小波变换与多分辨率分析
第7章图像处理 课后答案
7.1.1 图像金字塔
一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图集合。 金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部 是低分辨率的近似。基级J的尺寸是2J×2J或N×N (J=log2N)， 中间级j的尺寸是2j×2j ，其中0<= j <=J。
图7.2b表示，各级的近似值和预测残差金字塔都是以 一种迭代的方式进行计算的。第一次迭代和传递时， j = J ，并且2J×2J的原始图像作为J级的输入图像，从 而产生J-1级近似值和J级预测残差，而J-1级近似值又 作为下一次迭代的输入，得到J-2级近似值和J-1级预 测残差。 迭代算法：
1, 0 x 0.5 ψ( x) 1, 0.5 x 1 0,在，有了尺度函数和小波函数，可以正式定义小 波变换了，它包括：一般小波序列展开、离散小波 变换和连续小波变换。
7.3.1 小波序列展开
首先根据小波函数ψ( x)和尺度函数 ( x)为函数f(x)定 义小波序列展开：
高斯近似值和预测残差金字塔
基级，第9级
第8级 第7级 第6级
图像重建
7.1.2 子带编码
另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术是子带 编码。在子带编码中，一幅图像被分解成为一系列 限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起 无失真地重建原始图像。最初是为语音（一维信号） 和图像压缩而研制的，每个子带通过对输入进行带 通滤波而得到（相当于分解一个频段为若干个子频 段）。因为得到的子带的带宽要比原始图像的带宽 小，子带可以无信息损失的抽样。 原始图像的重建可以通过内插、滤波和叠加单个子 带来完成。
k
V Spk an{k ( x)}
7.2.2 尺度函数
现在来考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积 函数 ( x) 组成的展开函数集合，即集合{ j ,k ( x)} ： j/2 j j ,k ( x) 2 (2 x k ) 式7.2.10 k决定了 j ,k ( x)在x轴的位置（平移k个单位），j决定 了 j ,k ( x) 的宽度，即沿x轴的宽或窄的程度，而2j/2 控制其高度或幅度。由于 j ,k ( x)的形状随j发生变化， ( x) 被称为尺度函数。 如果为赋予一个定值，即j = j0，展开集合 { j0 ,k ( x)} 将是 { j ,k ( x)}的一个子集，一个子空间：
外文翻译---多分辨率分析 & 连续小波变换
题目：多分辨率分析＆连续小波变换TITLE: MULTIRESOLUTION ANALYSIS & THE CONTINUOUS WA VELETTRANSFORM院系：电气信息工程系专业：通信工程姓名：学号：毕业设计（论文）外文资料翻译多分辨率分析＆连续小波变换多分辨率分析虽然时间和频率分辨率的问题是一种物理现象（海森堡测不准原理）无论是否使用变换，它都存在，但是它可以使用替代方法分析，称为信号多分辨率分析（MRA）。
MRA，如它的名字一样，分析了不同分辨率不同频率的信号。
每个频谱分量不能得到同样的解决是因为在STFT的情况下。
MRA是为了在高频率时，能够得到良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时，能够得到良好的频率分辨率和较差的时间分辨率而设计的。
这种方法是十分有意义的，特别是当手头的信号高频成分持续时间短和低频成分持续时间长时。
幸运的是，在实际应用中所遇到的信号往往是这种类型。
例如，下面显示了这种类型的信号。
它有一个贯穿整个信号相对较低的频率分量，而在信号中间有一个短暂的、相对较高的频率成分。
连续小波变换连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题。
小波分析和STFT的分析方法类似，在这个意义上说，就是信号和一个函数相乘，{\它的小波}，类似的STFT的窗口功能，并转换为不同分段的时域信号。
但是，STFT和连续小波变换二者之间的主要区别是：1、Fourier转换的信号不采取窗口，因此，单峰将被视为对应一个正弦波，即负频率是没有计算。
2、窗口的宽度是相对于光谱的每一个组件变化而变化的，这是小波变换计算最重要的特征。
连续小波变换的定义如下：公式3.1从上面的方程可以看出，改变信号功能的有两个变量，τ和s，分别是转换参数和尺度参数。
psi(t)为转化功能，它被称为母小波。
母小波一词得名是由于如下所述的两个小波分析的重要性质：这个词意味着小波浪。
小指的条件是本（窗口）函数的有限长度的（紧支持）。
小波变换分析降水时间序列的多分辨率特性研究
ｄ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ａ ｔ ｒ ｏ ｕ ｓ ｗ ａ ｖ ｅ ｌ ｅ ｔ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｍ ．Ｔ ｒ ｈ ｅ ｎ ，Ｍｕ ｌｔ ｉ — Ｓ ｃ ａ ｌ ｅ Ｅ ｎ ｔ ｒ ｏ ｐ ｙ（ ＭＳ Ｅ ）ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｈ ｅ ｌ ｐ ｓ ｔ ｏ ｅ ｌ ｕ ｃ ｉ ｄ ａ ｔ ｅ ｓ ｏ ｍ ｅ
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｊ ｏ ｃ ａ ． ｅ ｎ
小 波变 换 分 析 降水 时 间序 列 的 多分 辨率 特 性 研 究
何锡 玉 ， 蔡 夕方 ， 景嘉洲
（ 海军海洋水文气象中心 ， 北京 １ ０ ０ １ ６ １ ）
