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2015-2016年浙江省杭州市西湖高中高一(上)数学期中试卷和答案

2015-2016年浙江省杭州市西湖高中高一(上)数学期中试卷和答案

2015-2016学年浙江省杭州市西湖高中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）3x=4，则x=（）A．log43 B．64 C．log34 D．812．（5分）设集合A={x|﹣5≤x＜1}，B={x|x≤3}，则A∪B等于（）A．{x|﹣5≤x＜1}B．x≤1 C．{x|x＜1}D．{x|x≤3}3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2） D．[1，+∞）4．（5分）下列函数中哪个与函数y=x相等（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=x2，x∈R C．y=x，x∈R D．，x∈R6．（5分）设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a7．（5分）函数f（x）=log a|x+1|，在（﹣1，0）上有f（x）＞0，那么（）A．f（x）在（﹣∞，0）上是增函数B．f（x）在（﹣∞，0）上是减函数C．f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数D．f（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数8．（5分）设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）A．（1，]B．（0，]C．（1，）D．（0，）二、填空题（每题6分，共18分）9．（6分）计算，结果是．10．（6分）关于x的一元二次方程x2+mx+2m+1=0一个根大于1，一个根小于1，则实数m的取值范围是．11．（6分）函数单调增区间是，值域是．三、简答题（共42分）12．（10分）设全集U={x|x是小于10的正整数}，B={1，2，3，4}，C={3，4，5，6}，求（1）用列举法表示全集U（2）D=B∩C，则写出集合D的所有子集（3）∁U（B∩C）13．（10分）从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园，甲、乙两家离公园入口都是2公里，甲从10点钟出发前往乙同学家，如图所示是甲同学从自己家出发到乙家经过的路程y（公里）和时间x（分钟）的关系．根据图象，回答下列问题：（1）甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多长时间？（2）写出y=f（x）的解析式．14．（10分）已知（1）求f（x）的定义域；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．15．（12分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）﹣3（1）求f（1）的值；（2）求证：；（3）若x＞1时，f（x）＜3，判断f（x）在其定义域上的单调性，并证明．四、填空题（每题4分，共20分）16．（4分）f（x）为R上奇函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则当x＜0时，f（x）=．17．（4分）在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象与一次函数y=﹣x+6的图象交于两点，则这两个交点的横坐标之和为．18．（4分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）是增函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是．19．（4分）已知函数，若|f（x）|≥ax恒成立，则a的取值范围是．20．（4分）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=．五、简答题（共30分）21．（10分）已知a＞1，．（1）证明f（x）在（﹣∞，+∞）是增函数；（2）判断函数f（x）是否有零点，若有求出零点；（3）若f（x）满足a=2，且x∈（﹣1，1）时，有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．22．（10分）已知二次函数f （x ）=x2+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点．（1）求这个函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（2x），求函数g（x）在x∈[﹣3，2]上的值域；（3）若函数H（x）=f（|x|）﹣a（a为常数），试讨论此函数H（x）的零点个数情况，并说出相应a的取值范围．23．（10分）已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）（1）求m的值，并确定f（x）的解析式．（2）若y=log a[f（x）﹣ax]（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州市西湖高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）3x=4，则x=（）A．log43 B．64 C．log34 D．81【解答】解：∵3x=4，∴x=log34．故选：C．2．（5分）设集合A={x|﹣5≤x＜1}，B={x|x≤3}，则A∪B等于（）A．{x|﹣5≤x＜1}B．x≤1 C．{x|x＜1}D．{x|x≤3}【解答】解：A∪B={x|﹣5≤x＜1}∪{x|x≤3}={x|x≤3}，故选：D．3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2） D．[1，+∞）【解答】解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∝）故选：A．4．（5分）下列函数中哪个与函数y=x相等（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：B．5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=x2，x∈R C．y=x，x∈R D．，x∈R【解答】解：对于A．因为幂函数y=﹣x3是R上的增函数且是奇函数，所以y=﹣x3既是奇函数又是减函数，故A正确；对于B，y=x2是偶函数，故不正确；对于C，y=x是R上的增函数，不符合题意，故不正确；对于D，f（﹣x）=2x≠﹣f（x），函数是R上的减函数，但它不是奇函数，故不正确．故选：A．6．（5分）设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵0＜0.32＜1log20.3＜020.3＞1∴log20.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a故选：D．7．（5分）函数f（x）=log a|x+1|，在（﹣1，0）上有f（x）＞0，那么（）A．f（x）在（﹣∞，0）上是增函数B．f（x）在（﹣∞，0）上是减函数C．f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数D．f（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数【解答】解：由题意f（x）=log a|x+1|，在（﹣1，0）上有f（x）＞0，可得a∈（0，1），由此知y=log a x是一个减函数A选项不正确，因为x∈（﹣∞，0）时，内层函数|x+1|不是一个单调函数，故不能得出f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，B选项不正确，因为x∈（﹣∞，0）时，内层函数|x+1|不是一个单调函数，故不能得出f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，C选项正确，因为x∈（﹣∞，﹣1）时，内层函数|x+1|是一个单调减函数，故能得出f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数D选项不正确，因为x∈（﹣∞，﹣1）时，内层函数|x+1|是一个单调减函数，故能得出f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，所以D不正解．故选：C．8．（5分）设定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）=lg是奇函数（a，b∈R，且a≠﹣2），则a b的取值范围是（）A．（1，]B．（0，]C．（1，）D．（0，）【解答】解：∵定义在区间（﹣b，b）内的函数f（x）=lg是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即lg=﹣lg=lg，则有=，即1﹣a2x2=1﹣4x2，解得a=±2，又∵a≠﹣2，∴a=2；则函数f（x）=lg，要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0解得：﹣＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（﹣，），∴（﹣b，b）⊆（﹣，），∴0＜b≤∴a b=2b∈（1，]，故选：A．二、填空题（每题6分，共18分）9．（6分）计算，结果是．【解答】解：原式=+1﹣5.5+==2.5+2﹣4.5+2=．故答案为：．10．（6分）关于x的一元二次方程x2+mx+2m+1=0一个根大于1，一个根小于1，则实数m的取值范围是．【解答】解：设f（x）=x2+mx+2m+1，由题意可得：函数f（x）与x轴交一个在x=1的左侧，一个在右侧，所以f（1）＜0即可，解得m＜﹣，故答案为．11．（6分）函数单调增区间是（1，4），值域是[﹣2，+∞] ．【解答】解：由函数和t=﹣x2+2x+8复合而成，而在（0，+∞）上是减函数，又因为﹣x2+2x+8在真数位置，故需大于0，t=﹣x2+2x+8＞0的单调递减区间为（1，4）．t=﹣x2+2x+8的值域为（0，9]，，t∈（0，9]的值域为[﹣2，+∞）．故答案为：（1，4）（或[1，4））；[﹣2，+∞）．三、简答题（共42分）12．（10分）设全集U={x|x是小于10的正整数}，B={1，2，3，4}，C={3，4，5，6}，求（1）用列举法表示全集U（2）D=B∩C，则写出集合D的所有子集（3）∁U（B∩C）【解答】解：（1）全集U={x|x是小于10的正整数}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，（2）B={1，2，3，4}，C={3，4，5，6}，D=B∩C={3，4}，∴集合D的所有子集是∅，{3}，{4}，{3，4}；（3）∁U（B∩C）={1，2，5，6，7，8，9}．13．（10分）从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园，甲、乙两家离公园入口都是2公里，甲从10点钟出发前往乙同学家，如图所示是甲同学从自己家出发到乙家经过的路程y（公里）和时间x（分钟）的关系．根据图象，回答下列问题：（1）甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多长时间？（2）写出y=f（x）的解析式．【解答】解：（1）由题意，当30＜x≤40时，f（x）=2，∴甲在公园休息了10min．（2）当0≤x≤30时，设f（x）=kx，将（30，2）代入可得k=，∴f（x）=x；当30＜x≤40时，f（x）=2；当40＜x≤60时，设f（x）=mx+b，则将（40，2），（60，4）代入可得，∴m=，b=﹣2，∴f（x）=x﹣2．综上可得，f（x）=．14．（10分）已知（1）求f（x）的定义域；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：，解得：﹣1＜x＜1，故函数的定义域是（﹣1，1）；（2）若f（x）＞0成立，则（1+x）＞（1﹣x），则，解得：﹣1＜x＜0．15．（12分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）﹣3（1）求f（1）的值；（2）求证：；（3）若x＞1时，f（x）＜3，判断f（x）在其定义域上的单调性，并证明．【解答】解：（1）由已知已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因此令x=y=1得f（1•1）=f（1）+f（1）﹣3，可得：f（1）=3 （2分）（2）由已知以及（1）的结论可得==3即有：（7分）（3）f（x）是（0，+∞）上的减函数（9分），证明如下：设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，∵，．∴f（x）是（0，+∞）上的减函数．（14分）四、填空题（每题4分，共20分）16．（4分）f（x）为R上奇函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则当x＜0时，f（x）=x﹣1．【解答】解：由题意，函数f（x）为R上奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），当x≥0时，f（x）=x+1，当x＜0时，则﹣x＞0，那么f（﹣x）=﹣x+1．∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=x﹣1，故答案为：x﹣1，17．（4分）在同一坐标系中，y=2x与y=log2x的图象与一次函数y=﹣x+6的图象交于两点，则这两个交点的横坐标之和为6．【解答】解：设y=2x与y=log2x的图象与一次函数y=﹣x+6的图象交于两点，（x2，log2x2），则．则这两个交点的横坐标之和=x1+x2=6．故答案为：6．18．（4分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）是增函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：∵f（1﹣x）=f（1+x），∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，又f（x）在[1，+∞）是增函数，∴f（x）在（﹣∞，1]是减函数，∴f（1﹣m）＜f（m）⇔f（1+m）＜f（m），∵m≤1+m恒成立，∴当m≥1时，f（x）在[1，+∞）是增函数，故f（1+m）＞f（m），即f（1﹣m）＞f（m）与题意不符；当m≤1时，f（x）在（﹣∞，1]是减函数，要使f（1﹣m）＜f（m）成立，必须，解得m＜．故答案为：（﹣∞，）．19．（4分）已知函数，若|f（x）|≥ax恒成立，则a的取值范围是[﹣1，0] ．【解答】解：（1）当x＞0时，ln（x+1）＞0，要使|f（x）|=ln（x+1）≥ax恒成立，则此时a≤0．（2）当x≤0时，﹣x2+2x≤0，则|f（x）|=x2﹣x≥ax，若x=0，则左边=右边，a取任意实数；若x＜0，|f（x）|=x2﹣x≥ax可化为a则有a≥x﹣1，此时须满足a≥﹣1．综上可得，a的取值为[﹣1，0]，故答案为：[﹣1，0]．20．（4分）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，解得t=1或5，当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，解得t=1或﹣3，当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．综上t=1．另解：由题意可得﹣2≤x2﹣2x﹣t≤2在[0，3]恒成立，可得﹣2≤（x2﹣2x﹣t）min，（x2﹣2x﹣t）max≤2，即有1﹣2﹣t≥﹣2，且9﹣2×3﹣t≤2，解得1≤t≤1，即有t=1．故答案为：1．五、简答题（共30分）21．（10分）已知a＞1，．（2）判断函数f（x）是否有零点，若有求出零点；（3）若f（x）满足a=2，且x∈（﹣1，1）时，有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．【解答】解：（1）=lna（a x+a﹣x）因为a＞1，所以lna为正数，又∵a x+a﹣x＞0∴f′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立故f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（2）令，得a x=1（舍﹣1）∴x=0，即函数有一个零点为x=0又∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点x=0（3）∵∴f（x）是奇函数故不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0可以变形为f（1﹣m）＜f（m2﹣1），根据函数为（﹣1，1）上的增函数，可得，所以22．（10分）已知二次函数f （x ）=x2+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点．（1）求这个函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（2x），求函数g（x）在x∈[﹣3，2]上的值域；（3）若函数H（x）=f（|x|）﹣a（a为常数），试讨论此函数H（x）的零点个数情况，并说出相应a的取值范围．【解答】解：（1）二次函数f （x ）=x2+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点∴=1，b=0，即a=﹣2，b=0，故函数的解析式为f （x ）=x2﹣2x（2）x∈[﹣3，2]，则t=2x在x∈[﹣3，2]上的值域是[，4]，由f （x ）=x2函数g（x）在x∈[﹣3，2]上的值域是[﹣1，8]．（3）函数H（x）=f（|x|）﹣a（a为常数），是一个偶函数，且当x≥0时，H（x）=f （x ）﹣a，当a=0时，H（x）=f （x ）=x2﹣2x在x≥0时有两个零点x=0，x=2，故函数H （x）有三个零点分别为x=0，x=2，x=﹣2当﹣1＜a＜0时，f （x ）=x2﹣2x﹣a在x≥0时有两个零点，都大于0，故函数H（x）有四个零点当a=﹣1时，f （x ）=x2﹣2x﹣a在x≥0时有一个正零点，故函数H（x）有两个零点当a＜﹣1时，f （x ）=x2﹣2x﹣a在x≥0时没有零点，故函数H（x）没有零点当a＞0时，f （x ）=x2﹣2x﹣a在x≥0时有一个正零点，故函数H（x）有两个零点23．（10分）已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）（1）求m的值，并确定f（x）的解析式．（2）若y=log a[f（x）﹣ax]（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5），∴﹣2m2+m+3＞0，即2m2﹣m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜；当m=0时，﹣2m2+m+3=3，不满足题意；当m=1时，﹣2m2+m+3=2，满足题意；∴m=1时，f（x）=x2；（2）∵y=log a[f（x）﹣ax]=log a（x2﹣ax）=log a[﹣]，其中a＞0，且a≠1；∴当0＜a＜1时，0＜＜，函数t=﹣在（﹣∞，）是减函数，当a＞1时，＞，函数t=﹣在（，+∞）上是增函数，又x2﹣ax＞0，得x＞a，函数y在（a，+∞）上是增函数，∴，解得1＜a＜2；∴函数y在区间[2，3]上为增函数时，实数a的取值范围是（1，2）．。

