高中试卷河北省正定中学2014-2015学年高一下学期第三次月考 数学

高一第二学期第三次月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题: （本大题共12个小题,每小题5分,共60分.）1．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B = （ ） A ．(3,0)- B ．(3,1]-- C ．(3,1)-- D ．(3,3)-2．若直线(1)3ax a y +-=与(1)(23)2a x a y -++=互相垂直，则a 等于（ ） A ．3 B ．1 C ．0．1或－3 3．将函数y ＝3sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ） A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若⊥，∥，则⊥； ②若⊥，⊥，则∥； ③若∥，∥， ⊥，则⊥； ④若m αγ⋂=，=，∥ ，则∥．其中正确命题的序号是（ ）A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和④5．设变量y x ,满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则43z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10γn βαn m n ⋂βγm αm γββαβαγβγαm αn αm γβαn m6．某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是（ ） ABCD7.ABC ∆中，A 30,AB 4,=︒=满足此条件的ABC ∆有两解，则BC 边长度的取值范围为（ ） B.(2 ,4) C.(4,)+∞ D.8．已知数列{}n a 的前n 项和=21n n S -，则此数列的奇数项的前n 项和是（ ）M 是棱PC 上一点. 若）10．已知函数()αx x f =的图象过点()2,4，令()()n f n f a n ++=11，*N n ∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2013S ＝（ ）A 11．已知ABC ∆中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AC AB 、于F E 、两点，若()0>=λλ，()0AC AF μμ=> ，则μλ41+的最小值是（ ）A ． 9B ．27 C ．5 D ．29 12．若定义在R 上的函数()(1)()y f x f x f x =+=-满足满足，且当]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，函数⎩⎨⎧≤>=1,21),1-(log )(3x x x x g x，则函数()()-()h x f x g x =在区间]5,5[-内的零点的个数为（ ） A ．6 B. 7 C. 8 D. 9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分，将答案写在答题纸上）13．经过点()3,2且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程为 ． 14．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，R x ∈，则)(x f 的最小值是 .15．已知ABC ∆的三个顶点在以O,3,1==AC BC 三棱锥ABC O -O 的表面积为 ． 16．已知数列{}n a 中，1=9a ，则100a 的值为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分） 已知函定义域为集合A ，函值域为集合B ,U R =.（1）求 ()U C A B ⋂；（2）若{}|21C x a x a =≤≤-且B C ⊆,求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）对的边分别记为a ，b ，c ，并且（2）若12=⋅AC AB ，，求b ，c （其中c b <）． 19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （2）求点C 到平面1A BD 的距离．20. （本小题满分12分）如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点.ABC D1A1C1B（1）若点Q 在线段上，且满足QC AQ 3=，求证：BCDPQ 平面//； （2）若︒=∠60BDC ,求二面角的大小. 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且222n n S a n =+（n *∈N ）． （1）求n a ，n S ；（2）若k a ，22k a -，21k a +（k *∈N ）是等比数列{}n b 的前三项，设112233n n n a b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+，求n T ．22．（本小题满分12分）已知函数()f x =21442.x x ax ax x a x a ⎧≥⎪⎨⨯<⎪⎩－－＋，，－， (1)若a x <时，()1<x f 恒成立，求a 的取值范围；(2)若4-≥a 时，函数()x f 在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围．高一数学第三次月考答案BDBAC ABCBC DC13．5023=+=-y x y x 或. 14．