备战2018年高考数学回扣突破30练第26练极坐标与参数方程理 Word版 含答案
高考数学三轮冲刺课之解答题5极坐标与参数方程课件(37张ppt)
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难度及考查内容：
1. 难度：以基础、中等题为主.
题
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2.考查内容：
(1) 参数方程化为普通方程:基本思路是消去参数.
(2)普通方程化为参数方程:曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取
某一值时,可以唯一确定x,y 的值.
(3)极坐标方程与直角坐标方程互化:进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：
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高考数学冲刺之解答题5
极坐标与参数方程
主讲人： |
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解答题 01
解答题 04
三角函数与解三角形
函数与导数
解答题 02
解答题 05
立体几何
极坐标与参数方程
解答题 03
统计与概率
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高考冲刺分析
参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转
化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决.
第一步：消参数（注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响)常用
代入法、加减消元法、三角恒等变换;
第二步：化简求出方程.
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参数几何意义解题模板：
第一步：先把参数方程代入曲线方程；
第二步：求出t1，t2，解决问题 .
当堂
总结
利用ρ,ϴ的几何意义解题模板：
第一步：将角的值代入有关ρ的方程；
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两种互化解题模板：
1.极坐标和直角坐标的互化
题
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2018年高考数学大题狂练系列 命题角度7.3极坐标与参数方程的综合应用(文理通用) Word版 含答案
角度7.3 极坐标与参数方程的综合应用1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线l 的参数方程为0{x tcos y y tsin αα==+（t 为参数， α为l 的倾斜角），曲线E 的极坐标方程为4sin ρθ=，射线θβ=，4πθβ=+， 4πθβ=-与曲线E 分别交于不同于极点的三点,,A B C .（1）求证： OB OC +； （2）当7=12πβ时，直线l 过,B C 两点，求0y 与α的值. 【答案】(I) 见解析;(II) 02y =， 6πα=．试题解析：(I)证明：依题意， 4sin OA β=， 4sin 4OB πβ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 4sin 4OC πβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则4sin 4sin 44OB OC OA ππβββ⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (II) 解：当712πβ=时， B 点的极坐标为7754sin ,2,1241246πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 点的极坐标为774sin ,1241243πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为直角坐标，即()B ， )C，则直线l 的方程为0x +=， 所以02y =， 6πα=．2.已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为{(x a tcos t y tsin θθ=+=为参数，θ为倾斜角)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=. (1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)点(),0Q a ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求使2211||||QA QB +为定值的a 值. 【答案】（1）24y x = （2）14试题解析：（1）∵ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ=0，∴ρ2﹣ρ2cos 2θ﹣4ρcos θ=0， ∴x 2+y 2﹣x 2﹣4x=0，即y 2=4x ． （2）把为{x a tcos y tsin θθ=+=（t 为参数，θ为倾斜角）代入y 2=4x 得：sin 2θ•t 2﹣4cos θ•t﹣4a=0， ∴t 1+t 2=24cos sin θθ ，t 1t 2=24sin aθ- ， ∴()2221211222222212122111116cos 8sin ||||16t t t t a QA QB t t t t a θθ+-++=+== ∴当a=2时，为定值14． 3.已知直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程)； (2)设直线与曲线交于两点，求.【答案】（1）；（2）2。
2018年高考数学真题专题汇编----极坐标与参数方程
（ 1）求 的取值范围； （ 2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
4.【 2018 江苏卷 21C】在极坐标系中，直线 l 的方程为 4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
sin( π 6
) 2 ，曲线 C 的方程为
参考答案
一、填空题
1.1 2
1
2.
2
二、解答题
1.解： （ 1）由 x cos ， y sin 得 C2 的直角坐标方程为 ( x 1)2 y2 4．
2018 年高考数学真题专题汇编 ----
极坐标与参数方程
一、填空题
1. 【 2018 北京卷 10】在极坐标系中，直线 cos 则 a=_______2cos 相切，
x 2.【2018 天津卷 12】 )已知圆 x2 y2 2 x 0的圆心为 C，直线
2 1 t,
（ 2）由（ 1）知 C2 是圆心为 A( 1,0) ，半径为 2 的圆．
2 ( t 为参数 )
y 3 2t 2
与该圆相交于 A，B 两点，则 △ ABC 的面积为
.
二、解答题
1.【 2018 全国一卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y k|x| 2.以坐标原点为 极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 .
（ 1）求 C2 的直角坐标方程； （ 2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 .
x 2cos θ， 2【. 2018 全国二卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 y 4sin θ（ θ为参数） ， 直线 l 的参数方程为
x 1 t cos α， （ t 为参数）．
2018年高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程 Word版含答案
第讲 参数方程)．参数方程和普通方程的互化()曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．()如果知道变数，中的一个与参数的关系，例如＝()，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系＝()，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使，的取值范围保持一致．．直线、圆和圆锥曲线的参数方程参数方程与普通方程的互化已知曲线：，＝＋ ))(为参数)，曲线：(θ为参数)．化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】 曲线：(＋)＋(－)＝，曲线：＋＝，曲线是以(－，)为圆心，为半径的圆；曲线是中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法()将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如θ＋θ＝等．()将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．() ()θ，＝θ＋θ.))()两式相除，得＝，将其代入得＝，化简得所求的普通方程是＋－＝(≠)．()由( θ＋θ)＝＋θ＝－(－θ)，＝－θ∈，得＝－.即所求的普通方程为＝－，∈．参数方程的应用(·兰州市实战考试)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为ρ＝θ.()写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；()若点坐标为(，)，圆与直线交于、两点，求＋的值．【解】()由得直线的普通方程为＋－－＝.又由ρ＝θ得圆的直角坐标方程为＋－＝，即＋(－)＝.()把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得＋＝，即－＋＝.由于Δ＝()－×＝＞，故可设、是上述方程的两实数根，所以＋＝，·＝.又直线过点(，)，、两点对应的参数分别为、，。
2018年高考数学考点通关练鸭内容68坐标系与参数方程试题理
考点测试68 坐标系与参数方程一、基础小题1．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线答案 A解析 化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos30°，y ＝3－t sin60°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．30° B．60° C．90° D．135° 答案 D解析 将直线参数方程化为普通方程为x ＋y －1＝0，其斜率k ＝－1，故倾斜角为135°，故选D.3．在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2D ．ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2答案 B解析 ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，而点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4化为直角坐标是(2,2)，过(2,2)作圆的切线，其方程为x ＝2，即ρcos θ＝2.故选B.4．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．答案 ρcos θ＝3解析 把ρ＝6cos θ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcos θ，所以圆的普通方程为x 2＋y 2－6x ＝0，即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.5．在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．答案 4 3解析 分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x ＋y －22＝0，x 2＋y 2＝16，则圆心O 到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|－22|2＝2，半弦长为16－4＝23，所以弦长为4 3.6．在极坐标系中，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，曲线C 的方程为ρ＝2cos θ，则OA (O 为极点)所在直线被曲线C 所截弦的长度为________．答案2解析 由题意知直线OA 的直角坐标方程为x －y ＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，易知曲线C 为圆，且圆心C 到直线OA 的距离为12，故直线OA 被曲线C 所截弦的长度为21－12＝ 2. 二、高考小题7．[2014²江西高考]若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4答案 A解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.8．[2016²北京高考]在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2解析 直线与圆的直角坐标方程分别为x －3y －1＝0和x 2＋y 2＝2x ，则该圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，圆心(1,0)到直线的距离d ＝|1－3³0－1|1＋3＝0，所以AB 为该圆的直径，所以|AB |＝2.9．[2015²北京高考]在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．答案 1解析 由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3对应的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6对应的直角坐标方程为x ＋3y ＝6，由点到直线的距离公式可得所求距离为|1＋3³3－6|12＋ 32＝1. 10．[2015²广东高考]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．答案522解析 将直线l 的极坐标方程2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2化为直角坐标方程为x －y ＋1＝0，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得A 点的直角坐标为(2，－2)，从而点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|12＋ －1 2＝522. 11．[2015²湖北高考]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2 5解析 直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4得x 2＝12，即x ＝±22，则|AB |＝1＋k 2AB |x A －x B |＝1＋32³2＝2 5.12．[2015²重庆高考]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．答案 (2，π)解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2,0)，对应极坐标为(2，π)．三、模拟小题13．[2017²北京通州月考]下面直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2cos θ相切的是( ) A ．ρcos θ＝1 B ．ρsin θ＝1 C ．ρcos θ＝2 D ．ρsin θ＝2答案 B解析 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1.与x 轴平行且与圆相切的直线方程为y ＝1或y ＝－1，则极坐标方程为ρsin θ＝1或ρsin θ＝－1，所以选B.14．[2016²合肥调研]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( ) A.13 B.15 C ．－13 D ．－15 答案 D解析 ⊙C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线的距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15.一、高考大题1．[2016²全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)，因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 2．[2016²江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.3．[2016²全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.4．[2016²全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ2 2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44， 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 二、模拟大题5．[2017²郑州二检]在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin α，y ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)． (1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．解 (1)由x ＝3cos α＋sin α得x 2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1，所以曲线M 可化为y ＝x 2－1，x ∈[－2,2]，由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22t ，得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 可化为x ＋y ＝t .