浙江省杭州二中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷( word版含答案

浙江省杭州二中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷( word版含答案

2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a3．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）4．函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B．C．D．{x∈R|﹣2＜x＜2}6．若函数f（x）=，则f（log23）=（）A．3 B．4 C．16 D．247．已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为（）A．{1}B．{2}C．{3}D．∅8．函数的图象是（）A． B．C．D．9．函数f（x）=x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m 的最大值为（）A．B．C．D．210．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．计算=．12．函数y=的定义域为．13．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）为递增函数，若不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则m的取值范围是．15．数f（x）为奇函数，=．16．已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是．三.解答题17．设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＞2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．18．已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．2．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．【解答】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜0.20=1∴a＜c＜b故选C．3．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【考点】函数的零点．【分析】首先判断函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；f（1）=1﹣0=1＞0，f（2）=﹣1=﹣＜0；故函数f（x）有零点的区间是（1，2）；故选：B．4．函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】复合函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．【解答】解：函数的定义域为：x＞2或x＜﹣2，y=log2x是增函数，y=x2﹣4，开口向上，对称轴是y轴，x＞2时，二次函数是增函数，由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为（2，+∞）．故选：C．5．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B．C．D．{x∈R|﹣2＜x＜2}【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件构造关于g（2）和f（2）的方程组来求解．【解答】解：因为f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，所以，因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以，上述方程组中两式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因为g（2）=a，所以a=2，将g（2）=2，a=2代入方程组中任意一个可求得f（2）=，故选C．6．若函数f（x）=，则f（log23）=（）A．3 B．4 C．16 D．24【考点】对数的运算性质；函数的周期性；函数的值．【分析】先根据对数函数的性质判断log23的范围，代入相应的解析式求解，再判断所得函数值的范围，再代入对应解析式求解，利用对数的恒等式“=N”进行求解．【解答】解：∵log23＜4，∴f（log23）=f（log23+3），∵log23+3＞4，∴f（log23+3）===24．故选D．7．已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为（）A．{1}B．{2}C．{3}D．∅【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】把x=1、2、3分别代入条件进行检验，通过排除与筛选，得到正确答案．【解答】解：当x=1时，g（f（1））=g（2）=2，不合题意．当x=2时，g（f（2））=g（3）=1，不合题意．当x=3时，g（f（3））=g（1）=3，符合题意．故选C．8．函数的图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】求出函数的定义域，排除选项，利用函数的单调性判断求解即可．【解答】解：函数，可得x，可得x＞1或﹣1＜x＜0，排除选项A，D；当x＞1时，y=x﹣是增函数，由复合函数的单调性可知，函数，x＞1是增函数，排除C，故选：B．9．函数f（x）=x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m 的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【解答】解：当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣）﹣，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=（x+）+，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=时，f（）=．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=．即4x2+4x﹣1=0，解得x==，∴此时x=，∵[m，n]上的最小值为，最大值为2，∴n=2，，∴n﹣m的最大值为2﹣=，故选：B．10．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）【考点】指数函数综合题．【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f （b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．计算=14+．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数与对数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=++=10+4+=14+．故答案为：14+．12．函数y=的定义域为（﹣2，8] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=，∴1﹣lg（x+2）≥0，即lg（x+2）≤1，∴0＜x+2≤10，解得﹣2＜x≤8，∴函数y的定义域为（﹣2，8]．故答案为：（﹣2，8]．13．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】可设f（x）=xα，由=3可求得α，从而可求得f（）的值．【解答】解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23，∴f（）=====．故答案为：14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）为递增函数，若不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则m的取值范围是（﹣∞，）．【考点】抽象函数及其应用．【分析】定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），可得函数f（x）关于直线x=1对称．f（x）在[1，+∞）为递增函数，f（x）在（﹣∞，1]为递减函数．不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．对m分类讨论即可得出．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），∴函数f（x）关于直线x=1对称．f（x）在[1，+∞）为递增函数，f（x）在（﹣∞，1]为递减函数．不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．∵1+m＞m．则当m≥1时，f（1+m）＜f（m）不成立，舍去；当m+1≤1，即m≤0时，总有f（m+1）＜f（m），）恒成立，因此m≤0满足条件；当m＜1＜1+m时，即0＜m＜1．要使f（m）＞f（m+1）恒成立，必须点M（m，f（m））到直线x=1的距离大于点N（m+1，f（m+1））到直线x=1的距离，即1﹣m＞m+1﹣1，解得m．∴．综上所述，m的取值范围是：（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．15．数f（x）为奇函数，=．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】先据条件得：f（5）=f（1）+2f（2）=f（﹣1）+3f（2），求出f（2）的值，进而可得答案．【解答】解：∵数f（x）为奇函数，f（1）=，∴f（﹣1）=﹣又f（5）=f（1）+2f（2）=f（﹣1）+3f（2），∴+2f（2）=﹣+3f（2），∴f（2）=1∴f（5）=f（1）+2f（2）=+2=，故答案为．16．已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是m＜﹣1．【考点】函数零点的判定定理．【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值．【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点．当t=0时，函数t=f（x）有三个零点．当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点．当t=1时，函数t=f（x）有三个零点．当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，则由根的分布可得，将t=1，代入得：m=﹣1，此时g（t）=2t2﹣3t+1的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1三.解答题17．设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＞2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．【考点】根的存在性及根的个数判断；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据f（0）≤1列不等式，对a进行讨论解出a的范围，（2）根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调区间，（3）设g（x）=f（x）+|x|，写出g（x）的解析式，利用二次函数的性质判断g （x）的单调性，根据零点存在定理判断即可．【解答】解：（1）∵f（0）≤1∴f（0）=（0﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）=a2+|a|﹣a（a﹣1）=|a|+a≤1∴当a≤0时，不等式为0≤1恒成立，满足条件，当a＞0时，不等式为a+a≤1，∴0＜a≤，综上所述a的取值范围为（﹣∞，]；（2）当x＜a时，函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a，其对称轴为x==a+＞a，此时y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，f（x）=x2+（1﹣2a）x，其对称轴为：x=a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（﹣∞，a）上单调递减，（3）设g（x）=f（x）+|x|=，当x≥a时，其对称轴为x=a﹣1，当0≤x＜a时，其对称轴为x=a，当x＞0时，其对称轴为x=a+1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∵g（0）=2a＞0，g（a）=a2+（2﹣2a）a=2a﹣a2=﹣（a﹣1）2+1，又a＞2，∴g（a）=﹣（a﹣1）2+1在（2，+∞）上单调递减，∴g（a）＜g（2）=0，∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点，综上所述a＞2时，f（x）+|x|在R上有2个零点．18．已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）将a=k=1代入函数，求出函数y=f（x）+g（x）的导数，从而求出函数的单调区间即可；（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；（3）不等式等价于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．【解答】解：（1）a=k=1时，y=f（x）+g（x）=2x+﹣1，y′=2﹣=，令y′＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令y′＜0，解得：﹣1＜x＜1且x≠0，故函数在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0），（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增，又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，∴m≥a max，即m≥4；（3）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．对于F（x）=，（i）当x∈[2，2+]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1，①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在[2，2+]上递增，所以k=﹣1符合；②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在[2，2+]上递增，所以k＜﹣1符合；③当k＞﹣1时，只需≥2+，即≥（+）max=2+，所以﹣1＜k≤6﹣4，从而k≤6﹣4；（ii）当x∈（2+，4]时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7，①当k=1时，F（x）=﹣7在（2+，4]上递减，所以k=1不符合；②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7在（2+，4]上递减，所以k＞1不符合；③当k＜1时，只需≤2+，即≤（+）min=1+，所以k＜2﹣2，综上可知：k≤6﹣4．2017年4月22日。

2014-2015年浙江省杭州市六校高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015年浙江省杭州市六校高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年浙江省杭州市六校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．b+d＜a+c B．ac＞bd C．＞D．a﹣c＞b﹣d2．（3分）下列四个命题中，其中正确的命题的是（）A．过三点确定一个平面B．矩形是平面图形C．四边相等的四边形是平面图形D．三条直线两两相交则确定一个平面3．（3分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为（）A．6 B．7 C．8 D．94．（3分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能5．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（3分）在△ABC中，若sin2C=sin2A+sin2B，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7．（3分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直8．（3分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．如l∥m，m⊂α，则l∥αB．如l⊥m，l⊥n，n⊂α，则l⊥αC．如l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥βD．如l∥α，l∥β，α∩β=m，则l∥m 9．（3分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H．则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．直线AH和BB1所成角为45° D．AH的延长线经过点C110．（3分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知三个数﹣3，x，﹣12成等比数列，该数列公比q=．12．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为．13．（4分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为cm3．14．（4分）设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为．15．（4分）如图所示，E、F分别是正方形SD1DD2的边D1D、DD2的中点，沿SE，SF，EF将其折成一个几何体，使D1，D，D2重合，记作D．给出下列位置关系：①SD⊥面DEF；②SE⊥面DEF；③DF⊥SE；④EF⊥面SED，其中成立的有：．16．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．17．（4分）规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=（a，b为正实数）．若1⊗k=3，则k的值为，此时函数的最小值为．三．简答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）18．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：AB⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．19．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（10分）△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，S=5，求b的值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：BC上是否存在一点G使得平面EFG∥平面PAB（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，①证明：BE⊥PB；②求直线EF与平面PBC所成角的正切值．2014-2015学年浙江省杭州市六校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．b+d＜a+c B．ac＞bd C．＞D．a﹣c＞b﹣d【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d．故选：A．2．（3分）下列四个命题中，其中正确的命题的是（）A．过三点确定一个平面B．矩形是平面图形C．四边相等的四边形是平面图形D．三条直线两两相交则确定一个平面【解答】解：A：由于过不共面的三点才能确定一个平面，故A不对；B：矩形是平行四边形，对边相互平行，能确定一个平面，故结论正确．C：空间四边形的四边可以相等，但不是平面图形，故C不正确．D：由于三条直线两两相交的情形中包括三线不共面且过一点的情形，这种情形中三线可确定三个平面，故D不正确．故选：B．3．（3分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由a1+a2+a12+a13=24得出a1+a2+a12+a13=a1+a13+a2+a12=2a7+2a7=4a7=24⇒a7=6．故选A．4．（3分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选：D．5．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选：C．6．（3分）在△ABC中，若sin2C=sin2A+sin2B，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【解答】解：在△ABC中，∵sin2C=sin2A+sin2B，∴由正弦定理得：c2=a2+b2，∴△ABC为直角三角形，故选：B．7．（3分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠DCE=60°故选：C．8．（3分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．如l∥m，m⊂α，则l∥αB．如l⊥m，l⊥n，n⊂α，则l⊥αC．如l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥βD．如l∥α，l∥β，α∩β=m，则l∥m【解答】解：∵l∥m，m⊂α，若l⊄α，l与α不平行，故A错误；∵若l⊥m，l⊥n，n⊂α，l与α的位置关系不确定，故B错误；∵l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α与β有可能平行，故C错误；∵l∥α，l∥β，α∩β=m，过l作平面γ，α∩γ=b，β∩γ=c，由l∥α，得l∥b，由l∥β，得l∥c，∴b∥c，∴b∥l，b∥m，∴l∥m，故D正确．故选：D．9．（3分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H．则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．直线AH和BB1所成角为45° D．AH的延长线经过点C1【解答】解：∵AB=AA1=AD，BA1=BD=A1D，∴三棱锥A﹣BA1D为正三棱锥，∴点H是△A1BD的垂心；故选项A正确；对于选项B：∵平面A1BD与平面B1CD1平行，∵AH⊥平面A1BD，∵平面A1BD⊥平面BC1D，∴AH垂直平面CB1D1，选项B正确；根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C1，∴选项D正确；对于选项C，∵AA1∥BB1，∴∠A1AH就是直线AH和BB1所成角，在直角三角形AHA1中，∵AA1=1，，∴，所以选项C错误，故选：C．10．（3分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P 到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知三个数﹣3，x，﹣12成等比数列，该数列公比q=±2．【解答】解：∵三个数﹣3，x，﹣12成等比数列，∴x2=36，∴x=±6，∴该数列公比q=±2．故答案为：±2．12．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为．【解答】解：因为正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，所以正四棱锥的斜高为：=．所以正四棱锥的侧面积为：=8．故答案为：8．13．（4分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为32πcm3．【解答】解：一个正方体的顶点都在球面上，它的对角线就是外接球的直径，它的棱长是4cm，所以球的直径为：4；球的半径为：2，球的体积为：=32π．故答案为：32π．14．（4分）设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为13．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（1，2），B（2，2），C（，）将三个代入得z的值分别为10，12，13直线z=2x+4y过点C时，z取得最大值为13；故答案为：1315．（4分）如图所示，E、F分别是正方形SD1DD2的边D1D、DD2的中点，沿SE，SF，EF将其折成一个几何体，使D1，D，D2重合，记作D．给出下列位置关系：①SD⊥面DEF；②SE⊥面DEF；③DF⊥SE；④EF⊥面SED，其中成立的有：①与③．【解答】解：由题意因为SD⊥DF，SD⊥DE，DE⊥DF，DE=DF显然①正确；②错误；③正确；④错误．故答案为：①与③16．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是8．【解答】解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，其底面面积为S=×4×4=8，高为3，则其体积为V=×3×8=8．故答案为：8．17．（4分）规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=（a，b为正实数）．若1⊗k=3，则k的值为1，此时函数的最小值为3．【解答】解：依题意，1⊗k=+1+k=3，解得k=1此时，函数===1++≥1+2=3故答案为1，3三．简答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）18．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：AB⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．【解答】（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1垂直于底面ABC，所以BB1⊥AB，又AB⊥BC，BB1∩BC=B，则有AB⊥平面B1BCC1；（2）证法一、取AB中点G，连接EG，FG，由于E、F分别为A1C1、BC的中点，所以FG∥AC，FG=AC，因为AC∥A1C1，且AC=A1C1，所以FG∥EC1，且FG=EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG，又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE；证法二、取AC中点H，连接FH和C1H，因为F，H分别是BC，AC的中点，所以HF∥AB，HF⊄平面ABE，AB⊂ABE，所以HF∥平面ABE，又由AE∥C1H，也可得到C1H∥平面ABE，又C1H∩HF=H，所以平面C1HF∥平面ABE，因为C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE．19．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===20．（10分）△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，S=5，求b的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：==，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°；（2）∵S=acsinB，a=4，S=5，∴c=5，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=16+25﹣2×4×5×=21，则b=．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：BC上是否存在一点G使得平面EFG∥平面PAB（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，①证明：BE⊥PB；②求直线EF与平面PBC所成角的正切值．【解答】证明：（1）取BC的中点G，连结EG，FG，∵E，G分别是AD，BC的中点，∴EG∥AB，又EG⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，…..（2分）又∵F，G分别是PC，BC的中点，∴FG∥PB，∵FG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB（2分），又FG∩EG=G，∴平面EFG∥平面PAB，G即为所求的点…..（5分）（2）①∵PA=PD，AB=BD，E为AD的中点，∴AD⊥PE，AD⊥BE，∴∠BEP即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠BEP=60°，…..（6分）∵AB=，AE=1，∴BE=1，∵PA=，AE=1，∴PE=2，∴PB=，∴PB2+BE2=PE2，∴BE⊥PB…（8分）②∵AD⊥BE，∴BE⊥BC，又BE⊥PB，BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，连结BF，则∠BFE即为直线EF与平面PBC所成角，…..（10分）∵PB=，PA=，AB=，∴PB⊥AB，由BE⊥PB，PB⊥AB得PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，PB=，BC=AD=2，∴PC=，∴BF=，又BE=1，∴….12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2014-2015学年浙江省杭州市六校高一上学期期中数学试卷和解析

