9.2微正则分布
理想气体
二、玻色分布
一个单粒子态可以容纳任意个玻色子 n 个玻色子占据能量为ε的单粒子态时 可能状态 ( N , E n )：
(0， 0 ) (1, ε ) (2, 2ε )LL
巨和： ξ = ∑ e −αN n − βE n
n
N 0 1 2 状态 3 … n … 系统的巨和：
ε
0 ε 2ε 3ε … nε …
对照B (ε ) 可看作是单粒子系统的正则分布
1 −ε / kT 乘以 e Z1
系统的粒子数 N。 一个 N 粒子系统看作由 N 个单粒子系统构成， 系统的配分函数为 各子系统配分函数之积： 定域粒子(第八章)： Z = ( Z 1 ) N 1 非定域粒子(理想气体系统)： Z = (Z1 ) N N! 3、状态的准经典描述 Z 1 ~ Ω(ε )dε ： Ω(ε )dε → Z 1 在ε~ε+dε区间内，单个自由粒子的状态数为： V 2m 3 / 2 1 / 2 Ω (ε ) d ε = ( ) ε dε ←粒子微观性质得到； 4π 2 h 2 对经典粒子来说， 采用其坐标和动量(x, y, z, Px, Py, Pz)描述粒子的 状态。 相空间（状态空间） ：采用坐标和动量为轴构成的空间 在单粒子状态空间中，每个状态平均占有相空间体积为： h r [ h —普朗克常数， r —为粒子自由度] 因而状态数与相空间大小成正比。
N = ∫ e (μ −ε ) / kT ⋅ cε
0
∞
1
2
dε = ce μ / kT ∫ e −ε / kT ⋅ ε
0
/ kT
∞
1
2
dε ← x = ε
1
2
N = 2ce =V(
μ / kT
∞
第九章 系综理论(2014)
( q , p , t ) d 1
分布函数的量子表述
系统状态用量子态
时刻
s 表示: s 1,2, t 系统处在状态 s 的概率： (t )
s
分布函数
以
(t )
s
满足规一化条件：
t 1
s s
Bs
表示微观量 在量子态
s
B (t ) s (t )Bs B s Bs
N ; V ; E E E
微正则系综分布（即等概率原理）的经典表达式：
(q, p) 常数 E H (q, p) E E (q, p) 0 H (q, p) E, E E H (q, p)
等概率原理的量子表达式：
1 s
四、微观状态数
如果是全同粒子系统 粒子数：N 自由度：
四，哈密顿量与哈密顿正则方程
系统某一时刻的力学运动状态在Γ 空间为一代表点，随着 时间的变化，系统的代表点在Γ 空间中画出一条轨道。 系统在Γ 空间的运行轨道显然应该遵守基本的力学规律， 系统的运动状态随时间的变化遵从哈密顿正则方程：
第九章 超导电性
临界电流随温度变化的关系为，
T I C (T ) I C 0 (1 2 ) TC
式中IＣ０是绝对零度时的临界电流。
2
小结： 超导体 • 1. 两个基本属性： （1）零电阻效应 （2）迈斯纳效应 2. 三个基本参数： （1）临界温度TＣ （2）临界磁场HＣ （3）临界电流IＣ
§9.2 超导电性的基本理论
第九章
超导电性
§9.1 超导现象及基本规律
§9.2 超导电性的基本理论
§9.3 超导体的类型
§9.4 超导隧道效应
§9.1
• 9.1.1
•
பைடு நூலகம்
超导现象及基本规律
1908年，荷兰的物理学家昂纳斯 （Onnes）将氦气液化(4.2K).
