运动学复习

第五讲 机械波1. 机械波的形成机制。

2. 一维简谐波的函数描述。

3. 多普勒效应。

说明：本讲知识总量巨大，所以例题适当减少。

第一部 机械波的产生知识点睛1. 实例引入：如图为一粒石子落入水中后发生的事情，石子在水面上某处引起振动，由于相邻水分子间有力的作用，以及水的重力，周围的水也连带振动起来了。

这是人类最早意识到的“波”。

（可以计算，浅水中波速v 满足gh v,其中h 为水的深度）。

如图为艺术体操上的长绸舞，人只要抖起一端，整根绳子在绳张力的带动下就都运动起来了。

越往右的绳子启动的时间就越晚，所以在绳子上就形成了波形图。

如图为人浪，在足球赛场上比较常见，当某人因为某种情绪决定开始上下振动的时候，他旁边的人受到他的感染也开始上下振动，振动依次传染出去，大家的头顶形成的图形就叫“波形”，波形平移就叫波的传播，平移的速度就叫波速。

知识模块本讲提纲【思考】有个成语叫“随波逐流”，那么“波”真的是我们看到的物质在“流”么，上面人浪问题中，形成波的人群的头，是否因为波的传播在平移？ 2. 机械波的形成通过上述实例，我们认识到：机械振动在介质中的传播形成机械波，波传递的是振动和能量，而介质本身并不迁移。

机械波产生条件为： 1）振源；2）能传递振动的介质。

在宏观上，可将气体、液体或固体当作连续体，其体内各个相邻的质元间以相互作用力维系着。

这些物质都可以看做是介质。

如图：研究机械波常用的建模方法是把介质看成具备相互作用力的质点，通过对局步列动力学方程研究波形的形成与传播。

由于数学上难度较大，本讲讲义就不从力的角度给大家推导波形形成的规律了，直接引入振动函数进行推导。

下面我们用一串质点演示一列波的形成：t =0时刻，一列质点处于平衡位置，但是x=0位置的质点已经开始向上运动.4Tt =时刻，0号质点已经振动到了最高点，但是x=0位置的质点由于启动的晚了一点，所以正努力向上振，依次，越往后的质点启动越晚，向上的位移越少，而x=3位置的质点刚刚开始向上运动。

2Tt =时刻，0号质点已经完成了半次全振，1号质点正追随0号振向平衡位置，顺次…x=6位置的质点刚启动，注意对比这张图片与上张，刚才位于0号位置的一个“波峰”经过四分之一周期，已经“平移”到了3号位置，整个波形向右“运动”了，所以波的传播也是“波形”的平移。

43Tt =时刻，以上规律依然成立，具体不解释。

T t =时刻，振源完成一次全振，介质上形成一个完成的振动图像，我们把这个图形的空间周期叫波长，用字母λ表示。

如果介质均一，传播速度v 也一定，根据tsv =，再结合刚才的分析，当T t =时，λ=s ，所以有：Tv λ=也可以记为：f v λ= 其中f 为频率，这个公式对所有的波都成立。

以后的过程是上面过程的周期性重复，这就形成了稳定的波形。

自然界存在两种简单的波：质点振动方向与波的传播方向垂直时，称为横波；与传播方向一致时，叫纵波，具有切变弹性的介质能传播横波；具有体变弹性的介质可传播纵波，固体液体中可以同时有横波和纵波，而在气体中一般就只有纵波存在了。

如下图，分别为横波与纵波演示。

【思考】如地球内部发生剧烈振动，振动分别以横波与纵波传到地面，哪种波对震中地区的房屋产生破坏要大？（勤于思考的同学可以问问老师地震面波的形成以及破坏机理）【总结】对于机械波的两种理解方式：①每一个质点独立的做简谐振动，但是振动形式沿着介质传播，每个质点启动后“学习”前一质点的振动，每一个质点都可以当做后面质点的波源。

②波形按波速“平移”，每一个质点根据波形的“要求”处于合适的位置。

判断波上质点振动方向：通常用的方法有波形平移法，反向爬坡法，三角形旋转法等，由于都是总结性规律，我们就以实例介绍了例题精讲：【例1】如图是沿x轴正方向传播的0x=处的质t=时刻的一列简谐横波，波速为2.0m/s．图中2m 点P的振动图象应是下图中的哪一个【例2】一列简谐横波在二轴上传播（振动位移沿y 轴）．己知x=12cm处的质元的振动图线如图1所示，x=18cm处的质元的振动图线如图2所示．根据这两条振动图线，可获得关于这列简谐横波的确定的和可能的信息（如频率、波速、波长等）是哪些？第二部 机械波的产生知识点睛1．波动方程如图所示，一列横波以速度v 沿x 轴正方向传播，设波源O 点的振动方程为：)cos(0ϕω+=t A y在x 轴上任意点P 的振动比O 点滞后时间v xt p =，即当O 点相位为)(0ϕω+t 时，P 点的相位为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-0)(ϕωv x t ，由fπω2=，f v λ=，T lf =，P 点振动方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=0)(cos ϕωv x t A y )22cos(0λπϕπx ft A --=)22cos(0λπϕπx t T A -+=这就是波动方程，它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。

当波向x 轴负方向传播时，（2）式只需改变v 的正负号。

由波动方程，可以（1）求某定点1x 处的运动规律 将1x x =代入，得)22cos(101λπϕπx t T A y -+=)cos(1ϕω+=t A其中λπϕϕ1012x -=为1x 质点作简谐振动的初相位。

