九年级数学上册类比归纳专题一元二次方程的解法习题课件(新版)北师大版
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新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共14张PPT)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
数学北师大版九年级上册一元二次方程解法复习PPT课件
1
+a
1
+b
标杆题4：
例 分解因式解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
(1) x2－３x = 0
解: 把方程左边分解因式,得
x (x－ ３ ) = 0 ∴ x = 0 或x3
(2) 2 x2+13x －7= 0
假如配方法解方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
吗?
w 1.化1:把二次项系数化为1;
w 2.移项:把常数项移到方程的右边; w 3.配方:方程两边都加上一次项系数 绝对值一半的平方;
w 4.变形:方程左分解因式,右 边合并同类;
w 5.开方:根据平方根意义,方 程两边开平方;
w 6.求解:解一元一次方程; w 7.定解:写出原方程的解.
3. 公式法
w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 提示:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0
标杆题3：
w1.化1:把二次项系数化为1; w2.移项:把常数项移到方程的右边; w3.配方:方程两边都加上一次项系数 绝对值一半的平方;
x2-4x=5 x2-4x+4=9
w4.变形:方程左分解因式,右 边合并同类;
w5.开方:根据平方根意义,方程 两边开平方; w6.求解:解一元一次方程;
;
w7.定解:写出原方程的解.
一元二次方程的解法
231公式法课件北师大版数学九年级上册
当堂训练：（15分钟）
1、一元二次方程y2+2y-4=0的根的情况是：
2、用公式法解方程 x2-3x-2=0
3、若一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等 的实数根，求m的值。
变式1、关于x的一元二次方程 x2 2x m 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
2a
2a
b b2 4ac
x
2a
ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的求根公式：
条件：当b2 4ac 0时
b b2 4ac x
2a
a，b，c 是什么？
任何时候都能使用求根公式吗？
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
2a
例一:用公式法解方程 x2 -7x-18=0
1.把方程化为一般形式
ax2 bx c 0 a 0
写出方程的各项系数与常数项a、b、c
2.求出 b2 4ac 的值，看 b2 4ac 是否大
于等于0.
注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。
3.代入求根公式 x b b2 4ac
2a
4.写出方程的解： x1、x2
温馨提示
用公式法解一元二次方程时应注意哪些问题呢？
(2).解方程： 4x2 1 4x
一般步骤
解：原方程化为：4x2 4x 1 0
化
∴ a 4, b 4, c 1,
b2 4ac (4)2 4 41 0 验
x b b2 4ac (4) 0 1
代
2a
24 2
x1
x2
1 2
求
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
北师大版九年级数学上册《一元二次方程——应用一元二次方程》教学PPT课件(2篇)
3. 如图，Rt△ ABC 中，AB＝6，BC＝8.点 P 从点 A 出发， 以 1 个单位/秒的速度向点 B 移动，同时，点 Q 从点 B 出发， 以 2 个单位/秒的速度向点 C 移动，运动 11 秒后，△ PBQ 的 面积为 5 个平方单位．
4. 一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警 报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里 的圆形区域(包括边界)都属于台风区域，当轮船到 A 处时测得台风中心移 到位于点 A 正南方的 B 处，且 AB＝100 海里．若这艘轮船自 A 处按原速
A. 10
B. 12
C. 13
D. 20
4. 某鸡场有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有 169 只鸡患了禽流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传染的 只数是 1122 ．
5. 水果店老板以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每 斤 4 元的价格出售，每天可售出 100 斤，通过调查发现，这种水果每 斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤，为保证每天至少售出 260 斤，老板决定降价出售．
(二)预习反馈
1. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 460 元降为
215 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每
次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是( B )
A. 460(1＋x)2＝215
B. 460(1－x)2＝215
C. 460(1－2x)2＝215
D. 460(1－x2)＝215
解：设该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率是 x. 根据题意得 2 500＋2 500(1＋x)＋2 500(1＋x)2＝9 100， 解得 x1＝0.2，x2＝－3.2(不合题意，舍去)． 因此，该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率是 20%.
