点、线、面的投影(工程图学)

c
试判断C点是否在线段AB上？
c’
§2.2 直线的投影（续）
三、各种位置直线的投影 1.一般位置直线 a b a
b' V a' A a" W O b" a b Z
b
a b 投影特性:

X B



（1）ab = AB· ; a'b' = AB· ; a"b“ = AB· cos cos cos （2）ab、a'b'、a"b"均倾斜于投影轴 （3）不反映 、 、 实角
b’ （a’）
投影特性：1、a ’b’ 积聚 成一点 2 、 a b OX ; a’’ b’’ OZ 3 、 a b = a’’ b’’ =AB
y
返回
侧垂线
（ b’’ ） a’’
投影特性：1、a’’ b’’ 积聚 成一点 2 、 a b OY ; a’ b’ OZ 3 、 a b = a’ b’ =AB
a
d′
(c)
c
c
a
(d)
a
d (e)
举例 侧平线AC为菱形的一条对角线，另一条对角线为BD。 z 已知B点在Z轴上，试完成菱形的三面投影。
a′ a’’
作图： ① 作出a′′c′′，过中 点o′′作中垂线交OZ 于b′′
x
d’
k’
b’ c′ a b b’’ c’’
o Yw
② 由于B点在Z轴 上，定出b、b′ ③ 根据对角线互相 平分的特点，求出、 d′、d ④ 连线完成作图
W
Z a' b' X B b 判断方法: A a"
O
b" Y
b a YH
a
上下，左右－V面；前后－H面
举例2: 已知A点在B点右方8毫米，上方9毫米，前方5毫米 ，求A点的投影。 Z a'
9
a"
b' X
8
b"
O
Y
b
5
a
Y
（三、点在相对位置和重影点）
2. 重影点及其可见性
被挡住的 投影加( )
定义: 若空间两点位于某投影面的同一条投射线上时 , 它们 在该投影面上的投影便重合为一点 , 则称它们为对该投影面 的重影点。 a' a' b' A B c (c')d' ( c' )d'
c d
YH
2. 两直线相交 V
a A a c
交点是两直 线的共有点
b c d K D d k B a b
c k
C
k
d
b
H
a
c k
d b
判别方法: 如果空间两直线相交，则同名投影必然相交，且交点交 点连线垂直于投影轴。同时点分线段的比例不变。
举例：过C点作水平线CD与AB相交。
b c● a k d
b'
C D
c
d a ( b) d
a(b)
§2.3 直线的投影
一、直线的投影 直线的投影由线上两点的同名投影连线来确定
b'
b"
a'
a"
b a
分析一个投影对空间直线的确定程度
§2.3 直线的投影（续）
二、直线上点的投影规律 投影规律 V b
c
a
C A
B
（1）空间点分线段的比例等于 投影面上点分投影的比例 AC/CB = ac / cb = ac/cb
复杂－－展为平面
1. 展开 不动
Z
Z
●
向右翻
V
a
●
az
O
a
W
V
a
●
az
●
X
ax a H
●
ay
Y
X
ax
A O
●
a W
ay
Y
a 向下翻
●
ay
Y
H
2. 投影规律
Z V
a
●
az
●
a ●
●
Z
az O ay
●
a
X
ax
A
O
a
W
X
ax
ay
Y
a
●
ay
H
a
Y
●
Y
从投影展开图可以看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
(2) aax= aay aax= aaz 高平齐 宽对正
总结2投影确定3坐标
例1
已知点的两个投影，求点的另外一个投影
a'
Z
a"
X
b'
c'
c
O c"
b"
YW
b
b"
a
YH
分析一个投影对空间点的确定程度
三、点的相对位置及重影点 1. 两点的相对位置
(左右，上下，前后）
Z a' b' X a" b" O Y
X
O
W
正面放置－正投影面； 正平面；V面
H
Y
水平面放置－水平投影面； 水平面；H面 侧面放置－侧投影面；侧 平面；W面 投影轴：OX, OY, OZ
二、点在投影体系中的投影 Z V a ●
●
A O
●
X a●
a W
A点的水平投影 ——a A点的正面投影 ——a' A点的侧面投影 ——a"
H
Y
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
返回
§2.3 直线的投影（续）
四、两直线的相对位置 1. 两直线平行 b
b'
d B c
d'
V
a
A a
a'
C c
D
c'
c
b 投影特性:
d
H
a
d b
当空间两条直线平行时，则其各同名投影必然平行，且对 应长度成比例
举例 试判断直线AB、CD是否平行
a' d' c" c'
X
a"
d"
方法一 补画第三投影 , 判断是否平行 方法二 b" ab : cd不等于a'b': c'd‘
H
Y
§2.3 直线的投影（续）
三、各种位置直线的投影（续） 2.投影面平行线 平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线
水平线——平行于H面而倾斜Ｖ、Ｗ面的直线；
正平线——平行于Ｖ面而倾斜H、W面的直线；
侧平线——平行于W面而倾斜H、Ｙ面的直线。
水平线
投影特性：
1、a'b'//OX， a"b"//OY 2、ab=AB 3、反映、 角的真实大小
b
a
c
H
（1）直线上的点，其各面投影 必然落在该直线的相应投影上。 若点的投影有一个不在直线的 同名投影上， 则该点肯定不在 此直线上。
已知线段AB的两个投影，试将AB分成AC:CB=2 : 1两段， 求分点C的投影。
c’
1. 任作一直线并三等分
2. 作相似形定出C点的水平 投影c
3. 求出C点的水正面投影c’
铅垂线——垂直于H面（而平行于Ｖ、Ｗ面）的直线；
正垂线——垂直于Ｖ面（而平行于H、W面）的直线；
侧垂线——垂直于W面（而平行于H、Ｙ面）的直线。
铅垂线
投影特性：1、a b 积聚 成一点 2 、 a’ b’OX ; a’’ b’’ OY 3 、 a’ b’ = a’’ b’’ =AB
返回
正垂线
返回
正平线
投影特性： 1、ab//OX ， a"b"//OZ。 2、a'b'=AB。 3、反映、角的真实大小。
返回
侧平线
投影特性：1、a'b'//OZ ， ab//OY。 2、a"b"=AB。 3 、反映 、 角的真实大小。
返回
§2.3 直线的投影（续）
三、各种位置直线的投影（续） 3.投影面垂直线 垂直于一个投影面（而平行于另外两个投影面）的直线
第2章 点、线、面、体的投影
§2.1 形体投影的基本知识
一、常用术语
所谓投影是指一系列投射线与投影面交点的总和。
Байду номын сангаас
投影面 （2）
投影 物体 （3） 投射线 （1） 投射中心 （1）
(1) 投射中心S和投射线
(2) 投影面：不通过S的平面
s
(3) 表达对象：空间几何形体
二、投影法的分类
1. 中心投影法: 投射线均通过投影中心 S
B
C
A
ABBC BC//P
b
a c
ab bc
P
直角投影定理: 当互相垂直的两条直线中的一条为投影面平行 线时，其在该投影面上的投影必然垂直。
举例 判断下列几组直线是否垂直：
b′ b′ a′ c′ b c b c a d
(b′
c′
)
a′
c′
a′
d′
a
c
b
(a)
a′
b′ b c′
(b)
a′ c′ b′ b
投射线汇交 于投影中心
P
2 正投影法：投射线相互平行且投影方向垂直于投影面， 所得到的投影称为正投影。
S
H
正投影法 正投影法的特点：易于表达物体的真实形状和大小，并 且作图方便。因此在工程中广泛采用。正投影简称投影。
§2.2 点的投影