(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点(2,3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t ，y ＝x 2－1得x 2＋x －1－t ＝0，由Δ＝1＋4(1＋t )＝0，解得t ＝－54.综上可求得t 的取值范围是－54≤t ≤5.6．[2016²广东珠海模拟]在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上一动点，试求x ＋y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．解 (1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6， 所以x 2＋y 2＝4x ＋4y －6，x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2为圆C 的直角坐标方程．所求的圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可得x ＋y ＝4＋2(sin θ＋cos θ)＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 当θ＝π4，即点P 的直角坐标为(3,3)时，x ＋y 取得最大值，为6.7．[2017²豫南九校联考]在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |²|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |²|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54. 8．[2016²安徽十校联考]已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝m ＋3t(t 是参数，m 是常数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，且点M 在曲线C 上． (1)求a 的值及曲线C 的直角坐标方程；(2)若点M 关于直线l 的对称点N 在曲线C 上，求|MN |的长．解 (1)将点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π6代入方程ρ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，得4＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3，∴a ＝4.由ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3得ρ＝2sin θ＋23cos θ， ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入化简得x 2＋y 2－23x －2y ＝0，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x －2y ＝0， (2)由x 2＋y 2－23x －2y ＝0配方得(x －3)2＋(y －1)2＝4， ∴曲线C 是圆，且圆心坐标为(3，1)．易知点M 在圆C 上，∴由点M 关于直线l 的对称点N 在圆C 上，得直线l 经过圆C 的圆心，∴⎩⎨⎧3＝－3t ，1＝m ＋3t ，∴m ＝2，这时直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝2＋3t ，消去参数t 得x ＋3y －23＝0， 易知点M 的直角坐标为(23，2)， ∴点M 到直线l 的距离为3， ∴|MN |＝2 3.9．[2016²河南三市联考]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2＋2sin β(β为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)已知射线l 1：θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π6，且射线l 1与曲线C 1交于O 、P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O 、Q 两点，求|OP |²|OQ |的最大值．解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，α)，即ρ1＝4cos α， 点Q 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，α－π6，即ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6. 则|OP |²|OQ |＝ρ1ρ2＝4cos α²4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝16cos α²⎝⎛⎭⎪⎫32sin α－12cos α＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6－4.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6， 当2α－π6＝π2，即α＝π3时，|OP |²|OQ |取得最大值，最大值为4.。
2018年高考数学分类汇编：极坐标与参数方程(K12教育文档)
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《2018年高考数学分类汇编》：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,则a=__________．2。
【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,32⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A,B 两点，则ABC △的面积为 。
二、解答题1。
【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+。
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=。
(1）求2C 的直角坐标方程；(2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程。
2。
【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）,直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3。
【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． (1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案一、填空题1.21+2.21二、解答题1。
高三数学专项训练：极坐标与参数方程(附答案)
x 中，⊙ 的参数方程为cos ，（ 为参数）， xOy O过点 0， 2 且倾斜角为 的直线 与⊙ 交于 ， 两点．l O AB Ptl,（ 为参数），设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 ． m l l P k P Cm y , k（1）写出 的普通方程： C（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l : (co s s in ) ， 为 与 M lxC3 cosx 3、（2016 全国 I I I 卷高考）在直角坐标系s in1坐 标 原 点 为 极 点 ， 以 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ，， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线) 2 2 . 41（II ）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求|P Q |的最小值及此时 P 的直角坐标.4、（成都市 2018 届高三第二次诊断）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标2s ins in ( ) 5 2 0 ，直线的极坐标方程为 . 44（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；5、（成都市 2018 届高三第三次诊断）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是 ，直线l 的2 s in 在直线l 上.以极点为坐标原点 O ，极轴为 x 轴的4正半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度.（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点 A，求 Q A Q B 的值.6、（达州市 2017 届高三第一次诊断）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴2tx 2建立极坐标系，直线l 的参数方程为.t 2y 2 t2 2（1）若l 的参数方程中的t1 1(0, 2) l （2）若点 P， 和曲线C 交于 两点，求.7、（德阳市 2018 届高三二诊考试）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： （t 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：x.0,0l与直线 和曲线C 的交点分别为点M 和点 N （异于点O ）， 2 O N 求 的最大值.O M8、（广元市 2018 届高三第一次高考适应性统考）在平面直角坐标系x Oy4cos a 2(a 为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方y程为 ( ) .R 6C（2）设直线 与曲线 相交于 , 两点，求的值.ABC A B 轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 3 c os s inC3 0 ， 的极坐标方程为．4s in( ) 6（I ）求直线 l 和 的普通方程；C （II ）直线 l 与 有两个公共点 A 、B ，定点 P (2, 3) ，求|||| 的值．C 10、（绵阳市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是yx（1）求曲线C 的极坐标方程；C, AOB与曲线 分别交于异于原点的 A B 两点，求 的面积.（2）设l， ，若631211、（南充市 2018 届高三第二次高考适应性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1:1 ，以坐标原点O 为极点，以 轴正半轴y1x22 2(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；12C C,与曲线 ， 分别交于 A B 两点，求61 212、（仁寿县 2018 届高三上学期零诊）在平面直角坐标系xoy 中 ，圆 C 的参数方程为l3）=7． 43 t 2 (t 为参数)，以坐标原 1224 c os(3（1）求圆C 的直角坐标方程； 2（2）若 P(x, y )是直线l 与圆面 4cos( )的公共点，求 3x y的取值范围.32 0（ PQ （1）求点 的轨迹C 的直角坐标方程；3 （2）若C 上点 M 处的切线斜率的取值范围是，求点 M 横坐标的取值范围. 315、（雅安市 2018 届高三下学期三诊）在直角坐标系中，已知圆 的圆心坐标为(2,0) ，半径为CXCl（2）点 的极坐标为 1,，直线 与圆 相交于 ， ，求 PAC 的值.P l A B 235 cos16、（宜宾市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系 中，曲线C 的参数方程为xOy 5 s iny(其中参数 ).xCx 1 t c os （2）直线l 的参数方程为(其中参数 , 是常数)，直线l 与曲线 交于t RC y点，且 ，求直线l 的斜率．AB2 3 l2t ， x 2 y 4 t的极坐标方程为 4cos ．（1）写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）过点 M (1，0) 且与直线 平行的直线 交 于 A ， B 两点，求| AB | .l l C 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴x si n 2 cos ( 0) ，过点 的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为 a a2x 2 （ 为 t参数），直线 与曲线 相交于 两点. 的直线 的参数方程为2 y 42 (1)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； 2 PA PB AB 求 的值 (2)若 ,. a 1、解答：的参数方程为的普通方程为 22yl : x 0 与e O有两个交点，当| 0 0 2 |t an2 ，由直线l 与e O时，设直线l 的方程为 y x1 两个交点有，得 ，∴或，综上时，点P 坐标为 (0,0)ly 22A22为 y， 1 1 2 2③2 2k 2(1 k )x 2 2kx 1 0 2 2 ，∴，∴得121222y ④2xk 代入④得 x y 2y 0 .当点 P(0,0) 时满足方程 x y 2y 0 ，∴ AB 中点的 P2 2 2 2 y22 2 的 轨 迹 方 程 是 x， 即 xy2 22 2 2 222 2 22B (y 0 ，故点 P 的参数方程为 ，则22 2 2 2y s in2 2 0）.2、【解析】⑴将参数方程转化为一般方程l : y k x 2 112k① ②消 可得： 4k x 2 y 2 即 的轨迹方程为 4 ；P ⑵将参数方程转化为一般方程……③Cl3422x 2y2 c os解得 5y．5s in c os 10 0.4c oss in ，可得直线的直角坐标方程为y ， 2 3 c osx x 2 y 2 将曲线C 的参数方程C12 4（2）设Q(2 3cos ,2s in ) (0 ).(4 2, ) 化为直角坐标为(4, 4).4则 M.2s in( ) 103 cos s in 103.225s in ( ) 1，即 当 3 6∴点 M 到直线的距离的最大值为6 25、.316C242 2 t ) (2 2 22 2121 21121 121 2，4. s in c os2由得：2，所以 x 2 y 2 y ，所以曲线C 的直角坐标方程为： x .224 2s in， s in c oss in s in cos 2O N所以，4 4 23由于0 ，所以当时， 取得最大值：.2844cos a 2得曲线 的普通方程：C所以曲线 的极坐标方程为： 4 c os 12 C 2（2）设 , 两点的极坐标方程分别为( , ),( , ) ,661224 c os 12 0 的两根2是 C2∴ 2 3, 12121 29、解：（I ）直线 l 的普通方程为： 3 3 0， ·································································· 1 分x y因为圆 的极坐标方程为， C 63 1所以 2 4( s i n cos ) ， ··············································································· 3 分2 2所以圆 的普通方程 22 3 0 ；·························································· 4 分 C x 2 y 2 x y （II ）直线 l ： 3 3 0的参数方程为： x y3 y 3 t2代入圆 的普通方程 22 3 0 消去 x 、y 整理得： x 2 y 2 x y 2 9 17 0 ， ··········································································································· 6 分t t | | | ，| | | |，··························································································· 7 分PB tPA t 1 2|| PA | | PB |||| t | | t ||| t t | (t t ) ······························································· 8 分2 12122 12219 417 13 .··································································································· 10 分2 10、解：（Ⅰ）将 C 的参数方程化为普通方程为(x -3) +(y -4) =25，2 2 22．（Ⅱ）把 代入 6 c os 8s in ，得，6 1∴ ． ……………………………………………………………6 分A66 c os 8s in32∴ ． ……………………………………………………………8 分B31s in AOB2 1 21225 3． 4211、解：（Ⅰ）由2.3yx 2所以曲线 的普通方程为C 2.13 c os1 s i n 1，得到，化简得到曲线把 x，代入22的极坐标方程为2 cos.C 2（Ⅱ）依题意可设 A,曲线C 的极坐标方程为 2.2 261211代入C 的极坐标方程得 2 2，解得 .621.622.12）=7．根据 ρcosθ=x ，ρsinθ=y 可得：﹣y+x=7． 即直线 l 的直角坐标方程为 x．---------------------------5 分（θ 为参数），其圆心为（﹣1，2），半径r=4．----6 分5 2．---------------------8 分2∴ AB 的最小值为圆心到直线的距离 d ﹣r ，即 AB min4 c os( )13、【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为323 14 c os ( cos )∴ ， 322又∵ 2222∴圆C 的普通方程为 x 22（2）设 z，y 2x 2 3y 0 (x 1) (y 3) 4 ，22 2 2 ∴圆C 的圆心是(1, 3)3 t2 3x y 得 z t ， 代入 z 12，圆C 的半径是 ，2 3，即 x y 的取值范围是∴，∴.……10 分 2 0 14、解：（1）由，得22设，，1 1x 2 yx 2x 2, y 2y则 x ，122111 1得22，∴221,0 为圆心，1半径的半圆，如图所示，，设点处切线 的倾斜角为 lM设253 由l 斜率范围， …………7 分3 3 63 而，∴，∴ ，26 3 22M , 所以，点 横坐标的取值范围是 ． …………10 分22，，化简得圆 的极坐标方程：，:由l 得 ，y1l 的极坐标方程为.4(1,0)， （2）由 PP22 t x2直线 的参数的标准方程可写成2y 1 t2 2 2t 2) (1 t) 2 ，2 2 2 2，，.3 5 cosx Q 16、解： （1）5 s iny 的普通方程 x 22x 1t c osQ1 直线l 的普通方程 y k xy3k 0 k k 122 t ，217、（1）由2y 4 t2 又由 4cos 得 4cos ，则 的直角坐标方程为 0 ． ··············5 分2C x 2 y 22 t , x2 （2） 过点 M ( 1，0) 且与直线 平行的直线 的参数方程为l l 2 y t .2 将其代入 4 0 得 2 23 0 ，则 t t，x 2 y 2 x tt 1 2 所以| AB ||t t | (t t ) 4t t14 ． ······················································10 分2 1212(1)由 整理得= ,,(2)将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 = 得,.设两点对应的参数分别为,则有∵=,即=,解得或者(舍去),。
