2012年黄高自主招生考试数学试卷
2012年黄冈中学预录数学考试试题及答案
2012年黄冈中学预录数学考试试题考试时间120分钟 满分120分温馨提示：1. 所有题目的答案必须填涂到答题卡上，答在试卷上无效；2. 如果考试过程中遇到不会做的题，你可以暂时跳过．合理安排好时间才能考出好的成绩，祝同学们考试顺利！一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，四个选项中只有一项是正确的） 1．由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）．A BC D2、黄冈市地处湖北省东部，大别山南麓，长江北岸，下辖一区七县两市，总人口740万人，人口总数用科学记数法表示为（ ）A ．70.4×105人B ．7.4×106人C ．7.4×105人D ．7.4×104人3. 已知一元二次方程x 2－4x +3=0两根为x 1、x 2, 则x 1·x 2= （ ）A. 4B. 3C. －4D. －34．下列四个点中，有三个点同在反比例函数x ky =的图象上，则不在这个函数图象上的点是 ( )A ．(5，1) B ．(－3，35-) C ．(35，3) D ．(－1，5)5．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点'B ，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π6.已知函数31++-=x x y 的最大值为M,最小值为m ,则Mm的值为( ) A.41 B.21C.22D.237.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l 是函数y ＝－3x 的图象，点A 的坐标为(1,0)，在直线l 上找一个点N ，使△ONA 是等腰三角形，则符合条件的点N 的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8. 警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中有一人是主谋．经过审讯，A 、B 、C 三名警察各自得出结论，A ：主谋只有可能是甲或乙； B ：甲不可能是主谋；C ：乙和丙都不可能是主谋．已知三名警察中只有一人推测正确，则主谋是（ ） A ．甲 B.乙 C.丙 D.丁9. 团结号列车上午7:45从甲地出发开往乙地，胜利号列车上午8:15从乙地出发开往甲地.两车中途相遇，团结号在相遇后40分钟抵达乙地，胜利号在相遇后1小时40分抵达甲地，假设两列火车全程以各自的速度匀速行驶，则两列火车相遇的时刻为（ ） A ．上午8:50 B.上午8:55 C.上午9:00 D.上午9:0510. 用1，2，3，4，5五个数码可以组成120个无重复数字的五位数，则这120个五位数之和为（ ）A ．3999960 B.6999990 C.3666690 D.6333390 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11.已知12x x +=，则221x x+= . 12.如图，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若BC=ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1= _________ ．13.已知二次函数223y x x =-+,当0x m ≤≤时，y 最大值为3,最小值为2,则m 的取值范围是 . 14.有一列具有规律的数字：1111,,,, (261220)则这列数字前100个数之和为 15.信息安全逐渐成为社会热点问题，我们为了通信安全，通常会按一定规则将通讯内容（明文）加密成密文，再将密文传输给接收者，接收者再将密文还原成明文.已知按某种规则将明文“WELCOME TO OUR SCHOOL”加密成“ZBOZRJH QR LXO VZKLRI”，若接收者接收到密文“JLRA ORFH”，则明文为16.某次数学考试以65分为及格分数线，全班总平均分为66分，所有成绩及格的学生的平均分为71分，所有成绩不及格的学生的平均分为56分；为了减少不及格的人数，老师给每个学生的成绩都加5分，加分之后，所有成绩及格的学生的平均分为75分，所有成绩不及格的学生的平均分为59分．已知该班学生人数介于15至30人之间，则该班的学生人数总共有 人三、解答题（本大题共6个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（8分）如图所示，两圆12,O O 相交于PQ 两点，过P 点有两条直线AB 、CD ，直线AB 分别与两圆12,O O 交于点A 、B （A 、B 在P 点两侧），直线CD 分别与两圆12,O O 交11于点C 、D （C 、D 在P 点两侧），直线AC 与BD 交于点E. （1）证明：AQC BQD ∠=∠； （2）若120AQB ∠=︒，求E ∠．18.（9分）已知12,x x 是方程22(2)350x k x k k --+++=的实数根（12,x x 可相等） （1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k 取何值时2212x x +最大? 并求出最大值．19.（9分）不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+称为柯西不等式，其中,,,a b c d 都是实数 （1）证明柯西不等式；（2）若22326x y +≤，求证：|23|x y +≤20．（15分）已知抛物线C ：214y x =，直线:1l y kx =+（k 为任意实数）．直线l 与y 轴交于点F ，与抛物线C 交于A 、B 两点，直线:1m y =-，过A 、B 两点分别作m 的垂线，垂足分别为11,A B ．（1）证明：1AFA ∆、1BFB ∆（2）证明：11A FB ∆（3）以点F 为圆心，半径为1D 两点（A 、C 在y 轴同侧），|AC 线段AC 、BD 的长度，求|||AC21、（15分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC ：BC=4：3，点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x （秒）.（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．22.（10分）函数[]x称为高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[5.3]5=，[ 2.4]3-=-，[4]4=.对任意的实数x，1[]x x x-<≤.（1）证明：对于任意实数x，有1[][][2]2x x x++=；（2）解方程：56157 []85x x+-=.数学考试答案11． 2 12． 13． 12m ≤≤14．10010115． GOOD LUCK 16． 24 三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）如图所示，两圆12,O O 相交于PQ 两点，过P 点有两条直线AB 、CD ，直线AB 分别与两圆12,O O 交于点A 、B （A 、B 在P 点两侧），直线CD 分别与两圆12,O O 交于点C 、D （C 、D 在P 点两侧），直线AC 与BD 交于点E（1）证明：AQC BQD ∠=∠；（3分） （2）若120AQB ∠=︒，求E ∠．（5分）解答：（1）证明：由圆周角定理可得∠AQC=∠APC ，∠BQD=∠BPD 而∠APC=∠BPD ，故∠AQC=∠BQD （3分） （2）联接PQ ，∠E=∠ACD —∠EDC 由圆周角定理∠EDC=∠BQP 因为CPQA 四点共圆所以∠ACD=180°—∠AQP即∠E=（180°—∠AQP ）—∠BQP =180°—（∠AQP+∠BQP=180°—∠AQB =60° （8分）18．（9分）已知12,x x 是方程22(2)350x k x k k --+++=的实数根（12,x x 可相等） （1）证明方程的两根都小于0；（4分）（2）当实数k 取何值时2212x x +最大? 并求出最大值．（5分）解答：（1）证明：已知方程有两个实数根，则0∆≥，即：222(2)4(35)316160k k k k k --++=---≥，解得：443k -≤≤- ．．（2分）由韦达定理 22121231120,35()024x x k x x k k k +=-<=++=++>，所以两根都小于0 ．．．．．．．．．．．．．（4分）（2）2222212121222()2(2)2(35)106(5)19x x x x x x k k k k k k +=+-=--++=---=-++ ．．．．．．（6分）又∵443k -≤≤-，当4k =-时，2212x x +有最大值18 ．．．．．．．．．．．．（9分） 19．（9分）不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+称为柯西不等式，其中,,,a b c d 都是实数（1）证明柯西不等式；（4分）（2）若22326x y +≤，求证：|23|x y +≤（5分）解答：（1）证明：2222222222222222222222()()()()(2)2()0a b c d ac bd a c a d b c b d a c abcd b d a d abcd b c ad bc ++-+=+++-++=-+=-≥∴22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） （2）证明：2222223(23)32)2][(3))]356356x y x y x +=+≤++≤⨯=∴|23|x y +≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分） 20．（15分）已知抛物线C ：214y x =，直线:1l y kx =+，k 为任意实数．直线l 与y 轴交于点F ，与抛物线C 交于A 、B足分别为11,A B ．（1）证明：1AFA ∆、1BFB ∆（2）证明：11A FB ∆是直角三角形； （3）以点F 为圆心，半径为1点（A 、C 在y 轴同侧），||,||AC BD BD 的长度，求||||AC BD ． （5分）解答：（1）证明：设直线l 与抛物线C 的两交点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2141y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得2440x kx --= 由韦达定理12124,4x x k x x +==- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）11||1,||AA y AF =+=2114x y =∴11||1||AF y AA ===+=故1AFA ∆是等腰三角形，同理可证1BFB ∆是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） （2）∵1AFA ∆是等腰三角形， 11AA F AFA ∠=∠ ∴111802A AFAFA ︒-∠∠=同理111802B BFBFB ︒-∠∠=，故1111360()2A AFB BF AFA BFB ︒-∠+∠∠+∠=又知直线11,AA BB 平行，故11180A AF B BF ∠+∠=︒ 则1190AFA BFB ∠+∠=︒，∴1190A FB ∠=︒，11A FB ∆是直角三角形 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）（3）∵11||||1||1AC AF AA y =-=-= 12||||1||1BD BF BB y =-=-=∴2221212111||||(4)14416AC BD y y x x ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（15分） 21、（15分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC ：BC=4：3，点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x （秒）． （1）设△PBQ 的面积为y （cm 2），当△PBQ 存在时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （6分）（2）x 为何值时，△PBQ 的面积最大？并求最大值 （5分）（3）当点Q 在BC 上运动时，线段PQ 上是否存在一个点T ，使得在某个时刻△ACT 、△ABT 、△BCT 的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．（4分）解答：（1）设AC=4x ，BC=3x ，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，即：（4x ）2+（3x ）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm ，BC=6cm ；①当点Q 在边BC 上运动时，过点Q 作QH ⊥AB 于H ，∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴QH QB AC AB =，∴QH=85x ，y=12BP•QH=12（10﹣x ）•85x=﹣45x 2+8x （0＜x≤3）， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH′⊥AB 于H′， ∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH′∽△ABC ，∴'AQ QH AB BC =，即：'142106x QH -=，解得：QH′=35（14﹣2x ）， ∴y=12PB•QH′=12（10﹣x ）•35（14﹣2x ）=23514255x x -+（3＜x ＜7）；．．．．．．．．．（6分）∴y 与x 的函数关系式为：y=2248(03)535142(37)55x x x x x x ⎧-+<≤⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩；（2）解:①当Q 在边BC 上时，03x <≤，22448(5)2055y x x x =-+=--+则当3x =时，y 有最大值845……………．（8分） ②当Q 在边AC 上时，37x ≤<，223513172742()555220y x x x =-+=--，则当3x =时，y 有最大值845，综上可得，当Q 在点C 时，即3x =时△PBQ 的面积最大为845…（11分）（3）存在，当T 为△ABC 的重心时，满足△ACT 、△ABT 、△BCT 的面积均相等， 作AB 上的中线CD ，T 在CD 的三等分点上， 当0x =时PQ 与CD 的交点为D ，当3x =时PQ 与CD 的交点为C ，当03x <<时，点P 始终在CD 左侧，点Q 始终在CD 右侧，PQ 与CD 的交点由D →C ，必然在某个时刻经过点T ，所以线段PQ 上存在一个点T ，使CABPQCABPQTT CBADP 0Q 0P 1Q 1P 2Q 2得在某个时刻△ACT 、△ABT 、△BCT 的面积均相等.…（15分）22．（10分）函数[]x 称为高斯函数，它表示不超过x 的最大整数，例如[5.3]5=，[ 2.4]3-=- ，[4]4=．对任意的实数x ，1[]x x x -<≤．（1）证明：对于任意实数x ，有1[][][2]2x x x ++=；（5分） （2）解方程：56157[]85x x +-=． （5分） 解答：（1）证明：设[]x x m =+，m 为小数部分，满足01m ≤<，设[]x n =，①102m ≤<时 11[],[],[][]222x n x n x x n =+=++=， 22[]2x x m =+，∵021m ≤<，∴[2][2[]2][22]2x x m n m n =+=+=，∴1[][][2]2x x x ++= ……（2分） ②112m <<时 11[],[]1,[][]2122x n x n x x n =+=+++=+， 22[]2x x m =+，∵21m >，∴[2][2[]2][22]21x x m n m n =+=+=+，∴1[][][2]2x x x ++=，综上所述，对于任意实数x ，有1[][][2]2x x x ++=……………………….（5分）（2）设 56157[]85x x k +-==，k 为整数，∵1575x k -=，∴5715k x +=则3925610395[][][]8840k x k k +++===，由高斯函数性质： 1039103910391[]404040k k k +++-<≤，即1039103914040k k k ++-<≤….（8分） 解得1133010k -<≤，且k 为整数，故k 的值只能为0,1，0k =时，715x =经检验满足方程1k =时，1215x =经检验满足方程：所以方程的解为715x =或1215x =…………………………….………………………….（10分）。
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(二)
