§3.5 保守力与非保守力及势能
合集下载
大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-5 保守力与非保守力
①引力势能 引力势能
m' m m' m 引力的功 引力的功 WAB = −(−G r ) − (−G r ) B A
A点势能： 点势能： 且令E 设B点为无限远 即rB=∞ 且令 PB=0 点为无限远
m' m WAB = −G rA
= − ( E pB − E pA ) = E pA
功与路径无关，只决定于初末位置。 功与路径无关，只决定于初末位置。 第三章 动量守恒和能量守恒
4
} ⇒ dW
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W = ∫ Fdx = ∫
x1
x2
x1
1 2 1 2 − kxdx = −( kx2 − kx1 ) 2 2
5
第三章 动量守恒和能量守恒
W p → p0 = −( Ep0 − Ep ) = −∆Ep
E p ( x, y, z) =
∫
E p0 = 0
( x, y,z )
F ⋅ dr
任意一点的势能等于在保守力作用下 从该点到势能零点保守力所作的功
第三章 动量守恒和能量守恒 10
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
W AB = − ( E pB − E pA ) = − ∆ E P
引力的功 引力的功
m' m m' m WAB = −(−G ) − (−G ) rB rA
引力势能 引力势能
m' m Ep = −G r
弹性势能 弹性势能
弹力的功 弹力的功
W AB 1 1 2 2 = − ( kx B − kx A ) 2 2
m' m m' m 引力的功 引力的功 WAB = −(−G r ) − (−G r ) B A
A点势能： 点势能： 且令E 设B点为无限远 即rB=∞ 且令 PB=0 点为无限远
m' m WAB = −G rA
= − ( E pB − E pA ) = E pA
功与路径无关，只决定于初末位置。 功与路径无关，只决定于初末位置。 第三章 动量守恒和能量守恒
4
} ⇒ dW
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W = ∫ Fdx = ∫
x1
x2
x1
1 2 1 2 − kxdx = −( kx2 − kx1 ) 2 2
5
第三章 动量守恒和能量守恒
W p → p0 = −( Ep0 − Ep ) = −∆Ep
E p ( x, y, z) =
∫
E p0 = 0
( x, y,z )
F ⋅ dr
任意一点的势能等于在保守力作用下 从该点到势能零点保守力所作的功
第三章 动量守恒和能量守恒 10
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
W AB = − ( E pB − E pA ) = − ∆ E P
引力的功 引力的功
m' m m' m WAB = −(−G ) − (−G ) rB rA
引力势能 引力势能
m' m Ep = −G r
弹性势能 弹性势能
弹力的功 弹力的功
W AB 1 1 2 2 = − ( kx B − kx A ) 2 2
大学物理-保守力与非保守力
第三章 动量守恒和能量守恒
4/12
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 2 保守力作功的数学表达式
∫
(The mathematical expression of work by the conservative force)
ACB
F ⋅ dr = ∫
F ⋅ dr =
ADB
F ⋅ dr
∫
BDA
m 从 A 到 B 的过程中 作功： 的过程中F作功 作功：
A mθ m'm W = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 2 er ⋅ dr dr r A r rA e r dr er ⋅ dr = er ⋅ dr cos θ = dr r + dr
B
rB m'm B W = ∫ − G 2 dr rA r 1 1 m'm W = Gm′m( − ) W = −G dr = 0 2 rB rA l r
Elastic potential energy
m' m Ep = −G r
1 E p = kx 2 2
6/12
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 物体在地球表面附近距地面高为y时 具有的引力 物体在地球表面附近距地面高为 时,具有的引力 势能称为重力势能 重力势能(Gravity potenial) Ep = −mgy 重力势能 保守力的功(Work of conservative force) 保守力的功
第三章 动量守恒和能量守恒
z = 0, Ep = 0
11/12
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节： 选择进入下一节：
4/12
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 2 保守力作功的数学表达式
∫
(The mathematical expression of work by the conservative force)
ACB
F ⋅ dr = ∫
F ⋅ dr =
ADB
F ⋅ dr
∫
BDA
m 从 A 到 B 的过程中 作功： 的过程中F作功 作功：
A mθ m'm W = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 2 er ⋅ dr dr r A r rA e r dr er ⋅ dr = er ⋅ dr cos θ = dr r + dr
B
rB m'm B W = ∫ − G 2 dr rA r 1 1 m'm W = Gm′m( − ) W = −G dr = 0 2 rB rA l r
Elastic potential energy
m' m Ep = −G r
1 E p = kx 2 2
6/12
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 物体在地球表面附近距地面高为y时 具有的引力 物体在地球表面附近距地面高为 时,具有的引力 势能称为重力势能 重力势能(Gravity potenial) Ep = −mgy 重力势能 保守力的功(Work of conservative force) 保守力的功
第三章 动量守恒和能量守恒
z = 0, Ep = 0
11/12
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节： 选择进入下一节：
3-5 保守力和非保守力
F dr
ADB
F dr
F dr
ADB
W F dr
L
ACB
F dr 0
物体沿闭合路径运动一周时，保守力做功为零
W F dr 0
L
三 势能 E p 1.定义：
设保守力 F 将质点 m 由a→b，保守力的功： b Wab F dr EPa EPb ～势能 E P a
