2018年江苏高考数学复习：第1部分 专题3 导数含答案
2018版高考数学(江苏专用理科)大一轮复习配套作业第三章导数及其应用3-2含答案
第2讲利用导数研究函数的单调性基础巩固题组(建议用时:40分钟）一、填空题1．函数f（x）＝x－ln x的单调递减区间为________．解析函数的定义域是（0,＋∞)，且f′(x)＝1－错误!＝错误!，令f′(x)〈0，解得0<x<1，所以单调递减区间是(0，1）．答案（0,1)2．已知定义在R上的函数f（x)，其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述:①f(b)>f（c）〉f(d)；②f(b)>f（a）>f（e)；③f（c)>f（b）>f（a)；④f（c）>f（e)>f(d）．其中正确的是________（填序号)．解析依题意得，当x∈（－∞，c)时,f′(x）>0，因此，函数f(x）在（－∞，c）上是增函数，由a<b〈c，所以f（c）〉f(b)>f(a）．答案③3．若函数f(x）＝2x3－3mx2＋6x在区间（2，＋∞）上为增函数，则实数m的取值范围为________．解析∵f′（x）＝6x2－6mx＋6，当x∈（2,＋∞)时,f′(x）≥0恒成立,即x2－mx＋1≥0恒成立,∴m≤x＋错误!恒成立．令g(x）＝x＋错误!,g′（x)＝1－错误!，∴当x>2时，g′（x）>0,即g（x）在(2，＋∞）上单调递增,∴m≤2＋错误!＝错误!.答案错误!4．已知函数f（x）＝（－x2＋2x)e x（x∈R，e为自然对数的底数），则函数f（x）的单调递增区间为________．解析因为f（x)＝（－x2＋2x）e x，所以f′（x)＝（－2x＋2）e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2）e x。
令f′（x)>0,即（－x2＋2）e x>0，因为e x〉0，所以－x2＋2>0,解得－错误!〈x<错误!，所以函数f(x）的单调递增区间为（－错误!，错误!)．答案（－错误!，错误!）5．已知函数f(x)＝－错误!x2＋4x－3ln x在区间上不单调,则t的取值范围是________．解析由题意知f′（x）＝－x＋4－错误!＝－错误!，由f′(x）＝0得函数f（x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间（t，t＋1）内，函数f（x）在区间上就不单调，由t<1<t ＋1或t<3〈t＋1，得0<t〈1或2〈t<3。
2018江苏数学高考真题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么AB = ▲ ．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示， 那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法,最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是 ▲ ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c+的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：(1）11AB A B C 平面∥；（2)111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． (1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1)求椭圆C 及圆O 的方程；（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267， 求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点"．（1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点"，并说明理由．20．(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； (2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立,并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--, 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ,所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ, 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ)=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14,θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14,1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600(cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是［14，1）． (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k 〉0)， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ)+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2)．设f （θ)= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0,π2), 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6, 当θ∈（θ0，π6)时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈(π6，π2）时，()<0f θ′,所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时,f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=． 因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=．（2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（＊）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此,点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为267,所以21 267AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*)得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．解：(1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x —2，则f ′（x ）=1，g ′（x )=2x +2．由f （x )=g （x ）且f ′(x ）= g ′(x ),得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f (x ）与g (x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x )与g （x ）的“S "点,由f （x 0）=g (x 0)且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-,即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e 2a =时，120e x -=满足方程组（＊）,即0x 为f （x )与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x )的图象是不间断的,所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =,令0302e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()x bf x x ag x x =-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩(＊*) 此时,0x 满足方程组（*＊），即0x 是函数f (x )与g (x )在区间（0，1)内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0,存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．解：(1）由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1,2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n =1,2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此,d 的取值范围为75[,]32．（2)由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ,使得1||n n a b b -≤(n =2，3，···，m +1)成立， 即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b qb n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时,d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈,则112n mqq -<≤≤,从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-,对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x 〉0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时,111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-, 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m ．因此,d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ（附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．［选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点,过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =,求 BC 的长．B ．[选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；(2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．［选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲］（本小题满分10分）若x ,y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1，BC 的中点． （1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．（本小题满分10分）设*n ∈N ,对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，（3,1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求34(2),(2)f f 的值;（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示)．数学Ⅱ（附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4-1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =23,OC =2，所以OP =22PC OC +=4．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4-2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ,y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此,点P 的坐标为（3,–1）． C ．［选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0）,倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ,则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 236AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．［选修4—5:不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++,所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2， 所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,,2)22P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--，故111|||14|310|cos ,|20||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-+===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020．(2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：(1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1,2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ,所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-． 为计算1(2)n f +，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后,将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时, 112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)_专题3.3导数的综合应用(测)
专题3.3 导数的综合应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2017课标3，理11改编】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =_________【答案】12【解析】2. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >->⇒-<<- 3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为 ． 【答案】(0,)+∞ 【解析】试题分析：令()()x f x g x e =，则()()()0xf x f xg x e'-'=<，因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)(0)(2)1g(0)1f x f x f f +=-+⇒==⇒=，因此()()1(0)0x f x e g x g x <⇒<=⇒>4. 【2017届高三七校联考期中考试】若()1ln ,(),0xexf x x a xg x a e =--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠121211|()()|||()()f x f xg x g x -<-的恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】22[3,0)3e - 【解析】则()'21()10xe x a h x x ex-=--≤在(3,4)x ∈上恒成立，[]11,3,4x x e a x e x x --∴≥-+∈恒成立 令[]11(),3,4x x e u x x ex x--=-+∈，[]21112(1)113'()11,3,424x x x e x u x ee x x x ---⎡⎤-⎛⎫∴=-+=--+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 21211331,'()0244x e e u x x -⎡⎤⎛⎫-+>>∴<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ，()u x ∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大值为22(3)33u e =-综上，实数a 的取值范围为22[3,0)3e -.5. f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则af (b )与bf (a )的大小关系为________．【答案】af (b )≤bf (a )【解析】∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f x x 2≤－2fxx 2≤0.则函数f x x在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f a a≥f b b.即af (b )≤bf (a )．6.设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，127.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 【答案】40【解析】由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0； 当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．8.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0.9.函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．【答案】2110.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________． 【答案】[1，＋∞)解析】因为对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)， 不等式g x 1k≤f x 2k ＋1恒成立，所以kk ＋1≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max . 因为g (x )＝e 2xex ，所以g ′(x )＝(x e 2－x )′＝e 2－x ＋x e 2－x ·(－1)＝e 2－x (1－x )． 当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0， 所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e ； 因为f (x )＝e 2x 2＋1x，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e，当且仅当e 2x ＝1x，即x ＝1e时取等号，故f (x )min ＝2e.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max ＝e 2e ＝12. 所以kk ＋1≥12.又因为k 为正数，所以k ≥1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