• 1911年，昂纳斯（Onnes）在研究 水银电阻在液氦温区的变化规律 时，首次观察到超导电性。 4.2K以下，发现水银的电阻突然消失，呈现零 电阻状态。
同位素效应的意义：
(a) 在式Ｍα ＴＣ＝常数 式中，原子质量 M反映了晶格的性质，临界温度TＣ 反映 了电子性质，同位素效应把晶格与电子 联系起来了。在固体理论中，描述晶格 振动的能量子称之为声子，同位素效应 明确告诉我们电子-声子的相互作用与超 导电性有密切关系。
(b) 人们发现导电性良好的碱金属和贵 金属都不是超导体，其电子－晶格相互作 用很微弱。而常温下导电性不好的材料， 在低温却有可能成为超导体。此外临界温 度比较高的金属，常温下导电性较差。这 些材料的电子-声子相互作用强。 因此，弗洛里希(H.Frolich)提出电子声子相互作用是高温下引起电阻的原因， 而在低温下导致超导电性。 同位素效应支持了弗洛里希提出的电 子-声子相互作用的探讨方向。
图9-3 （a）
系综理论
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
t
i
qi
qi
pi
pi 0
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
代入式
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
2019/12/25
即得
系综理论
d 0
qi
qi
pi
pi
P.6/55
d
dt t
i
qi
qi
pi
pi
d ：表示代表点密度的流动变化率。
dt 现在要求证：d 0
dt
即求证：代表点密度流动变化率为零，
即随着一个代表点在相空间运动，其
邻域的 不随时 间变化。
围内，或者说 E E之间。
对宏观系统，表面分子数远小于总 分子数，系统与外界的作用很弱
Wigner分布
第3章 Wigner分布
WVD的时限与带限性质
➢ 若在t ta 和 t tb 时，xt yt 0，即 xt, yt 是时限的，
则对一切 ，有
Wx,y t, 0 t ta 和 t tb （3.2.18）
即 两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和
式中2 Re Wx1,x2 t, 是x1 t和 x2 t 的互WVD，称之为“交叉项”，
它是引进的干扰。交叉项的存在是WVD的一个严重缺点。
进一步，若令 xt x1 t x2 t，yt y1t y2t
第3章 Wigner分布
则
Wx, y t, Wx1, y1 t, Wx2 , y2 t, Wx1, y2 t, Wx2 , y1 t,
作一个平稳的随机信号，因此，其WVD与时间 t 无关。对任
意的时间 t
，W x
t,
都是位于
处的
0
函数。如图3.3.2所
示。
第3章 Wigner分布
图3.3.2 例3.3.2的WVD
第3章 Wigner分布
例3.3.3 令 x(t)是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形
成的，即 exp j2 f1t 0 t T 4
关系，即
Wz
t,
4
Wx
t
,
sin2
0
（3.2.24）
0 0
第3章 Wigner分布
瞬时频率与群延迟
设信号xt 可写成解析形式，即 xt Ate jt， 其WVD
为Wx t, ，则 xt 的瞬时频率和WVD有如下关系：
i (t)
各态历经假说
但在数学上已经证明这不成立！
因此我们做一个更自然更普遍、不需其它假定的选取，引入系综的概念：
统计系综(ensemble)：由大量处于相同宏观条件下，性质完全相同而各处于某一 微观状态、并各自独立的系统的集合。
对孤立系统：哈密顿量就是能量！能量 E 不随时间变化，系统只在 H(q,p) = E 确定的 2f-1维能量曲面上运动。 此外，对任意力学量 b(q,p) ，我们也有其运动方程:
上面后两式称为力学量b和H的泊松符号。
正则方程的简单推论：
给定初始代表点(q,p),对保守力学系统（H 不显含时间），相轨道的运动
这里N 是相空间中代表点或系统的总数。特别地，系综分布函数： 满足归一化条件。
通过系综分布函数，宏观物理量的测量值 和对应的微观量B(q,p)的关系可写为：
量子情形：
经典系统的刘维尔定理
当时间从t 变到t+dt 时，在 分布函数为:
的代表点将运动到
，在后一点的
我们发现，同一个相轨道邻域的系综分布函数在运动中不变 ，即
在固定的体积元dΩ=dqdp里，经过时间dt后，代表点的增加为
而通过平面 (对应的面积为
代表点为
通过平面
)进入的 走出的代表点为 （N是代表点的总数）：
因此净进入的代表点数为：
考虑所有 我们发现
利用正则方程及其推论：
我们有（刘维尔定理）：
经典系统在平衡态的情形
设
是此代表点所在的相轨道上的任意一点，它的邻域的分布函数：
V3N
(1)
2
(3N
)!
