第三节刚度矩阵

第三节 刚度矩阵——节点载荷与节点位移之间的关系一、 单元刚度矩阵1. 单元刚度矩阵xj单元e 是在节点力作用下处于平衡。

节点i 的节点力为{}Ti xiyi R R R ⎡⎤=⎣⎦ （i , j , m 轮换）则单元e 的节点力列阵为{}TeTT T mi jTxm ym xi yi xj yj R R R R R R R R R R ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦==单元应力列阵为{}Tex y xy σσστ⎡⎤⎣⎦=假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e 的三个节点的虚位移为{}*******eT mm i i j ju v u v u v δ⎡⎤⎣⎦= 单元虚应变列阵为{}****Tx y xy εεεγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=参照式（3-7），则单元虚应变为{}{}**eeB εδ⎡⎤⎣⎦=作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：{}{}*eTe R δ⎛⎫ ⎪⎝⎭单元内的应力在虚应变上所做的功为：{}{}*Te tdxdy εσ∆⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰根据虚位移原理，可得单元的虚功方程{}{}{}{}**eTTe e R tdxdy δεσ∆⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎰⎰或{}{}{}{}**eTTTe e B R tdxdy δδσ∆⎛⎫⎛⎫⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭=⎰⎰故有{}{}eTB R tdxdy σ∆⎡⎤⎣⎦=⎰⎰将式（3-10）代入，的{}{}{}eeeTTD B D B R B B tdxdytdxdy δδ∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦==⎰⎰⎰⎰（3-27）简记为{}{}ee ek R δ⎡⎤⎣⎦= （3-29）--------上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程） 其中TeD B B k tdxdy ∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⎰⎰（3-28） ek ⎡⎤⎣⎦称之为单元刚度矩阵（简称为单刚），是66⨯矩阵。

如果单元的材料是均质的，矩阵D ⎡⎤⎣⎦中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，矩阵B ⎡⎤⎣⎦中的元素也是常数，当单元的厚度也是常数时，注意到dxdy ∆=∆⎰⎰，于是单元刚度矩阵可简化为TeB D B t k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∆= （3-30） 将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式：66eii ij imji jj jm mm mimj kk k k k k k k k k ⨯⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦= （3-31）其中任一子块[]rs k (r ，s=i ，j ，m ）是一个2×2子矩阵，为[][][][]Trsrs k B D B t =∆ (r ，s=i ，j ，m ）（1）对于平面应力问题将[]B 和平面应力问题的弹性矩阵[]D 代入，得Trs r s k B D B t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=∆ ()21122114122r s r s r s r s r s r s r s r s b b c c b c c b Et c b b cc c b b μμμμμμμ--⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥---∆⎢⎥++⎢⎥⎣⎦(r ，s=i ，j ，m ） （3-32）（2）对于平面应变问题将[]B 和平面应变问题的弹性矩阵[]D 代入，得()()()()()()()12122112114112121212121e rs k b b c c b c c b r s r s r s r s E t c b b c c c b b r s r s r s r sμμμμμμμμμμμμμμμ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦--++----=+-∆--++--- (r,s=i ，j ，m ） （3-33）（注：是将式（3-32）中的,E μ分别换成21E μ- 和1μμ-）2. 单元刚度矩阵的性质 （1）ek ⎡⎤⎣⎦的物理意义式（3-29）可完整写为131415161112212223242526333435363132434445464142555152535456616263646i i jjmmeU k k k k k k V k k k k k k k k k k U k k k k k k k k V k k k k k k U k k k k k V⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭566ii j j m m eu v u v u k v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎣⎣⎦⎦⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭可见每个节点在x 和y 方向上有二个平衡方程，3个节点共有六个平衡方程。

单元刚度矩阵[]ek 中的任一元素称为刚度系数，其物理意义为：ij k -----当单元的第j 个节点有单位位移，而其它节点位移为零时，需在单元第i 个节点位移方向上施加的节点力的大小。

例如， 23k 表示是第3个节点有水平（x ）方向单位位移（即31u =）时，而其它节点位移分量均为零时，在第2个节点所引起的铅垂（y ）方向的节点力。

（2）单元刚度矩阵只取决于单元形状，大小，方向和弹性常数，而与单元的位置无关。

即ek ⎡⎤⎣⎦不随单元坐标平移而改变，这叫单元刚度的平移原理。

235例如图示结构，有 [][](1)(3)k k = 另外，可以证明 [][](1)(2)B B=-则有 [][](1)(2)k k =即单元旋转180︒后，单元刚度矩阵相等。

