江西省赣州市会昌中学2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题(卓越班,含解析)

江西省赣州市会昌中学2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题（卓越班，含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上) 1.cos 420︒的值为（ ）A.12B. 12-D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式可得cos 420cos60︒=，再求cos 420︒的值即可. 【详解】解：因为1cos(36060)cos 602cos 420︒=+==， 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式及三角函数求值问题，属基础题.2.设集合{|2A x x =<或}4x ≥，集合{}B x x a =<，若()RC A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（ ） A. 2a < B. 2a >C. 2a ≤D. 2a ≥【答案】B 【解析】 【分析】由集合{|2A x x =<或}4x ≥，可得{}|24R C A x x =≤<，再结合集合{}B x x a =<及()R C A B ⋂≠∅，运算即可得解.【详解】解：由集合{|2A x x =<或}4x ≥， 则{}|24R C A x x =≤<，又集合{}B x x a =<且()RC A B ⋂≠∅，故选：B.【点睛】本题考查了集合交、并、补的混合运算，重点考查了利用集合的运算求参数的范围，属基础题.3.下列函数中，在(0,)+∞单调递减，且是偶函数的是（ ） A. 22y x =B. 3y x=C. 21y x =-+D.1()2xy =【答案】D 【解析】22y x =和1()2xy =为偶函数，22y x =在()0,+∞单调递增，选D.4.已知3log 2a =，123b =，21log 3c =，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D.b ac >>【答案】D 【解析】 【分析】利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较,,a b c 与0和1的大小得答案． 【详解】解：102331b =>=，3330log 1log log 213a =<=<=，2231log log 10c =<=， ∴b a c >>． 故选：D ．【点睛】本题考查指对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题． 5.已知函数()()2221f x x x x x Z =+-≤≤∈且，则()f x 的值域是（ ）A. []0,3B. {}1,0,3-C. {}0,1,3D. []1,3-【答案】B试题分析：求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．函数()()2221f x x x x x Z =+-≤≤∈且，所以2101x =--，，，；对应的函数值分别为：0103-，，，；所以函数的值域为：{}1,0,3-故答案为B ． 考点：函数值域6.已知函数f(x)＝e x ＋x ，g(x)＝lnx ＋x ，h(x)＝lnx －1的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<a<c 【答案】A 【解析】 【分析】由a ，b ，c 分别为f(x)＝e x＋x ，g(x)＝lnx ＋x ，h(x)＝lnx －1的零点，所以依次代入得()0f a =，()0g b =，()0h c =，得a ，b ，c 的关系式，判断取值范围，比较大小【详解】∵e a ＝－a ，∴a<0，∵lnb＝－b ，且b>0，∴0<b<1，∵lnc＝1，∴c＝e>1，故选A. 【点睛】根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围 7.函数221()()3x xf x +=的值域是A. (,3)-∞B. (0,)+∞C. (0,3]D. [3,)+∞【答案】C 【解析】 分析】将指数x 2+2x 看作整体，求出指数范围，再结合指数函数性质解决．【详解】令t=22x x + =()211x +-，则t ≥-1，则t13y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, t ≥-1 ∵函数t13y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，故当t ≥-1, 0<t133⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 即函数t13y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,3故选:C.【点睛】复合函数求值域的一般方法为:换元法,将内层函数进行换元,转化为关于新元的基本初等函数求值域即可,注意换元时新元的范围. 8.若tan 2α=，则22sin cos αα-的值为（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】222222sin tan 2sin 2cos 4cos cos 1cos 143cos sin sin cos 555ααααααααααα==⇒=⇒+=⇒=⇒=⇒-=故选C.9.已知曲线1:sin(2)3C y x π=+，2:cos C y x =，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位 B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12π个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位【答案】D 【解析】 【分析】先将2C 转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意πcos sin 2y x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变）得到πsin 22x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后再向右平移12π个单位，得到πππsin 2sin 21223x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.10.函数()()11x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案．【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e --+++====-----f （x ），∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时，()23f x x x =-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 （ ）A. {}27,1,3-- B. {}3,1,1,3-- C. {1,3} D. {}27,1,3-【答案】A 【解析】【分析】先由函数的奇偶性求得当0x <时，2()3f x x x =--，再利用函数的零点与方程的根的关系求解即可.【详解】解：设0x <，则 0x ->， 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以22()()[()3()]3f x f x x x x x =--=----=--， 即当0x <时，2()3f x x x =--，当0x <时，令2330x x x ---+=，即2430x x +-=，解得2x =-- 当0x ≥时，令2330x x x --+=，即2430x x -+=，解得1x =或3x =，综上可得方程()30f x x -+=的解的集合为{}2--，即函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为{}2-， 故选：A.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式及函数的零点问题，重点考查了函数与方程的相互转化，属中档题.12.已知()f x 是R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()()1232019f f f f ++++=（ ）A. 50-B. 2C. 0D. 50【答案】C 【解析】 【分析】由()()11f x f x -=+得到()()2f x f x =-，结合奇函数，求出()f x 的周期，再将所求的()()()()1232019f f f f ++++进行转化，得到其中的关系，从而得到答案.