2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2学业测评：2.3 数学归纳法
人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件
数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．
新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课时训练：2-3 数学归纳法一 含答案 精品
2.3 数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． [知识链接]1．对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答 (1)当n ＝1时，猜想成立；(2)若当n ＝k 时猜想成立，证明当n ＝k ＋1时猜想也成立． [预习导引] 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．要点一 正确判断命题从n ＝k 到n ＝k ＋1项的变化例1 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是________． 答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．规律方法 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练1 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于________．答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.要点二 证明与自然数n 有关的等式例2 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎡⎦⎤1k ＋1－12(k ＋1)＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k＋12(k ＋1)＝右边；所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *等式都成立．规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；(2)用数学归纳法证题时，要把n ＝k 时的命题当作条件，在证n ＝k ＋1命题成立时须用上假设．要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决． 跟踪演练2 用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n. 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝(k ＋1)2－12k (k ＋1)＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立． 要点三 证明与数列有关的问题例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明． 解 (1)已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22， ∴a 2＝22，∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前五项为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，n 2(n －1)2 (n ≥2)，下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2(n －1)2.①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22， 所以等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立， 即a k ＝k 2(k －1)2，则当n ＝k ＋1时，∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2， ∴a 1·a 2·…·a k ＋1＝(k ＋1)2. ∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2[(k ＋1)－1]2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2， 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是 a n ＝n 2(n －1)2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，n2(n －1)2 (n ≥2).规律方法 (1)数列{a n }既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式a n ，并用数学归纳法加以证明．(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法． 跟踪演练3 数列{a n }满足：a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n ，(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)令n ＝2，得S 2＝2×(2＋1)2a 2，即a 1＋a 2＝3a 2，解得a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，解得a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，解得a 4＝130.(2)由(1)的结果猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给予证明：①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k ·(k ＋1)2a k ，① S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，②②与①相减得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1－k ·(k ＋1)2a k ，整理得a k ＋1＝k ＋1k ＋3a k ＝k ＋1k ＋3·1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3)＝1[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①、②知对于n ∈N *，上述结论都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a 2n＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，(1)求S 1，S 2，T 1，T 2；(2)猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．解 (1)∵当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n .∴S 1＝1－12＝12，S 2＝1－12＋13－14＝712，T 1＝11＋1＝12，T 2＝12＋1＋12＋2＝712.(2)猜想S n ＝T n (n ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已证S 1＝T 1，②假设n ＝k 时，S k ＝T k (k ≥1，k ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝T k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝⎛⎭⎫1k ＋1－12(k ＋1)＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12k ＋1＋12(k ＋1)＝T k ＋1.由①，②可知，对任意n ∈N *，S n ＝T n 都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础达标1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立 答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1B ．13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________． 答案 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项．6．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________.答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋17．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－15…⎝⎛⎭⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－15…⎝⎛⎭⎫1－1k ＋2＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－15…⎝⎛⎭⎫1－1k ＋2·⎝⎛⎭⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝⎛⎭⎫1－1k ＋3＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础 11．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k ·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2＝(－1)k＋1－1·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10， a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *). (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *). 三、探究与创新13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想a n ＝1n (n ＋1).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k (k ＋1).那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝kk ＋1，所以k k ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立。