2014-2015学年浙江省杭州市六校高一上学期期中数学试卷和解析

2014-2015学年浙江省杭州市六校高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合A∩B=（）A．{3}B．{1，3}C．{1，2，4，5}D．{3，4，5}2．（3分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．3．（3分）设函数f （x）=，则f[f（2）]的值为（）A．1 B．3 C．﹣3 D．04．（3分）函数的定义域是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}D．{x|x＜0}5．（3分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．6．（3分）函数f（x）=的值域是（）A．（0，2]B．[0，2） C．[0，2]D．（﹣∞，2]7．（3分）下列判断正确的是（）A．1.50.3＞0.80.3 B．1.52.5＞1.53C．0.83＜0.84D．8．（3分）函数的图象是（）A． B．C．D．9．（3分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∝） B．（﹣∝，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣∝，﹣2）∪（2，+∝）10．（3分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，2） B． C．[1，2]D．[0，1]二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填写在答题卷中的横线上．）11．（4分）集合{2，﹣1}={2，a2﹣2a}，则实数a=．12．（4分）已知函数f（x）=3x+2，则f（x+1）=．13．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）=a x+2+1的图象过定点．14．（4分）函数y=的增区间为．15．（4分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1，则m的取值范围是．16．（4分）若方程+a=0有解，则实数a的取值范围是．17．（4分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是偶函数；④函数y=f（x）在上是增函数．其中正确的命题的序号是．三．解答题：（本大题有4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18．（8分）计算：（1）；（2）；（3）已知x+x﹣1=3，求的值．19．（10分）已知函数的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值．21．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2014-2015学年浙江省杭州市六校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合A∩B=（）A．{3}B．{1，3}C．{1，2，4，5}D．{3，4，5}【解答】解：∵A={1，2，3}，B={3，4，5}，∴A∩B={3}．故选：A．2．（3分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，y==x（x≠0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于B，y==x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C，y==x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，y==|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数．故选：B．3．（3分）设函数f （x）=，则f[f（2）]的值为（）A．1 B．3 C．﹣3 D．0【解答】解：由题意得，函数f （x）=，则f（2）=2﹣3=﹣1，f（﹣1）=1﹣1=0，所以f[f（2）]=0，故选：D．4．（3分）函数的定义域是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}D．{x|x＜0}【解答】解：由题意2x﹣1≥0，即2x≥1=20故x≥0函数的定义域是{x|x≥0}故选：A．5．（3分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．【解答】解：选项A，∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），∴y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C，∵，f（﹣x）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故选：C．6．（3分）函数f（x）=的值域是（）A．（0，2]B．[0，2） C．[0，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：∵0≤4﹣x2≤4，∴0≤≤2，即函数f（x）=的值域是[0，2]．故选：C．7．（3分）下列判断正确的是（）A．1.50.3＞0.80.3 B．1.52.5＞1.53C．0.83＜0.84D．【解答】解：A．∵1.50.3＞1＞0.80.3，∴正确；B．∵函数y=1.5x在R上单调递增，∴1.52.5＜1.53，因此不正确；C．∵函数y=0.8x在R上单调递减，∴0.83＞0.34，因此不正确；D．∵=，函数y=在R上单调递增，∴，因此不正确；故选：A．8．（3分）函数的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：令f（x）==，其定义域为{x|x≠0}．∵f（﹣x）==﹣f（x），因此函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，C；当x＞0时，∵函数y=，y=﹣x为单调递减，故排除A．综上可知：正确答案为D．9．（3分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∝） B．（﹣∝，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣∝，﹣2）∪（2，+∝）【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（﹣2）=f（2）=0，作出函数f（x）的草图如图：∵f（x）是奇函数，∴不等式等价为，即或，则0＜x＜2或﹣2＜x＜0，故不等式＞0的解集是（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．10．（3分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，2） B． C．[1，2]D．[0，1]【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，则函数只能是单调递减函数，则满足，即，解得＜a＜2，故选：B．二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填写在答题卷中的横线上．）11．（4分）集合{2，﹣1}={2，a2﹣2a}，则实数a=1．【解答】解：因为集合{2，﹣1}={2，a2﹣2a}，所以a2﹣2a=﹣1，解得a=1；故答案为：1．12．（4分）已知函数f（x）=3x+2，则f（x+1）=3x+5．【解答】解：∵函数f（x）=3x+2，∴将上式中的“x”用“x+1”代入f（x+1）=3（x+1）+2=3x+5．故答案为：3x+5．13．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）=a x+2+1的图象过定点（﹣2，2）．【解答】解：令x+2=0，则x=﹣2，此时y=2，故答案为：（﹣2，2）．14．（4分）函数y=的增区间为[﹣5，﹣3] ．【解答】解：由﹣x2﹣6x﹣5≥0得x2+6x+5≤0，解得﹣5≤x≤﹣1，故函数的定义域为[﹣5，﹣1]，设t=﹣x2﹣6x﹣5，则y=为增函数，要求函数的增区间，根据复合函数单调性之间的关系即求t=﹣x2﹣6x﹣5，∵函数t=﹣x2﹣6x﹣5的对称轴为x=﹣3，∴函数t=﹣x2﹣6x﹣5的递增区间为[﹣5，﹣3]，故答案为：[﹣5，﹣3]15．（4分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1，则m的取值范围是1≤m≤2．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+2，∴对称轴x=1，∴f（0）=2，f（1）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1∴即求解得：1≤m≤2故答案为：1≤m≤216．（4分）若方程+a=0有解，则实数a的取值范围是a＜0．【解答】解：由题意，a=﹣（）＜0，故答案为：a＜0．17．（4分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是偶函数；④函数y=f（x）在上是增函数．其中正确的命题的序号是①②③．【解答】解：由题意x﹣{x}=x﹣m，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣m|，m=0时，﹣＜x≤，f（x）=|x|，m=1时，1﹣＜x≤1+，f（x）=|x﹣1|，m=2时，2﹣＜x≤2+，f（x）=|x﹣2|，…画出函数的图象如图所示，由图象可知正确命题为①②③，故答案为：①②③三．解答题：（本大题有4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18．（8分）计算：（1）；（2）；（3）已知x+x﹣1=3，求的值．【解答】解：（1）原式===5；（2）原式=（﹣2）2×（﹣2）4=26=64；（3）∵x+x﹣1=3，∴=x+x﹣1+2=5，x＞0，∴=．又x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=7，∴==．19．（10分）已知函数的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，P={x|a+1≤x≤2a+1}={x|4≤x≤7}，C R P={x|x＜4或x＞7}，要使函数有意义，则，即，解﹣2≤x≤5，∴函数的定义域Q={x|﹣2≤x≤5}，∴（C R P）∩Q={x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}={x|﹣2≤x＜4}；（2）当P=∅时，即2a+1＜a+1，得a＜0，此时有P=∅⊆Q；当P≠∅时，由P⊆Q得：，解得0≤a≤2，综上有实数a的取值范围是（﹣∞，2]．20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∵当x≤0时，f（x）=x2+2x，∴当x＞0时，﹣x＜0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2+（﹣x）]=﹣x2+2x，∴．（2）∵函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，∴g（x）=﹣x2+（2﹣2a）x+2，x∈[1，2]，当1﹣a≤1时，[g（x）]max=g（1）=3﹣2a；当1＜1﹣a≤2时，[g（x）]max=g（1﹣a）=a2﹣2a+3；当1﹣a＞2时，[g（x）]max=g（2）=2﹣4a．∴[g（x）]max=．21．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设g（x）=m x（m＞0，m≠1）∵g（2）=4，∴m2=4，∴m=2，∴g（x）=2x．∴，∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，∴，∴．（2）函数f（x）是R上的减函数，下面证明．证明：由（1）可知：f（x）=，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则：f（x1）﹣f（x2）=（﹣+）﹣（﹣+）=，∵x1＜x2，∴2＞，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）是R是上的单调递减函数．（3）∵f（2t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0对于任意的t∈R恒成立，∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．∵函数f（x）是R上的减函数，∴t2﹣2t＞k﹣2t2，∴k＜3t2﹣2t=对于任意的t∈R恒成立，∴k＜﹣．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∟ADC＝∟BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

【精编】2014-2015年浙江省杭州二中高一(上)数学期中试卷带解析答案

【精编】2014-2015年浙江省杭州二中高一(上)数学期中试卷带解析答案

2014-2015学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩∁R B=（）A．{1，5，7}B．{3，5，7}C．{1，3，9}D．{1，2，3}2．（3分）设a=0.30.4，b=log40.3，c=40.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a3．（3分）设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}4．（3分）（）A．（﹣∞，2]B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．[0，2]5．（3分）若g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=log2，则f（﹣1）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．（3分）与函数表示同一个函数的是（）A．y=x﹣2 B．C．y=|x﹣2|D．7．（3分）函数的图象不可能是（）A．B．C．D．8．（3分）已知f（x）=在[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣4，4]C．（0，2） D．（0，4]9．（3分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为（）A．B．C．D．10．（3分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）=．12．（4分）已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则a的取值范围是．13．（4分）f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（﹣log35）的值为．14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．15．（4分）已知t为常数，函数y=|x2﹣4x﹣t|在区间[0，6]上的最大值为10，则t=．16．（4分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=ax﹣1（a＞0）有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（∁R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．18．（10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若x∈（0，1]，不等式f（x）≥log2（4x﹣1）+log2﹣ax恒成立，求a 的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=|2﹣|（p为大于0的常数）．（1）求函数f（x）在[1，4]上的最大值（用常数p表示）；（2）若p=1，是否存在实数m使得函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]，如果存在求出实数m的取值范围，如果不存在说明理由．2014-2015学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩∁R B=（）A．{1，5，7}B．{3，5，7}C．{1，3，9}D．{1，2，3}【解答】解：∵A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，∴A∩C N B={1，5，7}．故选：A．2．（3分）设a=0.30.4，b=log40.3，c=40.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵0＜a=0.30.4＜1，b=log40.3＜0，c=40.3＞1，∴b＜a＜c．故选：C．3．（3分）设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【解答】解：图中阴影部分表示N∩（C U M），∵M={|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，∴C U M={x|﹣2≤x≤2}，∴N∩（C U M）={﹣2≤x＜1}．故选：A．4．（3分）（）A．（﹣∞，2]B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．[0，2]【解答】解：∵函数≥0，而且﹣x2﹣2x+3=﹣（x2+2x﹣3）=﹣（x+1）2+4≤4，∴≤2，∴0≤f（x）≤2，故选：D．5．（3分）若g（x）=1﹣2x，f[g（x）]=log2，则f（﹣1）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：方法1：因为g（x）=1﹣2x，设t=1﹣2x，则x=，所以原式等价为，所以．方法2：因为g（x）=1﹣2x，所以由g（x）=1﹣2x=﹣1，得x=1．所以f（﹣1）=．故选：A．6．（3分）与函数表示同一个函数的是（）A．y=x﹣2 B．C．y=|x﹣2|D．【解答】解：函数=x﹣2，（x＞2），所以选项A显然不正确，因为它的定义域不相同；B：=x﹣2，与已知的函数的定义域也不相同，所以不正确；C：y=|x﹣2|的定义域是R，与已知条件不相同，所以不正确；D：=x﹣2，（x＞2），与已知条件的函数一致；故选：D．7．（3分）函数的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＜0时，如取a=﹣1，则f（x）=，其定义域为：x≠±1，它是奇函数，图象是A．故A正确；当a＞0时，如取a=1，则f（x）=，其定义域为：R，它是奇函数，图象是B．故B正确；当a=0时，则f（x）=，其定义域为：x≠0，它是奇函数，图象是C，C正确；故选：D．8．（3分）已知f（x）=在[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣4，4]C．（0，2） D．（0，4]【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，由题意可得，在[2，+∞）上，t＞0，且函数t为增函数，故有≤2，且4﹣2a+3a＞0，求得﹣4＜a≤4，故选：B．9．（3分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a≠0，f（1﹣a）=f（1+a）当a＞0时，1﹣a＜1＜1+a，则f（1﹣a）=2（1﹣a）+a=2﹣a，f（1+a）=﹣（1+a）﹣2a=﹣1﹣3a∴2﹣a=﹣1﹣3a，即a=﹣（舍）当a＜0时，1+a＜1＜1﹣a，则f（1﹣a）=﹣（1﹣a）﹣2a=﹣1﹣a，f（1+a）=2（1+a）+a=2+3a∴﹣1﹣a=2+3a即综上可得a=﹣故选：A．10．（3分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，]∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，∴即即4t（t+2）（t﹣1）≤0且t≠0解得：t∈（﹣∞，﹣2]∪（0，l]故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）=3．【解答】解：由题意得=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2=2（lg5+lg2）+2lg5lg2+（lg5）2+（lg2）2=2+2lg5lg2+（lg5）2+（lg2）2=2+（lg2+lg5）2=2+1=3所以=312．（4分）已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则a的取值范围是{a|a＞} ．【解答】解：∵函数f（x）==a+，结合复合函数的增减性，再根据f（x）在（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）=在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，解得a＞，故答案为：{a|a＞}．13．（4分）f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（﹣log35）的值为﹣4．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，∵当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），∴m=﹣1．∵当x≥0时f（x）=3x﹣1，∵log35＞0，∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（﹣1）=﹣4．故答案为：﹣4．14．（4分）已知，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是m．【解答】解：若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立成立只需f（x）min≥g（x）min，∵x1∈[0，2]，f（x）=x2∈[0，4]，即f（x）min=0x2∈[1，2]，g（x）=∈[，]∴g（x）min=∴0∴m故答案为：m15．（4分）已知t为常数，函数y=|x2﹣4x﹣t|在区间[0，6]上的最大值为10，则t=2或6．【解答】解：∵函数y=|x2﹣4x﹣t|=|（x﹣2）2﹣t﹣4|在区间[0，6]上的最大值为10，故有（6﹣2）2﹣t﹣4=10，或t+4=10，求得t=2，或t=6，故答案为：2或6．16．（4分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=ax﹣1（a＞0）有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【解答】解：由题意作图如下，a是直线y=ax﹣1的斜率，由图可知，当过点（1，1）时，有临界值：a==2，当过点（3，1）时，有临界值：a==，故结合图象可得，实数a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（∁R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，C R N={x|x＜3或x＞5}，所以M∩（C R N）={x|﹣2≤x＜3}．（Ⅱ）∵M∪N=M，∴N⊂M，①a+1＞2a+1，解得a＜0；②，解得0≤a≤2．所以a≤2．18．（10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即⇒b=1，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．19．（12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若x∈（0，1]，不等式f（x）≥log2（4x﹣1）+log2﹣ax恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax的定义域为R，∵函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax是R上的偶函数，∴f（﹣1）=f（1），即=log2（4+1）﹣a，即2a=log25﹣log2=log24=2，解得：a=1；（2）由f（x）≥log2（4x﹣1）+log2﹣ax，得log2（4x+1）﹣ax≥log2（4x﹣1）+log2﹣ax，即，令4x=t，∵x∈（0，1]，∴t∈（1，4]．化为=．∵．当且仅当t﹣1=，即t=时上式等号成立．∴0＜．20．（14分）已知函数f（x）=|2﹣|（p为大于0的常数）．（1）求函数f（x）在[1，4]上的最大值（用常数p表示）；（2）若p=1，是否存在实数m使得函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]，如果存在求出实数m的取值范围，如果不存在说明理由．【解答】解：（1）函数，①当时，即p＞8，f（x）的最大值为：f（1）=p﹣2；②当时，即2≤p≤8，f（1）=p﹣2，f（4）=2﹣，（i）若，f（1）＞f（4），f（x）即的最大值为f（1）=p﹣2；（ii）若p，f（1）＜f（4），f（x）即的最大值为f（4）=2﹣；③当＜1时，即p＜2，f（x）的最大值为f（4）=2﹣；综上所述：当，f（x）即的最大值为p﹣2，当p，f（x）即的最大值为2﹣，（2）若p=1函数f（x）=|2﹣|，由a＜b，ma＜mb知m（a﹣b）＜0，m＞0又∵ma≥0，∴a＞0①当时，由题意得得﹣=m（b﹣a），=mb，∴，a无解．②当时，ma=0与m＞0，a＞0矛盾．③当时，由题意得，即（x）有两个不同的实数解由得：mx2﹣2x+1=0．要使得方程有两个不等的实根，令g（x）=mx2﹣2x+1，∴函数g（x）应满足，∴m∈（0，1）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

