中学生函数概念认知发展研究
新课程背景下对高中函数学习认识和建议[论文]
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新课程背景下对高中函数学习的认识和建议函数教学知识衔接函数概念新课改背景下高中阶段的函数教学，强调发展学生对变量数学的认识，特别是进入高中，要让学生在初中理解的“函数是两个变量之间的依赖关系的基础上”，学习用集合语言来刻画函数。
另一方面，数学来源于生活，函数模型是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。
因此，在高中函数教学过程中，教师应引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化的基本数学模型。
如何设计有效的学习策略，让每名学生学有所得，是值得我们深入探讨的课题。
一、注重初高中的知识衔接高中学习阶段，学生的思维发展水平从具体形象思维逐步过渡到抽象逻辑思维，中学生这种认知发展的阶段性特点，往往限制了他们对于抽象函数概念的理解和把握。
如何让学生在高中完成对函数概念的再认识，把初中、高中的函数概念有机地衔接到一起，关系到学生对以后学习函数概念的深入理解和应用。
二、准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终。
数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数。
近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线。
函数思想的实质，就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决。
纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识。
三、课内重视听讲，课后及时复习学生新知识的接受，能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维，预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
在做各种习题之前，将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆，而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应养养成不懂即问的学习作风。
函数概念的发展历史
函数概念的发展历史1.早期函数概念几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596-1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
1673年，莱布尼兹首次使用function(函数)表示幂，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。
与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用流量来表示变量间的关系。
2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数1718年约翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量。
他的意思是凡变量x 和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
1755，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783) 把函数定义为如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
18世纪中叶欧拉(L.Euler，瑞，1707-1783)给出了定义：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了随意函数。
不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857) 从定义变量起给出了定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
高中生函数概念学习困难的原因分析
高中生函数概念学习困难的原因分析作者：郭志刚来源：《新课程研究·基础教育》2008年第11期函数概念是近现代数学的基石，是中学数学中最重要的核心概念。
教学实践表明，尽管在实际教学中采取了适当渗透、螺旋上升的方法，分段而循环地安排函数知识，但学生的函数概念水平仍然较低。
造成困难的原因主要有五个方面。
（一）函数知识是个复杂的体系函数概念包括两个本质属性（变量和对应法则）及一些非本质属性（如集合、定义域、值域等），还有函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
中学数学的函数就有对数函数、指数函数、三角函数、导函数和函数列（离散型函数）等多种类型。
有了函数概念，方程、函数和不等式三者就得以联系和整合，函数知识已经构成了一个复杂的知识体系，成了中学数学的核心内容。
因此，学生对函数概念的理解程度也将影响他们对函数有关知识的掌握程度。
（二）“变量”概念的复杂性和辩证性函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等。
其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。
“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。
另外，数学中的“变量”与日常生活经验是有差异的。
函数定义在初中和高中分别采用“变量说”和“对应说”。
“变量”、“对应”并没有给出比较明确的定义。
在日常生活中“变量”是变化的，是不确定的。
而数学中的变量包括常量。
正是由于日常的变量概念对学生的干扰，使很多学生认为“Y=2中Y的值不随x的变化而变化，所以它不是函数”。
函数概念中变量的意义更具一般性，既可以作为数，也可以作为点、有形之物，甚至为无形的东西。
在教学实践中，教师往往对变量概念的理解困难估计不足，课堂上只是给出变量（自变量、因变量）这个词汇，至于学生头脑中的变量概念是怎样的，很少顾及。
如果学生不能很好地理解变量概念，就会影响他们对函数概念的理解。
注重学生思维参与和感悟的函数概念教学
注重学生思维参与和感悟的函数概念教学陶维林函数与函数概念的教学是大家所熟悉的，但本文从教学设计的立意入手，凸显函数概念本质、分析学生认知基础、如何更好地把握教学规律，以问题串为线索的教学过程设计（尤其是例子的选择和提出的相关问题）、注重学生的思维参与和感悟的教学过程设计。
特别是本文第二部分“课后与任课教师的互动交流”对于我们应该如何去思考和进行函数概念的教学会有很好的启迪。
第三部分“在实践基础上理性反思”对于如何进行教学设计、提高自身把握中学数学教学的规律的能力具有理论价值和现实意义。
为了推进高中课标教材的实验工作，使广大教师更好地理解新教材的编写意图，把握新教材的教学，提高教学效益，我们组织实施了“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题研究，就高中数学中的一些核心概念的教学开展深入研究，并以“人教A版”高中数学课标教材为蓝本，进行课堂教学实践研究，制作成课例光盘供广大教师观摩．众所周知，函数概念是中学数学中的最重要概念之一，函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终．理解函数概念及由其反映的数学思想方法，学会用函数的观点和方法解决数学问题和现实问题，是高中阶段最重要的数学学习任务之一．因此，搞好函数概念的教学至关重要．另一方面，函数概念因为其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一，无论是教师的教还是学生的学，都存在很大困难．有鉴于此，我们选择了“函数概念”单元，内容包括函数的概念、表示和性质（单调性），请“人教A版”高中数学课标实验教材作者、南京师范大学附中陶维林老师授课，制作成一个关于“函数概念”单元的完整课例（三课时）．本文是对函数概念这节课的教学如何注重学生思维参与和感悟，从课堂教学设计、课堂教学反思与评析等几个方面介绍这一实践活动的反思和总结（“函数的表示”和“函数的性质”两课的教学设计，有兴趣的读者可以从人教网的“高中数学”栏目中查阅），敬请读者批评指正．第一部分教学设计一、基于教材编写意图的教学设计立意为了更好地说明问题，我们这里结合“人教A版”中函数单元的教材编写意图，阐述本教学设计的立意．（一）对本单元教学内容的总体认识高中的函数学习在初中已学的“变量说”基础上展开，函数定义采用“对应说”，引进抽象符号f(x)表示函数；较全面地学习函数的表示与性质；强调函数是刻画现实事物变化规律的一种数学模型，因此强调函数的背景、思想和应用；强调与方程、不等式的联系，注重用函数观点理解和解决方程、不等式的有关问题；用导数为工具研究函数性质，使思想方法和研究手段都上升到一个全新高度．具体安排强调螺旋上升，先从一般性角度研究函数概念，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到先行组织者的作用；然后通过基本初等函数的学习，以具体函数为载体，感受建立函数模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的应用，学会用函数思想解决简单实际问题．定义抽象、符号抽象、具体函数类型多复杂性提高（连续的、离散的）、相关知识的联系性增强、用更多的工具（实数运算、导数）讨论函数性质等是高中阶段函数学习的特点．特别是，引入具有一般性的抽象函数符号f(x)，使学生能通过建立模型刻画现实问题的数量关系，并通过讨论函数的性质而获得现实问题的解释，认识和把握现实问题的规律．