[精品]新人教A版选修2-2高中数学2.3数学归纳法优质课教案
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数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A 版选修2-2） 第一课时 2.3 数学归纳法（一）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 问题1： 在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,n a n N n=∈） 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？ 过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83，(7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法概念：① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.② 讨论：问题1中，如果n =k 猜想成立，那么n =k +1是否成立？对所有的正整数n 是否成立？③ 提出数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.2. 教学例题：① 出示例1：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈. 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.② 练习：求证：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈. ③ 出示例2：设an +…n ∈N *)，求证：a n <12(n ＋1)2.关键：a1k +<12(k ＋1)2+＝12(k +1)2<12(k +1)2+(k +32)＝12(k +2)2 小结：放缩法，对比目标发现放缩途径. 变式：求证a n >12n (n＋1)3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B 组1、2、3题.第二课时 2.3 数学归纳法（二）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题. 教学过程：一、复习准备：1. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈，猜想()f n 的表达式，并给出证明？过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.2. 提问：数学归纳法的基本步骤？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知数列1111,,,,2558811(31)(32)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明. 分析：如何进行猜想？（试值1234,,,S S S S →猜想n S ） → 学生练习用数学归纳法证明→ 讨论：如何直接求此题的n S ？ （裂项相消法）小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明） ② 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.解题要点：试值n =1,2,3， → 猜想a 、b 、c → 数学归纳法证明2. 练习：① 已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥之后，归纳出对12,,,n a a a 也成立的类似不等式，并证明你的结论.② （89年全国理科高考题）是否存在常数a 、b 、c ，使得等式 （答案：a =3,b =11,c =10） 12222(1)223.....(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+++=++对一切自然数n 都成立？并证明你的结论3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.三、巩固练习：1. 平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.2. 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （答案：m =36）3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)n n n N >∈的邮资.证明：（1）当8,9,10n =时，由835,9333,1055=+=++=+可知命题成立；（2）假设(7,)n k k k N =>∈时，命题成立. 则 当3n k =+时，由（1）及归纳假设，显然3n k =+时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.小结：新的递推形式，即（1）验证00(),(1),,P n P n + 0(1)P n l +-成立()l N ∈；（2）假设()P k 成立，并在此基础上,推出()P k l +成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数0()n n ≥,命题()P n 都成立.2. 作业：。
人教A版选修2-2 2.3数学归纳法 学案
2. 3数学归纳法课前预习学案一、预习目标：理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容：提出问题：问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．讨论问题：问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．解决问题：由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值()时命题成立；(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、 学习目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
人教版数学高二A版选修2-2练习 2.3数学归纳法
第二章 推理与证明2.3 数学归纳法[A 级 基础巩固]一、选择题1．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n 取1、2、3、4时2n ＞n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5.答案：C2．用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cos α＋cos 3α＋…＋cos (2n －1)α(α≠k π，k ∈Z ，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边所得的代数式为( )A.12B.12＋cos α C.12＋cos α＋cos 3α D.12＋cos α＋cos 3α＋cos 5α 解析：令n ＝1，左式＝12＋cos α. 答案：B3．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解析：由凸k 边形变成凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.答案：B4．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳递推应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确解析：因为n 为正奇数，所以在证明时，归纳递推应写成：假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出n ＝2k ＋1时正确．故选B.答案：B5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)……(n ＋n )＝2n ·1×3……(2n ＋1)(n ∈N *)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)……(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)．观察比较它们的变化知增乘了（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)． 答案：B二、填空题6．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n ＝p (n )”从n ＝k 推导n ＝k ＋1时原等式的左边应增加的项数是________．解析：观察不等式左边的分母可知，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边多出了12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1共2k ＋1－2k 项． 答案：2k ＋1－2k7．用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)＜1(n ∈N *，n ≥2)，由“k 到k ＋1”时，不等式左端的变化是______．