【精编】2015-2016年浙江省杭州高中钱江校区高一(上)数学期中试卷带解析答案

【精编】2015-2016年浙江省杭州高中钱江校区高一(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年浙江省杭州高中钱江校区高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8题，每题3分，共24分）1．（3分）已知集合，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=（）A．B．C．D．2．（3分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|3．（3分）函数y=a x﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，1） C．（2，0） D．（2，2）4．（3分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=5．（3分）若a=20.5，b=logπ3，c=ln，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b6．（3分）设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是（）A．[﹣10，2]B．[﹣12，0]C．[﹣12，2]D．与a，b有关，不能确定7．（3分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0）上是增函数，且f（2）=0，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．x＜﹣2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＞28．（3分）若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B． C．D．二、填空题（共7题，每题4分，共28分）9．（4分）设集合M={x∈R|2x≥4}，N={x∈R|log3x＜1}，则M∩N=，M ∪（∁R N）=．10．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是．11．（4分）计算：=．12．（4分）已知函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3），则f（x）的定义域为，它的单调递增区间是．13．（4分）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是．14．（4分）设min{p，q}表示p，q两者中的较小者，若函数f（x）=min{3﹣x，log2x}，则f（x）的最大值为，满足的集合为．15．（4分）已知函数f（x）=|x2﹣2ax+b|（x∈R）．给出下列命题：①f（x）是偶函数；②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象关于直线x=1对称；③若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；④f（x）有最小值|a2﹣b|；⑤若方程f（x）=3恰有3个不相等的实数根，则a2=b+3．其中正确命题的序号是．（把你认为正确的都写上）三、解答题（共5题，共48分）16．（8分）设A={x|x2+（4﹣a2）x+a+3=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|2x2﹣5x+2=0}．（1）若A∩B=A∪B，求a的值；（2）若A∩B=A∩C≠∅，求a的值．17．（8分）化简或求值：（1）（2）计算．18．（8分）函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=log2（x+1）．（1）求当x＜0时，函数的解析式；（2）用分段函数形式写出函数f（x）在R上的解析式，并在坐标系中画出f（x）的草图．19．（12分）已知，（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明之；（Ⅲ）求f（x）的值域．20．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值．[附加题]21．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州高中钱江校区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8题，每题3分，共24分）1．（3分）已知集合，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=（）A．B．C．D．【解答】解：由2x+1＞0得x，则集合B=（），又集合，则A∩B=（]，故选：A．2．（3分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．3．（3分）函数y=a x﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，1） C．（2，0） D．（2，2）【解答】解：令x﹣2=0，即x=2时，y=a0﹣1=0，∴函数y=a x﹣2﹣1（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（2，0），故选：C．4．（3分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0} C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选：D．5．（3分）若a=20.5，b=logπ3，c=ln，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b【解答】解：∵a=20.5，＞1，0＜b=logπ3＜1，c=ln＜0，∴a＞b＞c．故选：C．6．（3分）设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是（）A．[﹣10，2]B．[﹣12，0]C．[﹣12，2]D．与a，b有关，不能确定【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，∴定义域关于原点对称，即1+a+2=0，∴a=﹣3．又f（﹣x）=f（x），∴ax2﹣bx+2=ax2+bx+2，即﹣b=b解得b=0，∴f（x）=ax2+bx+2=﹣3x2+2，定义域为[﹣2，2]，∴﹣10≤f（x）≤2，故函数的值域为[﹣10，2]，故选：A．7．（3分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0）上是增函数，且f（2）=0，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．x＜﹣2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＞2【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，在（﹣∞，0）上是增函数；∴f（x）在（0，+∞）为减函数；又f（2）=0；∴由f（x）＜0得：f（|x|）＜f（2）；∴|x|＞2；∴x＜﹣2，或x＞2．故选：C．8．（3分）若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，即ln=|x|，即﹣lny=|x|，即lny=﹣|x|，即y=，显然函数的定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选：B．二、填空题（共7题，每题4分，共28分）9．（4分）设集合M={x∈R|2x≥4}，N={x∈R|log3x＜1}，则M∩N={x|2≤x ＜3} ，M∪（∁R N）={x|x≤0或x≥2} ．【解答】解：由M中不等式变形得：2x≥4=22，解得：x≥2，即M={x|x≥2}，由N中不等式变形得：log3x＜1=log33，解得：0＜x＜3，即N={x|0＜x＜3}，∁R N={x≤0或x≥3}，则M∩N={x|2≤x＜3}，M∪（∁R N）={x|x≤0或x≥2}，故答案为：{x|2≤x＜3}；{x|x≤0或x≥2}10．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是．【解答】解：由题意可得：函数f（x）=，∴f（）=log2=﹣2∴f（f（））=f（﹣2）=3﹣2+1=．故答案为：．11．（4分）计算：=．【解答】解：===．故答案为：．12．（4分）已知函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3），则f（x）的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1} ，它的单调递增区间是（3，+∞）．【解答】解：函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3），其定义域满足：x2﹣2x﹣3＞0，解得：x＞3或x＜﹣1∴f（x）的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}；∵f（x）=log2u是单调递增，∴只需求u=x2﹣2x﹣3的单调增区间即可．其对称轴x=1，开口向上，定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}；∴函数u在（3，+∞）单调递增根据复合函数的单调性“同增异减”可得函数f（x）的单调增区间为（3，+∞）故答案为：{x|x＞3或x＜﹣1}；（3，+∞）．13．（4分）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是4≤a＜8．【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8故答案为：4≤a＜814．（4分）设min{p，q}表示p，q两者中的较小者，若函数f（x）=min{3﹣x，log2x}，则f（x）的最大值为2，满足的集合为{x|0＜x＜或x ＞} ．【解答】解：令3﹣x=log2x，解得x=2．如图所示，由图象得：f（x）的最大值是2；①当0＜x＜2时，log2x＜3﹣x．由log2x＜，解得0＜x＜，②当x＞2时，3﹣x＜log2x．由3﹣x＜，解得x＞．∴f（x）＜的解集是{x|0＜x＜或x＞}．故答案为2，{x|0＜x＜或x＞}．15．（4分）已知函数f（x）=|x2﹣2ax+b|（x∈R）．给出下列命题：①f（x）是偶函数；②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象关于直线x=1对称；③若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；④f（x）有最小值|a2﹣b|；⑤若方程f（x）=3恰有3个不相等的实数根，则a2=b+3．其中正确命题的序号是③⑤．（把你认为正确的都写上）【解答】解：①当a=0时，函数f（x）是偶函数，当a≠0时，f（x）必非奇非偶函数，所以错误．②若f（0）=f（2），则|b|=|4﹣4a+b|，所以4﹣4a+b=b或4﹣4a+b=﹣b，即a=1或b=2a﹣2．当a=1时，f（x）的对称轴为x=1．当b=2a﹣2时，f（x）=|x2﹣2ax+2a ﹣2|=|（x﹣a）2﹣2﹣a2|，此时对称轴为x=a，所以错误．③若a2﹣b≤0，则f（x）=|x2﹣2ax+b|=|（x﹣a）2+b﹣a2|=（x﹣a）2+b﹣a2，所以此时函数区间[a，+∞）上是增函数，所以正确．④由③知，当a2﹣b≤0，函数f（x）有最小值|a2﹣b|=a2﹣b，所以错误．⑤若方程f（x）=3恰有3个不相等的实数根，则=3，∴a2=b+3，正确．故答案为：③⑤三、解答题（共5题，共48分）16．（8分）设A={x|x2+（4﹣a2）x+a+3=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|2x2﹣5x+2=0}．（1）若A∩B=A∪B，求a的值；（2）若A∩B=A∩C≠∅，求a的值．【解答】解：（1）B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|2x2﹣5x+2=0}，∴B={2，3}，C={2，}，∵A∩B=A∪B，∴A=B，∵A={x|x2+（4﹣a2）x+a+3=0}，∴4﹣a2=﹣（2+3），a+3=2×3，解得a=3，（2）∵A∩B=A∩C≠∅，∴A∩B=A∩C={2}，∴2∈A，∴22+2（4﹣a2）+a+3=0 即2a2﹣a﹣15=0解得a=3或a=﹣，当a=3时，A={2，3}此时A∩B≠A∩C 舍去；当a=﹣时，A={2，}此时满足题意．综上，a=﹣．17．（8分）化简或求值：（1）（2）计算．【解答】解：（1）原式==．（2）分子=lg5（3+3lg2）+3（lg2）2=3lg5+3lg2（lg5+lg2）=3；分母=（lg6+2）﹣lg6+1=3；∴原式=1．18．（8分）函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=log2（x+1）．（1）求当x＜0时，函数的解析式；（2）用分段函数形式写出函数f（x）在R上的解析式，并在坐标系中画出f（x）的草图．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，此时f（﹣x）=log2（﹣x+1）．又由函数f（x）是R上的奇函数，故f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1）．（2）又∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（0）=0，故f（x）=，函数的图象如下图所示：19．（12分）已知，（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明之；（Ⅲ）求f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f（﹣x）+f（x）=+==0，∴函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数证明：设x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1，x2∈R，且x1＜x2∴a x1﹣a x2＜0，a x1+1＞0，a x2+1＞0，∴＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）∴f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数；（Ⅲ）∵f（x）==1﹣，设t=a x，则t＞0，y=1﹣的值域为（﹣1，1），∴该函数的值域为（﹣1，1）．20．（12分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值．【解答】解：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x，得：a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0，∴，∴f（x）=x2﹣x+1；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2﹣3x+1＞m恒成立；令，x∈[﹣1，1]，则对称轴：，则g（x）min=g（1）=﹣1，∴m＜﹣1；（3）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a﹣2）t+a2﹣a+1，t∈[﹣1，1]对称轴为：，①当时，即：；如图1：g（t）max=g（﹣1）=4﹣（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2﹣5a+7②当时，即：；如图2：g（t）max=g（1）=4+（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2+3a+3，综上所述：．[附加题]21．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ax2+x﹣a得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0），其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+，其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1（3）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：即，化简得1﹣≤m≤2赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

浙江省杭州地区重点中学2015-2016年度高一上学期期中联考数学答案

浙江省杭州地区重点中学2015-2016年度高一上学期期中联考数学答案

2015学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科参考答案分，共30分.）11. 6-,9 12. 17 , 11 13 . (],1-∞，(]0,314. ()[),01,-∞⋃+∞15. 0a=或1a>16. ①②④三、解答题：（本大题共4小题，共50分.解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设全集是实数集R，函数y=的定义域为A，{}20B x x a=+<．（1）当4a=-时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B=B，求实数a的取值范围．解：（1）∵132A x x⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，当4a=-时，B={x|﹣2＜x＜2}，…………3分∴A∩B={x|≤x＜2}，A∪B={x|﹣2＜x＜3}．…………6分（2）∁R A={x|x＜或x≥3}，当（∁R A）∩B=B时，B⊆∁R A，①当B=∅，即0a≥时，满足B⊆∁R A；…………8分②当B≠∅，即0a<时，{B x x=<<，要使B⊆∁R A，解得14a-≤<．综上可得，实数a的取值范围是14a≥-．…………12分18. （本小题满分12分）已知函数1,(1)()1,(01)x xxf xx xx⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩(1) 求证：()f x在),1[+∞上为增函数; (2)当0,a b<<且()()f a f b=时，求ab的值.解：（1）设211x x <≤则1212121212111()()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+…………3分 211x x <≤ 12121210,10()()0x x f x f x x x ∴-<∴+>∴-< 即12()()f x f x < ……………5分)(x f ∴在),1[+∞上为增函数 ……………6分（2）b a <<0 ,且)()(b f a f = 由图(略)可知b a <<<10……………8分∴11(),()f a a f b b a b=-=-得由)()(b f a f =11a b a b-=-……………10分∴1ab = ……………12分19.（本小题满分13分）已知函数4()1(01)2x f x a a a a=->≠+且是定义在(,)-∞+∞上的奇函数.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的值域；（3）当(]0,1x ∈时，()22xt f x ≤+恒成立，求实数t 的取值范围.解：（1）∵()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数.∴由()()0f x f x -+=得2a =……………3分（2）由（1）知2()121xf x =-+，∴121xy y +=-，由101y y +>-得11y -<< 故函数()f x 的值域为()1,1-……………8分（其他方法同样给分）（3）当(]0,1x ∈时，()22xt f x ≤+恒成立，即212221x x x t -⋅≤++⇔621521x x t ≤-++-在(]0,1x ∈上恒成立。

浙江省杭州二中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷

浙江省杭州二中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷

浙江省杭州二中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷杭州二中2015学年第一学期高一年级期中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{}0,1,2M =，{}2|320N x x x =-+≤，则M N ⋂=（ ） （A ）{}1 （B ）{}2 （C ）{}0,1 （D ）{}1,22、已知2log 0.3a =，0.12b =， 1.30.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） （A ）a<b<c （B ）c<a<b （C ）a<c<b （D ）b<c<a3、已知函数x x x f 2log 1)(-=，在下列区间中，函数()f x 有零点的是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞ 4、函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为（ ）（A ）()0,+∞ （B ）(),0-∞ （C ）()2,+∞ （D ）(),2-∞- 5、已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+ （a>0，且a ≠ 1），若(2)g a = ，则()2f 等于（ ） （A ）2 （B ）154 （C ）174（D ）2a 6、若函数2,4,()(3),4,x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则2(log 3)f 等于（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）16 （D ）247、已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3 ，其定义如下表：则方程(())g f x x =的解集是（ ）（A ）{}3 （B ）{}2 （C ）{}1 （D ）∅8、函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像是（）三、解答题:本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015-2016学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷

2015-2016学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷

2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（3分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 3．（3分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）4．（3分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2B．C．D．{x∈R|﹣2＜x ＜2}6．（3分）若函数f（x）=，则f（log23）等于（）A．3B．4C．16D．247．（3分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为（）x123f（x）231x123g（x）321A．{1}B．{2}C．{3}D．∅8．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．9．（3分）函数f（x）=x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m的最大值为（）A．B．C．D．210．（3分）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算=．12．（4分）函数y=的定义域为．13．（4分）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．14．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）为递增函数，若不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则m的取值范围是．15．（4分）数f（x）为奇函数，=．16．（4分）已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是．三.解答题17．（12分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＞2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．18．（14分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（3分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【分析】看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小于1大于0，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．【解答】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=10＜c=0.21.3 ＜0.20=1，∴a＜c＜b故选：D．【点评】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．3．（3分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【分析】首先判断函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；f（1）=1﹣0=1＞0，f（2）=﹣1=﹣＜0；故函数f（x）有零点的区间是（1，2）；故选：B．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．4．（3分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．【解答】解：函数的定义域为：x＞2或x＜﹣2，y=log2x是增函数，y=x2﹣4，开口向上，对称轴是y轴，x＞2时，二次函数是增函数，由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为（2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查复合函数的单调性的求法，忽视函数的定义域是易错点，考查计算能力．5．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2B．C．D．{x∈R|﹣2＜x ＜2}【分析】根据条件构造关于g（2）和f（2）的方程组来求解．【解答】解：因为f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，所以，因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以，上述方程组中两式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因为g（2）=a，所以a=2，将g（2）=2，a=2代入方程组中任意一个可求得f（2）=，故选：C．【点评】题目所求与已知中出现的是g（2）和f（2），但是由于a的存在解不出f（2），故需要再结合奇偶性构造第二个方程．6．（3分）若函数f（x）=，则f（log23）等于（）A．3B．4C．16D．24【分析】先根据对数函数的性质判断log23的范围，代入相应的解析式求解，再判断所得函数值的范围，再代入对应解析式求解，利用对数的恒等式“=N”进行求解．【解答】解：∵log23＜4，∴f（log23）=f（log23+3），∵log23+3＞4，∴f（log23+3）===24．故选：D．【点评】本题是对数的运算和分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，利用“=N”进行求值．7．（3分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为（）x123f（x）231x123g（x）321A．{1}B．{2}C．{3}D．∅【分析】把x=1、2、3分别代入条件进行检验，通过排除与筛选，得到正确答案．【解答】解：当x=1时，g（f（1））=g（2）=2，不合题意．当x=2时，g（f（2））=g（3）=1，不合题意．当x=3时，g（f（3））=g（1）=3，符合题意．故选：C．【点评】本题考查函数定义域、值域的求法．8．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．【分析】求出函数的定义域，排除选项，利用函数的单调性判断求解即可．【解答】解：函数，可得x，可得x＞1或﹣1＜x＜0，排除选项A，D；当x＞1时，y=x﹣是增函数，由复合函数的单调性可知，函数，x＞1是增函数，排除C，故选：B．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的定义域以及函数的单调性的常用判断方法．9．（3分）函数f（x）=x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m的最大值为（）A．B．C．D．2【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【解答】解：当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣）2﹣，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=时，f（）=．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=．即4x2+4x﹣1=0，解得x==，∴此时x=，∵[m，n]上的最小值为，最大值为2，∴n=2，，∴n﹣m的最大值为2﹣=，故选：B．【点评】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．10．（3分）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A．【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算=14+．【分析】利用指数与对数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=++=10+4+=14+．故答案为：14+．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（4分）函数y=的定义域为（﹣2，8] ．【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=，∴1﹣lg（x+2）≥0，即lg（x+2）≤1，∴0＜x+2≤10，解得﹣2＜x≤8，∴函数y的定义域为（﹣2，8]．故答案为：（﹣2，8]．【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．13．（4分）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．【分析】可设f（x）=xα，由=3可求得α，从而可求得f（）的值．【解答】解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23，∴f（）=====．故答案为：【点评】本题考查幂函数的单调性和奇偶性及应用，关键是掌握对数恒等式及其灵活应用，属于中档题．14．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）为递增函数，若不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则m的取值范围是（﹣∞，）．【分析】定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），可得函数f（x）关于直线x=1对称．f（x）在[1，+∞）为递增函数，f（x）在（﹣∞，1]为递减函数．不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．对m分类讨论即可得出．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），∴函数f（x）关于直线x=1对称．f（x）在[1，+∞）为递增函数，f（x）在（﹣∞，1]为递减函数．不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．∵1+m＞m．则当m≥1时，f（1+m）＜f（m）不成立，舍去；当m+1≤1，即m≤0时，总有f（m+1）＜f（m），）恒成立，因此m≤0满足条件；当m＜1＜1+m时，即0＜m＜1．要使f（m）＞f（m+1）恒成立，必须点M（m，f（m））到直线x=1的距离大于点N（m+1，f（m+1））到直线x=1的距离，即1﹣m＞m+1﹣1，解得m．∴．综上所述，m的取值范围是：（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查了抽象函数的单调性对称性、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）数f（x）为奇函数，=．【分析】先据条件得：f（5）=f（1）+2f（2）=f（﹣1）+3f（2），求出f（2）的值，进而可得答案．【解答】解：∵数f（x）为奇函数，f（1）=，∴f（﹣1）=﹣又f（5）=f（1）+2f（2）=f（﹣1）+3f（2），∴+2f（2）=﹣+3f（2），∴f（2）=1∴f（5）=f（1）+2f（2）=+2=，故答案为．【点评】用两种方式表示出f（5），解方程求出f（2）的值．16．（4分）已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是m＜﹣．【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值．【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点．当t=0时，函数t=f（x）有三个零点．当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点．当t=1时，函数t=f（x）有三个零点．当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，则由根的分布可得，将t=1，代入得：m=﹣1，此时g（t）=2t2﹣3t+1的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则，解得：m＜﹣，故答案为：m＜﹣．【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．三.解答题17．（12分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＞2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．【分析】（1）根据f（0）≤1列不等式，对a进行讨论解出a的范围，（2）根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调区间，（3）设g（x）=f（x）+|x|，写出g（x）的解析式，利用二次函数的性质判断g （x）的单调性，根据零点存在定理判断即可．【解答】解：（1）∵f（0）≤1∴f（0）=（0﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）=a2+|a|﹣a（a﹣1）=|a|+a≤1∴当a≤0时，不等式为0≤1恒成立，满足条件，当a＞0时，不等式为a+a≤1，∴0＜a≤，综上所述a的取值范围为（﹣∞，]；（2）当x＜a时，函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a，其对称轴为x==a+＞a，此时y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，f（x）=x2+（1﹣2a）x，其对称轴为：x=a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（﹣∞，a）上单调递减，（3）设g（x）=f（x）+|x|=，当x≥a时，其对称轴为x=a﹣1，当0≤x＜a时，其对称轴为x=a，当x＜0时，其对称轴为x=a+1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∵g（0）=2a＞0，g（a）=a2+（2﹣2a）a=2a﹣a2=﹣（a﹣1）2+1，又a＞2，∴g（a）=﹣（a﹣1）2+1在（2，+∞）上单调递减，∴g（a）＜g（2）=0，∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点，综上所述a＞2时，f（x）+|x|在R上有2个零点．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，以及函数零点存在定理，关键是分类讨论，属于中档题18．（14分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）将a=k=1代入函数，求出函数y=f（x）+g（x）的导数，从而求出函数的单调区间即可；（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；（3）不等式等价于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．【解答】解：（1）a=k=1时，y=f（x）+g（x）=2x+﹣1（x≠0），y′=2﹣=（x≠0），令y′＞0，解得：x＞或x＜﹣，令y′＜0，解得：﹣＜x＜且x≠0，故函数在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增，在（﹣，0），（0，）递减；（2）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增，又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，∴m≥a max，即m≥4；（3）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．对于F（x）=，（i）当x∈[2，2+]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1，①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在[2，2+]上递增，所以k=﹣1符合；②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在[2，2+]上递增，所以k＜﹣1符合；③当k＞﹣1时，只需≥2+，即≥（+）max=2+，所以﹣1＜k≤6﹣4，从而k≤6﹣4；（ii）当x∈（2+，4]时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7，①当k=1时，F（x）=﹣7在（2+，4]上递减，所以k=1不符合；②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7在（2+，4]上递减，所以k＞1不符合；③当k＜1时，只需≤2+，即≤（+）min=1+，所以k＜2﹣2，综上可知：k≤6﹣4．【点评】本题利用函数的单调性解决与最值、不等式的相关问题，考查分析、计算能力以及分类讨论的思想，属于难题．。

浙江省杭州市学军中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

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杭州学军中学2015学年第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．设全集{|4,},{0,1,2},{2,3}U x x x N A B =<∈==，则U B C A = （）A.{2,3}B.{3}C.∅D.{0,1,2,3}2.满足不等式1()3x >x 的取值范围为（） A.23x >- B. 32x >- C.23x <- D. 32x <- 3.在下列各组函数中，两个函数相等的是 （ ）A.()f x =()g x =B.()f x =()g x =C.{}()2,0,1,2,3x f x x =∈与{}35()1,0,1,2,366x g x x x =++∈ D.()f x x =与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩4.函数2221x x y x ++=+的值域是 （ ） A.{}|22y y y <->或 B.{}|22y y y ≤-≥或C.{}|22y y -≤≤D.{|y y y ≤-≥5.若函数x y a b =+的部分图像如图所示，则 （）A.01,10a b <<-<<B.01,01a b <<<<C.1,10a b <-<<D.1,01a b <<<6.偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 （ ）A ．(,4)-∞-B ．(4,1)(1,4)--C ．(,4)(1,0)-∞--D ．(,4)(1,0)(1,4)-∞--7.设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为 （ ） A ．11B ．12 C ．13D ．14 8.已知函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且满足：对任意实数12,x x ，当122ax x <≤时，总有12()()0f x f x ->，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(1,3)B.(0,3)C. (1D.9.定义：区间[]1212,()x x x x <的长度为21x x -，已知函数2xy =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，记区间[],a b 的最大长度为m ，最小长度为n ．则函数()(2)x g x m x n =-+的零点个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10.已知函数12()2()122()2x x f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则函数2015((()))f f f x 个……在[]0,1上的图像总长（ ） A.8060 B.4030C.二、填空题（本大题共5小题, 每小题4分, 共20分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.）11.幂函数()f x的图像过点，则1()2f =__________.12.函数y =的定义域是__________.13.幂函数a y x =，当a 取不同的正数时，在区间[]0,1上它们的图像是一族美丽的线（如图）.设点(1,0),(0,1)A B 连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个函数,y x y x αβ==的图像三等分，即有BM MN NA ==，那么αβ=__________.14.下列几个命题：①若函数2()()x m f x e --=为偶函数，则0m =；②若)(x f 的定义域为[]0,1，则)2(+x f 的定义域为[]2,1--；③函数2)1(log 2++-=x y 的图象可由2)1(log 2---=x y 的图象向上平移4个单位向左平移2个单位得到；④若关于x 方程m x x =--322有两解，则40>=m m 或；其中正确的有______________.15.已知22()log (0)1x g x x x =>+.若关于x 的方程2()()230g x m g x m +++= 有三个不同的实数解，则m 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共5小题，第16,17题8分，第18题10分，第19，20题每题12分，共50分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16.（1）计算222lg5lg8lg5lg 20(lg 2)3+++ .（2）若1122x x-+=1223x x x x --++-的值.17.已知集合{}{}|2135,|332A x a x a B x x =+≤<+=≤≤，若()A A B ⊆ ，求a 的取值范围.18.已知函数1()231x f x a =-+()a R ∈． （1）若函数)(x f 为奇函数，求a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明．19.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161,04815,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4 (毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值．20.已知函数()2f x x a x x =-+（1）当4a =时，写出函数()f x 的单调递增区间（不需要过程）；（2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若存在[2,4]a ∈-，使得函数()y f x at =-有三个零点，求实数t 的取值范围.杭州学军中学2015学年第一学期期中考试高一数学答卷二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11．12．13．14．15．三、解答题（本大题共5小题，第16,17题8分，第18题10分，第19，20题每题12分，共50分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16．17．19．杭州学军中学2015学年第一学期期中考试高一数学参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11 .2 12.2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦13. 1 14. ①、②、④ 15. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦三、解答题（本大题共5小题，第16,17题8分，第18题10分，第19，20题每题12分，共50分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16.（1）原式=3……4分（2）原式=14……4分17.解①2135a a +≥+，4a ∴≤-……4分②321,3532a a ≤++≤，19a ∴≤≤，……4分18.解：（1） 函数)(x f 为奇函数，∴()()0f x f x -+=，……2分 即：11(2)(2)03131x x a a --+-=++，则有：3140331331x x x x x a ---=++ ， 即：314031x x a +-=+，410a ∴-=，14a =；……3分（2）任取12,x x ∈R ，且12x x <，则12()()f x f x -=1211(2)(2)3131x x a a ---++ 21113131x x =-++121233(31)(31)x x x x -=++．……2分 3x y = 在R 上是增函数，且12x x <，1233x x ∴<，即：12330x x -<．又30x >，12310,310x x ∴+>+>，12()()0f x f x ∴-<，即：12()()f x f x <，故()f x 在R 上是增函数．……3分19.解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10.则当0≤x≤4时，由648－x－4≥4解得0≤x＜8，所以此时0≤x≤4. ……2分 当4<x≤10时，由20－2x≥4解得x≤8，所以此时4<x≤8. ……2分 综上得0≤x≤8，即若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．……1分(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－（x －6）－1 ＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x)＋16a 14－x －a －4 ……2分 ≥2（14－x ）·16a 14－x－a －4＝8a －a －4. ……2分 因为6≤x≤10，所以14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4a ∈[4，8]， ……1分 故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－16 2. ……2分20．解（1）(,3),(4,)-∞+∞……3分（2）22(2),()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+->⎪=⎨-++≤⎪⎩……2分11 由()f x 在R 上是增函数，得2222a a aa -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩，22a ∴-≤≤……2分（3）①当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，所以显然不可能有三个零点……1分②当(]2,4a ∈时，22(2),()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+->⎪=⎨-++≤⎪⎩ ()y f x at =- 有三个零点 所以由图像可知，2(2)24a a at +<<即可……2分 2(2)24a t a+∴<< 924t ∴<<……2分。