2
3N 为奇数时，单位 3N维球的体积
第9章 系综理论
9.1
4、系综的分类
相空间 刘维定理
微正则系综：粒子数N 体积V 能量E都确定的系统， （1）微正则系综：粒子数N 、体积V 、能量E都确定的系统，孤立系统 正则系综： 粒子数N 体积V 温度T都确定的系统， （2）正则系综： 粒子数N、体积V、温度T都确定的系统，封闭系统 巨正则系综：化学势µ 体积V 温度T都确定的系统， （3）巨正则系综：化学势µ、体积V、温度T都确定的系统，开放系统 二、刘维定理 1、稳定系综 不显含时间t 则该系综称为稳定系综，此时： 若ρ不显含时间t，则该系综称为稳定系综，此时： ）、稳定系综的<f>与时间无关 稳定系综的<f> （1）、稳定系综的<f>与时间无关 ）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综 处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。 （2）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。
（ 5）
由于相空间中不存在“ 由于相空间中不存在“源”与“壑”，因而代表点的总数必须守 因此， 则有： 恒。因此，由（2）和（4）式，则有：
∂ → div ρ v dΓ = − ∫ ρdΓ ∫ ∂t Γ Γ
∂ρ → ∫ ∂t + div ρ v dΓ = 0 （6） Γ
包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为： 包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为：
→
∂ 3）
→
n
→ → 从表面的净流出为： 从表面的净流出为： ρ v⋅ ndσ ∫ σ
→
→
为表面元的速度矢量， v 为表面元的速度矢量， n 为 dσ 向外的法向单 位矢量。 位矢量。
巨正则分布的热力学热力学
Fermi分布
知识回顾： §8.5金属中的自由电子气体
T=0K下自由电子的性质
Fermi能级
2 N (0) 3 2m V U ( 0) 3 ( 0) N 5 2 U ( 0) 2 p ( 0) n ( 0) 3 V 5
2
2/3
0K时电子气体的压强为3.8×1010帕。这是一个极大 的数值．它是泡利不相容原理和电子气体具有高密 度的结果．常称为电子气体的简并压.
经过相空间任何一点轨迹只能有一条 系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或者 是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线。 当系统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不同 的轨道运动时，不同的轨道也互不相交。
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n 2/3 (2.612) m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 n 0 h e kT 1
4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。 Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
s s H H H H dH q p p q dt 1
qi
H pi
H H t t
H pi qi
若H不显含t，则H＝h（积分常数） 稳定约束的情况下：
H ( p, q, t ) L p q (T V )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
知识回顾： §8.2弱简并理想玻色和费米气体
热力学统计物理-统计热力学课件第九章
d
dt t i
[ q i q& i p i p & i]
2020/4/4
7
考虑相空间中一个固定的体积元:
d d q 1Ld qfd p 1Ld pf
体积元边界: qi,qidqi;pi,pidpi i1,2,L, f
t时刻代表点数： t+dt时刻代表点数： 增加代表点数：
d
( dt)d
t dtd t
间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。
2020/4/4
11
•表达式交换 t t 保持不变，说明刘维尔定理是可逆的。
•刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中并未引入任何统 计的概念。
2020/4/4
12
§9.2 微正则系综
统计物理学研究系统在给定宏观条件下的宏观性质. 这就 是说,所研究的系统是处在某种宏观条件之下的，如果研究的 是一个孤立系统，给定的宏观条件就是系统具有确定的粒子
s (t) 1
s
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16
B(t) s(t)Bs
s
上式给出了宏观量与微观量的关系,是在系综理论中求 宏观量的基本公式。而确定系综分布函数是系综理论的根本 问题。
二、平衡状态的孤立系统经典及量子分布
1.微正则分布
平衡孤立系统的能量具有确定值，能量在 EEE范围内。
B (t)B (q ,p )(q ,p ,t)d
热力学中类似的两个系统达到热平衡的条件：
US11
N1,V1
US22
N2,V2
比较可得：
1 kT
Skln
S U
N ,V
1 T
——熵与微观状态数的关系—玻耳兹曼关系。
•不仅适用于近独立粒子系统，也适用于粒子间存在相互
《热力学·统计物理学》教学大纲