解析：n ＝k 时，左边＝1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12（k ＋1），比较可知，增加12k ＋1和12（k ＋1）两项，同时减少1k 一项． 答案：增加12k ＋1和12（k ＋1）两项，同时减少1k 一项 8．用数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为________．解析：当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2.答案：25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2三、解答题9．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝ n 4（n ＋1）. 证明： (1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18等式成立． (2)假设n ＝k 时，等式成立，即12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）成立． 当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋1（2k ＋2）（2k ＋4）＝k 4（k ＋1）＋1（2k ＋2）（2k ＋4）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝ （k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14[（k ＋1）＋1]. 所以n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)、(2)可得对一切n ∈N *，等式成立．10．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝1920>56，不等式成立． (2)假设当n ＝k (n ≥2，n ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 那么当n ＝k ＋1时，1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13（k ＋1）＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ＋3＋13k ＋3＋13k ＋3－1k ＋1＝56. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *都成立．B 级 能力提升1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N *都成立，那么a ，b 的值为( )A ．a ＝12，b ＝14B ．a ＝b ＝14C ．a ＝0，b ＝14D ．a ＝14，b ＝12解析：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋14对一切n ∈N *都成立，所以当n ＝1，2时有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋14，1＋2×3＝32（2a －b ）＋14，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3a －3b ＋14，7＝18a －9b ＋14， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14.答案：A2．用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，当n ＝1时，原式为____________，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是____________．解析：当n ＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需添25k ＋25k ＋1＋…＋25(k ＋1)－1.答案：1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋43．已知数列{a n }中，a 1＝5，S n －1＝a n (n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式．(2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．(1)解：a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝20.猜想：a n ＝5×2n －2(n ≥2，n ∈N *)(2)证明：①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5成立．②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝5×2k －2(k ≥2且k ∈N *)， 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5（1－2k －1）1－2＝5×2k －1. 故当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 由①②可知，对n ≥2且n ∈N *. 都有a n ＝5×2n －2.于是数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2且n ∈N *.。
2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课件：2.3 数学归纳法
－y2(k
＋1)
能被 x＋y 整除，
即当 n＝k＋1 时命题也成立． 根据(1)和(2)，可知命题对任何 n∈N*都成立．
6.归纳——猜想——证明
[典例]
1
(12 分)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋
＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中 λ>0. (1)求 a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
那么，当 n＝k＋1 时，S1＋S3＋S5＋„＋S2k－1＋S2k＋1＝k4 ＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4 ＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4， 即当 n＝k＋1 时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对于任何 n∈N*，S1＋S3＋S5＋„＋S2n
4 ＝ n 都成立． －1
[随堂即时演练]
1．用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n－2)π”时， 归纳奠基中 n0 的取值应为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
解析：边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n0＝3. 答案：C
n 2 1 － a 2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋„＋an＋1＝ (n∈N*， 1－a
＋
(1)n＝1 时，f(1)＝(2×1＋7)×31＋9＝36，能被
＝3[(2k＋7)· 3k＋9]＋18(3k 1－1)
－
＝3f(k)＋18(3k－1－1)， ∵3k－1－1 是偶数． ∴18(3k－1－1)能被 36 整除． 又∵f(k)能被 36 整除，∴f(k＋1)能被 36 整除． 由(1)(2)知对 n∈N*，f(n)能被 36 整除．
＋
＋1＝(k＋1)2， 即当 n＝k＋1 时不等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对任何 n∈N*不等式都成立．其中错误的 步骤为________(填序号)．
人教新课标A版高二数学《选修2-2》2.3 数学归纳法
课堂小结 数学归纳法的基本思想：
在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段
来解决“无限”的问题 数学归纳法的核心: 两个步骤、一个结论； 注意：
递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
谢谢大家！
2.3 数学归纳法
问题提出 1.归纳推理的基本特征是什么？
由个别事实概括出一般结论.
2.综合法，分析法和反证法的基本思想分别是什么？
综合法：由已知推可知，逐步推出未知.
分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得证明.
3.归纳推理能帮助我们发现一般结论，但得出的结论不一定正确，即
（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
（2）假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也 成立.
思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，
第二步是归纳递推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？
逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
使正确也需要经过严格的证明才能肯定其真实性. 综合法，分析法和反
证法虽可证明某些结论，但都有其局限性，因此，我们非常需要一个与 归纳推理相匹配的证明方法，使之成为无与伦比的“黄金搭档”.
探究（一）:数学归纳法的感性认识
思考1：某人想排队进展览馆参观，不知自己能否进得去，于是问组织 者，答曰；只要你前一个人能进去，你就能进去.那么此人能进去参观 吗？若每个排队的人都能进去参观，需要什么条件？
（第1代姓王）
（2）子随父姓.