④系统具有势能的条件是物体之间的相互作用力必 须是保守力，而对非保守力系统谈论势能，则没有 任何意义。 如：摩擦力为非保守力，不存在什么摩擦势能。
§3-6 功能原理
机械能守恒定律
动能定理适合于单个物体，也可将其推广到多个 物体组成的系统，成为系统的功能原理。 一、质点系的动能定理 设系统由n个物体（质点）组成，作用于各个质点 的力所作的功分别为：
Mm 1 EP＝ r －G r 2 dr GMm r
F m r
M
o
③弹性势能
Wab
xb
xa
1 2 1 2 kxdx ( kxb kxa ) EP 2 2
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
1 1 2 E P kxdx (0 kx ) kx 2 x 2 2 势能曲线对照表(势能随位置变化的曲线～势能曲线)
重力势能曲线
弹性势能曲线
万有引力势能曲线
WCin ( EPi EPi0 )
i 1 i 1
n
n
质点系的动能定理：
W Wnc ( Eki EPi ) ( Eki0 EPi0 )
ex in i 1 i 1 i 1 i 1
保守力与非保守力
保守力与非保守力Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。
非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。
严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。
通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。
⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。
重力、弹力等属于保守力。
耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。
摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。
耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。
例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。
③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。
保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。
3-5 保守力与非保守力
第三章 动量守恒和能量守恒 5
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
v v v v A F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr ∫ACB ADB v v v v v v ∫l F ⋅ dr = ∫ACB F ⋅ dr + ∫BDA F ⋅ dr v v W = ∫ F ⋅ dr = 0
l
C
第三章 动量守恒和能量守恒 1
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
v m从A到B的过程中 F 作功： 从 到 的过程中 作功：
v v B m'm v v W = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 2 er ⋅ dr A A r v v r v v v v rA er ⋅ dr = er ⋅ dr cos θ = dr
则
v v v v F = Fx i + Fy j + Fz k ∂E P v ∂EP v ∂E P v = − ∂x i + ∂y j + ∂z k
第三章 动量守恒和能量守恒 11
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 重力势能 重力势能
B
质点沿任意闭合路径运动一周时， 质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力 闭合路径运动一周时 对它所作的功为零． 对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关． 非保守力：力所作的功与路径有关． 例如摩擦 摩擦力 （例如摩擦力）
第三章 动量守恒和能量守恒 6
物理学
第五版
• 势能
3-5 保守力与非保守力 势能 -
势能 重力功 重力功
W = −(mgzB − mgzA )
引力功 引力功 m' m m' m W = −(−G ) − (−G ) rB rA 弹力功 弹力功 引力势能 引力势能
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
v v v v A F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr ∫ACB ADB v v v v v v ∫l F ⋅ dr = ∫ACB F ⋅ dr + ∫BDA F ⋅ dr v v W = ∫ F ⋅ dr = 0
l
C
第三章 动量守恒和能量守恒 1
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
v m从A到B的过程中 F 作功： 从 到 的过程中 作功：
v v B m'm v v W = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 2 er ⋅ dr A A r v v r v v v v rA er ⋅ dr = er ⋅ dr cos θ = dr
则
v v v v F = Fx i + Fy j + Fz k ∂E P v ∂EP v ∂E P v = − ∂x i + ∂y j + ∂z k
第三章 动量守恒和能量守恒 11
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 重力势能 重力势能
B
质点沿任意闭合路径运动一周时， 质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力 闭合路径运动一周时 对它所作的功为零． 对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关． 非保守力：力所作的功与路径有关． 例如摩擦 摩擦力 （例如摩擦力）
第三章 动量守恒和能量守恒 6
物理学
第五版
• 势能
3-5 保守力与非保守力 势能 -
势能 重力功 重力功
W = −(mgzB − mgzA )
引力功 引力功 m' m m' m W = −(−G ) − (−G ) rB rA 弹力功 弹力功 引力势能 引力势能
第 03章 2 次课 -- 动能定理 保守力和非保守力 功能原理
上海师范大学
3 /17
§3. 4 三、质点的动能定理
动能定理
外力F作用在质点上, 对质点做功, 质点的速率发生变化, 因此能量发生变化.