（二）教学设计的立意基于上述认识，在教学设计中，我们特别强调了如下几个方面，这也是为了体现教材编写意图．1．突出函数概念的本质和建构过程我们认为，函数概念的本质是：函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系；函数概念所反映的思想方法是：自变量、因变量都取实数值（这样才有可能用数及其运算的知识来考察现实问题的变化规律）；因变量的取值有唯一性；用数以外的符号f(x)表示函数（具体表示形式可以是解析式、图象或表格）．为了让学生在经历函数概念的概括过程中，更好地体会其本质和思想方法，我们遵循教材编写意图，在教学设计中强调通过一些具有真实背景的典型实例，从“变量说”出发，引导学生用集合与对应的语言分析它们的共同特征，再概括出“对应说”．这样既衔接了初中阶段将函数看成变量间依赖关系的认识，又使学生在用集合与对应的语言刻画函数概念的过程中形成对函数概念本质的切身体验．2．为学生概括和领悟函数概念搭建“脚手架”函数概念是中学阶段最难理解的概念之一，其原因主要是：由f(x)的形式化表达方式所带来的高度抽象性；变量的概念涉及到用运动、变化的观点看待和思考问题，具有辩证思维特征；有许多下位概念（如自变量、因变量、定义域、值域、单调性、奇偶性……），是派生数学概念的强大“固着点”；具有广泛应用性，建立函数模型不仅需要具备较强的数学能力，而且与学生的人生阅历有关；等．其中最根本的还是其高度抽象性．众所周知，越是基础性的概念，其统摄性就越强，应用范围就越广，学生从中领悟到的数学就越本质，所形成的思维方式、养成的思维习惯对学生的终身发展也就越有根本性影响．所以，对这些概念就越要强调理解的深刻性、基础的稳固性．但事物总有两面性，这些概念的理解和掌握往往难度大、时间长，需要更多的经验积累．“是非经过故知难”，亲身经历过的事情感悟才会深刻．因此，这些概念的教学要非常讲究从简单到综合地组织内容，要特别耐心地进行循序渐进的渗透和提高，要特别强调让学生经历从具体到抽象的概括过程．中学数学中，扮演这种奠基角色的概念不是很多（如数及其运算、空间观念、数形结合、向量、导数、统计观念、随机思想等），但函数概念是当之无愧的一员．因此，教学设计中，我们以教材提供的概念概括过程和素材为依据，特别注意以具体例证为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟函数概念的“本来面目”．其中特别注重典型实例、表格和图像直观等的作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导．（1）铺设概括路线．教材在简要回顾初中函数概念的基础上，以三个有真实背景的实例为载体，先从“变量说”出发，并用集合与对应的语言详细讲解第一个实例的对应关系，再引导学生模仿叙述后两个实例的对应关系，然后以“你能概括一下这三个实例的共同特征吗？”为引导，使学生概括实例的本质而形成“对应说”．接着，在函数的表示、函数的性质等内容中，不断强化对函数这一类特殊“对应关系”的认识，强化对函数所研究的问题和思想方法的理解．教材铺设的这一概括路线符合学生的认知规律，是设计教学过程的基本依据．（2）选择典型、丰富的实例．教材提供的实例是精雕细琢的，特别强调了典型性和丰富性，我们相信这些例子在学生理解函数概念中能起到奠基性的“参照物”作用．因此，在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段的教学中，都应用好书中的例子，为学生提供思考、探究、交流的机会，使学生在好例子的支持下开展思维，形成函数概念理解活动的强大背景支撑．（3）强调只能用图像、表格表示的函数例子的作用．表格、函数图像不仅是“表示法”的一种，从学生学习的角度看，它们使抽象的函数符号形象化，为学生提供了直观的机会．例如图像的种种形象和基本性质使得学生直观地“看到”、想象到函数的定义域、值域、单调性等种种性质，看到a的取值是如何决定y＝a x的特性的，看到y＝sin(2x+)什么时候取正值或负值等．所以，图像、表格是帮助学生理解函数概念的重要载体．另外，用函数图像分析和解决问题时体现出的数形结合思想，是培养学生数学能力的重要载体．教材充分注意到了图像、表格的作用，其中特别强调了只能用图象、表格表示的函数例子的使用．我们体会，教材这样做既是为了提升学生对函数概念的认识层次，同时也是为了帮助学生更全面、深刻地领悟“对应关系”的本质．因此，教学中应特别注意利用教材的这些例子，让学生指出其中的“对应关系”，这是非常重要的．（4）思想方法的明确和具体指导．从知识分类角度看，“内容所反映的数学思想方法”属“隐性知识”，是人类在认识客观世界中的“数量关系”“空间形式”和“随机性中的规律性”的过程中产生的，是指导人们研究数、形规律时需要遵循的规则和程序，与人的世界观有紧密联系．因为数学思想方法的这种“隐蔽性”“默会性”及其高层次性，而中学生的认识能力、智慧水平尚在发展过程中，因此数学思想方法的学习，一方面要强调让学生在亲身体验中获得内心感悟，另一方面还要依靠明确具体的语言指引，这也是加速学生领悟过程的需要．我们认为，教材既充分注意了数学思想方法的地位作用，对学生理解数学思想方法的规律也有准确把握，因此对思想方法的明确和指导也是到位的．例如，在具体讨论函数性质之前，教材有这样一段话：“变化之中保持的‘不变性’‘规律性’就是性质．函数是描述现实事物运动变化规律的数学模型．现实事物的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到函数中，就是函数值随自变量的增加而增加或减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质，知道了函数性质也就把握了事物的变化规律．”其目的就是要让学生明确函数性质的内容、研究方法和意义．因此，教学中应认真贯彻教材的这一意图，筹划好函数思想方法的领悟过程．3．加强建立函数模型的活动，深化函数概念理解前已述及，为了有利于学生理解函数概念，教材采用“归纳式”安排学习内容，使学生在分析、归纳、概括实例共同本质属性的基础上，感悟函数概念及其蕴含的思想方法．在学生初步领悟函数概念，知道了函数是对客观现实数量关系的抽象以后，教材安排了建立实际问题的函数模型的内容，给学生提供建立模型、求解模型，再用模型描述、解释实际问题的学习机会．古人云，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”．在用函数建模的过程中，不但可以使学生更深入地感悟函数，而且还可以使学生形成用函数解决问题的真实体验．对于函数这样抽象程度极高的概念，只有设法使学生卷入其中，强化亲身体验，启发内心感悟，激发心理共鸣，才能真正转化为学生认识客观规律、解决实际问题的强大武器．教学中，应认真体会教材的这种设计思路，一有机会就要安排函数建模活动，让学生有机会用函数概念解释各种变化现象，解决相关问题．二、“函数的概念”教学设计1．内容和内容解析“函数”是中学数学的核心概念．学生在初中学习了函数概念．函数定义采用“变量说”；介绍了三种表示法；以一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数为具体函数模型，借助图像讨论了这些函数的一些简单性质；要求用所学函数知识解决简单实际问题；不涉及抽象符号f(x)，不强调定义域、值域；等．初中所学的函数知识，与代数式、方程等联系紧密，而对“变量”“变化”“对应关系”等涉及函数本质的内容，要求是初步的．高中阶段要建立函数的“对应说”，虽然它比“变量说”更具一般性，但两者的本质一致．不同的是：表述方式不同，高中用集合与对应语言表述；明确了定义域、值域；引入了抽象符号f(x)表示集合B中与x 对应的那个数，当x确定时，f(x)也唯一确定．函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应．这里的关键词是“每一个”，“唯一确定”．集合A，B 及对应关系f是一个整体，是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要．根据上述分析，确定教学重点为：在研究已有函数实例的过程中，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念．2．目标和目标解析（1）通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述两个变量间依赖关系的重要数学模型；（2）能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三个要素；（3）会用恰当的方式描述一个具体函数的对应关系；（4）会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域；（5）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力．3．教学问题诊断分析（1）由于学生在初中接触的主要是用解析式表示的函数，他们对图像、表格表示的函数，因为其对应关系“说不出来”，所以往往认为不是函数．因此，为了帮助学生认识“对应关系”这一函数概念的核心，应当特别重视“图像、表格表示的对应关系是什么”的教学．（2）从以往的经验看，学生对解析式表示的函数对应关系的认识往往也不清晰，为此，应当加强用“等值语言”叙述函数解析式的训练．例如，函数y＝的对应关系是“非负数与它的算术平方根对应”，或者“正方形的面积与它的边长对应”等．（3）对函数概念中的“每一个”、“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深．教学中，可以通过反例帮助学生理解，当然，真正达到理解还需要有个过程．因此，本课的难点主要是对抽象符号y＝f(x)的理解，尤其是对f的意义的理解．教学中应利用具体函数例证，特别是图像、表格表示的函数，使学生逐步体会对应关系f的意义．4．教学过程设计（1）用集合、对应语言定义函数问题1 同学们在初中已学过“函数”，请你举几个函数的例子．设计意图：通过举例来回顾“变量说”．教师根据学生所举例子，引导他们明确分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数．