（如果第k代姓T，则第k+1代也姓T）
an + 1
an = 1 + an
高中数学人教A版选修2-2学案第二章 2.3 数学归纳法 Word版含解析
数学归纳法预习课本～，思考并完成下列问题()数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？()数学归纳法的证题步骤是什么？[新知初探]．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．．数学归纳法的框图表示[点睛]数学归纳法证题的三个关键点()验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数，这个，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．()递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“”到“＋”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由＝到＝＋时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．()利用假设是核心在第二步证明＝＋成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“＝时命题成立”作为条件来导出“＝＋”，在书写(＋)时，一定要把包含()的式子写出来，尤其是()中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．[小试身手]．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()与正整数有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )()数学归纳法的第一步的初始值一定为.( )()数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案：()×()×()√．如果命题()对所有正偶数都成立，则用数学归纳法证明时须先证＝成立．答案：．已知()＝＋＋＋…＋(∈*)，计算得()＝，()＞，()＞，()＞，()＞，由此推测，当＞时，有．答案：()＞[典例]用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(∈*)．[证明]()当＝时，＝成立．。
人教版高中数学选修2-2学案：2.2.3数学归纳法(一)
2.2.3数学归纳法（一）【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.理解数学归纳法中递推思想.【新知自学】 知识回顾：1.证明方法：（1）直接证明⎩⎨⎧__________________； （2）间接证明：________. 新知梳理：1.问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?2.数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n=k （k ≥n 0， k ∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.对点练习：1.若f(n)＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( ) A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案2.已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋143.用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n ++++-=.【合作探究】 典例精析：例1.用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈ 变式练习：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈例2.用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. 变式练习：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q -=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠) 规律总结：1.数学归纳法应用注意问题(1)数学归纳法证题时，第一个值n 0不一定为1，如证明多边形内角和定理(n －2)π时，初始值n 0＝3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了哪些项或减少了哪些项． 2.其中关键：从假设n=k 成立，再证得n=k+1成立时要用上假设.【课堂小结】【当堂达标】1.用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a ++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为。
