9.2微正则分布
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s
d 0 ρ 必不显含时间 dt
§9.2 微正则分布
2)刘维尔定理
系统从初态出发沿正则方程确 d 0 定的轨道运动，概率密度是不 dt 随时间改变的常数．
3)受外界作用发生跃迁后,系统沿E 到E+ΔE内的另一 轨道运动，概率密度仍然是不随时间改变的常数．
4)不同轨道的常数概率密度 是否相同? -----刘维尔定理不能回答!
量子表达式
E H (q, p) E E (q, p) constant , H (q, p) E , H (q, p) E E (q, p) 0,
s
1
§9.2 微正则分布
3 、微正则分布 假设E 到E+ΔE 内一切轨道的常数概率密度都相 等，则在E 到E+ΔE 能量范围的所有可能的微观状态 上概率密度就都相等，是不随时间改变的常数。这就 是等概率原理，也称为微正则分布 。
等概率原理是平衡态统计物理的基本假设
(q, p) constant , 经典表达式
新课：§9.2 微正则分布
§9.2 微正则分布 统计物理学: 研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。 例如: 一孤立系统，给定的宏观条件: 具有确定的N、V 和E 。 一、统计系综
1、关于孤立系统能量的讨论：
1）孤立系统的能量: 不具有确定的数值E而是在E到E+ΔE之间． ΔE/E<<1 2）宏观系统，表面分子数远小于总分子数，系统 与外界的相互作用很弱。
§9.2 微正则分布
3）这微弱的相互作用ΔE 对系统微观状态的变化却产 生巨大的影响： 系统从某一初态出发沿正则方程确定的轨道运动， 经过一定的时间后，外界的作用使系统跃迁到E到E＋ ΔE内的另一状态而沿正则方程确定的另一轨道运动。 这样的过程不断发生，使系统的微观状态发生极其复杂 的变化。
2、宏观量与微观量的关系
§9.2 微正则分布
1902年吉布斯发表了巨著《统计力学的基 本原理》，创立了统计系综的方法，建立 起经典平衡态统计力学的系统理论，对统 计力学给出了适用任何宏观物体的最彻底、 最完整的形式。吉布斯在光学和电磁理论 的研究上也有建树，并为此建立了矢量分 析的方法。 吉布斯被美国科学院以及欧洲14个科学机构选为院 士或通讯院士，并接受过一些名誉学衔和奖赏。1880年 他荣获美国最高科学奖--冉福特奖(Rumford Prize)。
s
根本问题是确定系综分布函数 ρ
§9.2 微正则分布
二、统计系综研究孤立系统的讨论 1、研究对象: 孤立系统(N,V,E)为参量的系统。
2、系综的分布函数 ρ 1）平衡状态下系统的宏观量不随时间改变
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
B (t ) s (t )Bs
§9.2 微正则分布
吉布斯(Josiah Willard Gibbs， 1839-1903)，美国物 理学家。1858年毕业于耶鲁大 学，接着攻读该大学的研 究生课程。1863年取得美国首 批博士学位，留校讲授拉 丁文和自然哲学。
1866年至1869年去欧洲进修，回国后一直在耶鲁 (Yale) 大学任教。1871年被任命为数理教授。
表示(一个系统)微观状态 (q, p, t )d 1 处在相空间各区域的概率 总和为1 。
根据统计物理的观点，与微观量B(q, p)相应的宏观物理量
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
§9.2 微正则分布
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
热力学〃统计物理
回顾
Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理
新课
§9.2微正则分布
知识回顾： §9.1相空间 刘维尔定理
一、相空间
1、相空间（Γ 空间） 若系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度 为ri ，粒子数为Ni ，则系统的自由度为：
f Ni ri
i
以 q1 , q2 ,q f ; p1, p2 , p f 共2f个变量为坐标构成一个2f 维空间, 称为相空间(Γ空间) 系统在某一时刻的运动状态： q1 , q2 ,q f ; p1, p2 , p f 可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。 2、系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程
§9.1 &§9.2 小结
刘维尔定理 (Liouville’s theorem)
1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.