如果学生所举例子都是用解析式表示的，教师则问：“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再举一些用图象、表格表示对应关系的函数．教师也可以参与举例，但是，让学生来判断教师举出的例子是否能够表示一个函数，并要求说明理由．例1图1中的曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况．这是一个函数吗？为什么？（此例的功能与教科书中“臭氧层空洞面积关于时间的变化曲线”相同，但更贴近日常生活．）图1例2下面是某运动员在一次训练中射击序号与中靶环数的对应表：环数是序号的函数吗？学生正确说明后，再追问：“如果第三次脱靶，还表示函数吗？”例3（教科书第15页例1）如图2，一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h＝130t－5t2．（*）炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？图2教师演示：在线段OD上画一点M，过M作x轴的垂线，并作出与图象的交点P，度量点M的横坐标与点P的纵坐标．随着点M位置的改变，点M的横坐标x与点P纵坐标y都在变化，但无论点M在哪个位置，点M的横坐标x总对应唯一的点P纵坐标y．由此，使学生体会，函数值y的变化依赖于自变量x的变化，而且由x的值唯一确定．炮弹飞行时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，炮弹距地面的高度的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}，从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应．问题2 （追问举例的同学）你凭什么说自己举的例子表示一个函数？其他同学也思考一下，他们所举的是函数的例子吗？为什么？设计意图：让学生用概念解释问题，了解他们对函数本质的理解状况．要注意突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y 有“唯一”确定的值与x对应，“y是x的函数”．特别要求学生指出对应关系是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个数集做准备．问题3 前面我们学习了“集合”，你能用“集合”和对应的语言描述函数概念吗？设计意图：引导学生把初中学过的函数概念与高一刚学的集合知识联系起来，用集合的观点解释已有概念，获得对函数概念的新认识．在学生用集合与对应语言解释“变量说”后，让学生看书上的“对应说”．（2）认识函数的定义域、值域、对应关系例1 填写下列表格：例2 函数y＝x2是的对应关系是什么？你能用一个具体背景说明这一对应关系吗？例3 已知函数f(x)＝＋．求f(－)；f(x－4)的定义域．例4 下列函数中哪个是与y＝x相同的函数，为什么？（A）y＝（）2；（B）y＝（）3；（C）y＝；（D）y＝．设计意图：及时巩固概念，学习用函数概念作判断的“基本操作”．上述例题都采用让学生先独立完成再师生共同讲评的方式完成．练习1 请举出对应关系f只能用图象或表格表示的函数例子，并用函数定义说明你举的函数的确是函数．练习2 图3表示一个函数吗？为什么？图3练习3 课本第19页练习2、3．设计意图：进一步认识函数概念中“三要素”的整体性．两函数相同，当且仅当三要素相同．练习2是一个反例，目的是认识“对应关系”的特点．（3）自学“区间”概念在研究函数时，常常需要用到“区间”概念．请大家阅读课本第17页，了解这个概念．（4）小结通过本节课的学习，你对函数概念有了哪些新的认识？还有哪些收获？要点：“对应说”的概括过程；如何理解“对应关系f”；等．设计意图：回顾函数概念的概括过程，体会通过归纳具体事例的共同本质特征得出数学概念的方法；体会用函数概念描述变量之间依赖关系的过程与方法；体会抽象符号f：A→B的含义．5．目标检测设计（1）教科书第24页习题1.2，A组，第1，2，3，4题．（2）给定函数y＝x(x+2)（x＞0），请你用尽量多的具体情境解释这个函数的对应关系．（3）联系自己的生活经历和实际问题，举出一些函数的实例．希望包括一些只能用图象或表格表示的函数．设计意图：第（2）（3）题的目的是加深对“对应关系”的理解．学生能举出丰富的函数例子，是理解函数概念的重要标志．第二部分课后与任课教师的互动交流为了及时对照课堂中发生的情况（“生成”）与教学设计（“设计”）的差异，增强教学反思的时效性，在本节课的教学结束后，我和陶老师进行了互动交流．章：对这个单元的教学目标你是怎么认识的？你心中的核心目标是什么？陶：这个单元的教学目标，“课标”规定的是“能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用”、“了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域”、“了解映射的概念”、“会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数”、“通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用”．我以为，核心是理解“对应关系”．通过教学要使学生体会到函数的对应法则、定义域、值域是一个整体，这样才能准确、完整地刻画两个变量之间的数量关系；函数的各种表示法、性质等，都是围绕函数概念展开的．当然，这个核心目标不是一节课能完成的．章：你认为高中生理解函数概念的认知基础有哪些？陶：必须注意到，高中生不是首次接触函数．在初中，学生已学过函数概念，认识到函数研究的是变量之间的依赖关系；学习过函数的表示法；函数的图象；并学过几个具体的函数（正比例、反比例、一次、二次），对函数已有不少认识．定义域、值域虽然没有作为一个概念提出，但学生已从具体函数的应用中体验到自变量有取值范围的限制，相应地，因变量也有一定的取值范围．这些都是重要的学习基础．初中物理、化学等学科的学习，也为学生用运动、变化观点刻画事物变化规律奠定了较好的知识和思想方法基础．另外，随着学生年龄增长、生活经验的增加，抽象逻辑思维能力的发展，他们抽象概括事物本质的能力也得到很大增长．这些都为学习函数的“对应说”提供了认知基础．章：你认为学生理解函数概念的难点在哪里？可以怎样突破？陶：我以为，难点在于对抽象符号“f：A→B，y＝f(x)，x∈A，f(x)∈B”的理解，主要是符号太抽象了，尤其是对应关系f到底是什么含义？突破的方法是，在学生已有认知基础上，充分利用初中学过的函数和生活实例，通过师生共同举例、分析，让学生领悟对应关系f的含义（这是重中之重），体会限定变量x，y的变化范围的必要性，体会在其变化范围内变量的依赖关系，进而逐步使学生学会用数量关系刻画两个变量的依赖关系．为了认识抽象符号f(x)，应当特别注意采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，以大量的、形式多样的实际问题为依托，使抽象符号f(x)具有坚实的具体背景，使学生更好地体会它所包含的具体信息：数集A中的数x在对应法则f 的作用下所对应的数集B中的一个数．章：在教学设计中，你考虑最多的问题是什么？你认为把握好哪些就可以使学生理解好函数概念了？陶：我考虑最多的是，应充分利用学生已有的知识基础，找准“变量说”与“对应说”间的观点差异，为学生设计适当的认知过程，顺利实现从“变量说”到“对应说”的螺旋上升．要围绕“对应关系”这一核心展开教学，要设法让学生理解它的特点，特别是领悟“任意”“唯一”这些关键词，这也是难点．难点的突破不是靠“定义+解释”，也不仅是教师举例、学生说明．教师要千方百计找好例子，也要让学生举例，并让他们用函数定义分析、讨论．让学生在“说理——反驳”的过程中引发思维碰撞；在用定义对实例的抽丝剥茧过程中，感悟“对应关系”的本质特征．学习是学生自己的体验与感受，因此，我十分注重把学生引导到概念定义的过程中来，让他们“卷入”到函数概念中去．这里我特别想说说“好例子”的重要性．就像你说过的，“一个好例子胜过一千次说教”．我在教学设计中，例子的选择确实下了大功夫．从学生的课堂表现看，股票指数图、射击命中表、让学生构建具体背景解释y＝x2的对应关系等，在学生感悟“对应关系”中起了关键作用．章：我注意到，你在课堂中特别重视让学生自己举例，而且问了许多“为什么”“凭什么”，请谈谈这样做的用意．。
浅谈初中数学教学中的概念教学
3.数学概念理解的层次性
首先，根据数学概念发展的抽象性，都有一个按 层次递进的过程；其次，不同的数学概念表征在一 定程度上反映个体对概念的不同理解. 直接由感知得到的概念称为初级概念，由初级概 念再抽象之后得到的概念称为二级概念. 具体化的概念；过程性的概念；形式化的概念. 具体期；确认期；分类期；产生期；形式期.数学 概念理解的层次性除了有数学本身的特点所决定外 ，也与学习者个体的心理发展水平有关. 依据数学概念理解层次来探讨合适的学习序列， 一直是数学教育工作者致力研究的方向.
数学概念是什么? 数学概念 是人脑对现实对象的数量关系和 空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种 数学的思维形式. 在数学中，作为一般的思维形式的判断与 推理，以定理、法则、公式的方式表现出来， 而数学概念则是构成它们的基础.正确理解并灵 活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算 技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.
4.数学概念联结的系统性
数学概念的前三个特征直接导致了它的第四个特 征：数学概念具有广泛的联系.这里的联系既包括概 念与其背景的联系，也包括概念之间的联系；既有 纵向的联系，也有横向的联系. 概念的系统化程度也是评价学生概念理解的一条 重要指标.学生要理解一个数学概念，就必须围绕这 个概念逐步建立一个概念网络，这个网络越丰富越 复杂，这个学生的理解也就越深刻.