[精品]2015-2016年浙江省杭州二中高一(上)数学期中试卷与答案

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2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（3分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b3．（3分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）4．（3分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B．C．D．{x∈R|﹣2＜x＜2}6．（3分）若函数f（x）=，则f（log23）等于（）A．3 B．4 C．16 D．247．（3分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为（）A．{1}B．{2}C．{3}D．∅8．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．9．（3分）函数f（x）=x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m的最大值为（）A．B．C．D．210．（3分）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算=．12．（4分）函数y=的定义域为．13．（4分）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．14．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）为递增函数，若不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则m的取值范围是．15．（4分）数f（x）为奇函数，=．16．（4分）已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是．三.解答题17．（12分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＞2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．18．（14分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．2．（3分）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=10＜c=0.21.3 ＜0.20=1，∴a＜c＜b故选：D．3．（3分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：易知函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，且连续；f（1）=1﹣0=1＞0，f（2）=﹣1=﹣＜0；故函数f（x）有零点的区间是（1，2）；故选：B．4．（3分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：函数的定义域为：x＞2或x＜﹣2，y=log2x是增函数，y=x2﹣4，开口向上，对称轴是y轴，x＞2时，二次函数是增函数，由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为（2，+∞）．故选：C．5．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B．C．D．{x∈R|﹣2＜x＜2}【解答】解：因为f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，所以，因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以，上述方程组中两式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因为g（2）=a，所以a=2，将g（2）=2，a=2代入方程组中任意一个可求得f（2）=，故选：C．6．（3分）若函数f（x）=，则f（log23）等于（）A．3 B．4 C．16 D．24【解答】解：∵log23＜4，∴f（log23）=f（log23+3），∵log23+3＞4，∴f（log23+3）===24．故选：D．7．（3分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x））=x的解集为（）A．{1}B．{2}C．{3}D．∅【解答】解：当x=1时，g（f（1））=g（2）=2，不合题意．当x=2时，g（f（2））=g（3）=1，不合题意．当x=3时，g（f（3））=g（1）=3，符合题意．故选：C．8．（3分）函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数，可得x，可得x＞1或﹣1＜x＜0，排除选项A，D；当x＞1时，y=x﹣是增函数，由复合函数的单调性可知，函数，x＞1是增函数，排除C，故选：B．9．（3分）函数f（x）=x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值为，最大值为2，则n﹣m的最大值为（）A．B．C．D．2【解答】解：当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣）2﹣，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=时，f（）=．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=．即4x2+4x﹣1=0，解得x==，∴此时x=，∵[m，n]上的最小值为，最大值为2，∴n=2，，∴n﹣m的最大值为2﹣=，故选：B．10．（3分）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算=14+．【解答】解：原式=++=10+4+=14+．故答案为：14+．12．（4分）函数y=的定义域为（﹣2，8] ．【解答】解：∵函数y=，∴1﹣lg（x+2）≥0，即lg（x+2）≤1，∴0＜x+2≤10，解得﹣2＜x≤8，∴函数y的定义域为（﹣2，8]．故答案为：（﹣2，8]．13．（4分）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．【解答】解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23，∴f（）=====．故答案为：14．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）为递增函数，若不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则m的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），∴函数f（x）关于直线x=1对称．f（x）在[1，+∞）为递增函数，f（x）在（﹣∞，1]为递减函数．不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．∵1+m＞m．则当m≥1时，f（1+m）＜f（m）不成立，舍去；当m+1≤1，即m≤0时，总有f（m+1）＜f（m），）恒成立，因此m≤0满足条件；当m＜1＜1+m时，即0＜m＜1．要使f（m）＞f（m+1）恒成立，必须点M（m，f（m））到直线x=1的距离大于点N（m+1，f（m+1））到直线x=1的距离，即1﹣m＞m+1﹣1，解得m．∴．综上所述，m的取值范围是：（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．15．（4分）数f（x）为奇函数，=．【解答】解：∵数f（x）为奇函数，f（1）=，∴f（﹣1）=﹣又f（5）=f（1）+2f（2）=f（﹣1）+3f（2），∴+2f（2）=﹣+3f（2），∴f（2）=1∴f（5）=f（1）+2f（2）=+2=，故答案为．16．（4分）已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是m＜﹣1．【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点．当t=0时，函数t=f（x）有三个零点．当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点．当t=1时，函数t=f（x）有三个零点．当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，则由根的分布可得，将t=1，代入得：m=﹣1，此时g（t）=2t2﹣3t+1的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1三.解答题17．（12分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＞2时，讨论f（x）+|x|在R上的零点个数．【解答】解：（1）∵f（0）≤1∴f（0）=（0﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）=a2+|a|﹣a（a﹣1）=|a|+a≤1∴当a≤0时，不等式为0≤1恒成立，满足条件，当a＞0时，不等式为a+a≤1，∴0＜a≤，综上所述a的取值范围为（﹣∞，]；（2）当x＜a时，函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a，其对称轴为x==a+＞a，此时y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，f（x）=x2+（1﹣2a）x，其对称轴为：x=a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（﹣∞，a）上单调递减，（3）设g（x）=f（x）+|x|=，当x≥a时，其对称轴为x=a﹣1，当0≤x＜a时，其对称轴为x=a，当x＜0时，其对称轴为x=a+1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∵g（0）=2a＞0，g（a）=a2+（2﹣2a）a=2a﹣a2=﹣（a﹣1）2+1，又a＞2，∴g（a）=﹣（a﹣1）2+1在（2，+∞）上单调递减，∴g（a）＜g（2）=0，∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点，综上所述a＞2时，f（x）+|x|在R上有2个零点．18．（14分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）a=k=1时，y=f（x）+g（x）=2x+﹣1（x≠0），y′=2﹣=（x≠0），令y′＞0，解得：x＞或x＜﹣，令y′＜0，解得：﹣＜x＜且x≠0，故函数在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增，在（﹣，0），（0，）递减；（2）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增，又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，∴m≥a max，即m≥4；（3）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．对于F（x）=，（i）当x∈[2，2+]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1，①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在[2，2+]上递增，所以k=﹣1符合；②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在[2，2+]上递增，所以k＜﹣1符合；③当k＞﹣1时，只需≥2+，即≥（+）max=2+，所以﹣1＜k≤6﹣4，从而k≤6﹣4；（ii）当x∈（2+，4]时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7，①当k=1时，F（x）=﹣7在（2+，4]上递减，所以k=1不符合；②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7在（2+，4]上递减，所以k＞1不符合；③当k＜1时，只需≤2+，即≤（+）min=1+，所以k＜2﹣2，综上可知：k≤6﹣4．。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高一(上)期中数学试卷

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高一(上)期中数学试卷

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．（4分）（2014秋•杭州校级期中）设集合A={1，3，4}，B={2，3，6}，则A∪B等于（）A．{3}B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{1，2，3，4，6}2．（4分）（2015秋•沈丘县校级期末）下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）A．y=B．y=C．y=lne x D．y=3．（4分）（2014秋•杭州校级期中）下列函数中是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y= B．y=|x|C．y=2x D．y=x34．（4分）（2014秋•杭州校级期中）已知a=3，b=，c=log32，则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a5．（4分）（2014秋•杭州校级期中）设函数f（x）=，若f（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣1或0 B．2或﹣1 C．0或2 D．26．（4分）（2014•漳州一模）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．7．（4分）（2014秋•杭州校级期中）定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣2，则不等式f（x）＞﹣1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣2，0]∪（2，+∞）C．（﹣3，0）∪（1，+∞）D．（﹣3，0]∪（1，+∞）8．（4分）（2014秋•杭州校级期中）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2）有如下结论①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③＜0；④f（）＞．当f（x）=lnx时，上述结论中正确的序号是（）A．①③B．②③C．②④D．③④9．（4分）（2014秋•杭州校级期中）已知函数f（x）=（a，b为常数，b＞a＞0）的定义域为[a，b]，值域为[a﹣，b﹣]，则a+b等于（）A．B．C．5 D．610．（4分）（2014秋•杭州校级期中）关于函数f（x）=，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②f（x）在（﹣∞，0）上是增函数；③f（x）的最大值为1；④对任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都可做为某一三角形的三边长．其中正确的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．③④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．11．（4分）（2014秋•杭州校级期中）已知集合A={（x，y）|}，则集合A用列举法表示为______．12．（4分）（2014秋•杭州校级期中）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（3，），则f（9）=______．13．（4分）（2015秋•无锡期中）函数f（x）=log a（2x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象必过定点______．14．（4分）（2014秋•杭州校级期中）函数f（x）=lg（x2﹣2x）的单调递减区间为______．15．（4分）（2014秋•杭州校级期中）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为R=（lgE﹣11.4）．那么里氏9级的地震释放的能量是里氏7级地震释放的能量的______倍．16．（4分）（2014秋•杭州校级期中）设函数f（x）=，g（x）=，若f[g （a）]≤1，则实数a的取值范围是______．三.解答题（本大题共5小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）（2014秋•杭州校级期中）不用计算器求下列各式的值：（1）+﹣3﹣1+；（2）+．18．（10分）（2014秋•杭州校级期中）已知全集U=R，集合A={x|y=}，B={x|a＜x＜a+2，a∈R}，（1）当a=1时，求集合B∩∁U A；（2）若集合A∪B=A，求实数a的取值范围．19．（12分）（2014秋•杭州校级期中）已知函数f（x）=lg（3x﹣3）．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设函数h（x）=g（x）﹣lg（3x+3），若不等式h（x）＞t无解，求实数t的取值范围．20．（12分）（2014秋•杭州校级期中）已知定义在R上的偶函数f（x）=a•3x+3﹣x，a为常数，（1）求a的值；（2）用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）上是增函数；（3）若关于x的方程f（b）=f（|2x﹣1|）（b为常数）在R上有且只有一个实根，求实数b 的取值范围．21．（12分）（2014秋•杭州校级期中）已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）当x∈[1，2]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）=|f（x）|（a≥0）在[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．（4分）（2014秋•杭州校级期中）设集合A={1，3，4}，B={2，3，6}，则A∪B等于（）A．{3}B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{1，2，3，4，6}【解答】解：由已知集合A={1，3，4}，B={2，3，6}，则A∪B={1，2，3，4，6}；故选D．2．（4分）（2015秋•沈丘县校级期末）下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）A．y=B．y=C．y=lne x D．y=【解答】解：对于A，y==x（x≠0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，y==|x|，与y=x（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数；对于C，y=lne x=x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，y==x（x＞0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数．故选：C．3．（4分）（2014秋•杭州校级期中）下列函数中是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y= B．y=|x|C．y=2x D．y=x3【解答】解：A.在（0，+∞）上单调递减法，不满足条件；B．y=|x|是偶函数，不满足条件；C．y=2x是非奇非偶函数，不满足条件；D．y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，满足条件．故选：D．4．（4分）（2014秋•杭州校级期中）已知a=3，b=，c=log32，则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a=3＜0，b=＞1，0＜c=log32＜1，∴a＜c＜b．故选：A．5．（4分）（2014秋•杭州校级期中）设函数f（x）=，若f（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣1或0 B．2或﹣1 C．0或2 D．2【解答】解：函数f（x）=，若f（a）=1，当a＜1时，﹣a=1，a=﹣1，成立．当a≥1时，（a﹣1）2=1，解得a=2，综上a的值为：2或﹣1．故选：B．6．（4分）（2014•漳州一模）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C，又当x=﹣1时，函数值等于0，故排除D，故选B．7．（4分）（2014秋•杭州校级期中）定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣2，则不等式f（x）＞﹣1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣2，0]∪（2，+∞）C．（﹣3，0）∪（1，+∞）D．（﹣3，0]∪（1，+∞）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0．∵x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣2，∴f（﹣x）=﹣x﹣2，∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（x）=﹣f（x）=x+2．∴f（x）=．∴当x＞0时，不等式f（x）＞﹣1化为x﹣2＞﹣1，其解集为（1，+∞）．同理可得：当x＜0时，不等式f（x）＞﹣1的解集为（﹣3，0）．当x=0时，0＞﹣1成立．综上可得：不等式f（x）＞﹣1的解集为（﹣3，0]∪（1，+∞）．故选：D．8．（4分）（2014秋•杭州校级期中）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2）有如下结论①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；③＜0；④f（）＞．当f（x）=lnx时，上述结论中正确的序号是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【解答】解：∵f（x）=lnx∴根据对数函数的性质知①②两个式子中②正确，由③可以判断函数是一个减函数，故③不正确，④表示函数是一个上凸函数，符合底数大于1的对数函数的性质，故②④两个正确，故选C9．（4分）（2014秋•杭州校级期中）已知函数f（x）=（a，b为常数，b＞a＞0）的定义域为[a，b]，值域为[a﹣，b﹣]，则a+b等于（）A．B．C．5 D．6【解答】解：函数f（x）=（a，b为常数，b＞a＞0）的定义域为[a，b]，则由反比例函数的性质，可得，f（x）在[a，b]递增，由值域为[a﹣，b﹣]，得，解得（a﹣b）（a+b）=（a﹣b），即有a+b=，故选A．10．（4分）（2014秋•杭州校级期中）关于函数f（x）=，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②f（x）在（﹣∞，0）上是增函数；③f（x）的最大值为1；④对任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都可做为某一三角形的三边长．其中正确的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．③④【解答】解：因为f（﹣x）==f（x），所以函数为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故①正确，因为f（x）=，设g（x）=，则g（x）=≤当且仅当x=±1时取等号，故0≤g（x）≤，而函数y=2x为增函数，故函数的f（x）的值域为[1，]，且x∈（﹣∞，﹣1），[0，1）上为增函数，在[﹣1，0]，[1，+∞）为减函数，故②③错误，对任意a，b，c∈R不妨假设a≤c，b≤c，因为函数的值域为[1，]，则1≤f（a），1≤f（b），1≤f（c）≤，则2≤f（a）+f（b）≤2，故f（a）+f（b）＞f（c），故f（a），f（b），f（c）都可做为某一三角形的三边长．故④正确．故正确的序号为①④，故选：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．11．（4分）（2014秋•杭州校级期中）已知集合A={（x，y）|}，则集合A用列举法表示为{（1，0）} ．【解答】解：由已知，方程组的解为，所以集合A={（1，0）}；故答案为：{（1，0）}12．（4分）（2014秋•杭州校级期中）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（3，），则f（9）=3．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（3，）代入可得=3α，∴α=，即f（x）=，故f（9）==3，故答案为：313．（4分）（2015秋•无锡期中）函数f（x）=log a（2x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象必过定点（1，1）．【解答】解：由对数函数的定义，令2x﹣1=1，此时y=1，解得x=1，故函数y=log a（2x﹣1）+1的图象恒过定点（1，1）故答案为（1，1）14．（4分）（2014秋•杭州校级期中）函数f（x）=lg（x2﹣2x）的单调递减区间为（﹣∞，0）．【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=lgt，故本题即求函数t在定义域上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域上的减区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．15．（4分）（2014秋•杭州校级期中）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为R=（lgE﹣11.4）．那么里氏9级的地震释放的能量是里氏7级地震释放的能量的1000倍．【解答】解：由题意可得：9=（lgE1﹣11.4），7=（lgE2﹣11.4），两式相减得2=（lgE1﹣lgE2），∴lg=3，∴=103=1000．故答案为：1000．16．（4分）（2014秋•杭州校级期中）设函数f（x）=，g（x）=，若f[g （a）]≤1，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪[2，+∞）．【解答】解：g（a）=，∴f[g（a）]=，∴f[g（a）]≤1⇔≤1，当≤0时，=；当＞0时，=∴不等式可化为或，解此不等式组得a＜0，或a≥2，故答案为：（﹣∞，0）∪[2，+∞）．三.解答题（本大题共5小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）（2014秋•杭州校级期中）不用计算器求下列各式的值：（1）+﹣3﹣1+；（2）+．【解答】解：（1）原式==+4﹣+1=8；（2）原式=+log2+3==（log63+log62）+=2．18．（10分）（2014秋•杭州校级期中）已知全集U=R，集合A={x|y=}，B={x|a＜x＜a+2，a∈R}，（1）当a=1时，求集合B∩∁U A；（2）若集合A∪B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为A={x|x＞2}，当a=1时，B={x|1＜x＜3}，（2分）所以集合∁U A={x|x≤2}（1分）所以集合B∩∁U A={x|1＜x≤2}．（2分）（2）若A∪B=A，则B⊆A，（2分）所以a≥2．（3分）19．（12分）（2014秋•杭州校级期中）已知函数f（x）=lg（3x﹣3）．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设函数h（x）=g（x）﹣lg（3x+3），若不等式h（x）＞t无解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由3x﹣3＞0得x＞1，所以定义域为（1，+∞），因为（3x﹣3）∈（0，+∞），∴lg（3x﹣3）∈R．所以值域为R．（2）因为h（x）=lg（3x﹣3）﹣lg（3x+3）==的定义域为（1，+∞），且在（1，+∞）上是增函数，所以函数的值域为（﹣∞，0）若不等式h（x）＞t无解，则t的取值范围为t≥0．20．（12分）（2014秋•杭州校级期中）已知定义在R上的偶函数f（x）=a•3x+3﹣x，a为常数，（1）求a的值；（2）用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）上是增函数；（3）若关于x的方程f（b）=f（|2x﹣1|）（b为常数）在R上有且只有一个实根，求实数b 的取值范围．【解答】解：（1）由f（﹣x）=f（x）得a•3﹣x+3x=a•3x+3﹣x，所以（a﹣1）（3x﹣3﹣x）=0对x∈R恒成立，所以a=1；（2）证明：由（1）得f（x）=3x+3﹣x，任取m，n∈[0，+∞），且m＜n，则f（m）﹣f（n）=3m+3﹣m﹣3n﹣3﹣n=，由0≤m＜n，得3m﹣3n＜0，3m+n＞0，3m+n﹣1＞0则f（m）﹣f（n）＜0即有f（m）＜f（n），所以f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（3）因为偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，又f（b）=f（|2x﹣1|），①当b≥0时，得b=|2x﹣1|在R上有且只有一个实根，所以函数y=b与y=|2x﹣1|的图象有且只有一个交点，由图象得b≥1或b=0；②当b＜0时，得﹣b=|2x﹣1|在R上有且只有一个实根，所以函数y=﹣b与y=|2x﹣1|的图象有且只有一个交点，由图象得b≤﹣1综上所述：b≤﹣1或b=0或b≥1．21．（12分）（2014秋•杭州校级期中）已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）当x∈[1，2]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）=|f（x）|（a≥0）在[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x∈[1，2]时，ax2﹣2x+1＞0恒成立，可以化为：a＞﹣=﹣+1 恒成立，又﹣在x∈[1，2]上的最大值为1，所以a＞1．（2）当a=0时，g（x）=2|2x﹣1|在[1，2]时上是增函数；当a＞0时，g（x）=|a（x﹣）2+1﹣|①若≥0，≤1，即a≥1时，g（x）=|a（x﹣）2+1﹣|=a（x﹣）2+1﹣在[1，2]上是增函数；②若1﹣＜0，即0＜a＜1时，设方程f（x）=0的两根为x1 x2且x1＞x2，此时g（x）在[x1，]和[x2，+∞）上是增函数，1°若[1，2]⊆[x1，]，则，解得0＜a≤；2°若[1，2]⊆[x2，+∞）则得a＞1，无解；综上所述0≤a或a≥1．参与本试卷答题和审题的老师有：changq；742048；沂蒙松；qiss；caoqz；whgcn；双曲线；00；智者乐水；csyzlg（排名不分先后）菁优网2016年10月2日。