2018年高考数学专项训练-极坐标和参数方程
2018年高考数学专项训练-极坐标和参数方程1.【2017·黑龙江伊春二中期末】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．2.极坐标系中，已知圆ρ=10cos（1）求圆的直角坐标方程．（2）设P是圆上任一点，求点P到直线距离的最大值．3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．4.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=，直线l 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．5.【2017·普宁一中】已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ+ρcos θ=10，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标系，曲线C 1的参数方程为（α为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值及该点坐标．6.【2018·成都龙泉中学】在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．7.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2﹣2ρcos （θ﹣）=2．（1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设两圆交点分别为A 、B ，求直线AB 的参数方程，并利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长|AB|．8.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l的参数方程为（t 为参数），α为直线l 的倾斜角，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB|=，求l 的斜率．9.【2017·江苏高考】在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,2,8ty t x （t 为参数）,曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,22,22s y s x （s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.10.【2017·全国Ⅱ卷】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为4cos =θρ。
2018高考数学(理)专题突破——选考系列：坐标系与参数方程
∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1， ∴C2 是圆心为(1，0)，半径 r＝1 的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线 x－ 3y－1＝0 上，因此直线 C1 过圆 C2 的圆心. ∴两交点 A，B 的连线段是圆 C2 的直径，因此两交点 A，B 间的距离|AB|＝2r＝2.
是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解 .当然，还要结 合题目本身特点，确定选择何种方程. 2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意 义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为
简的解题目的.
【对点训练】
已知曲线 C
x＝2＋2cos 的参数方程为 y＝2sin θ
2 2 2
要注意 ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方 法等技巧. 2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能 直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
【对点训练】
在极坐标系中，已知极坐标方程 C1：ρcos θ－ 3ρsin θ －1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线 C1，C2 的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线 C1，C2 交于 A，B 两点，求两点间的距离.
θ，
(θ 为参数)，以坐
标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l
π 的极坐标方程为ρsinθ＋ ＝4. 6
(1)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程； π (2)若射线 θ＝ 3 与曲线 C 交于 O， A 两点， 与直线 l 交于 B 点， 11π 射线 θ＝ 与曲线 C 交于 O，P 两点，求△PAB 的面积. 6
2018届高考数学二轮复习第三部分讲重点解答题专练作业27_28极坐标与参数方程理 Word版 含答案
极坐标与参数方程专练1．(2017²江西5市联考三)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝322，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α(α是参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解析 (1)因为ρsin(θ＋π4)＝322，所以2ρ(22sin θ＋22cos θ)＝3，即ρsin θ＋ρcos θ－3＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线l 的直角坐标方程是x ＋y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －2＝sin α 所以曲线C 的普通方程是x 2＋(y －2)2＝1.(2)由(1)得曲线C 是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，又圆心(0，2)到直线l 的距离d ＝|0＋2－3|2＝22，所以直线l 与曲线C 相交，故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋22. 2．(2017²郑州预测三)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数，0<θ<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2α－2cos α＝0. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 解析 (1)由ρsin 2α－2cos α＝0，得ρ2sin 2α＝2ρcos α， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x.(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2θ－2tcos θ－1＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2cos θsin 2θ，t 1²t 2＝－1sin 2θ， |AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2θsin 4θ＋4sin 2θ＝2sin 2θ. 当θ＝π2时，|AB|取得最小值，最小值为2.3．(2017²湖南十校联考三)在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B.(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求|PA|²|PB|的值．解析 (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直线坐标为(92，332)．(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得 (cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|PA|²|PB|＝|t 1t 2|＝|8cos 2α－sin 2α|＝|8（1＋tan 2α）1－tan 2α|， 由已知得tan α＝2，故|PA|²|PB|＝403.4．(2017²武汉调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acost ，y ＝2sint (t 为参数，a>0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－2 2.(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝2时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围．解析 (1)由ρcos(θ＋π4)＝－22，得22(ρcos θ－ρsin θ)＝－22，化成直角坐标方程，得22(x －y)＝－22，即直线l 的方程为x －y ＋4＝0. 依题意，设P(2cost ，2sint)，则点P 到直线l 的距离d ＝|2cost －2sint ＋4|2＝|22cos （t ＋π4）＋4|2＝22＋2cos(t ＋π4)．当t ＋π4＝2k π＋π，即t ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d min ＝22－2.故点P 到直线l 的距离的最小值为22－2. (2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， ∴对∀t ∈R ，有acost －2sint ＋4>0恒成立， 即a 2＋4cos(t ＋φ)>－4(其中tan φ＝2a )恒成立，∴a 2＋4<4，又a>0，∴0<a<2 3. 故a 的取值范围为(0，23)．5．(2017²山西5月联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋tcos φ，y ＝3＋tsin φ(t为参数，φ∈[0，π3])，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C 的极坐标为(2，π3)，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．解析 (1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0， 故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos(π3－θ)．(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋tcos φ)2＋(3＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－23(3＋tsin φ)＝0， 整理得，t 2＋2tcos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1²t 2＝－3， ∴|MN|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1²t 2＝4cos 2φ＋12， ∵φ∈[0，π3]，∴cos φ∈[12，1]，∴|MN|∈[13，4]．。
解密30+坐标系与参数方程-备战2018年高考数学(理)之高频考点解密+Word版含解析
考点1 两种互化及其应用调研1 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线122cos :12sin x tC y t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:2C 01sin cos 4=+-θρθρ. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x ；（2）217178-.【解析】（1）由122cos :12sin x tC y t=-+⎧⎨=+⎩消去t 得4)1()2(22=-++y x ，因为01sin cos 4=+-θρθρ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得014=+-y x . 所以曲线1C 的普通方程为4)1()2(22=-++y x ，曲线2C 的直角坐标方程为014=+-y x . （2）由（1）知:1C 4)1()2(22=-++y x 的圆心为)1,2(-，半径为2，:2C 014=+-y x ，||PQ 的最小值即为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离减去圆的半径，因为)1,2(-到直线014=+-y x 的距离为17178)1(4|1142|22=-++-⨯-=d ， 所以||PQ 的最小值为217178-.☆技巧点拨☆1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．4．参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）.考点2 利用参数几何意义解题调研1 在平面直角坐标系xOy中，已知直线112:(x t l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)． （1）设l 与1C 相交于,A B 两点,求AB ; （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 距离的最小值．【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）的普通方程为的普通方程为,联立方程得，解得与的交点坐标为,则.（2）易知的参数方程为为参数),故可设点的坐标为,从而点到直线的距离是,由此可知当时,取得最小值,且最小值为.调研2 以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线l 的参数方程为2312x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB . 【答案】（1）24y x =；（2【解析】（1）由2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将l 的参数方程代入24y x =，整理得24870t t +-=， ∴122t t +=-，1274t t =-，∴12AB t =-===☆技巧点拨☆若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).考点3 利用ρθ,的几何意义解题调研 1 平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos sin x a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a >),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为()222cos24sin 20ρθρθρ+=>.（1）求出曲线1C 的极坐标方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线3C 曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求2a 的值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=，2C 的直角坐标方程为2232x y +=；（2）2【解析】（1）消去参数ϕ得到1C 的普通方程为()2221x y a -+=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入1C 的普通方程,得到1C 的极坐标方程为222cos 10a ρρθ-+-=. 由222cos24sin 2ρθρθ+=得2222cos 3sin 2ρθρθ+=,把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得曲线2C 的直角坐标方程为2232x y +=.