外力所做的功W与质点的能量有什么定量 关系吗?
dv 由 W F dr F cos dr Ft dr Ft ds 和 Ft m
A
dW F dr
W F r
A
W
B
B F dr F cosdr
r
是在力的作用下产生的位移.
W Fi dr Fi dr Wi
合力的功 = 各分力的功的代数和
i
W W1 W2 W3 Wi
5. .直角坐标系中的功
F Fx i Fy j Fz k； dr dxi dyj dzk
W Fx dx Fy dy Fz dz
6. 功的单位
Wx Wy Wz
1 /17
1J 1N m
上海师范大学
§3. 4 二、功率
12 /17
§3.5 四、势能曲线
保守力与非保守力 势 能
势能是空间位置的函数, 将这种函数用图形表示就称为势能曲线.
Ep mgz
1 E p kx 2 2
m'm Ep G r
Ep
Ep
O
Ep
x
O
重力势能曲线
z
x
O
弹性势能曲线
引力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
v v0 e
t 0
x
dt
W b (0 e
3-5保守力与非保守力_势能
陨石在“天外”时 rA
时，E pA＝0
落到地面时， rB=6.4×106 m
WAB
GmM 6.67 1011 5 103 6 1024 11 3.110 ( J ) 6 rB 6.4 10 19
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
5）保守力的功等于势能增量的负值
重力 弹力
WGAB (mgy2 mgy1 ) ( E p 2 E p1 )
WeAB
可统一写成
1 2 1 2 ( kx2 kx1 ) ( E p 2 E p1 ) 2 2 W保 E p ( E p 2 E p1 )
L
f 保 dr 0
保守力的环流为零（保守力沿任意闭合路径 的线积分叫做保守力的“环流”）。 描述矢量场基本性质的方程形式。
8
3-5 保守力与非保守力 势能
证明第二种表述： f 保 dr 0
L
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F保
1
L
f 保 dr
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
讨论
1）只有保守力才有相应的势能 2）势能属于有保守力作用的体系（质点系） (对应一对内力作功之和) 3）势能与参考系无关(与相对位置有关) 4）质点系的内力可分为 保守内力 (作功与路径无关) 非保守内力 (作功与路径有关) 耗散力
10
3-5 保守力与非保守力 势能
3-5 保守力与非保守力 势能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一. 重力作功与重力势能
dr dxi dyj
WG
B A
G mgj
y
y1 y2
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系是一个基本的物理原理，它描述了一个物体在受到保守力作用下，其势能的变化与所受的保守力所做的功之间的关系。
首先，我们来定义保守力。
保守力是一个与路径无关的力，它只与物体的位置有关。
这意味着，如果一个物体沿着一个闭合回路运动，受到的保守力所做的总功为零。
常见的保守力有重力和弹性力。
当一个物体受到保守力作用时，它的势能会发生变化。
势能是描述物体位置所具有的能量。
根据势能的定义，势能的变化可以通过将物体从一个位置移动到另一个位置时保守力所做的功来计算。
根据物体在保守力作用下的势能变化，我们可以得出以下关系：
势能变化 = -保守力所做的功
这个关系可以解释为，当保守力对物体做正功时，物体的势能减少；反之，当保守力对物体做负功时，物体的势能增加。
这个关系也可以用数学公式来表示。
假设物体在从位置A移动到位置B时，保守力所做的功为W_AB，物体在位置A的势能为U_A，位置B
的势能为U_B，则势能变化为：
ΔU = U_B - U_A = -W_AB
其中，ΔU表示势能变化。
需要注意的是，这个关系只适用于保守力。
非保守力所做的功不能简单地与势能变化相联系。
非保守力所做的功还需要考虑其他能量转化形式，比如热能、摩擦力等。
总结起来，保守力做功和势能变化之间存在着简单的关系。
势能变化等于保守力所做的功的负值。
这个关系对于理解物体在保守力作用下的运动和能量转化非常重要。
3-5 保守力与非保守力 势能
W (G m r'B m )(G m r'A m )
O
B
r(t)
dr
r(tdt)
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
2 ） 重力作功
y
Pmg j
d r d x i d y j
3 – 5 保守力与非保守力 势能
F d r F d r ACB ADB
A
F d r F d r F d r
l
ACB BDA
lFdr 0
A
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .
物理学教程 （第二版）
讨论
物理学教程 （第二版）
势能是状态函数
EpEp(x,y,z)
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 .