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1．（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．解答：解：a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，2（abc﹣ab）是偶数，∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，故选：C．点评：本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．2．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A．﹣1 B．C．2D．考点：分式的化简求值．分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c﹣1=1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1=ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1=（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1=（c﹣1）（a﹣1），∴原式=++=====﹣．故选D．点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．3．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．0考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：分类讨论．分析：利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．解答：解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．故本题选B．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（3分）设函数y=﹣x2﹣2kx﹣3k2﹣4k﹣5的最大值为M，为使M最大，k=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：二次函数的最值．专题：计算题．分析：由于M是最大值，那么M=，即M=﹣2k2﹣4k﹣5，于是求k=﹣的值即可．解答：解：∵y=﹣x2﹣2kx+（﹣3k2﹣4k﹣5），∴M==∴M=﹣2k2﹣4k﹣5，又∵M最大，∴k=﹣=﹣=﹣1．故选A．点评：本题考查了函数的最值．注意y最大值=即可．5．（3分）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．2008考点：因式分解的应用．专题：计算题；整体思想．分析：将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．解答：解：∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010=2010．故选B．点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．6．（3分）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：应用题．分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现交点．解答：解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．如图所示，显然这样的点有8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决，难度适中．7．（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A．11个B．12个C．13个D．14个考点：面积及等积变换．分析：由有六个面积为1的正方形组成的长方形，然后依据三角形的面积等于底乘以高，抓住底与高一个为2，一个为1，然后从一边开始，依次求解即可求得答案，小心别漏解．解答：解：∵如图是六个面积为1的正方形组成的长方形，∴以AB为边：△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，以AC为边：△ACG，以AD为边：△ADE，以AE为边：△AEF，以AF为边：△AFG，以BC为边：△BCF，以BD为边：△BDE，以BE为边：△BEF，以BF为边：△BFG，以CD为边：△CDF，以CE为边：△CEG．故以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有14个．故选D．点评：此题考查了三角形的面积问题．此题属于易错题，难度较大，解题的关键是注意依次数得，小心别漏解．8．（3分）锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC 的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理．分析：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，根据三角形的内角和定理求出∠BAD+∠E=90°，推出∠C=∠E，根据三角形的外接圆的圆心的定义求出即可．解答：解：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，∴∠BAD+∠E=90°，∵∠C+∠BAD=90°，∴∠C=∠E，∴E在△ABC的外接圆上，∵∠ABE=90°，∴AE是直径，∴AD一定过△ABC的外心．故选C．点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠E=∠C是解此题的关键．9．（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（）A．30升B．40升C．50升D．60升考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：首先设出桶的容积为x升，倒出两次后纯农药的容积为（x﹣20﹣）升，倒入两次水后水的容积为【20﹣（1﹣）×10+10】升，由农药与水的容积之比为3：5列出方程解答即可．解答：解：设桶的容积为x升，根据题意列方程得，（x﹣20﹣）：[20﹣（1﹣）×10+10]=3：5，整理得x2﹣48x+320=0，解得x1=40，x2=8（不合题意，舍去），答：桶的容积为40升．点评：解答此题需要计算农药与水占总容积的百分比，紧扣容积不变，再据题意，分别求得纯农药和水的容积，建立方程问题得解．10．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A．4B．5C．D．考点：正方形的性质；平行线之间的距离；勾股定理．分析：过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．解答：解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B．点评：此题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．难度中等．二、填空题（每小题6分，满分42分）11．（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于76．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．专题：计算题．分析：根据相对的两个面上两数之和都相等列出等式，并整理出a﹣b，b﹣c，a﹣c，的值，然后把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca整理分解因式，然后再代入数据计算即可．解答：解：根据题意得，a+13=b+9，b+9=c+3，c+3=a+13，整理得a﹣b=﹣4，b﹣c=﹣6，a﹣c=﹣10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=×16+×36+×100，=8+18+50，=76．故答案为：76．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，把多项式乘以2后因式分解是解题的关键．12．（6分）Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=﹣．考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．分析：根据锐角三角函数关系式，得sin2A+sin2B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．解答：解：∵sinA和sinB是方程的两个根，∴sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sin2A+sin2B=1，∴2+2k=1，解得，k=﹣．故答案为：﹣．点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．13．（6分）在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=2．考点：三角形的重心；勾股定理．分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=CD，CE=AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形．再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长．解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD．连接AF，BF．∵AD=DB，FD=DC，∴四边形ACBF为平行四边形，∵ED=CD，∴CE=CD，∵CE=AB，∴CD=AB，∴CD=AB，∴AB=CF，∴ACBF只能为矩形．设DE为a，则CE=2a，AD=3a，算出AE2=8a2，CE2=4a2，又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，∴a=，∴AB=6×=2，∴BC==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键．14．（6分）方程的解为．考点：无理方程．分析：首先两边进行平方，然后移项合并同类项，再两边平方求解．解答：解：两边平方得：3x+2﹣2+3x﹣2=4移项得：2=6x﹣4两边平方得：36x2﹣16=36x2﹣48x+16解得：x=，检验：当x=时：原方程的左边=右边，∴x=是原方程的解．故答案为．点评：本题主要考查解无理方程，关键在于首先对方程两边分别平方已达到去根号的目的．15．（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．考点：多边形的对角线．专题：计算题．分析：根据n边形的对角线有n（n﹣3）条，将正八边形的边数代入可求出对角线的总数，而正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，由此可得出答案．解答：解：正八边形的对角线条数=×8×（8﹣3）=20，又∵正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，∴在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．故答案为：12．点评：本题考查多边形的对角线的知识，关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系n（n ﹣3），另外要知道正八边形的每条边均有2条对角线与之平行．16．（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个．考点：数的整除性．专题：新定义．分析：首先根据正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，可得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数），然后分别分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇异数的特点即可求得答案．解答：解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．∴27=3×3×3=33，是奇异数（第一类）；42=2×3×7不是奇异数；69=3×23是奇异数（第二类），111=3×37是奇异数（第二类），125=53是奇异数（第一类），137是质数，不是奇异数，343=73是奇异数（第一类），899=900﹣1=（30﹣1）（30+1）=29×31是奇异数（第二类），3599=3600﹣1=（60﹣1）（60+1）=59×61是奇异数（第二类），7999=8000﹣1=203﹣1=（20﹣1）（202+20+1）=19×421是奇异数（第二类）．因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个．故答案为：8．点评：此题考查了学生的分析能力，考查了质数的性质与数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是找到奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．17．（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN 上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．专题：数形结合．分析：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB，易得∠BOA′=90°，利用等腰直角三角形的性质可得半径的长．解答：解：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB．∴A′B=2，∵A是半圆的一个三等分点，B是的中点，∴∠BON=30°，∠A′0N=60°，∴△A′OB是等腰直角三角形，∴OA′=2．故答案为2．点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点；作出整个圆的辅助性是解决本题的难点．三、解答题（每小题16分，满分48分）18．（16分）已知二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．（2）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．解答：解：（1）∵y=mx2+（m﹣3）x﹣3=（mx﹣3）（x+1），∴x1=﹣1，x2=，∴AB=﹣（﹣1）=4，即m=1；∴y=x2﹣2x﹣3，得A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，∵AC==，∵AM=CM，∴AM==，∴R=，S=π．（2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3）；当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，得﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣3（x﹣3），解得x=2或3，∴或（舍去），∴P（2，﹣3）；当S△PBE：S△BED=1：2时，同理可得P（，﹣），故存在P（2，﹣3）或P（，﹣）．点评：此题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．19．（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．考点：数的整除性．专题：计算题．分析：根据题意得到m+11=n+9，从（m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值．解答：解：据题意m+11=n+9，且整除m•n+9m+11n+145，而m•n+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得①或②，在①时，得每人捐款25元，在②时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元．点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征．20．（16分）已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．考点：切线的性质．分析：利用切线的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值．解答：解：∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．∴△ADE∽△DCE∴∴DE2=AE•EC∴DE2=（AC+EC）EC∵DE+EC=6∴DE=6﹣EC∴（6﹣EC）2=AC•EC+EC2∵∠CBD=∠DAC，∴∠CDE=∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CDE=∠BCD．∴BC∥DE．∴△ABD∽△DCE，∴∴AB•EC=18∵AB：AC=3：2设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有解得：∴AB=9，AC=6，EC=2∴DE=4∵BC∥DE．∴△AFC∽△ADE∴=∴∴FC=3可以证明△DFC∽△BFA∴∴FA=∴∴AD=6∴DF=∵DF•AF=BF•FC∴∴BF=∴BC==．故BC的长为．点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．。
2012年湖北省黄石市中考数学试卷
B．3
2．（3 分）（2012•黄石）某星球的体积约为 6635421km3，用科学记数法（保留三个有效数字）表示为 6.64×10nkm3，则 n=（ ）
A 4
．
B．5
3．（3 分）（2012•黄石）已知反比例函数 y= （b 为常数），当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，则一次函数 y=x+b
C． ﹣3
C．6
C．三
C．26
C．
C．
28
23
26
D﹣ ．
D7
．
D四
．
D 27
．
D
．
D
．
A x=1，y=3
．
B．x=3，y=2
8．（3 分）（2012•黄石）如图所示，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿 EF 对折，使得点 C 与点
A 重合，则 AF 长为（ ）
A cm ．
动，经过 t 秒后，以 O、A 为顶点作菱形 OABC，使 B、C 点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以 P（0，4）为
圆心，PC 为半径的圆恰好与 OA 所在的直线相切，则 t= _________ ．
三、全面答一答（本题有 9 个小题，共 72 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有 点困难，那么把自己能写出的解答尽量写出来.
