切的n ∈N *都成立．B 级 能力提升1．用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)＜1(n ∈N *，n ≥2)，由“k 到k ＋1”时，不等式左端的变化是( )A ．增加12（k ＋1）一项 B ．增加12k ＋1和12（k ＋1）两项 C ．增加12k ＋1和12（k ＋1）两项，同时减少1k 一项 D ．以上都不对解析：n ＝k 时，左边＝1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12（k ＋1），比较可知，增加12k ＋1和12（k ＋1）两项，同时减少1k 一项． 答案：C2．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上______________________．解析：n ＝k 时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2比较可知，左端应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)23．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2.(1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．解：(1)已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22，所以a 2＝22.因为a 1·a 2·a 3＝32，所以a 3＝3222. 同理，可得a 4＝4232，a 5＝5242. 因此这个数列的前5项分别为1，4，94，169，2516. (2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2（n －1）2，n ≥2. 下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2（n －1）2.①当n ＝2时，a 2＝22（2－1）2＝22，结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k 2（k －1）2. 因为a 1·a 2…a k －1＝(k －1)2，a 1·a 2…a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，所以a k ＋1＝（k ＋1）2（a 1a 2a k －1）a k ＝（k ＋1）2（k －1）2·（k －1）2k 2＝（k ＋1）2[（k ＋1）－1]2. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是a n ＝n 2（n －1）2. 所以这个数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2（n －1）2，n ≥2.。
金版新学案(人教版)高中数学选修2-2练习：1.6微积分基本定理(含答案)
第一章 1.6一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各式中错误的是( )A ．sin φd φ＝1B. cos φd φ＝1C ．⎠⎛1e e xd x ＝－1 D ．⎠⎛1e1x d x ＝1解析： sin φd φ＝(－cos φ)| ＝－0－(－1)＝1， cos φd φ＝sin φ| ＝1－0＝1，⎠⎛1ee x d x ＝e x | e 1＝e e－e ，⎠⎛1e1x d x ＝ln x | e1＝ln e －0＝1.故选C.答案： C2．已知f (x )是一次函数且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为() A ．4x ＋3 B ．3x ＋4C ．－4x ＋3D ．－3x ＋4解析： 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 2x 2＋bx | 10＝a 2＋b ＝5， ① ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋b 2x 2| 10＝a 3＋b 2＝176， ② 联立①②得⎩⎨⎧ a 2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3，故选A.答案： A3．若⎠⎛1b1x 2d x ＝12，则b ＝( )A ．32B ．2C ．3D ．4 解析： ⎠⎛1b 1x 2d x ＝－1x | b 1＝－⎝⎛⎭⎫1b －1＝12，解得b ＝2. 答案： B4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]2－x ，x ∈[1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( ) A ．34B ．56C ．45D ．不存在 解析： ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2| 21＝56. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________. 解析： 由⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝－1， 知⎠⎛12f (x )d x ＝－1－⎠⎛01f (x )d x ＝－2.答案： －26．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析： ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx | 10＝a 3＋c ， 又f (x 0)＝⎠⎛01f (x )d x ，∴a 3＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13， ∴x 0＝±33，又0≤x 0≤1， ∴x 0＝33. 答案：33 三、解答题(每小题10分，共20分)7．计算下列定积分．(1) ⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ；(2) ⎠⎛25 (3x 2－2x ＋5)d x ； (3)⎠⎛02π(cos x －sin x )d x ；(4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解析： (1)⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ＝⎠⎛131d x ＋⎠⎛13x d x ＋⎠⎛13x 2d x ＝x | 31＋12x 2| 31＋13x 3| 31 ＝(3－1)＋12(32－12)＋13(33－13) ＝443. (2)⎠⎛25(3x 2－2x ＋5)d x ＝⎠⎛253x 2d x －⎠⎛252x d x ＋⎠⎛255d x ＝x 3| 52－x 2| 52＋5x | 52＝(53－23)－(52－22)＋5(5－2) ＝111.(3)⎠⎛02π(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| 2π0 ＝(sin 2π＋cos 2π)－(sin 0＋cos 0)＝0.(4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x －1x d x ＝(e x －ln x )| 21 ＝(e 2－ln 2)－(e 1－ln 1)＝e 2－e －ln 2. 8．(1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3， x ∈[0，，x ， x ∈[1，，2x ， x ∈[2，3]，在区间[0,3]上的定积分；(2)求⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x . 解析： (1)⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x ＝14x 4| 10＋23x 32| 21＋2x ln 2| 32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.(2)∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ， x <－32，6， －32≤x ≤32，4x ， x >32，∴⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知函数f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．解析： f (x )＝⎠⎛0x(at 2＋bt ＋1)d t ＝⎝⎛⎭⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t | x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b 2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13， ∴a ＝－52.。
金版新学案最新版2014高二年级下学期新课标A版高中数学选修22导数及其应用1222PPT教案
复合函数的导数
➢ 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数 yu′·ux′ y对u的导数 与u对x的导数的乘积 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系 为yx′＝__________.即y对x的导数 等于____________ ____________________．
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➢ 2．复合函数求导应注意的问题
金版新学案最新版2014高二年级下学期 新课标A版高中数学选修22导数及其应用
1222
自主学习 新知突破
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➢ 1．能利用导数的四则运算法则 求解导函数．
➢ 2．能利用复合函数的求导法则 进行复合函数的求导．
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已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x. [问题 1] f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x22.