《热力学·统计物理学》教学大纲课程性质：专业基础课课程编码：适用专业：物理学教育本科编制时间：2007年2月修改时间：2008年8月一、预备知识：普通物理课程《力学》、《热学》、《光学》、《电磁学》和《原子物理》，以及《高等数学》，还有《理论力学》的学习，《热学》是其前期课程。
二、教学目的：热力学与统计物理学课程是高等学校物理学科主干课程体系中四大力学之一，其主要内容都是后续课程中不可或缺的基础，是有承上启下的知识连接作用。
通过本课程的学习，通过本课程的学习，应使学生在《热学》的基础上，较深入地掌握热力学与统计物理学的基本概念，系统地理解研究热现象的宏观与微观理论，基本掌握运用有关理论处理具体问题的方法，在逻辑思维和演义推理方面得到进一步训练，提高分析问题和解决问题的能力。
结合一些物理学史的介绍，使学生了解如何由分析物理实验结果出发、建立物理模型，进而建立物理理论体系的过程，了解微观物理学对现代科学技术重大影响和各种应用，了解并适当涉及正在发展的学科前沿，扩大视野，引导学生勇于思考、乐于探索发现，培养其良好的科学素质。
三、教学要求：本课程是后续多门专业课程，特别是固体物理学与半导体物理学的基础。
课程的学习有别于中学课程的学习，要求学生掌握科学的学习方法，培养学生独立的思考能力。
该课程重物理概念和基本原理，轻数学计算（热力学方面要求熟练运用雅可比行列式，统计物理学方面会运用玻耳兹曼分布和配分函数）。
在热力学方面要求学生掌握热力学的系统描述参量及其性质；热力学中的基本实验规律与三大定律；状态函数的本质及其在其他学科的应用；了解相变的基本规律和描述方法。
在统计物理学方面要求学生能够用物理学微观的统计方法把物理系统的宏观性质与微观粒子的统计规律联系起来。
掌握统计物理的基本理论，学会用来解决一些基本的和与专业有关的一些热运动方面的问题。
掌握热力学的基本规律和统计物理的基本理论，重点为三种分布函数及其关系；学会由配分函数导出系统的热力学函数和其他的物理量。
第三章_Wigner分布
t,
（3.2.1）
Wx t,
令 ，则
x t 2
x t 2
j
e
d
Wx t, x t 2 x t
e j d Wx t , 2
（3.2.11）
Wx, y t , Wx, y t , 0
（3.2.12）
（3．2．10）式称为 WVD 的移不变性， （3．2．11）式称为频率调制不变性，而（3．2．12） 式则是二者的结合。 ４、时间尺度 令 则 ５、信号的相乘 令 则
x t xt ，此处 为大于零的常数，
把相位因子抵消，因此由 WVD 恢复出的 x t 将不会有此相位因子。
四、WVD 的运算性质 １、移位 令
x t xt , y t yt
73
则 ２、调制 令 则 ３、移位加调制 令 则
Wx, y t , Wx, y t
（3.2.3）
71
二、WVD 的能量分布性质 １、时间边缘（time marginal）性质 令（3．1．1）式两边对 积分，有
1 2
Wx t , d
1 2
x t 2 x t 2 e
j
d d
x t 2 x t 2 d
Wx , y t, x t 2 y＊ t 2 e j d
（3.1.1）
信号 x t 的自 Wigner 定义为
Wx t, x t 2 x＊ t 2 e j d
9. 二阶常微分方程级数解法
第九章二阶常微分方程级数解法•§9.1 特殊函数常微分方程•§9.2 常点邻域上的级数解法•§9.3 正则奇点邻域上的级数解法•§9.4 施图姆-刘维尔本征值问题•前面讨论的都是两个自变量的偏微分方程，涉及到的本征函数都是三角函数，除了圆形泊松问题外，大多是反射对称的问题；•从现在开始，我们要讨论三维的定解问题。
实际的边界问题可能具有其它对称性，比如球或柱对称边界，这时的本征函数采用三角函数就不方便了，我们将发现新的本征函数和本征值，并且用它们做级数展开来求解偏微分方程。
•本章主要讨论拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等在球坐标系、柱坐标系满足的常微分方程及其定解。
我们依然采用分离变量法。
§9.2 常点邻域上的级数解法•前面我们通过分离变量法得到了一些特殊的二阶常微分方程，本节讨论这些方程在特定的边界条件下的定解问题。
•这些二阶常微分方程大多不能用通常的方法，比如直接积分的方法求解；•通常采用幂级数解法，即在某一选定的点的邻域上将待求的解表示成系数待定的级数，得到系数之间的递推关系，然后利用边界条件确定所有系数的值。
•级数求解问题的关键在于收敛性。
•考虑一般的复变函数w(z)的线性二阶常微分方程：w’’+p(z)w’+q(z)w=0, w(z 0)=C 0, w’(z 0)=C 1. 其中z 为复变数，z 0为选定的点。
•（一）方程的常点和奇点：在z 0邻域，如果p(z)和q(z)是解析的，则z 0称作方程的常点；如果p(z)和q(z)是奇异的，则z 0称作方程的奇点。
•（二）常点邻域上的级数解：如果线性二阶常微分方程的系数p(z)和q(z)在点z 0的邻域|z-z 0|<R 是解析函数，则方程在这个圆中存在满足初值条件的唯一解析解。
•因此可以把解表示成此邻域上的泰勒级数形式：•后面的任务就是确定这些级数解的系数a k ，通常会得到它们之间的一些递推关系。
统计物理学 课件PPT-第九章 系综理论
得到 将此式代入 (9.1.5),便得到
如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在 相空间运动,其邻域的代表点密度不随时间改变. 称刘维定理. Liouville’s theorem 的另一表达
对(9.1.9)作变换 t 到 –t, 公式保持不变.刘维定理可 逆.
§9.2 微正则分布 9.2.1 经典理论
从哈密顿正则方程
在孤立系统中,哈密顿量不是时间的显函数, 总能 量:
能量曲面由(9.1.2) 确定. 能量曲面上的一个确定 点与系统的一个微观状态对应.