2.4《用因式分解法求解一元二次方程》北师大版九年级上册教学课件1
想一想 你能用因式分解法解方程 x2–4=0，(x+1)2–25 = 0 吗？
x2–4 = 0 解：原方程可变形为
(x + 2)(x – 2) = 0. x + 2 = 0 或 x –2 = 0. x1 = –2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0 解：原方程可变形为
(x +1+5)(x+1–5) = 0. (x+6)(x–4) = 0. x+6 = 0 或 x–4 = 0. x1 = –6，x2 = 4.
x(5x – 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
x1
=
0，x2
=
4. 5
(2)原方程可变形为 x(x–2) – (x–2) = 0 ， (x–2)(x–1) = 0. x–2 = 0 ，或 x–1= 0. x1 = 2 ，x2 = 1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
5x2=4x
移项
5x2–4x=0
提公因式x
x(5x–4)=0
等价于
x=0或5x–4=0
解一元一 次方程
x1=0，x2=
4 5
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例 解下列方程： (1) 5x2 = 4x；
(2) x(x–2)=x–2.
分析：(2)
x(x–2)=x–2
移项
x(x–2)–(x–2)=0
提公因式(x–2)
(x–2)(x–1)=0
等价于
x–1=0或x–2=0
解一元一 次方程
x1=1，x2=2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
北师大版九年级数学上册课件2.2.2解一元二次方程—配方法
3．有n个方程：x2＋2x－8=0；x2＋2×2x-8×22=0；…；x2 ＋2nx－8n2=0.小静同学解第一个方程x2＋2x－8=0的步骤 为：“①x2＋2x=8；②x2＋2x＋1=8＋1；③(x＋1)2=9；④ x＋1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=－2.” (1)小静的解法是从步骤______⑤__开始出现错误的； (2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2=0.(用含有n的式子 表示方程的根)
2.2.2解一元二次方程— 配方 法
例2： 解方程3x2+8x-3=0
思路：将二次项系数化为1
解：方程两边都除以3，得 x2 + 8 x - 1=0.
3
移项得
x2 +
8 3
x =1
配方,得 x2 + 8 x + ( 4 ) 2 = ( 4 )2 +1 ,
3
3
3
（x +
4 3
）2
=
25 9
.
开平方得 所以
4
直接开平方,得2-x= ±3 地∴2-x= 2
∴x1=2- 3, x2=2+ 3.
3或2-x=-
2
,3
2
2
2
(2)原方程可变形为(3x+1)2=8,
直接开平方,得3x+1=±2 2,
∴3x+1=2
2 或3x+1=-2 2
,∴x1=1
2 3
2,x2=
1 2 . 2
3
(3)移项,得3x2+2x=3,
2
二次项系数化为1,得x2+ 3x=1,
2 (1)小静的解法是从步骤____2____开始出现错误1的；2
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法-公式法》教学课件
4
4
x1
-3，x2
1 2
求根公式 ：x= -b b2 4ac 2a
（a≠0， b2-4ac≥0）
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
a=1 b=4 c= -2 ∴ b2-4ac=42-4×1×（-2）=24
x -4 24 -2 6
4
2
x1
-2+ 2
6 ，x2
原方程无实数根
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0
x
9 4
2
17 16
.
4．变形：方程左 分解因式，右边合
并同类;
x 9 17 . 44
5．开方：根据平 方根意义，方程两
边开平方;
x 9 17 . 44
6．求解：解一元 一次方程;
x1
9
4
17
；x2
9
4
17
.