②三角形三条中线的交点就是三角形的重心．
③证明两三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，SSA 及 HL 等．
15．（3 分）（2012•黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出
1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
2012年黄高自主招生考试数学试卷
黄高2012年自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1、若不等式组⎩⎨⎧>-<+mx x x 247的解集是3>x ，则m 的取值范围是A 、3>mB 、3≥mC 、3≤mD 、3<m 2、在ABC ∆中，090=∠ACB ，015=∠ABC ，1=BC ，则=AC A 、32+ B 、32- C 、3.0 D 、23- 3、如图，AB 为⊙O 的一固定直径，自上半圆上一点C 作弦AB CD ⊥，OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点PA 、到CD 的距离不变B 、位置不变C 、等分D 、随C 点的移动而移动4、已知x x y -+-=51（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为A 、122-B 、224-C 、223-D 、222-5、已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面圆上一点，点P 在OM 上。
一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿OM 将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是A 、B 、C 、D 、 6、已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了 A 、6圈 B 、5.6圈 C 、7圈 D 、8圈7、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤)(b am m b a +>+，)1(≠m 其中正确的结论有A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 8、如图，正ABC ∆中，P 为正三角形内任意一点，过P 作BC PD ⊥，AB PE ⊥，AC PF ⊥连结AP 、BP 、CP ，如果233=++∆∆∆PCD BPE APF S S S ，那么ABC ∆的内切圆半径为 A 、1 B 、3 C 、2 D 、23 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9、如图，如果 所在位置的坐标为)2,1(--，所在位置的坐标为)2,2(-，那么 所在位置的坐标为 。
2012年自主招生考试数学试卷1
2012年高中自主招生考试理综试卷注意事项：1. 本试卷由数学、物理及化学三部分构成，数学1—8页；理化9—12页； 2．分值设置：数学100分，物理40分，化学40分，共180分； 3．考试时间：数学、物理及化学同场考试，时间为150分钟.4．答卷前，务必将自己的姓名、考号用钢笔（圆珠笔）写在每张试卷密封线内相应的位置上.5．考试结束后，考生须将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷一并交回．数学部分第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入第Ⅱ卷选择题答题表中相应题号下的方格内，填错或不填均为零分. 1. 下列运算正确的是A ．236(2)8a a -=-B ．3362a a a +=C ．632a a a ÷=D ．3332a a a ⋅= 2. 若某三角形的两边长分别为6和8，则下列长度的线段能作为其第三边的是A ．2B ．10C ．14D ．163．实数aA . 7B . -7C . 2a -15D . 无法确定 4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点A 、C 分别 在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切．若点A 的坐标 为（0，4），则圆心M 的坐标为A ．（25，﹣2） B ．（25-，2） C ．（﹣2，25）D ．（2，25-）（第3题图）（第4题图）5. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i =1i =1∶1，则两个坡角的和为A ．o 60B ．o 75C ．o 90D ．o 1056．如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为 A ．9B ．10.5C ．12D ．157. 如图，函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1）， （2，2）两点．当21y y <时，x 的取值范围是 A ．x ＞-1 B ．-1＜x ＜2 C ．x ＜2D . x ＜-1或x ＞28．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的 面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是(第6题图)(第7题图)A BCDEF PA ．B ．C ．D ．Ａ ＦＣＤＢＥ （第12题图）2012年高中自主招生考试数 学 试 卷总 分 表选择题答题表第Ⅱ卷 （非选择题 共76分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将结果直接填写在每题的横线上. 9．分解因式：2224xy xy y -+-= .10．将二次函数2x y =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．11．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm ，则此扇形的面积是 2cm （结果保留π）． 12．如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形； ④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF是正方形.其中错误的是 （只填序号）. 13．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则直线y kx b =+的解析式为 .B n 的坐标是 ．三、解答题：（本大题共8个小题，满分61分）14.（本题满分5分）化简：22222369x y x y yx y x xy y x y --÷-++++．15.（本题满分6分）已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．16.（本题满分6分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．（1）请用树状图表示出三位评委给出A选手的所有可能的结论；（2）比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A，进行下一轮比赛的概率是多少？17.（本题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．EADB C18.（本题满分8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，CA =CB ，CD ∥AB 与OA 的延长线交于点D ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若∠ACB =120°，OA = 4，求CD 的长．19.（本题满分8分）如图，已知菱形OABC 的边长为6，O 点为坐标原点，C 点在x 轴上，D 为BC 边的中点，双曲线y =xk(k >0)经过A 、D 两点. （1）求反比例函数y =xk的解析式； （2）若点P 为x 轴上一点，且满足PD =AD ，求出点P 的坐标.ABC DO20．（本题满分10分）为迎新年，某公司用10台机器生产A、B两种不同的龙年吉祥玩具，每台机器只生产其中一种玩具，每天所需生产原料总数不超过950千克，每天生产的B种玩具不小于A种玩具的件数，每天连续工作10小时.下表是这种机器生产不同玩设生产A种玩具的机器x台，则生产B种玩具的机器有（10-x）台.（1）求x的取值范围.（2）若A种玩具每2件包装成一盒，B种玩具每4件包装成一盒，每天生产的各种玩具恰好包装完．．．．．.A种玩具每盒可获利5元，B种玩具每盒可获利6元.(包装了才能销售)怎样安排机器生产使每天生产玩具获利最大.（3）若用6台机器生产A种玩具，4台机器生产B种玩具，且将A种玩具2件，B种玩具4件混合包装成一盒，这样安排后，每天生产出来的玩具不能成套包装的有多少件？21．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ，①用m 的代数式表示点P 的坐标；②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
江苏省重点高中2012年单独招生考试数学题目
D CB A P(P a )F(N)o P(P a )F(N)o P(P a )F(N)o o F(N)P(P a )(第5题图)江苏省重点高中2011年单独招生考试数学试题满分：120分 时间：120分钟 得分______________一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，1、下列计算中错误的是 A 、4－1＝41B 、（π－3）0＝1C 、3+25＝55D 、（a 4）2=a 8 2、如果一个正方体的边长增加了一倍，那么这个正方体的体积增加了 A 、2倍 B 、4倍 C 、7倍 D 、8倍 3、某校初三（1）、（2）、（3）班分别有n 1、n 2、n 3人，一次数学测试的平均成绩分别为x 1、x 2、x 3，下列三种说法： ①三个班的平均成绩是31（x 1＋x 2＋x 3） ②只有当n 1＝n 2＝n 3时，三个班的平均成绩才是31（x 1＋x 2＋x 3） ③三个班的平均成绩是31（n 1x 1＋n 2x 2＋n 3x 3） 其中正确说法的个数是A 、0B 、1C 、2D 、34、将一重物放在一水平桌面上，在受力面积固定的情况下，给这一物体逐步施加竖直向下的压力F ，那么压强P 与压力F 之间的函数关系的图像大致是5、如图，△ABC 的内切⊙O 与各边相切于D 、E 、F ，则点O 是△DEF 的A 、三条中线交点B 、三条高线交点C 、三条角平分线交点D 、三边中垂线交点 6、函数y ＝kx 2－7x －7的图像和x 轴有交点，则k A 、k ＞－47 B 、k ≥－47且k ≠0 C 、k ≥－47 D 、k ＞－47且k ≠0 7、在函数y ＝－x2、y ＝－x ＋1、y ＝x 2、y ＝2x 的图像中，是中心对称图形且对称中心是原点的图像共有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个DCBA（第13题图）6543218、△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB－3）（2sinA－3）＝0，则△ABC一定是A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、有一个角是60°的三角形9、两个半径不相等的圆的圆心都在x轴上，这两个圆的一个公共点的坐标为（－3，0），则这两个圆的公切线共A、1条B、2条C、3条D、1条或3条10、有5个数，其中任两个数的和分别为：4、5、7、7、8、9、10、10、11、13，则将这5个数从小到大排列后，中间的一个数是A、3B、4C、5D、6二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请把答案填在题中的横线上。
绵阳南山中学(实验学校)2012年(高中)自主招生考试数学试题及答案