二.数学概念的基本特征
从数学本身的发展来看，数学概念的来 源一般认为有两方面：一是直接从客观事物 的数量关系和空间形式反映而得，二是在抽 象的数学理论基础上经过多级抽象所获. 所 以，数学概念既有抽象性，也有它的具体内 容. 也就是说，一方面，数学概念是感官对 外在经验的活动或思考，经由抽象之后所得 的数、量、形的性质，或者是历代数学家把 前代的概念结果更加抽象化、一般化而得来 的.
对初中函数教学的一点认识
便学生的学习以切 实的、丰富的、典型的感性材 料作为基础，使学生形成基本概念与掌握基本原
理的意图。 二、充分利用 函数 图象 的直观效果 思维同想象 、 同直观 形象 总是密切联系着的，
一
、
指导 学生 了解 丰富的实例和 实际背景
问题的解决越是处于模糊不清的阶段 ，思维的进 对常量 、变量和 函数概念 的认识 都需 要结合
关键 词：初 中数 学；函数教 学；实例 ；函数 图象；数形结合
中图分类号 ：Ｇ６ ３６ ３． 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ７ －４ ６ （０ １０ 一Ｏ ８ 一Ｏ ６ ３ ５ ４２ １）１ ０ ０ ３
函数 是研 究客观事物运动变化 的重要 的数学
上第 十一章在给 出变分析研 究 （ ）汽车 以每小时 ６ １ ０
象思维也在发展着 ，无论是动作思维还是形象 思
维的发展与抽象思维的发展不仅不互相捧斥，而
且 它 们 之 间 的 相 互 结 合 还 有 助 于 抽 象 思 维 的 发
平和 已有知识经验基础之上 人教版教材八年级 。 收稿 日期 ：２ １ —０ —ｌ ０１ ｌ ０
－８ ・ Ｏ
展 。图象直观 是一种模象直观 ，模象直观剔除了
学习， 由于函数概念本身不是一个简单 的名词 ，
而是一种包含 了对变化过程 中的相联系 的变量 的 命名在 内的对应关系 的阐述和命名 。所 以，学 习
函数概念既需要 明确常量 、变量等 的意义 ，又需 要分析一些实 际变化过程 中变量 之间的关 系，在 掌握 了一些有关 的实 际的具 体的函数 实例之后 ， 再给 出定义 。然后还需要结合实 际例 子相应地对
变化 与对 应思想是 中学数学 中基本 的重要 的数学 思想 ，这 也是中考 的重点 内容 ，对于 函数概念的
初中数学小论文(优秀)
初中数学小论文（优秀）一、函数在初中数学教学中的地位和作用二、初中数学函数教学的策略1、充分发挥教材功能教材本身的主导思想是引导学生从生活中的其中一个变化过程里两个存在特殊关系的变量中提炼出函数的概念，留绐师生很大的运作空间。
几个例题中，例一试图用生活中熟悉的“摩天轮”引出生活中的数学，接着在例二中寻找具体的对应关系，例二让学生体会“唯一对应”的函数值，最后给出总结性的概念。
设计思路非常明确，就是要让学生通过教师导引探索一些变化过程中存在的特殊的数学规律并加以概括、精练成数学概念。
这正是新教材以学生发展为本的重要特殊性点，也代表了今后数学教学发展的时代要求。
所以教学重、难点就是是如何引导，如何启发学生完成这一过程。
而突破难点的关键在于教师的适时点拨，使学生在思维上有收有放，即教师要设法自始至终的抓住学生，精心设计问题并配置生动的情景画面，还要大胆地在教材的使用上进行创新，不但对结构进行调整、还要对例题进行深挖、展开探索，以便实现学生感知概念并形成概念的过程。
2、讲清概念。
函数中一个重要的特点就是抽象，变化，学生在初步接触函数时，对函数概念不易理解，感到陌生，所以教师在讲解过程中，要尽量用简单的语言使学生更好的理解函数概念，引导学生将生活实际和函数概念结合起来，加强学生对函数概念的理解，而学生函数思想的形成，不可能一步到位，必须由教师不断引导，深刻理解函数概念，只有把函数概念深刻理解了，才能进行课后题的训练，使学生从整体上理解函数的含义。
3、注重“数学结合”的教学数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。
而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。
它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的“数形结合”。
函数图象就是将变化抽象的函数“拍照”下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。
大概念视角下的初中数学单元整体教学设计以函数为例
大概念视角下的初中数学单元整体教学设计以函数为例一、概述随着教育改革的不断深入，对初中数学教学的要求也在不断提高。
特别是在函数这一核心概念的教学中，如何进行有效的单元整体教学设计，帮助学生建立起系统的数学知识体系，成为了当前教育领域关注的焦点。
本文将从大概念视角出发，探讨初中数学中函数单元的整体教学设计，以期为提高初中数学教学质量提供有益的参考。
大概念视角下的数学教学设计，强调以核心概念为主线，将数学知识体系进行有机整合，形成具有内在联系的知识网络。
在函数单元的教学设计中，我们将以函数为核心概念，围绕其定义、性质、图像、应用等方面展开教学，通过整体化的设计思路，使学生能够系统地理解和掌握函数的基本知识与技能。
本文还将关注函数单元与其他数学知识点之间的联系，以及函数在实际生活中的应用价值。
通过设计具有层次性和连贯性的教学活动，帮助学生建立起函数与其他数学知识点之间的桥梁，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
同时，通过引入实际生活中的函数应用案例，激发学生的学习兴趣和动力，使他们在实践中深化对函数概念的理解和应用。
大概念视角下的初中数学函数单元整体教学设计，旨在通过系统整合和有机联系，帮助学生建立起完整的数学知识体系，培养他们的数学思维和解决问题的能力，为他们的未来发展奠定坚实的基础。
1. 阐述大概念视角在数学教学中的重要性大概念教学有助于学生建立系统的知识结构。
通过大概念的引导，学生能够从整体上把握数学知识，理解各个知识点之间的联系，从而形成更加全面、深入的数学认知。
大概念教学能够提高学生的数学思维能力。
大概念教学强调学生对数学知识的深度理解和灵活应用，通过分析、推理、归纳等思维过程，培养学生的数学思维能力。
大概念教学还能够促进学生的学习迁移能力。
通过大概念的学习，学生能够将所学知识应用到不同的情境中，解决实际问题，从而提高学生的学习迁移能力。
大概念教学还能够激发学生的学习兴趣和动机。
大概念教学通过创设真实情境，让学生感受到数学知识的实际应用价值，从而激发学生的学习兴趣和动机。
初中函数教学的研究目标和主要内容
初中函数教学的研究目标和主要内容一、研究目标1. 了解初中生对函数概念的认知水平和学习需求，为教学内容和方法的设计提供依据。
2. 探究初中生学习函数的认知发展规律，为教学过程中的学习指导和评价提供依据。
3. 通过调查和分析初中生对函数学习的态度和兴趣，提出激发学生学习兴趣的策略和方法。
4. 探讨函数概念的教学组织和课程设置，构建科学合理的教学体系和课程体系。
5. 分析初中函数教学的现状和存在的问题，提出改进措施和建议。
二、主要内容1. 函数概念的引入和讲解- 通过生活中的实际例子引入函数概念，让学生理解函数的基本含义和特征。
- 通过图形和表格展示函数的表达方式，让学生对函数的多种表现形式有直观感受。
- 引导学生探究函数的定义和符号表示，以及函数、自变量和因变量之间的关系。
2. 函数图象的绘制和分析- 教学如何根据函数的表达式绘制函数图象，让学生掌握函数图象的基本形状和性质。
- 引导学生分析函数图象的特点，如零点、拐点、极值等，帮助他们从图象中获取更多的函数信息。
3. 函数的运算与性质- 教学函数之间的加减乘除及复合运算，让学生掌握函数的基本运算方法。
- 引导学生探究函数的对称性、周期性等性质，加深他们对函数特性的理解。
4. 函数的应用- 通过实际问题引导学生应用函数概念解决实际问题，培养他们运用函数进行建模和分析的能力。
- 引导学生探索函数在生活和科学技术中的应用实例，拓展他们对函数应用领域的认识。
5. 函数的发展和拓展- 针对学生掌握的基本函数概念和技能，引导他们进一步学习和探索更复杂的函数类型和性质。
- 引导学生进行函数方程和不等式的解法，培养他们对函数问题的深入研究能力。
6. 函数教学评价- 探讨初中函数教学评价的设计原则和方法，帮助教师科学地评价学生的学习情况。
- 通过课堂实践和实验研究，探讨函数教学评价的改进和创新方式。
以上是初中函数教学的研究目标和主要内容，通过系统的研究和实践，不断完善初中函数教学体系，提高学生的数学素养和解决实际问题的能力。
《函数的概念》教学设计
《函数的概念》教学设计第一篇：《函数的概念》教学设计《函数的概念》教学设计教材分析：函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。
