太原理工大学高等数学复习题四
太原理工大学数值计算方法题库讲解
数值计算方法试题一一、 填空题1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-22,0(）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =(3)，b =（3），c =（1）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.236494526!77==⨯。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ0。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1<a ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a aa a A ，当∈a （22,22-）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。
高数理工复习试题及答案
A 卷一、选择题1. 若正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列结论正确的是( ).A. 11()n n n u u +∞+=+∑一定收敛. B.1lim1n n nu u ρ+→∞=<. C. 1n ρ<. D. n +∞=. 2.设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 处取得极小值，则下列结论正确的是（ ） A. 0(,)f x y 在0y y =处导数大于零. B. 0(,)f x y 在0y y =处导数等于零. C. 0(,)f x y 在0y y =处导数小于零.. D.0(,)f x y 在0y y =处导数不存在. 3.设210()10x f x xx ππ--<≤⎧=⎨+<<⎩，则以2π为周期的傅里叶级数在x π=处收敛于( ).A.21π+ B.1-. C.22π. D.2π. 4.设D 为由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成，则D2d σ=⎰⎰( ). A. 2. B. 3. C. 4. D.1.5.若函数(,)x f x y ，(,)y f x y 连续是(,)f x y 可微的（ ）.A.必要条件B.充要条件C.既不是充分又不是必要条件D.充分条件 二、填空题1.微分方程26(1)x y y y x e -'''--=+的特解形式为 .(不求特解)2.二重积分222316(cos 1)x y x y yx d σ+≤++=⎰⎰.3.若级数1(1)nn n a x +∞=-∑在5x =-处收敛，则级数1(1)n n n a x +∞=-∑在6x =处 .（绝对收敛，条件收敛，发散）4.函数22u x yz =-在点(1,2,2)-处的梯度(1,2,2)gradu - .5. 2y x =在空间几何中表示 图形. 三、计算题1.求曲线x t =，2,y t =-3z t =与平面24x y z ++=平行的切线方程。
太原理工大学高等数学习题册下册答案
sin t dt t
sin z 2 sin z 2sin z 2 − sin z 2 z ⋅ − = z2 z z x2 Fy F ∂z − ze ∂z −2 zy 5 , 那么 = − x = = − = ∂x Fz 2sin z 2 − sin z ∂y Fz 2sin z 2 − sin z 而Fx = e x , Fy = 2 y 5 , Fz =
⎧3x − y − 2 z − 9 = 0 从而投影直线为 ⎨ ⎩x + y + z −1 = 0 9． 解 要证四点共面， 只需证过四点的三向量共面， 即证三向量混合积为 0，
而这里 AB = {1, −1, 0} , AC = {0, −2,1} , AD = {1,1, −1} ,
1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0
a 的模 | a |= 132 + 7 2 + 152 = 443 ，方向余弦为：
cos α = 13 7 15 ， cos β = ， cos γ = 443 443 443 13 7 15 , , } 443 443 443
a 0 = ±{
| AC |= (1 − 0) 2 + (0 − 3) 2 + (2 − 1) 2 = 11
成的旋转曲面的方程为 x 2 + y 2 = (1 − z ) 2 + z 2 ，截面 Dz 为一圆域，半 径为 R = (1 − z ) 2 + z 2 ， Dz 的面积 A( z ) = π R 2 = π [(1 − z ) 2 + z 2 ] ，那么 所求立体的体积为
V = π ∫ [(1 − z ) 2 + z 2 ]dz = π (−
[ AB, AC , AD] = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 ,故四点共面， 1 1 −1 0 2 −1 0 0 0
太原理工大学有限元考试题目2013
太原理工大学有限元复习题一、简答题1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。
弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等。
因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。
2、理想弹性体的五点假设？答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定、小位移和小变形的假定。
3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴，那么弹性体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴，这类问题称为轴对称问题。
对于轴对称问题，采用圆柱坐标比采用直角坐标方便得多。
当以弹性体的对称轴为Z轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量都只与坐标r、z有关，而与θ无关。
4、梁单元和杆单元的区别？答：梁单元和杆单元在形状上没有多大区别，其截面可以是任何形状，有一方向的长度远远大于另外两个方向。
主要区别是受力不同，梁单元主要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。
杆单元通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可以适用于各种情况。