（ ｝ 通信作者电子邮箱 ｈ ｅ ｘ ｙ ｎ ｅ ｗ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ０ ｏ １ ． ９ Ｏ ８ １ Ｃ ０ＤＥ Ｎ Ｊ ＹＩ Ｉ ＤＵ
２Ｏ１ ３． Ｏ６ ． ３Ｏ
计算机应 用， ２ ０ １ ３ ， ３ ３ （ Ｓ １ ） ： ３ ３ １ —３ ３ ４ 文章编号 ： １ ０ ０ １ —９ ０ ８ １ （ ２ ０ １ ３ ） Ｓ １ — ０ ３ ３ １ —０ ４
ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ Ｍａ ｎｎ ． Ｋｅ ｎ ｄ ａ ｌ ｌ（ ＭＫ１ ｒ ｎｋ ａ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｏ ｆ ＭＳ Ｅ Ｃ Ｕ ｌ － Ｖ ｅ ｓ ｏ ｆ ｒ ｅ ｓ ｉ ｄ ｕ ｌｓ ａ ａ ｔ ｖ ａ ｉ ｒ ｏ ｕ ｓ ｒ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｌ ｅ ｖ ｅ ｌ ｓ ｃ ｏ ｌｄ ｕ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｅ ｔ ｈ ｅ
小波变换光谱特征
小波变换光谱特征
小波变换是一种在时频域上分析信号的方法，可将信号分解成不同频率的成分。
在光谱分析方面，小波变换可以提取出光谱中的特定频率和幅度信息。
具体来说，小波变换的光谱特征包括以下几个方面：
1. 频率分辨率：小波变换可以实现高频段的细致分析，对高频信号有较高的频率分辨率。
2. 时间分辨率：小波变换可以对信号进行局部分析，对信号的短时特征有较高的时间分辨率。
3. 峰值位置和幅度：小波变换可以提取出光谱中的峰值位置和峰值幅度，这些信息可以用于物质的光谱鉴定。
4. 频谱形态：小波变换可以对光谱进行形态学分析，提取出光谱中的谷、峰和肩部等形态学特征。
5. 频谱能量：小波变换可以计算出光谱中的能量分布，有助于分析光谱中的能量分布规律。
综上所述，小波变换的光谱特征包括频率分辨率、时间分辨率、峰值位置和幅度、频谱形态和频谱能量等方面。
这些特征可以用于分析光谱中的特定信息，并且在物质的光谱鉴定中有着广泛的应用。
- 1 -。
小波变换与多分辨率分析课件
有效地去除信号中的噪声。
02
小波变换在信号压缩中的应用
小波变换可以将信号分解为近似分量和细节分量，通过去除细节分量，
可以实现信号的压缩。
03
小波变换在信号恢复中的应用
小波变换可以捕捉到信号中的突变部分，通过逆变换，可以恢复出原始
信号。
多分辨率分析在图像处理中的实验演示
多分辨率分析在图像去噪中的应用
领域也有广泛的应用。
算法复杂度
小波变换的算法复杂度相对 较低，容易实现，而多分辨 率分析的算法复杂度较高， 实现相对困难。
小波变换与多分辨率分析的未来展望
01
应用领域拓展
02
算法优化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
结合其他技术
小波变换和多分辨率分析在信号处理、 图像处理、数据压缩等领域已经得到 广泛应用，未来随着技术的不断发展， 它们的应用领域将会更加广泛。
小波变换的应用
小波变换在图像处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、去噪、
01
重建等。
02
小波变换在音频处理中也得到了广泛应用，例如音频压缩、去
噪、特征提取等。
小波变换还被广泛应用于信号处理、数字水印、雷达信号处理
03
等领域。
02
多分辨率分析基
多分辨率分析的定 义
定义概述
多分辨率分析是信号处理中的一种重要技术，它通过在不同尺度上分析信号，能够同时获得信号的时间和频率信息。
定义背景
随着信号处理技术的发展，人们逐渐认识到仅通过傅里叶分析无法完全揭示信号的时频特性，因此需要一种更全面的 分析方法。
定义目的 多分辨率分析旨在提供一种框架，将信号分解成不同尺度的成分，以便更精细地描述信号的时频特性。
02-多分辨率信号分解理论：小波变换
一个多分辨率信号分解理论：小波表示摘要：多分辨率表示对于分析图像信号内容十分有效，我们研究了在一给定分辨率下逼近信号算子的性能。
显示出在分辨率12+j 和j 2下逼近信号的信息不同，通过在小波标准正交基2L 上分解这一信号可以将其提取。
小波标准正交基是一系列函数，它由扩大和转化唯一函数）（x ψ来构建。
这一分解定义了一个正交多尺度表示叫做小波表示。
它由金字塔算法来计算，其基于正交镜像滤波器的卷积。
对于图像，小波表示区分了几种空间定位。
我们研究这一表示在数据压缩，图像编码，结构辨别及分形分析上的应用。
关键词-编码，分形，多分辨率金字塔，正交镜像滤波器，结构辨别，小波变换 1. 引言在计算机视觉方面，很难由图像像素的灰度强度来直接分析一个图像的信息内容。
的确，这一数值依赖于照明条件。
更为重要的是图像强度的局部变化。
邻居的大小即对比计算处必须被采用于我们要分析的物体大小。
这一尺寸为测量图像局部变化定义了参考分辨率。
总的来说，我们想要识别的结构具有差异很大的尺寸。
因此，定义分析图像的优先或最优分辨率是不可能的。
一些研究人员发明了图像比对算法用来处理不同分辨率下的图像。
为这一目的，一种算法可以识别图像信息至一系列在不同分辨率下显现的细节。
给定一个提高分辨率的序列j r ，在分辨率j r 下的图像细节被定义为它的分辨率j r 下逼近与低分辨率1-j r 下逼近之间的信息差别。
多分辨率分解使得我们可以获得图像的尺度不变性演绎。
图像尺度随着场景与相机光学中心间的距离而变化。
当图像尺寸修改时，我们对于图像的演绎不应该变化。
多分辨率分解可以满足局部尺度不变性如果分辨率参量j r 的序列以指数形式变化。
我们假设存在分辨率一步R ∈α对于所有整数j ，j j r α=。
如果相机靠近场景时间为α，则每一物体被投影到一个2α的区域比相机焦平面更大。
即每一物体以α倍大的分辨率度量。
因此，新图片在分辨率j α下细节与先前在分辨率1+j α下图像细节相一致。