这是单元刚度旋转原理。

（3） 单元刚度矩阵是对称矩阵。

因为 [][][]Tek B D B t ⎡⎤⎣⎦=∆所以有[]()[][][]()TTeTt k B D B =∆[][][]TTTTB D B t =∆⎡⎤⎣⎦[][][]TB D B t=∆e k ⎡⎤⎣⎦= （4）单元刚度矩阵是奇异矩阵。

即 0ek ⎡⎤⎣⎦=因为 {}[]{}ee e R k δ=当节点位移已知时，节点力是唯一确定的，而{}eR 已知时，{}e δ不能唯一确定，因为单元没有支承，可以产生任意的刚体位移。

根据上述性质：对于上图结构，在节点力为零时，单元仍可产生刚体位移，即0111213141516U k u k v k u k v k u k v i i i j j m m==+++++此时 0u u uu i j m=== ，0v v v v i j m === ，单元产生刚体位移0u ，0v 为任意的。

故有()()011131501214160k k k u k k k v +++++=由于,0u v 的任意性，则0111315k k k ++= ， 0121416k k k ++=从而得0111315121416k k k k k k +++++= 同理可得：单元刚度矩阵任意一行（列）元素之和为零。

（5）单元刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。

即 0(1,2,,6)ii k i >=二、 整体分析假设弹性体被分成m 个单元和n 个节点，对每一个单元进行前面的运算，则得到m 组型如{}{}e ee k R δ⎡⎤⎣⎦=的方程。

把这些方程集合起来，便可得到表征整体弹性体平衡的刚度方程：{}{}212122n n n n k R δ⨯⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦= （3-37） 式中 1. {}21n δ⨯-------整体结构的节点位移列阵，是由各节点位移按节点号码从小到大顺序排列组成的，即{}12T T T T n δδδδ⎡⎤⎣⎦=其中 {}Ti ii u v δ⎡⎤⎣⎦= （i=1, 2，…，n ）P 3P例如图示结构有{}123411223344TT T T T Tu v u v u v u v δδδδδ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎣⎦==2.{}21n R ⨯-------整体结构的节点载荷列阵， 是由各节点载荷按节点号码从小到大顺序排列组成的，即{}12T T TT n R R R R ⎡⎤⎣⎦=其中{}Ti ix iy R R R ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= （i=1, 2，…，n ）例如图示结构有{}11443124032T x y x y TT T T P P R R P R R R R R R R ⎡⎤⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=--2. 22n nk ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦-------整体结构的刚度矩阵（总刚）（1）22n nk ⨯⎡⎤⎣⎦的组集（“对号入座”法）22me n nek k ⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦=∑例图示结构有 单元1222421(1)424441121411ii ij imji jj jm mm mi mj k k k k k k k kk k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==单元2444243(2)242223343233ii ij imji jj jm mm mi mj k k k k k k k kk k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==注：在单元刚度矩阵中，各子块的下标表示该子块在总刚中的位置。

则总刚为(1)(1)(1)111214(1)(1)(2)(2)(1)(2)212222232424(2)(2)(2)323334(1)(1)(2)(2)(1)(2)4142424344448800k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⨯++=++（2）总刚的性质 ⅰ. 整体刚度矩阵的物理意义[]K 中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一个节点在坐标轴方向发生单位位移，而其它节点都保持为零状态，在各节点上所需要加施加的节点力。

由式可以看出，令节点1在坐标轴x 方向有单位位移，即11u =，而其余的节点位移为零时，即v 1=u 2=v 2=u 3=v 3=······= u 2n =v 2n =0，这样就可得到节点载荷列阵等于总刚[]k 的第一列元素组成的列阵，即…………112211213141(21)1(2)1Tnxny x y x y Tn n R R R R R R K K K K K K ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎣⎦=ⅱ. 总刚k ⎡⎤⎣⎦是对称矩阵 ⅲ. 总刚k ⎡⎤⎣⎦是奇异矩阵ⅳ. 总刚k ⎡⎤⎣⎦主对角线上的元素恒为正，即 0(1,2,,2)ii k i n >=ⅴ. 总刚[]k 是一个稀疏矩阵。

若遵守一定的节点编号规则，则非零元素集中在主对角线附近呈带状分布。