2017-2018学年北京市西城外国语学校九年级第一学期期中数学试卷(图片版含答案)
2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级(上)期中数学试卷-含详细解析
2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线2.下列图形是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A.B.C.D.4.将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x-2）2+3，下列平移正确的是（）A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5.已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A.B.C. ，D. ，7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，AB⊥OB，∠AOB=30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A. B. C. D.9.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B=60°，AC=3，则CD的长为（）A. 6B.C.D. 310.如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于______ 度．12.点A（3，y1），B（-2，y2）在抛物线y=x2-5x上，则y1______ y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为______ ．14.⊙O中，AB为⊙O的弦，∠AOB=140°，则弦AB所对的圆周角为______ 度．15.如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是______ cm2．16.阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是______；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是______．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.解方程：x2－4x＋1＝018.如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数．四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）19.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（-3，4），B（-5，1），C（-1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．20.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y＞0？21.《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．22.已知二次函数y=x2-2x-3．（1）将y=x2-2x-3化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______；3（）不等式＞的解集是．23.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．24.如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．25.如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？26.如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若OA=AE=4，求AC的长．27.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．28.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-2x2+（m+9）x-6的对称轴是x=2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y=-2x2+（m+9）x-6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y=2x-2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b的取值范围______ ．29.阅读资料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2-x1|2+|y2-y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x-0|2+|y-0|2，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为______．综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．证明AB是⊙P的切线；是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是x=1．故选：C．利用顶点式直接求得对称轴即可．此题考查二次函数的性质，抛物线y=a（x-h）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x=h．2.【答案】A【解析】解：A、该图形是中心对称图形，正确，B、该图形不是中心对称图形，错误；C、该图形不是中心对称图形，错误；D、该图形是轴对称图形，错误；故选：A．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，∴∠AOB=2∠C=70°．故选：D．由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】D【解析】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-2）2+3的顶点坐标为（2，3），而点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到点（2，3），所以抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y=2（x-2）2+3．故选D．先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5.【答案】A【解析】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，∵3＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选：A．根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，依据抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键．根据抛物线的对称性判断出抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（-3，0）．∴ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x1=1，x2=-3．故选C．7.【答案】C【解析】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，-1），∴旋转中心的坐标为（1，-1）．故选：C．先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．8.【答案】B【解析】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，∠AOB=30°，∴cos∠AOB=，∴OA===2，如图，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，可得A1（-2，0），故选：B．根据三角函数可得OA，结合∠AOB=30°可知△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化，解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x 轴上是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=60°，AC=3，∴BC==，∵AB⊥CD，∴CE=BC•sin60°=×=，∴CD=2CE=3．故选：D．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠B=60°，AC=3，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD=90°是关键．10.【答案】C【解析】解：由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置．①对，②没有回到原来的位置，应排除．④回到原来的位置后又继续运动了，应排除．如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置．③对．故选C．本题需注意正确理解题意，根据点P运动的方向分析即可．本题考查了动点问题的函数图象，由于没有说点是怎么运动的，所以分情况进行分析，判断．11.【答案】125【解析】解：∵旋转角为80°，∴∠BOD=80°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+80°=125°，故答案为：125．由旋转角可求得∠BOD，再利用角的和差可求得∠AOD．本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键．12.【答案】＜【解析】解：当x=3时，y1=x2-5x=-6；当x=-2时，y2=x2-5x=14；∵14＞-6，∴y1＜y2．故答案为：＜．分别计算自变量为3、-2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13.【答案】【解析】【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．由⊙C与∠AOB的两边分别相切，利用切线长定理，可得∠AOC=45°，继而可得△OCP是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】解：连接CP，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB，CP⊥OA，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=45°，∴OC=OP=4×=．故答案为．14.【答案】70或110【解析】解：根据圆周角定理，得弦AB所对的圆周角=140°÷2=70°或180°-70°=110°．故答案为70或110．此题要分情况考虑：弦对了两条弧，则两条弧所对的圆周角有两类．再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行计算．此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弦所对的圆周角有两种情况．15.【答案】6【解析】解：AB与C′B′相交于点D，如图，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∴AC=BC=6cm，∠CAB=45°，∵△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，∴∠CAB=45°，CA=C′A=15°，∴∠C′AD=30°，在Rt△AC′D中，C′D=AC′=×6=2，∴阴影部分的面积=×6×2=6．故答案为．AB与C′B′相交于点D，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=6cm，∠CAB=45°，再根据旋转的性质得∠CAB=45°，CA=C′A=15°，则∠C′AD=30°，再利用含30度的直角三角形的三边的关系计算出C′D，然后根据三角形面积公式计算阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．16.【答案】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论．本题考查的是作图-复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键．17.【答案】解：移项得：x2-4x=-1，配方得：x2-4x+4=-1+4，即（x-2）2=3，开方得：x-2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2-．【解析】移项后配方得到x2-4x+4=-1+4，推出（x-2）2=3，开方得出方程x-2=±，求出方程的解即可．本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x-2）2=3，题目比较好，难度适中．18.【答案】解：（1）连结PQ，如图，∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=60°，BA=BC，∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB=4；（2）∵QC=5，PC=3，PQ=4，而32+42=52，∴PC2+PQ2=CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．【解析】（1）连结PQ，如图，根据等边三角形得性质得∠ABC=60°，BA=BC，再利用旋转的性质得BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，BP=BQ=4，∠PBQ=60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ=PB=4；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，再加上∠BPQ=60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．19.【答案】解：（1）△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（5，-1）；（2）△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（-1，-5）．【解析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20.【答案】解：（1）∵图象过（-3，0），（1，0），∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），∵图象过（0，3），∴3=a（0+3）（0-1），a=-1，∴y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3，（2）由图象可知，当-3＜x＜1时，y＞0．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），图象过点（0，3），求出a的值，即可求出二次函数的解析式；（2）直接根据图象写出x的取值范围．本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确设出抛物线的解析式，此题难度不大．21.【答案】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD=10寸，∴CE=DE=CD=5寸，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（x-1）2+52=x2，解得：x=13，∴AB=26寸，即直径AB的长为26寸．【解析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．22.【答案】（0，-3）（3，0）（-1，0）x＜-1或x＞3【解析】解：（1）y=x2-2x-3=x2-2x+1-3-1=（x-1）2-4，即y=（x-1）2-4；（2）令x=0，则y=-3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，-3），又y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（-1，0）．故答案是：（0，-3）；（3，0）（-1，0）；图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x2-2x-3＞0的解集是x＜-1或x＞3．故答案是：x＜-1或x＞3．（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x=0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y=x2-2x-3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．23.【答案】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【解析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．24.【答案】解：如图，点O为所作．【解析】作出一条弦的垂直平分线，作出另一条弦的垂直平分线，则它们的交点即为这个圆形工具的圆心．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25.【答案】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2-4）米．【解析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．26.【答案】（1）证明：∵OD过圆心，F为AC中点，∴OD⊥AC，∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED，∴AC∥DE，（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，∴OD=OE，∵在Rt△ODE中，OD=OE，∴∠E=30°，∵AC∥DE，∴∠CAB=∠E=30°，∴在Rt△OAF中，OF=AO=2，AF=OF=2，∵F为AC中点，∴AC=2AF=4．【解析】（1）由点F为弦AC的中点，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，继而证得结论；（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函数的知识即可求得OF，AF的长，继而求得答案．此题考查了切线的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意根据题意求得∠E=30°是关键．27.【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x-3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x-3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12-4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2-2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1．∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b-4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x-1）2+1=（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞-2．∴ ．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2-10x+5．∴y2=5x2-10x+5=5（x-1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0-1）2=5，当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3-1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．【解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．28.【答案】0＜b≤【解析】解：（1）∵抛物线y=-2x2+（m+9）x-6的对称轴是x=2，∴．∴m=-1．∴抛物线的表达式为y=-2x2+8x-6．∴y=-2（x-2）2+2．∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y=-2（x-3）2+2，∵-2（x-2）2=-2（x-3）2，∴．∴A（，）．（3）点A坐标为（，），则点B的坐标为（，），设直线y=2x-2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，则y=2x-2-b，故=7-2-b，解得b=，平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；（3）根据图象即可写出b的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质以及函数图象的几何变换，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的求法以及数形结合解题思想．29.【答案】（x-a）2+（y-b）2=r2【解析】解：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，∵P（a，b），半径为r，∴AP2=（x-a）2+（y-b）2=r2．故答案为：（x-a）2+（y-b）2=r2；综合应用：①∵PO=PA，PD⊥OA，∴∠OPD=∠APD．在△POB和△PAB中，，∴△POB≌△PAB．∴∠PAB=∠POB=90°．∴PA⊥AB．∵PA是半径，PA⊥AB于A，∴AB是⊙P的切线．②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．当点Q在线段BP中点时，∵∠POB=∠PAB=90°，∴QO=QP=QA=QB．∴此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°，∴∠PBO=30°．∴在Rt△POB中，，PB=2PO=12．∴B点坐标为．∵Q是PB中点，P（0，6），B，∴Q点坐标为．∵，∴以Q为圆心，OQ为半径的⊙Q的方程为．问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；综合应用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB=∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切线；②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA=30°．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．本题考查了圆的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，得出△BHQ∽△BOP是解题关键．。