5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应力和扭转应力作用下将变成曲面板。
6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇异性；非零元素呈带状分布。
7、有限单元法的收敛性准则？答：完备性要求，协调性要求。
完备性要求。
如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。
或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。
单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。
协调性要求。
如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数。
太原理工大学 线性代数期末试题2014年 一本试题
第2页共3页7.向量组()2,6,3,11=β，()1,2,1,22-=β，()2,,1,13--=a β的秩为2，则=a （）（Ａ）0；（Ｂ）2-；（Ｃ）1；（Ｄ）2.8.设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0)(=x AB （）（Ａ）当m n >时仅有零解；（Ｂ）当m n >时必有非零解；（Ｃ）当n m >时仅有零解；（Ｄ）当n m >时必有非零解.9.设2-=λ是非奇异矩阵A 的特征值，则矩阵1-+A A 有一特征值为（）（Ａ）1；（Ｂ）0；（Ｃ）25；（Ｄ）25-.10.设,,A B C 均为n 阶矩阵，若AB C =，且A 可逆，则（）(A)矩阵C 行向量组与A 的行向量组等价；(B)矩阵C 列向量组与A 的列向量组等价；(C)矩阵C 行向量组与B 的行向量组等价；(D)矩阵C 列向量组与B 的列向量组等价.11-15题为判断题，正确打√，错误打×：11．如果矩阵A 与B 等价，则A 的列向量组与B 的列向量组等价.（）12．如果向量组321,,ααα只有一个极大线性无关组，则321,,ααα线性无关.（）13．若n 阶方阵A 的0=A ，则对任何n 维向量组,......,,21n ααα则,......,,21n A A A ααα一定线性相关.（）14．已知()33⨯=ija A 为可逆矩阵，交换A 的第一、二列后所得的矩阵记为B ，那么交换1-A 的第一、二行后所得的矩阵即为1-B.（）15．如果A 是可逆矩阵，且|2|||E A A -=，则2=λ一定不是A 的特征值.（）。
太原理工大学——计算方法上机题
上机练习题一、求非线性方程的根。
1、 求方程()cos 0f x x x =-=在0 1.5x =附近的是根，要求精度满足3110k k x x -+-<.(牛顿切线法)>> NewtonIterationx0=1.5 del=0.001 N=20k x(k)0 1.500000 1 0.784472结果：0.7395192、 求方程32()0.80f x x x =--=在01x =附近的是根，求出具有四位有效数字的根近似值..(简单迭代法))(1n n x x ϕ=+312)8.0()(+=x x ϕ程序clear clcphi=inline('(x^2+0.8)^(1/3)'); %迭代函数 x0=input('x0='); del=input('del='); N=input('N='); n=1;fprintf('\n %2d %f ',0,x0); while n<N x=phi(x0); if abs(x-x0)<delfprintf('\n \n 近似解=%f \n',x); return endfprintf('\n %2d %f ',n,x); n=n+1; x0=x; endfprintf('\n \n %f d 次迭代后未达到精度要求. \n',N);运行结果 x0=1del=0.00001N=200 1.000000 1 1.216440 2 1.316116 3 1.363004 4 1.385180 5 1.395688 6 1.400671 7 1.403034 8 1.404155 9 1.404687 10 1.404939 11 1.405059 12 1.405116 13 1.405143 14 1.405155近似解=1.405162二、求解线性方程组（直接法或迭代法）1、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----22118118344108318311231224321x x x x x使用高斯-赛德尔迭代法求解代码clear clcn=input('n=');%矩阵的阶数 A=input('A=');%系数矩阵 b=input('b='); x=input('x=');%自变量 epsilon=input('\n 精度='); N=input('\n 最大迭代次数N=');fprintf('\n %d:',0);for i=1:nfprintf('%f',x(i));end%以下是迭代过程for k=1:N%这是第k步迭代，迭代前的向量在x0[]中，迭代后的向量在x[]中； normal=0;for i=1:nt=x(i);x(i)=b(i);for j=1:nif j~=ix(i)=x(i)-A(i,j)*x(j);endendx(i)=x(i)/A(i,i);temp=abs(x(i)-t);% 求范数于迭代在同一个循环中；if temp>normalnormal=temp; %这里用的是无穷范数endend%第i不迭代结束；fprintf('\n %d: ',k);for i=1:nfprintf('%f',x(i));%输出迭代过程endif normal<epsilonreturnendendfprintf('\n \n 迭代% d 次后仍未求得满足精度的解\n',N);结果n=4A=[2,2,1,-3;-2,1,-1,-3;8,-1,3,8;10,4,4,3]b=[8,1,-1,8]x=[1,-1,2,-2]精度=0.001最大迭代次数N=100:1.000000-1.0000002.000000-2.0000001: 1.000000-1.0000002.000000-2.000000>>故原方程的解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2211x。
高数第七版习题4-3答案
高数第七版习题4-3答案
高数第七版习题4-3答案：探究函数的极限和连续性
在高等数学中，函数的极限和连续性是非常重要的概念。
通过习题4-3的答案，我们可以更深入地探究这些概念的应用和意义。
首先，我们来看函数的极限。
在数学中，函数的极限描述了当自变量趋向于某
个值时，函数的取值趋向于的一个值。