H H i i q p i 1,2,, f （9.1.1） pi qi 这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布．
2、刘维尔定理
d 0 dt
ρdΩ表示时刻t，运动状 态在dΩ内的代表点数
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道 在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时 间改变的常数。
§9.1 &§9.2 小结
微正则分布
基本假设！
处于平衡态的孤立系统，假设E 到E+ΔE 内一切 轨道的常数概率密度都相等，则在E 到E+ΔE 能量范 围的所有可能的微观状态上概率密度就都相等，是不 随时间改变的常数。这就是等概率原理，也称为微正 则分布 。 等概率原理是平衡态统计物理的基本假设 经典表达式
(q, p) 0, E H (q, p) E E H (q, p) E, H (q, p) E E
量子表达式
s
1
§9.2 微正则分布
三、微正则分布的微观态数 1、把经典统计理解为量子统计的经典极限, 那么 对于N 个自由度为r 的全同粒子组成的系统， 在能量范围E~E+ΔE 范围内的系统的微观态数
B B
2
2
B
2
1
§9.1 &§9.2 小结
§9.1相空间 刘维尔定理§9.2微正则分布小结
Chap.9 系综理论
研究互作用粒子组成的系统． 统计系综: 是指与原来的系统处在完全相同宏观条件下的， 想象的大量结构完全相同的系统的集合．这些系统具 完全相同的哈密顿，但处在各自不同的微观状态之。
微观量B在统计系综上的平均值---系综平均值。
相应地，对于量子系统，有：
(t ) 1
s s
B (t ) s (t )Bs
s
§9.2 微正则分布
4）系综平均值B (t )
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
B (t ) s (t )Bs
3、统计系综
上式中，追踪一个系统从时间上求平均十分困难。 Gibbs 提出：“原来我们讨论的只是一个系统随时间 的演化过程，现在我们改为同时讨论大量的结构 相同的N 个系统，这N 个系统虽然相似，但却处 在各个不同的微观状态之中，我们把这N 个系统 的集合叫作统计系综” 。
1）定义： 统计系综是指与原来的系统处在完全相同宏 观条件下的，想象的大量结构完全相同的系统的集 合．这些系统具有完全相同的哈密顿，但处在各自不 同的微观状态之中。
H H i i q p i 1,2,, f （9.1.1） pi qi 这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布．
2、刘维尔定理
d 0 dt
ρdΩ表示时刻t，运动状 态在dΩ内的代表点数
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道 在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时 间改变的常数。
wenku.baidu.com
§9.2 微正则分布
2）统计系综所包含的大量的系统中，在时刻t 运动状态 处在dΩ范围内的系统数将与 (q, p, t ) 成正比。
如果在时刻t ，从统计系综中任意选取一个系统，这个 系统的状态处在d Ω 范围的概率为 (q, p, t )d
3）
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d 的系综理解：
1 N!h Nr
E H q , p E E
d
2、对于多种粒子的系统 i 种粒子: 自由度为ri ; 粒子数Ni
1 N i ri N i !h
i
E H q , p E E
d
§9.2 微正则分布
3、系综理论的宏观量计算与以前方法的区别 以前方法： 最概然分布下的统计结果 系综理论： 所有可能的微观状态上的平均值 说明：二者差别很小! 当相对涨落很小时，即 概率分布必然是具有非 常陡的极大值的分布函 数，微观量的最概然值 和统计平均值相等。
H i q pi
H i p qi
i 1,2,, f （9.1.1）
当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在 相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)确定．
知识回顾： §9.1相空间 刘维尔定理
二、刘维尔定理 (Liouville’s theorem)
1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.
在给定的宏观条件下，宏观量是相应微观量在一切 可能的满足给定宏观条件的微观状态上的平均值。
§9.2 微正则分布
经典理论中，取相空间中体积元 d dq1dq2 dqf dp1dp2 dpf 将 (q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f ) 简记为： (q, p)
t 时刻系统微观状态处在dΩ内的概率为 (q, p, t )d ……分布函数 已经归一化！
Gibbs' scientific career can be divided into four phases. Up until 1879, he worked on the theory of thermodynamics. From 1880 to 1884,he worked on the field of vector analysis. From 1882 to 1889, he workedon Optics and the theory of light. After 1889, he worked on textbooks on statistical mechanics.
d 0 ρ 必不显含时间 dt
§9.2 微正则分布
2)刘维尔定理
系统从初态出发沿正则方程确 d 0 定的轨道运动，概率密度是不 dt 随时间改变的常数．
3)受外界作用发生跃迁后,系统沿E 到E+ΔE内的另一 轨道运动，概率密度仍然是不随时间改变的常数．
4)不同轨道的常数概率密度 是否相同? -----刘维尔定理不能回答!