2017-2018北京西城育才学校创新教育中心初三上期中数学真题试卷解析
育才学校创新教育中心2017—2018学年度第一学期数学期中试题一、选择题（每小题3分）1．下列各点中，在函数27y x =-的图像上的是（）．A ．(2,3)B ．(3,1)C ．(0,7)-D ．(1,9)-【答案】C【解析】将各点分别代入27y x =-中可知，(0,7)-满足． 故选C ．2．二次函数1(23)(4)2y x x =-+的对称轴是（）．A ．4x =-B ．32x =-C ．54x =-D ．52x =-【答案】C【解析】因为2215(28312)622y x x x x x =-+--=+-，所以对称轴552214x =-=-⨯．故选C ．3．2017年统计，世界范围内癌症新发病例14090000例，其中中国新增癌症占比14，请用科学计数法表示世界癌症新发病例数为（）．A ．61.40910⨯B ．71.40910⨯C ．81.40910⨯D ．51.40910⨯【答案】B【解析】714090000 1.40910=⨯． 故选B ．4．如右图，正比例函数y x =与反比例2y x=的图像相交于A 、C 两点，AB x ⊥轴于B ，CD x ⊥轴于D ，则四边形ABCD 的面积为（）．A ．1B ．4C ．12D ．2【答案】B【解析】由题意得A，(C，)B，(D ，∴四边形ABCD的面积为12(42⨯=． 故选B ．5．已知函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则函数y ax b =+的图像是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由图象，得0a <，0b >， ∴y ax b =+过一、二、四象限． 故选B ．6．已知点1(,2)P x -，2(,2)Q x ，3(,3)R x 三点都在反比例函数21a y x+=的图像上，则下列关系正确的是（）．A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．231x x x <<【答案】B【解析】∵210a +>，∴10x <，320x x <<，即123x x x <<． 故选B ．7．二次函数251y kx x =-+的图像与x 轴有交点，k 的取值范围是（）．A ．254k ≤B ．252k <且0k ≠ C ．256k ≤且0k ≠ D ．254k ≤且0k ≠ 【答案】D【解析】由题意，得 2(5)40k k ≠⎧⎨∆=--⎩≥解得254k ≥且0k ≠． 故选D ． 8．对形如2y ax bx c =++的函数解析式说法错误的是（）． A ．当0a >时，此函数是二次函数，开口向上 B ．当0a =，0b ≠时，此函数是一次函数C ．当0a <，2bx a-≥时，y 随x 的增大而增大D ．当0a =，0b =时，y c =仍是函数 【答案】C【解析】0a >时，函数是二次函数，开口向上，A 正确； 0a =，0b ≠时，y bx c =+是一次函数，B 正确； 0a <，2bx a-≥时，y 随x 的增大而减小，C 错误； 0a =，0b =时，y c =为常函数，D 正确．故选C ．9．2(0)y ax x c a =++≠，其中1a <-，1c <-，则这个二次函数的图像可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵1a <-，∴函数开口向下， ∵1c <-，∴函数与y 轴交于负半轴，∵1b =-，∴02ba-<， ∵1a <-，1c <-，1b =-， ∴24140b ac ac -=-<， ∴函数与x 轴无交点．故选C ．10．已知反比例函数2t ay x -=，当0x <时，y 随x 的增大而增大，一次函数y bx c =+，y 随x 的增大而减小，且与y 轴负半轴相交，那么二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴（）． A ．必有两个交点B ．有可能有两个交点C ．有两个交点或一个交点D ．无交点【答案】A【解析】∵0x <时，y 随x 的增大而增大， ∴120a -<，∴12a >， ∵y bx c =+中，y 随x 的增大而减小，与y 轴交于负半轴， ∴0b <，0c <， ∴0ac <，20b >， ∴240b ac ∆=->，∴函数2y ax bx c =++的图象与x 轴必有两个交点． 故选A ．11．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则下列结论：①0ac >；②随x 的增大而增大；③y 方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；④0a b c -+<，其中正确的个数（）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．2个【答案】C【解析】根据图象，得0a <，0c >， ∴0ac <，∴①错误，∵图象为抛物线，∴对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， 对称轴右侧，y 随x 的增大而减小， ∴②错误，∵抛物线对称轴与x 轴交于正半轴， ∴120x x +>， ∴③正确，当1x =时，0y a b c =-+<， ∴④正确． 故选C ．二、填空（每空3分）12．抛物线22()y x m n =++（m ，n 是常数）的顶点坐标是__________． 【答案】(,)m n -【解析】由二次函数的顶点式性质，可得22()y x m n =++的顶点坐标是(,)m n -．13．一次函数2y x m =-+与反比例函数n y x =的交点是1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，则m =__________． 【答案】3-，2-【解析】将1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭代入2y x m =-+，得1422m -=-⨯+∴3m =-，将1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭代入n y x =，得412n-=， ∴2n =-．14．请写出一个函数解析式，要求：图像关于原点对称：__________．【答案】2y x=【解析】答案不唯一，正比例函数，反比例函数均可以．1512x +有意义的x 的范围是__________．【答案】0x ≤且2x ≠-0x -≥，则0x ≤，12x +中20x +≠，则2x ≠-， ∴x 的范围是0x ≤且2x ≠-．16．直线1y x =--与抛物线223y x x =--的交点坐标为__________． 【答案】(1,0)-，(1,2)-【解析】联立2123y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得1112x y =⎧⎨=-⎩，2210x y =-⎧⎨=⎩， ∴交点坐标为(1,0)-，(1,2)-．17．二次函数221y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，其顶点为C ，则三角形ABC 的面积为__________．【答案】2732【解析】由题意，得(1,0)A ，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，19,48C ⎛⎫⎪⎝⎭，∴ABC △的面积为19127128232⎛⎫⨯⨯+= ⎪⎝⎭．18．二次函数21y px x =-+的值恒大于0，则p 的取值范围是__________．【答案】14p >【解析】由题意，得 0p >，且2(1)40p ∆=--<，解得14p >．19．已知抛物线28y x bx b =-+-，若顶点在x 轴上，则b =__________；若对称轴是y 轴，则b =__________；若其过原点，则b =__________． 【答案】4或8-；0；8【解析】若顶点在x 轴上，则24(8)0b b ∆=--=， 解得18b =-，24b =，若对称轴是y 轴，则021b--=⨯， 解得0b =，若其过原点，则08b =-， 解得8b =．20．如图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分，其对称轴为直线1c =，若其与x 轴一交点为(3,0)A ，则由图像可知，不等式20ax bx c ++>的解集是__________．【答案】1x <-或3x >【解析】由题意，得函数与x 轴的另一交点为(1,0)-， 又∵开口向上，与x 轴交于(3,0)，(1,0)-，∴20ax bx c ++>的解集是1x <-或3x >．21．如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 是线段BC 上一点，（P 不与B 重合），M 是DB 上一点，且BP x =，MBP △的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为__________．【答案】224(06)5y x x x =-+<≤【解析】过M 作ME BC ⊥于E ，则BME BDC △∽△， 在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，∴10BD ， ∴BP DM x ==，10BM x =-，∵BM MEBD BC =， ∴10108x ME-=， ∴4(10)5ME x =-，∴2142(10)4(06)255y x x x x x =⋅⋅-=-+<≤．22．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D ，2222A B C D ，3333A B C D ， 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有__________个．【答案】80 【解析】由题意，得正方形1111A B C D 四条边上整点的个数为8个， 正方形2222A B C D 四条边上整点的个数为16个，MCBAPD正方形3333A B C D 四条边上整点的个数为24个，∴正方形10101010A B C D 四条边上整点的个数为80个，三、解决问题23．（本题510162)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 【答案】见解析．【解析】解：原式211=-=．24．（本题4分）解不等式组：262(1)234x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩≤．【答案】见解析．【解析】解：由262(1)x x +>-，得1x >-，由234x x -≤，得32x -≥， ∴不等式组的解集为1x >-． 26．（本题6分）已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=． （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根．（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围． 【答案】见解析． 【解析】（1）由题意，得22(41)4(3)m m m ∆=+-+221681124m m m m =++-- 2441m m =-+2(21)0m =-≥，∴无论m 取何实数，原方程总有两个实数根． （2）解方程，得131x m =+，2x m =， ∴3127m m +>⎧⎨<⎩或3172m m +>⎧⎨<⎩， 解得173m <<．27．（本题6分）列方程解应用题：A ，B 两地相距87千米，甲由A 向B ，先走30分钟，然后乙由B 向A 走，已知以速度比甲每小时快4千米，两人在距B 地45千米的C 处相遇，求甲、乙两人的速度分别是多少？ 【答案】见解析．【解析】解：设甲的速度是每小时x 千米，根据题意得458745142x x -=-+，解得114x =，224x =-（舍），经检验，14x =是原方程的根，∴14418+=．答：甲、乙两人的速度分别是每小时14千米，每小时18千米． 28．（本题7分）如图，抛物线经过(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -三点． （1）求出抛物线的解析式．（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设抛物线解析式为(4)(1)y a x x =--，将(0,2)-代入，得2(04)(01)a -=--，解得12a =-，∴2115(4)(1)2222y x x x x =---=-+-．（2）设P 点坐标为(,)m n ，则215222n m m =-+-，∵PM x ⊥轴与M ，∴(,0)M m ，||PM n =，|4|AM m =-， ∵(4,0)A ，(0,2)C -，∴4OA =，2OC =，若PMA AOC △∽△，则PM OAMA OC=， ∴||4|4|2n m =-，即2152222|4|1m m m -+-=-， 解得52m n =⎧⎨=-⎩或314m n =-⎧⎨=-⎩，∴1(5,2)P -，2(3,14)P--，若PMA COA △∽△，则PM OCMA OA=， ∴||2|4|4n m =-，即2152122|4|2m m m -+-=-， 解得02m n =⎧⎨=-⎩（舍）或21m n =⎧⎨=⎩，∴3(2,1)P ，综上所述，P 点的坐标为(5,2)-或(3,14)--或(2,1)．。
北京市西城外国语学校九年级数学上学期期中试卷(含解析) 北师大版
2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=﹣12．下列图形是中心对称图形的是（）A．B． C． D．3．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A．35° B．55° C．65° D．70°4．将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x﹣2）2+3，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=﹣47．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，AB⊥OB，∠AOB=30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（﹣1，）D．（，﹣1）9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B=60°，AC=3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．310．如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A．①B．③C．①或③D．②或④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于度．12．点A（3，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为．14．⊙O中，AB为⊙O的弦，∠AOB=140°，则弦AB所对的圆周角为度．15．如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是cm2．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB 都是⊙O的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：x2﹣4x+1=0．18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．解：（1）点B1的坐标是；（2）点B2的坐标是．19．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y＞0？20．（5分）《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．21．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是．22．（5分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数．23．（5分）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．24．（5分）如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．25．（5分）如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？26．（5分）如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若OA=AE=4，求AC的长．27．（7分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x=2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y=﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y=2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围．29．（8分）阅读资料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy 中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．问题拓展：如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．①证明AB是⊙P的切线；②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=﹣1【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点式直接求得对称轴即可．【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是x=1．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，抛物线y=a（x﹣h）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x=h．2．下列图形是中心对称图形的是（）A．B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、该图形是中心对称图形，正确，B、该图形不是中心对称图形，错误；C、该图形不是中心对称图形，错误；D、该图形是轴对称图形，错误；故选A【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A．