2014-2015年北京市丰台区高三上学期数学期末试卷(文科)与解析

2014-2015学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（﹣1，1）B．（l，1）C．（1，﹣l）D．（﹣1，﹣l）2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于（）A．8 B．15 C．24 D．303．（5分）命题p：∀x＞0，e x＞1，则¬p是（）A．∃x0≤0，B．∃x0＞0，C．∀x＞0，e x≤1 D．∀x≤0，e x≤14．（5分）已知a=2log 32，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．（5分）甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s 1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（）A．，s 1＜s2B．，s1＞s2C．，s 1＞s2 D．，s1=s26．（5分）已知函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=log b（x﹣a）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A． B． C．D．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={1，2，3，4}，则A∩B=．10．（5分）已知向量，且，，那么实数x=；=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．（5分）如果变量x，y满足条件且z=3x+y，那么z的取值范围是．13．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y=0，那么圆心坐标是；如果圆C的弦AB的中点坐标是（﹣2，3），那么弦AB所在的直线方程是．14．（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，如果函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上有k（k∈N*）个不同的零点，那么称函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上为“k阶关联函数”．现有如下三组函数：①f（x）=x，g（x）=sin x；②f（x）=2﹣x，g（x）=lnx；③f（x）=|x﹣1|，g（x）=．其中在区间[0，4]上是“2阶关联函数”的函数组的序号是．（写出所有满足条件的函数组的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值．16．（13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）．（注：将频率视为相应的概率）17．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S﹣ABC的体积．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）过点B（0，t）能否存在曲线y=f（x）的切线，请说明理由．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点A，过O作l的平行线交椭圆C于P，Q两点，如果以PQ为直径的圆与直线l相切，求l的方程．20．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=λa n﹣，（λ≠±1，n∈N*）．（Ⅰ）如果λ=0，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）如果λ=2，求证：数列为等比数列，并求S n；（Ⅲ）如果数列{a n}为递增数列，求λ的取值范围．2014-2015学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（﹣1，1）B．（l，1）C．（1，﹣l）D．（﹣1，﹣l）【解答】解：由=．所以复数对应的点的坐标为（﹣1，1）．故选：A．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于（）A．8 B．15 C．24 D．30【解答】解：由等差数列的性质得，a3+a5=2a4=22，解得a4=11，又a1=2，所以公差d==3，所以S3==3×2+9=15，故选：B．3．（5分）命题p：∀x＞0，e x＞1，则¬p是（）A．∃x0≤0，B．∃x0＞0，C．∀x＞0，e x≤1 D．∀x≤0，e x≤1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，e x＞1，则¬p是∃x0＞0，．故选：B．4．（5分）已知a=2log 32，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【解答】解：a=2log 32=log34＞1，=，=＜1，则a＞c＞b，故选：D．5．（5分）甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s 1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（）A．，s 1＜s2B．，s1＞s2C．，s 1＞s2 D．，s1=s2【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲同学测试成绩的平均数是=（76+76+82+88+88）=82，乙同学测试成绩的平均数是=（76+78+83+86+87）=82；甲同学测试成绩的方差是：=[（76﹣82）2+（76﹣82）2+（82﹣82）2+（88﹣82）2+（88﹣82）2]=，标准差是s1=，乙同学测试成绩的方差是=[（﹣6）2+（﹣4）2+12+（4）2+52]=，标准差是s2=．∴=，s＞s2．故选：B．6．（5分）已知函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=log b （x﹣a）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是由y=sinbx的图象向上平移a的单位得到的，由图象可知1＜a＜2，由图象可知函数的最小正周期＜T＜π，∴＜＜π，解得2＜b＜4，∴y=log b x的图象过定点（1，0）且为增函数，∵y=log b（x﹣a）函数的图象是由y=log b x图象向右平移a的单位得到，∴y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），其中2＜a+1＜3，故选：C．7．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A． B． C．D．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【解答】解：根据对称性我们只研究在第一象限内的整点情况，设∠AOC=θ，则C（2cosθ，2sinθ），B（2co sθ+2，2sinθ），①若0°＜θ≤30°，则0＜2sinθ≤1，此时区域内整点个数为0，排除A，B，②若30°＜θ＜45°，则1＜2sinθ＜，＜2cosθ＜，+2＜2cosθ+2＜2+，此时区域内整点为（2，1），个数为1，③若45°＜θ＜90°，则＜2sinθ＜2，0＜2cosθ＜，此时区域内整点为（1，1），（2，1），个数为2，④若θ=90°，则此时区域内整点为（1，1），个数为1个，综上菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是{0，1，2}，故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={1，2，3，4}，则A∩B={3，4} ．【解答】解：由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2，∴A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}，又B={1，2，3，4}，则A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．10．（5分）已知向量，且，，那么实数x=2；=．【解答】解：，，且向量，则=x﹣2=0，解得，x=2．即有=（2，1），则====．故答案为：2，．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．12．（5分）如果变量x，y满足条件且z=3x+y，那么z的取值范围是[2，9] ．【解答】解：满足条件的可行域如下图所示：∵z=3x+y，∴z A=2，z B=9，z C=4，故z=3x+y的最大值为9，最小值为2，故z的取值范围是：[2，9]，故答案为：[2，9]13．