2019-2020年江苏省高考数学二轮复习微专题10绝对值函数与分段函数问题课件
高中函数复习之绝对值函数与分段函数
高中函数复习之绝对值函数与分段函数(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--绝对值函数与分段函数一．与绝对值函数有关的基本知识1．V型函数||xy=2．与绝对值有关的函数变换|)(|)(xfyxfy=−−−−→−=除左右对称到左|)(|)(xfyxfy=−−−−→−=上不变下翻上二．分段函数（绝对值函数除绝对值）⎩⎨⎧<-≥==,,||xxxxxy分段函数分段处理三．典例分析例1．“2a=”是“函数()f x x a=-在区间[2,)+∞上为增函数”的条件（填充分，必要，充要）.分析：||||axyxy-=−−−→−=左右平移22[||≤∞+-=a），axy上为增则在故填充分非必要例2已知函数()22xf x=-）分析：|22|222-=−−−→−-=−−→−=xxx yyy绝对值变换平移故选B例3．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,（,a b 为整数），值域是[]1,0，则满足条件的整数数对),(b a 共有_________个. .分析：12||4124244-+=−−−→−-+=−−→−+=−−→−=x y x y x y x y 绝对值变换平移平移满足要求由题意和图像知经绝对值变换后知道求得令求得令)2,0(),2,12212)0,2(02),0,20)100124-----==-+=），（，），（，，（：），C （B （y ，，A （x x y例4．已知2)(--=a x x x f（1）若a>0,求)(x f 的单调区间;（2）若当[]1,0∈x 时，恒有0)(<x f ，求实数a 的取值范围.分析：绝对值函数转分段函数⎪⎨⎧≥--=a x ax x x f ,2)(22),(),,(),,(202,22)2()2()12222a a ：，，，a x ，x a 。
，，y ax x ax x a a 减区间为增由图知单调区间为故可画出函数图像两支函数值都为时当轴正半轴对称轴在时当且两抛物线对称轴相同对称故两段上图像关于+∞-∞-=>-=-=-+-+--102102,0)1(,0)0(]1,0[0)(,2:,2)2422->∴⎩⎨⎧<--<-<<∈<---+-=a a ：f f ，x x f ，，ax x y a既得只需要第一支函数中上恒成立在因此要使况下都小于零故第二支函数在任意情恒小于零顶点最大值为练习：1已知cos 0()(1)10x x f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，则)34()34(-+f f 的值等于 A ．2- B ．1 C ．22若函数1(),10()44,01x x x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则4(log 3)f =（ ）A ．13B ．43C ．3D ．4 3函数21,(0)()(1),(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程a x x f +=)(恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为A ．(]0,∞-B ．[)1,0C ．)1,(-∞D ．[)+∞,04设函数2,0()2,0x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(4)(0),(2)2f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为A. 4 C15.已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有 成立，则a 的取值范围是6知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ．22a c -<D ．222a c +<7设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数取函数()2x f x -=。
2019届高考数学二轮复习专题一函数第3讲分段函数与绝对值函数学案
第3讲 分段函数与绝对值函数1. 分段函数和绝对值函数是高考的重点考查内容，主要考查分类讨论思想及基本初等函数的性质，关键弄清楚为什么要分类，需要分几类，如何分，做到不重不漏．2. 涉及的题型主要有：一是明确在各个分段上的函数解析式，然后对各个分段进行讨论；二是结合函数图象，将函数分成几个部分，然后寻求解题方法．1. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，－x －2，x ≤1，则f(f(2))＝________．答案：－52解析：f(2)＝12，则f(f(2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 2. (2017·盐城模考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1.若f(0)＝3，则f(a)＝ ________． 答案：9解析：因为f(0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f(a)＝f(5)＝9.3. (2018·启东中学)已知函数f(x)＝x|x|，若f(x 0)＝4，则x 0＝________．解析：当x≥0时，f(x)＝x 2，f(x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x<0时，f(x)＝－x 2，f(x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.4. (2018·苏锡常镇调研一)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x，x <1，x ＋4x，x ≥1(e 是自然对数的底)．若函数y ＝f (x )的最小值是4，则实数a 的取值范围是________．答案：[e ＋4，＋∞)解析：在x ≥1时，f (x )min ＝f (2)＝4.所以当x <1时，a －e x ≥4恒成立．转化为a ≥ex＋4对x <1时恒成立．因为e x＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e ＋4)，所以a ≥e＋4., 一) 绝对值函数的图象与性质, 1) 已知函数f(x)＝x|x －2|.(1) 写出f(x)的单调区间； (2) 解不等式f(x)<3；(3) 设a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值． 解：(1) f(x)＝x|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1，x ＜2， 所以f(x)的单调增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)， 单调减区间是[1，2]．(2) 因为x|x －2|<3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－2x －3＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x<2，x 2－2x ＋3>0，解得2≤x＜3或x ＜2，所以不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}． (3) ① 当0＜a ＜1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1≤a≤2时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1>0，解得a>1＋ 2.(ⅰ) 当2<a≤1＋2时，此时f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； (ⅱ) 当a>1＋2时，此时f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)． 综上，当0<a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a>1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．