35° B．55° C．65° D．70°【考点】圆周角定理．【分析】由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，∴∠AOB=2∠C=70°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x﹣2）2+3，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3），而点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到点（2，3），所以抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y=2（x﹣2）2+3．故选D．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，∵3＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选A．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=﹣4【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线的对称性判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0）．∴ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x1=1，x2=﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，依据抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD 为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1），∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，AB⊥OB，∠AOB=30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（﹣1，）D．（，﹣1）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据三角函数可得OA，结合∠AOB=30°可知△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA 的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，∠AOB=30°，∴cos∠AOB=，∴OA===2，如图，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，可得A1（﹣2，0），故选：B．【点评】本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化，解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x轴上是解题的关键．9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B=60°，AC=3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．3【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠B=60°，AC=3，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=60°，AC=3，∴BC==，∵AB⊥CD，∴CE=BC•sin60°=×=，∴CD=2CE=3．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD=90°是关键．10．如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A．①B．③C．①或③D．②或④【考点】动点问题的函数图象．【分析】本题需注意正确理解题意，根据点P运动的方向分析即可．【解答】解：由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A 时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置．①对，②没有回到原来的位置，应排除．④回到原来的位置后又继续运动了，应排除．如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置．③对．故选C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，由于没有说点是怎么运动的，所以分情况进行分析，判断．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于125 度．【考点】旋转的性质．【分析】由旋转角可求得∠BOD，再利用角的和差可求得∠AOD．【解答】解：∵旋转角为80°，∴∠BOD=80°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+80°=125°，故答案为：125．【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键．12．点A（3，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1＜y2．（填“＞”，“＜”或“=”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为3、﹣2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=3时，y1=x2﹣5x=﹣6；当x=﹣2时，y2=x2﹣5x=14；∵14＞﹣6，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为4．【考点】切线的性质．【分析】由⊙C与∠AOB的两边分别相切，利用切线长定理，可得∠AOC=45°，继而可得△OCP是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】解：连接CP，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB，CP⊥OA，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=45°，∴OC=OP=4×=4．故答案为：．【点评】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．14．⊙O中，AB为⊙O的弦，∠AOB=140°，则弦AB所对的圆周角为70或110 度．【考点】圆周角定理．【分析】此题要分情况考虑：弦对了两条弧，则两条弧所对的圆周角有两类．再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行计算．【解答】解：根据圆周角定理，得弦AB所对的圆周角=140°÷2=70°或180°﹣70°=110°．故答案为70或110．【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弦所对的圆周角有两种情况．15．如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是6cm2．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【分析】AB与C′B′相交于点D，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=6cm，∠CAB=45°，再根据旋转的性质得∠CAB=45°，CA=C′A=15°，则∠C′AD=30°，再利用含30度的直角三角形的三边的关系计算出C′D，然后根据三角形面积公式计算阴影部分的面积．【解答】解：AB与C′B′相交于点D，如图，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∴AC=BC=6cm，∠CAB=45°，∵△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，∴∠CAB=45°，CA=C′A=15°，∴∠C′AD=30°，在Rt△AC′D中，C′D=AC′=×6=2，∴阴影部分的面积=×6×2=6．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对的圆周角是直角；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．【分析】直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论．【解答】解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：x2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】移项后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x ﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．解：（1）点B1的坐标是（5，﹣1）；（2）点B2的坐标是（﹣1，5）．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．【解答】解：（1）△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（5，﹣1）；（2）△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣1，﹣5）．故答案为（5，﹣1），（﹣1，﹣5）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y＞0？【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），图象过点（0，3），求出a的值，即可求出二次函数的解析式；（2）直接根据图象写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵图象过（﹣3，0），（1，0），∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），∵图象过（0，3），∴3=a（0+3）（0﹣1），a=﹣1，∴y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3，（2）由图象可知，当﹣3＜x＜1，y＞0．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确设出抛物线的解析式，此题难度不大．20．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB 的长．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD=10寸，∴CE=DE=CD=5寸，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（x﹣1）2+52=x2，解得：x=13，∴AB=26寸，即直径AB的长为26寸．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．21．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是（0，﹣3），与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3 ．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象；二次函数与不等式（组）．【分析】（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x=0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y=x2﹣2x﹣3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．【解答】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4；（2）令x=0，则y=﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3），又y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）．故答案是：（0，﹣3）；（3，0）（﹣1，0）；（3）列表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案是：x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．22．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】（1）连结PQ，如图，根据等边三角形得性质得∠ABC=60°，BA=BC，再利用旋转的性质得BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，BP=BQ=4，∠PBQ=60°，于是可判断△PBQ 是等边三角形，所以PQ=PB=4；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，再加上∠BPQ=60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．【解答】解：（1）连结PQ，如图，∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=60°，BA=BC，∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB=4；（2）∵QC=5，PC=3，PQ=4，而32+42=52，∴PC2+PQ2=CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QP C=90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．23．如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理．【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【解答】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．24．如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．【考点】作图—复杂作图；垂径定理．【分析】作出一条弦的垂直平分线，作出另一条弦的垂直平分线，则它们的交点即为这个圆形工具的圆心．【解答】解：如图，点O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？【考点】二次函数的应用．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2﹣4）米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．26．如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若OA=AE=4，求AC的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）由点F为弦AC的中点，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，继而证得结论；（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函数的知识即可求得OF，AF的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵OD过圆心，F为AC中点，∴OD⊥AC，∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED，∴AC∥DE，（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，∴OD=OE，∵在Rt△ODE中，OD=OE，∴∠E=30°，∵AC∥DE，∴∠CAB=∠E=30°，∴在Rt△OAF中，OF=AO=2，AF=OF=2，∵F为AC中点，∴AC=2AF=4．【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意根据题意求得∠E=30°是关键．27．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．。
2017-2018学年北京市西城区九年级一模数学试卷含答案
北京市西城区2018年九年级统一测试数学试卷2018 ・4一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（）•A • 5.8 1010B • 5.8 1011C • 58 109D • 0.58 1011【答案】A2•在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（）.B.千里江山图京津冀协同发展【答案】C3•将b3 -4b分解因式，所得结果正确的是（2 2A • b（b -4）B • b（b—4）)•2C • b(b—2)D • b(b 2)(b—2)【答案】DA .三棱柱B .圆柱C .六棱柱D •圆锥俯视图5•若实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）.ab |c d-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5【答案】D6•如果一个正多边形的内角和等于720，那么该正多边形的一个外角等于（ ）.A . 45B . 60C . 72D . 90【答案】B7•空气质量指数（简称为 AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示.AQI 数据 0 ~50 51~100 101 ~150 151 ~200 201 ~300 301以上AQI 类别优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染某同学查阅资料，制作了近五年月份北京市 各类别天数的统计图如下图所示.2014年2015年2016年2017年2018年时间1月 1月 1月 1月 1月根据以上信息，下列推断不合理的是A . AQI 类别为 优”的天数最多的是2018年月A . a ：：： -5B .b 亠 d ::: 0 C . a -c ：：：0D .c ：：： . d4.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（)•主视图左视图优 - 良 — 轻度污染 —中度污染 7-重度污染严重污染B • AQI数据在0〜100之间的天数最少的是2014年月C •这五年的月里，6个AQI类别中，类别优”的天数波动最大D • 2018年月的AQI数据的月均值会达到中度污染”类别【答案】D&将A , B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767 .②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750 .③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次. 其中合理的是（）.A .①B .②C .①③D .②③【答案】B二、填空题（本题共16分，每小题2分）x -19 .若代数式的值为°，则实数x的值为______________ .x +1【答案】X =110. _____________________________________ 化简：（a +4）（a —2）—a（a +1） = .【答案】a -8S A DEC 4 M”11. 如图，在△ ABC中，DE// AB, DE分别与AC , BC交于D , E两点.若~ 9，AC = 3，则S A ABC 9 DC =【答案】216.阅读下面材料:12.从杭州东站到北京南站， 原来最快的一趟高铁 G20次约用5h 到达.从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了 杭京高铁复兴号”它的运行速度比原来的 G20次的运行速度快35km/h ，约用4.5h 到达。
外国语学校初三数学期中练习
B． y 3(x 3)2 2
C． y 3(x 2)2 3
D． y 3(x 2)2 3
5. 已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC 的高为 1.6 m，并测得BC=2.2 m ，CA=0.8 m, 那么树DB的高度是（ ）
A．6 m B．5.6 m C．5.4 m D． 4.4 m
（3）以原点 O 为位似中心，相似比为2，在
第一象限内将△ABC放大，画出放大后 的图形△A’’B’’C’’.