人教版高中数学选修2-2学业测评：2.3数学归纳法
学业分层测评(建用： 45 分 )[ 学达 ]一、1．(2016 ·广州高二 )用数学法明3n≥n3(n≥3，n∈N* )，第一步()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4【分析】由知， n 的最小 3，因此第一步 n＝3 能否建立．【答案】C11＋11)2．已知 f(n)＝n＋n ＋＋2＋⋯＋n2，( 1n11A．f(n)共有 n ，当 n＝2 ， f(2)＝2＋3 B．f(n)共有 n＋1 ，当 n＝2 ， f(2)＝111 2＋3＋4C．f(n)共有 n2－n ，当 n＝ 2 ， f(2)＝1＋123D．f(n)共有 n2－n＋1 ，当 n＝ 2 ， f(2)＝1＋1＋1234【分析】合 f(n)中各的特点可知，分子均1，分母 n， n＋ 1，⋯，22111n的自然数共有 n －n＋ 1个，且 f(2)＝2＋3＋4.【答案】D4＋n23．用数学法明 1＋ 2＋ 3＋⋯＋n2＝n，当 n＝k＋1(n∈N* )，2等式左在 n＝k 的基上加上 ()A．k2＋ 1B．(k＋1)2k＋4＋k＋2C.2D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋⋯＋(k＋ 1)2【分析】 当 n ＝k ，等式左 ＝ 1＋2＋⋯ ＋k 2，当 n ＝k ＋1 ，等式左 ＝ 1＋2＋⋯＋k 2 ＋(k 2＋ 1)＋⋯＋ (k ＋1)2，故 D.【答案】D4．f(x)是定 在正整数集上的函数，且f(x) 足： “当f(k) ≥k 2 建立 ，可推出f(k ＋1) ≥(k ＋1)2 建立 ”，那么，以下命 建立的是()A ．若 f(3)≥9建立， 当k ≥1 ，均有f(k) ≥k 2 建立B ．若 f(5)≥ 25建立， 当k ≥4 ，均有 f(k) ≥k 2 建立C ．若 f(7)<49建立， 当k ≥8 ，均有f(k)<k 2 建立D ．若f(4)＝25 建立， 当k ≥4 ，均f(k) ≥k 2 建立【分析】于A ，若f(3)≥9 建立，由 意只可得出当k ≥3 ，均有f(k)≥k 2建立，故 A ； 于 B ，若 f(5)≥25 建立， 当 k ≥5 均有 f(k)≥k 2 建立，故 B ； 于 C ， 改 “若 f(7)≥49 建立， 当 k ≥7 ，均有 f(k)≥k 2 建立． ”【答案】D5．已知命 1＋2＋22＋ ⋯＋2n － 1＝2n －1 及其 明：＝ 1 ，左 ＝ 1，右 ＝1－1＝1，因此等式建立． (1)当 n 2(2)假 n ＝k(k ≥1，k ∈N *) 等式建立，即 2k －1k建立，1＋2＋2＋⋯＋2 ＝2 －1k ＋12 k － 1k 1－ 2k ＋ 1当 n ＝k ＋1 ， 1＋ 2＋ 2＋⋯＋2＋2 ＝ 1－2＝2－1，因此 n ＝k ＋1等式也建立．由(1)(2)知， 随意的正整数 n 等式都建立．判断以上 述 ( )A ．命 、推理都正确B ．命 正确、推理不正确C ．命 不正确、推理正确D ．命 、推理都不正确【分析】推理不正确， 在 明 n ＝ k ＋ 1 ，没实用到假 n ＝k 的 ，命 由等比数列乞降公式知正确，故B.【答案】B二、填空6．若 f(n)＝12＋22 ＋32＋⋯ ＋(2n)2， f(k ＋1)与 f(k)的 推关系式是 ________.【 学号： 60030063】【分析】∵f(k)＝12＋22＋ ⋯＋(2k)2 ，f(k ＋ 1)＝12＋22＋⋯＋(2k)2＋(2k ＋1)2＋ (2k ＋2)2，∴ f(k ＋1)－f(k)＝(2k ＋1)2 ＋(2k ＋2)2，即 f(k ＋1)＝ f(k)＋ (2k ＋ 1)2＋ (2k ＋ 2)2.【答案】f(k ＋1)＝ f(k)＋ (2k ＋ 1)2＋(2k ＋2)2111 11 .假 n ＝ k ，不7．用数学 法 明： 22＋32＋⋯ ＋＋ 2>2－＋nn 2等 式 成 立 ，当 n ＝ k ＋ 1，推的目不等式是．当 n ＝ k ＋ 11 1 1【分析】 ，目 不等式 ：22＋32＋ ⋯ ＋k ＋2＋1 11＋2>2－＋ .kk 31111 1 1【答案】22＋ 32＋⋯＋k ＋2＋k ＋2>2－k ＋38．用数学 法 明 12 ＋ 22＋ ⋯＋ (n － 1)2 ＋ n 2＋ (n － 1)2 ＋ ⋯ ＋ 22 ＋ 12＝n n2＋ ，由 n ＝ k 的假 到 明 n ＝k ＋1，等式左 增添的式子是3__________．【分析】当 n ＝k ，左 ＝ 12＋22＋⋯ ＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋ ⋯＋22＋12.当 n ＝ k ＋1 ，左 ＝ 12＋22＋ ⋯＋k 2＋ (k ＋1)2 ＋k 2 ＋(k －1)2＋⋯ ＋22＋12 ，因此左 增添的式子 (k ＋1)2＋k 2.【答案】(k ＋ 1)2＋ k 2三、解答2*9．用数学 法 明： 1＋ 3＋ ⋯＋(2n －1)＝ n (n ∈N )．(2)假 当 n ＝ k(k ≥1) ，等式建立，即1＋3＋⋯＋ (2k － 1)＝k 2，那么，当 n＝ k ＋1 ， 1＋3＋⋯＋ (2k － 1)＋[2(k ＋1)－ 1] ＝k 2＋ [2(k ＋1)－1] ＝k 2＋2k ＋ 1＝ (k＋1)2.