点评：对于绝对值函数可以转化为与它等价的分段函数，然后结合函数的单调区间和图象，对于每一段上的函数进行研究，得出相应的结论，最终将各段得出的结论进行综合，就可以得到问题的解．若函数f(x)＝x 2－a|x －1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞），x 2＋ax －a ，x ∈（－∞，1），x ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 2－ax ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f(x)＝x 2＋ax －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a －a 24.① 当a 2>1，即a>2时，f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上单调递减， 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增，不合题意； ② 当0≤a2≤1，即0≤a≤2时，符合题意；③ 当a2<0，即a<0时，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是[0，2]．, 二) 分段函数的图象与性质, 2) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1) 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x 2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是当x<0时，f(x)＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2) 要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增，结合f(x)的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 画出f(x)的图象．解：(1) 因为f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·（－2）＋b ＝3，a ·（－1）＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， 所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2) 画出f(x)的图象，如图所示．, 三) 与绝对值函数有关的恒成立问题, 3) 已知函数f(x)＝x|x －a|＋2x.求所有的实数a ，使得对任意x∈[1，2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x ＋1图象的下方．解：由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f(x)<g(x)恒成立，即x ||x －a <1，当x∈[1，2]时恒成立，即|x －a|<1x ，－1x <x －a<1x ，x －1x <a<x ＋1x，故只要x －1x <a 且a<x ＋1x 在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要x －1x 的最大值小于a 且x ＋1x的最小值大于a 即可，而当x∈[1，2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2>0，x －1x 为增函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x max ＝32；当x ∈[1，2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2>0，x ＋1x 为增函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，所以32<a <2.设常数a ∈R ，函数f (x )＝(a －x )|x |.(1) 若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )是奇函数，且关于x 的不等式mx 2＋m >f (f (x ))对所有的x ∈[－2，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f (x )＝(1－x )|x |＝ ⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）x ，x ≥0，（x －1）x ，x <0， 当x ≥0时，f (x )＝(1－x )x ＝－(x －12)2＋14，所以f (x )在[0，12]上是增函数，在(12，＋∞)上是减函数；当x <0时，f (x )＝(x －1)x ＝(x －12)2－14，所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．综上所述，f (x )的单调增区间为[0，12]，单调减区间为(－∞，0)，(12，＋∞)．(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即a ＋1＝－(a －1)，解得a ＝0，所以f (x )＝－x |x |，f (f (x ))＝x 3|x |.所以mx 2＋m >f (f (x ))＝x 3|x |，即m >x 3|x |x 2＋1对所有的x ∈[－2，2]恒成立．又x ∈[－2，2]，所以x 2＋1∈[1，5]，所以x 3|x |x 2＋1≤x 4x 2＋1＝x 4－1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－2≤165.所以实数m 的取值范围是(165，＋∞)．, 四) 与绝对值函数有关的最值问题, 4) 已知函数f(x)＝ (23)|x|－a .(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)的最大值等于94，求a 的值．解：(1) 令t ＝|x|－a ，则f(x)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)．(2) 由于f(x)的最大值是94，且94＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2，所以g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2，即g(0)＝－2， 从而a ＝2.(2018·沈阳一模)已知函数f(x)＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．答案： 9解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x （0<x <1），log 3x （x ≥1），所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m＝9.1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是 ________．答案：(12，32)解析：由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，所以2|a －1|<2，即|a －1|<12，所以12<a <32.2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案：(3，＋∞)解析：画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，当方程f (x )＝b 有三个不同的根时，有4m －m 2<m ，解得m >3或m <0(舍去)．3. 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )＝________． 答案：－25解析：由题意得f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f (12)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，所以－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，则f (－2)＋f (log 23)的值是__________．