A
B
C
17. 如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺
时针方向旋转90°后得到△CBE.
（1）求∠DCE的度数； （2）当AB=4，AD∶DC=1∶3时，求DE的长.
B点落在 B 位置，A点落在 A 位置，若 AC AB ，
则 BAC 的度数是 .
A
10. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，
B
D
C
则 cos BAD
.
11. 二次函数 y ax 2 c （ c 不为零），当 x 取 x1, x2 (x1 x2 ) 时，函数值相
等，则 x1 x2
.
12.
二次函数
y
2 3
x2
的图象如图所示，点
A0 位于坐标
原点， 点 A1, A2 , A3,, A2011 在y轴的正半轴上，
点
B1, B2 , B3,, B2011 在二次函数
y
2 3
x2
位于第一象限
的图象上，若△ A0 B1 A1, △ A1B2 A2 ，△ A2 B3 A3 , ,
14. 已知：如图， DE∥BC交BA的延长线于D，交CA的延长线 于E，AD=4，DB=12，DE=3. 求BC的长.
北京市西城区普通中学2017届九年级上期中数学试卷含解析
转 90°后所得到的△A B C ；
212
（2）求线段 B1C1 旋转到 B1C2的过程中，点 C 所经过的路径长．
1
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2016-2017 学年北京市西城区普通中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题 1．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的 是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线 y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1） 3．下列事件为必然事件的是（ ） A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上 B．篮球运动员投篮，投进篮筐 C．一个星期有七天 D．打开电视机，正在播放新闻 4．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80° 5．抛物线 y=2x2 向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位，则平移后的抛物线的解析式为 （） A．y=2（x+1）2+5B．y=2（x+1）2﹣5C．y=2（x﹣1）2﹣5 D．y=2（x﹣1）2+5 6．如图，⊙O 的半径为 5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为 C，若 OC=3，则弦 AB的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
第 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（共 34 页）
18．已知如图，AB是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，连接 AC．若∠A=22.5°，CD=8cm，求⊙O 的半径．
19．已知：如图，A，B，C 为⊙O 上的三个点，⊙O 的直径为 4cm，∠ACB=45°，求 AB的长．
20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格 点，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出将△ABC向右平移 2 个单位后得到的△A B1 1C 1，再画出将△A B1C1绕1 点 B 按逆时针方向旋
北京市西城区宣武外国语学校九年级(上)期中数学试卷
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（1）求证：∠ACO=∠BCD； （2）若 EB=8cm，CD=24cm，求⊙O 的直径．
五、解答题（本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 27．（7 分）阅读下面的材料 小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题： 如果 α，β 都为锐角，且 tanα= ，tan ，求 α+β 的度数．
小敏是这样解决问题的：如图 1，把 α，β 放在正方形网格中，使得∠ABD=α，
∠CBE=β，且 BA，BC 在直线 BD 的两侧，连接 AC，可证得△ABC 是等腰三角
形，因此可求得 α+β=∠ABC=
°
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果 α，β 都为锐角，当 tanα=4，tanβ= 时，在图 2 的正方形网格中，利用已作
北偏东 60°方向上，在 A 的正东 400 米的 B 处，测得海中灯塔 P 在它的北偏东 30°方向上．问：灯塔 P 到环海路的距离 PC 约等于多少米？（ 取 1.732，结 果精确到 1 米）
25．（5 分）如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8．求：△ ABC 的面积．（结果可保留根号）
10．（3 分）如图，AB 为半圆的直径，点 P 为 AB 上一动点，动点 P 从点 A 出发， 沿 AB 匀速运动到点 B，运动时间为 t，分别以 AP 与 PB 为直径做半圆，则图 中阴影部分的面积 S 与时间 t 之间的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题 3 分，共 6 个小题，共 18 分）
北京市西城外国语中学九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版
北京市西城外国语中学2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是( )A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为( )A．20° B．40° C．60° D．80°3．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：24．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+15．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是( )A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．D．6．在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是( ) A．B．C．D．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．48．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为( )A．B．C．D．9．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．二、填空题（本题共24分，每小题4分）11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式__________．12．两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是__________．13．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则CD的长为__________．14．如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC上一点，过D作ED⊥BC交AC于E，若AB=6，AC=8，ED=3，则CD的长为__________．15．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，若x2＞x1＞1，则y1与y2的大小关系是y1__________y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）16．在△ABC中，AB=5，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么AF=__________．三、解答题（本题共66分）17．已知：二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．18．已知一抛物线过点（﹣3，0）、（﹣2，﹣6），且对称轴是x=﹣1．求该抛物线的解析式．19．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．20．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）求出该函数与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；x ……y ……（3）根据图象回答：①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？21．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣2，﹣1）．（1）以原点O为位似中心，把线段AB放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD；（2）在（1）的条件下，写出点A的对应点C的坐标为__________，点B的对应点D的坐标为__________．22．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w=﹣2x+80，设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？23．如图，△ABC中，∠BAC=90°．M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E．求证：AM2=MD•ME．24．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．25．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在▱ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果=3，求的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF．请你回答：（1）AB和EH的数量关系为__________，CG和EH的数量关系为__________，的值为__________．（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果=a（a＞0），那么的值为__________（用含a的代数式表示）．（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果=m，=n（m＞0，n＞0），那么的值为__________（用含m，n的代数式表示）．26．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为__________；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为__________．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+3x+5+m与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），D为OC的中点．（1）求m的值；（2）抛物线的对称轴与 x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京市西城外国语中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是( )A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的顶点式求得顶点坐标即可判断．【解答】解：由y=﹣（x+2）2﹣5可知抛物线的顶点是（﹣2，﹣5），故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得顶点坐标是解题的关键．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠A OC的度数为( )A．20° B．40° C．60° D．80°【考点】圆周角定理．【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答．【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．4．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1 【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．5．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是( )A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；故D正确；当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．6．在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是( )A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】根据菱形的对边平行且相等的性质，判断△BEF∽△DAF，得出=，再根据BE 与BC的数量关系求比值．【解答】解：如图，∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，∴△BEF∽△DAF，∴=，又∵EC=2BE，∴BC=3BE，即AD=3BE，∴==，故选B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质．