通过习题4-3的答案，我们可以看到如
何利用极限的性质来求解一些复杂的函数极限，比如利用夹逼定理、洛必达法
则等方法来求解不定型的极限。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解函数的
极限，还可以在实际问题中应用，比如在物理、工程等领域中。
其次，我们来探讨函数的连续性。
函数的连续性是指函数在某个区间内没有间
断点，即函数在这个区间内的图像可以被画出来而不需要抬起笔。
通过习题4-
3的答案，我们可以学习到如何判断一个函数在某个点或某个区间内是否连续，以及如何利用连续函数的性质来求解一些复杂的问题。
函数的连续性在实际问
题中也有着重要的应用，比如在经济学中，连续函数可以用来描述一些经济模型，而在工程学中，连续函数可以用来描述一些物理现象。
总之，通过高数第七版习题4-3的答案，我们可以更深入地理解函数的极限和
连续性的概念，以及它们在实际问题中的应用。
这些知识不仅可以帮助我们更
好地理解数学，还可以为我们将来的学习和工作提供帮助。
希望大家在学习高
等数学的过程中能够认真对待这些概念，从中获益良多。
太原理工大学历年概率论与数理统计试题
四 、（ 本 题 15 分 ） 设 随 机 变 量 X 和 Y 的 联 合 密 度 为
fห้องสมุดไป่ตู้
(x,
y)
1 y
,
0 x y, 0 y 1 求：（1） X 和Y 的边缘密度 ；（2） X ,Y 是否相
0，
其它
互独立； (3) P( X 1 Y 1 ) . 42
五、（本题 15 分）掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为 p(0 p 1) ，
0 x , 0 y
0，
其它
则C
；
4、已知随机变量 X ,Y , Z 相互独立，且 X ~ N (1, 2) ，Y ~ N (0, 3) ， Z ~ N (2, 1) ，则
P(0 2X 3Y Z 6)
(结论用 () 表示即可）；
5、已知正常男性成人血液每毫升中白细胞数量为 X .设 E( X ) 7300, D( X ) 7002 ，用
X1 X 2 服从 1
(
X
2 3
X
2 4
)
2
（）
( A) t(2) ;
(B) t(3) ;
(C) t(4) ;
(D) N (0, 1) .
3、设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布于 (0,1) 上的均匀分布，则 Z max( X ,Y ) 的密度函
（
A
）
f
(z)
1,
0,
0 z 1
七、（本题 10 分）设二维随机变量 ( X ,Y ) 服从圆域 G : x2 y 2 R 2 上的均匀
分布， （1）计算 COV ( X ,Y ) ；
大四高等数学考卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是（）A.严格单调递增B.严格单调递减C.常数函数D.无法确定2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)的极大值点为（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=33.设函数f(x)=e^x，则f(x)的n阶导数为（）A.e^xB.ne^xC.(n-1)e^xD.e^(x+n)4.设函数f(x)=ln(x)，则f(x)在x=1处的二阶导数值为（）A.1B.0C.-1D.无限大5.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)的泰勒展开式的前三项为（）A.xx^3/6B.x+x^3/6C.xx^3/3D.x+x^3/3二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增。
（）2.函数f(x)=x^33x在x=0处取得极大值。
（）3.函数f(x)=e^x的n阶导数仍为e^x。
（）4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为0。
（）5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为xx^3/6。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是______。
2.函数f(x)=x^33x的极大值点为______。
3.函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为______。
5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理的内容及其应用。
2.简述拉格朗日中值定理的内容及其应用。
3.简述泰勒公式的内容及其应用。
4.简述牛顿-莱布尼茨公式的内容及其应用。
5.简述高斯-赛德尔迭代法的内容及其应用。
太原理工大学线性代数期末考试题
第 1 页 共 5 页 线性代数（A 卷）太原理工大学 线性代数 试卷（A ）适用专业：2016级理工、文、经管等专业 考试日期：2017.6.25 时间：120 分钟 共 8 页一、本题共15小题，每小题2分，共30分。
1-8题为填空题：1．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++00043z ky kyx z y kx 有非零解，则=k _________. 2．二次型3231212322213212422),,(x x x x x x tx x x x x x f +++++=的秩为2，则t =_______.3．若可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=d d c b b a AB ，则矩阵=B . 4．设四阶方阵1(α=A 2α 3α)4α且=β+1α-2α3α4α+，则方程组β=Ax 的一个解向量=x . 5．方程组⎩⎨⎧=-+=++37431321321x x x x x x 与132321=++x x x 的公共解为 .6. 已知T 是线性空间2R 上的线性变换，并且)3,2()0,1(-=T ，)2,3()1,0(-=T ,则=)3,2(T .7. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，则齐次线性方程组0=*x A （*A 为A 的伴随矩阵）的基础解系中所含解向量的个数为 .8. 设3阶方阵A 与B 相似且A 的特征值为2,1,1-,则=+*E B 3 .第 2 页 共 5 页 线性代数（A 卷）9-15题为选择题：9. 设4阶矩阵],,,[432γγγα=A ，],,,[432γγγβ=B ，其中432,,,,γγγβα均为4维列向量，且已知1,4==B A ，则=+B A （ ）．