在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段对函数的概念加入“对应”，这一章内容渗透了函数的思想、特殊到一般，数形结合思想，从感性到理性,数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响教学目标：知识与技能：（1）理解函数的概念，;（2）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
2过程与方法：通过学生自身对实际问题分析、抽象与概括，培养了抽象、概括、归纳知识以及建模等方面的能力；3情感与价值观：以熟知的生活实例引入，激发了学习数学的兴趣，增强其数学应用意识、创新意识。
相互合作学习，增强其合作意识体会合作学习的重要性。
教法：启发探究为主，讨论法为辅学法：观察分析、自主探究、合作交流教学重点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、复习引入：．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和，对于x的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，此时是x的函数，x是自变量，是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法二、概念情景引入：思考1：（本P1）给出三个实例：A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为84米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。
B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。
（见本P1图）．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。
初中函数教学有效性[论文]
![初中函数教学有效性[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/4762b9f0770bf78a65295457.png)
初中函数教学有效性探索摘要：函数作为数学教学中重要的学习内容，对学生的思维及能力的发展都有重要的不可忽视的作用。
初中阶段的函数教学要求学习一些简单的函数知识，并为高中阶段进一步学习函数奠定基础。
因此函数对于初中数学的学习至关重要，探讨有效实施函数教学的途径和策略，促进学生函数思想的发展和函数技能的掌握就成为必需。
作者在初中函数教学实践中对函数的有效教学进行了探索，总结了初中函数有效教学的策略。
关键词：初中函数教学教学有效性教学策略一、函数教学对学生发展的重要意义当今，知识经济和信息技术快速发展，表现为知识创新为主要的特征。
函数教学作为中学数学的总轴线，也相应地发生变化。
（一）帮助学生领悟函数思想新时代要求我们不能仅仅把函数看成是一种知识，只看重函数定义的掌握，更应该把函数看成一种事物之间的变化关系，是事物之间相互依存的发展关系。
引导学生掌握这种相互依存的关系，有利于学生对事物的发展趋势做出估计，也有利于发展学生的合作关系。
形成函数思想是我们学习函数的重要目标。
（二）帮助学生理解数学建模的过程数学模型的含义是，用数字符号和数学图形等具体形式对生活中的实际问题的属性进行具体的图形结合揭露其本质，解释一些客观的抽象现象。
数学模型的树立不仅需要对要解决的问题进行细致的分析，而且需要灵活运用各种数学知识。
数学建模就是从实际的具体问题中抽象出数字模型的数字化过程。
学生在学习函数时，要引导学生发现隐藏在信息中的数量关系，发展学生的函数建模思想，也就是说让学生学会用一定的函数关系表示某些实际问题的数量关系，进而解决问题。
（三）利用函数的多重表示解决问题函数是与代数的各种概念相较不同之处在于能用图形和符号表示代数的重要思想，它们之间的转换，是数学的核心思想。
学生学会运用函数知识认识生活中的具体问题，并且把生活问题转化成函数关系加以解决，是函数教学的重要目标。
二、中学生函数认知发展水平根据皮亚杰的认知发展理论，在中学阶段，青少年处于抽象思维的快速发展时期，但具体来说初中生也就是皮亚杰理论当中的少年期表现出和高中阶段即青年期截然不同的特点。
高中课标课程“函数概念”的教学分析与思考
充分暗示出来时，其内容也不难掌握 ．如数学符号
“ ，上， ，ｏ”等 ，不仅为我们提供 了符号形 ／ ／ 式 ，从其形象上我们也可以了解符号内容 ． 但是当 内容不能 由形式充分、明确的表示 出来时 ， 符号形 式和符号内容 的联结 ， 就需要进行更多的心智转换
“ 函数概念”具有多种表示法 ， 如解析法、 列表法、 图象法、箭头法 ；定义 式中“ Ｙ是 Ｘ的函数 ，记作
２ ｘ
２ ｙ
２ ｚ
ｂ＋ Ｃ
Ｃ ａ ＋ ａ
＝
去 去＋ ＋ ｃ＋卜 ＋ 去 ＋ ｃ
１ ｌ １三： ＋＋一 三
．
＋Ｄ ２
可见 ，两道题是等价性 ， 可互推 ，笔者和 同
学们 一起 探讨 得 出的这 个结 果 ，赢得 了大家 的阵 阵
２ ２
这种 解法 避开 了柯 西不 等 式和排序 不 等式 ，而
＋
≥
半
，问 两 题 什 必 的 系 请 这道 有么然联
吗？ ”
这 个 问题提 得 太突然 了 ，连 笔者都 没 有做好 思
想准备 ． 确实 ， 这两个题 目的结构非常相似，对 以
前讲 过 的这 个题 目 ，用柯 西 不 等 式证 明是 很 容 易 的 ，但是 笔者 以前对 “ 两道题 目是 否有 联 系” 作 这 未 任 何 研究 ，一下 子不 知道 如何 回答 学 生的提 问 ，但
学 反 思里写 道 ：在 平 时教 学 中 ，积极 、适宜地 进行
一
在 笔者 对第 三种 解法作 了总结 后 ， 生 ｃ站 起 学 来 了 ，他 问道 ：“ 师 ，这个 题 目我觉 得 很面 熟 ， 老 好 像和 我们 以前 做过 的一道 题在 结构 上 非常相 似 ，
初中生函数概念发展研究
初中生函数概念发展研究一、本文概述函数作为数学学科中的核心概念，对于初中生来说，其理解和掌握程度直接关系到其数学学习的深入与拓展。
本文将重点研究初中生函数概念的发展历程，以期为提高初中数学教育质量提供有益参考。
通过深入了解初中生在函数学习过程中的认知特点和发展规律，有助于我们更好地理解学生的学习需求，并针对性地开展教学活动。
本文将从函数的初步认识、基本概念、性质应用以及拓展提高等方面进行分析和探讨，揭示初中生函数概念发展的内在机制和影响因素。
结合具体的教学实践案例，探讨如何有效地促进初中生函数概念的发展，为初中数学教育工作者提供有益的启示和建议。
二、函数概念的历史演变函数概念的形成与发展，是数学史上一部波澜壮阔的史诗。
其源头可追溯至十七世纪，那时数学家们开始尝试用代数方法来描述和解析自然现象。
最初的函数概念，主要源于笛卡尔的“变量说”。
笛卡尔认为，两个变量之间可能存在一种依赖关系，其中一个变量的变化会引起另一个变量的变化。
这种依赖关系，他称之为函数。
函数概念在早期的定义并不统一。
欧拉在其著作《无穷小分析引论》中，首次提出了“函数是一个变量的函数”的定义，但此时的函数概念仍然局限于代数函数。
此后，数学家们对函数的理解逐渐深化，函数的定义也逐渐扩大。
例如，狄利克雷在其《函数和变量的课程》中，给出了一个更为一般化的函数定义：“对于每一个数，都有唯一的一个数与之对应，则称前者为自变量，后者为因变量，因变量是自变量的函数。
”这个定义，突破了代数函数的限制，为后来的函数理论研究打下了坚实的基础。
进入二十世纪，函数的概念进一步得到拓展。
数学家们开始将函数的定义域和值域扩展到实数集，甚至更一般的集合。
随着抽象代数和拓扑学的发展，函数的概念也被引入到这些新的数学领域，形成了更为丰富和深入的函数理论。
在初中生的数学学习中，函数概念的发展是一个循序渐进的过程。
从最初的一次函数、二次函数，到后来的反比例函数、三角函数等，学生们逐渐接触到更为复杂和抽象的函数形式。
如何理解y=f(x) 的一些问题
如何理解“()x f y =”的一些问题王德明函数概念在初中是这样叙述的：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量。