关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；所以这四个结论都正确．故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为( )A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c 的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．故选A．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．9．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目．【解答】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴=，=，即==，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C．【点评】此题主要考查三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，∴S四边形OECF=S△OBC=×82=16，∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（本题共24分，每小题4分）11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一定要大于0．12．两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是：3．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是5：9，∴它们的相似比是：3，∴它们的周长比是：3．故答案为：：3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质并求出两三角形的相似比是解题的关键．13．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则CD的长为2．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OA，求出OD⊥AB，求出AC，根据勾股定理求出OC，即可得出答案．【解答】解：连接OA，∵半径OD过AB的中点C，∴OD⊥AB，∴∠OCA=90°，∵弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，∴AC=BC=4，∵AO=5，∴由勾股定理得：OC==3，∴CD=OD﹣OC=5﹣3=2，故答案为：2．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，能求出OD⊥AB是解此题的关键．14．如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC上一点，过D作ED⊥BC交AC于E，若AB=6，AC=8，ED=3，则CD的长为4．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明△DEC∽△ABC，得出对应边成比例，即可得出CD的长．【解答】解：∵ED⊥BC，∴∠EDC=90°=∠A，∵∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，∴，即，解得：CD=4．故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键．15．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，若x2＞x1＞1，则y1与y2的大小关系是y1＜y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=﹣1，再根据二次函数的增减性，x＞1时，y随x的增大而增大解答．【解答】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴二次函数图象的对称轴为直线x=﹣1，∵x2＞x1＞1，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．16．在△ABC中，AB=5，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么AF=1.6或2.5．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的相似比求AF，注意分情况考虑．【解答】解：以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，有△ABC∽△AEF和△ABC∽△AFE 两种情况进行讨论：当△ABC∽△AEF时，有，则，解得：AF=1：6；当△ABC∽△AFE时，有，则，解得：AF=2.5．所以AF=1.6或2.5．【点评】本题考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，注意分情况讨论是解决本题的关键．三、解答题（本题共66分）17．已知：二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】（1）直接把A点坐标代入y=x2+bx﹣3可求出b，从而确定二次函数的解析式；（2）根据抛物线与x轴的交点解方程x2+2x﹣3=0，即可得到二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）利用配方法求解．【解答】解：（1）∵二次函的图象经过点A（2，5），∴4a+2b﹣3=5，解得b=2，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）令y=0，则x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；（3）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．已知一抛物线过点（﹣3，0）、（﹣2，﹣6），且对称轴是x=﹣1．求该抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】先利用对称性得到抛物线与x轴另一交点是（1，0），则可设交点式y=a（x+3）（x ﹣1），然后把（﹣2，﹣6）代入求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，抛物线过点（﹣3，0）∴抛物线与x轴另一交点是（1，0），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把（﹣2，﹣6）代入得﹣6=a•（﹣2+3）•（﹣2﹣1），解得a=2，∴抛物线解析式为y=2（x+3）（x﹣1），即y=2x2+4x﹣6．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB，又因为又∠DAE=∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC=AD=8，所以EC=BC﹣BE=8﹣2=6，代入计算即可．【解答】（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8．∴EC=BC﹣BE=8﹣2=6．∴．∴．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，是中考常见题型．20．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）求出该函数与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；x ……y ……（3）根据图象回答：①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）令y=0得关于x的一元二次方程，求解得到两根，此即为与x轴的两交点坐标；令x=0，求得y的值即可求得与y轴的交点坐标；（2）通过列表、描点、连线画出函数的图象．（3）根据图象回答即可．【解答】解：（1）令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，故与x轴的交点坐标：（1，0），（3，0）；令x=0，得y=3，故与y轴的交点坐标：（0，3）；（2）列表：x 0 1 2 3 4y 3 0 ﹣1 0 3图象为：（3）①当自变量x的取值范围满足1＜x＜3 时，y＜0；②当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．【点评】此题考查了二次函数的图象，利用描点法作二次函数图象，二次函数和不等式的关系，作出函数的图象解题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣2，﹣1）．（1）以原点O为位似中心，把线段AB放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD；（2）在（1）的条件下，写出点A的对应点C的坐标为（﹣2，2）或（2，﹣2），点B的对应点D的坐标为（﹣4，﹣2）或（4，2）．【考点】作图-位似变换．【分析】（1）利用位似图形的性质得出原点两侧各有一个图形，进而得出答案；（2）利用所画图形得出对应点坐标即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）点A的对应点C的坐标为（﹣2，2）或（2，﹣2），点B的对应点D的坐标为（﹣4，﹣2）或（4，2）．故答案为：（﹣2，2）或（2，﹣2），（﹣4，﹣2）或（4，2）．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，准确找出对应点的位置以及坐标是解题的关键．22．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w=﹣2x+80，设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；二次函数的最值．【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．【解答】解：（1）y=w（x﹣20）=（﹣2x+80）（x﹣20）=﹣2x2+120x﹣1600；（2）y=﹣2（x﹣30）2+200．∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=200．答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．（3）由二次函数的值求出x的值．23．如图，△ABC中，∠BAC=90°．M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E．求证：AM2=MD•ME．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质进而得出△AME∽△DMA即可得出答案．【解答】解：∵∠BAC=90°，M为BC的中点，∴AM=BM=CM，∴∠B=∠BAM，∵∠B+∠C=90°，∴∠BAM+∠C=90°，∵∠C+∠D=90°，∴∠BAM=∠D，∵∠AME=∠DMA，∴△AME∽△DMA，∴=，∴AM2=MD•ME．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，利用已知得出∠BAM=∠D是解题关键．24．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得a=﹣，∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣（x﹣5）2+5，∴（x﹣5）2=1，∴x1=，x2=，∴两景观灯间的距离为﹣=5米．【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键．25．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在▱ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果=3，求的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF．请你回答：（1）AB和EH的数量关系为AB=3EH，CG和EH的数量关系为CG=2EH，的值为．（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果=a（a＞0），那么的值为（用含a的代数式表示）．（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果=m，=n（m＞0，n＞0），那么的值为mn（用含m，n的代数式表示）．【考点】相似形综合题．【分析】（1）本问体现“特殊”的情形，=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH 来表示，最后求得比值；（2）本问体现“一般”的情形，=a不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．【解答】解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．则有△ABF∽△EHF，∴==3，∴AB=3EH．∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．===．故答案为：AB=3EH；CG=2EH；．（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．∴==a，∴AB=aEH．∵AB=CD，∴CD=aEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴==2，∴CG=2EH．∴==．故答案为：．（3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴==n，∴CD=nEH．又=m，∴AB=mCD=mnEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴===mn，故答案为：mn．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．26．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为（1，﹣2）；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为（2，0）、（﹣1，6）．．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】【尝试】（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n 的值．【发现】将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．。