保密★启用前绵阳南山中学(实验学校)2012年自主招生考试数 学 试 题本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题,共36分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求.)1. |-25|的平方根是( )A .625B .5C .-5D . ±5 2.下列运算正确的是( ) A .236(2)8a a -=- B .3362a a a += C .632a a a ÷= D .3332a a a ⋅= 3.下左图是一个由小立方块所搭的几何体,则从不同的方向看所得到的平面图形中(小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数),不正确的是( )4.有两个口袋,其中甲袋中有写着1,2,3,4的四张牌,乙袋中有写着2,3,4的三张牌.从两袋中各取出一张牌,若每张牌被取出的机会相等,则两张牌上数字之和大于6的概率为( ) A .12B .13 C .14D .16第3题图12142A 12242B 1111123C 1111123D5.已知圆柱的底面半径为r ,高为h ,若圆柱的体积为1,表面积为12,则11r h+等于( ) A .2 B .3 C .6 D .126.创办于1908年的四川省绵阳南山中学,2012年3月27日迎来了她104周年的校庆日.在校庆后,学生会记者随机采访了部分观看校庆文艺节目的学生,并把调查结果绘成了下面的统计图:已知此次被调查的男、女学生人数相同.根据图中信息,有下列判断: ①在被调查的学生中,持非常满意态度的人数占53%; ②本次共调查了200名学生; ③在被调查的学生中,有30%的女生持满意态度; ④在我校高一、高二参加各种社团的900名学生中,根据调查结果估计持满意与非常满意态度的人数之和超过了720人.其中,正确的判断有( )A .4个B .3个C .2个D .1个 7.如图:平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ 、A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1I 1J 1,其中C 点与J 1点重合,E 点与H 1点重合,则∠DCA 1的度数是( ) A .96 B .108 C .118 D .1268.已知正△ABC 内接于圆O ,四边形DEFG 为半圆O 的内接正方形(D 、E 在直径上,F 、G 在半圆上的正方形),S △ABC =a ,S 四边形DEFG =b ,则ab的值等于( ) A .2 B .62 C .335 D .153169.根据下左图中已填出的“√”和“×”的排列规律,把②、③、④还原为“√”或“×”且符合左图的排列规律,下面“”中还原正确的是( )10.若方程()()0x a x b x ---=的两根为c 、d ,则方程()()0x c x d x --+=的两根为第6题图 12264462女生人数男生人数一般满意非常满意10203040506070满意28%19%一般非常满意A. B. C.第9题××××④③②①×√√×××××√√√√√×××√××××√√×√第7题图 (H 1)I 1(J 1)G 1F 1E 1D 1C 1B 1A 1J I H GF E D CB A( )A .a 、bB .-a 、-bC .c 、dD .-c 、-d11.如左图:△ABC 是边长3的正三角形,点D 在线段BC 上,点E 在射线AC 上,点D 沿BC 方向从B 点以每秒1个单位的速度向终点C 运动,点E 沿AC 方向从A 点以每秒2个单位的速度运动,当D 点停止时E 点也停止运动.设运动时间为t 秒,若△DEC 的图形的面积用y 来表示(规定:当三点在一条直线上时,三点组成的三角形面积为零),则y 关于t 的函数图象是( )o第11题图D.C.B.A.yty4321o123ty4321o123t123t43214321321oyEC D BA12.如右图:过△ABC 的顶点A 作对边BC 上的中线AE 与高AD ,E 为BC 中点,D 为垂足.规定A DEm BE=,特别地,当D 与E 重合时,规定0A m =.对B m 、C m 作类似的规定.给出下列结论:①若∠C =90︒,∠A =30︒,则11,2A C m m ==; ②若1A m =,则△ABC 为直角三角形;③若>1A m ,则△ABC 为钝角三角形;若<1A m ,则△ABC 为锐角三角形; ④若0A B C m m m ===,则△ABC 为等边三角形.其中,正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷(非选择题,共114分)二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.) 13.函数11y x =-的自变量x 的取值范围是 .14.将如右图所示的正方体的展开图重新折叠成正方体后,和“成”字相对面上的汉字是 . 15.下图是由6个正方形构成的长方形,若最小正方形的面积为1,则这个长方形的面积等于____________.第12题DE CBA第14题图 成 功 祝 你 南 山16.上图为△ABC 与⊙O 的重叠情形,其中BC 为⊙O 的直径.若︒∠70＝A ,BC ＝2,则图中阴影部份的面积等于____________.17.如上图:在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45︒,∠BAC 的平分线与BC 交于点D ,M 、N 分别是AD 、AB 上的动点,则MB +MN 的最小值等于____________. 18.如右图,⊙A 的半径为r ,⊙O 的半径为4r ,⊙A 从图中所示位置出发沿⊙O 的表面作无滑动的滚动,当公转一周时,自转的转数为_________. 三.解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分) (1)计算:01272cos30|13|( 3.14)(32)π--︒--+--+;(2)先化简,再求值:22221(1)11x x x x x x ++÷++--,其中21x =-.20.(本小题满分12分)小王从A 地前往B 地,到达后立刻返回,他与A 地的距离y (千米)和所用的时间x (小时)之间的函数关系如图所示.(Ⅰ)小王从B 地返回A 地用了多少小时？(Ⅱ)求小王出发6小时后距A 地多远？ (Ⅲ)在A 、B 之间有一C 地,小王两次经过C 地的时间差为2小时20分,求A 、C 两地相距多远？21.(本小题满分12分)某商业集团新进了40台空调机,60台电冰箱,计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表:空调机 电冰箱甲连锁店200 170 乙连锁店160 150 第17题图第15题图 第16题图 CBOAD E 第20题图E O D C y (千米)x (小时)73240B A AO 第18题图设集团调配给甲连锁店x 台空调机,集团卖出这100台电器的总利润为y (元). (Ⅰ)求y 关于x 的函数关系式,并求出x 的取值范围; (Ⅱ)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润,问该集团应该如何设计调配方案,使总利润达到最大？ 22.(本小题满分12分)如图,反比例函数ky x(x >0,且k 为正常数)的图象经过四边形OABC 的顶点A 、C ,∠ABC ＝90°,OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角,AB ∥x 轴,将△ABC 沿AC 翻折后得△AB 1C ,B 1点落在OA 上. (Ⅰ)求四边形OABC 的面积; (Ⅱ)若以OA 为直径的圆经过点C ,且四边形OABC 的面积为22,求直线OB 的解析式.23.(本小题满分12分)如图,AB 为⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,E 为⊙O 的半圆弧上一动点(不与A 、B 重合),过点E 的直线分别交射线AM 、BN 于D 、C 两点,且CB ＝CE . (Ⅰ)求证:CD 为⊙O 的切线;(Ⅱ)连结AC 与BE 交于点H ,若tan ∠BAC ＝22,求AH CH 的值.24.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,点A (-1,0),点B (0,-3),点C 在x 轴上.已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点,且它的对称轴为x =1,点P 是在直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点(点P 与B 、C 不重合),过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F . (Ⅰ)求该二次函数的解析式; (Ⅱ)在对称轴上求一点M ,使得MA +MB 取到最小值; (Ⅲ)若设点P 的横坐标为m ,用含m 的代数式表示线段PF 的长并求△PBC 面积的最大值,及此时点P 的坐标.25.(本小题满分14分)如图,OA =10是半圆C 的直径,点B 是该半圆周上一动点(点B 与点第23题图EHM NCDOAB第22题图B 1CB A xyO 第24题y C x O F x=1P BAO 、点A 不重合),连结OB 、AB ,并延长AB 至点D ,使DB =AB ,过点D 作直线OA 的垂线,分别交直线OA 、直线OB 于点E 、F ,点E 为垂足,连结CF . (Ⅰ)当∠AOB =30°时,求弧AB 的长度; (Ⅱ)当DE =8时,求线段EF 的长; (Ⅲ)在点B 运动过程中,是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似?若存在,请求出此时OE 的长度;若不存在,请说明理由.第25题图 F BD O AE C绵阳南山中学(实验学校)2012年自主招生考试数学答案及评分标准一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C C B B D C ACC二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.) 13.1x > 14.你 15.143 16.718π 17.4 18.4 三.解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分) (1)原式=1333(31)+132----+…………6分3232(32)(32)-=+-+-……………………7分32(32)22=+--=+.………………………8分 (2)原式=222(1)21(1)(1)1x x x x x x x +-++÷-+-……………3分 22211(1)(1)21x x x x x x x x +-=⨯=-+++………………………6分 当21x =-时,原式=1222=.…………………………8分 20.(本小题满分12分)(Ⅰ)小王从B 地返回A 地用了4小时.……………2分(Ⅱ)小王出发6小时,∵6>3,可知小王此时在返回途中. 设DE 所在直线的解析式为y =kx +b ,由图象可得:324070k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得60420k b =-⎧⎨=⎩.………5分 ∴DE 所在直线的解析式为60420(37)y x x =-+≤≤. 当x =6时,有60642060y =-⨯+=,∴小王出发6小时后距A 地60千米.………7分 (Ⅲ)设AD 所在直线的解析式为1y k x =,易求180k =, ∴AD 所在直线的解析式为80(03)y x x =≤≤.……9分设小王从C 到B 用了0x 小时,则去时C 距A 的距离为024080y x =-,返回时,从B 到C 用了(073x -)小时,这时C 距A 的距离为00760[3()]420100603y x x =-+-+=+,由002408010060x x -=+,解得01x =.故C 距A 的距离为024080160x -=米.……………………12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱(70-x )台, 调配给乙连锁店空调机(40-x )台,电冰箱(x -10)台,……………1分则y =200x +170(70-x )+160(40-x )+150(x -10),即y =20x +16800.……………3分∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≥-≥,010,040,070,0x x x x ∴10≤x ≤40. ……………………………5分 ∴y =20x +16800(10≤x ≤40)………………………………6分 (Ⅱ)按题意知:y =(200-a )x +170(70-x )+160(40-x )+150(x -10), 即y =(20-a )x +16800. ………………8分 ∵200-a ＞170,∴a ＜30. …………………9分当0＜a ＜20时,x =40,即调配给甲连锁店空调机40台,电冰箱30台,乙连锁店空调0台,电冰箱30台; …………………………………10分当a =20时,x 的取值在10≤x ≤40内的所有方案利润相同; …………………………………11分当20＜a ＜30时,x =10,即调配给甲连锁店空调机10台,电冰箱60台,乙连锁店空调30台,电冰箱0台. …………………………………12分22.(本小题满分12分)(Ⅰ)过C 作x 轴的垂线,交x 轴于D 点.令C (,ka a).…………1分 因AB ⊥BC ,所以AB 1⊥B 1C ,由OC 是∠AOD 的平分线,所以CD =B 1C . 又CB =B 1C ,所以CB =CD .从而B 的坐标是(2,k a a ),A 的坐标是(2,2a ka).………3分于是AB =2a ,OD =a ,BD =2ka.…………………4分故S 四边形OABC =S 梯形OABD -S △OCD =121()222a k k a a k a a+⨯-⨯=.………………6分 (Ⅱ)由四边形OABC 的面积为22,得=22k .……………8分 以OA 为直径的圆经过点C ,则AC ⊥OC . 可证得∠COD =∠ACB ,于是△ABC ∽△CDO ,所以AB BC CD DO=,代入得2ka a k a a=,即42216,2a k a ==∴=.……………10分B 的坐标是(2,22).令OB 的方程为y =mx ,代入得222m =,即得2m =,于是OB 的解析式为2y x =.…………………12分23.(本小题满分12分)(Ⅰ)连接OE .……………1分 ∵OB ＝OE ,∴∠OBE ＝∠OEB .∵BC ＝EC ,B 1C BA xy DO∴∠CBE ＝∠CEB . ………2分 ∴∠OBC ＝∠OEC .∵BC 为⊙O 的切线,∴∠OEC ＝∠OBC ＝90°,…………3分 ∵OE 为半径,∴CD 为⊙O 的切线.……………4分 (Ⅱ)延长BE 交AM 于点G ,连接AE ,过点D 作DT ⊥BC 于点T .因为DA 、DC 、CB 为⊙O 的切线,∴DA ＝DE ,CB ＝CE .在Rt △ABC 中,因为tan ∠BAC ＝22,令AB ＝2x ,则BC ＝ 2 x .∴CE ＝BC ＝ 2 x .………………………………………6分 令AD ＝DE ＝a ,则在Rt △DTC 中,CT ＝CB －AD ＝ 2 x －a , DC ＝CE ＋DE ＝ 2 x ＋a ,DT ＝AB ＝2x ,∵DT 2＝DC 2－CT 2, ∴(2x )2＝( 2 x ＋a )2－( 2 x －a )2. ……………7分 解之得,x ＝ 2 a . ………………8分 ∵AB 为直径,∴∠AEG ＝90°.∵AD ＝ED ,∴AD ＝ED ＝DG ＝a . ∴AG ＝2a .…………………………………………9分 因为AD 、BC 为⊙O 的切线,AB 为直径, ∴AG ∥BC .所以△AHG ∽△CHB . ∴AH CH ＝AG CB ＝2a 2 x . ……………………………………………11分 ∴AHCH＝1. ……………………………………………12分 24.(本小题满分12分)(Ⅰ)令二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠,由已知可得:1203b aa b c c ⎧-=⎪⎪-+=⎨⎪=-⎪⎩,解之得332333a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩, 于是其解析式为2323333y x x =--,即23(23)3y x x =--.