势能计算 W (E p E p)0 E p
令 Ep0 0 Ep(x,y,z)(E xp ,y0 ,z0 )F dr
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
引力势能
W (G m r'B m )(G m r'A m )
Ep
Gm'm r
弹力功
弹性势能
W(1 2kxB 21 2kxA 2)
Ep
1 2
k x2
保守力的功
W (E p2E p 1) E P
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
r , Ep0
yA
WBP dryBmdy g
A
O
B
r(t)
dr
r(tdt)
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
2 ） 重力作功
y
Pmg j
d r d x i d y j
3 – 5 保守力与非保守力 势能
F d r F d r ACB ADB
A
F d r F d r F d r
l
ACB BDA
lFdr 0
A
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .
物理学教程 （第二版）
讨论
物理学教程 （第二版）
势能是状态函数
EpEp(x,y,z)
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 .
势能计算 W (E p E p)0 E p
令 Ep0 0 Ep(x,y,z)(E xp ,y0 ,z0 )F dr
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
引力势能
W (G m r'B m )(G m r'A m )
Ep
Gm'm r
弹力功
弹性势能
W(1 2kxB 21 2kxA 2)
Ep
1 2
k x2
保守力的功
W (E p2E p 1) E P
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
r , Ep0
yA
WBP dryBmdy g
A
保守力的功 势能
势能计算 W (Ep Ep0 ) Ep
令 Ep0 0
Ep (x, y, z)
Ep0 0
F
dr
(x, y,z)
3–5 保守力与非保守力 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
求保守力：
一维情况：
保守力作的元功： dW Fxdx dEP (x)
Fx
dEP (x) dx
二维情况：
Fx
Fy
F3
、 、
F2
F4
是保守力； 是保守力
B
与质点坐标x,y的函数关系分别为
(1) (3)
(4)
F1 F3
F4
xxyyii(xx2j y
)
j
(2)
(3x2
6
y)i
(4
y
F2 6x)
j
4
xyi
2
x
2
j
判断F是否是保守力的结论是：
(A) 四个力都是保守力；
(B) 只有 F2 、 F4 是保守力；
(C) 只有
(D) 只有
F1
Ep
Ep
Ep
x
O
z
O
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x
O
弹性势能曲线 x 0, Ep 0
引力势能曲线
r , Ep 0
3–5 保守力与非保守力 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
下列说法正确的是：
(1) 保守力做正功时，系统内相应的势能增加。
(2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的
功为零。
3–5 保守力与非保守力 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
一 万有引力、重力、弹性力作功的特点
2 ） 重力作功
3-5 保守力与非保守力 势能
L
a1b b 2a
a1b
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
a 2b
f 保 dr = 0
通常：
L
f dl 0
1
dl b
a
qq 普遍意义： ˆ f 静电力： 1 2 2 r 环流为零的力场是保守场， 4 0 r 如静电场力的环流也是零， 环流不为零的矢 所以静电场也是保守场。类 量场是非保守场， 似还有库仑力场，分子力场 如磁场。
a
b
f r dr f r d s
a
(b )
b
m a
f r dr
R
b
f r ds mg R
(a)
Aab
直径
a
b
f r dr mg 2 R
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能 三 势能 势能 重力功 引力功 势能曲线
3 – 5 保守力与非保守力 势能 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1） 万有引力作功
物理学教程 （第二版）
m 以 m ' 为参考系， 的位置矢量为 r . m ' 对 m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
A m dr r (t ) r 方向单 位矢量 m ' r (t d t )
物理学教程 （第二版）
直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的
EP EP EP fy fz 方向导数分别是: f x x y z 保守力的分量式为： f f x x f y y f z z ˆ ˆ ˆ EP EP EP 则保守力可表示为：f ˆ ˆ ˆ x y z x y z
a1b b 2a
a1b
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
a 2b
f 保 dr = 0
通常：
L
f dl 0
1
dl b
a
qq 普遍意义： ˆ f 静电力： 1 2 2 r 环流为零的力场是保守场， 4 0 r 如静电场力的环流也是零， 环流不为零的矢 所以静电场也是保守场。类 量场是非保守场， 似还有库仑力场，分子力场 如磁场。
a
b
f r dr f r d s
a
(b )
b
m a
f r dr
R
b
f r ds mg R
(a)
Aab
直径
a
b
f r dr mg 2 R
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能 三 势能 势能 重力功 引力功 势能曲线
3 – 5 保守力与非保守力 势能 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1） 万有引力作功
物理学教程 （第二版）