北京市西城区学度第一学期初三数学期中试卷及答案WORD版
北京市西城区2016-2017 学年度第一学期初三数学期中试卷一、选择题（共10 个小题，每题 3 分，共30 分）1.抛物线 y3( x 6)2 1 的对称轴是直线（）(A) x6(B) x1(C)x1(D)x62.以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A 、等腰梯形B、平行四边形C、等边三角形 D 、矩形3.如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，∠ A =40 °，则∠ OCB 等于 ()A．60°B． 50°C． 40°D ．30°第3题图第4题图4. 已知二次函数y=ax2＋ bx＋ c 的图象如右图所示，则以下结论中正确的选项是()A ． a>0B． c＜ 0C． b 24ac 0 D ．a＋ b＋ c>05.将三角形绕直线旋转一周，可以获取以以下图的立体图形的是（）．6. 若将抛物线y= 2x2先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位获取一个新的抛物线，则新抛物线的极点坐标是（）A．( 2,1)B．( 2, 1)C．(2,1)D．(2, 1)7．如图，在⊙O中，直径A．2B．3CAB⊥弦． 4CD于 DE，连接． 5BD，若∠ D=30°,BD=2，则AE的长为()8. 将抛物线y x21绕原点旋转180°，所得抛物线的分析式是（）A ．y x21B ．y x21C．y ( x 1)21D．yx219.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a）（ a＞3），半径为3，函数 y=x 的图象被⊙P 截得的弦 AB 的长为4 2 ，则a的值是（）B.32C.32D.3310.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AB=5cm ，BC=3cm ，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 A B C 的方向运动，到达点 C 时停止 .设 y PC 2 ,运动时间为t 秒，则能反响y 与 t 之间函数关系的大体图象是().二、填空题（共 6 个小题，每题 3 分，共 18 分）.11. ax2bx c 0(a0) 的解是 x1 5, x23, 那么抛物线 y ax 2bx c( a 0) 与 x 轴的两个交点的坐标分别是______________ ．12.. 二次函数 y=ax 2+bx+c（ a≠0）的图象以以下图，依据图象写出一条此函数的性质 ____________ ．第 12题图13. 如图，⊙O的半径为1，第 13题图ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D， E在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______________.14.如，二次函数y ax2bx c的象的称是直 x＝1，以下：① a0, b0,② 2a b0,③ a b c0,④ a b c0,⑤当x1，y随 x的增大而减小，此中正确的选项是.第 14第 1515.如，⊙ O的外切正六形ABCDEF的2，中暗影部分的面__________16. 如，一段抛物：y x( x2) （0≤x≤2）， C1，它与x交于点O，A1；将C1点A1旋 180°得 C ，交 x 于点 A；将 C 点 A 旋 180°得 C ，交 x 于点 A ；⋯，这样行下222233去，直至得 C10．（ 1）写出抛物 C2的分析式：；（2）若 P（ 19， a）在第 10 段抛物 C10上， a =_________ ．三、解答（每小 5 分,共 20分）17.已知二次函数 y(t 1)x22(t 2) x 3在 x0 与 x 2 的函数相等．2（ 1）求二次函数的分析式；（ 2）若一次函数y kx 6的象与二次函数的象都点 A （ 3 ，m），求 m 与 k 的。
人教版九年级数学上册北京市西城区普通中学第一学期初三期中试题
B 1BA CA 1初中数学试卷金戈铁骑整理制作北京市西城区普通中学2016-2017学年度第一学期初三期中数学试题班级 姓名 学号 得分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ． 2. 抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是A ．(21)--，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)，3. 下列事件为必然事件的是A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B. 篮球运动员投篮，投进篮筐C. 一个星期有七天D. 打开电视机，正在播放新闻4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若o 100AOB ∠=，则∠ACB 的度数是A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°5. 抛物线22y x =向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线 的解析式为A ．()2215y x =++B ．()2215y x =+-C ．()2215y x =--D ．()2215y x =-+6. 如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，如果OC = 3，那么弦AB 的长为.A. 4B. 6C. 8D. 10 7. 如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A 1B 1C ．若∠A =40°，∠B 1=110°，则∠BCA 1的度数是A. 90°B. 80°C. 50°D. 30°BOC ABAO Cxy3-11O第4题第6题第7题8. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价， 每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额 为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+C ．300(6020)y x =-D ．(60)(30020)y x x =-- 9. 在平面直角坐标系xoy 中，如果⊙O 是以原点O （0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点 A （-3，-4）与⊙O 的位置关系是A. 在⊙O 内B.在⊙O 上C. 在⊙O 外D. 不能确定 10．如图，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O →C →D →O 的路线匀速 运动，设∠APB =y （单位：度），点P 运动的时间为x （单位：秒），那么表示y 与x 关系的 图象是二、填空题（每小题3分，共18分）11．点P (－3，4)关于原点的对称点的坐标为 12. 函数5-4)1(1x xm y m ++=+是二次函数，则m=13. 在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随 机 从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是． 14. 点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”） 15. 2(0)y ax bx c a =++≠. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为()0,1，与y 轴的交点为()3,0，则方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为16.如图，∠ABC =90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，21OB 长为半径作⊙O ，若射线BA 绕点B按顺时针方向旋转至BA '，若BA '与⊙O 相切，则旋转 的角度α（0° ＜α＜180°）等于．ACBxyO三、解答题（17-26每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分）17. 抛物线m x m x y +-+-=)1(2与y 轴 交 点坐标是（0，3）． （1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求抛物线与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）当x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？18. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接A C ．若∠A =22.5°，CD =8cm ，求 ⊙O 的半径．19. 已知：如图，A 、B 、C 为⊙O 上的三个点，⊙O 的直径为4cm ，ACB=45°，求AB 的长．20. 如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫 格点，△ABC 的顶点均在格点上.（1）画出将△ABC 向右平移2个单位后得到的△A 1B 1C 1，再画出将△A 1B 1C 1绕点B 1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A 2B 1C 2；（2）求线段B 1C 1旋转到B 1C 2的过程中，点C 1所经过的路径长．第18题图 第19题图 第20题图21. 已知抛物线 2y ax bx c =++ 经过点034310A B C （，）、（，）、（，）. （1）填空：抛物线的对称轴为直线x=，抛物线与x 轴的另一个交点D 的 坐标为；（2）求该抛物线的解析式.22. 某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？23. 石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次 用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”BOAC胜“布”、“布”胜“石头” ．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到 分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续； 若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规 则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率． 24. 如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水 面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有 一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯1P 、2P 之间的水平距离.25. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点， ∠BAC=30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．26. 阅读下面解题过程，解答相关问题.求一元二次不等式224x x --＞0的解集的过程. （1）构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数x x y 422--=；并在坐标系中画出二次函数x x y 422--=的图象(如图1).（2）求得界点，标示所需：当y =0时，求得方程0422=--x x 的解为12x =-，20x =；并用锯齿线标示出函数x x y 422--=图象中y ＞0的部分(如图2). （3）借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式224x x --＞0的解集为20x -<<.请你利用上面求 一元二次不等式解集的过程，求不等式221x x -+≥4的解集.图(1)5m1m?10m图（1）图（2）yx-3-2-24325432-1-111O27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与x 轴的交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0）．（1）求证：抛物线总与x 轴有两个不同的交点； （2）若AB =2，求此抛物线的解析式；（3）已知x 轴上两点C （2,0），D （5,0），若抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与线 段CD 有交点，请写出m 的取值范围.28．如图1，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠C ＝90°，将△CDE 绕点C 逆时针旋转一个角度）︒<<︒900(αα，使点A ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BE ． (1) ① 依题意补全图2；② 求证：AD ＝BE ，且AD ⊥BE ；③ 作CM ⊥DE ，垂足为M ，请用等式表示出线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系； (2) 如图3，正方形ABCD 边长为5，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．图1 CABDE图2CAB 图3DCB A29．在平面直角坐标系xOy 中，定义点P （x ,y ）的变换点为P ′(x +y , x -y ) ． (1) 如图1，如果⊙O 的半径为22，① 请你判断 M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O 的位置关系；② 若点P 在直线y =x +2上，点P 的变换点P ′在⊙O 的内，求点P 横坐标的取值范围. (2) 如图2，如果⊙O 的半径为1,且P 的变换点P ’在直线y =-2x +6上，求点P 与⊙O 上任意一点距离的 最小值．xy O –5–4–3–2–1 12345–5–4 –3 –2 –1 12 3 4 5 图 1xyO –5 –4 –3 –2–1 1 2 3 4 5–5–4 –3 –2 –1 12 3 4 5 图2xyO北京市一五九中学2016-2017学年度第一学期初三期中数学答题纸班姓名学号 得分一. 选择题(每题3分,共30分): 1 2345678910二.填空题(每题3分,共18分):11 12 13 14 15 16三．计算题（17-26每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分） 17. 1819.ABOC20.BAC21.（1）填空：抛物线的对称轴为直线x=，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为；（2）22.23.24..2526.图(1)5m1m?10m图（1）图（2）yx-3-3-2-24325432-1-111O27.28.图1C A BDE图2CAB DCB A29xy O –5 –4–3–2–1 12345–5–4 –3 –2 –1 12 3 4 5图1xy O –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5–5–4 –3 –2 –1 12 3 4 5图2。