（2）曲线1C 与2C 的公共点的极坐标满足方程组2222222cos 10cos 3sin 2a ρρθρθρθ⎧-+-=⎨+=⎩,因为曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,所以把π4θ=代入方程组得222101a ρρ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩,消去ρ得22a =1．（上海市金山区2018届高三下学期质量监控（二模））若椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，则它的两个焦点坐标是 A ． B．C ．D．【答案】A2．（北京市丰台区2018年高三年级一模）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 A ．ρ=sin θ B ．ρ=2sin θ C ．ρ=cos θD ．ρ=2cos θ【答案】D 【解析】 由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）得曲线C 的普通方程为()2211x y -+=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，故选D ．3．（河南省名校2018届高三压轴第二次考试）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆C 是以极坐标系中的点7π2,6⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. （1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，求MON △的面积.【答案】（1）见解析;（24．（福建省龙岩市2018届高三下学期教学质量检查(4月)）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=. （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设()1,0P ，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），已知l 与圆C 交于,A B 两点，且34PA PB =，求l 的普通方程. 【答案】（1）()22625x y ++=;（2）()1y x =±-.【思路点拨】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=代入212cos 110ρρθ++=，即可得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程()22625x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得tan 1k α==±，从而可得结果.【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y yxρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．5．（百校联盟2018届高三TOP20四月联考）已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos2sinx y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数），直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AB . 【答案】（1）()()12ππ:,:24l l θρθρ=∈=∈R R ；（2）AB =【名师点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.1．（2017新课标全国卷Ⅰ理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a . 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-.当4a <-时，d.=16a =-. 综上，8a =或16a =-.【思路点拨】（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为d =对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.2．（2017新课标全国卷II 理科）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）2所以OAB △面积的最大值为2【思路点拨】（1）设出P 的极坐标，然后利用题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程； （2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB △面积的最大值．【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。
2018年高考数学专题14.1极坐标与参数方程试题理
极坐标与参数方程【三年高考】1. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时，d=所以8a =；当4a <-时，d=16a =-.综上，8a =或16a =-.2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。
【解析】（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM =。
由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程()cos =4＞0ρθρ。
因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠。
3．【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+ . 设(),p x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠.所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cossin 402,ρθθθπθπ-=<<≠ .联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ== .代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M4．【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【解析】⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①， ∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=，∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-=即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②， 3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ，∴210a -=,∴1a = 5. 【2016高考新课标2】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =23cos,tan 83αα==±，所以l的斜率为3或3-. 6. 【2016高考新课标3】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+= （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.7.【2015高考新课标2】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．8.【2015高考福建】在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l sin()m,(m R).4pq -=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 【解析】(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,由sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=,所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=.(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2|12m |2，--+=解得m=-3±9.【2015高考新课标1】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ|MN|=1ρ－2ρ因为2C 的半径为1，则2CM N 的面积o 11sin 452⨯=12. 【2017考试大纲】 1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对参数方程和极坐标的考查，主要考查直线和圆的参数方程，椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，结合解析几何中有关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、有关线段的长度或最值等方面命制题目，考查学生的转化能力，分析问题、解决问题的能力，以及数形结合思想、方程思想等思想方法的应用．该知识点为高考选考内容之一，试题以解答题形式为主，难度一般中档偏下.【2018年高考复习建议与高考命题预测】《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容．坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想，以及两种坐标的关系与互化；极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程；参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程，能进行普通方程与参数方程的互化，并会选择适当的参数，用参数方程表示某些曲线，解决相关问题．参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点．预测2018年高考仍然考查参数方程与普通方程，极坐标方程与普通方程互化，重点是直线和圆的参数方程，极坐标方程，考查学生的转化与化归能力．题型主要为解答题形式，侧重考查参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化.复习建议：复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.【2018年高考考点定位】高考对坐标系的考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题；考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定.【考点1】极坐标【备考知识梳理】1．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．(2)极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；∠叫做点M的极角，记为θ.有序数对(),ρθ称以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOMMρθ．为点M的极坐标，记作(),ρ≥，θ可取任意实数．一般地，不做特殊说明时，我们认为02．极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如ρ≥），于图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(),x y和(),ρθ（0是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：若圆心为00,M ，半径为r 的圆方程为()2220002cos 0r ρρρθθρ--+-=.4.注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．（2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标(),ρθ ，()(),2k k Z ρθπ+∈，()(),2k k Z ρπθπ-++∈表示同一点的坐标．【规律方法技巧】1. 确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，进行整体代换． (3)直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0yx xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． (4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设(),P ρθ是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．4.注意： (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．5.曲线的极坐标方程的应用：解决极坐标方程问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 【考点针对训练】1.【湖北武汉市2017届高三第三次模拟】圆锥曲线C 的极坐标方程为： ()221sin 2ρθ+=.（1）以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求曲线C 在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标； （2）直线l 的极坐标方程为若曲线C 上的点M 到直线l 的距离最大，求点M 的坐标（直角坐标和极坐标均可）.【解析】（Ⅰ）曲线C 直角坐标方程：()()121,0,1,0F F - 焦点极坐标： ()()121,,1,0F F π （Ⅱ）直线l 直角坐标方程：即直线m 与曲线C 相切时，切点M 到直线l 的距离最大，()22485610t t =--= ，解得：2.【武汉市汉阳一中2017届高三第五次模拟】在直角坐标系中，圆：＝1经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程及直线L 的直角坐标方程； （2）设点M 是上一动点，求点到直线L 的距离的最小值．【解析】（1）由＝经过伸缩变换，可得曲线的方程为：，即 将极坐标方程两边同乘可的直线的直角坐标方程．【考点2】参数方程 【备考知识梳理】 1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标,x y 都是某个变量的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M(),x y 都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段0P P的数量． (2)圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)．抛物线px y 22=的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)．3.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，那么，()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就是曲线的参数方程．【规律方法技巧】1.在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意,x y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．2.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； (2)定点0M 是弦12M M 的中点⇒120t t +=； (3)设弦12M M 中点为M ，则点M 对应的参数值122M t t t +=(由此可求12M M 及中点坐标)．3.圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．4.化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④恒等式(三角的或代数的)消元法．参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这一点最易忽视．5．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)．若,A B为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： (1) 1202t t t +=；(2) 1202t tPM t +==；(3) 21AB t t =-；(4) 12PA PB t t ⋅=⋅. 【考点针对训练】1. 【四川省雅安市2017届高三第三次诊断】平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3{(x cos y sin ααα==为参数)，在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点()0,2P ，直线l 和曲线C 交于A ， B 两点，求【解析】 (1)由3{ x cos y sin αα==消去参数α，得，即曲线C的普通方程为得s i n c o s 2ρθρθ-=，(*) 将{ x cos y sin ρθρθ==代入(*)，化简得2y x =+，所以直线l 的倾斜角为(2)由(1)知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为 (t 为参数)，(t 为参数)，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则10t ∴<， 20t <，所以2.