小波变换和多分辨率处理
例如，N=4时，
k
p
q
k,p,q的值如右：
0
0
0
1
0
1
2
1
1
3
1
2
则，4×4变换矩阵H4
1 1 1 1
H4
1
2
4 2
1 2
1 0
10ຫໍສະໝຸດ 002 2
2×2变换矩阵H2
H2
1 1 2 1
1 1
离散小波变换的哈尔函数
64×64
128×128
图示为哈尔基函数对 图像的多分辨率分解， 离散小波变换包含了 与原始图像相同的像 素数
T=HFHT
F是N×N图象矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的 结果
哈尔基函数
h0zh00 z
1 N
z0,1
2p/2 q1/2pzq0.5/2p
hkzhpq z1 N 2 0p/2
q0.5/2pzq/2p
其它 z 0,1 ，
(3) 哈尔变换
N×N哈尔变换矩阵第i行包含元素hi(z)，其中z = 0/N, 1/N, …, (N-1)/N。
主要内容
背景 图象金字塔 子带编码 哈尔变换
多分辨率展开 一维小波变换 快速小波变换 二维小波变换 小波包
1.背景
物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用 较高的分辨率观察。
物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨 率。
物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合 用不同的分辨率对其进行研究。
12G1(z)[H1(z)X(z)H1(z)X(z)]
滤波h0(n)的输出
h 0 n * x n h 0 n k x k H 0 z X z
小波变换的多分辨率分析原理与应用
小波变换的多分辨率分析原理与应用引言：小波变换是一种在信号处理和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将信号分解成不同频率的子信号，以实现对信号的多分辨率分析。
本文将介绍小波变换的原理和应用，并探讨其在信号处理和图像处理中的潜在价值。
一、小波变换的原理小波变换是一种基于窗函数的变换方法，它通过将信号与一组基函数进行卷积运算，得到信号在不同尺度和频率上的分解系数。
小波基函数是一种具有有限长度的波形，它可以在时间和频域上进行调整，以适应不同尺度和频率的信号特性。
小波变换的核心思想是多分辨率分析，即将信号分解成不同尺度的子信号。
通过对信号进行连续缩放和平移操作，小波变换可以捕捉到信号在不同频率上的细节信息。
与傅里叶变换相比，小波变换可以提供更好的时频局部化特性，能够更准确地描述信号的瞬时特征。
二、小波变换的应用1. 信号处理小波变换在信号处理中有广泛的应用。
通过对信号进行小波变换，可以实现信号的降噪、压缩和特征提取等操作。
由于小波基函数具有时频局部化的特性，它可以有效地消除信号中的噪声，并提取出信号的重要特征。
因此，在语音识别、图像处理和生物医学信号处理等领域，小波变换被广泛应用于信号的预处理和特征提取。
2. 图像处理小波变换在图像处理中也有重要的应用。
通过对图像进行小波变换，可以实现图像的去噪、边缘检测和纹理分析等操作。
由于小波基函数具有多尺度分析的能力，它可以捕捉到图像中不同尺度上的细节信息。
因此，在图像压缩、图像增强和图像分割等领域，小波变换被广泛应用于图像的处理和分析。
3. 数据压缩小波变换在数据压缩中有着重要的应用。
通过对信号或图像进行小波变换，可以将其表示为一组小波系数。
由于小波系数具有稀疏性，即大部分系数都接近于零，可以通过对系数进行适当的量化和编码，实现对信号或图像的高效压缩。
因此，在音频压缩、图像压缩和视频压缩等领域，小波变换被广泛应用于数据的压缩和传输。
结论：小波变换是一种强大的信号处理和图像处理工具，它通过多分辨率分析实现对信号的精确描述和处理。
基于小波变换的不规则网格的多分辨率分析
［ ｙｗｏｄ ］Ｗａｅｅｓ Ｍｕｔｒｓｌｔ ｎ Ｉｅ ｕａ ｓｅ Ｋｅ ｒ ｓ ｖｌｔ： ｌ— ｏｕｉ ；ｒ ｇ ｌｒ ｈ ｓ ｉｅ ｏ ｒ ｍｅ
ｌ概述
三 角 形 网格 足计 算机 图形 学 中最 常 用 的 种 三 维 物 体 表
解压缩 ，其压 缩、解压缩的过程表示复杂。 Ｌ ｕ ｓｅｙ提 出的基 于小波多分辨率分析方法 ０也是一 ｏ ｎｂｒ ， 种 渐 进 压 缩 方 法 ， 但 它 不 能 直 接 应 用于 不 规 则 网格 。
维普资讯
第３ ２卷 第 ｌ ８期
ｇ １３ ｏ．２
・
计
算
机
工
ห้องสมุดไป่ตู้程
２０ ０６年 ９月
Ｓｅ ｔ ｍ ｂｅ ０ ６ ｐｅ ｒ２ ０
№
ｌ ８
Ｃｏ ｐ ｔ ｒＥｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ｍ ｕ ｅ ｇｎ ｅ ｉ ｎ
人工智 能及识 别 技术 ・
文章编号：１０ ４８０６ｌ ２２ ３ 文献标识码： （０ ２（０）一ｌ 一ｌ １—３ ２ ８ ２ Ａ
ＨＵＡＮＧ ｉｑｉｎ ， Ｊａ ａ ｇ ＧＵ ｏｉ Ｙａ ｌ ｎ
（ ｃ ｏ） ｏ ｌ ｍａ ｉ ｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ Ｓｏ ｔ ｅ ｎ Ｙ ｎ ｔ ｅ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｗ ｕ ４１ ２ Ｓ ｈ ￣ｌ ｆｌ ｏｒ ｔ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ， ｕ ｈ ｒ ａ ｇ ｚ ｉ ｅ ｓ ｔ， ｎ ｏ ｘｉ ２１ ２ ）