…………………4分(Ⅱ)由于M 在对称轴上,所以MA +MB =MB +MC ,故M 点为直线BC 与对称轴的交点. 由对称轴为x =1且点A (-1,0),于是点B (3,0),令直线BC 的方程为y =kx +b ,则33,3303b b k b k ⎧=-⎧-=⎪⎪∴⎨⎨+=⎪=⎩⎪⎩,于是BC 的方程为333y x =-.…………6分 当x =1时得233y =-,于是点M 的坐标为23(1,)3-.…………8分 T GB AOD CNMHE(Ⅲ)在BC 的方程333y x =-中,令x =m ,可得F 的坐标是F (m ,333m -). 又点P 的坐标是P (m ,2323333m m --). …………9分 于是PF =2233233(3)(3)33333m m m m m ----=-+,其中0<m <3.…10分21333(3)223BCP BPF CPF S S S PF m m ∆∆∆=+=⨯⨯=-+ 223339(3)[()]2224m m m =-+=--+. 因为0<m <3,所以,当32m =时,BCP S ∆取到最大值938. 此时点P 的坐标是(353,24-).…….……………12分 25.(本小题满分14分)(Ⅰ)连结BC ,∵OA =10 ,CA =5, ∠AOB =30°,∴∠ACB =2∠AOB =60°, ∴弧AB 的长=35180560ππ=⨯⨯.……4分(Ⅱ)连结OD ,∵OA 是⊙C 直径,∴∠OBA =90°.又∵AB =BD ,∴OB 是AD 的垂直平分线,∴OD =OA =10. 在Rt △ODE 中,OE ==-22DE OD 681022=-, ∴AE =AO －OE =10-6=4. 由∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ,∠OEF =∠DEA , 得△OEF ∽△DEA ,∴OE EF DE AE =,即684EF=,∴EF =3.……8分 (Ⅲ)设OE =x .①当交点E 在O 、C 之间时,由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB . 当∠ECF =∠BOA 时,此时△OCF 为等腰三角形,点E 为OC 中点,即OE =25;..……9分 当∠ECF =∠OAB 时,有CE =5-x , AE =10-x ,∴CF ∥AB ,有CF =12AB ,∵△ECF ∽△EAD , ∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得:310=x ,即OE =310..……10分 C E AO DBFFBDO AEC第 11 页 共 11 页 ②当交点E 在点C 的右侧时,∵∠ECF ＞∠BOA ,∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能是∠ECF =∠BAO .连结BE ,∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线,∴BE =AB =BD ,∴∠BEA =∠BAO ,∴∠BEA =∠ECF ,∴CF ∥BE , ∴OE OC BE CF =. ∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠,∴△CEF ∽△AED ,∴CF CE AD AE=, 而AD =2BE ,∴2OC CE OE AE=, 即55210x x x -=-,解得417551+=x ,417552-=x ＜0. 因x >5,所以舍去x 2,∴OE =41755+..……12分 ③当交点E 在点O 的左侧时,∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF ,∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能是∠ECF =∠BAO . 连结BE ,得BE =AD 21=AB ,∠BEA =∠BAO , ∴∠ECF =∠BEA ,∴CF ∥BE ,∴OE OC BE CF =. 又∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠, ∴△CEF ∽△AED ,∴ADCF AE CE =, 而AD =2BE ,∴2OC CE OE AE =,∴5+5210+x x x=, 解得417551+-=x ,417552--=x ＜0(舍去),∴OE =51754-. 综上所述:存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时OE 的长度为:25、310、41755+、51754-..……14分 C E A O DB FC E AO D BF。
2012年高中自主招生数学模拟答案
2012年高中自主招生数学模拟试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1、如图一个长为m 、宽为n 的长方形（m ＞n ）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ A ）A 、2m n -B 、m －nC 、2m D 、2n 2、如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则y 与x 的函数图象大致是（ A ）A B C D3、设min ｛x,y ｝表示x,y 两个数中的最小值，例如min ｛0,2｝=0，min ｛12,8｝=8，则 关于x 的函数关系式可以表示为（ A ）A 、()()2222xx y x x <⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ B 、()()2222x x y x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩C 、y =2xD 、y=x ＋24、 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a ＞2），半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为则a 的值是（ B ）A 、B 、2+、 D 、25、如果把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ D ）A 、13 = 3+10B 、25 = 9+16C 、49 = 18+31D 、36 = 15+216、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，∠A=30º，BC=2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△EDC，此时，点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ C ）A 、30，2B 、60，2C 、60，2D 、60，3 7、某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12.则这种变速车共有（ B ）档不同的车速.A 、4B 、8C 、12D 、169、设a b ，是方程220120x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为___2011___.10、如图，平面内4条直线1234l l l l 、、、是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点A 、C 分别在直线14l l 、上，该正方形的面积是 9或5 平方单位．11、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0,0(>>=k x x k y 的图象经过点A （1, 2），B （m ，n ）（m ＞1），过点B 作y 轴的垂线,垂足为C.若△ABC 面积为２，则点B 的坐标为__（3，）32______. 12、 如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合时，点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边 MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积是___723π+_____．13、如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，⊙D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H ，此时两直角边与AD 交于E ，F 两点，则tan EFO ∠的值为34．14、已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为____8____． 三、解答题（第15、16小题各10分，第17、18小题各12分，共44分）15、如图，一个边长为16m 的正方形客厅，用边长分别为1m 和0.5m 的两种正方形地板砖铺设其地面．要求正中心一块是边长为1m 的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌．问铺好整个客厅地面共需要边长为1m 的大地板砖多少块？解：客厅面积=16×16=256m 2从图中可看出1m 一块，则0.5m 的正好两块，但是每个角上又少一个边长0.5m 的地板砖．大小的个数比为37：48则设大地板砖个数为x ，小的为y37x+48y=256① 37：48=x ：y②解得x=181（块）答：铺好整个客厅地面共需要边长为1m 的大地板砖181块．16、我们规定：等腰三角形的底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在△ABC 中，AB=AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）对于0°＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 0＜sadA ＜2 ．（2）sad36°=． （3）已知sinA 35=，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值． 解：（3）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，sin∠A=35． 在AB 上取点D ，使AD=AC ，作DH⊥AC，H 为垂足，令BC=3k ，AB=5k ，则，又在△ADH 中，∠AHD=90°，sin∠A=35．∴DH=ADsin∠A=125k ，=165k ．则在△CDH 中，CH=AC ﹣AH=45k ，．于是在△ACD 中，AD=AC=4k ，．由正对的定义可得：sadA==，即sad α17、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=35．点O 为BC 边上的动点，连结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，联结MN ．（1）当BO=AD 时，求BP 的长；（2） 点O 运动的过程中，是否存在BP=MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP=MN ；若不存在，请说明理由；（3）在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C，请直接写出当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值范围.解：（1）过点A 作AE⊥BC,由AB=5，cosB=35得BE=3 ∵CD⊥BC，AD//BC ，BC=6，∴AD=EC=BC -BE=3 当BO=AD=3时， 过点O 作OH⊥AB,则BH=HP ∵cos BH B BO =,∴BH=39355⨯= ∴BP=185（2）不存在BP=MN 的情况假设BP=MN 成立，则必有∠BOP=∠DOC过P 作PQ⊥BC，过点O 作OH⊥AB,∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC设BO=x ，则PO=x,由3cos 5BH B x ==，得BH=35x , ∴BP=2BH=65x ∴BQ=BP×cosB=1825x ，PQ=2425x ，∴OQ=1872525x x x -= ∵△PQO∽△DOC，∴PQ DC OQ OC =即244257625x xx =-，得296x = A B C D O P M N A B CD （备用图） A B C D O PM N Q H当296x =时，BP=65x =295＞5=AB ，与点P 应在边AB 上不符， ∴不存在BP=MN 的情况（3）情况一：⊙O 与⊙C 相外切，此时，0＜CN ＜6；情况二：⊙O 与⊙C 相内切，此时，0＜CN≤73. 18、已知：二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB ＜OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且A 点坐标为（－6，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF∥AC 交BC于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．解：(1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8∴B（2，0）、C （0，8）∴所求二次函数的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8 （2）∵AB＝8，OC ＝8，依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ，∵OA＝6，OC ＝8， ∴AC＝10.∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC.∴EF AC ＝BE AB . 即EF 10＝8－m 8 . ∴EF＝40－5m 4. 过点F 作FG⊥AB，垂足为G ，则si n∠FEG＝sin∠CAB＝45 .∴FG EF ＝45. ∴FG＝45·40－5m 4＝8－m. ∴S＝S △BCE －S △BFE ＝118)88)8)22m m m -⨯---（（（ 2142m m =-+（0＜m ＜8） (3)存在． 理由如下:∵S＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8.∵m＝4，∴点E 的坐标为（－2，0）∴△BCE 为等腰三角形．。