221-15．12π 16．12065 17．（1）01>-x ，()+∞=∴,1A ，(]1,∞-=A C U ；01≤≤-x ，2211≤⎪⎭⎫⎝⎛≤∴x，[]2,1=B ;(){}1=∴B A C U ；当12->a a ，即1<a 时，{}φ=-≤≤12|a x a x ，符合题意；AC D BM C --当12-≤a a ，即1≥a 时，若{}[]2,112|⊆-≤≤a x a x ，则⎩⎨⎧≤-≥2121a a ，即231≤≤a ；综上所述，23≤a . 18．（1）B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， 23sin =∴A ，3π=∴A ． （2）cos 12AB AC bc A ⋅==，24=∴bc ，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，10=+∴c b ，c b < ，4=∴b ，6=c ． 19．（1）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ． （2）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B设点C 到平面1A BD 的距离为d ．由11A BCD C A BD V V --=得11133BCD A BD S S d = △△， ABC D1A 1C1BOF12A BD d ∴==△∴点C 到平面1A BD的距离为2． 20.（1）证明：如图所示,取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以MD PO //且MD PO 21=；取CD 的四等分点H ，使DH=3CH ， 且AQ =3QC, 所以,QH PO //且QH PO =，所以，四边形OPQH 为平行四边形，所以OH PQ //，且OH BCD ⊂,所以PQ//面BDC. (2)做BD CG ⊥于G ，做BM GH ⊥与H ，连接CH,BCD AD 面⊥ BD AD ⊥∴ 又,BD CG ⊥ D BD AD = ABD CG 面⊥∴ 又 ABD BM 面⊂ BM CG ⊥∴，又BM GH ⊥ ，H GH CH = CGH BM 面⊥∴CH BM ⊥∴GHC ∠∴即为所求.262226=⋅=⋅=BD CD BC CG . 2336=⋅=⋅=BM CM BC CH 23226sin ===∠∴CH CG GHC 又GHC ∠ 是锐角 3π=∠∴GHCABCDPQMOHD BM C --∴二面角为3π. 21．（1）2*22()n n S a n n N =+∈ ．1122S a ∴=+，又11S a =，故12a =；又2228S a =+，故22428a a +=+，得24a =； 等差数列{}n a 的公差21422d a a =-=-=．. 所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=, 21()(22)22n n n a a n n S n n ++===+． （2）由已知有22221k k k a a a -+=⋅，故24(22)22(21)k k k -=⋅+，即22940k k -+=．解得4k =，或12k =，又*k N ∈，故4k =．∴等比数列{}n b 的公比为6214263242a b q b a ⨯====⨯，首项为148b a ==． 所以11138()2n n n b b q --==⨯． 所以1332328()()232n n n n a b n n -=⋅=⋅． 23323333[12()3()()]32222n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ．2313323333[1()2()(1)()()]232222n n n T n n +=⨯+⨯++-+⨯ ． 23323333[()()]16()232222n n n n T T n ∴-=+++-⨯ ． 12分33[1()]1323332216()32[1()]16()32322212n n n n n T n n -∴-=⨯-⋅=---⋅-332(1632)()2n n =---⋅． 36432(2)()2n n T n ∴=+-⋅．.22．(1)因为x<a 时，f(x)＝4x－4×2x －a，所以令t ＝2x ，则有0<t<2a.当x<a 时f(x)<1恒成立，转化为t 2－4×2a t －1<0在t ∈(0，2a)上恒成立．设g(x)=t 2－4×2a t－1,根据图象可知，只需满足()()⎩⎨⎧≤≤0200ag g 即可. ⎪⎩⎪⎨⎧≤-⋅-≤-012242012a aa 解得，5log 4≤a (2)当x ≥a 时，f(x)＝x 2－ax ＋1，即f(x)＝22a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1－24a ，当2a≤a 时，即a ≥0时，f(x)min ＝f(a)＝1； 当2a >a 时，即－4≤a<0，f(x)min ＝f 2a ⎛⎫⎪⎝⎭＝1－24a .当x<a 时，f(x)＝4x－4×2x －a，令t ＝2x，t ∈(0，2a)，则h(t)＝t 2－42a t ＝222a t ⎛⎫- ⎪⎝⎭－44a ，当22a <2a ，即a> 12时，h(t)min ＝h 22a⎛⎫⎪⎝⎭＝－44a； 当22a≥2a ，即a ≤12时，h(t)在开区间t ∈(0，2a )上单调递减，h(t)∈(4a－4，0)，无最小值． 综合x ≥a 与x<a ，所以当a> 12时，1>－44a ，函数f(x)min ＝－44a ；当0≤a ≤12时，4a－4<0<1，函数f(x)无最小值；当－4≤a<0时，4a－4<－3≤1－24a ，函数f(x)无最小值．综上所述，当a>12时，函数f(x)有最小值． -END--END-。