示方式。随着 ｉ维扫描技术 的进步 ，网格数槲开始大 被 用。 由于州格 的数据量通常都 比较大 ，凶此有必要进行有效 的压缩 ，以减少对存储空问和网络带 宽的要求。三角形 ｌ 州格 数据压缩的研究与图像 压缩、视频压缩 的研 究相 比，还是 一 个较新的课 题。 网格数据 的压缩技术可分为 一次性压缩技术和渐进压缩 技术两种。前者 ，即单分辨率表示模式 的压缩技术 ，是对 网 格 模型实行一次性压缩和一次性解压缩 ，目前 已经有很多好 办法被提 了出来－ － ’ 。但是如果网格模 型的规模很大 ， － 次性 解压缩所花 费的时间会很长 ，人们希 在解压缩 的过程 －就 ｛ 能够了解到模型的基本情 况 随之 出现 的网格模 型渐进压缩
小波变换在数据压缩中的优势和局限性
小波变换在数据压缩中的优势和局限性引言：随着信息技术的发展，数据的生成和传输量不断增加，数据压缩成为了一项重要的技术。
小波变换作为一种数学工具，被广泛应用于数据压缩领域。
本文将探讨小波变换在数据压缩中的优势和局限性。
一、小波变换的优势1.1 多分辨率分析小波变换能够将信号分解为不同频率分量，并且能够根据需要选择不同的分辨率。
这种多分辨率分析的特性使得小波变换在数据压缩中能够更好地适应不同类型的信号。
1.2 高压缩率小波变换能够通过舍弃高频分量来实现数据的压缩。
由于自然界中的信号往往在高频部分包含了较少的信息，因此舍弃高频分量对于保持信号的主要特征并不会造成过大的影响。
这使得小波变换在数据压缩中能够实现较高的压缩率。
1.3 良好的时频局部化特性小波变换具有良好的时频局部化特性，即能够在时域和频域上对信号进行局部分析。
这种特性使得小波变换在数据压缩中能够更好地捕捉信号的瞬时特征，从而提高了压缩后信号的质量。
二、小波变换的局限性2.1 计算复杂度较高小波变换的计算过程相对复杂，需要进行多次卷积和下采样操作。
这使得小波变换在实际应用中的计算速度较慢，对于大规模数据的处理可能存在一定的困难。
2.2 选择合适的小波基函数小波变换的效果很大程度上取决于所选择的小波基函数。
不同的小波基函数适用于不同类型的信号，而且选择不当可能会导致信号信息的丢失或者压缩效果的不佳。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的小波基函数。
2.3 无法处理非平稳信号小波变换在处理非平稳信号时存在局限性。
由于小波基函数的固有特性，小波变换无法很好地处理包含非平稳成分的信号。
这在某些实际应用中可能会造成一定的问题。
结论：小波变换作为一种重要的数学工具，在数据压缩中具有一定的优势和局限性。
其多分辨率分析、高压缩率和良好的时频局部化特性使得小波变换在数据压缩中能够发挥重要作用。
然而，小波变换的计算复杂度较高、选择合适的小波基函数以及无法处理非平稳信号等局限性也需要引起注意。
小波分析第三讲-小波与多分辨分析
x(t) V j
x(2t) V j1
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t)
根据信号空间的包含关系，
若存在 x(t) V j
则必然
x(t) V j1
这表明若信号x(t)可由尺度函数jj,k(t)线性表达， 则必然可以由尺度函数jj+1,k(t)线性表达。
散小波变换DWT。
L2 W2 W1 W0 W1 W2
x(t)
d j,ky j,k (t)
k j
这表明信号x(t)也可以完全由小波信号表达。
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
多分辨分析(MRA)
1
1
0
0
-1
100
200
300
Doppler信号
尺度函数(scaling function)——j (t) 小波函数(wavelet function)——y (t)
多分辨分析(Multiresolution Analysis, MRA)
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
信号空间(signal space) 由泛函理论，任意信号可以看作是某个特定
同理可得：
V j1 V j j Z
V V2 V1 V0 V1 V2 V
V {0} V L2
小波与多分辨分析
小波变换与多分辨分析
尺度函数(scaling function)——j (t)
由高分辨率尺度信号张成的信号空间包含由 低分辨率尺度信号张成的信号空间，即存在：
对应信号x(t)中的精细(fine)信息
一种基于小波变换的医学图像多分辨率编码算法的研究
ｌ 引 言
， ｌ ） ＋ ＝Ｇ Ｈ （ ＋ ＝Ｇ ， ｌ Ｇ
（） ３ （） ４
多 分 辨 率 编 码 ｜ 是 指 在 图像 编 码 中对 原 图像 进 ３ 行 渐 近 编码 ，先 对 一 幅 图像 的 关 键 信 息 编 码 ，再 逐 步
对次要信息 编码 ； 解 码时 ， “ 进先 出” 原则 ， 在 按 先 的 先
其 中 ，＝０ １２ ｊ ， ， ，… 一 ， ； ｊ 在 第 ｊ 度 上 对 原 图像 ＪＣ 为 尺 的逼 近 ，Ｃ。为 原 始 图 像 ； ＋ ＋ Ｄ 、 、Ｄ 分 别 为原
图像 在 第 ＋１尺 度 上 的 水 平 、 直 及 对 角方 向的 细 节 垂 信 息 ； ｒ和 Ｈ ｃ分 别 表 示 作 用 于 行 和 列 的 低 通 滤 波 Ｈ 器 算 子 ，而 Ｇ ｒ和 Ｇ 别 表 示 作 用 于 行 和 列 的 高 通 Ｃ分 滤波器 算子 ， 们和选定 的小波基有关 。 它 如果 以 Ｈ 和 Ｇ 分 别 表 示 Ｈ 和 Ｇ 的对 偶 算 子 ，则 重 构 算 法 表 示
维普资讯
压 疗设 备 锫 墓
种 基 于 小 波 变 换 的 医 学 图 像 多 分 辨 率 编 码 算 法 的 研 究
一
王
丹 ， 义 辉 王
（ ．解 放 军 第 ３ ５医 院 ， 北 京 １０ １ ；２ １ ０ ０ ０ ７ ．第 三 军 医 大 学 大 坪 医 院 ， 重 庆
Ｗ Ａ ＮＧ ｎ Ｄａ ，Ｗ Ａ Ｎ Ｇ ｉ ｈｕ Ｙ — ｉ
（ Ｔｈｅ ０ ｔ Ｈｏｓ ｉａ ｏ Ｐ１Ａ， Ｂｅｊｎｇ ０ ０ ７，Ｃｈｉ ａ；２． ｎ ａ ｓ ｉａ ｉｄ Ｍ ｉｉａ ｙ １ ３ ５ ｈ ｐｔ ｌ ｆ ｉｉ １ ０ １ ｎ Ｘｉ ｑｉｏ Ｈｏ ｐ ｔ ｌｏｆＴｈ ｒ ｌ ｒ Ｕｎｉ ｅ ｓ ｔ Ｃｈｏ ｇｑ ｎ ｔ ｖ ｒ ｉｙ， ｎ ｉｇ ４ ０３ ０ ０ ７，Ｃｈｉ ａ） ｎ