答案：5解析：f (－2)＋f (log 23)＝log 2[2－(－2)]＋2log 23＝log 222＋3＝5.5. (2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x ＋4)＝f (x)(x∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．答案：22解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数的周期为4，所以f (15)＝f (－1)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1) 若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；(2) 若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a (a ＞1)， 所以f (x )在[1，a ]上为减函数，(2分)所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]．(4分) 而已知值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a 2－2a 2＋5＝1，f （1）＝1－2a ＋5＝a ，(6分)解得a ＝2.(8分)(2) 由x |f (x )－x 2|≤1，得－12x 2＋52x ≤a ≤12x 2＋52x(*)．令1x ＝t ，t ∈[2，3]，则(*)可化为－12t 2＋52t ≤a ≤12t 2＋52t .(10分) 记g (t )＝－12t 2＋52t ＝－12(t －52)2＋258，则g (t )max ＝g (52)＝258，所以a ≥258；(12分)记h (t )＝12t 2＋52t ＝12(t ＋52)2－258，则h (t )min ＝h (2)＝7，所以a ≤7.(14分)综上所述，258≤a ≤7.所以实数a 的取值范围是[258，7]．(16分)1. 若函数f(x)＝x 2＋a|x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案：[－4，0]解析：f(x)＝x 2＋a|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，0<x ＜2，要使f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤2，a2≤0，解得－4≤a ≤0.所以实数a 的取值范围是[－4，0]．2. 已知函数f(x)＝|2x －a|＋|2x ＋3|，g(x)＝|x －1|＋2. (1) 解不等式|g(x)|＜5；(2) 若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5. 所以－7＜|x －1|＜3，得不等式的解集为(－2，4)．(2) 因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．3. 设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x>0)． (1) 作出函数f(x)的图象；(2) 当0<a<b ，且f(a)＝f(b)时，求1a ＋1b的值；(3) 若方程f(x)＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1) 函数f(x)的图象如图所示．(2) ∵ f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x－1，x ∈（0，1]，1－1x，x ∈（1，＋∞），故f(x)在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．由0<a<b 且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴ 1a ＋1b＝2.(3) 由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f(x)＝m 有两个不相等的正根．故m 的取值范围是(0，1)．。
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专题四：绝对值函数与分段函数一.与绝对值函数有关的基本知识1. V型函数2.与绝对值有关的函数变换除左右对称到左y = f(x) >y=\f(x)\二.分段函数(绝对值函数除绝对值)x, x > 0y=\^\=\ n［一x, x v 0分段函数分段处理三.典例分析例1・“。
=2”是“函数f(x) = \x-a\在区间［2,+呵上为增函数”的_________ (填充分，必要，充要). 分析： AEl 亠斗v=lzl \\//—d| 在［2,+oo丿上为增则6/ <2 --------------- '/ 7 ------------------ ►故填充分非必要y 二2” 平移> y 二2—2 绝曲变换〉y=| 2X-2|故选B例3.已知函数/(%) = —— -1的定义域是［a,b\ (a,b 为整数)，值域是［0,1］,则满足条件的整数数对(a,b) 1刎+2 个.•共有.分析:例4.已知/(兀) xx-a -2(1)若a>0,求/(兀)的单调区间；(2)若当xe ［0,1］时，恒有/(%) < 0 ,求实数a 的取值范围.1) v ("一处一2) + (』+血一2) = _2,故两段上图像关于2y = -2,对称，且两抛物线对称轴相同。
当。
>0时 对称轴在尢轴正半轴，当兀二。
时，两支函数值都为-2, 故可画出函数图像，由图知单调区间为.•增(YO,号)， (。
,+8),减区间为(号,a)2)y = -x 2+ ax - 2,顶点最大值为:-竽- 2,恒小于零， 故第二支函数在任意情况下都小于零，因此要使 /(%) < 0在xw ［0,1］上恒成立,只需要第一支函数中/(0) < 0, /⑴ <0,既得.•[-2<0 \d 〉一 1 \l-a-2<0练习:-COS 7TX X>0已知/(%)= A. — 2 /(x+l) + l x<0B. 1 则的值等于 J JC. 2—2,0丿由题意和图像知•(-2,0)，( -2,1/ (—2,2), ( -1,2),(0,2)满足要求(-Y -1 <x<02 若函数/(x) = 4 一 ,则/(log4 3)=( )4V, 0<x<l1 4A. -B.-C.3D.43 33函数f(x) = l2~X~K (X-0),若方程f(x) = x + a恰有两个不等的实根，则G的取值范围为[/(x-1),(兀>0)A. (—,0]B. [0,1)C. (-oo,l)D. [0,+oo)4设函数/(x) = J r+/?X + GX-°,若/(-4) = /(0),/(-2) = -2，则关于兀的方程/(x) = x的解的个数为[2,x>0 A.4 B.2 Cl D.35.已知函数/(兀)二J"(X V °)’满足对任意旺工兀2,都有/(舛)一/(兀2)<0[(a一3)x + 4a(x > 0) 兀]-x2成立，则a的取值范围是______________6知函数f(x)= 2X -1 ,a<b<c，且f(a) > f(c) > f(b),则下列结论中,必成立的是A. 6z<0,/?<0,c<0B. 6z<0,/?>0,c>0C. T a < 2rD. 2"+2"v2 7设函数= f\x）在（-g,+°°）内有定义，对于给定的正数K,定义函数/(x), /(x) < K. K, f(x) > K.取函数/（兀）=2咽。
2019-2020年高考数学 函数题 专题复习教案 苏教版
2019-2020年高考数学 函数题 专题复习教案 苏教版一：考点分析：函数是高中数学的基础知识，也是每年高考必考的重点内容，而且在每年的高考试卷上所占的比重比较大，从题型上来看，围绕函数的考查既有填空题，又有解答题。
函数部分复习的重点应分两个方面：一是函数“内部”的复习：即对函数的基本概念（定义域、值域、函数关系）、函数的性质（函数的单调性、奇偶性、周期性）及应用、基本函数的图象与性质的掌握与应用等方面的复习；另一方面是从函数的“外延”方面去复习，即重视函数与其他知识点的交叉、综合方面的复习。
函数复习除了知识方面的复习要全面到位以外，还要重视思想方法的渗透，尤其是要重视分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法的渗透。
二、典例解析：【例1】函数1()1f x n x =的定义域为________________ 分析：不能只想到22320,340,0.x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎨⎪≠⎩0>。