量子表达式
E H (q, p) E E (q, p) constant , H (q, p) E , H (q, p) E E (q, p) 0,
s
1
§9.2 微正则分布
3 、微正则分布 假设E 到E+ΔE 内一切轨道的常数概率密度都相 等，则在E 到E+ΔE 能量范围的所有可能的微观状态 上概率密度就都相等，是不随时间改变的常数。这就 是等概率原理，也称为微正则分布 。
等概率原理是平衡态统计物理的基本假设
(q, p) constant , 经典表达式
新课：§9.2 微正则分布
§9.2 微正则分布 统计物理学: 研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。 例如: 一孤立系统，给定的宏观条件: 具有确定的N、V 和E 。 一、统计系综
1、关于孤立系统能量的讨论：
1）孤立系统的能量: 不具有确定的数值E而是在E到E+ΔE之间． ΔE/E<<1 2）宏观系统，表面分子数远小于总分子数，系统 与外界的相互作用很弱。
§9.2 微正则分布
3）这微弱的相互作用ΔE 对系统微观状态的变化却产 生巨大的影响： 系统从某一初态出发沿正则方程确定的轨道运动， 经过一定的时间后，外界的作用使系统跃迁到E到E＋ ΔE内的另一状态而沿正则方程确定的另一轨道运动。 这样的过程不断发生，使系统的微观状态发生极其复杂 的变化。
2、宏观量与微观量的关系
§9.2 微正则分布
1902年吉布斯发表了巨著《统计力学的基 本原理》，创立了统计系综的方法，建立 起经典平衡态统计力学的系统理论，对统 计力学给出了适用任何宏观物体的最彻底、 最完整的形式。吉布斯在光学和电磁理论 的研究上也有建树，并为此建立了矢量分 析的方法。 吉布斯被美国科学院以及欧洲14个科学机构选为院 士或通讯院士，并接受过一些名誉学衔和奖赏。1880年 他荣获美国最高科学奖--冉福特奖(Rumford Prize)。
s
根本问题是确定系综分布函数 ρ
§9.2 微正则分布
二、统计系综研究孤立系统的讨论 1、研究对象: 孤立系统(N,V,E)为参量的系统。
2、系综的分布函数 ρ 1）平衡状态下系统的宏观量不随时间改变
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
B (t ) s (t )Bs
§9.2 微正则分布
吉布斯(Josiah Willard Gibbs， 1839-1903)，美国物 理学家。1858年毕业于耶鲁大 学，接着攻读该大学的研 究生课程。1863年取得美国首 批博士学位，留校讲授拉 丁文和自然哲学。
1866年至1869年去欧洲进修，回国后一直在耶鲁 (Yale) 大学任教。1871年被任命为数理教授。
表示(一个系统)微观状态 (q, p, t )d 1 处在相空间各区域的概率 总和为1 。
根据统计物理的观点，与微观量B(q, p)相应的宏观物理量
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
§9.2 微正则分布
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
热力学〃统计物理
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Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理
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§9.2微正则分布
知识回顾： §9.1相空间 刘维尔定理
一、相空间
1、相空间（Γ 空间） 若系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度 为ri ，粒子数为Ni ，则系统的自由度为：
f Ni ri
i
以 q1 , q2 ,q f ; p1, p2 , p f 共2f个变量为坐标构成一个2f 维空间, 称为相空间(Γ空间) 系统在某一时刻的运动状态： q1 , q2 ,q f ; p1, p2 , p f 可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。 2、系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程
§9.1 &§9.2 小结
刘维尔定理 (Liouville’s theorem)
1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.