2018版高考数学(江苏专用理科)大一轮复习配套作业第三章导数及其应用3-1含答案
第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设y＝x2e x，则y′＝________。
解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2）e x。
答案（2x＋x2)e x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x），且满足f（x)＝2x·f′(1）＋ln x,则f′（1）＝________。
解析由f（x)＝2xf′(1）＋ln x，得f′(x)＝2f′（1）＋1 x，∴f′（1）＝2f′(1)＋1,则f′(1)＝－1.答案－13．曲线y＝sin x＋e x在点(0，1)处的切线方程是________．解析y′＝cos x＋e x,故切线斜率为k＝2,切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2017·苏州调研）已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析 y ＝ln x 的定义域为（0,＋∞)，且y ′＝错误!，设切点为(x 0,ln x 0)，则y ′｜x ＝x 0＝错误!，切线方程为y －ln x 0＝错误!(x －x 0)，因为切线过点（0,0），所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为错误!。
答案 错误!5．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点（1,a ）处的切线平行于x 轴,则a ＝________.解析 因为y ′＝2ax －错误!，所以y ′｜x ＝1＝2a －1。
因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，解得a ＝12. 答案 错误!6．(2017·南师附中月考)如图,y ＝f (x ）是可导函数，直线l ：y ＝kx＋2是曲线y ＝f （x )在x ＝3处的切线，令g （x ）＝xf （x ），其中g ′(x ）是g （x )的导函数，则g ′（3)＝________.解析 由图形可知：f （3)＝1，f ′(3)＝－错误!，∵g ′（x )＝f （x ）＋xf′(x），∴g′(3）＝f（3）＋3f′（3)＝1－1＝0。
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导
3.2 导数的应用第1课时导数与函数的单调性1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)求函数y＝f(x)的极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：第一步求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【知识拓展】1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零.3.对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( × )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件.( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( √ ) (6)三次函数在R 上必有极大值和极小值.( × )1.(教材改编)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为 . 答案 (0,4)解析 f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)， 由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴单调递减区间为(0,4).2.(教材改编)函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为 . 答案 (π3，π)解析 令f ′(x )＝1－2cos x >0，得cos x <12，又x ∈(0，π)，所以π3<x <π.3.(教材改编)函数y ＝3x 3－9x ＋5的极大值为 . 答案 11解析 y ′＝9x 2－9.令y ′＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：从上表可以看出，当x ＝－1时，函数y 有极大值， 3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.4.(2016·苏中八校联考)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为 . 答案 (0,1)解析 函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1).5.设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是 . 答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵当x >0时，－e x <－1， ∴a ＝－e x<－1.第1课时 导数与函数的单调性题型一 不含参数的函数的单调性例1 (1)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为 .(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是 .答案 (1)(0,1) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 (1)y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －x ＋x(x >0).令y ′<0，得0<x <1，∴单调递减区间为(0,1). (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(1)函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为 .(2)已知函数f (x )＝x ln x ，则下面关于函数f (x )单调性的判断正确的是 . ①在(0，＋∞)上递增； ②在(0，＋∞)上递减； ③在(0，1e)上递增；④在(0，1e)上递减.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)④ 解析 (1)由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数的单调递增区间为(1e ，＋∞)；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为(0，1e ).题型二 含参数的函数的单调性例2 (2016·江苏新海中学月考改编)已知函数f (x )＝2x 3＋32tx 2－3t 2x ＋t －12(t ≠0)，求f (x )的单调区间.解 f ′(x )＝6x 2＋3tx －3t 2＝3(2x －t )(x ＋t ). 令f ′(x )＝0，得x ＝－t 或x ＝t2.∵t ≠0，以下分两种情况进行讨论： ①若t <0，则t2<－t .由f ′(x )>0，得x <t2或x >－t ；由f ′(x )<0，得t2<x <－t .②若t >0，则t2>－t .由f ′(x )>0，得x <－t 或x >t2；由f ′(x )<0，得－t <x <t2.∴当t <0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，t 2)，(－t ，＋∞)，单调递减区间为(t2，－t )；当t >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－t )，(t 2，＋∞)，单调递减区间为(－t ，t2).思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性.解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈(0, 1－a2a)时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a2a ，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0, 1－a2a)上单调递减，在( 1－a2a，＋∞)上单调递增.题型三 已知函数单调性求参数例3 (2016·南通模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围. 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解.设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝(1x－1)2－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1，即a 的取值范围为(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1,4]上单调递减得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立.所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝(1x－1)2－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈[14，1]，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，即a 的取值范围是[－716，＋∞).引申探究1.本题(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围. 解 由h (x )在[1,4]上单调递增得， 当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 即当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1,4]时，(1x 2－2x)min ＝－1(此时x ＝1)，∴a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1].2.本题(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围. 解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1,4]上有解， 即当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，(1x 2－2x)min ＝－1，∴a >－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞). 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.已知函数f (x )＝e xln x －a e x(a ∈R ).(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1e x ＋1垂直，求a 的值；(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝(1x－a ＋ln x )e x，f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝(1x－a ＋ln x )e x，若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0在x >0时恒成立. 即1x－a ＋ln x ≤0在x >0时恒成立.所以a ≥1x＋ln x 在x >0时恒成立.令g (x )＝1x＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2(x >0)，由g ′(x )>0，得x >1； 由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在(1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (1)＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值).故f (x )不可能是单调递减函数. 若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即1x－a ＋ln x ≥0在x >0时恒成立，所以a ≤1x＋ln x 在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1].5.用分类讨论思想研究函数的单调性典例 (16分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法. 规范解答解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ， 则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .[2分]由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.[4分](2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝ax －x －x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1； 由g ′(x )<0，得x >1.[8分] 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，[9分]若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；[11分]若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. [14分]综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，12a )上单调递减，在(12a ，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在(0，12a )上单调递增，在(12a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.[16分]1.(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 . 答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f xx， 则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝[f xx]′ ＝xfx －f xx 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数. 所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0 ⇔f x x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f xx＜0⇔f (x )＞0.综上，知使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1).2.已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的 条件.答案 充分不必要解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件. 3.在区间(－1,1)内不是增函数的函数是 . ①y ＝e x＋x ； ②y ＝sin x ；③y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2； ④y ＝x 2＋x ＋1. 答案 ④解析 ①y ＝e x ＋x ，y ′＝e x＋1>0，在区间(－1,1)内是增函数； ②y ＝sin x ，y ′＝cos x ，在区间(－1,1)内是增函数；③y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2，y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －2)2－3，在区间(－1,1)内是增函数； ④y ＝x 2＋x ＋1，y ′＝2x ＋1，在区间(－12，1)内y ′>0，在区间(－1，－12)内y ′<0，在区间(－1,1)内不单调.4.已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为 .答案 [－43，1]∪[113，6]解析 不等式f ′(x )≤0的解集即函数y ＝f (x )的减区间，由题图知y ＝f (x )的减区间为[－43，1]，[113，6]，故f ′(x )≤0的解集为[－43，1]∪[113，6].5.(2017·江苏扬州中学月考)若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 . 答案 [12，＋∞)解析 f ′(x )＝2mx ＋1x －2，由题意知，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≥－1x 2＋2x在(0，＋∞)上恒成立，令t ＝1x>0，则2m ≥－t 2＋2t ，又∵(－t 2＋2t )max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12.6.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则12e ()xf x 与21e ()xf x 的大小关系为 . 答案 1221e ()e ()xxf x f x ＞ 解析 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex，由题意得g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即1212()()e ex x f x f x ＜， 所以1221e ()e ()xxf x f x ＞.7.(2016·苏州模拟)若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝ . 答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <3是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， ∴b ＝－3，c ＝－9，b ＋c ＝－12.8.(2016·无锡模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是 .①f (b )>f (c )>f (d ) ②f (b )>f (a )>f (e ) ③f (c )>f (b )>f (a ) ④f (c )>f (e )>f (d ) 答案 ③解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，因此③正确.9.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 . 答案 (－19，＋∞)解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19， 所以a 的取值范围是(－19，＋∞).10.(2016·全国甲卷改编)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是 .答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 解析 ∵函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0，即a cos x ≥43cos 2x －53在(－∞，＋∞)恒成立.当cos x ＝0时，恒有0≥－53，得a ∈R ；当0<cos x ≤1时，得a ≥43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，f (t )＝43t －53t 在(0,1]上为增函数，得a ≥f (1)＝－13；当－1≤cos x <0时，得a ≤43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，f (t )＝43t －53t 在[－1,0)上为增函数，得a ≤f (－1)＝13.综上，可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13. 11.(2016·江苏南京十三中月考)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0). (1)讨论f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)， ∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a ). ①当a ≥1时，Δ≤0，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上是增函数； ②当a <1且a ≠0时，Δ>0，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝－1＋1－aa，x 2＝－1－1－aa.(ⅰ)当0<a <1时，易知当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数，在(x 2，x 1)上是减函数；(ⅱ)当a <0时，易知当x ∈(－∞，x 1)或x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0， 故函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数， 在(x 1，x 2)上是增函数.(2)当a >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0(x ∈(1,2))， 故a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数， 当a <0时，由f (x )在区间(1,2)上是增函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋9≥0，12a ＋15≥0，解得a ≥－54，所以－54≤a <0.综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞).12.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2(x >0). 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去. 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数.综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5). 13.已知函数f (x )＝13x 3－a 2x 2.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a ). ①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递增.②当a >0时，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，减区间为(0，a ).③当a <0时，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )>0；当x ∈(a,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，减区间为(a,0). (2)∵g (x )＝13x 3－a 2x 2＋2x ，∴g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即当x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x)max ＝－22即可.所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22).。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题3 导数及其应用 第24练 Word版含解析
1．(2016·常州一模)已知函数f(x)＝ln x－x－ax，a∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的极大值；(2)求函数f(x)的单调区间．2．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．3．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3＋ax＋1 4，g(x)＝－ln x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，讨论h(x)零点的个数．4．(2016·山东)已知f(x)＝a(x－ln x)＋2x－1x2，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，证明f(x)＞f′(x)＋32对于任意的x∈1,2]成立．5．已知函数f(x)＝x ln x和g(x)＝m(x2－1)(m∈R)．(1)m＝1时，求方程f(x)＝g(x)的实根；(2)若对任意的x∈(1，＋∞)，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求m 的取值范围；(3)求证：44×12－1＋4×24×22－1＋…＋4×n4×n2－1＞ln(2n＋1)(n∈N*)．答案精析1．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax 2.令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，则Δ＝1＋4a . ①当a ≤－14时，f ′(x )≤0恒成立， 所以函数f (x )的单调减区间为(0，＋∞)； ②当a ＞－14时，由f ′(x )＝0， 得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a2. (i)若－14＜a ＜0，则x 1＞x 2＞0， 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜x 2，x ＞x 1； 由f ′(x )＞0，得x 2＜x ＜x 1. 所以f (x )的单调减区间为(0，1－1＋4a 2)，(1＋1＋4a 2，＋∞)，单调增区间为(1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2)．(ii)若a ＝0，由(1)知f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)． (iii)若a ＞0，则x 1＞0＞x 2， 由f ′(x )＜0，得x ＞x 1； 由f ′(x )＞0，得0＜x ＜x 1.所以f (x )的单调减区间为(1＋1＋4a2，＋∞)，单调增区间为(0，1＋1＋4a2)． 综上所述， 当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14＜a ＜0时，f (x )的单调减区间为(0，1－1＋4a 2)，(1＋1＋4a 2，＋∞)，单调增区间为(1－1＋4a 2，1＋1＋4a2)；当a ≥0时，f (x )的单调减区间为(1＋1＋4a2，＋∞)，单调增区间为(0，1＋1＋4a2)． 2．(1)证明 f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x . 若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时， e mx －1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )＞0. 若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时， e mx －1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1＜0，f ′(x )＞0. 所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增． (2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在－1,0]上单调递减，在0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎨⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎨⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1， 则g ′(t )＝e t －1.当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0， 故当t ∈－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，g (m )＞0，即e m －m ＞e －1； 当m ＜－1时，g (－m )＞0， 即e －m ＋m ＞e －1.综上，m 的取值范围是－1,1]．3．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34. 因此，当a ＝－34时， x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x ＜0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故1是h (x )的一个零点；若a ＜－54，则f (1)＜0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)＜0，故1不是h (x )的零点．当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x ＞0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点． (ⅱ)若－3＜a ＜0，则f (x )在(0, －a3)上单调递减，在(－a3，1)上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，最小值为f (－a 3)＝2a 3－a 3＋14.①若f (－a 3)＞0，即－34＜a ＜0，f (x )在(0,1)上无零点；②若f (－a 3)＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点； ③若f (－a 3)＜0，即－3＜a ＜－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54＜a ＜－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3＜a ≤－54时， f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a ＞－34或a ＜－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时， h (x )有两个零点；当－54＜a ＜－34时，h (x )有三个零点． 4．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0时，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0， f (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0， f (x )单调递减． 当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3·⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a . ①当0＜a ＜2时，2a ＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，2a 时，f ′(x )＜0， f (x )单调递减． ②当a ＝2时，2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③当a ＞2时，0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a ，1时，f ′(x )＜0， f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2a 内单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞内单调递增； 当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫2a ，1内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增． (2)证明 由(1)知，a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －2x 2＋2x 3＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈1,2]．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈1,2]，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．由g ′(x )＝x －1x ≥0，可得g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号． 又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x 4，设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在x ∈1,2]上单调递减． 因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1,2)， 使得x ∈(1，x 0)时，φ(x )＞0，x ∈(x 0,2)时，φ(x )＜0. 所以h (x )在(1，x 0)内单调递增，在(x 0,2)内单调递减． 由h (1)＝1，h (2)＝12， 可得h (x )≥h (2)＝12， 当且仅当x ＝2时取得等号． 所以f (x )－f ′(x )＞g (1)＋h (2)＝32，即f (x )＞f ′(x )＋32对于任意的x ∈1,2]成立． 5．(1)解 m ＝1时，f (x )＝g (x )， 即x ln x ＝x 2－1，而x ＞0，所以方程即为ln x －x ＋1x ＝0. 令h (x )＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－[(x －12)2＋34]x 2＜0，而h (1)＝0，故方程f (x )＝g (x )有唯一的实根x ＝1.(2)解 对于任意的x ∈(1，＋∞)，函数y ＝g (x )的图象总在函数y ＝f (x )图象的上方， 即∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜g (x )， 即ln x ＜m (x －1x )，设F (x )＝ln x －m (x －1x )，即∀x ∈(1，＋∞)，F (x )＜0， F ′(x )＝1x －m (1＋1x 2) ＝－mx 2＋x －m x 2.①若m ≤0，则F ′(x )＞0，F (x )＞F (1)＝0，这与题设F (x )＜0矛盾． ②若m ＞0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2， 当Δ≤0，即m ≥12时，F ′(x )≤0， ∴F (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴F (x )＜F (1)＝0，即不等式成立．当Δ＞0，即0＜m ＜12时，方程－mx 2＋x －m ＝0有两个实根，设两根为x 1，x 2且x 1＜x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1m ＞2，x 1x 2＝1，∴方程有两个正实根且0＜x 1＜1＜x 2. 当x ∈(1，x 2)时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，F (x )＞F (1)＝0与题设矛盾． 综上所述，实数m 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)证明 由(2)知，当x ＞1时，m ＝12时， ln x ＜12(x －1x )成立．不妨令x ＝2k ＋12k －1＞1(k ∈N *)，∴ln 2k ＋12k －1＜12⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋12k －1－2k －12k ＋1 ＝4k4k 2－1， ln(2k ＋1)－ln(2k －1)＜4k4k 2－1(k ∈N *)， ⎩⎪⎨⎪⎧ln3－ln1＜44×12－1，ln5－ln3＜4×24×22－1，…ln (2n ＋1)－ln (2n －1)＜4×n4×n 2－1(n ∈N *)，累加可得44×12－1＋4×24×22－1＋…＋4×n4×n 2－1＞ln(2n ＋1)(n ∈N *)．。
2018高考数学(理)大一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性
1 由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x， 3 5 知f′(1)＝－4－a＝－2，解得a＝4.