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y=0，那么圆心坐标是（﹣1，2）；如果圆C的弦AB的中点坐标是（﹣2，3），那么弦AB所在的直线方程是x﹣y+5=0．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标为C（﹣1，2），半径r=，若圆C的弦AB的中点坐标是D（﹣2，3），则满足AB⊥CD，则CD的斜率k=，则弦AB所在的直线斜率k=1，则对应的直线方程为y﹣3=x+2，即x﹣y+5=0，故答案为：（﹣1，2），x﹣y+5=014．（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，如果函数y=f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上有k（k∈N*）个不同的零点，那么称函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上为“k阶关联函数”．现有如下三组函数：①f（x）=x，g（x）=sin x；②f（x）=2﹣x，g（x）=lnx；③f（x）=|x﹣1|，g（x）=．其中在区间[0，4]上是“2阶关联函数”的函数组的序号是①③．（写出所有满足条件的函数组的序号）【解答】解：①∵sin x=x在[0，4]上有两个解0，1；故成立；②∵2﹣x=lnx在[0，4]上有一个解，故不成立；③∵|x﹣1|=可化为x2﹣3x+1=0；∴有两个解，故成立．故答案为：①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos（2x﹣）+cos（2x+）=sin2x+（cos2xcos+sin2xsin）+（cos2xcos﹣sin2xsin）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以f（）=2sin=2．…（7分）（另解）f（）=2sin cos+cos（2×﹣）+cos（2×+）=sin+sn+cos=2．…（2分）（Ⅱ）因为，所以．所以当2x=，即x=π时，；当2x=，即x=时，y min=﹣2．…（13分）所以当x=π时，；当x=时，y min=﹣2．16．（13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）．（注：将频率视为相应的概率）【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中频率和为1，得；a=0.1﹣0.03﹣0.025﹣0.02﹣0.01=0.015，∴估计这名学生参加考试的成绩低于90（分）的概率为；1﹣0.15=0.85；…（3分）（Ⅱ）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN；代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为：AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN；设“学生代表M，N至少有一人被选中”为事件D，∴P（D）=；…（11分）∴学生代表M，N至少有一人被选中的概率为；（Ⅲ）∵0.01×10+0.2×10=0.3＜0.5，0.3+0.025×10=0.55＞0.5，∴样本的中位数落在区间[70，80）内．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S﹣ABC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．因为P，F分别是棱SC，SD的中点，所以FP∥CD，且FP=CD．又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，所以AQ∥CD，且AQ=CD．所以FP∥AQ且FP=AQ．所以AQPF为平行四边形．所以PQ∥AF．又因为PQ⊄平面SAD，AF⊂平面SAD，所以PQ∥平面SAD．…（5分）（Ⅱ）证明：连结BD，因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，所以SE⊥AD．又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE⊂平面SAD，所以SE⊥平面ABCD，所以SE⊥AC．因为底面ABCD为菱形，E，Q分别是棱AD，AB的中点，所以BD⊥AC，EQ∥BD．所以EQ⊥AC，因为SE∩EQ=E，所以AC⊥平面SEQ．…（11分）（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，=AB•BCsin∠ABC=．所以S△ABC因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE=．由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，所以三棱锥S﹣ABC的体积V=S•SE=1．…（14分）△ABC18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）过点B（0，t）能否存在曲线y=f（x）的切线，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R．因为函数，所以f′（x）=．令f′（x）=0，则x=0．x（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以f（x）极小值为f（0）=0﹣1+=0；（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为（m，n），则切线方程为y﹣n=f′（m）（x﹣m），即y﹣（m﹣1+）=（1﹣e﹣m）（x﹣m），将B（0，t）代入得t=﹣1．方程t=﹣1有解，等价于过点B（0，t）作曲线f（x）的切线存在．令M（x）=﹣1，所以M′（x）=．当M′（x）=0，x=0，所以当x＜0时，以M′（x）＞0，函数以M（x）在（﹣∞，0）上单调递增；当x＞0时，M′（x）＜0，M（x）在（0，+∞）上单调递减．所以当x=0时，M（x）max=M（0）=0，无最小值．当t≤0时，方程t=﹣1有解；当t＞0时，方程t=﹣1无解．综上所述，当t≤0时存在切线；当t＞0时不存在切线．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点A，过O作l的平行线交椭圆C于P，Q两点，如果以PQ为直径的圆与直线l相切，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点在x轴上，∵a=2，=，∴c=，b2=a2﹣c2=，∴椭圆的方程为：+=1；（Ⅱ）依题意，直线l的斜率显然存在且不为0，设l的斜率为k，则可设直线l的方程为：y=k（x+2），则原点O到直线l的距离d=．设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+3k2）x2=4，可得P（，），Q（﹣，﹣），∵以PQ为直径的圆与直线l相切，∴|PQ|=d，即|OP|=d，∴（）2+（）2=（）2，解得：k=±1，∴直线l的方程为x﹣y+2=0或x+y+2=0．20．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=λa n﹣，（λ≠±1，n∈N*）．（Ⅰ）如果λ=0，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）如果λ=2，求证：数列为等比数列，并求S n；（Ⅲ）如果数列{a n}为递增数列，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）λ=0时，S n=﹣n，当n=1时，a1=S1=﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣1，所以a n=﹣1．…（3分）（Ⅱ）证明：当λ=2时，S n=2a n﹣，S n+1=2a n+1﹣，=2a n+．相减得a n+1+=2（a n+）．所以a n+1又因为a1=，a1+=，所以数列为等比数列，所以a n+=，S n=2a n﹣=．…（8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，显然λ≠0当n=1时，则S1=λa1﹣，得a1=．当n≥2时，S n=λa n﹣，S n﹣1=λa n﹣1﹣，相减得a n=a n﹣1+，+）．即a n+=（a n﹣1因为λ≠±1，所以a1+=．所以{a n+}为等比数列．所以a n=（）n﹣1﹣=（）n﹣．因为数列{a n}为递增数列，所以或，所以λ的取值范围是λ＞1或λ＜﹣1．…（13分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。