m 以 m ' 为参考系， 的位置矢量为 r . m ' 对 m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
A m dr r (t ) r 方向单 位矢量 m ' r (t d t )
物理学教程 （第二版）
直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的
EP EP EP fy fz 方向导数分别是: f x x y z 保守力的分量式为： f f x x f y y f z z ˆ ˆ ˆ EP EP EP 则保守力可表示为：f ˆ ˆ ˆ x y z x y z
《大学物理》3-5-9保守力与非保守力
•冲量
复习
I＝
t2
Fdt
t1
•动量定理 •质点系的动量定理
I Fdt＝ P
I＝P－P0
•动量守恒定律 •功与功率
n
P＝
mivi
恒矢量
i 1
dW F dS
P＝ dW
dt
B B
W A F dr A F cos ds
第五次课
保守力与非保守力 ★ 势能
质点系的动能定理 质点系的功能原理
(2) 重力作功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
A
M2
M1 1
Fz
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
z M1
②
m①
M2
G
O
y
x
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路
径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
Ep
r
(G
mM r2
)dr
等势面
M
mr
G mM
F
r
引力的功
引力势能
W
(G
m' m )
rB
(G
m'm
rA
)
Ep
G
m' m r
弹力的功
弹性势能
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
Ep
1 2
k x2
x
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
复习
I＝
t2
Fdt
t1
•动量定理 •质点系的动量定理
I Fdt＝ P
I＝P－P0
•动量守恒定律 •功与功率
n
P＝
mivi
恒矢量
i 1
dW F dS
P＝ dW
dt
B B
W A F dr A F cos ds
第五次课
保守力与非保守力 ★ 势能
质点系的动能定理 质点系的功能原理
(2) 重力作功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
A
M2
M1 1
Fz
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
z M1
②
m①
M2
G
O
y
x
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路
径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
Ep
r
(G
mM r2
)dr
等势面
M
mr
G mM
F
r
引力的功
引力势能
W
(G
m' m )
rB
(G
m'm
rA
)
Ep
G
m' m r
弹力的功
弹性势能
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
Ep
1 2
k x2
x
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
3-5 保守力和非保守力概述
§3-5 保守力与非保守力 势能
保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始末 位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1.万有引力作功 如图,设万有引力存在于质 量为m和m`物体之间， m`物 体相对不动，m 物体在 m`物 体的引力场中从 A 点沿任意 路径移到 B 点。两个质点之 间在引力作用下相对运动时 ,
0
保守力 重 力 弹 力
势能（E p ） mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep
0
势能曲线 h
Ep
kx
2
x=0
Ep
0 0
x r
引 力
mM G r
r=∞3.势能和保守力的关系： 势来自是保守力对路径的线积分，EP＝
b
a
F dl
F
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
er
dr
r dr
B
m
r
rA
rB
m'
A
以 m 所在处为原点, m 指向 m 的方向为矢径的 正方向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。则万 有引力对质点所作的功为：
1 dW F dr Gmm 2 er dr r
er
er dr │ er │ │ dr │ cos │ dr │ cos dr
dW mg dr mgdy
W mgdy
y1 y2
m
y y1 y2
mg
mg ( y2 y1 ) mg ( y1 y2 )
3. 弹性力作功
o 可见，重力是保守力。
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一 端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。
保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始末 位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1.万有引力作功 如图,设万有引力存在于质 量为m和m`物体之间， m`物 体相对不动，m 物体在 m`物 体的引力场中从 A 点沿任意 路径移到 B 点。两个质点之 间在引力作用下相对运动时 ,
0
保守力 重 力 弹 力
势能（E p ） mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep
0
势能曲线 h
Ep
kx
2
x=0
Ep
0 0
x r
引 力
mM G r
r=∞3.势能和保守力的关系： 势来自是保守力对路径的线积分，EP＝
b
a
F dl
F
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
er
dr
r dr
B
m
r
rA
rB
m'
A
以 m 所在处为原点, m 指向 m 的方向为矢径的 正方向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。则万 有引力对质点所作的功为：