x2－4x－5 x 5 3 所以f(x)＝4＋4x－ln x－2，则f′(x)＝ ， 4x2 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5， 因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增 函数． 所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区 间为(0,5)．
值对不等式解集的影响进行分类讨论．
求函数的单调区间
[例2] x a 3 已知函数f(x)＝ 4 ＋ x －ln x－ 2 ，其中a∈R，且曲
1 线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ 2 x，求函数f(x) 的单调区间．
[解]
1 a 1 对f(x)求导得f′(x)＝4－x2－x，
第二节 导数与 函数的 单调性
本节主要包括2个知识点： 1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间； 2．利用导数解决函数单调性的应用问题.
突破点(一)
基础联通
利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间
抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
证明或讨论函数的单调性
判断函数单调性的三种方法
【精品】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题专题3 导数及其应用 第18练含解析
1．函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为________．2．(2016·常州模拟)若函数f(x)＝x＋a ln x不是单调函数，则实数a的取值范围是____________．3．(2016·镇江一模)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x ln x，则不等式f(x)＜－e的解集为______________．4．(2016·镇江模拟)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是____________．5．(2017·江苏扬州中学月考)若函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是____________________．6．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k＞0)，(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为____________；(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是____________．7．已知函数y＝－13x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________________．8．(2016·兰州一模)若函数f(x)＝x2－e x－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______________________．9．(2016·常州武进期中)已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)＜f(－x)，则满足13(2x－1)f(2x－1)＜f(3)的实数x的取值范围是________．10．(2016·天津十二区县重点高中第一次联考)已知函数f (x )＝ln x －1x ，g (x )＝ax ＋b .(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若直线g (x )＝ax ＋b 是函数f (x )＝ln x －1x 的图象的切线，求a ＋b 的最小值．答案精析的单调性1．(0,1] 2.(－∞，0)3．(－∞，－e)解析当x ＞0时，f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )＝ln x ＋1＝0，解得x ＝1e ，易知当x ＞0时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e ＞－e ，故只能在x ＜0时，求解f (x )＜－e.因为函数f (x )为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出f (x )的大致图象如图所示，根据函数单调性，且f (－e)＝－f (e)＝－e·lne ＝－e ，得所求不等式的解集为x ＜－e.4.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 5．12，＋∞)解析 f ′(x )＝2mx ＋1x －2，由题意知，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≥－1x 2＋2x 在(0，＋∞)上恒成立，令t ＝1x ＞0，则2m ≥－t 2＋2t ，又∵(－t 2＋2t )max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12.6．(1)13 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 解析 (1)f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)≤0，解得k ≤13.又k ＞0，故0＜k ≤13.7．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，所以Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，所以－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b ＜－1或b ＞3.8．(－∞，2ln2－2]解析 因为f (x )＝x 2－e x －ax ，所以f ′(x )＝2x －e x －a ，因为函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln2，则当x ＜ln2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，所以当x ＝ln2时，g (x )取得最大值，g (x )max ＝g (ln2)＝2ln2－2，所以a ≤2ln2－2.9．(－1,2)解析 令F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∵当x ∈(－∞，0]时，xf ′(x )＜f (－x )恒成立，且由题意知f (－x )＝－f (x )， ∵当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )＜0，即F (x )在(－∞，0]上递减．不等式13(2x －1)f (2x －1)＜f (3)可化为(2x －1)f (2x －1)＜3f (3)，即F (2x －1)＜F (3)，易知F (x )为偶函数，所以不等式可化为|2x －1|＜3，解得－1＜x ＜2.10．解 (1)h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －1x －ax －b ，则h ′(x )＝1x ＋1x 2－a .∵h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴对∀x ＞0，都有h ′(x )＝1x ＋1x 2－a ≥0，即对∀x＞0，都有a≤1x＋1x2.∵1x＋1x2＞0，∴a≤0.故实数a的取值范围是(－∞，0]．(2)设切点(x0，ln x0－1x0)，则切线方程为y－(ln x0－1 x0)＝(1x0＋1x20)(x－x0)，即y＝(1x0＋1x20)x－(1x0＋1x20)x0＋(ln x0－1x0)，即y＝(1x0＋1x20)x＋(ln x0－2x0－1)，令1x0＝t＞0，由题意得a＝1x0＋1x20＝t＋t2，b＝ln x－2x0－1＝－ln t－2t－1，令a＋b＝φ(t)＝－ln t＋t2－t－1，则φ′(t)＝－1t＋2t－1＝(2t＋1)(t－1)t，当t∈(0,1)时，φ′(t)＜0，φ(t)在(0,1)上单调递减；当t∈(1，＋∞)时，φ′(t)＞0，φ(t)在(1，＋∞)上单调递增．∴a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，故a＋b的最小值为－1.。
2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档 第三章
1.导数与导函数的概念(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0).(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0).3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0). 【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.[1f (x )]′＝－f ′(x )f 2(x )(f (x )≠0). 3.[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x ).4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x .( × )1.(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝ . 答案 2e解析 f ′(x )＝e x ＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2.(教材改编)①(cos x )′＝sin x ；②若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；③(－1x )′＝12x x .其中正确的个数是 . 答案 1解析 因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； (1x2)′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②错误；(－1x )′＝(－x －12)′＝3212x -＝12x x ，所以③正确.3.(教材改编)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为 . 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.4.(教材改编)若过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为 .答案 (12，2)或(－12，－2)解析 ∵y ′＝(x －1)′＝－1x 2＝－4，∴x 2＝14，x ＝±12.∴切点坐标为(12，2)或(－12，－2).5.(教材改编)函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有 条. 答案 2解析 ∵y ′＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点(33，39)和点(－33，－39)处有斜率为1的切线.题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x .解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x )′＝1x －1x2. (3)y ′＝(cos xe x )′＝(cos x )′·e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x.思维升华 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0＝ .(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ . 答案 (1)1 (2)－2解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·南通一调)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值为 .(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 . 答案 (1)43(2)x －y －1＝0解析 (1)方法一 由题设可知曲线y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为y ＝2x 1x －x 21，曲线y ＝x3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3x 22x －2x 32，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 21＝2x 32，解得x 1＝3227，x 2＝89，所以x 1x 2＝43.方法二 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 32－x 21x 2－x 1＝2x 1，解得x 1＝3227，x 2＝89，所以x 1x 2＝43.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值例3 (1)(2016·徐州模拟)函数y ＝e x 的切线方程为y ＝mx ，则m ＝ .(2)(2016·苏州暑假测试)已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则实数k ＝ . 答案 (1)e (2)1－e解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x ， 得00|e xx x y '==，从而切线方程为000e e ()xxy x x -=-， 又切线过定点(0,0)，从而000e e ()xxx -=-， 解得x 0＝1，则m ＝e.(2)设切点为(x 0，y 0).因为f ′(x )＝1－1e x ，则f ′(x 0)＝k ，即1－01e x ＝k ，且kx 0－1＝x 0－1＋01e x ， 所以x 0＝－1，所以k ＝1－1e －1＝1－e. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的 .答案 ④解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)(2016·泰州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 .(2)(2016·昆明模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a＝ . 答案 (1)3 (2)－1解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3.(2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴2|x y π='＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.3.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值. 