解：22320,340,0.x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎨⎪≠⎩0，解得且。
答案：【例2】若函数在（0，1）内恰有一个零点，则a 的取值范围是 .解法一：（数形结合、分类讨论）（ⅰ）时，不合题意；（ⅱ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，此时函数在（0，1）内没有零点（ⅲ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，要使函数在（0，1）内恰有一个零点，只须，即。
解法二：时，，令则，于是有，作函数的图象知，当时，直线与函数的图象有唯一交点，故a 的取值范围是。
答案：。
【例3】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是_______________解：令，则0)21()21(21)21(21)21(21=⇒=-=-f f f f ；令，则，由得，所以0)0())25((0)21(212335)23(35)23(2325)25(==⇒=⋅===f f f f f f f答案：0。
2020年高考数学三轮微专题突破10 分段函数的研究(教师版)江苏
专题10 分段函数的研究一、题型选讲题型一、含义抽象函数的求值问题含有抽象函数的分段函数,在处理里首先要明确目标,即让自变量向有具体解析式的部分靠拢,其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、(2019南京三模）若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≤0f (x －2)，x ＞0,则f (log 23)＝ ．【答案】．34【解析】因为1＜2log 3＜2,所以f (log 23)＝f (log 23－2)＝22log 3log 32223224-==.例2：设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩,则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 【答案】92-【解析】思路：由()f x 解析式可知,只有0x >,才能得到具体的数值,0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。
由此可得：107412123433333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,而 221cos 332f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭10932f⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭题型二 与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段,通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。
另一种是通过作出分段函数的图象,数形结合,利用图像的特点解不等式例3、(2019苏锡常镇调研）. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x ≤0，2x －1，x>0，若f(a －1)＝12,则实数a ＝________．【答案】 log 23【解析】当a －1≤0,即a ≤1时,f(a －1)＝log 2(4－a)＝12,解得a ＝4－2(舍)；当a －1>0,即a>1时,f(a －1)＝2a －1－1＝12,解得a ＝log 23.解后反思 本题以分段函数为背景,考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想．例4、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ．【答案】(20)(2)-+∞U ，，【解析】：若0x ≥,则22()2,()2f x x x f x x x =--=-+,由()()f x f x >-得： 22222x x x x x ->-+⇒>,故2x >.若0x <,则22()2,()2f x x x f x x x =---=+,由()()f x f x >-得： 222220x x x x x -->+⇒-<<,故20x -<<. 综上,不等式()()f x f x >-的解集为 (20)(2)-+∞U ，，. 题型三、分段函数的值域分段函数的定义域与值域——各段的并集例5、（2016苏州期末）函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x ≤0，－x 2＋1， x >0的值域为________．【答案】 (－∞,1]【解析】思路分析 先画出图像看看．分段画出f (x )的图像即可看出函数的值域为(－∞,1]．解后反思 能快速画出图像的题,尽量先画图像,对于填空题非常有用．例6、(2018无锡期末） 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1x 2，x ≤－12，log 12⎝⎛⎭⎫1＋x 2，x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ,使得f (a )＋g (b )＝0,则实数b 的取值范围是________． 【答案】. (－2,0)【解析】思路分析 根据条件可以将问题等价转化为关于函数y ＝f(a)的值域问题,然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可．由题意,存在a ∈R ,使得f (a )＝－g (b ),令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时,f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋2,因为a ≤－12,所以－2≤1a <0,从而－7≤f (a )<1； 当a >－12时,f (a )＝log 12⎝⎛⎭⎫1＋a 2,因为a >－12,所以1＋a 2>14,从而f (a )<2.综上,函数f (a )的值域是(－∞,2)． 令h (b )<2,即b 2＋2b ＋2<2,解得－2<b <0.易错警示 此题的关键是问题的等价转化,设f(a)的值域为集合A ,－g(b)的值域为集合B ,它们的正确关系是B ⊆A ,而不是A ⊆B. 题型四 分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性,如果单调性相同,则需判断函数是连续的还是断开的,如果函数连续,则单调区间可以合在一起,如果函数不连续,则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
2020版高考江苏：分段函数探究
x2－x，x>0， (2)函数 f(x)＝21－12＋x，x≤0.
若关于 x 的方程 f(x)＝kx－k 至少有两个不
相等的实数根，则实数 k 的取值范围是__－__13_，__1_∪__(_1_，__＋__∞__) _.
解析 如图，作出函数图象，y＝kx－k过定点(1,0)，
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围； 2x2－a＋1x＋a，x≥a，
解 f(x)＝ a＋1x－a，x<a.
若f(x)在R上单调递增，
a＋1 则有a＋4 1>≤0a，，
a＋1a－a≤2a2－aa＋1＋a，
解得 a≥13.
(3)若a<1，且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/11/27
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谢谢欣赏！
2019/11/27
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2－x，x≤1， 例 5 (1)已知 f(x)＝
log81x，x>1， 解析 令 g(x)＝0，得 f(x)＝12.
则 g(x)＝f(x)－12的零点个数为____2____．
当 x≤1 时，2－x＝12，即 x＝1；
当 x>1 时，log81x＝12，即 x＝ 81＝9.
故所求零点为1和9，g(x)的零点个数为2.