1 dW F dr Gmm 2 er dr r
er
er dr │ er │ │ dr │ cos │ dr │ cos dr
dW mg dr mgdy
W mgdy
y1 y2
m
y y1 y2
mg
mg ( y2 y1 ) mg ( y1 y2 )
3. 弹性力作功
o 可见，重力是保守力。
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一 端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。
§3.6 保守力与非保守力及势能
r
v ro
结论：空间某点的势能E 结论：空间某点的势能 p在数值上等于质点从该
点移动到势能零点时保守力做的功。 点移动到势能零点时保守力做的功。
Chapter 3. 守恒定律 §3.6 保守力与非保守力、势能 作者： 作者：杨茂田
P
重力势能： 重力势能：
Ep = mgh
弹性势能： 弹性势能：
0）为势能零点） （地面（h = 0）为势能零点） 地面（
按保守力的特点：W 按保守力的特点： acb 因为： 因为： 所以： 所以：
=W adb
a
−Wacb = W bda
d
c
W =Wacb +W =Wacb −Wacb = 0 bda
证毕
b
Chapter 3. 守恒定律 §3.6 保守力与非保守力、势能 作者： 作者：杨茂田
P
势能 由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能（ 由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能（Ep） 势能
Chapter 3. 守恒定律 §3.6 保守力与非保守力、势能 作者： 作者：杨茂田
P
§3.6 保守力与非保守力、势能
Chapter 3. 守恒定律 §3.6 保守力与非保守力、势能 作者： 作者：杨茂田
P
保守力与非保守力 势能
（1）重力的功 ）
初始位置 末了位置
a(xa , ya , za )
b(xb , yb , zb )
z
za
zb
a
v ∆r
W =∫ ab
=∫
b a
b
v v v v −mgk ⋅ dxi + dyj + dzk
a
v v F ⋅ dr
vb mg
v ro
结论：空间某点的势能E 结论：空间某点的势能 p在数值上等于质点从该
点移动到势能零点时保守力做的功。 点移动到势能零点时保守力做的功。
Chapter 3. 守恒定律 §3.6 保守力与非保守力、势能 作者： 作者：杨茂田
P
重力势能： 重力势能：
Ep = mgh
弹性势能： 弹性势能：
0）为势能零点） （地面（h = 0）为势能零点） 地面（
按保守力的特点：W 按保守力的特点： acb 因为： 因为： 所以： 所以：
=W adb
a
−Wacb = W bda
d
c
W =Wacb +W =Wacb −Wacb = 0 bda
证毕
b
Chapter 3. 守恒定律 §3.6 保守力与非保守力、势能 作者： 作者：杨茂田
P
势能 由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能（ 由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能（Ep） 势能
Chapter 3. 守恒定律 §3.6 保守力与非保守力、势能 作者： 作者：杨茂田
P
§3.6 保守力与非保守力、势能
Chapter 3. 守恒定律 §3.6 保守力与非保守力、势能 作者： 作者：杨茂田
P
保守力与非保守力 势能
（1）重力的功 ）
初始位置 末了位置
a(xa , ya , za )
b(xb , yb , zb )
z
za
zb
a
v ∆r
W =∫ ab
=∫
b a
b
v v v v −mgk ⋅ dxi + dyj + dzk
a
v v F ⋅ dr
vb mg
3-5 保守力与非保守力 势能
EP Fx = x
EP Fy = y
EP Fz = z
EP EP EP F = Fx i + Fy j + Fz k = x i + y j + z k
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
v v ∫ F dr = ∫
l
∫
ACB
v v F dr = ∫
ACB
v v F dr + ∫
ADB
v v F dr
BDA
A
C
v v F dr
l 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
v v ∫ F dr = 0
D B
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 第二版） （第二版）
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的 物体沿闭合路径运动 一周时 保守力对它所作的 闭合 功等于零 .
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 第二版） （第二版）
三 势能 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 。 重力功 重力势能 重力功 重力势能
W = (mgyB mgyA )
引力功 引力功
E p = mgz
引力势能 引力势能
m m'' m Ep = G r 弹力功 弹性势能 弹力功 弹性势能 1 2 1 2 1 2 E p = kx W = ( kx B kx A ) 保守力的功等于势能增量的负值 2 2 2
v v m移动dr 时， 作元功为 移动 F
m
m'
O
A
v r (t)
v dr
v r (t + dt)
v v m' m v v dW = F dr = G 2 er dr r
§3.5保守力与非保守力 势能
保守力与非保守力，势能 ,引力势能
动量，能量
讨论：劲度系数为k、原长为l的弹簧，一端固定 在圆周上的A点，圆周的半径R＝l，弹簧的另一 端点从距A点2l的B点沿圆周移动1/4周长到C点， 如下图所示．求弹性力在此过程中所作的功。
C
A
B
保守力与非保守力，势能 ,引力势能
动量，能量
两点间势能差与势能零点的选择无关.
动量，能量
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相互 作用质点的始末相对位置 .
特点：物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它 所作的功等于零 .
二 摩擦力做功 三 保守力和非保守力
保守力与非保守力，势能 ,引力势能
四 势能 Ep
动量，能量
势能 与物体相对位置有关的能量 .