【数学】2014-2015年浙江省杭州市重点中学联考高三(上)期中数学试卷与答案(文科)(1)

【数学】2014-2015年浙江省杭州市重点中学联考高三(上)期中数学试卷与答案(文科)(1)

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M{x|x2﹣x＞0}，N={0，1，2，3}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|0≤x≤1}B．{0，1}C．{2，3}D．{1，2，3}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=log0.3（x+2）B．y=3﹣x C．y=D．y=﹣x23．（5分）已知等比数列{a n}前n项的积为T n，且公比q≠1，若T7=128，则（）A．a4=2 B．a5=2 C．a6=2 D．a1=24．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．（5分）若偶函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+2）=﹣f（x），且在[﹣2，0]上为单调递减函数，则（）A．f（）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（）＞f（）C．f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）7．（5分）已知函数f（x）=2xcosx，则函数f（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．8．（5分）在正项等比数列{a n}中，2为a4与a14的等比中项，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．6 D．49．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．log23 B．2 C．log26 D．110．（5分）若定义在R上的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对于任意的实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”，则下列结论正确的是（）A．f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”B．f（x）=x2是一个“λ的相关函数”C．f（x）=e﹣x是一个“λ的相关函数”D．“的相关函数”至少有一个零点二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）设函数f（x）=，则f（）=．12．（4分）已知、满足||=1，=（3，4），且+=0（λ∈R），则|λ|=．13．（4分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则m的取值范围是．14．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是．15．（4分）某地区预计2015年的前x个月内对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系式是f（x）=x（x+1）（19﹣x），x∈N*，1≤x≤12，则2015年的第x月的需求量g（x）（万件）与月份x的函数关系式是．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于．17．（4分）如果函数f（x）对定义域M内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）在定义域M内为“DJ”函数．给出函数：①f（x）=sinx+cosx，x∈[，]；②f（x）=2x3+3x﹣；③f（x）=；④f（x）=．以上函数为“DJ”函数的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x﹣2a2≥0}（Ⅰ）当a=1时，求A∩B；（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．19．（14分）已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．20．（14分）已知单位，夹角为锐角，且|﹣t|（t∈R）最小值为．（Ⅰ）求（+）（﹣2）的值；（Ⅱ）若满足（）•（）=0，求||的最小值．21．（15分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a5=10，等比数列{b n}的前3项满足b1=a2，b2=a3，b3=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（n∈N*），S n=c1+c2+…+c n，是否存在最大整数m，使对任•S n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请意的n∈N*，均有b n+1说明理由．22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若a=1，b=c，且|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当c=0时，有f（﹣2）=6，|2a+b|≤3．若对于任意的实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[﹣2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M{x|x2﹣x＞0}，N={0，1，2，3}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|0≤x≤1}B．{0，1}C．{2，3}D．{1，2，3}【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣1）＞0，解得：x＜0或x＞1，即M={x|x＜0或x＞1}，∴∁U M={x|0≤x≤1}，∵N={0，1，2，3}，∴（∁U M）∩N={0，1}，故选：B．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=log0.3（x+2）B．y=3﹣x C．y=D．y=﹣x2【解答】解：由于二次函数y=﹣x2在区间（0，+∞）上是减函数，故排除D．A、由于函数y=log0.3（x+2）由于函数y=log0.3u与u=x+2复合而成，由复合函数的单调性知函数y=log0.3（x+2）为减函数；B、由于函数y=3﹣x由于函数y=3u与u=﹣x复合而成，由复合函数的单调性知函数y=3﹣x为减函数；故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}前n项的积为T n，且公比q≠1，若T7=128，则（）A．a4=2 B．a5=2 C．a6=2 D．a1=2【解答】解：已知等比数列{a n}前n项的积为T n，且公比q≠1，若T7=128利用等比数列的性质：所以：a4=2故选：A．4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：|x+2|＞2即为x＞0或x＜﹣4；命题p：＞1即为2＜x＜3；所以￢p：﹣4≤x≤0，￢q：x≤2或x≥3；所以￢p成立￢q成立，反之￢q成立￢p不一定成立；所以¬q是¬p成立的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象：A=1T==π所以：ω=2当x=时，f（）=0解得：Φ=﹣所以f（x）=cos（2x﹣）要得到g（x）=cos2x的图象只需将f（x）的图象向左平移个单位即可．故选：D．6．（5分）若偶函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+2）=﹣f（x），且在[﹣2，0]上为单调递减函数，则（）A．f（）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（）＞f（）C．f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）【解答】解：f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数．∴f（）=f（4﹣）=f（﹣），f（）=f（4+）=f（）=f（﹣），f（）=f（4﹣）=f（），在[﹣2，0]上单调递减，∴f（﹣）＞f（﹣）＞f（），∴f（）＞f（）＞f（），故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=2xcosx，则函数f（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=2xcosx，f（﹣x）=﹣2xcosx=﹣f（x），所以函数是奇函数，排除B、D，当x→0时，函数f（x）=2xcosx＞0，函数的图象在第一象限，排除C，故选：A．8．（5分）在正项等比数列{a n}中，2为a4与a14的等比中项，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．6 D．4【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a7+a11≥8．故选：B．9．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．log23 B．2 C．log26 D．1【解答】解：∵x1＜x2，∴2=1﹣k，2=1+k，又∵x3＜x4，∴2=1﹣，2=1+，∴2﹣=，2=；∴2==﹣3+；又k∈[，1），∴﹣3+∈[2，+∞）；∴x4﹣x3+x2﹣x1∈[1，+∞），故选：D．10．（5分）若定义在R上的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对于任意的实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”，则下列结论正确的是（）A．f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”B．f（x）=x2是一个“λ的相关函数”C．f（x）=e﹣x是一个“λ的相关函数”D．“的相关函数”至少有一个零点【解答】解：对于A，设f（x）=C是一个“λ的相关函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ﹣伴随函数”，故A 不正确；对于B，用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ的相关函数”，故B不正确；对于C，假设f（x）=e﹣x是一个“λ的相关函数”，则e﹣（x+λ）+λe﹣x=0对任意实数x ∈R成立，则e﹣λ+λ=0，此式无解，∴f（x）=e﹣x不是一个“λ的相关函数”，故C不正确；对于D，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“的相关函数”必有根，即任意“的相关函数”至少有一个零点，故D正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）设函数f（x）=，则f（）=6．【解答】解：函数f（x）=，f（﹣4）=2﹣4+2=，=4．则f（）=f（4）=42﹣3×4+2=6．故答案为：6．12．（4分）已知、满足||=1，=（3，4），且+=0（λ∈R），则|λ|=5．【解答】解：∵、满足||=1，=（3，4），且+=0（λ∈R），∴=﹣λ，∴||=|﹣λ|=|λ|•||=|λ|×1=5，∴|λ|=5．故答案为5．13．（4分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则m的取值范围是．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（m，﹣m），直线x﹣2y=2的斜率为，斜截式方程为，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则点C（m，﹣m）必在直线x﹣2y=2的下方，即﹣m，解得m．故m的取值范围是：．故答案为：．14．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是4．【解答】解：∵a+b﹣2a2b2=4，∴a+b=4+2a2b2，∴===+2ab≥2=4，当且仅当ab=取等号，故的最小值是4，故答案为：415．（4分）某地区预计2015年的前x个月内对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系式是f（x）=x（x+1）（19﹣x），x∈N*，1≤x≤12，则2015年的第x月的需求量g（x）（万件）与月份x的函数关系式是g（x）=x （13﹣x）（x∈N*且x≤12）．【解答】解：当x=1时，g（1）=f（1）=．当2≤x≤12，x∈N*时，g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）=x（x+1）（19﹣x）﹣（x ﹣1）x（20﹣x）=x（13﹣x）验证x=1符合g（x）=x（13﹣x），∴g（x）=x（13﹣x）（x∈N*且x≤12）．故答案为：g（x）=x（13﹣x）（x∈N*且x≤12）．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则20a（﹣）+15b+12c=（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=．∵、不共线，故有20a﹣15b=0，12c﹣20a=0．∴b=a，c=a，a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，∴a最小，∴cosA==，∴sinA==，即△ABC的最小角的正弦值等于．故答案为：．17．（4分）如果函数f（x）对定义域M内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）在定义域M内为“DJ”函数．给出函数：①f（x）=sinx+cosx，x∈[，]；②f（x）=2x3+3x﹣；③f（x）=；④f（x）=．以上函数为“DJ”函数的序号是①④．【解答】解：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，即满足条件的函数为单调递减函数，由题意得：①④两个函数满足条件，故答案为：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x﹣2a2≥0}（Ⅰ）当a=1时，求A∩B；（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意A=[1，2]，当a=1时，B=[1，+∞），则A∩B=[]1，2]，（Ⅱ）由B：（2X﹣2a）（2x+a）≥0，知若a＞0，解得x≥1+log2a，即B=[1+log2a，+∞）；若a=0，解集为R；若a＜0，解得x≥log2（﹣a），即B=[log2（﹣a），+∞）；由A⊆B分别求得0＜a≤1，或a=0，或﹣2≤a＜0，则﹣2≤a≤1．19．（14分）已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x）=cos2x﹣2cosxsinx=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），∴T==π，令2x+=kπ（k∈Z），即x=﹣（k∈Z），∴函数f（x）的对称轴方程为x=﹣（k∈Z），（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+），∴f（A）=2cos（2A+）=﹣，即cos（2A+）=﹣，∵0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=．设BC边上的高为h，=bcsinA=a•h，即bc=2h，h=bc，则S△ABC∵cosA===，∴bc+9=b2+c2，∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．∴bc+9≥2bc，bc≤9，此时b=c，∵A=，∴b=c=a=3，等号能成立．∴此时h=．∴h的最大值为．20．（14分）已知单位，夹角为锐角，且|﹣t|（t∈R）最小值为．（Ⅰ）求（+）（﹣2）的值；（Ⅱ）若满足（）•（）=0，求||的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由单位，夹角为锐角θ，且|﹣t|（t∈R）最小值为，可得1+t2﹣2t•cosθ 的最小值为，∴cosθ=，∴θ=60，=1×1×cosθ°=．（+）（﹣2）=﹣2﹣=1﹣2﹣=﹣．（Ⅱ）若满足（）•（）=0，则（）⊥[﹣（﹣）]，向量的终点在以向量、﹣的终点A、B为直径的圆上，且|AB|=，从而||≥﹣．21．（15分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a5=10，等比数列{b n}的前3项满足b1=a2，b2=a3，b3=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（n∈N*），S n=c1+c2+…+c n，是否存在最大整数m，使对任•S n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请意的n∈N*，均有b n+1说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知可设公差为的d，则有：，联立解得：a1=﹣2，d=3，∴a n=3n﹣5，．（Ⅱ）数列a n=3n﹣5代入得==（），故S n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=•S n成立，即m＜=，假设存在整数m使b n+1记f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）=＞0，故f（n）为单调递增，且f（n）min=f（1）=13．故存在最大的整数m=12，使恒成立．22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若a=1，b=c，且|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当c=0时，有f（﹣2）=6，|2a+b|≤3．若对于任意的实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[﹣2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．【解答】解：（Ⅰ）由于已知得f（x）=x2+bx+b，图象过定点（0，b），且由|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）图象与x轴在[0，1]上没有交点．①当b≥0时，要使|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）≥0在[0，1]上恒成立，则只须对称轴，得b≥0；②当b＜0时，要使|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）＜0在[0，1]上恒成立，则只须对称轴，得b≤﹣2；综上所述，b≤﹣2或b≥0．（Ⅱ）由f（﹣2）=6，得b=2a﹣3，且f（x）=ax2+（2a﹣3）x，又∵﹣3≤2a+b≤3，即﹣3≤4a﹣3≤3，得，∵已知函数为二次函数，∴a≠0，则．当时，f（x）=ax2+（2a﹣3）x，抛物线开口向上，对称轴，，最小值为．（ⅰ）当时，即4a2﹣36a+9≤0，解得，要使|f（x）|≤6在x∈[﹣2，t]恒成立，此时t的最大值为f（x）=6的解中较大的根，∴．（ⅱ）当时，即4a2﹣36a+9＞0，解得，此时令f（x）=﹣6，解得，要使|f（x）|≤6在x∈[﹣2，t]恒成立，此时t为其中较小的根，知．综上可得．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