相空间和体积元可写为 t 时间内这个体积元内的点数由下式决定 有
若隔着在内相时,空刻系间统t 系轨演统道化在,到相一另空个一间确微密定观度的态随态时qiq+间i,dpq变i,i ,在化pi时.+一d间p般i间. 来沿 说,瞬时变化可表达为,
统计物理的假设之一就是等几率原理.
对于一个小的能量 ΔE 在经典描述下
人们设
等概率原理的量子描述
经典统计是量子统计的极限. 在 E 和 E+ ΔE 之间的微观态数
对于含多种粒子的系统, 推广为
§9.3 微正则分布的热力学表达式
9.3.1 微观态数与熵的关系
孤立系统 A(0)
A1 N1, E1, V1
(2) 系综平均值: 即:(9.2.3),量B在系综上的统计平 均值.
(3) ρ可以理解为一个系统在(q,p)处的概率,也是 系综在(q,p)处的微观态的数目,或态密度,表示 微观态的分布.
9.2.2 量子理论中
确定系综分布函数ρ是系综理论的根本问题
9.2.3 在孤立系统中
(1) 微正则系综: 一个孤立系统的相空间密度,因 而也是统计分布函数在与系统的能量相应的 等能面上是恒量.在面外是零.这样的系综为微 正则系综,分布叫微正则分布.
空间点模式分析
空间点模式分析目录一、内容综述 (2)二、空间点模式分析概述 (3)三、数据收集与处理 (4)1. 数据来源 (5)2. 数据预处理 (6)3. 数据格式转换 (7)四、空间点模式类型 (8)1. 均匀分布 (9)2. 集群分布 (9)3. 线性分布 (10)4. 其他分布类型 (11)五、空间点模式分析方法 (12)1. 描述性统计分析 (13)2. 空间自相关分析 (14)3. 热点分析 (15)4. 空间回归模型分析 (15)六、空间点模式分析的应用领域 (17)1. 城市规划 (18)2. 犯罪地理学分析 (19)3. 生态系统研究 (20)4. 交通流量分析 (21)七、案例分析 (22)1. 案例背景介绍 (23)2. 数据收集与处理过程 (24)3. 空间点模式类型识别 (25)4. 空间点模式分析方法应用 (27)5. 结果分析与讨论 (28)八、空间点模式分析的挑战与未来趋势 (29)1. 数据获取与处理难度 (30)2. 分析方法的适用性 (31)3. 跨学科合作与整合研究 (33)4. 未来技术与方法发展趋势 (34)九、结论 (35)一、内容综述随着科学技术的进步，空间点模式分析已成为研究空间数据的重要方法之一。
它通过识别数据中的空间关系和模式，为城市规划、环境监测、交通管理等领域提供了有力的支持。
本文将对空间点模式分析的基本概念、方法及其在各个领域的应用进行综述。
空间点模式分析的基本概念包括空间点、空间关系和空间模式等。
空间点是指在空间中具有坐标和属性的点，如建筑物、道路等。
空间关系是指空间点之间的相互位置和距离，如邻接关系、距离关系等。
空间模式则是指空间点之间的空间分布规律，如集群、廊道等。
空间点模式分析的方法主要包括基于统计的方法、基于图的方法和基于机器学习的方法。
基于统计的方法主要利用统计学原理对空间数据进行描述和建模，如空间自相关、空间分布拟合等。
基于图的方法则是将空间点之间的关系表示为图的形式，通过图论中的算法进行空间模式分析，如最大熵模型、随机游走等。
微正则分布的热力学公式热力学
V E 3 h
N
2m E3N / 2 N!3N / 2!