【宁夏石嘴山市2017届高三第三次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，的直线l 的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()1,0P .若点M 的极坐标为，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求.【解析】（1）∵直线的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（为参数），∴直线的普通方程为()tan ?1y x α=-．由2cos 4sin 0ρθθ-=，得22cos 4sin 0ρθρθ-=，即240x y -=，∴曲线的直角坐标方程为24x y =．（2）∵点的直角坐标为()0,1．∴tan 1α=-，直线的倾斜（为参数）．代入24x y =，得．设,A B 两点对应的参数为12,t t ．∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q 对应的．又点()1,0P ，则 【应试技巧点拨】 1.极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，进行整体代换． 2.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设(),P ρθ是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 3.参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线． 4.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； (2)定点0M 是弦12M M 的中点⇒120t t +=； (3)设弦12M M 中点为M ，则点M 对应的参数值122M t t t += (由此可求12M M 及中点坐标)． 5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．1.【江西省新余市2017届高三高考全真模拟】已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为{ (x a tcos t y tsin θθ=+=为参数， θ为倾斜角)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=.(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)点(),0Q a ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求使为定值的a 值.2.【河北省武邑中学2017届高三第四次模拟】将圆2{(2x cos y sin θθθ==为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C. (1)求出C 的普通方程；(2)设直线l ： 220x y +-=与C 的交点为1P ， 2P ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设()11,x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(),x y ，则有11{12x x y y == 1122{({(2x cos x cos y sin y sin θθθθθθ==∴== 为参数）为参数）∴ 2214x y += (2) 221{4220x y x y +=+-= 解得： 20{{01x x y y ====或 所以()()122,0,0,1,p p 则线段12p p 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所求直线的斜率2k =，于是所求直线方程为()121,4x-2y 302y x -=--=即.化为极坐标方程得： 4cos 2sin 30ρθρθ--=，即34cos 2sin ρθθ=-3. 【四川省成都市2017届高三6月1日高考热身】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1{(x cos y sin ϕϕϕ=+=为参数)，以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求.【解析】(1)圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.(2)设()11,P ρθ，则有()1121cos ,,Q ρθρθ=，则有，因为1tan 0θ>，所以4. 【四川省遂宁市2017届高三三诊考试】在直角坐标系xOy 中，以o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线{2x t y t ==+的参数方程为{2x ty t ==+，（ t 为参数），曲线22420x x y y -+-=的普通方程为22420x x y y -+-=，点P 的极坐标为（1）求直线l 的普通方程和曲线22420x x y y -+-=的极坐标方程；（2）若将直线l 向右平移2个单位得到直线'l ，设'l 与22420x x y y -+-=相交于,A B 两点，求PAB 的面积．【解析】（1）根据题意，直线()R ρ∈的普通方程为2y x =+， 曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+（2）'l 的普通方程为y x =，所以其极坐标方程为因为'OP l ⊥，所以点P 到直线'l 的距离为5. 【广西桂林等五市2017届高三5月联合】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 【解析】（Ⅰ）因为直线l 的极坐标方程为曲线C 的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离d 取最6. 【辽宁省沈阳市2017届高三第九次模拟】平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标，射线OM 的极坐标方程为()00θαρ=≥.(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线OM 平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A ，曲线1C 上的点B 满足求7.【吉林省实验中学2017届高三第八次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线（α为参数），在以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A B 、两点，求点M 到A B 、两点的距离之积．【解析】（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为 20x y -+=.（Ⅱ）直线1l 的参数方程为（t 为参数），，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，8.【福建省莆田2017届高三第二次模拟】以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为（ t 为参数， 0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ， B 两点，当θ变化时，求. 【解析】（I ）由2sin 2cos 0ραα-=由，得22sin 2cos .ραρα=曲线 C 的直角坐标方程为22y x =（II ）将直线l 的参数方程代入22y x =，得22sin 2cos 10.t t θθ--=设,A B 两点对应的参数分别为12,t t 则2.9.【湖南省长沙市2017届高三5月模拟】在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：（其中θ为参数）.（1）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为： {x tcosa y tsina==（其中t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,A B 两点，，求直线l 的斜率. 【解析】（1得()2235x y +-=，即22640x y y +-+=所以曲线C 的极坐标方程为： 26sin 40p p θ-+= （2）直线l 的参数方程为： {x tcosa y tsina==（其中t 为参数）代入22640x y y +-+=，得26sin 40t t a -+=，设其方程的两根为1t ， 2t ，∴2121236sin 160{64a t t sina t t ∆=-≥+==∴直线l 的斜率为10.【江西省南昌市2017届高三第三次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1{(x cos y sin θθθ=+=为参数).(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2{x xy y=''=得到曲线C '，设(),M x y 为曲线C '上任一点，求M 的直角坐标.【解析】（I ）由 1{x cos y sin θθ=+=（θ为参数）得曲线C 的普通方程为()2211x y -+=，得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（Ⅱ）()2211x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2{x xy y=''=得到曲线C '的直角坐标，设()2cos ,sin M αα，则，的最小值为2-，此时点M 的坐标为11. 【2016年湖北八校高三四次联考】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径． （Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．【解析】（Ⅰ）因为直线过点(1,2)P ，倾斜角为6π，所以直线l 的参数方程为1cos ,62sin ,6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为6cos()6sin 2πρθθ=-=.（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=12.【2016年安徽安庆二模】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数,α为直线的倾斜角）．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （II ）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小． 【解析】（Ⅰ）当π2a =时,直线l 的普通方程为1x =-；当π2a ≠时,直线l 的普通方程为(tan )(1)y x a =+.由θρcos 2=,得θρρcos 22=,所以222x y x +=,即为曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）把a t x cos 1+-=,sin y t a =代入222x y x +=,整理得24cos 30t t a -+=.由012cos 162=-=∆α,得23cos 4=a ,所以cos =a或cos =a -故直线l 倾斜角α。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练：专题对点练26 坐标系与参数方程(选修4—4)
专题对点练26坐标系与参数方程(选修4—4)1.已知曲线C:错误！未找到引用源。
=1,直线l:错误！未找到引用源。
(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解(1)曲线C的参数方程为错误！未找到引用源。
(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=错误！未找到引用源。
|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|=错误！未找到引用源。
|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=错误！未找到引用源。
.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为错误！未找到引用源。
.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为错误！未找到引用源。
.2.(2017辽宁大连一模,理22)已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l的参数方程为错误！未找到引用源。
(t为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)若曲线C2的参数方程为错误！未找到引用源。
(α为参数),曲线C1上点P的极角为错误！未找到引用源。
,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.解(1)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ,即ρ2=4ρcos θ,可得直角坐标方程C1:x2+y2-4x=0.直线l的参数方程为错误！未找到引用源。
(t为参数),消去参数t可得普通方程:x+2y-3=0.(2)P错误！未找到引用源。
,直角坐标为(2,2),Q(2cos α,sin α),M错误！未找到引用源。
1+cos α,1+错误！未找到引用源。
,∴M到l的距离d=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,从而最大值为错误！未找到引用源。
极坐标参数方程立体几何卷word资料5页
一．解答题（共6小题）1．选修4﹣4：极坐标与参数方程 已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P （x ，y ）在该圆上，求x+y 的最大值和最小值． 2．C 选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：（t 为参数），曲线C 的极坐标方程：ρ=2sin （θ+），求直线l 被曲线C 截得的弦长．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过点P （1，1），倾斜角，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆圆C 相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 4．如图，已知直角梯形ABCD 的上底BC=，BCCD ⊥AD ，PDC ⊥，平面平面ABCD ，△PCD 是边长为2的等边三角形． （1）证明：AB ⊥PB ；（2）求二面角P ﹣AB ﹣D 的大小． （3）求三棱锥A ﹣PBD 的体积．5．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=． （I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求点E 到平面ACD 的距离； （III ）求二面角A ﹣CD ﹣B 的余弦值． 6．如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=2，M 为BC 的中点． （Ⅰ）证明：AM ⊥PM ；（Ⅱ）求二面角P ﹣AM ﹣D 的大小；（Ⅲ）求直线PD 与平面PAM 所成角的正弦值．参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．选修4﹣4：极坐标与参数方程 已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；（x+y=4+（+））4+x+y=4+（）+2．C 选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：（t 为参数），曲线C 的极坐标方程：ρ=2sin （θ+），求直线l 被曲线C 截得的弦长．）化成直角坐标方程，最后，d=＜=3．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；，把直线，4．如图，已知直角梯形ABCD的上底BC=，BC CD⊥AD，PDC⊥，平面平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形．（1）证明：AB⊥PB；（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．，AD=2BC==PB==PA==．PBE==PBE====5．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求点E到平面ACD的距离；，可求出点为平面，CO===，，=（﹣，==＜，=的余弦值为．点．（Ⅰ）证明：AM ⊥PM ；（Ⅱ）求二面角P ﹣AM ﹣D 的大小；的距离为，），（，且取，显然MN=，PN=NM=所以，的距离为=所成角的正弦值为），，设平面则∴取显然则所成角的正弦值为．。
极坐标参数方程高考练习含答案(非常好的练习题)(2)(K12教育文档)
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（Ⅰ）求直线 l 在相应直角坐标系下的参数方程;
（Ⅱ)设 l 与曲线 C 相交于两点 A、B ，求点 P 到 A、B 两点的距离之积。
11．在直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
x y
4 cos 3 sin
(为参数)
．以坐标原点为极点，
x
轴的
正半轴为极轴的极坐标系中．曲线
C2
的极坐标方程为
x
3cos（为参数）
y sin
（1）已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半
轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 4, ，判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2
(2）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值．
8
离。
13．已知 A 是曲线 ρ=3cosθ上任意一点，求点 A 到直线 ρcosθ=1 距离的最大值和最小值.