小波变换的时频分析能力
小波变换的时频分析能力小波变换是一种数学工具，它在信号处理、图像处理、数据分析等领域中得到广泛应用。
相比于传统的傅里叶变换，小波变换具有更好的时频分析能力。
本文将探讨小波变换在时频分析中的优势，并介绍一些相关的应用。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种多尺度分析方法，它将信号分解为不同频率和时间尺度的成分。
与傅里叶变换只能提供信号的频域信息不同，小波变换能够同时提供信号的频域和时域信息。
这使得小波变换在时频分析中具有独特的优势。
小波变换的基本原理是将信号与一组母小波函数进行卷积运算。
不同的小波函数具有不同的频率和时间尺度特性，通过对信号进行多尺度分解，可以获得信号在不同频率和时间尺度上的信息。
小波变换的结果是一个时频图，可以清晰地展示信号在不同时间和频率上的变化。
二、小波变换具有较好的时频局部化特性，能够更精确地描述信号的时频特征。
相比于傅里叶变换，小波变换能够提供更高的时频分辨率。
在信号存在瞬态或非平稳特性时，小波变换能够更好地捕捉到这些特征。
小波变换的时频分析能力使其在许多领域中得到广泛应用。
在音频信号处理中，小波变换可以用于音乐信号的音高检测、乐器识别等任务。
在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测等任务。
在金融数据分析中，小波变换可以用于股票价格的波动分析、市场预测等任务。
三、小波变换的应用案例1. 语音信号处理小波变换在语音信号处理中有着广泛的应用。
通过对语音信号进行小波变换，可以提取出信号的共振特性，用于语音识别、语音合成等任务。
同时，小波变换还可以用于语音的噪声去除和语音增强，提高语音信号的质量。
2. 医学图像分析小波变换在医学图像分析中起到了重要的作用。
通过对医学图像进行小波变换，可以提取出图像的纹理特征、边缘信息等。
这些特征可以用于医学图像的分类、分割和诊断。
小波变换还可以用于医学图像的去噪和增强，提高图像的清晰度和质量。
3. 振动信号分析小波变换在振动信号分析中有着广泛的应用。
小波变换与多分辨率分析
j,k
x
范围变窄，x有较小
➢随j增加 V j 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数
包含在子空间中。
哈尔尺度函数
考虑单位高度、单位宽度的 尺度函数：
x
1 0
0 x 1 其它
V0展开函数都属于V1， V0是V1的一个子空间。
5.2 多分辨率展开
多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间{Vj}, j Z
与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部 变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化， 最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应 时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。
5.1 背景
为什么需要多分辨率分析？ 如果物体的尺寸很小或对比度不高 高分辨率 如果物体尺寸很大获对比度很强 低分辨率 通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在
j
的展开函数的加权和。
1
j,k x an j1,n x
n
其中 j1,n x 2 j1/2 2 j1 x n
an改写成h (n)
j,k x h n 2 j1/2 2 j1 x n
n
j，k置0
x h n 22x n
给定一个基本函数 (x) ,则 (x) 的伸缩和平移公式 可记为：
a,b (x) (ax b)
5.2 多分辨率展开
函数的伸缩和平移
例：给定函数
(
x)
sin(x)
0
0 ≤ x 2
其它
则2, (x)的波形如下图所示
函数的伸缩和平移
5.2 多分辨率展开
序列展开
信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开 函数的线性组合。
1.一致单调性： V0 V1 V2
小波分析
Absorbance
0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 -0.01
2
滤波
D(5)
C(5)
D(4)
C(4)
D(3)
C(3)
D(2)
C(2)
D(1)
C(1)
4
6
8
10
Retention Time / min
12 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12
将信号中的不同频率成分按照频率高低进行分离！ 噪声属于高频部分，背景、基线属于低频部分 17
(translation parameter) ,也称为时间平移因子
t 叫作小波基，或小波母函数。 9
2. 小波变换
❖ 连续小波变换 a,b R, a 0
Wf a,b
f t, a,b t f *~a b
1 a
f
t
a,b tdt
❖ 实际应用中，一般实现时，连续小波必须加以离散化 ，所以常使用离散化小波变换。
小波分析
➢ 小波分析概况 ➢ 小波及小波变换 ➢ 一维小波分析 ➢ 多分辨率分析 ➢ 二维小波分析
❖ 一、小波分析概况
❖ “小波分析”是利用多种 “小波基函数” 对 “ 原始信号” 进行分解，分析原始信号各种变化的 特性，进一步用于趋势分析，数据压缩、噪声去除 、特征选择等。
❖ 地理学的许多现象均可视为数据信号，进行小波分 析，如气候和水文数据的时间序列，人文地理方面 的经济数值波动，遥感方面的光谱分析、遥感数据 的图像压缩，GIS方面的数据多尺度分析。