（A ） 5； （B ） 4； （C ） 50； （D ） 40．10. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=654321A ，则 （ ）．（A ）对任意非零向量()Tb b b b 321,,=，方程组b Ax =都无解；（B ）对任意非零向量()T b b b b 321,,=，方程组b Ax =都有唯一解；（C ）对任意非零向量()Tb b b b 321,,=，方程组b Ax =都有无穷多解；（D ）存在非零向量()Tb b b b )1(3)1(2)1(1)1(,,=及()Tb b b b )2(3)2(2)2(1)2(,,=使方程组)1(bAx =有解，而方程组)2(b Ax =无解．11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32100000a a a A ，321,,a a a 互不相等，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211b b b b b b b b b B ，且BA AB =，则（ ）成立．（A ）E B = ； （B ）aE B =； （C ）0=B ； （D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332211000000b b b B ． 12. 设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若E AB =，则 （ ）. (A) 秩m A r =)(，秩m B r =)(； (B) 秩m A r =)(，秩n B r =)(；(C) 秩n A r =)(，秩m B r =)(； (D) 秩n A r =)(，秩n B r =)(．13. 已知4维向量组4321,,,αααα满足：秩),(21αα=秩2),,(321=ααα，秩3),,(421=ααα，那么，向量组4321,,αααα+的秩为 （ ）． （A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1.14. 下列命题正确的是 （ ）． (A) 设A 为n 阶方阵，则A 可以经过初等变换化为TA ；(B) 如果矩阵A 与B 等价，则A 的列向量组与B 的列向量组等价；(C) 如果向量组321,,ααα只有一个极大线性无关组，则321,,ααα线性无关； (D) 若矩阵A 和B 的乘积AB 可逆，则A 和B 都可逆.第 3 页 共 5 页 线性代数（A 卷）…………15. 设B A ,是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是 （ ）．T 相似； （B ）1-A 与1-B 相似； 与T +B B 相似； （D ）1-+A A 与1-+B B 相似.二、本题共2小题，满分24分。
大四高等数学试卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且a和b为f(x)的不连续点，则f(x)在(a,b)内必有界的是（）A.无界B.有界C.不确定D.既无界又有界2.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)>0，则f(x)在I上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性3.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)<0，则f(x)在I上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性4.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)=0，则f(x)在I上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性5.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)单调递增，则f(x)在I 上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)≥0。
（）2.若函数f(x)在区间I上单调递减，则f'(x)≤0。
（）3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f''(x)≥0。
（）4.若函数f(x)在区间I上单调递减，则f''(x)≤0。
（）5.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'''(x)≥0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数值为______。
2.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的二阶导数值为______。
3.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的三阶导数值为______。
4.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的四阶导数值为______。
5.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的五阶导数值为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.请简述泰勒公式的定义及其在数学分析中的应用。
2.请简述拉格朗日中值定理的定义及其在数学分析中的应用。
高等数学上册(理工类·第四版)考试必会基础习题资料
高等数学上册(理工类·第四版)考试必会基础习题第一章函数、极限与连续内容概要第3章中值定理与导数的应用内容概要函数，极限与连续&中值定理习题1~8★★ 5.利用等价无穷小性质求下列极限：（2）()23cos 1tan sin limx x x x -→；（3）()20tan sin 31ln limxx x x +→； （4）xx x x x arctan 1sin 1lim-+→；知识点：等价无穷小代换求极限；思路：要活用等价无穷小公式，如当0→x ，有03→x ，故3sin x ～3x ，以及有关定理。
（2）()()221limcos 1tan sin lim223023=⋅=-→→x xx x x x x x（3）当0→x 时，0sin 3→x x ，故()x x sin 31ln +～x x sin 3，()3sin 3lim tan sin 31ln lim2020==+→→x xx x x x x x ；（4）21sin 21lim arctan 1sin 1lim 00=⋅=-+→→x x xx x x x x x x ； 习题3~2★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：（7） xx-x x x sin tan lim0-→；知识点：洛必达法则。