【详解】因为()()11f x f x -=+，用1x -代替上式中的x ，得到()()2f x f x -= 而()f x 是R 的奇函数，所以有()()()22f x f x f x =-=--用2x -代替上式中的x ，得()()24f x f x -=--， 所以()()()24f x f x f x =--=-， 可得()f x 的周期为4.因为()12f =，()()040f f ==所以1x =时，由()()11f x f x -=+得()()200f f ==2x =时，由()()11f x f x -=+得()()()3112f f f =-=-=-故()()()159f f f ===⋅⋅⋅，()()()2610f f f ===⋅⋅⋅，()()()3711f f f ===⋅⋅⋅，()()()4812f f f ===⋅⋅⋅所以()()()()1232019f f f f ++++()()()()()()()5041234123f f f f f f f =++++++⎡⎤⎣⎦()5042020202=+-+++-0=故选：C .【点睛】本题考查函数奇偶性，对称性，周期性的综合运用，属于中档题. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填写在答题卷上)13.已知5122x x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则函数241y x x =-+的值域为______.【答案】11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先将已知不等式两边变成同底,利用指数函数的单调性解得x 的范围,即为函数241y x x =-+的定义域,再根据二次函数的开口和对称轴可得函数的单调性,利用单调性可求得值域.【详解】由5122x x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得 522x x -+≤，5x x ∴-+≤，解得52x ≥. 又()224123y x x x =-+=--在[)2,+∞上为增函数，所以111344y ≥-=-. 故答案为: 11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了利用指数函数单调性解不等式,二次函数在指定范围内的值域,属于基础题.14.已知cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【解析】，所以sin sin cos 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦15.设{}28150A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 组成的集合C =_____．【答案】110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】先求出A 的元素，再由B ⊆A ，分B φ=和B ≠φ求出a 值即可. 【详解】∵A ＝{x |x 2﹣8x +15＝0}， ∴A ＝{3，5}又∵B ＝{x |ax ﹣1＝0}， ∴①B φ=时，a ＝0，显然B ⊆A ②B φ≠时，B ＝{1a}，由于B ⊆A∴135a=或 ∴1135a =或故答案为：{11035，，}【点睛】本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题．16.函数()()2015log 1,2sin ,02211,02xx x xf x x x π⎧⎪->⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若a ，b ，c ，d 是互不相等的实数，且()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为________．【答案】（4，2017） 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图像，令直线y t =与函数()f x 的图像交于四个点，其横坐标从左到右依次为a b c d ,,,，则由图像可得，2b c +=，20151log (1)()12ad t -=-=，由01t <<，求出a d +的范围，从而得解. 【详解】解：作出函数()f x 的图像，令直线y t =与函数()f x 的图像交于四个点，其横坐标从左到右依次为a b c d ,,,，则由图像可得，2b c +=，20151log (1)()12ad t -=-=， 则12log (1)a t =+，20151,01t d t =+<<，则12()2015log (1)1,01ta d g t t t +==+++<<， 因为函数2015,01ty t =<<为“爆炸型函数”，其增长速度非常快，函数12log (1),01y t t =+<<递减速度较慢，则()y g t =在()0,1为增函数，即(0)()(1)g g t g <<，即2()2015g t <<，即22015a d <+<， 则 42017a b c d <+++<， 故答案为：()4,2017.【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像的交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题(共6小题，其中第17题10分,其余每题12分,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知集合(){}2=log 1A x y x =+,集合1,02xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,求A B ,()R C A B ⋃【答案】()0,1A B =；()(,1]R C A B ⋃=-∞-【解析】 【分析】根据函数()2log 1y x =+性质求得集合{}=1A x x >-,根据指数函数的性质，求得集合{}01B y y =<<，再根据集合的运算，即可求解．【详解】由题意，集合A 为函数()2log 1y x =+的定义域,即{}=1A x x >-,集合B 为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,0x >的值域,即{}01B y y =<<则()0,1AB =.(1,)A B =-+∞，所以()(,1]RC A B ⋃=-∞-．【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，正确求解集合,A B ，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.已知点()1,P t 在角θ的终边上，且6sin θ= （1）求t 和cos θ的值；(2)求()()sin sin 23sin cos cos 2πθθπθπθπθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）? cos t θ==； （2）1-. 【解析】 【分析】 (1)解方程sin θ==即得t 的值，再利用平方关系求cos θ.(2)用诱导公式化简再代入sin θ和cos θ的值求解.【详解】（1）由已知r op ==sin θ==解得t =， 故θ为第四象限角，cos θ==（2）()()sin sin 23sin cos cos 2πθθπθπθπθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()3sin cos 1θθ-=-. 【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义和同角的平方关系，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成,2k k z πα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“-”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间00(0,360)的角，再变到区间00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算.19.已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωφ=+>><的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =图象，求函数()y g x =在[]0,π上的单调递增区间．