N 3N / 2
3N E E E 2 E
V 2m 3N 3 N / 21 E E 3 E E E h N!3N / 2! 2
H U pV G U pV TS
§9.3 微正则分布的热力学公式
三、应用：利用微正则分布处理单原子分子理想气体 以单原子经典理想气体为例：设气体含有N个单 原子分子
pi2 H i 1 2m
3N
1 E N! h 3 N
1 E H q , p E E
量子表达式
E H (q, p) E E (q, p) constant , H (q, p) E , H (q, p) E E (q, p) 0,
s
1
§9.3 微正则分布的热力学公式
§9.3 微正则分布的热力学公式 一、微观态数与热力学几率 1. 微观态数 考虑一个孤立系统A(0)： 它由微弱相互作用的两个 系统A(1) 和A(2)组成。 A(1)的微观状态数： A(2)的微观状态数： 系统总的微观状态数： Ω1(N1, E1, V1) Ω2(N2, E2, V2) Ω(0)= Ω1(E 1) Ω2 (E2)
S k ln ln m! m ln m m
V 3N 3N 3N 3/ 2 S Nk ln 3 2m E k N ln N N k ln 2 2 h 2
3N E k ln ln 2 E
热力学〃统计物理
回顾
Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理 §9.2微正则分布
拟合分布原理
拟合分布原理拟合分布原理是指在统计分析中，通过数学方法寻找一个概率分布函数，使其尽可能好地描述或概括一组观测数据的行为。
以下是一些关于拟合分布的基本原理和方法：1. 概率分布：在统计分析中，我们通常假设数据是由某个理论概率分布生成的。
这个分布可以是正态分布、指数分布、Weibull分布等，每个分布都有其特定的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）。
2. 参数估计：拟合分布的过程涉及到参数估计，即确定分布中的参数值，使得这个分布最好地匹配样本数据。
这可以通过最小化残差平方和（RSS）或其他拟合优度检验（GOF）的方法来实现。
3. 拟合算法：常用的拟合算法包括Levenberg-Marquardt（L-M）迭代算法和最小二乘法等。
这些算法通过迭代过程不断调整参数，以减小模型预测值与实际数据点之间的差异。
4. 拟合优度检验：在拟合分布后，需要通过统计检验来评估所选分布模型的适用性。
这可以通过计算拟合优度指标，如卡方检验、Kolmogorov-Smirnov检验等来完成。
5. 软件工具：现代统计分析中，有许多软件工具可以帮助进行分布拟合，例如Python的distfit 库能够自动对89个单变量分布进行概率密度拟合并返回最佳分布。
6. 实际应用：在实际问题中，如可靠性工程、生存分析等领域，Weibull分布等被广泛应用于拟合故障时间和生存时间数据，以预测产品的寿命特性和失效率。
7. 非参数方法：除了参数估计法，还有非参数方法如Parzen窗、K最近邻（KNN）等，这些方法不依赖于特定的分布形式，而是直接从数据中学习概率密度函数。
综上所述，拟合分布的原理涉及到选择适当的理论分布模型，并通过参数估计和拟合优度检验来确定最适合描述数据的分布。
这一过程可以借助各种算法和软件工具来实现，并在不同的领域和应用中发挥作用。
热力学与统计物理 (A)
第七章: 玻色统计和费米统计（7学时）
7.1热力学量的统计表达式
7.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
7.3 玻色爱因斯坦凝聚
7.4 金属中的自由电子
7.5 平衡辐射
第八章: 系综理论（8学时）
8.1 经典统计系综的概念
8.2 微正则系综
8.3 正则系综
8.4 正则系综的应用（I）：实际气体的状态方程
10.4 流体力学
课堂讲授
作业 20% 笔试 80% （期中 35% 期末 45%）
教学评估
张建玮：
2.3 基本热力学函数确定
2.4 特性函数
2.5 平衡辐射的热力学理论
2.6 磁介质的热力学理论
2.7 获得低温的方法
第三章: 相变的热力学理论 （8学时）
3.1开系的热力学函数和热力学方程
3.2 热动平衡判据
3.3 单元系的复相平衡
3.4 曲面分界面的平衡条件和液滴的形成
3.5 相图 克拉柏龙方程 相变分类
3.6 汽液相变 临界点
3.7 朗道相变理论
第四章: 多元系的复相平衡 （8学时）
4.1 多元系的热力学函数和热力学方程
4.2 多元系的复相平衡与吉布斯相率
4.3 混合理想气体
4.4 化学反应及化学平衡
4.5混合理想气体的化学平衡
4.6 理想溶液
4.7 热力学第三定律
第五章: 近独立粒子的最概然分布（5 学时）
5.1 粒子运动状态的经典描述
5.2 粒子运动状态的量子描述
5.3 等几率原理
5.4 分布与系统的微观状态
5.5 玻尔兹曼分布
5.6 玻色分布 费米分布
第六章: 玻尔兹曼统计 （6学时）
师大物理本科
师大物理本科陕西师大远程教育学院物理本科函授生《热力学与统计物理学》作业题第一章热力学的基本规律 1.1已知状态方程f (p,v ,T )=0证明(1)VV p T T p=1(2) pΤVT V V p Τp ?-=??? ???? (3) 1-=???? ??????? ??????? ????Tp V p V V T T p1.2 试求理想气体的定压膨胀系数α、定容压强系数β和等温压系数κT 。