2
➢ 3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20， 则a＝________.
➢ 解析： f(x)＝4x2＋4ax＋a2， ➢ ∵f′(x)＝8x＋4a， ➢ ∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. ➢ 答案： 1
第13页/共48页
4．求下列函数的导数： (1)y＝xx2＋1x＋x13； (2)y＝1＋xc2os x； (3)y＝(4x－x)(ex＋1)．
求导，以减少运算量．
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1．求下列函数的导数： (1)y＝x2·ex； (2)y＝cos 2x； (3)y＝ln 8x； (4)y＝2xx.
第23页/共48页
➢ 解析： (1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′ ➢ ＝2x·ex＋x2·ex ➢ ＝(2x＋x2)·ex.
➢ (2)令u＝2x，y＝cos u， ➢ 则yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(2x)′ ➢ ＝－2sin 2x.
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是1＋2i，向量对应复数是3－i，求C点在复平面内的坐标． 解析： ＝－＝(3－i)－(1＋2i)＝2－3i， 设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i， ∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i， 故x＝4，y＝－2. ∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)． ☆☆☆ (10分)在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2＋i，－1＋2i.D
(3)计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2
009i)＋(2 009－2 010i)．
解析： (1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i， z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i. (2)＋(2－i)－
＝＋i＝1＋i.
(3)方法一：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008
＋2 009i)＋(2 009－2 010i)
＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 007－2 008)＋2 009]＋[(－2＋3)＋(－4
＋5)＋…＋(－2 008＋2 009)－2 010]i ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i＝1 005－1 006i. 方法二：(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋
C．点(3,2)到原点的距离 D．以上都不对
解析： 由减法的几何意义可知．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．复数z1＝cos __________ .
θ＋i，z2＝sin
θ－i，则|z1－z2|的最大值为
解析： |z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i| ＝
＝
＝≤.
答案：
第三章 3.2 3.2.1
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．若复数z1＝1＋5i，z2＝－3＋7i，则复数z＝z1－z2在复平面内对 应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析： z＝z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋7i)＝4－2i. 答案： D 2．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( ) A．－3i B．3i C．±3i D．4i 解析： 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为 纯虚数，∴a＝0，b＋3≠0.又|z|＝3，∴b＝3，z＝3i. 答案： B 3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量， 对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( ) A．2＋4i B．－2＋4i C．－4＋2i D．4－2i 解析： 依题意有＝＝－. 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i， 而对应的复数为4－2i， 故选D. 答案： D 4．|(3＋2i)－(1＋i)|表示( ) A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离 B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的 距离
i，…，(2 007－2 008i)＋(－2 008＋2 009i)＝－1＋i. 相加(共有1 004个式子)，得 原式＝1 004(－1＋i)＋(2 009－2 010i)＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－
2 010)i＝1 005－1 006i. 8．复平面内有A，B，C三点，点A对应复数是2＋i，向量对应复数
6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝
________，y＝________.
解析： x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
∴解得
答案： 6 11
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i.求z1＋z2，z1－z2； (2)计算：＋(2－i)－；
∴S△ABC＝||·|| ＝·2 ＝2.
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