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
2020版高考数学复习课件： 绝对值函数与分段函数 (共27张PPT)
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
微难点1 绝对值函数与分段函数
7. 已知函数f(x)＝x2＋2x－a(x∈R，a为常数)． (1) 当a＝2时，讨论函数f(x)的单调性； (2) 若a>－2，函数f(x)的最小值为2，求实数a的值．
【解答】(1)
当a＝2时，f(x)＝x2＋|2x－2|＝
x2＋2x－2，x≥1， x2－2x＋2，x<1，
结合图象知，
函数y＝f(x)的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
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微难点1 绝对值函数与分段函数
(2) 易知f(x)＝xx22－＋22xx＋－aa，，xx<≥a2a2，， 因为a>－2，所以a2>－1，结合图象可知： 当a≥2时，f(x)min＝f(1)＝a－1＝2，解得a＝3，符合题意； 当－2<a<2时，f(x)min＝f a2＝a42＝2，无解．
当x≥0时，f(x)＝x＋4 2－1，令f(x)＝0，即x＋4 2－1＝0，
(第4题)
解得x＝2；令f(x)＝1，即
4 x＋2
－1＝1，解得x＝0.易知函数f(x)在[0，＋∞)上为减函
数，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，根据图象可
探索分段函数和绝对值函数
探索分段函数和绝对值函数分段函数和绝对值函数是高中数学中重要的概念和工具。
通过分段函数和绝对值函数，我们可以更好地描述和解决一些特定情况下的问题。
本文将围绕这两个数学概念展开讨论，并探索它们的性质和应用。
一、分段函数分段函数是指定义在一个或多个子区间上的函数。
其函数值的定义方式在不同的子区间内可能是不同的，通常用条件语句来描述。
我们以以下例子来说明分段函数的概念：设函数f(x) =-x (x ≤ 0)2x (0 < x ≤ 2)4 (x > 2)在这个例子中，函数f(x)在不同的区间内采用不同的表达式来定义函数值。
当x≤0时，f(x)的函数值为-x；当0<x≤2时，f(x)的函数值为2x；当x>2时，f(x)的函数值为4。
分段函数的定义可以使数学描述更加准确，并能够更好地反映实际问题中的不同情况。
例如，在这个例子中，当x小于等于0时，f(x)的取值与-x相等，可以用来表示一个负数情况下的相关关系；而在0<x≤2时，f(x)的取值与2x相等，可以用来表示一个正数情况下的相关关系；当x大于2时，f(x)的取值为4，可以用来表示一个特定数值，不受x的影响。
二、绝对值函数绝对值函数是一个常用的数学工具，用来表示一个实数的非负值。
绝对值函数的定义如下：设函数f(x) = |x|在这个例子中，f(x)的取值是x的绝对值，即x的非负值。
绝对值函数常用于表示距离、误差、模量等非负值相关的情况。
例如，我们要计算一个点x到原点的距离，可以利用绝对值函数来表示。
当x大于0时，f(x)的值为x；当x小于0时，f(x)的值为-x。
通过绝对值函数的定义，我们可以方便地计算出这个点到原点的距离。
绝对值函数还常用于解决线性规划问题，求解最大值和最小值等。
由于绝对值函数具有稳定和连续的性质，可以将问题转化为非常数函数的优化问题，简化了计算的过程。
三、分段函数和绝对值函数的应用分段函数和绝对值函数在数学和实际问题中有广泛的应用。
微专题19 与分段函数、绝对值函数有关的最值(范围)问题
所以在(－∞，m]上， f(x)min＝ff（ （m1））＝＝－em1－，emm≥－11，，m＜1，其值域为[f(x)min，＋∞). 因为F(x)的值域为R，所以f(x)min≤(2－e)m， 即mem＜－1e，m－1≤（2－e）m或m－≥1≤1，（2－e）m， 即mem＜－12，m－1≤0或 1≤m≤e－1 2.
又当x∈(0，1]时，y＝g(x)＝k(x＋2)(k>0)恒过定点A(－2，0)，由图可知，当x∈(2，
3]∪(6，7]时，f(x)与g(x)的图象无交点，
∴当x∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.
由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0，1]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.
23
由x1，x2∈[0，2]，f(x1)＝f(x2)， 不妨设0≤x1＜ln a＜x2≤2. 又因为|x1－x2|≥1，所以x1∈[0，1]， 且x2∈[1，2]，从而x1≤1≤x2. 所以f(1)≤f(x1)≤f(0)，且f(1)≤f(x2)≤f(2). 由ff（ （11） ）≤ ≤ff（ （02） ），得ee－ －aa－ －11≤ ≤0e2，－2a－1， 解得e－1≤a≤e2－e，得证.
19
热点三 分段函数、含绝对值函数图象与性质的综合应用 【例 3】 (2019·连云港二模)已知函数 f(x)＝ex－ax－1，其中 e 为自然对数的底数，
a∈R. (1)若 a＝e，函数 g(x)＝(2－e)x. ①求函数 h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间； ②若函数 F(x)＝fg（（xx）），，xx≤＞mm，的值域为 R，求实数 m 的取值范围. (2)若存在实数 x1，x2∈[0，2]，使得 f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，求证：e－1≤a≤e2 －e.