这是学生认识函数概念的第二个阶段（算术基础之上），即作为“变化过程”的函数．在高中，函数的概念则是建立在对应基础上的，即作为“对应关系”的函数：设A ，B 是非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应，那么就称：f A B → 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()x f y = ，A x ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的 集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域．在此基础上，将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意的集合，引出了映射的概念，从而函数成了一种特殊的映射，也顺利拓展了函数的表达方式，对函数的理解产生了质的飞跃．通过对函数()x f y =这一抽象关系式的认识，十分有益于抽象思维能力的提升．当然这一跃，难免使高一学生对()x f y =的理解产生一些疑虑和偏差．为此应该想明白： 1 ()x f y =中的符号f 表示什么()x f y =中的f 表示的是确定这个函数的 映射的对应法则．也就是表示y 与x 之间的 函数关系（显然不是f 与x 的积）．由于函数关系可以用解析法、列表法、图象法等表示，所以不能把()x f y =单纯地理解是由解析式给出的函数；其次，当函数关系是一个解析式时，“f ”指的就是运算法则．如：()11+=xx f ，“f ”是指对（）内的对象x 进行倒数运算并加1．当然函数的运算法则未必是单一的对应关系，如：()⎩⎨⎧≤>=0001x x x f ，， ，这里f 这个运算法则指的是：对任意一个正数的运算结果是1；对任意一个非正数的实数的运算结果是0．有的同学感到不是很好理解．其实我们知道，有许多旅游景点的票价与人的身高就有这样的规定：如某景点规定身高不超过（含）m 30.1的游客免费，身高超过m 30.1的游客每人120元．这样的函数我们通常称之为分段函数．生活中可以找到不少这样的例子，它们可以帮助我们很好地理解分段函数． ２ ()x f y =的定义域的意义当函数()x f 是一个具体的解析式表示时，它的定义域就是指使这个式子有意义的实数x 的集合．比如求函数()111-++=x x x f 的定义域，就是求使111-++x x 有意义的实数x 的集合．这种给出具体解析式的函数的定义域比较简单；但当函数()x f y =只是这种抽象符号给出时，对它的定义域的理解就不那么容易了．我们先看两个比较简单的问题： （１）已知()()x x x f -=2，求()1+x f 的定义域； （２）已知()11--=x x g ，求()1+x g 的定义域．比较容易得到：()()()x x x f -+=+111，()x x g -=+11．而且()1+x f 与()1+x g 的定义域都是{}11≤≤-x x ，因为这时函数()1+x f 和()1+x g 都有具体的解析式，求它们的定义域就显得比较简单，当然前提是：能从已知的()x f 与()x g 的解析式求出()1+x f 和()1+x g 的解析式．可以发现上述两个不同的函数()x f 与()x g 的定义域都是{}20≤≤x x ，进一步我们发现()1+x f 与()1+x g 的定义域同样有相同关系，都是{}11≤≤-x x ．这似乎表明：不论()x f 是怎样的函数，如果它的定义域是{}20≤≤x x ，那么()1+x f 的定义域必是{}11≤≤-x x ．事实确是如此．为此我们首先要清楚“()x f y =的定义域是集合A ”到底是什么意思．这里有两层意思：【1】首先，定义域指的是自变量．．．的取值范围为A ； 【2】其次，“f ”的对象．．必须在定义域A 内．换句话说，()x f y =的自变量x 具有双重身份，所以这两层意思并非简单的一致．下面的例题就可以说明分层的必要性．例：（1）已知()x f 的定义域为[]2,1，求()1+x f 的定义域；（2）已知()1+x f 的定义域为[]2,1，求()x f 的定义域；（3）已知()1+x f 的定义域为[]2,1，求()2x f 的定义域 分析：（1）由已知并根据【2】，“f ”的对象必须在[]2,1内，而()1+x f 中“f ”的对象是1+x ，所以 ()[]2,11∈+x ，即 211≤+≤x ．所以 10≤≤x ，由【1】知()1+x f 的定义域为[]1,0；（2）()1+x f 的定义域为[]2,1，由【1】知21≤≤x ，所以 ()1+x f 中“f ”的对象1+x 满足≤21+x 3≤，由【2】知()x f 的定义域为[]3,2（3）由（2），“f ”的对象1+x 满足≤21+x 3≤，而()2xf 中“f ”的对象是2x ，所以 322≤≤x ，即23-≤≤-x 或32≤≤x ．故()2x f 的定义域是[][]3,22,3 -- 只有对上述两层意思理解清楚了，再来用“换元法”解才变得理所当然，因为“换元法”的实质是使自变量．．．与对象．．变得一致． 3 函数()x f y =的图象变换如果函数的解析式已知，作它的图象就可以用最基本的描点法，但是并不是作每一个函数的图象都要这样进行，尤其是所作函数与基本的、熟悉的函数有紧密的关系时，我们通常会借助于这些最基本的函数图象（一次、二次函数、反比例函数、指数对数函数、三角函数等），也就是把基本函数的图象做参照．当然所谓的借助，实际上是通过平移、伸缩、对称等手段实现的．虽然函数()x f y =的抽象形式使我们在图形变换过程中难以把握，但根据其规律的确定性含义，我们又可以通过特例来认识规律．如()x f y =与()1+=x f y 的图象关系就可以从2x y =与()21+=x y 图象关系；同样()x f y =与()x f y -=、()x f y =、()x f y --=、()x f y =、()x f y =等的图象关系都可以通过适当的最基本的初等函数做参照而获得，并加深对一般规律的认识。
浅谈初高中函数概念教学的对比
浅谈初高中函数概念教学的对比1初高中函数概念教学对比问题的提出1.1函数概念的发展历史17世纪德国数学家莱布尼茨首先提出函数概念，到1718年瑞士数学家约翰·伯努利把函数定义为：“由某个变量x和常量按任何方式构成的量叫x的函数”[1]，提出变量的概念，强调的是函数要用公式来表示。
他的学生欧拉在1755年推广了这个定义并提出：“如果某些变量，以这样的方式依赖于另一些量，即当后面这些变量变化时前面这些变量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的函数”[1]，他说：“常量是指永远保持同一值的确定的量，变量是指不取定值的量或者说通用的量，它本身蕴含了一切通用的量”[1]，早在1734年欧拉就给出函数符号f(x).1797年拉格朗日进一步将函数定义为：所谓一个或者几个变量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量以任何方式出现于表达式中，表达式中可以有（也可以没有）其它一些被称为具有给定和不定值的量[1]。
1837年德国数学家狄利克雷将函数定义为:“对于某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或者多个确定的值与之对应，那么y 叫做x的函数”[1]。
这个定义与我们现在中学课本教材的函数概念已经很接近。
1939年德国的康托尔将函数定义为“设E和F是两个集合，他们可以不同，也可以相同，E中的一个x∈,都存在变量x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个Ey∈，它满足跟x的给定关系[2]”.1859年我国清代数学家李善兰第一次提出“函唯一的F数”一词。
1.2函数概念在中学数学课程中的重要性函数概念从产生到完善经历了300多年，可见函数思想之难。
函数概念理解中的历史相似性表明：函数概念历史发展过程中的认识论障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍，比如函数的单值性、对应的任意性等，目前，我国的数学教育中，函数已经成为中学数学的重点内容，它的学习横跨初中高中两个重要阶段。
函数思想已成为基本的数学思想和重要的解题方法。
初中生函数概念发展的研究
总的来说，函数概念的历史发展是一个漫长而复杂的过程。这个概念从最初的 提出到现在，经历了许多的修正和发展。随着科学技术的发展，函数的概念和 应用将会更加广泛和深入。
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三、影响初中生函数概念发展的 因素
1、教师教学：教师的教学方式和方法对初中生函数概念的发展有很大影响。 生动、直观的教学手段有利于学生初步掌握函数的概念；同时，引导学生自主 探索和发现函数的特点和规律也能促进其深化理解。
2、教材内容：教材内容的难易程度和呈现方式也会影响初中生函数概念的发 展。有研究指出，贴近生活的教材内容更有利于学生理解函数概念。