14．已知椭圆
C
的极坐标方程为 2
12 3cos2 4 sin 2
，点
F1，F2 为其左,右焦点，直线 l 的参
数方程为
x
2
2t 2 (t为参数，t R) ．（1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程；
程是：x 5 13 t
y 5 13 t
(t为参数）.（1）求曲线 C 1 的直角坐标方程，直线 l 的普通方程；(2）
求曲线 C 2 上的点到直线 l 距离的最小值.
19 ． 在 直 接 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 方 程 为 x—y+4=0 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
xOy
中,直线 l
的参数方程为
高中数学通关系列之“极坐标与参数方程30题”
高中数学通关系列之“坐标系与参数方程”30题1．在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．解：（1）曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．转换为直角坐标方程为22(3x y +=． （2）直线:(0)l y kx k =>转换为极坐标方程为(0)2πθαα=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，所以2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得到||2cos OA α=，曲线2C 交于O ，B 两点，所以ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，则||OB α=，所以||||2cos 4sin()6OA OB πααα+=+=+，当3πα=时，|||OA OB +取得最大值．此时l 的极坐标方程为3πθ=，即直角坐标方程为y =．2．在直角坐标系：xOy 中曲线1C 的参数方程为cos (1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足3OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线y =与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，将曲线1C 、2C 的方程转化为极坐标方程后，求||AB ．解：（Ⅰ）设(,)P x y 由于P 点满足3OP OM =，所以(,)33x yM ，由于点M 在1C 上，所以cos 31sin 3xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2C 的参数方程3cos (33sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）．（Ⅱ）曲线1C 的参数方程转换为极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程转换为极坐标方程为6sin ρθ=，直线y x =转换为极坐标方程为6πθ=． 所以2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1A ρ=， 同理6sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ=，故||||312A B AB ρρ=-=-=．3．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 5ρρθ=+． （1）求证：直线l 与圆C 必有两个公共点；（2）已知点M 的直角坐标为(1,0)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若||||||1MA MB -=，求cos α的值． 解：（1）圆C 的极坐标方程为24cos 5ρρθ=+．由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为22450x y x +--=． 法一：将直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）．代入22450x y x +--=，得22cos 80t t α--=，(*)∴△24cos 320α=+>，∴方程(*)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内，∴直线l 与圆C 必有两个公共点．（2）记A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由（1）可知122cos t t α+=，1280t t =-<，12||||||||2|cos |1MA MB t t α∴-=+==，∴1cos 2α=±． 4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值 解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ =， 所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=． 转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+= （Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=， 设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB =， 所以54OA OB =，即1254ρρ=， 由于28cos 150ρρθ-+=， 所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos θ=． 所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan k θ== 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：12cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），直线:(0)l y kx k =>，以坐标原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||OA OB +的取值范围．（1）解：由曲线C 的参数方程为：12cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为普通方程为：22(1)4x y -+=，转换为极坐标方程为：22cos 30ρθρ--=；（2）解：由直线(0)y kx k =>可得其极坐标方程：,((0,),)2R πθααρ=∈∈，代入曲线C 的极坐标方程得：22cos 30ραρ--= 可得：1||||OA ρ=，2||||OB ρ=故1212||||||||||OA OB ρρρρ+=+=-故||||OA OB +∈．6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩，(θ为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()42πρθ+=．（1）写出曲线C 的普通方程和直线1的直角坐标方程． （2）若直线1与曲线C 相交于A ，B 两点，求OAB ∆的面积．解：（1）曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩，(θ为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=转，整理得2232(sin cos )222ρθθ+=换为直角坐标方程为30x y +-=．（2）由于圆心(0,2)到直线30x y +-=的距离d ==所以||AB =所以12OAB S ∆==． 7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2220x x y -+=．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈．（1）写出曲线C 的极坐标方程，并求出直线l 与曲线C 的交点M ，N 的极坐标；（2）设P 是椭圆2214x y +=上的动点，求PMN ∆面积的最大值．解：（1）曲线C 的方程为2220x x y -+=．转换为极坐标方程为：2cos ρθ=． 联立2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得(0,0)M ，(1,)3N π． （2）易知||1MN =，直线:l y =．设点(2cos ,sin )P αα，则点P 到直线l的距离d∴1|13sin(||2PMN S MN d ∆'==（其中tan ϕ=． PMN ∴∆8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22(1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=． （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点(2,1)P，求||||PA PB的值． 解：（1）直线l 的参数方程为22(1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），转换为直角坐标方程为30x y +-=． 圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=，转换为直角坐标方程为22430x y x +--=． （2）把直线l 的参数方程为2(1x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入圆的直角坐标方程22430x y x +--=，得到260t -=，所以12||||||6PA PB t t ==．9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22413sin ρα=+．（1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q ，且||||OQ PQ =，点M 的直角坐标为(1,0)，求PMQ ∆的面积．解：（1）曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为2240x y x +-=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为22413sin ρα=+．转换为直角坐标方程为2214x y +=．（2）直线:l y kx =转换为极坐标方程为0θθ=，代入22413sin ρα=+，解得220413sin Qρθ=+． 代入4cos ρθ=，得到04cos P ρθ=， 由于||||OQ PQ =，所以2P Q ρρ=， 故：202016(4cos )13sin θθ=+，解得202sin 3θ=，21cos 3θ=，所以Q ρ=，04cos P ρθ=则011()sin 22PMQ OMP OMQ P Q S S S ρρθ∆∆∆=-=⨯-==． 10．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以、轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，射线6πθα=-，θα=，,32ππθαθα=+=+与曲线1C 分别交于异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（Ⅰ）若曲线1C 关于2C 对称，求α的值，并求1C 的参数方程； （Ⅱ）若()||||||||f OA OB OC OD α=-，当32ππα<<时，求()f α的范围．解：（1）曲线1C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，整理得24cos()3πρρθ=-，转换为直角坐标方程为222x y x +=+，转换为标准式为22(1)(4x y -+=．曲线2C 的极坐标方程为cos()3a πρθ-=，转换为直角坐标方程为20x a +-=．由于曲线1C 关于2C对称，所以圆心的坐标经过直线的方程，所以2a =．所以1C的参数方程为12cos (2sin x y θθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（2）根据题意整理得||4cos()4sin 63OA ππαα=--=，||4cos()3OB πα=-．||4cos()4cos 33OC ππαα=+-=，||4cos()4sin()233OD πππαα=+-=-，所以()||||||||f OA OB OC OD α=-，16[sin cos()cos sin()]16sin(2)333πππααααα=---=-．由于32ππα<<，所以22(,)333πππα-∈，所以()f α∈11．已知直线l 经过点(1,1)P -，倾斜角23πα=，圆C 的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程及圆C 的普通方程； （Ⅱ）设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求||||PA PB +． 解：（Ⅰ）直线l 经过点(1,1)P -，倾斜角23πα=，转换为参数方程为：112(1x t t y ⎧=-⎪⎪⎪⎨⎪⎪=-+⎪⎩为参数）．圆C 的极坐标方程为2ρ=转换为直角坐标方程为224x y +=．（Ⅱ）把直线的参数方程1121x t y ⎧=-⎪⎪⎪⎨⎪⎪=-+⎪⎩代入224x y +=，得到21)20t t --=，所以121t t +=，122t t =-，所以12||||||PA PB t t +=-．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为(3x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin (0)a a ρθ=>，已知直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点． ()l 求a ；（2）A ，B 为曲线C 上的两点，且2AOB π∠=，求||||OA OB +的最大值．解：（1）直线l的参数方程为(3x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）30y -+=．