2019-2020年高考数学复习 函数问题的题型与方法教案 苏教版
2019-2020年高考数学复习函数问题的题型与方法教案苏教版一．复习目标：1．了解映射的概念，理解函数的概念。
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。
4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
二．考试要求：1．灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题。
2．应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题和解决问题的能力。
三．教学过程：（Ⅰ）函数的概念型问题函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．㈠深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（）分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．解：(1)由0＜x＜2，得说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．2．求函数值域的基本类型和常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．3．求函数解析式举例例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？所以因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．（Ⅱ）函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
高考数学分段函数绝对值函数
2.11分段函数与绝对值函数随着高考命题思维量的加大，分段函数成了新的热点和亮点，单设专题，以明析强化之一、明确复习目标了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法二，建构知识网络1.分段函数:定义域中各段的X与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值讨论奇偶性单调性等。
4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.三、双基题目练练手(% +1)2% < 1,1.设函数f ( % )=〈L一则使得f ( X )^1的X的取值范围为()4 一一1%一 1 % > 1,A.( — 8,—2]U[0, 10]B.( — 8,—2]U[0, 1]C. ( — 8,—2]U[1, 10]D. [—2, 0]U[1, 10]I 2 %, % > 02. (2006安徽)函数尸1% 2, % < 0的反函数是A.C.%, % > 0 ( 2 %, % > 02B. y = \ .— Q, % < 0 1J ，% <%, % > 0( 2 %, % > 02D. y = \ .—-尸,% < 0〔一°%,% < 0| % +1, % e [-1,0)3.(2007启东质检)已知f(%h % 2 +1, % £ [0川,则下列函数图象错误的是()息盟-1）的图象" 腹（㈤的图象'翼式IM ）的图象4D. I/（0L 的图象?4. (2006全国H)函数f (x ) = # |x — n\的最小值为()n =1(A ) 190 (B ) 171 (C ) 90 (D ) 45 .............................................................. x — 2 (x > 2), 5. (2005北京市西城模拟)已知函数f (x )" / …则f (lg30—lg3)—2 (x < 2),:;不等式xf(x —1)<10的解集是 _________________________ . 6. (2006 浙江)对 a , b eR ，记则 | max {a ,b }= f Q)= max' +1|, |x — 2|i x e R )的最小值是 2 x (x <0) .,一、 仁… ....................................................... 7 .已知函数 f (x )= < 后 (0 < x <1),当 a <0 时fff (a )]}=10g l x (x >1) I 3 f x 2 + 1 (x >0) 8 .函数f (x )= { 的值域 ______ 。
江苏省2020版高考数学第二章函数的概念与基本初等函数拓展深化1分段函数与绝对值函数课件
4.(2018·无 锡 期 末 ) 已 知 函 数
f(x)
＝
x2＋x22x－1，x≤－12， log121＋2 x，x＞－12，
g(x)
＝
－
x2Βιβλιοθήκη －2x－2.
若
存
在
a∈R，使得 f(a)＋g(b)＝0，则实数 b 的取值范围是________.
解析 由题意，存在a∈R，使得f(a)＝－g(b)， 令h(b)＝－g(b)＝b2＋2b＋2.
(1)形如 y＝|f(x)|，转化为 y＝f－（fx（）x， ）f，（fx（）x≥ ）0＜，0，结合图象求解；
(2)形如y＝f(|x|)，此类函数为偶函数，因此先研究x≥0的情况，x＜0时可利用对称性 得到； (3)函数的解析式中部分含有绝对值，如y＝|x－a|＋1，y＝x2＋|x－a|等，先去绝对值， 转化为一般分段函数求解.
答案 (1)－74 (2)(4，8)
二、绝对值函数 【例2】 (1)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成
立，则实数a的取值范围是________. (2)(2019·扬 州 调 研 ) 若 函 数 f(x) ＝ |2x － 2| － b 有 两 个 零 点 ， 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 ________. 解析 (1)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当 －a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).
(2)将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交 点个数问题，数形结合求解. 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
近三年江苏卷数学函数题真题合集
近三年江苏卷数学函数题真题合集近年来，江苏卷数学部分函数题成为高考数学考试的重要组成部分。
本篇文章将汇总近三年江苏卷的数学函数题真题，以便考生们更好地复习和准备考试。
2019年江苏卷数学函数题真题1. (2019江苏卷一轮)已知函数f(x) = x^2 + a * x + b，其中a、b为常数，且对于任意实数x，都有f(x) ≥ 1。
若f(1) = 4，则f(x) ≥ 4的x的取值范围是多少？2. (2019江苏卷二轮)已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(x) = x^2 - x + 1。
设L是曲线y = f(x)在区间[0,1]上的弧长，则L = _______.3. (2019江苏卷三轮)在直角坐标系中，函数f(x) = a * sin(x+b) + c的图象过点(π/4,1)，并且它的最小正周期为4π。
