数量积的运算律备考策略 2019高考绝密资料

数量积的运算律备考策略
主标题：指数函数备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：函数，指数函数，备考策略
难度：3
重要程度：4
内容：
1、类比实数的运算律，向量的数量积是否有类似的特征?
2、类比得到的结论中，对数量级不成立的有哪些？
3、向量数量积的运算律。

(1)交换律：a b b a = ；
(2)数乘结合律：()()()
a b a b a b λλλ== ； (3)分配率：()a b c a c b c +=+
； 思维规律解题
考点一：根据数量积的运算律计算向量的数量积
例1：若向量,,a b c 满足0a b c ++= 且3,1,4a b c === ，则ab bc ca ++
＝________。

考点二：考察指数函数的运算性质
例2：已知a b ＝0，2,3a b == ，且()()
320a b a b λ+-= ，求实数λ的值。

考点三：证明与平面几何有关的命题
例3：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

考点四：求向量的夹角
例4：已知3,4a b == ，向量34a b + 与34
a b - 所成的角？ 考点五：求向量的模
例5：已知2,5,3a b a b ===- ，求a b + 和a b - ？ 思维误区
误区一：忽视隐含条件
四边形ABCD 中，,,,,AB a BC b CD c DA d ==== 且a b b c c d d a ===
，试问四边形ABCD 是什么图形？
误区二：平方时转换不等价
已知2,5,a b a b == 与的夹角为60°，求()
2a b 。

导数在研究函数中的应用
主标题：导数在研究函数中的应用备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：导数，极值，最值，备考策略
难度：4
重要程度：5
内容
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2.
(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．
解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，
∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)．
令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0，
∴x >ln 2或x <0.
令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2.
因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)；
递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．
(2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )．
∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，
∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立．
∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立．
由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤12.
又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号．
因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，12. 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而
解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
考点二利用导数研究函数的极值
【例2】设f(x)＝a ln x＋1
2x＋
3
2x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的
切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
审题路线(1)由f′(1)＝0⇒求a的值．
(2)确定函数定义域⇒对f(x)求导，并求f′(x)＝0⇒判断根左，右f′(x)的符号⇒确定极值．
解(1)由f(x)＝a ln x＋1
2x＋
3
2x＋1，
∴f′(x)＝a
x－
1
2x2＋
3
2.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0.
从而a－1
2＋
3
2＝0，∴a＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋1
2x＋
3
2x＋1(x>0)，
∴f′(x)＝－1
x－
1
2x2＋
3
2＝
(3x＋1)(x－1)
2x2.
令f′(x)＝0，解得x＝1或－1
3(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．
【备考策略】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上
单调增或减的函数没有极值．
考点三 利用导数求函数的最值
【例3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.
(1)求a ，b 的值；
(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．
审题路线 (1)⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16
⇒a ，b 的值； (2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．
解 (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，
由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，
故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16.
化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－12.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12.
令f ′(x )＝0，得x ＝－2或2.
当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表： f (2)＝c －16.
由题设条件知，16＋c ＝28，解得c ＝12，
此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.
【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算
函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。