保守力作功与
势能关系
WAB (EpB EpA ) EP
dW
F
dr
G
m' m
dr
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱs
r2
dr dr cos
WAB
rB G m'm dr
rA
r2
W
Gm'
m
1 rB
1 rA
动量，能量
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
r (t)
dr
r(t dt)
保守力与非保守力，势能 ,引力势能
动量，能量
2 ） 重力作功
G mgk
dr dxi dyj dzk
W
B G dr
zB mgdz
A
zA
z
zA
zB
A
mg
B
Ch3_5 保守力与非保守力 势能
2、势能值是相对值，相对势能零点。势能差是绝对值 3、势能是属于系统的 4、系统同时存在几种保守内力时，势能零点可分别 选取，彼此不影响 5、保守力与势能的关系:
EP
参考点
P
F dr
11
3-5 保守力与非保守力 势能
四 势能曲线
Ep mgz
1 2 Ep kx 2
Mm Ep G r
第三章 动量守恒定律和能 量守恒定律
3-5 保守力与非保守力 势能
万有引力是否是保守力？2ຫໍສະໝຸດ 3-5 保守力与非保守力 势能
弹性力是否是保守力？
思考：保守力场与势能关系？
3
3-5 保守力与非保守力 势能
蹦极时，绳索的弹性力是否保守力？
汽车轮胎与地面的摩擦力是否保守力？
思考：保守力与非保守力的区别？
Ep
Ep
Ep
O
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
12
0
b
dr
dW F dl b b Mm WF F dl G 2 r 0 dl a a r rb Mm G 2 dr ra r
r
M ra
a
F
r
dl
m
1 1 G Mm( ) ra rb
r 0 dl dl cos dr
2.弹性力的功
F
F kxi
dW kx dx
WS
xb xa
0 xa xb
x
1 2 1 2 kxdx kxa kxb 2 2
EP
参考点
P
F dr
11
3-5 保守力与非保守力 势能
四 势能曲线
Ep mgz
1 2 Ep kx 2
Mm Ep G r
第三章 动量守恒定律和能 量守恒定律
3-5 保守力与非保守力 势能
万有引力是否是保守力？2ຫໍສະໝຸດ 3-5 保守力与非保守力 势能
弹性力是否是保守力？
思考：保守力场与势能关系？
3
3-5 保守力与非保守力 势能
蹦极时，绳索的弹性力是否保守力？
汽车轮胎与地面的摩擦力是否保守力？
思考：保守力与非保守力的区别？
Ep
Ep
Ep
O
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
12
0
b
dr
dW F dl b b Mm WF F dl G 2 r 0 dl a a r rb Mm G 2 dr ra r
r
M ra
a
F
r
dl
m
1 1 G Mm( ) ra rb
r 0 dl dl cos dr
2.弹性力的功
F
F kxi
dW kx dx
WS
xb xa
0 xa xb
x
1 2 1 2 kxdx kxa kxb 2 2
保守力与非保守力
非保守力: 凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。
非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力，所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词.严格说来两者是有区别的,一个系统的总机械能减少,并转变为系统的热能或内能。
通常人们把这个过程叫耗散过程,而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力,但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。
⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零.重力、弹力等属于保守力.耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下,物体运动路径越长，所做的功也越多。
摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同,是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下,而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关.耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。
例如,空气对运动物体的阻力,其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。
③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系.保守力做正功,则物体系的势能减少;反之，则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。
系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒。
耗散力不象保守力，对于两个位置之间，力对物体做功没有确定的值，从而相应的两个位置之间没有一定的能量差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
mg o
b
E pa F保 d r
a
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 6 /
3. 三种势能函数：
y
(1) 重力势能：
y
(0)
E p( y ) F重 d r
( y) 0
( mg )ˆj dy ˆj
y
E p ( y ) mgy
二、势能
保守力作功与路径无关，常用势能函数来计算。
① 质点系。势能属于系统。
1. 引入势能条件： ② 保守力作功。
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 3 /
2. 势能函数选取应遵从的原则：
设 保守力将物体从a移至b点，势能函数Ep应满足：
b
W保 E p ( Epb Epa ) F保 d r
o
Ep(0 ) 0
x
P. 7 /
x
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
Ep( y)
E p( y ) mgy
o
y
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 8 /
(2) 弹性势能：
(0)
E p( x ) F弹 d r
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 11
归纳：
1.重力势能： E p ( y ) mgy
( Ep(0 ) 0 )
2.
弹性势能： E
p
(
x
)
1 2
kx 2
( Ep(0 ) 0 )
3.