就是 ，当 n ＝k ＋1 等式建立．依据 (1)和(2)可知等式 随意正整数 n 都建立．1 1 1* ，n>1)．10．用数学 法 明： 1＋2＋3＋⋯ ＋2n －1<n(n ∈ N【 明】(1)当 n ＝2 ，左 ＝ 1＋ 1＋1，右 ＝ 2，左 <右 ，不等式2 3建立．(2)假 当 n ＝ k ，不等式建立，即 1＋ 1＋1＋⋯＋ k1<k ， 当 n ＝k ＋123 2－11 1111111，有 1＋2＋ 3＋⋯＋2k－ 1＋2k＋ 2k ＋1＋ ⋯ ＋ 2k ＋1－1 <k ＋ 2k＋ 2k ＋ 1＋ ⋯ ＋1 1×2k2k ＋1－ 1<k ＋2k ＝k ＋ 1，因此当 n ＝k ＋ 1 不等式建立．由(1)和(2)知， 于随意大于 1 的正整数 n ，不等式均建立． [ 能力提高 ]1．用数学 法 明 “当 n 正奇数 ， x n ＋y n 能被 x ＋y 整除 ”，第二步假 写成 ()A ．假 n ＝2k ＋ 1(k ∈ N * ) 正确，再推 n ＝ 2k ＋3 正确B ．假 n ＝2k － 1(k ∈ N * ) 正确，再推 n ＝2k ＋1 正确C ．假 n ＝k(k ∈N * ) 正确，再推 n ＝k ＋1 正确D ．假 n ＝k(k ∈N * ) 正确，再推 n ＝k ＋2 正确【分析】∵n 正奇数，∴在 明 ， 假 写成：假 n ＝2k －1(k ∈N * ) 正确，再推出 n ＝ 2k ＋1 正确．故 B.【答案】B2． 于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N * )，某学生的 明 程以下：2(1)当 n ＝1 ， 1 ＋1≤1＋1，不等式建立；(2)假 当 n ＝ k(k ∈ N * ) ，不等式建立，即 k 2＋ k ≤k ＋ 1， 当 n ＝ k ＋ 1 ，＋ 2＋ k ＋＝k 2＋ 3k ＋2 <k 2＋3k ＋＋ k ＋＝kk ＋ 2＝(k ＋ 1)＋1，因此当 n ＝k ＋1 ，不等式建立．上述 法 ()A ． 程全都正确B ．n ＝1 不正确C．概括假定不正确D．从n＝ k 到n＝k＋1 的推理不正确【分析】n＝1 的考证及概括假定都正确，但从n＝k 到n＝ k＋1 的推理中没有使用概括假定，而是经过不等式的放缩法直接证明，这不切合数学概括法的证题要求．应选 D.【答案】D．用数学概括法证明4n＋2＋ 52n＋1能被 14 整除的过程中，当 n＝k＋1 时，3334(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为 __________. 【导学号： 60030064】【分析】当 n＝k＋1时，34(k＋1)＋ 2＋52(k＋ 1)＋1＝81·34k＋ 2＋25·52k＋ 1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋24．设函数 y＝f(x)对随意实数 x， y 都有 f(x＋y)＝ f(x)＋ f(y)＋ 2xy.(1)求 f(0)的值；(2)若 f(1)＝1，求 f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在 (2)的条件下，猜想f(n)(n∈N* )的表达式，并用数学概括法加以证明．【解】(1)令 x＝y＝0，得 f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0? f(0)＝0.(2)f(1)＝ 1， f(2)＝ f(1＋ 1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想 f(n)＝ n2，下边用数学概括法证明．当 n＝ 1 时， f(1)＝1 知足条件．假定当 n＝k(k∈N* )时建立，即 f(k)＝ k2，则当 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝ f(k)＋ f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，进而可适当 n＝ k＋ 1 时知足条件，因此对随意的正整数 n，都有 f(n)＝n2.。
人教版A版高中数学选修2-2：2.3 数学归纳法
解法对吗？
1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的 证明．
2．应用数学归纳法时应注意： (1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一 不可； (2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的 结论，否则就不是数学归纳法．
数学归纳法证明不等式
则当n=k+1时,
1
1 22
1 32
1 k2
(k
1 1)2
2
1 k
(k
1 1)2
11
11
11 1
1
2
k
(k
1)2
2
k
k(k
1)
2
k
( k
k
) 1
2
k
. 1
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 n
N
,
n
≥
2都成立.