错解展示现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上. (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0|x x y '=＝3x 20－6x 0＋2， ① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1.(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为 . 答案 3解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.2.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为 . 答案 1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y '=＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3.若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为 . 答案 1或134解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.4.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝ . 答案 －4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.5.(2016·江苏扬州中学期中)若x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线，则k ＝ . 答案 e 2解析 由f (x )＝ln x －kx ＋3， 得f ′(x )＝1x－k ，设点M (x 0，y 0)是曲线f (x )上的一点，则曲线f (x )＝ln x －kx ＋3在点M 处的切线方程为 y －(ln x 0－kx 0＋3)＝(1x 0－k )(x －x 0)，∵x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0－kx 0＋3＝0，1x 0－k ＝0，解得k ＝e 2. 6.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为 . 答案 14解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝ax ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意.7.已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，那么f (x )的解析式为 .答案 f (x )＝e x －x ＋12x 2解析 由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ，所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2.8.(2016·南京模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 . 答案12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1).∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线， ∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.10.(2016·扬州中学期末)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 . 答案 [34π，π)解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x (e x )2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2≥－1(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)， ∴－1≤tan α<0.又∵0≤α<π，∴3π4≤α<π. 11.(2016·江苏五校联考)已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为P ，两曲线在点P 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为 .答案 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝8x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即P (4,2)， 由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x，则直线l 1的斜率k 1＝14， ∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4， 如图，易知S △P AB ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.12.已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程.解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0|x x y '＝＝x 20. ∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.13.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。
2018年高考数学江苏卷-答案解析
江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{1,8}【解析】观察两个集合即可求解。
【考点】集合的交集运算2.【答案】2【解析】2i (i)i i i 12i a b a b a b +=+=-=+，故2,1,2i a b z ==-=-.【考点】复数的运算 3.【答案】90【解析】8989909191905++++= 【考点】茎叶图，数据的平均数4.【答案】8【解析】代入程序前11I S =⎧⎨=⎩符合6I <， 第一次代入后32I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入； 第二次代入后54I S =⎧⎨=⎩，符合6I <，继续代入， 第三次代入后78I S =⎧⎨=⎩，不符合6I <，输出结果8S =，故最后输出S 的值为8.【考点】伪代码5.【答案】[2,)+∞【解析】2log 100x x -⎧⎨>⎩≥，解之得2x ≥，即[2,)+∞. 【考点】函数的定义域，对数函数6.【答案】310【解析】假设3名女生为,,a b c ，男生为,d e ，恰好选中2名女生的情况有：选a 和b ，a 和c ，b 和c 三种。
总情况有a 和b ，a 和c ，a 和d ，a 和e ，b 和c ，b 和d ，b 和e ，c 和d ，c 和e ，d 和e 这10种，两者相比即为答案310【考点】古典概型7.【答案】：6π- 【解析】函数的对称轴为+k 2ππ+()2k k ππ∈Z ， 故把3x π=代入得2,326k k πππϕπϕπ+=+=-+ 因为22ππϕ-<<，所以0,6k πϕ==-.【考点】正弦函数的图像和性质8.【答案】2 【解析】由题意画图可知，渐近线b y x a=与坐标轴的夹角为60。
故22224b c a b a a ==+=，故2c e a==. 【考点】双曲线的几何性质9.【答案】2【解析】因为(4)()f x f x +=，函数的周期为4， 所以11(15)(1),(1)122f f f =--=-+=∴1((15))cos 242ff f f π⎛⎫===⎪⎝⎭.【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解10.【答案】4 3【解析】平面ABCD为底面边长，高为1的正四棱锥，141233⨯⨯=.【考点】空间几何体的结构，体积的计算11.【答案】3-【解析】3221()212f x x ax a xx=-+⇒=+令'322312()2,()20231g x x g x x xx x=+=->⇒-+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∵有唯一零点∴32(1)213()231a g f x x x==+=⇒=-+求导可知在[1,1]-上，min max()(1)4,()(0)1f x f f x f=-=-==∴min max()()3f x f x+=-【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用12.【答案】3【解析】∵AB为直径∴AD BD⊥∴BD即B到直线l的距离。
2018江苏高考数学试题及答案解析(K12教育文档)
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅,其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23,则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4,且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π， 则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅,则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、， 120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证:(1)11AB A B C 平面∥； (2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； (2）求tan()αβ-的值．17．(本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． （1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分）焦如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，点12(3,0),(3,0)F F -,圆O 的直径为12F F ． (1)求椭圆C 及圆O 的方程；（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △,求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值;(3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >,判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示)．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．［选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2,AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线,切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分）已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5:不等式选讲］(本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6,求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1=2,点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．（本小题满分10分)设*n ∈N ,对1,2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >,则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序（2,1)，(3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8} 2．2 3．90 4．85．[2，+∞）6．3107．π6-8．29．2210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明:（1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=,所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ)=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0,则sin θ0=14,θ0∈(0,π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ）平方米,△CDP 的面积为 1600(cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是［14,1)． （2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600(cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ),θ∈［θ0，π2）． 设f (θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈［θ0，π2)，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′,得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ)为增函数； 当θ∈（π6，π2)时，()<0f θ′,所以f (θ)为减函数, 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解:（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=．（2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得 222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=,从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y , 由(*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去）,则2012y =，因此P 的坐标为102(,)2． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f (x ）=x ,g (x )=x 2+2x —2,则f ′（x )=1，g ′（x )=2x +2． 