3、营造良好的学习环境：学校和家庭应当为学生营造一个积极、轻松的学习 环境，让学生能够在愉快的气氛中学习函数概念，同时也能培养学生的自主学 习能力和创新思维。
4、强调概念间的与区别：在教授函数概念时，教师应当强调不同概念之间的 与区别，帮助学生形成清晰、准确的理解。比如，一次函数、二次函数和反比 例函数等都是初中阶段学习的重点，教师应当引导学生发现它们之间的与区别。
首先，初中生的函数概念认知是从具体到抽象的。对于刚开始接触函数的学生 来说，函数是一个非常抽象的概念。然而，通过教师使用具体实例来解释函数 的概念，以及学生不断地进行与函数相关的实践练习，他们开始逐渐理解并掌 握了函数的基本概念。
其次，初中生在理解函数概念时，常常需要依赖具体的数学情境和实例。例如， 在解释一个一次函数时，教师可能会用一辆汽车的速度和时间的关系来举例。 学生通过观察这种具体的实例，能够更好地理解函数的关系和概念。
3、营造良好的学习环境：学校和家庭应当为学生营造一个积极、轻松的学习 环境，让学生能够在愉快的气氛中学习函数概念，同时也能培养学生的自主学 习能力和创新思维。
浅谈初高中函数概念教学的对比
浅谈初高中函数概念教学的对比1初高中函数概念教学对比问题的提出1.1函数概念的发展历史17世纪德国数学家莱布尼茨首先提出函数概念，到1718年瑞士数学家约翰·伯努利把函数定义为：“由某个变量x和常量按任何方式构成的量叫x的函数”[1]，提出变量的概念，强调的是函数要用公式来表示。
他的学生欧拉在1755年推广了这个定义并提出：“如果某些变量，以这样的方式依赖于另一些量，即当后面这些变量变化时前面这些变量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的函数”[1]，他说：“常量是指永远保持同一值的确定的量，变量是指不取定值的量或者说通用的量，它本身蕴含了一切通用的量”[1]，早在1734年欧拉就给出函数符号f(x).1797年拉格朗日进一步将函数定义为：所谓一个或者几个变量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量以任何方式出现于表达式中，表达式中可以有（也可以没有）其它一些被称为具有给定和不定值的量[1]。
1837年德国数学家狄利克雷将函数定义为:“对于某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或者多个确定的值与之对应，那么y 叫做x的函数”[1]。
这个定义与我们现在中学课本教材的函数概念已经很接近。
1939年德国的康托尔将函数定义为“设E和F是两个集合，他们可以不同，也可以相同，E中的一个x∈,都存在变量x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个Ey∈，它满足跟x的给定关系[2]”.1859年我国清代数学家李善兰第一次提出“函唯一的F数”一词。
1.2函数概念在中学数学课程中的重要性函数概念从产生到完善经历了300多年，可见函数思想之难。
函数概念理解中的历史相似性表明：函数概念历史发展过程中的认识论障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍，比如函数的单值性、对应的任意性等，目前，我国的数学教育中，函数已经成为中学数学的重点内容，它的学习横跨初中高中两个重要阶段。
函数思想已成为基本的数学思想和重要的解题方法。
函数概念发展过程+初高中教材上的函数概念对比
对“函数概念发展过程”的理解（结合初、高中函数的概念）一、函数的概念叙述函数是我们数学学习当中一个很重要的部分，它作为一条内容主线贯穿于我们整个中学数学内容当中，并且函数的应用不仅仅局限于数学还在社会科学、人文生活的方方面面。
对于函数的概念，我们当今把它定义为：给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
二、初高中教材对于函数概念的不同展现我们首先看一下初中及高中教材对于函数概念的描述：初中：高中：我们可以看到，初中对于函数概念的定义是从“变量变化”的角度来阐述的，高中对于函数的定义是从“集合、映射”的角度来说明的，这也是我们目前的官方的定义。
我想这是因为当时学生还没有学习集合的概念，映射的概念；还有一个最主要的原因就是人类的认知过程，对于一个知识的建构首先是从简易的地方开始然后才慢慢往上不断丰富饱满。
依据学生的认知水平“函数概念”的描述应该又简洁又易懂。
所以其体现了简单到复杂的特征。
同时变量是小的、集合是大的。
变量是特殊的，集合是一般的。
因为变量是单独的一个变量，它是代表事物的集合中任意一个事物的记号表示，集合里面的元素都可以是那一个变量，因此中学关于函数的概念的讲授也体现了特殊到一般的特征、由小范围到大范围的特征。
故综上所述，学生不同阶段对于函数概念的理解体现了以下三个特征：1、由简单到复杂2、由特殊到一般3、由小范围到大范围那么我们会看到实际上教材对于不同阶段函数概念的安排主要考虑的是学生认知这个层面，那么为何“函数概念的历史发展经历了7次扩张”呢？是不是也跟人类的认知有关?我认为，原因有两方面：一方面在于人类的认知是从简单向复杂，特殊到一般等等特征靠拢，因此才不可能一次性地就能得到函数的准确概念定义。
函数学习中的六个认知层次
第13卷第3期 数 学 教 育 学 报Vol.13, No.32004年8月JOURNAL OF MA THEMA TICS EDUCA TIONAug., 2004收稿日期：2004–02–11作者简介：贾丕珠（1957—），男，山西原平人，副教授，主要研究数学方法论、初等数学教育改革．函数学习中的六个认知层次贾丕珠（内蒙古师范大学 数学系，内蒙古 呼和浩特 010022）摘要：函数是中学数学的核心内容，根据函数概念的特点和学生的认知结构，可将函数知识建构分为6个层次，即经历认识变量；突出关系；区别函数与算式；掌握“对应”；把握形式化描述；形成函数对象等主要环节．关键词：函数；变量；对应；认知层次中图分类号：G442 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2004）03–0079–03 函数是中学数学的核心内容，分为初中和高中2个阶段．建立函数概念不能像认识“平行四边形”那样，只用“属+种差”的逻辑方法，它需要动态地、形式地处理多因素间的关系．学生记忆函数定义是很容易的，但要真正理解它需要有一个过程．有研究表明：“学生函数概念的认知发展有以下3个阶段：作为‘算式’的函数；作为‘变化过程’的函数；作为‘对应关系’的函数．”[1~3]笔者认为先有算式的函数，再有变化过程的次序不太合理．另外，“对应关系”的阶段，还太笼统，应该细分．前3个在初中完成，后3个适用于高中．1 理解变量在引入函数概念之前，需要完成从常量到变量的转变．物体运动涉及变量，但是，学生往往用常量观点去理解．比如问：“某物体以100 m / min 的速度前进，10 min 前进多少 m ？”小学生都会给出正确答案．但他们并没有注意到时间与路程都是变量．即使部分学生能给出“S =100 t ”，也只是文字代表“数”而已，并没有把它看作是一个变化的过程．再如表达式5=+y x ，在学生已有的图式中就是两个定数相加为5，很难想到两个量之间此消彼长的内在联系．仅若将t 看作动点沿数轴从0运动到10，列出相应的另一个变量S (t )的对应值，并在坐标系上描出这些点，这时学生才感受到变量的真实意义．数形结合是深化函数概念学习的重要手段，函数的图像一方面是函数的一种表示方法，另一方面也为函数建立了直观模型．从图像上更能看出函数作为运动过程的描述这一特征．因此，应使学生认识到字母可以表示定数，也可表示变化的量．培养学生的思维能在静止与运动、离散与连续之间进行转化．从观察静态的“照片”（例如常量、代数方程和算式），到认识动态过程的“录像”（如变量、函数），这是认识的飞跃．在这一阶段，只使用“变量”这一单个表象．2 突出“关系”已知数和未知数之间的关系是方程，变量和变量之间的关系则是函数．这时要使用两个变量：心理学上要求在同一水平上使用多个表象．例如，圆的周长与半径的关系r l ⋅=ð2．学生看到半径的变化，能引起周长的变化，但这只是停留在前一个阶段的认识．进一步，则要关注两者之间的关系，相差ð2倍，画出图是一条直线．体会到变量之间有相互制约性，而且在同一运动系统中同时变化这种相互协调性，这些关于联系的感性认识的积累，会逐渐改变原来只把一个符号当作固定的数的模式．认识变量和认识变量间的关系是不同层次的认知水平．例如一位教师在函数概念教学时，让学生先举一个生活中遇到的在某过程中的变量，选一个字母表示，然后再想一想有没有另一个与前一个量有关的也在变化的量，找到它们之间的关系．学生分别举了“距离和时间的关系”，“买铅笔的数量与总价的关系”等．有一个学生说：“吹气球时气球的体积随时间变，但是关系不清楚．”这是一个很关键的问题：找变量容易，找关系难．