杭州高级中学2015学年第一学期高一数学期中考试卷

杭州高级中学2015学年第一学期高一数学期中考试卷

杭州高级中学2015学年第一学期期中考试高一数学试卷注意事项：1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟，考试过程中不得使用计算器； 2．所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本大题共8小题，每小题3 分，共24分）：1.设全集U R =，{A x y ==，{}2B y y x ==-，则()UAB =ð （ ）A.∅B.RC.{}0x x > D.{}0 2.函数()221f x x x =--的定义域是 （ ）A.12xx ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ B.12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭ C.112x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且 D.112x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且3.已知函数()221,1,1xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()()04f f a =，则实数a 等于 （ ）A.12B.45C.2D.9 4.设()f x 为定义在R 上的奇函数.当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则()1f -=（ ）A.3-B.1-C.1D.35. 函数xy a =在区间[]0,1上的最大值与最小值的和为4，则函数32y ax =-在区间[]0,1上的最大值是 （ ） A.9 B.1 C.7 D.726.若[]1,9x ∈，则函数()f x =（ ） A.10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.函数()24f x x mx =-与()51mx g x x +=+在[]1,2上都是减函数，则m 的取值范围是（ ）A.[)1,5B.[]1,5C.[)1,+∞D.(),5-∞8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221232f x x a x a a =-+--.若对于任意x R ∈，都有()()1f x f x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A.11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.⎡⎢⎣⎦C.⎡⎢⎣⎦D.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共7小题，每小题4 分，共28分）： 9. 设集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则AB = .10.已知集合{}2210,A x R ax x a R =∈++=∈只有一个元素，则a 的值为 . 11. 若函数()()()21xf x x x a =++是奇函数，则a = .12. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于_____ ___．13. 已知()()()1,11,01x x xf x x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，若0a b <<且()()f a f b =，则ab 的值为 .14.设函数()y f x =在(),-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,K f x f x Kf x K f x K≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，取函数()5xf x -=，当15K =时，函数()K f x 的单调递减区间为 .15.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围为 .三、解答题（本大题共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 16.已知集合411A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，()(){}410B x x m x m =---+>.（1）若2m =，求A B ；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围.17.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-+.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）若函数()f x 在区间[]2,3a --上单调递增，求实数a 的取值范围.18.已知函数()21xf x x =+. （1）证明函数()f x 在()1,1-上为增函数； （2）若()25613m m f x -+≤对22,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围.19.设函数()222xx af x =+-（a 为实数） （1）当1a =-时（i ）求方程()2f x =-的解集;（ii ）设函数()2g x x b =+，若对任意的[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12f x g x =，求实数b 的取值范围.（2）当0a =时，已知t 为常数，函数()()()24h x fx f x t =--在区间[]1,3上的最大值为10，求t 的值.杭州高级中学2015学年第一学期期中考试高一数学答案四、选择题（本大题共8小题，每小题3 分，共24分）：五、填空题（本大题共7小题，每小题4 分，共28分）：9． 112⎛⎫⎪⎝⎭， ；10． 0或1 ; 11． 12- ；12． 2 ;13． 1 ；14. [)1,+∞ ; 15. 08m << 。

杭州市高一上学期期中数学试卷(I)卷精编

杭州市高一上学期期中数学试卷(I)卷精编

杭州市高一上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·江西期末) 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A . y= 与y=x+1B . y=1与y=x0C . y= ﹣1与y=x﹣1D . y=x与y=logaax（a＞0且a≠1）3. （2分） (2019高一上·淮南月考) 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·武邑开学考) 设f（x）= ，则f（1）=（）A . 3B . 4C . 5D . 65. （2分） (2017高二下·淄川期中) 设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn ，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值为（）A . ﹣log20172016B . ﹣1C . log20172016﹣1D . 16. （2分）已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是（）A . y＝2x－1B . y＝xC . y＝3x－2D . y＝－2x＋37. （2分）下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·沈阳期中) 若全集U={0，1，2，3}且∁UA={2}，则集合A的真子集共有（）A . 3个B . 5个C . 7个D . 8个9. （2分） (2019高一上·龙江期中) 如果函数且的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有（）A . 且B . 且C . 且D . 且10. （2分） (2018高三上·沧州期末) 已知函数是偶函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）若函数f（x）对任意x，y∈R满足f（x+y）+f（x﹣y）=2f（x）f（y），则下列关于函数奇偶性的说法一定正确的是（）A . 是偶函数但不是奇函数B . 是奇函数但不是偶函数C . 是非奇非偶函数D . 可能是奇函数也可能是偶函数12. （2分）定义区域[x1 ， x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A .B . ﹣3C . 1D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·湖南期中) 函数f（x）= 的定义域是________．14. （1分）=________15. （1分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1 ， x2 ，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=x2；②y=ex+1；③y=2x﹣sinx；④．以上函数是“H函数”的所有序号为________．16. （1分）(2017·云南模拟) 在平面内，Rt△ABC中，BA⊥CA，有结论BC2=AC2+AB2 ，空间中，在四面体V﹣BCD中，VB，VC，VD两两互相垂直，且侧面的3个三角形面积分别记为S1 ， S2 ， S3 ，底面△BCD的面积记为S，类比平面可得到空间四面体的一个结论是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一上·平遥期中) 已知集合，集合．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|2a≤x≤a+1}，且（A∩B）⊇C，求实数a的取值范围．18. （10分） (2019高一上·高台期中) 函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，对任意的x，y∈（0，＋∞），都有f（x＋y）=f（x）＋f（y）–1，且f（4）=5．（1）求f（2）的值；（2）解不等式f（m–2）≥3．19. （10分） (2015高一上·娄底期末) 已知定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3 ，且g（x）为奇函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．20. （5分）已知幂函数f（x）=x﹣m2+m+2（m∈Z）在（0，+∞）上单调递增．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（x）﹣ax+1，a为实常数，求g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值．21. （10分） (2015高一上·柳州期末) 已知函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．22. （15分） (2019高一下·上海月考) 若，设其定义域上的区间（）.（1）判断该函数的奇偶性，并证明；（2）当时，判断函数在区间（）上的单调性，并证明；（3）当时，若存在区间（），使函数在该区间上的值域为，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

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2014-2015学年浙江省杭州市六校高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合A∩B=（）A．{3}B．{1，3}C．{1，2，4，5}D．{3，4，5}2．（3分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．3．（3分）设函数f （x）=，则f[f（2）]的值为（）A．1 B．3 C．﹣3 D．04．（3分）函数的定义域是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}D．{x|x＜0}5．（3分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．6．（3分）函数f（x）=的值域是（）A．（0，2]B．[0，2） C．[0，2]D．（﹣∞，2]7．（3分）下列判断正确的是（）A．1.50.3＞0.80.3 B．1.52.5＞1.53C．0.83＜0.84D．8．（3分）函数的图象是（）A． B．C．D．9．（3分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∝） B．（﹣∝，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣∝，﹣2）∪（2，+∝）10．（3分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，2） B． C．[1，2]D．[0，1]二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填写在答题卷中的横线上．）11．（4分）集合{2，﹣1}={2，a2﹣2a}，则实数a=．12．（4分）已知函数f（x）=3x+2，则f（x+1）=．13．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）=a x+2+1的图象过定点．14．（4分）函数y=的增区间为．15．（4分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1，则m的取值范围是．16．（4分）若方程+a=0有解，则实数a的取值范围是．17．（4分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是偶函数；④函数y=f（x）在上是增函数．其中正确的命题的序号是．三．解答题：（本大题有4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18．（8分）计算：（1）；（2）；（3）已知x+x﹣1=3，求的值．19．（10分）已知函数的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值．21．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2014-2015学年浙江省杭州市六校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合A∩B=（）A．{3}B．{1，3}C．{1，2，4，5}D．{3，4，5}【解答】解：∵A={1，2，3}，B={3，4，5}，∴A∩B={3}．故选：A．2．（3分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，y==x（x≠0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于B，y==x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C，y==x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，y==|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数．故选：B．3．（3分）设函数f （x）=，则f[f（2）]的值为（）A．1 B．3 C．﹣3 D．0【解答】解：由题意得，函数f （x）=，则f（2）=2﹣3=﹣1，f（﹣1）=1﹣1=0，所以f[f（2）]=0，故选：D．4．（3分）函数的定义域是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}D．{x|x＜0}【解答】解：由题意2x﹣1≥0，即2x≥1=20故x≥0函数的定义域是{x|x≥0}故选：A．5．（3分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．【解答】解：选项A，∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），∴y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C，∵，f（﹣x）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故选：C．6．（3分）函数f（x）=的值域是（）A．（0，2]B．[0，2） C．[0，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：∵0≤4﹣x2≤4，∴0≤≤2，即函数f（x）=的值域是[0，2]．故选：C．7．（3分）下列判断正确的是（）A．1.50.3＞0.80.3 B．1.52.5＞1.53C．0.83＜0.84D．【解答】解：A．∵1.50.3＞1＞0.80.3，∴正确；B．∵函数y=1.5x在R上单调递增，∴1.52.5＜1.53，因此不正确；C．∵函数y=0.8x在R上单调递减，∴0.83＞0.34，因此不正确；D．∵=，函数y=在R上单调递增，∴，因此不正确；故选：A．8．（3分）函数的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：令f（x）==，其定义域为{x|x≠0}．∵f（﹣x）==﹣f（x），因此函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，C；当x＞0时，∵函数y=，y=﹣x为单调递减，故排除A．综上可知：正确答案为D．9．（3分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∝） B．（﹣∝，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣∝，﹣2）∪（2，+∝）【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（﹣2）=f（2）=0，作出函数f（x）的草图如图：∵f（x）是奇函数，∴不等式等价为，即或，则0＜x＜2或﹣2＜x＜0，故不等式＞0的解集是（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．10．（3分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，2） B． C．[1，2]D．[0，1]【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，则函数只能是单调递减函数，则满足，即，解得＜a＜2，故选：B．二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填写在答题卷中的横线上．）11．（4分）集合{2，﹣1}={2，a2﹣2a}，则实数a=1．【解答】解：因为集合{2，﹣1}={2，a2﹣2a}，所以a2﹣2a=﹣1，解得a=1；故答案为：1．12．（4分）已知函数f（x）=3x+2，则f（x+1）=3x+5．【解答】解：∵函数f（x）=3x+2，∴将上式中的“x”用“x+1”代入f（x+1）=3（x+1）+2=3x+5．故答案为：3x+5．13．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）=a x+2+1的图象过定点（﹣2，2）．【解答】解：令x+2=0，则x=﹣2，此时y=2，故答案为：（﹣2，2）．14．（4分）函数y=的增区间为[﹣5，﹣3] ．【解答】解：由﹣x2﹣6x﹣5≥0得x2+6x+5≤0，解得﹣5≤x≤﹣1，故函数的定义域为[﹣5，﹣1]，设t=﹣x2﹣6x﹣5，则y=为增函数，要求函数的增区间，根据复合函数单调性之间的关系即求t=﹣x2﹣6x﹣5，∵函数t=﹣x2﹣6x﹣5的对称轴为x=﹣3，∴函数t=﹣x2﹣6x﹣5的递增区间为[﹣5，﹣3]，故答案为：[﹣5，﹣3]15．（4分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1，则m的取值范围是1≤m≤2．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+2，∴对称轴x=1，∴f（0）=2，f（1）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1∴即求解得：1≤m≤2故答案为：1≤m≤216．（4分）若方程+a=0有解，则实数a的取值范围是a＜0．【解答】解：由题意，a=﹣（）＜0，故答案为：a＜0．17．（4分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是偶函数；④函数y=f（x）在上是增函数．其中正确的命题的序号是①②③．【解答】解：由题意x﹣{x}=x﹣m，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣m|，m=0时，﹣＜x≤，f（x）=|x|，m=1时，1﹣＜x≤1+，f（x）=|x﹣1|，m=2时，2﹣＜x≤2+，f（x）=|x﹣2|，…画出函数的图象如图所示，由图象可知正确命题为①②③，故答案为：①②③三．解答题：（本大题有4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18．（8分）计算：（1）；（2）；（3）已知x+x﹣1=3，求的值．【解答】解：（1）原式===5；（2）原式=（﹣2）2×（﹣2）4=26=64；（3）∵x+x﹣1=3，∴=x+x﹣1+2=5，x＞0，∴=．又x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=7，∴==．19．（10分）已知函数的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，P={x|a+1≤x≤2a+1}={x|4≤x≤7}，C R P={x|x＜4或x＞7}，要使函数有意义，则，即，解﹣2≤x≤5，∴函数的定义域Q={x|﹣2≤x≤5}，∴（C R P）∩Q={x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}={x|﹣2≤x＜4}；（2）当P=∅时，即2a+1＜a+1，得a＜0，此时有P=∅⊆Q；当P≠∅时，由P⊆Q得：，解得0≤a≤2，综上有实数a的取值范围是（﹣∞，2]．20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∵当x≤0时，f（x）=x2+2x，∴当x＞0时，﹣x＜0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2+（﹣x）]=﹣x2+2x，∴．（2）∵函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，∴g（x）=﹣x2+（2﹣2a）x+2，x∈[1，2]，当1﹣a≤1时，[g（x）]max=g（1）=3﹣2a；当1＜1﹣a≤2时，[g（x）]max=g（1﹣a）=a2﹣2a+3；当1﹣a＞2时，[g（x）]max=g（2）=2﹣4a．∴[g（x）]max=．21．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设g（x）=m x（m＞0，m≠1）∵g（2）=4，∴m2=4，∴m=2，∴g（x）=2x．∴，∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，∴，∴．（2）函数f（x）是R上的减函数，下面证明．证明：由（1）可知：f（x）=，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则：f（x1）﹣f（x2）=（﹣+）﹣（﹣+）=，∵x1＜x2，∴2＞，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f （x 1）＞f （x 2）．∴函数f （x ）是R 是上的单调递减函数．（3）∵f （2t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0对于任意的t ∈R 恒成立，∴f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）．∵定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，∴f （t 2﹣2t ）＜f （k ﹣2t 2）．∵函数f （x ）是R 上的减函数，∴t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2，∴k ＜3t 2﹣2t=对于任意的t ∈R 恒成立， ∴k ＜﹣．赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

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