由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′(x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解, 因此，f （x ）与g （x )不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f (x ）与g （x )的“S ”点，由f (x 0）与g （x 0）且f ′（x 0)与g ′(x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（＊） 得01ln 2x =-,即120e x -=,则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此,a 的值为e2．（3）对任意a 〉0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h (x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x )与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**) 此时，0x 满足方程组（*＊），即0x 是函数f （x )与g （x ）在区间（0,1）内的一个“S 点"． 因此，对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2,3,4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即1≤1,1≤d ≤3，3≤2d ≤5,7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此,d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···,m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+， 即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x 〈f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时,数列1{}1n q n --单调递减,故数列1{}1n q n --的最小值为mq m ． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2,从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． (2）设P (x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A , 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2,0）,直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=， 则直线l 过A （4,0）,倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2, 所以π4cos 236AB ==．因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．［选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科％网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,设AC ，A 1C 1的中点分别为O ,O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--,故111|||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅． 因此,异面直线BP 与AC 1 (2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ， 因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==． 设n =（x ，y ,z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.x y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， 则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1,2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以2018江苏高考数学试题及答案解析(word 版可编辑修改)牛人数学助力高考数学 (1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。
2018年江苏高考数学二轮复习教师用书第1部分 知识专题突破 专题3 导数 Word版含答案
专题三导数———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第页)．(·江苏高考)已知函数()＝－＋－，其中是自然对数的底数．若(－)＋()≤，则实数的取值范围是．[因为(－)＝(－)－(－)＋－－＝－＋－＋＝－()，所以()＝－＋－是奇函数．因为(－)＋()≤，所以()≤－(－)，即()≤(－)．因为′()＝－＋＋－≥－＋＝≥，所以()在上单调递增，所以≤－，即＋－≤，所以－≤≤.]．(·江苏高考)本在平面直角坐标系中，若曲线＝＋(，为常数)过点(，－)，且该曲线在点处的切线与直线＋＋＝平行，则＋的值是．－[＝＋的导数为′＝－，直线＋＋＝的斜率为－.由题意得(\\(＋()＝－，－()＝－()，))解得(\\(＝－，＝－，))则＋＝－.]．(·江苏高考)抛物线＝在＝处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为(包含三角形内部与边界)．若点(，)是区域内的任意一点，则＋的取值范围是．[由于′＝，所以抛物线在＝处的切线方程为－＝(－)，即＝－.画出可行域(如图)．设＋＝，则＝－＋，可知当直线＝－＋经过点，(，－)时，分别取到最大值和最小值，此时最大值＝，最小值＝－，故取值范围是.]．(·江苏高考)已知函数()＝＋＋(，∈)．()试讨论()的单调性；()若＝－(实数是与无关的常数)，当函数()有三个不同的零点时，的取值范围恰好是(－∞，－)∪∪，求的值.【导学号：】[解]()′()＝＋，令′()＝，解得＝，＝－.当＝时，因为′()＝≥，所以函数()在(－∞，＋∞)上单调递增；当＞时，∈∪(，＋∞)时，′()＞，∈时，′()＜，所以函数()在，(，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当＜时，∈(－∞，)∪时，′()＞，∈时，′()＜，所以函数()在(－∞，)，上单调递增，在上单调递减．()由()知，函数()的两个极值为()＝，＝＋，则函数()有三个零点等价于()·＝＜，从而(\\(＞，,－()＜＜))或(\\(＜，＜＜－().))又＝－，所以当＞时，－＋＞或当＜时，－＋＜.设()＝－＋，因为函数()有三个零点时，的取值范围恰好是(－∞，－)∪∪，则在(－∞，－)上()＜，且在∪上()＞均恒成立，从而(－)＝－≤，且＝－≥，因此＝.此时，()＝＋＋－＝(＋)[＋(－)＋－]．因为函数有三个零点，则＋(－)＋－＝有两个异于－的不等实根，所以Δ＝(－)－(－)＝＋－＞，且(－)－(－)＋－≠，解得∈(－∞，－)∪∪.综上＝.．(·江苏高考)已知函数()＝＋(>，>，≠，≠)．()设＝，＝.①求方程()＝的根；②若对于任意∈，不等式()≥()－恒成立，求实数的最大值．()若<<，>，函数()＝()－有且只有个零点，求的值．[解]()因为＝，＝，所以()＝＋－.①方程()＝，即＋－＝，亦即()－×＋＝，所以(－)＝，于是＝，解得＝.②由条件知()＝＋－＝(＋－)－＝(())－.因为()≥()－对于∈恒成立，且()>，所以≤对于∈恒成立．而＝()＋≥＝，且＝，。
2018年江苏高考数学二轮复习教师用书：第1部分 知识专题突破 专题3 导数 含答案 精品
专题三 导数———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第9页)1．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.]2．(2014·江苏高考)本在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． －3 [y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.]3．(2013·江苏高考)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 [由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x－1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.]4．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求c 的值.【导学号：56394014】[解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－2a3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x ) 在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减． (2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝⎛⎭⎪⎫427a 3＋b ＜0，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－427a 3＜b ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，0＜b ＜－427a 3.又b ＝c －a ，所以当a ＞0时，427a 3－a ＋c ＞0或当a ＜0时，427a 3－a ＋c ＜0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，则在(－∞，－3)上g (a )＜0，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上g (a )＞0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]．因为函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根， 所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3＞0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 综上c ＝1.5．(2016·江苏高考)已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．(1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． [解] (1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， 所以m ≤ f x 2＋4f x 对于x ∈R 恒成立．而 f x 2＋4f x ＝f (x )＋4f x ≥2f x ·4f x ＝4，且 f 0 2＋4f 0＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln a ln b .令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0则x 0<x 02<0，于是g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02<g (0)＝0.又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 02和log a 2之间存在g (x )的非0的零点，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 因此，x 0＝0.于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1. [命题规律](1)在小题中以考查导数的几何意义为主(求切线方程)．(2)在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题．———————主干整合·归纳拓展———————(对应学生用书第9页) [第1步▕ 核心知识再整合]1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，则k ＝f ′(x 0)．(2)函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)在关于函数图象的切线问题中，如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意三个条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率k ＝f ′(x 0)． 2．导数与单调性的关系(1)若函数在某个区间D 可导，f ′(x )＞0⇒f (x )在区间D 内单调递增；f ′(x )＜0⇒f (x )在区间D 内单调递减．(2) 若函数在某个区间D 可导，f (x )在区间D 内单调递增⇒f ′(x )≥0；f (x )在区间D 内单调递减⇒f ′(x )≤0. 3．导数和函数极值、最值的关系(1)求极值的步骤：①先求f ′(x )＝0的根x 0(定义域内的或者定义域端点的根舍去)；②分析x 0两侧导数f ′(x )的符号：若左侧导数负右侧导数正，则x 0为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则x 0为极大值点．(2)对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件．(3)设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点取得，所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最值． (4)求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值，大前提是要考虑函数的定义域．[第2步▕ 高频考点细突破]【例1】 (2016－2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)曲线y ＝x －cos x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2处的切线的斜率为________．[解析] y ′＝1＋sin x ，x ＝π2时，y ′＝1＋sin π2＝2，即切线斜率为2.[答案] 2[规律方法] (1)导数的几何意义是k ＝f ′(x )．(2)从近几年的高考试题来看 ，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有关的问题是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义，切点既在曲线上，又在切线上，导数即斜率． [举一反三](江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)曲线y ＝e x在x ＝0处的切线方程是________．y ＝x ＋1 [因为y ′＝e x ，所以在x ＝0处的切线斜率为k ＝e 0＝1，因此切线方程是y －1＝1(x －0)，即y ＝x ＋1.]