k 1
k 1
N
N
或： C j1 n h jn k *C jk g jn k * D jk
如何使用小波变换进行信号特征提取
如何使用小波变换进行信号特征提取信号特征提取是信号处理领域中的一个重要任务，它可以帮助我们从复杂的信号中提取出有用的信息。
而小波变换作为一种有效的信号分析工具，被广泛应用于信号特征提取中。
本文将介绍如何使用小波变换进行信号特征提取，并探讨其在实际应用中的优势和限制。
一、小波变换简介小波变换是一种时频分析方法，它可以将信号分解成不同尺度和频率的小波系数。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时域和频域局部性。
小波变换通过对信号进行连续或离散的小波分解，得到小波系数，从而实现信号的特征提取和分析。
二、小波变换的优势1. 多分辨率分析能力：小波变换可以将信号分解成不同尺度的小波系数，从而提供了多尺度的信号分析能力。
这使得小波变换在处理具有不同频率成分的信号时具有更好的适应性。
2. 时域和频域局部性：小波变换具有时域和频域局部性，能够更好地捕捉信号的瞬态特征和局部频率变化。
这使得小波变换在处理非平稳信号时具有优势，例如生物信号、地震信号等。
3. 信息压缩能力：小波变换可以通过对小波系数的阈值处理，实现信号的信息压缩。
这对于存储和传输大量信号数据时非常有用，可以减少数据量并保留重要的特征信息。
三、小波变换的应用小波变换在信号特征提取中有广泛的应用，下面以几个具体的应用领域为例进行介绍。
1. 生物医学信号处理：小波变换可以用于生物医学信号的特征提取，如心电图（ECG）信号的QRS波群检测、脑电图（EEG）信号的睡眠分期等。
通过对小波系数的分析，可以提取出与特定疾病或状态相关的特征，为医学诊断和监测提供支持。
2. 图像处理：小波变换可以用于图像的特征提取和压缩。
通过对图像的小波分解，可以提取出不同尺度和方向的纹理特征，用于图像分类、目标检测等任务。
同时，小波变换还可以实现图像的压缩编码，减少图像数据的存储和传输量。
3. 振动信号分析：小波变换可以用于振动信号的故障诊断和预测。
通过对振动信号进行小波分解，可以提取出与故障特征相关的频率成分和能量分布，从而实现对机械设备的故障检测和健康状态评估。
小波变换的优点和局限性
小波变换的优点和局限性小波变换（Wavelet Transform）是一种在信号处理和图像处理领域广泛应用的数学工具。
它具有许多优点，如多分辨率分析、时频局部化以及适应性等。
然而，小波变换也存在一些局限性，如辨析能力不足和计算复杂度高等。
本文将探讨小波变换的优点和局限性，并对其应用进行一些思考和讨论。
首先，小波变换具有多分辨率分析的优点。
传统的傅里叶变换只能提供全局频率信息，而小波变换能够提供不同尺度上的频率信息。
这使得小波变换在信号处理中能够更好地捕捉到信号的局部特征，并且能够对信号进行更精细的分析。
例如，在音频信号处理中，小波变换能够更好地分辨不同频率的乐音，使得音乐的音质更加清晰。
其次，小波变换具有时频局部化的优点。
传统的傅里叶变换无法同时提供信号的时域和频域信息，而小波变换能够在时频域上同时进行分析。
这使得小波变换在时频分析中能够更准确地捕捉到信号的瞬时特征，并且能够对信号的时频变化进行更精确的描述。
例如，在语音信号处理中，小波变换能够更好地分析语音信号的音调和音频的变化。
此外，小波变换具有适应性的优点。
小波基函数可以根据不同的应用场景进行选择和设计，从而适应不同类型的信号和数据。
这使得小波变换在不同领域的应用更加广泛和灵活。
例如，在图像处理中，可以根据图像的特点选择不同的小波基函数，从而更好地提取图像的边缘和纹理等特征。
然而，小波变换也存在一些局限性。
首先，小波变换的辨析能力不足。
由于小波基函数的局限性，小波变换在处理具有复杂频谱的信号时可能无法提供准确的分析结果。
例如，在处理包含多个频率成分的信号时，小波变换可能无法准确地分辨出各个成分的频率信息。
其次，小波变换的计算复杂度较高。
小波变换需要进行多次卷积和下采样操作，这导致了计算量较大。
尤其是在处理大规模数据时，小波变换的计算时间可能会很长。
这限制了小波变换在实时处理和大数据分析等领域的应用。
综上所述，小波变换具有多分辨率分析、时频局部化和适应性等优点，能够在信号处理和图像处理中提供更精细和准确的分析结果。
小波变换特征
小波变换特征一、引言小波变换是信号处理领域中的一种重要工具，它能够提供信号的时频分析能力，揭示信号在不同频率和时间尺度上的特性。
由于其独特的性质，小波变换在许多领域都有广泛的应用，如信号处理、图像处理、机器学习等。
本文将重点探讨小波变换的特征，以期为相关研究和应用提供指导。
二、小波变换的定义小波变换是一种时间-频率分析方法，它通过将信号分解成不同频率和时间尺度的分量来描述信号的特性。
在数学上，小波变换可以定义为将一个有限的持续时间函数f(t)转换为一个时间-频率平面上的函数Wf(t,ω)，其中t表示时间，ω表示频率。
这个转换是通过一个被称为小波基函数的函数来实现的，该函数在时间和频率域上都具有一定的局部性。
三、小波变换的特征1.多分辨率分析：小波变换具有多分辨率分析的特性，能够将信号分解成不同频率和时间尺度的分量。
这种特性使得小波变换能够适应不同的应用场景，从低频和高频到任意的时间尺度。
2.时频局部性：小波变换在时频平面上具有良好的局部性，能够同时揭示信号在时间和频率两个维度的特性。
这使得小波变换成为处理非平稳信号的有力工具。
3.灵活性：小波变换可以通过选择不同的小波基函数来适应不同的应用需求。
这为研究者提供了更大的灵活性，可以根据实际问题的特点选择合适的小波基函数。
4.反变换：与傅里叶变换一样，小波变换也具有反变换，可以将时频平面上的信息还原成原始的时间域信号。
这使得小波变换成为一种可逆的信号处理方法。
5.高效算法：小波变换可以通过使用快速算法（如快速傅里叶变换FFT）进行计算，大大提高了信号处理的效率。
这使得小波变换在实际应用中具有较高的实用性。