1.3 假设在压强不太高时，1摩尔真实气体的物态方程表示为pv =RT (1+Bp )。
其中，B 为温度的函数。
求α和κT ，并给出在p →0时的极限值。
1.4已知某气体的定压膨胀系数和等温压缩系数分别为pV nR =α ； V ap T +=1κ, 其中n 、R 和α均为常数。
求此气体的物态方程。
1.4证明任何一种具有两个独立变量T , p 的物质,其物态方程可由实验测得的α和κT 根据下列积分求得；()?=p T V T d -d ln κα.如果α= 1/T ，κT =1/p ，试求物态方程。
1.5 1摩尔范氏气体在准静态等温过程中体积由V 1膨胀至V 2。
求气体所作的功。
1.6 温度为0℃的1kg 水与温度为100℃的恒温热源接触后，水温达到100℃，试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。
已知水的比热为4.18J ﹒ g -1﹒K -1。
1.7 有两个体积相同的容器，分别装有一摩尔的同种理想气体，令其进行热接触。
若气体的初温分别为300K 和400K ，在接触时保持各自的体积不变，且已知摩尔热容量为R ，求：⑴ 最后的共同温度；⑵ 熵的变化；⑶ 若初温为T 1及T 2，证明当T 1≠T 2时，熵总是增加的。
1.8 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由Τ1升至Τ2。
假设γ是常数，试证明前者的熵增是后者的γ倍。
1.9 一物体，其初温高于某热源的温度(T 2)，有一热机在此物体与热源之间工作，直到物体的温度降低到T 2为止。
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§9.2 微正则分布
经典理论中，取相空间中体积元 d dq1dq2 dqf dp1dp2 dpf 将 (q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f ) 简记为： (q, p)
t 时刻系统微观状态处在dΩ内的概率为 (q, p, t )d ……分布函数 已经归一化！
§9.2 微正则分布
3 、微正则分布 假设E 到E+ΔE 内一切轨道的常数概率密度都相 等，则在E 到E+ΔE 能量范围的所有可能的微观状态 上概率密度就都相等，是不随时间改变的常数。这就 是等概率原理，也称为微正则分布 。
等概率原理是平衡态统计物理的基本假设
(q, p) constant , 经典表达式
H H i i q p i 1,2,, f （9.1.1） pi qi 这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布．
2、刘维尔定理
d 0 dt
ρdΩ表示时刻t，运动状 态在dΩ内的代表点数
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道 在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时 间改变的常数。
3、统计系综
上式中，追踪一个系统从时间上求平均十分困难。 Gibbs 提出：“原来我们讨论的只是一个系统随时间 的演化过程，现在我们改为同时讨论大量的结构 相同的N 个系统，这N 个系统虽然相似，但却处 在各个不同的微观状态之中，我们把这N 个系统 的集合叫作统计系综” 。
1）定义： 统计系综是指与原来的系统处在完全相同宏 观条件下的，想象的大量结构完全相同的系统的集 合．这些系统具有完全相同的哈密顿，但处在各自不 同的微观状态之中。
新课：§9.2 微正则分布
§9.2 微正则分布 统计物理学: 研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。 例如: 一孤立系统，给定的宏观条件: 具有确定的N、V 和E 。 一、统计系综
1、关于孤立系统能量的讨论：
1）孤立系统的能量: 不具有确定的数值E而是在E到E+ΔE之间． ΔE/E<<1 2）宏观系统，表面分子数远小于总分子数，系统 与外界的相互作用很弱。
量子表达式
E H (q, p) E E (q, p) constant , H (q, p) E , H (q, p) E E (q, p) 0,
s
1
§9.2 微正则分布
3）这微弱的相互作用ΔE 对系统微观状态的变化却产 生巨大的影响： 系统从某一初态出发沿正则方程确定的轨道运动， 经过一定的时间后，外界的作用使系统跃迁到E到E＋ ΔE内的另一状态而沿正则方程确定的另一轨道运动。 这样的过程不断发生，使系统的微观状态发生极其复杂 的变化。
2、宏观量与微观量的关系
Gibbs' scientific career can be divided into four phases. Up until 1879, he worked on the theory of thermodynamics. From 1880 to 1884,he worked on the field of vector analysis. From 1882 to 1889, he workedon Optics and the theory of light. After 1889, he worked on textbooks on statistical mechanics.