【例2 f (x )，已知y ＝ef ′(x )的图象如图3－1所示，则y ＝f (x )的增区间是________．图3－1[解析] 由x ≤2时ef ′(x )≥1⇒f ′(x )≥0，x ＞2时，e f ′(x )＜1⇒f ′(x )＜0，所以y ＝f (x )的增区间是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)【例3】 (泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意得f ′(x )在(1,2)上有零点，即x 2＋2x －2a ＝0⇒a ＝12(x 2＋2x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4【例4】 (江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，x ∈[0，＋∞)，f ′(x )是f (x )的导函数．设g (x )＝f (x )－axf ′(x )(a 为常数)，求函数g (x )在[0，＋∞)上的最小值．【导学号：56394015】[解] 由题意g (x )＝ln(x ＋1)－ax1＋x，g ′(x )＝1x ＋1－a 1＋x －ax 1＋x 2＝x ＋1－a1＋x2.令g ′(x )＞0，即x ＋1－a ＞0，得x ＞a －1，当a －1≤0，即a ≤1时，g (x )在[0，＋∞)上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝ln(1＋0)－0＝0.当a －1＞0即a ＞1时，g (x )在[a －1，＋∞)上单调递增，在[0，a －1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (a －1)＝ln a －a ＋1.综上：g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤1，ln a －a ＋1，a ＞1.[举一反三](江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极小值10，则b a的值为________．－12[因为 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以3＋2a ＋b ＝0,1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，又当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9时f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，函数f (x )在x ＝1处取得极大值10，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1时f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，函数f (x )在x ＝1处取得极小值10，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，b a 的值为－12.] [第3步▕ 高考易错明辨析]1．忽视函数的定义域出错函数f (x )＝x －ln x 的单调递增区间是________．[错解] f ′(x )＝1－1x ，令f ′(x )＞0，即x －1x＞0，所以x ＞1或x ＜0，所以函数的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，0)，因为忽视了定义域从而出错．[正解] f ′(x )＝1－1x ，令f ′(x )＞0，即x －1x＞0，所以x ＞1或x ＜0，又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以单调递增区间为(1，＋∞)． 2．概念不清致误已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b 的值为________． [错解] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，⎩⎪⎨⎪⎧ f ′ 1 ＝3＋2a ＋b ＝0，f 1 ＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.所以a ＋b ＝－7或0.[错解分析] 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值为0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取极值的必要不充分条件，但解题中把可导函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件当作充要条件处理．[正解] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 1 ＝3＋2a ＋b ＝0，f 1 ＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，在x ＝1两侧导数符号相反，符合题意；当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧导数符号相同，不符合题意，舍去．所以a ＝4，b ＝－11，a ＋b ＝－7.3．导数和单调性关系理解不清已知f (x )＝2x 2＋ax －2a2x在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．[错解] ∵f (x )＝x ＋a 2－a x ，∴f ′(x )＝1＋ax 2，又f (x )在区间[1，＋∞)是增函数，∴f ′(x )＝1＋ax2＞0在区间[1，＋∞)恒成立，即a ＞－x 2，所以a ＞－1.f ′(x )＞0是函数f (x )在区间内为增函数的充分不必要条件，对于可导函数而言，f (x )在区间(a ，b )上单调递增(递减)的充要条件是：对于任意的x ∈(a ，b )，有f ′(x )≥0(或≤0)且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间上都不恒为0.[正解] ∵f (x )＝x ＋a 2－a x ，∴f ′(x )＝1＋ax 2，又f (x )在区间[1，＋∞)是增函数，∴f ′(x )＝1＋ax2≥0在区间[1，＋∞)恒成立，即a ≥－x 2，又因为y ＝－x 2在[1，＋∞)上的最大值为－1，所以a ≥－1.———————专家预测·巩固提升———————(对应学生用书第11页)1．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限的充要条件是________．－65＜a ＜－316 [由f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝0得x ＝1或x ＝－2，结合图象可知函数的图象经过四个象限的充要条件是a ＜0，f (1)＞0，f (－2)＜0，即－65＜a ＜－316.]2．已知函数f (x )＝x 33＋mx 2＋ m ＋n x ＋12的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，点P (m ，n )表示的平面区域为D ，若函数y ＝log a (x ＋4)(a ＞1)的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是________.【导学号：56394016】(1,3)[f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 0 ＝m ＋n2＞0，f ′ 1 ＝1＋m ＋m ＋n2＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＞0，3m ＋n ＋2＜0.作出该不等式组表示的平面区域如图所示，易得交点的坐标为(－1,1)，要使得函数y ＝log a (x ＋4)(a ＞1)的图象上存在区域D 内的点，则需log a (－1＋4)＞1，即log a 3＞log a a ，∴1＜a ＜3.]3．将y ＝ln x 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第 一次与y 轴相切，则角θ满足的条件是________(填序号)．sin θ＝ecos θ [设y ＝f (x )＝ln x 的图象的切线的斜率为k ，切点坐标(x 0，y 0)，由题意可得切线的斜率k ＝y 0x 0＝ln x 0x 0，由导数的几何意义得k ＝f ′(x 0)＝1x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，∴x 0＝e ，由θ的意义，得tan θ＝sin θcos θ＝1k＝x 0＝e ，∴sin θ＝ecos θ.]4．设函数f (x )＝ln x ＋12x 2－(m ＋2)x ，在x ＝a 和x ＝b 处有两个极值点，其中0＜a ＜b ，m ∈R .(1)求实数m 的取值范围；(2)若b a≥e(e 为自然对数的底数)，求f (b )－f (a )的最大值．[解] (1)f ′(x )＝x 2－ m ＋2 x ＋1x，则由题意得方程x 2－(m ＋2)x ＋1＝0有两个正根，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2 2－4＞0，m ＋2＞0，解得m ＞0.故实数m 的取值范围是m ＞0，(2)f (b )－f (a )＝ln b a ＋12(b 2－a 2)－(m ＋2)(b －a )，又m ＋2＝a ＋b ，ab ＝1，∴f (b )－f (a )＝ln b a －12(b 2－a 2)＝ln b a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 2ab ＝ln b a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a b ， 设t ＝b a (t ≥e)，故构造函数g (t )＝ln t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t ≥e)，g ′(t )＝1t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t 2＝－ t －122t2＜0，所以g (t )在[e ，＋∞)上是减函数， g (t )≤g (e)＝1－e2＋12e ，f (b )－f (a )的最大值为1－e 2＋12e.。
2018最新试题资料-2018年高考数学一轮复习3.3导数的综合应用讲练测(江苏版附答案)
2018年高考数学一轮复习3.3导数的综合应用讲练测(江苏
版附答案)
5 专题33 导数的综合应用
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
(满分100分，测试时间50分钟)
一、填空题请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．
1 【2018学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）
已知，定义．
（1）求函数的极值；
（2）若，且存在使，求实数的取值范围；
（3）若，试讨论函数的零点个数．
【答案】（1）的极大值为1，极小值为；（2）；（3）当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点．【解析】
数，可得存在使得时，，在一个零点，当时无零点，最终可得零点个数为2．
试题解析（1）∵函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分
令，得或，∵ ，∴ ，列表如下
0 0
极大值极小值
∴ ，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题专题3 导数及其应用 第21练含解析
1．已知函数f(x)＝x2－ax－a ln x(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－x33＋5x22－4x＋116.2．(2016·淮安模拟)已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R.(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．3．(2016·山西四校联考)已知f(x)＝ln x－x＋a＋1.(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；(2)求证：在(1)的条件下，当x＞1时，12x2＋ax－a＞x ln x＋12成立．4．设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．5．(2016·陕西质量监测)设函数f(x)＝e x－ax－1.(1)当a＞0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤0；(2)求证：对任意的正整数n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋n n＋1＜(n＋1)n＋1.答案精析1．(1)解 f ′(x )＝2x －a －a x ，由题意可得f ′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知，f (x )＝x 2－x －ln x ，令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋5x 22－4x ＋116 ＝x 33－3x 22＋3x －ln x －116，由g ′(x )＝x 2－3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝(x －1)3x (x ＞0)，可知g (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0，所以f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116成立．2．解 (1)在区间(0，＋∞)上，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .①若a ≤0，则f ′(x )＜0，f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数；②若a ＞0，令f ′(x )＝0得x ＝1a .在区间(0，1a )上，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数；在区间(1a ，＋∞)上，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数．综上所述，①当a ≤0时，f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；②当a ＞0时，f (x )的单调递增区间是(1a ，＋∞)，单调递减区间是(0，1a )．(2)因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，解得a ＝1，经检验满足题意．已知f (x )≥bx －2，则x －1－ln x ≥bx －2,1＋1x －ln x x ≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝－1x 2－1－ln x x 2＝ln x －2x 2，易得g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2.3．