北京西城区2018-2019学度初三上年中数学试题及解析
北京西城区2018-2019学度初三上年中数学试题及解析初三期中数学试题一选择题〔每题3分，共30分〕1.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形旳是()2.抛物线y=(x-2)2+1旳顶点坐标是()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(2,1)3.以下事件为必定事件旳是()A.任意掷一枚均匀旳硬币，正面朝上B.篮球运动员投篮，投进篮筐C.一个星期有七天D.打开电视机，正在播放新闻4.如图，△ABC内接于⊙O，假设∠AOB=1000，那么∠ACB旳度数是()A.40°B.50°C.60°D.80°第4题图第6题图第7题图5.抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，那么平移后旳抛物线旳【解析】式为()A.y=2(x+1)2+5B.y=2(x+1)2-5C.y=2(x-1)2-5D.y=2(x-1)2+56.如图,⊙O旳半径为5,AB为弦,OC⊥AB,垂足为C,假如OC=3，那么弦AB旳长为().A.4B.6C.8D.107.如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转500后得到△A1B1C.假设∠A=400,∠B1=1100,那么∠BCA1旳度数是()A.90°B.80°C.50°D.30°8.某商品现在旳售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,假如调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后,每星期售出商品旳总销售额为y元,那么y与x旳关系式为()A.y=60(300+20x)B.y=(60-x)(300+20x)C.y=300(60-20x)D.y=(60-x)(300-20x)9.在平面直角坐标系xoy中,假如⊙O是以原点O〔0,0〕为圆心,以5为半径旳圆,那么点A〔-3,-4〕与⊙O旳位置关系是()A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定10.如图,AD,BC是⊙O旳两条互相垂直旳直径,点P从点O动身,沿O→C→D→O旳路线匀速运动,设∠APB=y〔单位:度),点P运动旳时刻为x〔单位:秒〕，那么表示y与x关系旳图象是()二填空题〔每题3分，共18分〕11.点P(－3，4)关于原点旳对称点旳坐标为12.函数5=+xxmy m是二次函数，那么m=+5+)1(1-13.在一个不透明旳袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同、现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色旳概率是、14.点A(-3，y1)，B(2，y2)在抛物线y=x2-5x上，那么y1y2、〔填“>”，“<”或“=”〕15.y=ax2+bx+c.二次函数旳部分图象如下图，对称轴为直线x=-1,与x轴旳一个交点为(1,0)，与y 轴旳交点为(0,3),那么方程ax2+bx+c=0旳解为第15题图第16题图1OB长为半径作⊙O,假设射线BA绕16.如图,∠ABC=900,O为射线BC上一点,以点O为圆心,2点B按顺时针方向旋转至BA'，假设BA'与⊙O相切，那么旋转旳角度α(00<α<1800)等于、三解答题〔17-26每题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分〕17.抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交点坐标是〔0，3〕、〔1〕求出m旳值并画出这条抛物线；〔2〕求抛物线与x轴旳交点和抛物线顶点旳坐标；〔3〕当x取什么值时,y旳值随x值旳增大而减小？18.如图,AB是⊙O旳直径,弦CD⊥AB，垂足为E,连接AC.假设∠A=22.5°,CD=8cm，求⊙O旳半径、19.如图，A、B、C为⊙O上旳三个点,⊙O旳直径为4cm,∠ACB=45°，求AB旳长、20.如图,方格纸中旳每个小方格差不多上边长为1个单位长度旳正方形,每个小正方形旳顶点叫格点,△ABC旳顶点均在格点上.〔1〕画出将△ABC向右平移2个单位后得到旳△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到旳△A2B1C2；〔2〕求线段B1C1旋转到B1C2旳过程中，点C1所通过旳路径长、21.抛物线y=ax2+bx+c通过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0).〔1〕填空：抛物线旳对称轴为直线x=，抛物线与x轴旳另一个交点D旳坐标为；〔2〕求该抛物线旳【解析】式.22.某小区有一块长21米，宽8米旳矩形空地，如下图、社区打算在其中修建两块完全相同旳矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽度为x米旳人行通道、假如这两块绿地旳面积之和为60平方米，人行通道旳宽度应是多少米？23.石头剪子布,又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年旳猜拳游戏、游戏时旳各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中旳一种，规定:“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”、两人游戏时，假设出现相同手势，那么不分胜负游戏接着，直到分出胜负，游戏结束、三人游戏时，假设三种手势都相同或都不相同，那么不分胜负游戏接着；假设出现两人手势相同，那么视为一种手势与第三人所出手势进行对决，现在，参照两人游戏规那么、例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，那么甲、乙获胜、假定甲、乙、丙三人每次差不多上随机地做这三种手势，那么：〔1〕直截了当写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负旳概率；〔2〕请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负旳概率、24.如图〔1〕是某河上一座古拱桥旳截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面旳距离差不多上1m，拱桥旳跨度为10m，桥洞与水面旳最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m旳景观灯、现把拱桥旳截面图放在平面直角坐标系中，如图〔2〕、求〔1〕抛物线旳【解析】式；〔2〕两盏景观灯P1、P2之间旳水平距离.25.如图，AB为⊙O旳直径，PA、PC是⊙O旳切线，A、C为切点，∠BAC=30、〔1〕求∠P旳大小；〔2〕假设AB=6，求PA旳长、26.阅读下面解题过程，解答相关问题.求一元二次不等式-2x2-4x＞0旳解集旳过程.〔1〕构造函数，画出图象：依照不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x;并在坐标系中画出二次函数y=-2x2-4x旳图象(如图1). 〔2〕求得界点，标示所需：当y=0时,求得方程-2x2-4x=0旳解为x1=-2,x2=0;并标示出函数y=-2x2-4x图象中y>0旳部分(如图2).〔3〕借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式-2x2-4x＞0旳解集为-2<x<0.请你利用上面求一元二次不等式解集旳过程，求不等式x2-2x+1≥4旳解集.27.在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2-8mx+16m-1〔m>0〕与x轴旳交点分别为A〔x1,0〕,B〔x2，0〕、〔1〕求证:抛物线总与x轴有两个不同旳交点；〔2〕假设AB=2,求此抛物线旳【解析】式；〔3〕x轴上两点C(2,0),D(5,0),假设抛物线y=mx2-8mx+16m-1(m>0)与线段CD有交点,请写出m取值范围.28.如图1,△ABC和△CDE差不多上等腰直角三角形,∠C=900,将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度ɑ(00<ɑ<900)，使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE、(1)①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间旳数量关系；(2)如图3,正方形ABCD边长为5,假设点P满足PD=1,且∠BPD=900,请直截了当写出点A到BP旳距离、北京市西城区一般中学2016-2017学年度第一学期初三期中数学试题【答案】1.D2.D3.C4.B5.D6.C7.B8.B9.B10.B11.(3,-4)12.1313.514.>15.-3或116.600或120017.〔1〕m=3；〔2〕(-1,0)、(3，0)、(1,4)；〔3〕x>1.18.r=24;19.22；20.〔1〕略；〔2〕π2。
北京市西城区初三数学上册期中概率试卷(含答案解析)
北京市西城区初三数学上册期中概率试卷(含答案解析)等奖100个。
若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是（）．A． B． C． D．5．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（）A.112 B．13 C.512 D.126、某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1~10号共10道综合素质测试题共选手随机抽取作答。
在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（）A.110 B．19 C.18 D.177、在转盘游戏中，若每次随意转动转盘，指针落在红区域的概率是，则下列说法正确的是（）．A．转盘被均匀涂上红、黄、黑、白四种颜色(过中心的扇形区)B．若转动转盘4次，一定有1次指针落在红色区域C．若转动转盘20次，一定有15次指针不落在红色区域D．红色区域的面积占整个转盘面积的 (区域指过转盘中心的扇形)8．从长度分别为l，3，5，7，9个单位的5条线段中任取3条作边，能组成三角形（不含等腰三角形）的概率为( )．A． B． C． D．9．甲、乙、丙三位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物。
事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图1），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止.甲第一个取得礼物，然后，乙、丙依次取得第2件、第3件礼物，事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是（）A.甲 B．乙 C.丙 D.无法确定10．一个均匀的立方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图是如图2所示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍的概率是（）A．16 B．13 C．12 D．23二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．任意掷一枚均匀硬币两次，两次都是同一面朝上的概率是．12．成语“水中捞月”用概率的观点理解属于事件，“瓮中捉鳖”是事件。
北京西城外国语中学2018-2019年初三上数学度中试题及解析