五、小结反思，学生提高认识
(1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析 直到凑出结论．
练习 1．证明 1＋12＋13＋41＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时成立，
当 n＝k＋1 时，左端增Байду номын сангаас的项数是
()
A．1 项
B．k－1 项
C．k 项 D．2k 项
解析：当 n＝k 时，不等式左端为 1＋12＋13＋14＋…＋2k－1 1； 当 n＝k＋1 时，不等式左端为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋… ＋2k＋11－1增加了21k＋…＋2k＋11－1项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝ 2k 项． 答案：D
人教版A版高中数学选修2-2：选修2-2 2.3数学归纳法
知识回顾
1、归纳法可分成几类？它们归纳的结果 的正确性如何？
2、对于数学中与自然数命题有关的命题 一般是不完全归纳法即合情推理得出结 论，怎样来判断结论的正确性？
3、阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答： 能使所有的牌倒下的条件是什么？
研读教材
研读教材P92-P93思考 1.数学归纳法的定义 2.数学归纳法适用范围是什么? 3.数学归纳法的步骤(原理)是什么? 4.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点
课堂练习
2．用数学归纳法证明：“1 + a + a2 +…+an+1= 1 an2 (a≠1)”，在验证n = 1时，左端计1算a 所得的项为
()
A．1
B．1 + a
C．1 + a + a2
D．1 + a + a2 + a3
课后作业
《习案》作业二十九。
再见
是什么? 5.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实
现了平衡”, 你怎样理解这句话？
新课讲授
1.数学归纳法定义：
一般地, 证明一个与正整数n有关的命题, 可按 下列步骤成立：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0, k∈N*)时命 题成立；证明当n=k+1时命题也成立。
例题讲解
例2
已知数列 1 1 4
,
4
1
7
,
7
1 10
,
,
3n
1
23n
1
,
,
计算S1, S2 , S3, S4 ,根据计算结果,猜出Sn的表达式,并用
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·广州高二检测)用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步验证( )
A ．n ＝1
B ．n ＝2
C ．n ＝3
D ．n ＝4
【解析】 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．
【答案】 C
2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13
B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14
C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13
D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14
【解析】 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，
n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.
【答案】 D
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2
＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )
A ．k 2＋1
B ．(k ＋1)2
C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22
D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2
【解析】 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.
【答案】 D
4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立
B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立
C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立
D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均为f (k )≥k 2成立
【解析】 对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立．”
【答案】 D
5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：
(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2
k －1＋2k
＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( )
A ．命题、推理都正确
B ．命题正确、推理不正确
C ．命题不正确、推理正确
D ．命题、推理都不正确
【解析】 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________.
【导学号：60030063】
【解析】 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，
f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，
∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，
即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.
【答案】 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2
7．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2
.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．
【解析】 当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋
1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12
－1k ＋3
. 【答案】 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3
8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3
时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是__________．
【解析】 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12.
当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.
【答案】 (k ＋1)2＋k 2
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)．
【解】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.
这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立．
根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立．
10．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N *，n >1)． 【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式
成立．
(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1
<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1
＋…＋12k ＋1－1
<k ＋1×2k
2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立． 由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立．
[能力提升]
1．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )
A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确
B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确
C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确
D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确
【解析】 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：
假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出n ＝2k ＋1时正确．故选B.
【答案】 B
2．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下：
(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2
＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．
上述证法( )
A ．过程全都正确
B ．n ＝1验证不正确
C ．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解析】n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求．故选D.
【答案】 D
3．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________. 【导学号：60030064】
【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
4．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明．
【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明．
当n＝1时，f(1)＝1满足条件．
假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。