(1)解 原题即为存在x ＞0，使得ln x －x ＋a ＋1≥0，∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1，则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x .令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0.故a 的取值范围是0，＋∞)．(2)证明 原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0(x ＞1，a ≥0)．令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1＞0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴G (x )＞G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0成立，即12x2＋ax－a＞x ln x＋12成立．4．解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)．故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得当x≥－2时，F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0，得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．故F(x)在－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是1，e 2]．5．证明 (1)由a ＞0及f ′(x )＝e x －a 可得，函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ， 故当a ∈(0,1)时，g ′(a )＞0；当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，故g (a )≤0.(2)由(1)可知，当a ＝1时，总有f (x )＝e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立，即当x ＞0时，总有e x ＞x ＋1.于是，可得(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x .令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜e －n ； 令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)； 令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝－n －2n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)； …令x ＋1＝n n ＋1，即x ＝－1n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －1.对以上各式求和可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －1＝e －n (1－e n )1－e ＝e －n －11－e ＝1－e －n e －1＜1e －1＜1. 故对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.。
【精品】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题专题3 导数及其应用 第23练含解析
1．(2016·河北衡水中学调考)f (x )是定义在R 上的函数，其导函数为f ′(x )，若f (x )－f ′(x )＜1，f (0)＝2016，则不等式f (x )＞2015·e x ＋1(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．2．(2017·福建“四地六校”联考)已知曲线f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为________________． 3．(2016·泰州二模)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________________．4．(2016·扬州期末)若函数f (x )＝ln x －m x (m ∈R )在区间1，e]上取得最小值4，则实数m 的值是________．5．(2016·南京调研)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________________． 6．函数y ＝ln 2xx 的极小值为________．7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．8．(2016·盐城模拟)当x ∈－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(2x －x 2)e x，x ≤0，－x 2＋4x ＋3，x ＞0，g (x )＝f (x )＋2k ，若函数g (x )恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为________________．10．(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝ln1＋x1－x. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33；(3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值．答案精析1．(0，＋∞) 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，723．(－∞，0]∪3，＋∞) 4.－3e 5．(32，4)解析 因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x )在(1,2)上有极值点．方法一 令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1∉(1,2)，因此需1＜x 2＜2，即1＜－1＋1＋2a ＜2，即4＜1＋2a ＜9，所以32＜a ＜4，故实数a 的取值范围为(32，4)．方法二 f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎨⎧f ′(1)＝3－2a ＜0，f ′(2)＝8－2a ＞0，解得32＜a ＜4，故实数a 的取值范围为(32，4)． 6．0解析 函数的定义域为(0，＋∞)．令y ＝f (x )，f ′(x )＝2ln x －ln 2x x 2＝－ln x (ln x －2)x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝e 2. f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表：故当x ＝1时，函数y ＝ln 2xx 取到极小值0. 7．30解析 由题意知，毛利润＝销售收入－进货支出，设该商品的毛利润为L (p )，则 L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11700p －166000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0.所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值． 8．－6，－2]解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4＞0，∴φ(x )在(0,1]上递增， φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.当x ∈－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4.当x ∈－2，－1)时，φ′(x )＜0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2， ∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.9.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，2＋1e 2 解析 由y ＝(2x －x 2)e x (x ≤0)求导，得y ′＝(2－x 2)e x ，故y ＝(2x －x 2)e x (x ≤0)在(－2，0]上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，且当x ＜0时，恒有y ＝(2x －x 2)e x ＜0.又y ＝－x 2＋4x ＋3(x ＞0)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以可作出函数y ＝f (x )的图象，如图．由图可知，要使函数g (x )恰有两个不同的零点，需－2k ＝0或－2k ＝－22－2e 2或3＜－2k ＜7，即实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，2＋1e 2. 10．(1)解 因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )， 所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2. 又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)证明 令g (x )＝f (x )－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )＞0(0＜x ＜1)， 所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )＞g (0)＝0，x ∈(0,1)，即当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.(3)解 由(2)知，当k ≤2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立．当k ＞2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－(k －2)1－x 2.所以当0＜x ＜4k －2k 时，h ′(x )＜0， 因此h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k －2k 上单调递减． 当0＜x ＜4k －2k 时，h (x )＜h (0)＝0，即f (x )＜k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.所以当k ＞2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33并非对x ∈(0,1)恒成立．综上可知，k 的最大值为2.。
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专题三 导数
———————命题观察·高考定位———————
(对应学生用书第9页)
1．(2017·江苏高考)已知函数f (x)＝x 3－2x ＋e x －1e x
，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－1，12 [因为f (－x)＝(－x)3－2(－x)＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x)， 所以f (x)＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，
所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a)．
因为f ′(x)＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2
e x ·e －x ＝3x 2≥0， 所以
f (x)在R 上单调递增，
所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，
所以－1≤a ≤12
.] 2．(2014·江苏高考)本在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)
过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．
－3 [y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72
. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.]
3．(2013·江苏高考)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－2，12 [由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.
画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12
z 经过点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12，0，B(0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2，12
.]
4．(2015·江苏高考)已知函数f (x)＝x 3＋ax 2＋b(a ，b ∈R)．
(1)试讨论f (x)的单调性；
(2)若b ＝c －a(实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x)有三个不同的零点时，a
的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫32，＋∞，求c 的值. 【56394014】
[解] (1)f ′(x)＝3x 2＋2ax ，令f ′(x)＝0，
解得x 1＝0，x 2＝－2a 3
. 当a ＝0时，因为f ′(x)＝3x 2≥0，所以函数f (x)
在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x)＜0，
所以函数f (x)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－2a 3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x)＞0，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x)＜0，
所以函数f (x)在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫0，－2a 3上单调递减． (2)由(1)知，函数f (x)的两个极值为f (0)＝b ，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x)有三个零点等价于f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫427a 3＋b。