四、应用领域1.信号处理：小波变换在信号处理领域中的应用广泛，包括信号去噪、压缩、滤波等。
通过小波变换的多分辨率分析和时频局部性，可以有效地提取信号中的特征信息，实现信号的处理和分析。
2.图像处理：小波变换在图像处理中也有广泛应用，如图像压缩、去噪、增强等。
小波变换的优点
小波变换的优点小波变换是一种数学工具，它可以将信号分解成不同的频率成分，从而更好地理解信号的特征。
小波变换有许多优点，下面将详细介绍其优点。
1. 高效性小波变换是一种快速算法，可以在较短的时间内完成信号处理。
与傅里叶变换相比，小波变换可以更快地处理非平稳信号和非线性信号。
此外，小波变换还可以在不同尺度上进行分析，并且可以使用多个尺度来描述信号。
2. 稀疏性小波变换是一种稀疏表示方法，即只有少数系数需要保留。
这种表示方法可以大大减少存储空间和计算时间，并且可以方便地进行压缩、降噪和特征提取等操作。
3. 多分辨率分析小波变换具有多分辨率分析的能力，可以将信号在不同尺度上进行分解。
这种能力使得小波变换在处理非平稳信号时具有优势，并且可以更好地描述信号的局部特征。
4. 适应性小波基函数具有可调节的形状和大小，在不同应用场景中具有更好的适应性。
此外，小波变换还可以使用不同的小波基函数来处理不同类型的信号，例如Haar小波、Daubechies小波等。
5. 鲁棒性小波变换对噪声和干扰具有一定的鲁棒性。
在信号处理中，噪声和干扰是不可避免的，但是小波变换可以通过滤波和阈值处理等方法来减少其影响，并且可以更好地提取信号的特征。
6. 应用广泛小波变换在许多领域中都有广泛的应用，例如图像处理、音频处理、生物医学工程、金融分析等。
它可以用于信号压缩、降噪、特征提取、模式识别等方面，为各种应用场景提供了强大的工具支持。
综上所述，小波变换具有高效性、稀疏性、多分辨率分析能力、适应性和鲁棒性等优点，并且在各种领域中都有广泛应用。
因此，在信号处理中，小波变换是一种非常重要的工具。
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5.2 多分辨率展开
函数的伸缩和平移
例：给定函数 sin( x) ( x) 0 0 ≤ x 2 其它
则2, ( x)的波形如下图所示
函数的伸缩和平移
5.2 多分辨率展开
序列展开
信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开 函数的线性组合。
f ( x) akk ( x)Βιβλιοθήκη 一维离散小波变换（DWT）
正变换 M 2J 1 M 1 W j0 , k f x j0 ,k x j 0,1,2,, J 1 M n 0 1 M 1 j W j , k f x x k 0 , 1 , 2 , , 2 1 j ,k M n 0 反变换 : 对于j j0 , 有 1 f x M 1 W j0 , k j0 ,k x M k
尺度及小波函数空间的关系
5.2 多分辨率展开
( x)为一个基本小波或者母小波( Mother Wavelet ), 将基本小波 (t )经过伸缩和平移后，可以得到小波序列： j ,k ( x) 2 j / 2 (2 j x k )( j , k Z )
W j span j ,k x W j 称为尺度为j的小波空间（细节空间）。
率就降低。
一个金字塔图像结构
5.1.1 图像金字塔
高斯和拉普拉斯金字塔编码
首先对图像用5*5的高斯模板作低通滤波，滤 波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细 节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后 的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失
5.1.1 图像金字塔
高斯和拉普拉斯金字塔编码
拉普拉斯金字塔编码策略
5.1.1 图像金字塔
512
高斯和拉普拉斯金字塔
5.1.2 子带编码
在子带编码中，一 幅图像被分解成一 系列限带分量的集 合，称为子带，它 们可以重组在一起 无失真地重建原始 图像。 子带通过对输入进 行带通滤波而得到。
双通道子带编码和重建
5.1.2 子带编码
•完美重建滤波器族
•QMF 正交镜像滤波器 •CQF 共轭正交滤波器
小波变换和多分辨率处理
北京化工大学
小波变换使得图像压缩、传输和分析变得更快捷！ W.X.J
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基础函数是正弦函数。 小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和 有限的持续时间。
傅里叶变换与小波变换
频域分析具有很好的局部性，但空间域上没有局部化功能。 傅里叶变换反映的是图像的整体特征。 一个乐谱，不光阐明了要演奏的音符（或频率），而且阐 明了何时要演奏。而傅里叶变换，只提供了音符或频率信 息，局部信息在变换过程中丢失了。 与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部 变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化， 最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应 时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。
3.伸缩规则性：f ( x) V j f (2 x) V j 1 , j Z 1 4.平移不变性：f ( x) V j f ( x j ) V j 2
V2
V1 V0
5.2 多分辨率展开
子空间的 V j 展开函数可以被表示为子空间V j 1的展开函数的加权和。
j ,k x an j 1,n x
5.2 多分辨率展开
尺度函数