曲线C 的极坐标方程为2sin (0)a a ρθ=>，转换为直角坐标方程为2220x y ay +-=，整理得222()x y a a +-=，由于直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点， 所以圆心(0,)a30y -+=的距离|3|2a d a -+==，解得1a =或3-（负值舍去）． （2）A ，B 为曲线C 上的两点，且2AOB π∠=，设点A 为曲线上靠右的点，所以1(A ρ，)α，2(,)2B πρα+，(0)2πα<<，所以12||||2sin 2sin())24OA OB ππρρααα+=+=++=+，当4πα=时，||||OA OB +的最大值为13．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1(x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(0)3πθρ=>，直线l 的极坐标方程为：sin()36πρθ+=，点(6,)6P π．（1）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程．（2）若直线l 与曲线2C 交于点A ，曲线1C 与曲线2C 交于点B ，求PAB ∆的面积． 解：（1）曲线1C 消去参数可得：22(1)3x y -+=，展开可得：22220x y x +--=， cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴可得21:2cos 20C ρρθ--=，在方程2C 中0ρ>，∴同理可得2:(0)C y x =>，将l1sin cos 32θρθ+=，同理：132l y x +=．即60x +-= （2）联立l与2132(0)y x C y x +=⎨⎪=>⎩可得点,3(2A，同理点(1B ，又(33,3)P，易得：:,1AB l y AB ==，∴11313222AB PAB P l S AB d ∆-==⨯⨯= 14．已知直线l 的参数方程为13,(24x t ty t =--⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设点(1,2)P -，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||||AB PA PB +的值．解：（1）直线l 的参数方程为13,(24x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为4320x y +-=．曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-．转换为2cos 2sin ρθθ=+，转换为直角坐标方程为22220x y x y +--=．（2）直线l 的参数方程为13,(24x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），转换为标准式为315(425x t t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），代入圆的直角坐标方程整理得2430t t ++=，所以124t t +=-，123t t =．121212||||||||||||5AB PA PB t t t t t t +=-+==．15．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin (129cos sin 55x y ϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ+=．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，(2,0)M ，求||||MP MQ +的值．解：（1）曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=．sin()3πρθ+∴cos sin 0θρθ+-=，∴直线l 0y +-．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）设直线l的参数方程为122(x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， 将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴12126,97t t t t +==-．点(2,0)M 在直线l 上，∴12||||||MP MQ t t +=-==（10分） 16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos (1sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin()04πρϕ+=，P 为直线l 上的任意一点（1）Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；．（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值．解：（1）曲线C 的参数方程为1cos (1sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(1)(1)1x y -+-=．直线l的极坐标方程为sin()04πρϕ+=，转换为直角坐标方程为20x y ++=．所以圆心(1,1)到直线20x y ++=的距离d ==所以最小距离1min d =．（2）由于圆心到直线的最小距离d =所以四边形PACB面积的最小值为1212S =⨯⨯=17．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x ty t =⎧⎨=⎩，(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin )2ρθθ-=． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若射线:(0,0)2OA πθααρ=<<与曲线2C 相交于点A ，将OA 逆时针旋转90︒后，与曲线1C 相交于点B，且|||OB OA =，求a 的值．解：（1）由曲线1C 的参数方程为244x ty t =⎧⎨=⎩，(t 为参数），可得其直角坐标方程24x y =， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线1C的极坐标方程22cos 4sin .cos 2sin 2C ρθθθρθ=-=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C220y --=．（2）将(0)θαρ=>代入2sin )2ρθθ-=，得||A OA ρ==．将OA 逆时针旋转90︒，得OB 的极坐标方程为(0)2πθαρ=+，所以224sin()4cos 2||sin cos ()2B OB πααρπαα+===+．由|||OB OA =，得24cos sin αα-=222sin cos 0αααα--=．即sin 22αα=，解得tan 2α= 因为(0,)2πα∈，所以6πα=．18．已知平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为221(1222x t t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩为参数，)t R ∈，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，(02)θπ． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）射线l 的极方程为(0,0)θααπρ=，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的A ，B 两点，且||4||OA OB =，求α的值．解：（1）曲线1C 的参数方程为221(1222x t t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩为参数，)t R ∈，转换为和直角坐标方程为：22x y =，转换为极坐标方程为22cos 2sin ρθρθ=，整理得22sin cos θρθ=． （2）射线l 的极方程为(0,0)θααπρ=，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的A ，B 两点，所以22sin cos θρθθα⎧=⎪⎨⎪=⎩，故22sin cos A αρα=，同理2sin ρθθα=⎧⎨=⎩，故2sin B ρα=，由于||4||OA OB =，所以22sin 8sin cos ααα=，所以24cos 1α=，所以3πα=或23π． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为2(x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=a 的值． 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos a ρθθ=+，22sin 2cos a ρρθρθ∴=+，则2222x y y ax +=+，化简得222()(1)1x a y a -+-=+，∴曲线C 的直角坐标方程222()(1)1x a y a -+-=+，直线l的参数方程为2x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，2x y ∴=-+，即直线l 的普通方程为20x y -+=；（Ⅱ）将(2,)P π化为直角坐标为(2,0)P -，将直线l 的普通方程为20x y -+=化为参数方程2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，并代入2222x y y ax +=+，化简并整理得2)440t t a -++=，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，∴2(32)4(44)0a =+-+>，解得1a ≠，由根与系数的关系得1212,44t t t t a +==+，(2,0)P -在直线l 上，∴12||||||PM PN t t +=+==2a ∴=．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是,(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+．由直线l上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．解：将直线l 的参数方程化为普通方程为y x =+，将圆C 的极坐标方程化为普通方程为22x y +=-，即22((1x y ++=， 作图如下，由222PC PQ CQ =+可知，要使切线长PQ 最小，由于1CQ =为定值，故只需PC 最小，而PC 的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ，又圆心C，直线:0l x y -+，∴2min PC -=，∴min PQ21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2(x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+．（1）若2a =-，求曲线C 与l 的交点坐标；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45︒的直线，交l 于点A ，且||PAa 的值．解：（1）曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+，整理得2223sin 12ρρθ+=，转换为直角坐标方程为22143x y +=． 当2a =-时，直线l 的参数方程为2(x a t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），整理得22x ty t =+⎧⎨=-⎩，转换为直角坐标方程为220x y ++=．所以22143220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得2x y =-⎧⎨=⎩或132x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以交点坐标为(2,0)-和3(1,)2-．（2）曲线的直角坐标方程为20x y a +-=，故曲线C上任意一点(2cos )P θθ到直线的距离|4sin()|a d πθ+-==，则4sin()|||sin 45a dPA πθ+-===︒当0a 时，||PA=1a =．当0a <时，||PA=1a =-．故1a =或1-．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为28cos 4sin 16ρρθρθ=+-． （1）求曲线1C 的普通方程和圆2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为曲线1C 上的点，直线l 经过圆2C 的圆心，且倾斜角为34π，求点P 到直线l 的最大距离． 解：（1）曲线1C的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．转换为直角坐标方程为22143x y +=．圆2C 的极坐标方程为28cos 4sin 16ρρθρθ=+-．转换为直角坐标方程为228416x y x y +=+-．整理得22(4)(2)4x y -+-=．（2）直线l 经过圆2C 的圆心，且倾斜角为34π，求出直线的方程为60x y +-=．由于P 为曲线1C 的上的一点，设(2cos )P θθ，所以点P 到直线的距离d ==当sin()1θα+=-时，故2max d =+． 23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程ρ．（1）直接写出曲线2C 的普通方程；（2）设A 是曲线1C 上的动点，B 是曲线2C 上的动点，求||AB 的最大值． 解：（1）曲线2C 的极坐标方程ρ=22233cos 4ρρθ+=，转换为直角坐标方程为2214y x +=．（2）曲线1C 的参数方程为22cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为22(2)4x y -+=，所以该曲线是以(2,0)C 为圆心2为半径的圆．