已知a、b、c都是实数，求a + b + c =_______.2020年江苏卷数学函数题真题4. (2020江苏卷一轮)已知函数f(x) = log[2](3x - 1)，g(x) = a * log[3](x + 2)，其中a为常数。
若f(g(x)) = g(f(x))，求a的值。
5. (2020江苏卷二轮)已知函数f(x) = x^x，在(x_1,x_2)上取得了最大值。
其中x_1 > x_2 > 0。
求x_1 - x_2 = _______.6. (2020江苏卷三轮)设f(x) = 2sin(x) + cos(2x + α)，其中α为常数。
已知当x = π/6时，f(x) = 0。
若f(x)的最小正周期为π/2，求α = _______.2021年江苏卷数学函数题真题7. (2021江苏卷一轮)已知函数f(x)在区间[0,2π]上满足f(x) = sin^2(x/2) - cos^2(x/2)。
设函数g(x) = f(f(x))，则g(x)的最小正周期为_________.8. (2021江苏卷二轮)已知函数f(x)满足f(x) = log[2](ax + b) + c，其中a、b、c为常数，若f(1) - f(2) = 1，则a + b + c = _______.9. (2021江苏卷三轮)已知函数f(x) = a * sin(bx) + c * cos(dx)，其中a、b、c、d为常数，且f(x)在区间[0,π/2]上单调递增。
不等式的绝对值与分段函数表示
不等式的绝对值与分段函数表示在数学的广阔领域中，不等式的绝对值和分段函数表示是两个非常重要的概念，它们不仅在理论研究中有着关键的作用，还在实际问题的解决中发挥着巨大的威力。
首先，我们来理解一下什么是绝对值。
绝对值的定义很简单，对于一个实数 x ，它的绝对值｜x| 等于 x 本身，如果 x 是非负数；等于 x ，如果 x 是负数。
用数学式子表示就是：｜x| ＝｛ x （x ＞＝ 0) ， x（x ＜ 0) ｝。
这意味着绝对值总是非负的，它表示的是一个数到 0 的距离。
当不等式中出现绝对值时，情况就变得稍微复杂一些。
比如，考虑不等式｜x| ＜ 2 。
按照绝对值的定义，这个不等式可以拆分成两个部分：当 x ＞＝ 0 时，不等式变成 x ＜ 2 ；当 x ＜ 0 时，不等式变成 x＜ 2 ，也就是 x ＞－2 。
综合起来，这个不等式的解集就是－2 ＜ x＜ 2 。
再来看一个稍微复杂点的例子，｜x 1| ＞ 3 。
同样地，我们分情况讨论。
当 x 1 ＞＝ 0 ，即 x ＞＝ 1 时，不等式变成 x 1 ＞ 3 ，解得 x＞ 4 ；当 x 1 ＜ 0 ，即 x ＜ 1 时，不等式变成（x 1) ＞ 3 ，也就是 1x ＞ 3 ，解得 x ＜－2 。
所以这个不等式的解集是 x ＜－2 或 x ＞ 4 。
接下来，我们谈谈分段函数。
分段函数是指在定义域的不同区间上，函数有着不同的表达式。
它就像是一个“变色龙”，根据自变量所在的范围变换自己的“模样”。
比如说，我们定义一个分段函数 f(x) ：当 x ＜ 0 时，f(x) ＝ x ＋ 1 ；当 x ＞＝ 0 时，f(x) ＝ 2x 。
这样，对于不同的 x 值，我们使用不同的式子来计算 f(x) 。
分段函数和不等式的绝对值之间有着密切的联系。
以｜x| 为例，我们可以用分段函数来表示它。
即 f(x) ＝｛ x （x ＞＝ 0) ， x （x ＜0) ｝。
通过这样的分段表示，我们更清晰地看到了绝对值的本质。
江苏高考数学函数知识点
江苏高考数学函数知识点随着全国高考的临近，江苏省高考也即将到来。
作为高考数学科目中的重要一部分，函数是高考数学的基础知识之一，也是考生们备考的重点。
本文将围绕江苏高考数学函数知识点展开讨论，帮助考生们更好地掌握相关内容。
一、基本概念和性质在学习函数的过程中，首先需要掌握函数的基本概念和性质。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都和另一个集合中的唯一确定的元素相对应。
函数有定义域、值域、图像等重要概念，要善于利用这些概念进行问题的分析与求解。
二、常见函数类型1. 一次函数：一次函数是最基本的函数类型之一，它的函数关系可以用一个方程y=kx+b表示，其中k和b分别为函数的斜率和截距。
考生需要熟练掌握一次函数的性质和图像特征，并能够根据给定条件求解相关问题。
2. 二次函数：二次函数是函数的另一种重要类型，它的函数关系可以用一个方程y=ax²+bx+c表示，其中a、b、c为常数且a≠0。
掌握二次函数的图像特征和性质，能够正确理解顶点、轴对称等概念，对解题非常有帮助。
3. 幂函数：幂函数是函数的一个常见类型，它的函数关系可以用一个方程y=x^a表示，其中a为常数。
掌握幂函数的特点和性质，并能够熟练应用幂函数解决实际问题是十分重要的。
4. 指数函数：指数函数也是一种常见的函数类型，它的函数关系可以用一个方程y=a^x表示，其中a为常数且a>0且a≠1。
正确理解指数函数的图像特征和性质，以及与幂函数之间的关系，能够帮助考生更好地理解指数函数的应用。
5. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它的函数关系可以用一个方程y=logₐx表示，其中a为正实数且a≠1。
熟练掌握对数函数的性质和图像特征，能够有效地解决相关问题。
三、函数的应用函数在生活中的应用非常广泛，包括经济、物理、生物等各个领域。
函数的应用涉及到函数的定义、函数的图像、函数的性质以及函数方程的求解等方面。
考生需要通过大量的例题和实际生活问题的分析与解决，提高应用函数的能力。
2019届高三《微专题课程》江苏版--微专题01.02---含绝对值函数的问题
专题01.02--含绝对值的函数的综合应用1．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ．变式：已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．2．设)(x f y =定义域为，周期是2，,1)(),1,1[2x x f x -=-∈⎩⎨⎧=≠=0,10|,|lg )(x x x x g ，则)(x f 和)(x g 的图像在区间]10,5[-上的公共点有 个变式：已知 |,1||1|)(xx x x x f --+=关于x 的方程0|)(|)(2=++b x f a x f 恰有6个不同解，求a 的范围3．已知),3()2(,120|,32|)(+=+<<-=b f a f b a x x f 则b a T +=23的最小值变式：已知),()(,0|,8|)(2b f a f b a x x f =<<-=则b a 2的最小值4．|,2015||2||1||2015||2||1|)(-++-+-+++++++=x x x x x x x f 且),1()23(2-=+-a f a a f 则所有满足条件的整数a 的和为变式：已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为5．已知.log )(,log 23)(22x x g x x f =-=求2|)()(|)()()(x g x f x g x f x M --+=的最大值.6．.1||)(2+-+=a x x x f （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值.变式：已知,,R x a ∈函数.||)(2a x x x f -=（1）是否存在实数,a 使得)(x f 为偶函数,若存在,请求出实数,不存在,说明理由; （2）求函数)(x f 在]2,1[上的最小值.7．已知),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=在点))1(,1(f 处的切线方程已知.02=+y （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有,|)()(|21c x f x f ≤-求实数c 的最小值.