找关系，实际上是“建立数学模型”的问题．吹气球时，时间和气球究竟有没有关系？学生的回答是有关系，但是不知道是什么关系．那么我们能不能说他已经知道了气球大小是时间的函数呢？老师和同学讨论的结果是：只要把各个时刻的气球半径大小记下来，就是一个函数了．有关系，可以是函数，把关系记录下来，才得到这个函数．为了使每个学生都获得必要的感知，引导学生多分析几个不同的实例，实行“函数建模”是十分必要的．例如，老师与学生的年龄关系是不是函数关系？利率和利息的关系，等等．事实证明，没有教师的引导学生很难得到应有的感知．3 区别函数与算式代数课学到了函数阶段，是前面所学知识的一次集成．它把多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了整合．在初中最后阶段学习函数及图像，运用函数的观点和方法去处理前面所学知识，会有更深层次的理解．事实上，代数式可以看作带有变量的函数表达式，求代数式的值就是求特定的函数值；方程实际上就是求已知函数满足一定条件的变数值，使在该变数值上已知函数有某个预先指定的值，特别是80 数学教育学报第13卷使函数值为零时的自变量的值；不等式可以视为求函数的误差估计；如此一来，就把前面的知识都统一到函数的范畴中，体现了数学的统一性．算式只是函数的一种表示方法，列表法、图像法都可以表示函数．报纸上天天刊载的“股票走势图”，就是一种函数．但是，数学研究的函数，绝大多数是需要算式的．表格，可以插值形成连续函数，图表可以用算式或图像近似．建立函数模型，主要是找到算式表示，最终是用找到的函数关系去解决问题．因此，寻求算式，但不限于算式，是函数教学的目的之一．以上3个阶段，是初中数学课程中函数教学要达到的目标．它以变量之间的关系为核心，宏观地体现函数的动态过程．以下3个层次，则是高中数学课程的任务．它以“对应”和“形式化表示”为核心，在微观上标志函数的精细含义．4 紧扣“对应”如果问刚升入高一的学生：“什么是函数？”回答往往是“函数是变量”，“函数是变化过程”，“y=kx是x的函数”，“函数是图像”，等等．他们只是大体地描述函数的外在特征，很少深入到抽象层面：函数是对应关系．笔者认为，把函数作为“变化过程”的描述和作为“对应关系”的描述本是认识函数概念的不同的侧面，不能说成后者比前者更好，或者“对应说是现代化的”，“变量说是陈旧的”等．工程师、经济师等对函数的理解主要是“变量说”，通过寻找变量之间的关系，找出客观现象的规律．这种宏观的把握，对于科学发现是很重要的．另一方面，作为数学本身的进步而言，需要在宏观的基础上，微观地考察函数：x的哪一个值和y的哪一个值对应？例如分段函数的端点的值，以及Dirichlet函数的定义等问题，就需要微观的观察和精细的判断．在高中阶段，首先要使得学生在宏观地研究变量之间关系的基础上，有进一步抽象的需求，把“对应”关系凸现出来．尤其是，对于不能用算式表示的函数，更需要用对应思想进行理解．例如上例中的气球体积与时间的关系，虽然写不出算式关系，只要有数据的对应关系，仍旧是函数．有些函数概念的教学设计，非常突出“唯一的”y值与x对应．其实唯一与否不是关键，那只是为使用方便的技术处理．反复强调“唯一值”，既不是建立函数观念的关键，对日后应用和解题也没有更多帮助，不必费太多的心思．5 力求形式化接受函数的抽象表示也是一个难点，笔者在某一非重点中学的普通班第一次讲函数的抽象表示时，介绍完函数的定义后，给出了通常的表示法)(xfy=．但是，竟有多个学生问：“老师，f和x是不是乘的关系？”由此可见他们虽然背了定义，但没有理解函数的真实意义．于是，在第二个班讲时，笔者没有直接说“通常我们把y是x的函数表示为：)(xfy=”，而是先说“f代表自变量和因变量之间的对应关系，对于定义域内任意的x（这时先在黑板上写下‘x’）,通过对应关系f（在黑板上写出‘f ( )’，刚才的x被括号括在内），对应出唯一的一个y（在黑板上刚才的式子前写下‘y=’）”，这样就写出了表达式)(xfy=．事实上，这一改进很有效，再没有出现第一个班那样的怪问题．为何前者会有那样的错误理解？其原因在于：一是，学生对对应关系认识不足；二是，函数的形式化表示不是用一个“记作”就能让人接受的；三是，从变量到函数抽象的符号表示突然跨了多个抽象层次．难怪学生产生了理解的障碍．后一种书写次序主要是突出了f是对应关系这个特征，而且与定义的描述次序相同，所以这样写的顺序顺应了学生意义建构的模式，学生更容易接受．有些教材把函数比作“加工机”，给定一个x就加工出一个f (x)．复合函数就好比组合加工机，这种比喻很形象，一方面体现了对应的特征，另一方面体现了过程的特征．这就奠定了函数过程的一个思维模型，对于理解抽象的函数表示有较大的帮助．函数的表示，最完整的是)(xfy=，x∈D，可以简写为f (x)，x∈D．又因为对应关系居于核心地位，所以在不致混淆的时候，更可以简化为f (x)，有时甚至简写为f．6 当作对象和数学的其它概念一样，函数概念具有二重性：既代表定义域中的元素按对应法则与值域中元素作对应的过程，又代表特定对应的关系结构．所以认识这个概念也应分为两个侧面，即作为过程的一面和作为对象的一面．Sfard（1991，1994）等人的研究表明，形成一个概念，往往要经过由过程开始，然后转变为对象的认知过程．掌握函数概念的最后一个层次，就是把函数作为一个“整体的对象”来看待．我们实行函数的运算f (x) + g (x)，这时的函数是一个“对象”，它略去了过程，也没有对应关系，而是将两个函数的全部内涵放在一起进行处理．人的长时记忆以较稳定的图式结构存在，是以形象具体的整体综合的心理表象存在的．函数的图像往往是这种整体综合的心理表象．所以，当我们进行思维的时候，最先在头脑里跳出的不是函数的某种定义，而往往是具有代表性的某一函数的图像．例如看到xy sin=，首先想到的不是对边与斜边的比，而是一条正弦曲线，由此就可以记忆起有关的有界性和周期性等性质．认识函数的图像也有不同水平的思维方式．例如，作函数36ðsin(2++=xy的图像，如果用描点法，每给一个x，通过表达式计算出一个y，然后描点连线，这是典型的过程性思维；如果是先画xy sin=的图像，再作平移和放缩等变换，也可得出图像，这就是结构性的思维方式．把函数作为对象是认识函数的综合表象阶段，并在表象第3期贾丕珠：函数学习中的六个认知层次81之间可以转换．将函数概念的动态过程转变为抽象的结构对象便可整体掌握函数，这样才能够更好地应用函数思想解决实际问题．“学习是一个获取知识和能力的过程，它们相互影响不像是协奏曲中的器乐和声乐．它有点像是从内容到形式以及从形式到内容的一种观点的转变，而且导向更高的水平，由学习者经过跳跃，并通过教师的引导而不是拔高地达到尽可能高的水平．”[4]最后，笔者认为对函数概念的认识不是简单的积累，需要有认识—反馈—再认识的往复过程．从概念的学习过程来看，不同阶段如图1所示．就笔者的经验而言，学生对函数知识的认识层次往往是线性的，较少考虑概念周围的相关知识．只有把各知识点进行网络形的联接，才会有较完整的理解．致谢：感谢张奠宙教授对本文的悉心指导！［参考文献］[1] 曾国光．中学生函数概念认知发展研究[J]．数学教育学报，2002，11（2）：99．[2] 朱文芳．函数概念学习的心理分析[J]．数学教育学报，1999，8（4）：23．[3] 杨泽忠．改进课件设计提高函数图像教学效果[J]．数学教育学报，2001，10（3）：95．[4] [荷]弗赖登塔尔．数学教育再探[M]．上海：上海教育出版社，1999．Six Cognitive Stages in the Teaching for Function ConceptJIA Pi-zhu(Department of Mathematics, Neimenggu Normal University, Neimenggu Huhehaote 010022, China)Abstract: Function was a key content of middle school mathematics. In this paper, the author intended to divide the learning process into 6 stages for the construction of functional knowledge: understanding variables, stressing relations, employing formula, knowing correspondence, grasping formal description, and understanding it as an object.Key words: function; variable; correspondence; cognitive stage[责任编校：刘伟娜]图1 概念学习的不同阶段。