万有引力势能：E
p
(
r
)
G
Mm r
( Ep( ) 0 )
a
令：Epb 0 (即势能零点)，则
b
E pa F保 d r
a
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 5 /
3. 三种势能函数：
y
(1) 重力势能：
y
(0)
E p( y ) F重 d r
( y)
0
( mg )ˆj dy ˆj
a
令：Epb 0 (即势能零点)，则
① 质点系。势能属于系统。
1. 引入势能条件： ② 保守力作功。
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 4 /
2. 势能函数选取应遵从的原则：
设 保守力将物体从a移至b点，势能函数Ep应满足：
b
W保 E p ( Epb Epa ) F保 d r
(x)
0
( kx )iˆ dx iˆ
x
F弹
o
Ep(0 ) 0
xx
Ep(
x
)
1 2
kx 2
Ep(x)
E
p
(
x
)
1 2
kx 2
即：选择弹簧原长时弹性势能
o
x
为零，则弹性势能总是为正。
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 9 /
(3) 万有引力势能：
P. 10
(3) 万有引力势能：
( )
E p( r ) F引 d r
(r)
( G
r
Mm r2
)eˆ r
dr
eˆ r
Ep(
r
)
G
Mm r
即：选择无穷远处引力势能
M
F引 m
o
r
Ep(r )
o
E
p
(
r
)
GБайду номын сангаас
Mm r
r
Ep( ) 0
r
为零，则引力势能总是为负。
( The end )
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
mg o
Ep( y)
E p( y ) mgy
o
y
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
(2) 弹性势能：
(0)
E p( x ) F弹 d r
(x)
0
( kx )iˆ dx iˆ
x
F弹
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 1 /
§3-5 保守力与非保守力 势能
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 2 /
一、保守力
保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。
力
非保守力：作功与路径有关的力。
常见保守力：重力、弹簧弹力、万有引力、电场力等。
( )
E p( r ) F引 d r
(r)
( G
r
Mm r2
)eˆ r
dr
eˆ r
Ep(
x
)
1 2
kx 2
M
F引 m
r
o
r
Ep( ) 0
Ep( y)
E
p
(
x
)
1 2
kx 2
即：选择弹簧原长时弹性势能
o
x
为零，则弹性势能总是为正。
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
mg o
b
E pa F保 d r
a
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 6 /
3. 三种势能函数：
y
(1) 重力势能：
y
(0)
E p( y ) F重 d r
( y) 0
( mg )ˆj dy ˆj
y
E p ( y ) mgy
二、势能
保守力作功与路径无关，常用势能函数来计算。
① 质点系。势能属于系统。
1. 引入势能条件： ② 保守力作功。
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 3 /
2. 势能函数选取应遵从的原则：
设 保守力将物体从a移至b点，势能函数Ep应满足：
b
W保 E p ( Epb Epa ) F保 d r
o
Ep(0 ) 0
x
P. 7 /
x
E p ( y ) mgy
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
Ep( y)
E p( y ) mgy
o
y
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 8 /
(2) 弹性势能：
(0)
E p( x ) F弹 d r
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 11
归纳：
1.重力势能： E p ( y ) mgy
( Ep(0 ) 0 )
2.
弹性势能： E
p
(
x
)
1 2
kx 2
( Ep(0 ) 0 )
3.
万有引力势能：E
p
(
r
)
G
Mm r
( Ep( ) 0 )
a
令：Epb 0 (即势能零点)，则
b
E pa F保 d r
a
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 5 /
3. 三种势能函数：
y
(1) 重力势能：
y
(0)
E p( y ) F重 d r
( y)
0
( mg )ˆj dy ˆj
a
令：Epb 0 (即势能零点)，则
① 质点系。势能属于系统。
1. 引入势能条件： ② 保守力作功。
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 4 /
2. 势能函数选取应遵从的原则：
设 保守力将物体从a移至b点，势能函数Ep应满足：
b
W保 E p ( Epb Epa ) F保 d r
(x)
0
( kx )iˆ dx iˆ
x
F弹
o
Ep(0 ) 0
xx
Ep(
x
)
1 2
kx 2
Ep(x)
E
p
(
x
)
1 2
kx 2
即：选择弹簧原长时弹性势能
o
x
为零，则弹性势能总是为正。
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 9 /
(3) 万有引力势能：
P. 10
(3) 万有引力势能：
( )
E p( r ) F引 d r
(r)
( G
r
Mm r2
)eˆ r
dr
eˆ r
Ep(
r
)
G
Mm r
即：选择无穷远处引力势能
M
F引 m
o
r
Ep(r )
o
E
p
(
r
)
GБайду номын сангаас
Mm r
r
Ep( ) 0
r
为零，则引力势能总是为负。
( The end )
即：势能零点正上方重力 势能为正，下方为负。
mg o
Ep( y)
E p( y ) mgy
o
y
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
(2) 弹性势能：
(0)
E p( x ) F弹 d r
(x)
0
( kx )iˆ dx iˆ
x
F弹
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 1 /
§3-5 保守力与非保守力 势能
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能
P. 2 /
一、保守力
保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。
力
非保守力：作功与路径有关的力。
常见保守力：重力、弹簧弹力、万有引力、电场力等。
( )
E p( r ) F引 d r
(r)
( G
r
Mm r2
)eˆ r
dr
eˆ r
Ep(
x
)
1 2
kx 2
M
F引 m
r
o
r
Ep( ) 0
Ep( y)
E
p
(
x
)
1 2
kx 2
即：选择弹簧原长时弹性势能
o
x
为零，则弹性势能总是为正。
Chapter 3. 守恒作定者律：杨茂田§3.5 保守力与非保守力、势能