2012年华约自主招生数学含答案以及详解)
2012年高水平大学自主选拔学业能力测试 数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。
若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为______ A.7 B.7 C. 3 D.323.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为______A.1B. 2C. 3D. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。
如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是A .B.C.D.5．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。
A.0B.1. C-1 D.2 6．设lg lg lg 111()121418x x x f x =+++++，则1()()_________f x f x+=。
A 1 B 2 C 3 D 4 7． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．A 4/5B 3/5 C1 D -4/58．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，A C ，两点间的球面距离为（ ）A ．π4B ．π2C ．24πD ．22π 9. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(一)
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）在﹣0.3168中，用数字4替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是（）A．1B．3C．6D．8考点：有理数大小比较．专题：存在型．分析：先用4替换该数中任一不等于0的数，再根据负数比较大小的法则进行解答即可．解答：解：若使所得数最大，则替换后的数的绝对值应最小，当4替换3时所得数为：﹣0.4168；当4替换1时所得数为：﹣0.3468；当4替换6时所得数为：﹣0.3148；当4替换8时所得数为：﹣0.3164；∵0.4168＞0.3468＞0.3164＞0.3148，∴﹣0.4168＜﹣0.3468＜﹣0.3164＜﹣0.3148，∴﹣0.3148最大，∴被替换的数字是6．故选C．点评：本题考查的是有理数的大小比较，解答此题的关键是熟知两负数比较大小时，绝对值大的反而小．2．（3分）如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（）A．5a+8b+9c+8d+5e B．5a+8b+10c+8d+5eC．5a+9b+9c+9d+5e D．10a+16b+18c+16d+10e考点：比较线段的长短．分析：首先求出以A为端点线段的长度，类比依次求出B、C、D、E为端点的线段的长度，然后求出这些线段的长度总和．解答：解：以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e，以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e，以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e，以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e，以E为端点线段有EF，线段的长度为e，故这些线段的长度之和为5a+8b+9c+8d+5e，故选A．点评：本题主要考查比较线段的长短的知识点，解答本题的关键是求出A，B，C，D，E，F为端点的所有线段的条数，本题不是很难．3．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：根据二次函数的图象判断a、b、c的符号，再判断点P所在的象限．解答：解：抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线对称轴y=﹣＞0，且a＞0，∴b＜0，抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴点P（ac，b）在第四象限．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．4．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（）A．B．C．12 D．考点：勾股定理；特殊角的三角函数值．分析：分别延长AD、BC，两条延长线相交于点E，构造特殊三角形ABE，其中有一个锐角是60°，∠A是90°，那么另一个锐角是30°，在Rt△CDE中，∠E=30°，有CD=10，可求DE，那么AE的长就求出，在Rt△ABE中，利用∠E的正切值可求出AB，在Rt△ABD中，再利用勾股定理可求斜边BD的长．解答：解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=90°﹣60°=30°．∴在Rt△DCE中，∠E=30°，CD=10，∴DE=2CD=20，∴AE=AD+DE=20+4=24．∴在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠E=AE•tan30°=×24=8，∴在Rt△ABD中，BD====4．故选A．点评：关键是作辅助线，构造特殊直角三角形，然后利用了勾股定理、特殊三角函数值解题．5．（3分）给出一列数，在这列数中，第50个值等于1的项的序号是（）A．4900 B．4901 C．5000 D．5001考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：观察数字可知分子分母的和为k的分数的个数为k﹣1，并且分子分母的和为偶数的项中，有一个值等于1，依此即可求出第50个值等于1的项的序号．解答：解：第50个值等于1的项的分子分母的和为2×50=100，由于从分子分母的和为2到分子分母的和为99的分数的个数为：1+2+…+98=4851．第50个值等于1的项为．故4851+50=4901．故选B．点评：本题考查了规律型：数字的变化，有一定的难度，找到分子分母的和与分数的个数的关系，以及分子分母的和为偶数的项中，有一个值等于1的规律是解题的关键．6．（3分）如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB 为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（）A．B．C．D．考点：相切两圆的性质．专题：计算题．分析：分别求出CD和PD的长度，再计算CD+3PD：（1）由相似关系求PD的长度．连接O1O2，则O1O2过P点，三角形O1PD相似于O1BO2，由相似关系求出PD；（2）由切割线定理求CD的长度．这个要分两步做：①由勾股定理求出O1A、O1B的长度．在直角三角形O1O2A和O1AB中，分别用勾股定理求出O1A、O1B的长度；②由切割线定理求O1D的长度．由切割线定理O1A2=O1D•O1B，所以O1D可求出来．而解答：解：连接O1O2，∵AO2=1，O1O2=3，∴AO1==2，∴BO1===2，∴由切割线定理O1A2=O1D•O1B，得O1D==，∴CD=O1D﹣O1C=﹣2，又∵cos∠O2O1B==，则PD2=4+﹣cos∠O2O1B=4+﹣×=，∴PD=，∴CD+3PD=﹣2+3×=．故选D．点评：本题考查了相切两圆的性质，三角形的相似以及性质，是重点知识，要熟练掌握．二、填空题7．（5分）已知，且a+b+c≠0，那么直线y=mx﹣m一定不通过第二象限．考点：一次函数的性质；等式的性质；比例的性质．专题：计算题．分析：根据比例的性质得到3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm，相加即可求出m的值是5，得出y=5x ﹣5，即可得出答案．解答：解：∵，∴3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm，∴5a+5b+5c=（a+b+c）m，∵a+b+c≠0，∴m=5，∴y=mx﹣m=5x﹣5，∴不经过第二象限．故答案为：二．点评：本题主要考查对一次函数的性质，比例的性质，等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知求出m的值是解此题的关键．题型较好．8．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=30°．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：数形结合．分析：根据三角形外角的性质，可得：∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠AED=∠EDC+∠C．解答：解：∵△ADE中，AD=AE，∴∠ADE=∠AED；∵∠AED=∠EDC+∠C①，而∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD②；∴②﹣①得：2∠EDC=∠B﹣∠C+∠BAD；∵AB=AC，∴∠B=∠C；∴∠EDC=∠BAD=30°．故答案为：30°．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，难度不大，注意等腰三角形性质的掌握与运用．9．（5分）如图，在直角△ABC中，AB=AC=2，分别以A，B，C为圆心，以为半径做弧，则三条弧与边BC围成的图形（图中阴影部分）的面积为．考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：阴影部分的面积=三角形ABC的面积减去三个扇形的面积，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式计算即可．解答：解：三个扇形的面积S==，∴S阴影部分=S△ABC﹣S=•2•2﹣=2﹣．故答案为2﹣．点评：本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了三角形的面积公式．10．（5分）分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2=（2m+n）（m﹣n+1）．考点：因式分解-分组分解法．专题：计算题．分析：多项式有5项，采用分组分解法，1，2，5项结合，因式分解，再与3，4两项提公因式．解答：解原式=（2m2﹣mn﹣n2）+（2m+n）=（2m+n）（m﹣n）+（2m+n）=（2m+n）（m﹣n+1）．故答案为：（2m+n）（m﹣n+1）．点评：本题考查了分组解法进行因式分解，关键是分组后组与组之间可以继续进行因式分解．11．（5分）如图：四边形EFGH是一个长方形台球桌面，有白、黑两球分别位于A，B两点的位置上．试问，怎样撞击白球A，才能使白球A先碰撞台边GH，再碰撞FG，经两次反弹后再击中黑球B？（将白球A移动路线画在图上，不能说明问题的不予计分）考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：分别作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，然后连接A′B′，交HG、FG 于点M，N，再连接AM、BN，则白球A移动路线图可得．解答：解：（1）作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，（2）连接A′B′，分别交HG、FG于点M、N，（3）连接AM，BN，所以白球A的移动路线为A→M→N→B．点评：本题是考查了作图问题的应用与设计作图，利用轴对称的性质作出对称点是解题的关键，难度中等．12．（5分）有三位学生参加两项不同的竞赛，则每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有两位学生参加的概率为．考点：列表法与树状图法．分析：先根据题意画出树状图，从图上可知每项竞赛只许有两位学生参加的情况有6种，共有8种解答：解：用A、B分别表示两项不同的竞赛，如图所示：每项竞赛只许有两位学生参加的情况是AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，共6种，则每项竞赛只许有两位学生参加的概率为=．故答案为：．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x﹣2[x]+4=0的解为﹣4或﹣或﹣．考点：取整计算．分析：首先令[x]=n，可得方程3x﹣2n+4=0，即可求得x的值，然后由[x]≤x＜[x]+1，可得关于n的不等式组，解不等式组即可求得n的值，则代入方程即可求得x的值，注意要检验．解答：解：令[x]=n，代入原方程得3x﹣2n+4=0，即x=，又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1，整理得：3n≤2n﹣4＜3n+3，即﹣7＜n≤﹣4，∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6，∴当n=﹣4时，x=﹣4，当n=﹣5时，x=﹣，当n=﹣6时，x=﹣，经检验，x=﹣4或x=﹣或x=﹣是原方程的解．故答案为：﹣4或﹣或﹣．点评：此题考查了取整函数的知识．注意[x]≤x＜[x]+1性质的应用是解此题的关键．14．（5分）如图，是一个挂在墙壁上时钟的示意图．O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M 到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是16πcm．