§9.2 微正则分布
吉布斯(Josiah Willard Gibbs， 1839-1903)，美国物 理学家。1858年毕业于耶鲁大 学，接着攻读该大学的研 究生课程。1863年取得美国首 批博士学位，留校讲授拉 丁文和自然哲学。
1866年至1869年去欧洲进修，回国后一直在耶鲁 (Yale) 大学任教。1871年被任命为数理教授。
热力学〃统计物理
回顾
Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理
新课
§9.2微正则分布
知识回顾： §9.1相空间 刘维尔定理
一、相空间
1、相空间（Γ 空间） 若系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度 为ri ，粒子数为Ni ，则系统的自由度为：
f Ni ri
i
以 q1 , q2 ,q f ; p1, p2 , p f 共2f个变量为坐标构成一个2f 维空间, 称为相空间(Γ空间) 系统在某一时刻的运动状态： q1 , q2 ,q f ; p1, p2 , p f 可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。 2、系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程
1 N!h Nr
E H q , p E E
d
2、对于多种粒子的系统 i 种粒子: 自由度为ri ; 粒子数Ni
1 N i ri N i !h
i
E H q , p E E
d
§9.2 微正则分布
3、系综理论的宏观量计算与以前方法的区别 以前方法： 最概然分布下的统计结果 系综理论： 所有可能的微观状态上的平均值 说明：二者差别很小! 当相对涨落很小时，即 概率分布必然是具有非 常陡的极大值的分布函 数，微观量的最概然值 和统计平均值相等。
微观量B在统计系综上的平均值---系综平均值。
相应地，对于量子系统，有：
(t s (t )Bs
s
§9.2 微正则分布
4）系综平均值B (t )
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
B (t ) s (t )Bs
(q, p) 0, E H (q, p) E E H (q, p) E, H (q, p) E E
量子表达式
s
1
§9.2 微正则分布
三、微正则分布的微观态数 1、把经典统计理解为量子统计的经典极限, 那么 对于N 个自由度为r 的全同粒子组成的系统， 在能量范围E~E+ΔE 范围内的系统的微观态数
B B
2
2
B
2
1
§9.1 &§9.2 小结
§9.1相空间 刘维尔定理§9.2微正则分布小结
Chap.9 系综理论
研究互作用粒子组成的系统． 统计系综: 是指与原来的系统处在完全相同宏观条件下的， 想象的大量结构完全相同的系统的集合．这些系统具 完全相同的哈密顿，但处在各自不同的微观状态之。
表示(一个系统)微观状态 (q, p, t )d 1 处在相空间各区域的概率 总和为1 。
根据统计物理的观点，与微观量B(q, p)相应的宏观物理量
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
§9.2 微正则分布
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
§9.1 &§9.2 小结
刘维尔定理 (Liouville’s theorem)
1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.
H H i i q p i 1,2,, f （9.1.1） pi qi 这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布．
H i q pi
H i p qi
i 1,2,, f （9.1.1）
当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在 相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)确定．
知识回顾： §9.1相空间 刘维尔定理
二、刘维尔定理 (Liouville’s theorem)
1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.
§9.2 微正则分布
2）统计系综所包含的大量的系统中，在时刻t 运动状态 处在dΩ范围内的系统数将与 (q, p, t ) 成正比。
如果在时刻t ，从统计系综中任意选取一个系统，这个 系统的状态处在d Ω 范围的概率为 (q, p, t )d
3）
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d 的系综理解：
s
根本问题是确定系综分布函数 ρ
§9.2 微正则分布
二、统计系综研究孤立系统的讨论 1、研究对象: 孤立系统(N,V,E)为参量的系统。
2、系综的分布函数 ρ 1）平衡状态下系统的宏观量不随时间改变
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
B (t ) s (t )Bs
s
d 0 ρ 必不显含时间 dt
§9.2 微正则分布
2)刘维尔定理
系统从初态出发沿正则方程确 d 0 定的轨道运动，概率密度是不 dt 随时间改变的常数．
3)受外界作用发生跃迁后,系统沿E 到E+ΔE内的另一 轨道运动，概率密度仍然是不随时间改变的常数．
4)不同轨道的常数概率密度 是否相同? -----刘维尔定理不能回答!
§9.2 微正则分布
1902年吉布斯发表了巨著《统计力学的基 本原理》，创立了统计系综的方法，建立 起经典平衡态统计力学的系统理论，对统 计力学给出了适用任何宏观物体的最彻底、 最完整的形式。吉布斯在光学和电磁理论 的研究上也有建树，并为此建立了矢量分 析的方法。 吉布斯被美国科学院以及欧洲14个科学机构选为院 士或通讯院士，并接受过一些名誉学衔和奖赏。1880年 他荣获美国最高科学奖--冉福特奖(Rumford Prize)。
2、刘维尔定理
d 0 dt
ρdΩ表示时刻t，运动状 态在dΩ内的代表点数
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道 在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时 间改变的常数。
§9.1 &§9.2 小结
微正则分布
基本假设！