变式：已知,)(),0(1ln )(xeex x g a x a x x f =<--=若对,],4,3[,2121x x x x ≠∈∀|)(1)(1||)()(|2121x g x g x f x f -<-恒成立，求a 的取值范围.8．已知)(x f 为R 上的偶函数，0≥x 时，).2ln()(+=x x f （1）0<x 时，求)(x f 解析式；（2）R x ∈时，比较)1(-m f 与)3(m f -大小；（3）求最小整数)1(-≥m m ，使得存在t ，对任意],10,[m x ∈都有.|3|ln 2)(+≤+x t x f巩固训练：1．对]2,1[∈∀x ，2≤-||m x x 恒成立,求m 的范围 ． 2．关于x 的方程21||kx x x =-有四个不同根，求k 的范围 ． 3．已知|)|1()(x a x x f +=，设关于x 不等式)()(x f a x f <+解集为A ，若A ⊆-]21,21[，求a 的范围 ．4．已知,0),1ln(0,2)(2⎩⎨⎧>+≤+-=x x x x x x f 若ax x f ≥|)(|恒成立，求a 的范围5．已知函数1|)|1()(+-=x a x x f （a ＞0），若f （x +a ）≤f （x ）对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．6．已知a 为负数，.ln 1)(x a x x f --=|,11|4|)()(|],1,0(,212121x x x f x f x x -≤-∈∀求a 的范围．7．已知,1)(2-=x x f .|1|)(-=x a x g（1）)(|)(|x g x f =有两个不同解，求a 的值； （2）若)()(,x g x f R x ≥∈∀恒成立，求a 的范围； （3）求)(|)(|)(x g x f x h +=在]2,2[-的最大值.8（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足0x 是它的一个如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．9．已知函数．（1）当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的值； （2）当时，① 若对于任意，恒有的取值范围；② 若，求函数在区间上的最大值．()(),f x x x a bx a b R =-+∈1b =-()f x a 1b =[]1,3x ∈()f x x≤a 0a >()f x []0,2()g a巩固训练 5、答案：[，+∞）解析：∵f （x ）=x （1﹣a |x |）+1==（a ＞0），∴f （x+a ）=（x+a ）（1﹣a|x+a|）+1， ∵f （x +a ）≤f （x ）对任意的x ∈R 恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y =f （x +a ）与y=f （x ）的图象如下：∴x （1+ax ）+1≥（x +a ）[1﹣a （x +a ）]+1恒成立， 即x +ax 2+1≥﹣a （x 2+2ax +a 2）+x +a +1， 整理得：2x 2+2ax +a 2﹣1≥0恒成立， ∴△=4a 2﹣4×2（a 2﹣1）≤0，解得：a ≥．8、【解】（1）∵是偶函数，∴()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，x R ∈，∴a =0（2）当2a =时， ()2221,2213,2x x x f x x x x x x ⎧+-≥⎪=+-+=⎨-+<⎪⎩所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f (21)（3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=，得210x mx m -+-=，解得 121,1x x m ==- 所以111m -<-< 即02m << 故m 的取值范围是()0,29、答案：（1）；（2）①. .1a =±0a ≤≤()()262,05,1{,53, 422, 3.a a a g a a aa -<<+=≤<-≥（3）可化为，则当或 时， 在上递增；当时， 在上单调递增，在上单调递减，两类情形都可以求得函数的最大值．当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此，比较的大小即可得到的表达式． 解析：（1）当时， ，由解得或，由解得或．因为恰有两个不同的零点且，所以，或 ，所以．（2）当时， ，②()f x ()()()221(,4{1(,4x x a x a f x a x a +-+≤=-->，．01a <≤3a ≥()f x []0,223a ≤<()f x 10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦12a <<()y f x =10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦[],2a ()()1max ,22a g a f f ⎧⎫+⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭()1,22a f f +⎛⎫⎪⎝⎭()g a 1b =-()()1f x x x a x x x a =--=--()0f x =0x =1x a -=1x a -=1x a =+1x a =-()f x 11a a +≠-10a +=10a -=1a =±1b =()f x x x a x =-+当时，， 这时在上单调递增，此时； 当时， ， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 而 ， 当时， ;当时， ；当时，， 这时在上单调递增，在上单调递减，此时； 当时，， 在上单调递增，此时； 1︒01a <≤110,22a a a -+≤≥()y f x =[]0,2()()262g a f a ==-2︒12a <<110222a a a -+<<<<()y f x =10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦[],2a ()()1max ,22a g a f f ⎧⎫+⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭()()211,26224a a f f a ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭()()()22111023262244a a a a f f a +++-⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭()25484a +-=15a <<()()262g a f a ==-52a ≤<()()21124a a g a f ++⎛⎫==⎪⎝⎭3︒23a ≤<11222a a a -+<<≤()y f x =10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()21124a a g a f ++⎛⎫==⎪⎝⎭4︒3a ≥122a +≥()y f x =[]0,2()()222g a f a ==-综上所述， 时，[]0,2x ∈()()262,05,1{,53, 422, 3.a a a g a a a a -<<+=≤<-≥。