考点：弧长的计算．分析：作出辅助线得出△OMN≌△Q2OP，进而得出∠OPQ2=∠NOM=90°，得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，求出即可．解答：解：过M作MN⊥L于点N，过O作L的垂线交于点Q1，Q2，连接PQ2，则MN∥OQ2，∠M=∠MOQ2，∵OM=OQ2，MN=OP，∴△OMN≌△Q2OP，∴∠OPQ2=∠MNO=90°，∴点P在以OQ1为直径的圆上，同理点P在以OQ2为直径的圆上，从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，移动的路程为：2×8π=16π．故答案为：16π．点评：此题主要考查了弧长的计算以及物体移动路线问题，此题综合性较强得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆是解决问题的关键．三、解答题15．（12分）已知A、B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A、B两地出发，往返于A、B两地之间．如图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计）①在阅读如图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？②试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）．考点：一次函数的应用．专题：应用题；图表型．分析：（1）看图可知，折线图中有两段水平的线，故休息了两次，时间是两次之和（看横轴）；（2）根据题意，客车一小时行驶45千米，故它的图象是两小时一个来回．从左向右看，两条折线的第二个交点就是它们第二次相遇．求出EF的函数解析式就可以了，找到特殊点（9，0）和（10，45）用待定系数法可求出．解答：解：（1）依题意得：骑车人共休息2次；骑车人总共骑行90千米；骑车人与客车总共相遇8次；（2）已知如图：设直线EF所表示的函数解析式为y=kx+b．把E（9，0），F（10，45）分别代入y=kx+b，得，解得，∴直线EF所表示的函数解析式为y=45x﹣405，把y=20代入y=45x﹣405，得45x﹣405=20，∴．答：时骑车人与客车第二次相遇．点评：本题考查了一次函数的应用：通过表格当中的信息是解题关键；根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．此题比较复杂，首先是正确理解题意，这要求仔细观察图象，从图象中得到需要的信息，关键知道它们走的方向不同．此外还用到了待定系数法求函数解析式．16．（12分）如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC 都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）考点：旋转的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：①最外沿大五边形等于一个正三角形+2个直角三角形，故可求其面积；用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果（三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）；②结论应该是：如果两个等腰三角形有公共顶点，则该图形可以看成是一个三角形绕着该顶点旋转θ度形成的．解答：解：①S FDAE=S DFECB﹣S△ABD﹣S△ABC﹣S△ACE，=S△BCF+S△BDF+S△CEF﹣S△ABD﹣S△ABC﹣S△ACE，=××5+﹣××3﹣×2×4﹣×3×4，=6；②结论：如果两个等腰三角形有公共顶角顶点，顶角均为θ，则该图形可以看成一个三角形绕着该顶点旋转θ形成的．点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形面积的计算，解题的关键是要把握图形的变换．17．（12分）在三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，其中a﹣b=2，CD⊥AB于D，BD﹣AD=2，求△ABC三边的长．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：设出斜边长和斜边上的高，利用锐角三角函数表示出a与b的和，再利用已知条件中的两边之差求得a和b的值即可．解答：解：设AB=c，CD=hBD=a×sinA=a×，AD=b×cosA=b×，BD﹣AD=﹣==2a﹣b=2a+b=（）×c两边同时平方得：c2+2ab=c2 ∴2ab=c2，∵ab=ch，∴ab=ch=c2，∴4h=ca2+b2﹣2ab=8c2﹣2ch=8c2﹣c2=8c=4a=+b=﹣点评：本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用锐角三角函数值表示出两直角边的和，然后利用已知条件求得两直角边的值．18．（12分）按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．考点：因式分解的应用．分析：①将2与3分别代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案；②找到规律：设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，即可得当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，然后求解即可．解答：解：①∵a=2，b=3，c1=ab+a+b=6+2+3=11，∴取3和11，∴c2=3×11+3+11=47，取11与47，∴c3=11×47+11+47=575，∴扩充的最大新数575；②5183可以扩充得到．∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）﹣1，∴c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）﹣1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）﹣1=（a+1）2（b+1），即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）﹣1，∴e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又∵5183+1=5184=34×43，故5183可以通过上述规则扩充得到．点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数．19．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．①求实数k的值；②求二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式；③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；解二元一次方程；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：①把A（1，4）代入即可；②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根据S=S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（﹣2，﹣2），把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得出方程组，求出方程组得解即可；③充分利用（﹣2，﹣2）这一坐标，由△DFE相似于△DBO求得EF的长（含m），再表示出F到x轴的距离，利用△EDB的面积减去△EDF的面积即可建立S与m的函数关系④S=m（1+﹣m），当m=时，S最大，把m=代入即可求出s，从而得到E的坐标．解答：解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，答：实数k的值是4．②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，则：S=S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH，即：3=（1+c）（4+d）﹣×1×4﹣cd﹣d×1，cd=k=4，解得：c=2，d=2，∴B（﹣2，﹣2），把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得：，解得：，∴y=x2+3x，答：二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式是y=x2+3x．⑨把y=0代入y=x2+3x得：x2+3x=0，解得：x1=0，x2=﹣3，∴D（﹣3，0），即OD=3，∵B（﹣2，﹣2），∴由勾股定理得：OB=2，∵EF∥OB，∴△DFE∽△DBO，∴=，∴=，∴EF=2﹣m，过F作FC⊥x轴于C，根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：=，∴=，FC=S=S△EDB﹣S△EDF=DE×BM﹣FC×DE，即S=﹣m2+m，∴S与m的函数关系S=﹣m2+m．④S=﹣m2+m．当m=时，S最大，是，∴，答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是，此时E点的坐标是（﹣，0）．点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的图象上点的坐标特征，解二元一次方程，三角形的面积，平行线的性质，勾股定理，函数的最值，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．。
合肥168中学2012年自主招生考试数学卷 答案1
53合肥168中学2012年自主招生考试数学卷 答案1、 0 ；2、)1()1(2+-x x ；3、2；4、133；5、6323+；6、 ；7、30 ；8、143；9、2； 10、1:3；11、3 12、199；13、解：设t x x =-21，则原方程变形为12=-tt 。
解得：1,221-==t t 。
…………………………………………（4分）当11,12-=--=x x t 即时，x 无解。
……………………………（7分） 当21,22=-=x x t 即时，解得1,2121-==x x 。
…………………（10分） 14、解：设甲车间有x 人，乙车间又y 人，则列方程及不等式得：⎩⎨⎧≤-+≤-+=-+200)1(116100)1(107)1(116x y x ………………………………（5分） 解得117181169≤≤x 。
………………………………………（7分） 所以x 可以为10,11,12,13,14,15,16,17,18.……………………（9分）又因为10211-=x y 且为整数，经检验，x=12符合题意，所以y=13. 答：甲车间有12人，乙车间有13人。
………………………（12分） 15（1）解：如图，过E 点作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G 。
∵∠A=∠PBC=∠DPE=900∴∠ADP+∠APD=∠APD +∠GPE∴∠ADP=∠GPE ……………………………（3分）在Rt △DAP 与Rt △PGE 中：∠ADP=∠GPE ；∠A=∠PGE ；PD=PE∴Rt △DAP ≅Rt △PGE∴EG=AP,AD=PG =AB ∴AP=EG=BG∴∠CBE=∠EBG=450 ; ……………………………（7分）(2)假设△PFD ∽△BFP ，则BFPB PF PD =. ∵∠ADP=∠F PB,∠A=∠PBF,∴△ADP ∽△BPF.∴.BFAP BF PB BF AP PF PD =∴= ∴PB=AP∴AB=2AP,即m=2时，△PFD ∽△BFP 。
自主数学参考答案
四川省绵阳南山中学高2012级自主招生考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每题3分，共36分）二、填空题（每题4分共24分）13、 )1)(3(+-x x y 14、3或12 15、31<<-x 16、1681 17、81、87 18、（2）（3）（4）三、解答题19、（每小题8分共16分） （1）解：原式=321321)13(4--⋅+-+-………………………4分=43213134-=-++-+-……………………..8分（2）解：由题知62±=x ………………………………………………2分原式=2)1)(1()1()1(212x x x x x x x =-+-⋅-+…………………………….6分∴当62=x 时，原式=6………………………………….7分当62-=x 时，原式=6-………………………………8分20、（每小题6分共12分） （1）解：由题知56b x a <≤………………………………………………2分因为满足条件的整数解只有1和2，故有⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<352160ba (4)分⎩⎨⎧≤<≤<⇒151060b a ，得整数a=1、2、3、4、5、6；…………...5分b=11、12、13、14、15… ……….6分 （2）解：由4112=-+xx 得21=x …………………………………………..2分将其代入0122=+-kx x 得3=k从而方程化为：01322=+-x x ……………………………….4分. 解得：211=x ，12=x ，即方程的另一个解为1=x ………….…6分21、（本题12分）解：(1)当用①②作为条件时，能够确定BEC ∆是等腰三角形………….