（2）求两点1x 与2x 的相位差将2x x =代入（2）式，得两点1x 、2x 的相位差 λπϕϕϕ12212x x -=-=∆若kk x x (2212⋅=-λ为整数），则πϕk 2=∆，则该两点同相，它们的位移和速度都相同。

若kk x x (2)12(12λ+=-为整数），则πϕ)12(+=∆k ，则该两点相位相反。

2.波的叠加和干涉当空间存在两个（或两个以上）振源发出的波时，空间任一点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和，这叫做波的叠加原理。

当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时，会出现某些地方振动增强，某些地方振动减弱的现象，叫做波的干涉，这样的两列波叫相干波。

下图是水波的干涉实验图与解释图OPxyv设有两列相干波自振源1S 、2S 发出，两振源的位相相同，空间任一点P 至1S 的距离为1r ，至2S 的距离为2r ，则两列波在P 点产生的振动的相位差为 λπϕ122r r -=∆当k k (2πϕ⋅=∆为整数），即当波程差2212λ⋅=-=∆k r r r 时，P 点的合振动加强；当πϕ)12(+=∆k ，即当波程差2)12(12λ+=-=∆k r r r时，P 点的合振动减弱，可见P 点振动的强弱由波程差12r r r -=∆决定，是P 点位置的函数。

总之，当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时，该点振动的合振幅最大，即其振动总是加强的；当某一点距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时，该点振动的合振幅最小，即其振动总是削弱的。

3.波的反射、折射当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时，一部分返回原介质中，称为反射波；另一部分将透入第二种介质继续传播，称为折射波，入射波的传播方向与交界面的法线成i 角，（i 叫入射角），反射波的传播方向与交界面的法线成i '角（i '叫反射角）。

折射波的传播方向与法线成γ角（γ叫折射角），如图，则有i i '= （1）21sin sin c c r i =（2）式中1c 为波在入射介质中的传播速度，2c 为波在折射介质中的传播速度， （1）式称为波的反射定律， （2）式称为波的折射定律。

{1S P2S dr∆1r 2r弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射，反射的波形有所不同。

设弦上有一向上脉冲波，如图，传到自由端以后反射，自由端可看成新的振源，振动得以继续延续下去，故反身波仍为向上的脉冲波，只是波形左右颠倒。

当弦上有向上脉冲波经固定端反射时，固定端也可看成新的“振源”，由牛顿第三定律，固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的作用力方向相反，故反射脉冲向下，即波形不仅左、右颠倒，上、下也颠倒，这时反射波可看成入射波反向延伸的负值，将周期波看成一系列连续脉冲，周期波经自由端或固定端的反射也可由此得出。

波在传播过程中遇到障碍物时，偏离原来的传播方向，传到障碍物“阴影”区域的现象叫波的衍射。

当障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多时，衍射现象比较明显；当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候，衍射现象仍然存在，只是发生衍射的部分跟直进部分相比，范围较小，强度很弱，不够明显而已。

此外，在障碍物或小孔尺寸一定的情况下，波长越长，衍射现象越明显。

5.多普勒效应站在铁路旁边听到车的汽笛声，发现当列车迎面而来时音调较静止时为高，而列车迅速离去时音调较静止时为低，此外，若声源静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发生收听频率和声源频率不一致的现象，这种现象称为多普勒效应。

下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式：（1）波源静止观察者运动情形如图所示，静止点波源发出的球面波波面是同心的，若观察者以速度D v 趋向或离开波源，则波动相对于观察者的传播速度变为Dv c c +='或D v c c -='，于是观察者感受到的频率为λλDv c c f ±='='iir1C 2C Dv cD SDDv cc c ccccλvsT+='λλvsT-='λλλDD从而它与波源频率f 之比为c v c f f D±=' （2）波源运动观察者静止情形若波源以速度S v 运动，它发出的球面波不再同心。

图所示两圆分别是时间相隔一个周期T 的两个波面。

它们中心之间的距离为S v T ，从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说，有效的波长为T v c T v S S )( ==''λλ观察者感受到的频率为SS v c cf T v c c c f ==''=')(λ 因而它与波源频率f 之比为Sv c c f f ='（3）波源和观察者都运动的情形此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况，这时有效波速和波长都发生了变化，观察者感受到的频率为f v c v c T v c v c c f SDS D ±=±='''=')(λ 从而它与波源频率f 之比为 S Dv c v c f f ±=' 声波总在一定的介质中传播，上面所说的静止和运动，都是相对于介质而言的，在这里声源速度sv 和观察者速度D v 在公式里的地位不对称：1）若声源和观察者相向运动时，上式中取“D v +”、“s v -”；2）若声源和观察者相背运动时，上式中取“D v -”、“s v +”；3）若声源和观察者均沿波传播的方向运动时，上式中取“D v -”、“s v -”；⑷ 若声源和观察者均逆着波的传播方向运动时，上式中取“D v +”、“s v +”．多普勒效应不限于声波（机械波），对于真空中的电磁波（光波），由于光速c 与参照系无关，多普勒效应的公式中只出现观察者对光源的相对速度v ．波的传播方向、声源速度、观察者速度三者不共线的一般情况是比较复杂的，这里只要考虑在连线方向的速度分量即可，这里不再赘述．此外，在上述经典的多普勒效应中只有纵向效应，没有横向效应，而在相对论中，除纵向外，还有横向多普勒效应．有兴趣的同学可以查阅相关资料．例题精讲：【例3】 已知波动方程如下，求波长、周期和波速。