2019-2020学年新教材人教B版第三册课时分层作业：5 同角三角函数的基本关系式

课时分层作业(五) 同角三角函数的基本关系
式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.下列结论中成立的是( ) A ．sin α＝12 且cos α＝1
2
B ．tan α＝2且
cos αsin α＝1
3
C ．tan α＝1且cos α＝±2
2
D ．sin α＝1且tan α·cos α＝1
C [A 中，sin 2α＋cos 2α＝12 ≠1，故不成立；B 中，cos αsin α＝1
3 ，即tan α＝3，与tan α＝2矛盾，故不成立；D 中，sin α＝1时，角α的终边落在y 轴的非负半轴上，此时tan α无意义，故不成立．]
2.化简
1－sin 2π
5
的结果是( )
A ．sin π
5 B ．－sin π
5 C ．cos π
5
D ．－cos π
5 C [∵0<π5<π2 ，∴cos π
5 >0.∴
1－sin 2π
5＝
cos 2π5＝cos π5.]
3.已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )
A ．34
B ．±
310 C ．310
D ．－310
C [由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝3
10.]
4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是( )
A ．73
B ．75
C ．54
D ．53
B [1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋22＋21＋22＝7
5.]
5．若sin θ＝m －3m ＋5 ，cos θ＝4－2m
m ＋5 ，则m 的值为( )
A ．0
B ．8
C ．0或8
D ．3<m <9 C [由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得
(m －3)2(m ＋5)
2
＋(4－2m )2(m ＋5)
2
＝1，解得m ＝0或8.]
6．函数y ＝1－sin 2x cos x ＋1－cos 2x
sin x 的值域是( ) A ．{0,2} B ．{－2,0} C ．{－2,0,2}
D ．{－2,2}
C [y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |
sin x .当x 为第一象限角时，y ＝2；
当x 为第三象限角时，y ＝－2；当x 为第二、四象限角时，y ＝0.] 二、填空题
7．已知sin α＋2cos α
cos α
＝1，则α在第________象限．
二或四 [由sin α＋2cos α
cos α＝1⇒tan α＝－1<0.∴α在第二或第四象限．]
8．化简sin α1＋sin α－sin α
1－sin α 的结果为________．
－2tan 2α [sin α1＋sin α－sin α
1－sin α
＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)
＝－2sin 2α1－sin 2α
＝－2sin 2α
cos 2
α＝－2tan 2
α.]
9．在△ABC 中， 2 sin A ＝3cos A ，则角A ＝________. π
3 [由题意知cos A >0，即A 为锐角．
将 2 sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A ． ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，
解得cos A ＝12 或cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝π
3.] 三、解答题
10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m 的值； (2)
sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ
的值⎝ ⎛
⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ；
(3)方程的两根及此时θ的值． [解](1)由根与系数的关系可知， sin θ＋cos θ＝3＋1
2， ① sin θ·cos θ＝m .
②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32， 所以sin θ·cos θ＝34， 代入②得m ＝34.
(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ
＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)由(1)得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝1
2.
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝3
2cos θ＝1
2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝1
2，cos θ＝3
2.
又因为θ∈(0，π)， 所以θ＝π3或π
6.
[等级过关练]
1.已知－π2<θ<π
2 ，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )
A ．－3
B ．3或1
3 C ．－1
3
D ．－3或－1
3
C [因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，两边平方整理得sin θcos θ＝a 2－12<0，故－π
2<θ<0且cos θ>－sin θ，
∴|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－π
4<θ<0，－1<tan θ<0.] 2.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－4
3 B ．5
4 C ．－3
4
D ．45
D [sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ
＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2
θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝
4＋2－24＋1
＝4
5.]
3.已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． －1 [由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2
α＋cos 2
α
＝
2tan α－1tan 2
α＋1
＝
－4－14＋1
＝－1.]
4．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z )的值为________． 1 [∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0， 当sin α＝0时cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1； 当cos α＝0时sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1.]
5．是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦．
[解] 设这两个锐角为A ，B ， ∵ A ＋B ＝90°，∴ sin B ＝cos A ，
所以sin A ，cos A 为8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根． 所以⎩⎪⎨⎪⎧
sin A ＋cos A ＝－3k
4 ①sin A cos A ＝2k ＋1
8 ②
② 代入① 2，得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－10
9 ，当k ＝2时，原方程变为8x 2＋12x ＋5＝0，
∵ Δ<0，∴ 方程无解；将k ＝－109 代入② ，得sin A cos A ＝－11
72<0， 所以A 是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k .。