【答案】（1）()=2sin 23f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)5[0] []36πππ，，， 【解析】 试题分析：（1）由图象可得2A =，根据函数的周期可得2ω=，将点点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入解析式可得3πϕ=-，从而可得解析式．（2）由（1）可得()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先求出函数()g x 的单调递增区间，再与区间[]0,π取交集可得所求的单调区间． 试题解析：（1）由图象可知2A =,周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, ∴ 2=2πωπ=，∴()()=2sin 2f x x ϕ+，又点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭在函数的图象上， ∴5sin =16πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴5=+2,62k k Z ππϕπ+∈, ∴=+2,3k k Z πϕπ-∈，又2πϕ<， ∴3πϕ=-，∴ ()=2sin 23f x x π⎛⎫-⎪⎝⎭． (2)由(1)知()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此()2sin 22sin 21236g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由222,262k x k k z πππππ-≤-≤+∈，,63k x k k z ππππ-≤≤+∈得，又0x π≤≤, ∴50,36x x πππ≤≤≤≤.故函数()y g x =在[]0,π上的单调递增区间为5[0,][,]36πππ和． 20.已知二次函数()f x 满足()()2f x f x =-，且()14f =，()30f =. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m ，使得在[)1,4上()f x 的图象恒在曲线2xy m =+的上方？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) ()223f x x x =-++ (2) (],21-∞-【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，设()2f x ax bx c =++，根据题意列出相应的方程，即可求解；（2）设()2232xg x x x m =-++--，函数()f x 图象恒在曲线2xy m =+的上方等价于()0g x >恒成立，分离参数2232x m x x <-++-恒成立，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设()2f x ax bx c =++，因为二次函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，即12ba-=① 因为()14f =，()30f =，所以()14f a b c =++= ②()3930f a b c =++=，③联立①②③，解得1a =-，2b =，3c =. 故()223f x x x =-++.（2）设()2232xg x x x m =-++--，()f x 的图象恒在曲线2x y m =+的上方等价于()0g x >恒成立，即2232x m x x <-++-恒成立，因为223y x x =-++在[)1,4上单调递减，2xy =在[)1,4上单调递增，所以()2232x h x x x =-++-在[)1,4上单调递减，则()()min 416831621h x h ==-++-=-. 故m 的取值范围为(],21-∞-.【点睛】本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答根据题意转化为2232x m x x <-++-恒成立，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.21.已知函数2222()(log )log 3f x x x =-+，当[1,4]x ∈时，()f x 的最大值为m ，最小值为n .（1）若角α的终边经过点(,)P m n ，求sin cos αα+的值； （2）设()cos()g x m nx n mπ=+-，()()h x g x k =-在[0,]2π上有两个不同的零点12,x x ，求k 的取值范围.【答案】（1）sin cos 13αα+=;（2）7(5,]2k ∈--.【解析】试题分析：（1）先根据二次函数最值求法，求出32m n ==，，再根据三角函数定义得sinα=，cos α=，从而可得sin cos αα+的值；（2）先化简函数()()3cos 223h x g x k x k π⎛⎫=-=+-- ⎪⎝⎭，再利用变量分离得3cos 223x k π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦函数在定义区间上的图象，确定参数的取值范围：323,2k ⎛⎤+∈-- ⎥⎝⎦，求得k 的取值范围.试题解析：（1）()()2222log log 3f x x x =-+，令2log x t =，∴()223g t t t =-+，[]0,2t ∈.最大值3m =，最小值2n =，∴()3,2P，∴sin α=，cos α=.∴sin cos 13αα+=. （2）()3cos 223g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()()3cos 223h x g x k x k π⎛⎫=-=+-- ⎪⎝⎭，令()03cos 223h x x k π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则，∴323,2k ⎛⎤+∈-- ⎥⎝⎦，∴75,2k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦. 22.设函数2()cos sin 2f x x a x a =-+++（a ∈R ）．（1）求函数()f x 在R 上的最小值； （2）若不等式()0f x <在[0,]2π上恒成立，求a 的取值范围；（3）若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．【答案】（1）2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩（2）(,1)a ∈-∞-（3）12a -<<-【解析】 【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值；（2）恒成立需要保证max ()0f x <即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到a 的范围；（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求a 的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出a 的范围.【详解】解：（1）令sin x t =，[1,1]t ∈-，则2()()1f x g t t at a ==+++，对称轴2at =-．①12a-<-，即2a >，min ()(1)2f x g =-=． ②112a -≤-≤，即22a -≤≤，2min ()()124a a f x g a =-=-++．③12a->，即2a <-，min ()(1)22f x g a ==+． 综上可知，2min 2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩ （2）由题意可知，max ()0f x <，2()()1f x g t t at a ==+++，[0,1]t ∈的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有(0)10,(1)220,g a g a =+<⎧⎨=+<⎩故(,1)a ∈-∞-． （3）令sin x t =，(0,)x π∈．由题意可知，当01t <<时，sin x t =有两个不等实数解，所以原题可转化为2()10g t t at a =+++=在(0,1)内有两个不等实数根．所以有201,24(1)0,12(0)10,(1)220,a a a a g a g a ⎧<-<⎪⎪⎪∆=-+>⇒-<<-⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩【点睛】（1）三角函数中，形如2()sin sin f x a x b x c =++或者2()cos cos f x a x b x c =++都可以采用换元法求解函数最值；（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.。