H H i i q p i 1,2,, f （9.1.1） pi qi 这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布．
2、刘维尔定理
d 0 dt
ρdΩ表示时刻t，运动状 态在dΩ内的代表点数
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道 在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时 间改变的常数。
§9.1 &§9.2 小结
微正则分布
基本假设！
处于平衡态的孤立系统，假设E 到E+ΔE 内一切 轨道的常数概率密度都相等，则在E 到E+ΔE 能量范 围的所有可能的微观状态上概率密度就都相等，是不 随时间改变的常数。这就是等概率原理，也称为微正 则分布 。 等概率原理是平衡态统计物理的基本假设 经典表达式
(q, p) 0, E H (q, p) E E H (q, p) E, H (q, p) E E
量子表达式
s
1
§9.2 微正则分布
三、微正则分布的微观态数 1、把经典统计理解为量子统计的经典极限, 那么 对于N 个自由度为r 的全同粒子组成的系统， 在能量范围E~E+ΔE 范围内的系统的微观态数
B B
2
2
B
2
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§9.1 &§9.2 小结
§9.1相空间 刘维尔定理§9.2微正则分布小结
Chap.9 系综理论
研究互作用粒子组成的系统． 统计系综: 是指与原来的系统处在完全相同宏观条件下的， 想象的大量结构完全相同的系统的集合．这些系统具 完全相同的哈密顿，但处在各自不同的微观状态之。
微观量B在统计系综上的平均值---系综平均值。
相应地，对于量子系统，有：
(t ) 1
s s
B (t ) s (t )Bs
s
§9.2 微正则分布
4）系综平均值B (t )
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d
B (t ) s (t )Bs
3、统计系综
上式中，追踪一个系统从时间上求平均十分困难。 Gibbs 提出：“原来我们讨论的只是一个系统随时间 的演化过程，现在我们改为同时讨论大量的结构 相同的N 个系统，这N 个系统虽然相似，但却处 在各个不同的微观状态之中，我们把这N 个系统 的集合叫作统计系综” 。
1）定义： 统计系综是指与原来的系统处在完全相同宏 观条件下的，想象的大量结构完全相同的系统的集 合．这些系统具有完全相同的哈密顿，但处在各自不 同的微观状态之中。
H H i i q p i 1,2,, f （9.1.1） pi qi 这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形 成一个分布．
2、刘维尔定理
d 0 dt
ρdΩ表示时刻t，运动状 态在dΩ内的代表点数
如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道 在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时 间改变的常数。
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§9.2 微正则分布
2）统计系综所包含的大量的系统中，在时刻t 运动状态 处在dΩ范围内的系统数将与 (q, p, t ) 成正比。
如果在时刻t ，从统计系综中任意选取一个系统，这个 系统的状态处在d Ω 范围的概率为 (q, p, t )d
3）
B (t ) B (q, p ) (q, p, t )d 的系综理解：
1 N!h Nr
E H q , p E E
d
2、对于多种粒子的系统 i 种粒子: 自由度为ri ; 粒子数Ni
1 N i ri N i !h
i
E H q , p E E
d
§9.2 微正则分布
3、系综理论的宏观量计算与以前方法的区别 以前方法： 最概然分布下的统计结果 系综理论： 所有可能的微观状态上的平均值 说明：二者差别很小! 当相对涨落很小时，即 概率分布必然是具有非 常陡的极大值的分布函 数，微观量的最概然值 和统计平均值相等。
H i q pi
H i p qi
i 1,2,, f （9.1.1）
当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在 相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)确定．
知识回顾： §9.1相空间 刘维尔定理
二、刘维尔定理 (Liouville’s theorem)
1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程(9.1.1)所规定的轨道运动.
在给定的宏观条件下，宏观量是相应微观量在一切 可能的满足给定宏观条件的微观状态上的平均值。
§9.2 微正则分布
经典理论中，取相空间中体积元 d dq1dq2 dqf dp1dp2 dpf 将 (q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f ) 简记为： (q, p)
t 时刻系统微观状态处在dΩ内的概率为 (q, p, t )d ……分布函数 已经归一化！
Gibbs' scientific career can be divided into four phases. Up until 1879, he worked on the theory of thermodynamics. From 1880 to 1884,he worked on the field of vector analysis. From 1882 to 1889, he workedon Optics and the theory of light. After 1889, he worked on textbooks on statistical mechanics.