V j Span j ,k x
k
任何j,k上的跨度子空间:
j增大时，用于表示子空间函数的 j ,k x 范围变窄，x有较小 变化即可分开。 随j增加 V j 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数 包含在子空间中。
哈尔尺度函数
考虑单位高度、单位宽度的 尺度函数：
5.4 二维离散小波变换
j z, k z
则集合{ j ,k ( x)}是 ( x)的展开函数集。从上式可以看出， k决定了 j ,k ( x)在x轴的位置，j决定了 j ,k ( x)的宽度，即 沿x轴的宽或窄的程度，而2 j / 2 控制其高度或幅度。由于
j ,k ( x)的形状随j 发生变化， ( x)被称为尺度函数。
h0 z h00 ( z )
2 p 2 (q 1) / 2 p z (q 0.5) / 2 p 1 p2 hk ( z ) h pq ( z ) (q 0.5) / 2 p z q / 2 p 2 N 0 其它
5.1.3 哈尔变换
计算一维离散小波变换
重构原始函数
1 f x W 0,0 0, 0 x W 0,0 0,0 x W 1,0 1,0 x W 1,1 1,1 x 2 1 f 0 11 4 1 1.5 2 2 1.5 2 0 1 2
1 3 1 W 0,0 f ( x) 0, 0 ( x) 1 1 4 1 3 1 0 1 1 2 x 0 2 1 3 1 W 0,0 f ( x) 0, 0 ( x) 1 1 4 1 3 1 0 1 4 2 x 0 2 1 3 1 W 1,0 f ( x) 1, 0 ( x) 1 2 4 2 3 0 0 0 1.5 2 2 x 0 2 1 3 1 W 1,1 f ( x) 1,1 ( x) 1 0 4 0 3 2 0 2 1.5 2 2 x 0 2
h 0 (1) 0 h (1 0) h 1 (1)1 h (1 1)
1 1
2 2
x 2 x 2 x 1
1 0 x 0.5 x 1 0.5 x 1 0 其它
5.3 一维小波变换
5.1 背景
为什么需要多分辨率分析？ 如果物体的尺寸很小或对比度不高 高分辨率 如果物体尺寸很大获对比度很强 低分辨率 通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在
5.1.1 图像金字塔
一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状 排列的分辨率逐步降低的图像集合
金字塔的底部是待处理图像 的高分辨率表示，而顶部是 低分辨率近似。当向金字塔 的上层移动时，尺寸和分辨
5.2 多分辨率展开
因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间 中，任何小波函数可以表示成尺度函数：
x h n 2 2 x n
n
h n 1 h 1 n
n
哈尔尺度函数系数：
h 0 h (1)
1
2
哈尔小波函数系数：
5.3 一维小波变换
一维离散小波变换（DWT）
Morlet小波：
(t ) e
t 2 / 2 i0t
e
2 e
( 0 )2 / 2
Morlet 小波
5.3 一维小波变换
一维离散小波变换（DWT）
Mexihat小波：
(t )
2 3
(1 t )e
2
1 0 x 1 x 其它 0
V0展开函数都属于V1， V0是V1的一个子空间。
5.2 多分辨率展开
多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间{V j }, j Z 1.一致单调性： V0 V1 V2
2 2.渐进完全性： V { 0 }; V L j j ( R) jZ jZ
5.2 多分辨率展开
哈尔尺度函数系数 对于单位高度、单位宽度的哈尔尺度函数系数是
h 0 h (1)
1 x 2
1
2
1 2 2 x 2
2 2x 1
x 2 x 2 x 1
5.2 多分辨率展开
小波函数
给定尺度函数，则小波函数 ( x) 所在的空间跨越了相 邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和 Vj+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。
j j0
W j, k x
j ,k
计算一维离散小波变换
考虑四点的离散函数：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3,f(3)=0。因为 M=4,J=2且由于j0=0,对x=0,1,2,3,j=0,1求和。将使用哈尔 尺度函数和小波函数，并假定f(x)的4个采样值分布在基函 数的支撑区上，基函数的值为1.
k
其中，k是有限或无限和的整数下标，ak 是具有实数值 的展开系数，k ( x) 是具有实数值的展开函数 如果展开是唯一的，f(x)只有一个ak系数与之对应，则 k ( x) 称为基函数。
5.2 多分辨率展开
可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开 集合的闭合跨度，表示为：
V Span k x
5.1.2 子带编码
子带图像编码的二维4频段滤波器组
5.1.2 子带编码
5.1.2 子带编码
5.1.3 哈尔变换
哈尔变换
哈尔基函数是最古老也是最简单的正交小波。哈 尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下 述矩阵形式表达： T=HFH
其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T 是N×N变换的结果
哈尔基函数对图像的多分辨率分解
1、其局部统计数据相对稳定； 2、大多数值为零，便于压缩； 3、原始图像的粗和细分辨率近 似可以从中提取。
5.2 多分辨率展开
函数的伸缩和平移
给定一个基本函数 ( x) ,则 ( x) 的伸缩和平移公式 可记为：