北京西城外国语中学2018-2019年初三上数学度中试题及解析九年级数学期中考试试卷2018.11.6班、姓名、学号、成绩【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕 1、抛物线5)2(2-+-=x y 旳顶点坐标是(). A 、()2，5-B 、()2，5C 、()25，--D 、()52，-2.如图，⊙O 是△ABC 旳外接圆，假设∠ABC ＝40°，那么∠旳度数为(). A 、20° B 、40°C 、60°D 、80°3.如图,A 、B 两地被池塘隔开,小明通过以下方法测出了A 、B 间 旳距离:先在AB 外选一点C ,然后测出AC 、BC 旳中点M 、N ,并 测量出MN 旳长为12m,由此他就明白了A 、B 间旳距离.有关他 这次探究活动旳描述错误旳选项是()A.MN ∥ABB.CM :MA =1:2C.△CMN ∽△CABD.AB =24m 4、把二次函数23x y =旳图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到旳图象对应旳二次函数关系式是〔〕.A 、()1232+-=x y B.()1232-+=x y C.()1232--=x y D.()1232++=x y5、如图，点D 在△ABC 旳边AC 上，要推断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不．正确旳选项是．．．．．．〔〕.A 、∠ABD =∠C B.∠ADB =∠ABCC.AD AB AB AC = D.AB CBBD CD=6.在菱形ABCD 中，E 是BC 边上旳点，连接AE 交BD 于点F,假设EC =2BE ，那么FDBF旳值是〔〕A.21B.31C.41D.51 7. 二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)旳图象如下图，有以①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<、 其中，正确结论旳个数是〔〕A.1B.2C.3D.48.在同一直角坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+9.如图，在大小为4×4旳正方形网格中，是相似三角形旳是〔〕①②③④A 、①和②B 、②和③C 、①和③D 、②和④NA CDF E10.如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时动身，以1cm/s 旳速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动、设运动时刻为t (s)，△OEF 旳面积为S (cm 2)，那么S (cm 2)与t (s)旳函数关系可用图象表示为()A 、B 、C 、D 、【二】填空题〔此题共24分，每题4分〕11、请写出一个开口向上，同时与y 轴交于点〔0，-1〕旳抛物线旳【解析】式﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、〔结果请化为一般式〕12.两个相似三角形旳面积比是9:513、如图，⊙O 旳半径为5，弦AB 旳长为8，半径OD 过AB 旳中点C ， 那么CD 旳长为. 14、如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 为BC 上一点，过D作ED ⊥BC 交AC 于E ，假设AB =6，AC =8，ED =3，那么CD 旳长为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、15.点A 〔1x ，1y 〕、B 〔2x ，2y 〕在二次函数221y x x =--旳图象上，假设2x ＞1x ＞1，那么1y 与2y 旳大小关系是1y 2y 、〔用“＞”、“＜”、“=”填空〕 16、在△ABC 中,AB =5,AC =4,E 是AB 上一点,AE =2,在AC 上取一点F , 使以A 、E 、F 为顶点旳三角形与△ABC 相似,那么AF 旳长为. 【三】解答题〔此题共66分〕 17、〔此题5分〕：二次函数23y x bx =+-旳图象通过点(25)A ，、 〔1〕求二次函数旳【解析】式；〔2〕将〔1〕中求得旳函数【解析】式用配方法化成2()y x h k =-+旳形式解：〔1〕18.〔此题5分〕一抛物线过点〔－3，0〕、〔-2，-6〕，且对称轴是x =－1.求该抛物线旳【解析】式. 解： 19、〔此题5分〕如图，在□ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC 旳延长线上，且∠DAE =∠F 、〔1〕求证：△ABE ∽△ECF ；〔2〕假设AB =5，AD =8，BE =2，求FC 旳长、（1）证明：20.〔此题5分〕二次函数y=x 2－4x ＋3、 〔1〕求出该函数与x ．轴．旳交点坐标、与y ．轴．旳交点坐标； 〔2〕在平面直角坐标系中，用描点法．．．画出该二次函数旳图象； 〔3〕依照图象回答：①当自变量x 旳取值范围满足什么条件时，y ＜0？②当0≤x <3时，y 旳取值范围是多少？ 解：21.〔此题6分〕如图，在平面直角坐标系中，A 〔-1，1〕，B 〔-2，-1〕、〔1〕以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来旳2倍，请在图中画出放大后旳线段CD ； 〔2〕在〔1〕旳条件下，写出点A 旳对应点C 旳坐标为点B 旳对应点D 旳坐标为22、〔此题6分〕某商店销售一种进价为20元/双旳手套，经调查发觉，该种手套每天旳销售量w (双)与销售单价x (元)满足280w x =-+(20≤x ≤40),设销售这种手套每天旳 利润为y 〔元〕.〔1〕求y 与x 之间旳函数关系式；〔2〕当销售单价定为多少元时,每天旳利润最大？最大利润是多少？23、〔此题6分〕：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 旳中点，DM ⊥BC 交CA 旳延长线于D ，交AB 于E 、求证：AM 2＝MD •ME 、 证明：24.〔此题6分〕如图〔1〕是某河上一座古拱桥旳截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面旳距离差不多上1m ，拱桥旳跨度为10m ，桥洞与水面旳最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 旳景观灯、现把拱桥旳截面图放在平面直角坐标系中，如图〔2〕、 求〔1〕抛物线旳【解析】式；〔2〕两盏景观灯1P 、2P 之间旳水平距离.〔此题6分〕阅读下面旳材料：小明遇到一个问题：如图〔□ABCD 中，点E 是边BC 旳中点，点F 是线段AE上一点，BF 3=，求CDCG旳值. 他旳做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ∽△HEF . 图(1)图（1）请你回答：〔1〕AB :EH 旳值为，CG :EH 旳值为，CDCG旳值为. 〔2〕如图〔2〕，在原题旳其他条件不变旳情况下，假如(0)AF a a EF=>，那么CDCG 旳值为〔用含a 旳代数式表示〕.〔3〕请你参考小明旳方法接着探究：如图〔3〕，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F .假如(00)AB BCm n m n CD BE==>>，，，那么AF EF 旳值为〔用含m ，n 旳代数式表示〕.H (1)ABCD E FG G F E D C BA(2)(3)ABCDEF26、〔此题8分〕关于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数旳“再生二次函数”，其中t 是不为零旳实数，其图象记作抛物线E .现有点A 〔2，0〕和抛物线E 上旳点B 〔－1，n 〕，请完成以下任务： 【尝试】〔1〕当t =2时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+旳顶点坐标为；〔2〕点A 〔填在或不在〕在抛物线E 上； 〔3〕n 旳值为.【发觉】通过〔2〕和〔3〕旳演算可知，关于t 取任何不为零旳实数，抛物线E 总过定点，坐标为.【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+旳一个“再生二次函数”吗？假如是，求出t 旳值；假如不是，说明理由.27.〔此题8分〕在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 旳左侧〕，与y 轴交于点C 〔0,4〕，D 为OC 旳中点. 〔1〕求m 旳值；〔2〕抛物线旳对称轴与x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点旳三角形与ADE ∆相似？假设存在，请求出点F 旳坐标，假设不存在，请说明理由；〔3〕在抛物线旳对称轴上是否存在点G ，使△GBC 中BC G 旳坐标；假设不存在，请说明理由、解：〔1〕北京市西城外国语学校2018—2016学年度第一学期九年级数学期中考试【答案】2018.11.6【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕CDBDDBDACB【二】填空题〔此题共24分，每题4分〕11、12-=x y .12、3:5.13、2.14、4.15、 .16、25,58.. 三解答题17、〔1〕∵二次函数23y x bx =+-旳图象通过点A (2，5)，∴4235b +-=、 ............................................. 1分 ∴2b =、∴二次函数旳【解析】式为223y x x =+-、 ...................... 2分〔2〕223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-、 .................................................. 5分18、∵对称轴是x =－1，抛物线过点〔－3，0〕∴抛物线与x 轴另一交点是〔1，0〕---------------------1分∴设抛物线旳【解析】式.：()()13-+=x x a y ---------------------2分 ∵抛物线过点〔-2，-6〕 ∴()()12326--+-=-a∴2=a ---------------------4分∴()()132-+=x x y 即：6422-+=x x y ------------------5分19、〔1〕证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠B =∠ECF ，∠DAE =∠AEB 、……2分 又∵∠DAE =∠F ， ∴∠AEB =∠F .∴△ABE ∽△ECF 、 .......................................................... 3分 〔2〕解：∵△ABE ∽△ECF ， ∴AB BE EC CF=. ........................................................... 4分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD =8.∴EC =BC -BE =8-2=6. ∴526CF=. ∴125CF =.……………………………………………5分20、〔1〕〔3，0〕〔1，0〕；〔0，3〕……………2分 〔2〕图象差不多正确，列表……………3分 〔3〕①1<x<3………4分 ②－1≤y ≤3………5分21、如图，在平面直角坐标系中，A 〔-1，1〕，B 〔-2，-1〕、〔1〕以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来旳2倍，请在图中画出放大后旳线段CD ；……………2分〔2〕在〔1〕旳条件下，写出点A 旳对应点C 旳坐标为(-2,2)或〔2,-2〕， 点B 旳对应点D 旳坐标为〔-4，-2〕或〔4,2〕、………6分 22、〔1〕160012022-+-=x x y ；……………3分 〔2〕200)30(22+--=x y ………6分23、证明△AMD 与△AME 相似………6分 24、〔1〕抛物线旳顶点坐标为〔5，5〕，与y 轴交点坐标是〔0，1〕………1分设抛物线旳【解析】式是y=a(x －5)2＋5………………………………2分把〔0，1〕代入y=a(x －5)2＋5得a=－425………………………3分 ∴y=－425(x －5)2＋5〔0≤x ≤10〕=2481255x x -++………………4分 〔2〕由得两景观灯旳纵坐标差不多上4∴4=－425(x －5)2＋5 ∴425(x －5)2=1，解得x 1=152，x 2=52………………………………5分 ∴两景观灯间旳距离为5米、……………………………………………6分25、〔1〕3AB EH =,2CG EH =,32.………………………3分 〔2〕2a.……………………………………………5分 〔3〕mn .………………………………………6分26、〔1〕将t=2代入抛物线E 中，得：y=t 〔x 2-3x+2〕+〔1-t 〕〔-2x+4〕=2x 2-4x=2〔x-1〕2-2，∴现在抛物线旳顶点坐标为：〔1，-2〕；.………1分 〔2〕点A 在抛物线E 上，………2分理由如下：∵将x=2代入y=t 〔x 2-3x+2〕+〔1-t 〕〔-2x+4〕，得y=0， ∴点A 〔2，0〕在抛物线E 上、〔3〕∵点B 〔-1，0〕在抛物线E 上， ∴将x=-1代入抛物线E 旳【解析】式中，得：n=t 〔x 2-3x+2〕+〔1-t 〕〔-2x+4〕=6、……4分 ∵将抛物线E 旳【解析】式展开，得：y=t 〔x 2-3x+2〕+〔1-t 〕〔-2x+4〕=t 〔x-2〕〔x+1〕-2x+4 ∴抛物线E 必过定点〔2，0〕、〔-1，6〕；……6分 〔4〕不是、∵将x=-1代入y=-3x 2+5x+2，得y=-6≠6，∴二次函数y=-3x 2+5x+2旳图象不通过点B 、∴二次函数y=-3x 2+5x+2不是二次函数y=x 2-3x+2和一次函数y=-2x+4旳一个“再生二次函数”、……8分 27、解：〔1〕抛物线m m mx y +++=532与y 轴交于点C 〔0,4〕，∴5 4.m +=∴ 1.m =-………1分 〔2〕抛物线旳【解析】式为234y x x =-++.可求抛物线与x 轴旳交点A 〔-1，0〕，B 〔4，0〕. 可求点E 旳坐标3(,0)2.由图知，点F 在x 轴下方旳直线AD 上时，ABF ∆是钝角三角形，不可能与ADE ∆相似，因此点F 一定在x 轴上方.现在ABF ∆与ADE ∆有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况： ①当AB AEAF AD=时，由于E 为AB 旳中点，现在D 为AF 旳中点， 可求F 点坐标为〔1，4〕.………3分②当AB AD AF AE =时，55AF AF =解得过F 点作FH ⊥x 轴，垂足为H .可求F 旳坐标为352（，）.…………4分 (3)在抛物线旳对称轴上存在符合题意旳点G .由题意，可知△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 为 4.y x =-+可求与直线BC y =-x +9或y =-x -1.………6分 ∴点G 在直线y =-x +9或y =-x -1上.∵抛物线旳对称轴是直线23=x , ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-==.9,23x y x 解得..215,23⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x或⎪⎩⎪⎨⎧--==.1,23x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,23y x∴点G 旳坐标为31535(,)-2222或（，）.………8分。