2018年高考数学(理)复习：第1部分 专题4 第9讲 空间中的平行与垂直关系含答案

第9讲空间中的平行与垂直关系
题型1 空间位置关系的判断与证明
(对应学生用书第30页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】(考查空间位置关系的判断)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
[解析] 根据所给的已知条件作图，如图所示．
由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.
[答案] D
【典题2】(考查空间位置关系的证明)如图9­1，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
图9­1
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积．
[思路分析] (1)通过证明PA⊥平面ABC得PA⊥BD；
(2)通过证明BD⊥平面PAC得面面垂直；
(3)由PA∥平面BDE，D为AC的中点得PA与DE的位置及数量关系，从而
求出三棱锥的体积．
[解] (1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，且AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.
又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BD.
(2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC.
由(1)知，PA ⊥BD ，且PA ∩AC ＝A ，
所以BD ⊥平面PAC ，
所以平面BDE ⊥平面PAC.
(3)因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE. 因为D 为AC 的中点，
所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2.
由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，
所以三棱锥E ­BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13
. [类题通法] 平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
■对点即时训练………………………………………………………………………·
如图9­2所示，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面
ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ＝ 2.。