A 是曲线1C 上的动点，B 是曲线2C 上的动点，设(cos ,2sin )B θθ，则||BC=当2cos 3θ=-时．||max BC =所以求||AB 2+． 24．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为[,])22ππρθ=∈-，直线l 的参数方程为2cos (4sin x t t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x ++=垂直，求点A 的直角坐标； （2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．解：（1）已知曲线C的极坐标方程为[,])22ππρθ∈-，转换为直角坐标方程为222(0)x y x +=，A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x ++=垂直，所以222120x y y xx ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A ． （2）直线l 的直角坐标方程为4(2)y k x =-++与半圆222(0)x y x +=有且只有一个交点，=2870k k -+=，解得1k =或7，由于B ，(0C，(2P -，4)-，所以PB k，PC k = 所以直线l的斜率的范围为{1}． 25．已知点A 为圆22:(1)1C x y -+=上的动点，O 为坐标原点，过(0,4)P 作直线OA 的垂线（当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴），垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M 的轨迹的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为sin()43πρθ+=，连接OA 并延长交l 于B ，求||||OA OB 的最大值．解：（1）设点M 的极坐标为(,)ρθ，所以根据题意，在OPM ∆中，有4sin ρθ=， 所以点M 的极坐标方程为：4sin ρθ=．（2）设射线:OA θα=，((,))22ππα∈-，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩得到1||2cos OA ρα==．由sin()43πρθθα⎧+=⎪⎨⎪=⎩得：24||sin()3OB ρπα==+，所以2||2cos 111cos sin()sin cos sin(2)4||23443sin()3OA OB αππααααααπα==+=+=+++． 由于(,)22ππα∈-，所以232334πππα-<+<， 当232ππα+=，即12πα=，故||()||max OA OB 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,(x t t y t⎧=⎪⎨⎪⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求l 的普通方程和1C 的直角坐标方程；（2）把曲线1C 向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线2C （纵坐标不变），设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：（1）直线l的参数方程为2,(x t t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），转换为直角坐标方程为20x y +-=． 曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=转换为直角坐标方程为2220x y y +-=．（2）曲线1C 向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线2C （纵坐标不变）， 即12y y x x'=-⎧⎨'=⎩代入2220x y y +-=，得到2214x y '+'=，转换为参数方程为2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），所以点(2cos ,sin )P θθ到直线20x y +-=的距离|)d πθ--==， 即当4πθ=时，min d ===． 27．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为(1x tt y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）若(0,1)P -，求||||PA PB +；（2）若点M 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求MAB ∆面积的最大值．解：（1）直线l的参数方程为(1x t t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数），转换为标准式为13(1x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）． 曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+，整理得2cos()4πρθ=+，转换为直角坐标方程为2222x y x y +=-．把直线的参数方程131x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入2222x y x y +=-，得到23230t t --=，故1223t t +=，121t t =-，所以12||||||PA PB t t +=-=． （2）由于圆的方程为2222x y x y +=-，转换为标准式为22(1)(1)2x y -++=， 所以圆心(1,1)-到直线10y --=的距离d =所以所截的弦长为l =，所以1()2MAB max S ∆= 28．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩，(t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 3sin 10ρθρθ--=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 所截的弦长．解：（1）曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩，(t 为参数）．转换为直角坐标方程为24y x =．直线l 的极坐标方程为cos 3sin 10ρθρθ--=，转换为直角坐标方程为10x-=． （2）联立直线和曲线的方程得：2410y x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，整理得21410x x -+=，故1214x x +=，所以12||14216AB x x p =++=+=．29．在直角坐标系xOy 中，已知点M ，1C的参数方程为12(x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2232cos θρ=+．（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求11||||MA MB +的值． 解：（1）由1C的参数方程12(x tt y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数），消去参数t，可得y =，由曲线2C 的极坐标方程2232cos θρ=+，得2222cos 3ρρθ+=，由cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以2C 的直角坐方程为22323x y +=，即22213y x +=．（2）因为M 在曲线1C 上，故可设曲线1C的参数方程为112(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， 代入22323x y +=，化简可得23820t t ++=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则△644320=-⨯⨯>， 且1283t t +=-，1223t t =，所以121212||11114||||||||||||t t MA MB t t t t ++=+==．30．在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为1(1x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l 的极坐标方程为()66ππθαα=-，射线2l 的极坐标方程为2πθα=+．（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程，并指出是何种曲线；（Ⅱ）若射线1l 与曲线C 交于OA 两点，射线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求ABO∆面积的取值范围． 解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程为1(1x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），则曲线C 的普通方程为22(1)(1)2x y -+-=，曲线C 为以(1,1)为半径的圆，曲线C 的极坐标方程为22(cos 1)(sin 1)2ρθρθ-+-=， 化简得2cos 2sin ρθθ=+．（Ⅱ）令1||2cos 2sin OA ραα==+，2||2cos()2sin()2cos 2sin 22OB ππραααα==+++=-，221212(cos sin )2cos 2ABC S ρρααα∆==-=．66ππα-，33ππα-，∴1cos212α， 12cos22α∴，ABO ∴∆面积的取值范围[1，2]．。
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第26练极坐标与参数方程【理】
一.题型考点对对练
1．（极坐标化为普通方程）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线：
经过点，曲线：.
（Ⅰ）求直线和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，且点到直线的距离表示为，求的最小值.
（Ⅱ）设，则点到直线的距离
，
当时，.
2.（与圆的相关的极坐标方程解决方法）在直角坐标系中，曲线，
曲线的参数方程为：，（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）射线与的异于原点的交点为，与的交点为，求.
【解析】（1）将代入曲线的方程：，可得曲线的极坐标方程为，
曲线的普通方程为，将代入，得到的极坐标方程为
（2）射线的极坐标方程为，与曲线的交点的极径为
射线与曲线的交点的极径满足，解得
所以
3.（参数方程与极坐标方程互化）已知曲线：（为参数）和直线：
（为参数）．
（1）将曲线的方程化为普通方程；
（2）设直线与曲线交于两点，且为弦的中点，求弦所在的直线方程．
（2）将代入，
整理得．由为的中点，则
．
∴，即，故，即，所以所求的直线方程为．
4.（直线的参数方程中t的几何意义应用）在直角坐标系中，直线的参数方程为
（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求
的取值范围．
，则. 5.（极坐标与参数方程的综合应用）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（
为参数），经过伸缩变换后得到曲线.
（1）求曲线的参数方程；
（2）若点的曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值.
【解析】（1）将曲线：（为参数）化为，由伸缩变换
化为，代入圆的方程得，即，可得参数方
程为（为参数）.
（2）曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程：，点到的距离，∴点
到的距离的最小值为.
二.易错问题纠错练
6.（圆的极坐标方程应用不当至错）在直角坐标系中，曲线，曲线
为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程；
（2）若射线分别交于两点，求的最大值.
【注意问题】根据转化即可．
7.（不明确直线的参数方程中的几何意义至错）在直角坐标系中，直线的参数方程为
（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线与曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，设，求的值.
【解析】（Ⅰ）由得，∴直线的普通方程；由得，又∵，∴曲线
的普通方程为.
（Ⅱ）设对应的参数为，将代入得，∴
，∵直线的参数方程为可化为，∴
，∴.
【注意问题】直线l的参数方程为，，整理可得，
利用参数的几何意义，求的值．
三.新题好题好好练
8.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为
.
（Ⅰ）若直线与圆相切，求的值；
（Ⅱ）若直线与曲线：（为参数）交于，两点，点，求.
9.在极坐标系中，曲线，曲线，以极点为坐标
原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求的直角坐标方程；
（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求
的值．
，把代入
，得：，即，故，所以.
10.已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为
．
（1）求圆心的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．
【解析】（1）∵，∴
，
∴圆的直角坐标方程为，即，∴圆心的直角坐标为.
（2）直线上的点向圆引切线，则切线长为
，
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.
11.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（Ⅰ）求出圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知圆与轴相交于，两点，直线：关于点对称的直线为.若直线上存在点使得，求实数的最大值.。