7．定解：写出原 方程的解．
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 吗？
二、用配方法解一元二次方程：
(1).2x2 4x 1 0 (2).3x2 12x 1 0 3
公式法
一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）
当b2 4ac 0时,它的根是 : x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.4用因式分解法求解一元二次方程 课件 -2024-2025学年北师大版九年级数学上册
4x 2-31x-45=0
1
-9
4
5
（x-9）（4x+5）=0
x-9=0 或 4x+5=0
∴
x 1=9, x 2=-
5 4
当堂练习
1.填空
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ；
③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
归纳：用因式分解法求解一元二次方程的步骤： 1、移项，将方程的右侧化为0。 2、用提公因式法或公式法或十字相乘法将方程的左侧化为 两个一次因式的乘积。 3、应用若ab=0,则a=0或b=0，得到两个一元一次方程。 4、解两个一元一次方程得出方程的解。
同学们，欢迎走进数学课堂
用因式分解法求解一元二次方程
知识点
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解。
2、因式分解的方法：提公因式法和公式法。
提公因式法就是提出各项的公因式，然后把每项剩余的内容 写在一个括号里，两者进行相乘。公式法是逆用之前学过的 平方差公式和完全平方公式。
谢谢
⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ⑥
；
适合运用因式分解法 ② ③ ⑤ ⑨ ；
适合运用公式法 ① ⑦ ⑧
；
适合运用配方法 ④
.
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请 改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为：
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程-专题一本章易错点例析课件
1.当Δ＝b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的 实数根; 一元二次方程的 2.当Δ＝b2-4ac＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实 根的情况 数根; 3.当Δ＝b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根
第二章 一元二次方程
过关训练
-1Leabharlann 易错典例易错点2：应用配方法中的错误 【例2】用配方法解方程：2x2-6x-7＝0． 错解：移项，得2x2-6x＝7. 配方，得2x2-6x+32＝7+32， 即（2x-3）2=16． 开平方，得2x-3=±4． ∴x1=-1，x2=7．
过关训练
2.用配方法解方程：2x2-4x-16＝0． 解：移项，得2x2-4x＝16. 二次项系数化为1，得x2-2x＝8. 配方，得x2-2x+1＝8+1， 即（x-1）2＝9. 开平方，得x-1＝±3. ∴x1＝4，x2＝-2．
专题一 本章易错点例析
目录
01 易错典例 02 过关训练
易错典例
易错点1：定义理解错误
错解：±2 错解分析：一元二次方程的定义中，“最高次数是二次”这个条 件中实际包含了二次项系数不等于0，如果二次项系数为0，那么 二次项也将不存在，也就不会有“最高次数是二次”，所以，我 们在解答中务必要注意，二次项系数不为0这个隐含条件.此题的 解答中，当k=2时，二次项系数k-2=0,所以k=2应舍去.故k=-2. 正解：-2
知识导航
只含有一个未知数x，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(ａ，ｂ， 一元二次方程的 ｃ为常数,a≠0)的情势的整式方程叫做一元二次方程.其中ax2， 定义及一般情势 bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项
第二章 一元二次方程
过关训练
-1Leabharlann 易错典例易错点2：应用配方法中的错误 【例2】用配方法解方程：2x2-6x-7＝0． 错解：移项，得2x2-6x＝7. 配方，得2x2-6x+32＝7+32， 即（2x-3）2=16． 开平方，得2x-3=±4． ∴x1=-1，x2=7．
过关训练
2.用配方法解方程：2x2-4x-16＝0． 解：移项，得2x2-4x＝16. 二次项系数化为1，得x2-2x＝8. 配方，得x2-2x+1＝8+1， 即（x-1）2＝9. 开平方，得x-1＝±3. ∴x1＝4，x2＝-2．
专题一 本章易错点例析
目录
01 易错典例 02 过关训练
易错典例
易错点1：定义理解错误
错解：±2 错解分析：一元二次方程的定义中，“最高次数是二次”这个条 件中实际包含了二次项系数不等于0，如果二次项系数为0，那么 二次项也将不存在，也就不会有“最高次数是二次”，所以，我 们在解答中务必要注意，二次项系数不为0这个隐含条件.此题的 解答中，当k=2时，二次项系数k-2=0,所以k=2应舍去.故k=-2. 正解：-2
知识导航
只含有一个未知数x，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(ａ，ｂ， 一元二次方程的 ｃ为常数,a≠0)的情势的整式方程叫做一元二次方程.其中ax2， 定义及一般情势 bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项