…..1分现证明如下：在ABE ∆和DCE ∆中，由条件可知DCE ABE DEC AEB DCE ABE DC AB ∆≅∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=………………………………….3分EC EB =∴，即BEC ∆是等腰三角形…………………………………..4分(2)树状图如下所示：① ②③④②③④ ①③④ ①②④ ①②③ 一共有12种结果……………………………………………………………..8分 根据三角形全等的判定定理知：①③作为条件时在ABE ∆和DCE ∆中是边边角的关系， ②④作为条件时在ABE ∆和DCE ∆中是角角角的关系，均不能得到ABE ∆与DCE ∆全等，共有4种结果………………………..10分∴使BEC ∆不能构成等腰三角形的概率是31124=………………………..12分22（本题12分）解：由题知⎩⎨⎧-=⋅-=+)1(412m OB OA m OB OA…………………………………………….2分91242)(2222+-=⋅⋅-+=+∴m m OB OA OB OA OB OA ……………..4分又菱形ABCD 的周长为20，故AB=5且OB OA ⊥………………………..6分25222==+∴ABOBOA ，即2591242=+-m m ………………………8分解得：41=m ，12-=m …………………………………………………….10分 当1-=m 时有03<-=+OB OA ，不合题意应舍去，4=∴m …………12分23（本题12分）（1）证法1：连结OP 则OP AP ⊥︒=∠+∠∴90APC CPO …………..2分BE PD ⊥ 于点E︒=∠+∠∴90AOD CDO ………….4分 OD OP =CDO CPO ∠=∠∴………………...5分 AOD APC ∠=∠∴…………………6分证法2：连结PE 、DE由AP 与圆O 相切于点P 得PED APC ∠=∠….2分 BE PD ⊥ 于点E 且BE 是圆O 的直径PED POD AOD ∠=∠=∠∴21…………………5分A O D A P C ∠=∠∴……………………………6分EE（2）如右图：设OC=x ，则CB=2x ，从而OP=OD=3x ……..1分 在Rt CPO ∆中由222OC OPPC-=得x PC 22=又在Rt APO ∆中CO AC PC ⋅=2，得x x x ⋅+=)26(82，即12=x ，1=∴x ，从而圆O 的半径为3 由AP 与圆O 相切于点P 得PEC APB ∠=∠ 22422t a n t a n ===∠=∠∴CEPC PEC APB ………6分24（本题12分）解：（1）在甲地的销售售为x x xp 142012+-=甲（万元）)0(9092031420122>-+-=-+-=x x x y x x w 甲………………..4分（2）90)5(51)905101(101222--+-=++-+-=x n x x x nx x w 乙=904)5(5]2)5(5[5122--+---n n x35904)5(52=--∴n ，得100)5(2=-n15=∴n （不符合题意应舍去5-=n ） ……………………..8分 （3）当18=x 时，5117=甲w ，5126=乙w ∴>=5117甲w 5126=乙w∴应选择在乙地投产并销售时能获得较大的年利润。
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黄高2012年自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1、若不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 247的解集是3>x ，则m 的取值范围是 A 、3>m B 、3≥m C 、3≤m D 、3<m2、在ABC ∆中，090=∠ACB ，015=∠ABC ，1=BC ，则=ACA 、32+B 、32-C 、3.0D 、23-3、如图，AB 为⊙O 的一固定直径，自上半圆上一点C 作弦AB CD ⊥，OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点PA 、到CD 的距离不变B 、位置不变C 、等分D 、随C 点的移动而移动 4、已知x x y -+-=51（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为 A 、122- B 、224- C 、223- D 、222-5、已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面圆上一点，点P 在OM 上。
一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿OM 将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是A 、B 、C 、D 、6、已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了A 、6圈B 、5.6圈C 、7圈D 、8圈7、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤)(b am m b a +>+，)1(≠m 其中正确的结论有A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个8、如图，正ABC ∆中，P 为正三角形内任意一点，过P 作BC PD ⊥，AB PE ⊥，AC PF ⊥ 连结AP 、BP 、CP ，如果233=++∆∆∆PCD BPE APF S S S ，那么ABC ∆的内切圆半径为A 、1B 、3C 、2D 、23 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9、如图，如果 所在位置的坐标为)2,1(--，所在位置的坐标为)2,2(-，那么 所在位置的坐标为 。
10、某商场经销某种商品，由于进货价降低了%8，利润率提高了%10，则这种商品的原利润率是（用百分数作答）（进货价×利润率＝利润）11、钟表的轴心到分针针端的长为cm 5，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是12、下图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，……按此规律摆下去，则图案（n ）需要小棒 根（用含有n 的代数式表示）。
13、“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如34，568，2469等），任取一个两位数，是“上升数”的概率是 。
14、][a 表示不大于a 的最大整数，][}{a a a -=，设]731[-=a ，}731{-=b ，则=++ab a )71(2 。
15、已知函数323232)1(1)(xx x x x f y ++++==，则++)2()1(f f …=+)511(f 16、已知两组数,15,11,7,3…和,14,11,8,5…，有许多相同的数，如11是它们第一个相同的数，那么它们的第20个相同的数是 。
三、解答题（本大题共6小题，共56分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17、（8分）为了解我市3路公共汽车的运营情况，公交部门随机统计了某天3路公共汽车每个运行班次的载客量，得到如下频数分布直方图。
如果以各组的组中值代表各组实际数据，请分析统计数据完成下列问题。
（1）找出这天载客量的中位数，说明这个中位数的意义；（2）估计3路公共汽车平均每班的载客量大约是多少？（3）计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的百分数。
（注：一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数）18、（8分）已知抛物线c bx ax y ++=2与直线25=y 有公共点，且仅当3121<<-x 时抛物线在x 轴上方，求a 、b 、c 的取值范围。
19、（10分）如图，已知ABC ∆中，D 是AB 中点，AC DC ⊥，54cos =∠DCB ，求A sin 。
20、（10分）如图，点P 是双曲线)0,0(11<<=x k xk y 上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线)0(122k k xk y <<=于E 、F 两点。
（1）图①中，四边形PEOF 的面积1S 为多少？（用含1k 、2k 的式子表示。
直接写出结论，不需过程）（2）图②中，设P 点坐标为)3,4(-。
①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；②记OEF PEF S S S ∆∆-=2，2S 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。
① ②21、（10分）当21≤≤-x 时，求函数2242)(22+++-==a a ax x x f y 的最小值，并求最小值为1-时，a 的所有可能的值。
22、（10分）等腰直角ABC ∆和⊙O 如图放置，已知1==BC AB ，090=∠ABC ，⊙O 的半径为1，圆心O 与直线AB 的距离为5，现ABC ∆以每秒2个单位的速度向右移动，同时ABC ∆的边长AB 、BC 又以每秒5.0个单位沿BA 、BC 方向增大。
（1）当ABC ∆的边（BC 边除外）与圆第一次相切时，点B 移动了多少距离？（2）若在ABC ∆移动的同时，⊙O 也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC ∆从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？（3）在（2）条件下，是否存在某一时刻，ABC ∆与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间；若不存在，请说明理由。
数学答题卷一、选择题答题表（4分×8＝32分）二、填空题（4分×8＝32分）9、10、11、12、13、14、15、16、三、解答题（共5小题，共56分）17、（8分）18、（8分）19、（10分）20、（10分）①②21、（10分）22、（10分）数学参考答案和评分标准一、选择题（8×4’＝32’）1～4 CBBD 5～8 DCBA二、填空题（8×4’＝32’）9、)1,3(- 10、%15 11、cm 320π 12、26-n 13、52 14、10 15、7 16、239 三、解答题（共56分）17、（8分）解：（1）中位数为80人，估计3路公共汽车每天大约有一半的班次的载客量要超过80人。
……2’（2）732220181064412080221002060184010206=+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x （人） 因为样本的平均数是73，所以可以估计3路公共汽车平均每班载客量大约是73人。
……6’（3）在平均载客量以上的班次占总班次的百分数＝%5.57%1008042022=⨯++ ……8’18、（8分） 解：由题意可知，抛物线方程可写成)0(),31)(21(<-+=a x x a y ……3’ 6,6a c a b -==∴ ……4’ 又抛物线与直线25=y 有共公点∴方程25)31)(21(=-+x x a ，即015062=--+a ax ax 有实根 ……5’ 0)150(242≥++=∆∴a a a 0)144(≥+∴a a ……6’ 又0<a ,144-≤∴a ，从而246,246≥-=-≤=a c a b 即24,24,144≥-≤-≤c b a ……8’ （其他解法参照给分）19、（10分）解：作AC DE //交BC 于E ……2’得090=∠=∠ACD CDE 54cos ==∠∴CE CD DCB ……3’ 设x CD 4=，则x CE 5= x DE 3=∴由中位线定理知x AC 6= ……6’ 在ACD Rt ∆中，x CD AC AD 13222=+= ……8’131321324sin ===∴x x AD CD A ……10’ 法二：延长CD ，使DE CD =，则四边形ACBE 为平行四边形 ……2’ 090=∠=∠∴ACD CEB542cos ===∠∴CB CD CB CE DCB 52=∴CB CD ……4’ 设x CD 2=,则x CB 5=,又CD CE 2= CB AE x CE ==∴,4x AE 5=∴ ……6’又090=∠ACD ,由勾股定理知x AC 3=在ACD ∆中,由勾股定理知x CD AC AD 1322=+= ……8’ 13132132sin ===∴x x AD CD A ……10’ 20、（10分）解:(1)12k k - ……2’(2)①AB EF // ……3’证明:由题意得)3,0(),0,4(B A - )3,3(),4,4(22k F k E -- 34,4,43,322k PF PB k PE PA +==+==∴故22221212344,1212433k PF PB k PEPA+=+=+=+= ,PFPB PE PA =∴ 又EPF APB ∠=∠ APB ∆∴∽EPF ∆ PEF PAB ∠=∠∴ AB EF //∴ ……6’ ②2S 没有最小值。
……7’理由如下：过E 作y EM ⊥轴于点M ，过F 作x FN ⊥轴于点N ，两线交于点Q ，由上知),4,3(),0,3(),4,0(2222kk Q k N k M --而,EFP EFQ S S ∆∆= OMQN FON EOM OEF PEF S S S S S S 矩形++=-=∴∆∆∆∆23)6(1211214322222222222-+=+=⋅++=k k k k k k k 当62->k 时，2S 的值随2k 的增加而增大1210,12k k k <<-= 1202<<∴k从而2402<<S 2S ∴无最小值。
……10’ 21、（10分） 解：⑴21,22)(2)(22≤≤-++--==x a a a x x f y其对称轴为a x = ……1’ ①当1-≤a 时，46)1()(2m in ++=-=a a f x f ……2’ ②当21≤<-a 时，22)()(2m in ++-==a a a f x f ……3’ ③当2>a 时，106)2()(2m in +-==a a f x f ……4’ 综上可知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-++--≤++=2,10621,221,46)(222mina a a a a a a a a x f ……5’ ⑵①当1-≤a 时，令1462-=++a a ，则0562=++a a1-=∴a 或5-=a ……7’②当21≤<-a 时，令1222-=++-a a ，则0322=--a a ……8’ 1-=∴a 或3=a 均不合题意，舍去。