思路：注意洛必达法则的适用范围。
该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：0型与∞∞型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于∞-∞型与∞⋅0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于00型、∞1型与0∞型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。
（7） 2230000tan sec 12tan sec 2limlim lim lim 2sin 1cos sin cos x x x x x x x x x x x x xx →→→→--====--； 习题1~6★ ★ 1．计算下列极限：（12）()xx x x -++∞→21lim ；（14）⎪⎭⎫⎝⎛---→311311lim x x x ； 知识点：极限求法思路：参照本节例题给出的几种极限的求法（12）()x x x x -++∞→21lim ()()=++++-+=+∞→xx xxx xx x 222111lim 211lim2=+++∞→xx x x ； （14）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x 321131lim x x x x --++=→()()()()2112lim 111x x x x x x →-+=-=--++； 习题1-7★ ★ 2．计算下列极限：（7）()xxx xe 11lim+→ ；知识点：重要极限： ()10lim 1e →+=WW W （或1lim 1e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭WW W ） 思路： 将函数表达式化成()10lim 1e →+=WW W （或1lim 1e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭WW W ），并利用指数函数运算性质 （()nmmn n m nm e e e e e=⋅=+,）得出结果（7） ()()e e xexe xxe xe xx xxx ==+=+⋅→→110101lim 1lim习题3-2★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：（14）x x x sin 0lim +→； （19）xx x x 12)1(lim +++∞→；知识点：洛必达法则。
山西省数学高三理数第四次考试试卷
山西省数学高三理数第四次考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知，则（）A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高一上·河北月考) 已知集合 A . 31 B . 32 C.3 D.4，则集合 A 的真子集个数为（ ）3. （2 分） (2018 高一上·江苏月考) 设集合，定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可以是（ ），函数的A.第 1 页 共 14 页B. C.D. 4. （2 分） (2018 高二上·沧州期中) 下列说法错误的是（ ）A.,B . 一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真C.“”是“”成立的必要条件D . “若，则”的逆否命题是真命题5. （2 分） (2016 高二下·右玉期中) 若 a∈R，则“关于 x 的方程 x2+ax+1=0 无实根”是“z=（2a﹣1）+（a ﹣1）i（其中 i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件第 2 页 共 14 页6. （2 分） 由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低 后的价格可降为（ ），设现在的电脑价格为 8100 元，则 3 年A . 2400 元 B . 2700 元 C . 3000 元 D . 3600 元 7. （2 分） (2018·广东模拟) 已知，则（）A.B.C.D. 8. （2 分） (2017 高一上·高州月考) 下列图象中表示函数图象的是 （ ）A.B.第 3 页 共 14 页C.D.9. （2 分） 设变量 x,y 满足约束条件 A.， 则目标函数的最大值和最小值分别为（ ）B.C.D.10. （2 分） (2019 高二上·双流期中) 已知命题：p：函数 y=x2-x-1 有两个不同的零点：命题 q：函数 y=cosx 的图象关于直线 x= 对称．在下列四个命题中，真命题是（ ）A. B. C.D.11. （2 分） 设 F1、F2 为双曲线 面积是（ ）A.1的两个焦点，点 P 在双曲线上满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2 的B. C.2第 4 页 共 14 页D.12. （2 分） 已知数列 满足 a1＝2，且对任意的正整数 m，n，都有 项和为 Sn ， 则 Sn 等于（ ），若数列 的前 nA.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 当 k＞0 时，两直线 kx﹣y=0，2x+ky﹣2=0 与 x 轴围成的三角形面积的最大值为________14. （1 分） 已知| |=2，| |=3， 、 的夹角为 60°，则|2 - |=________15. （1 分） (2020·淮安模拟) 已知函数满足，且，则，其中 e 为自然对数的底数，若存在实数 的取值范围为________．16. （ 1 分 ） (2020 高 二 下 · 长 春 月 考 ) 过 曲 线的切线，设切点为 M，延长交曲线焦点，若，则曲线 的离心率为________．的左焦点作曲线于点 N，其中有一个共同的三、 解答题 (共 7 题；共 60 分)17. （ 10 分 ） (2019· 天 河 模 拟 ) 在 ．中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（1） 求角 B 的大小；（2） 若，点 D 在 AC 边上，且，，求 c 边的长．18. （5 分） (2018 高三上·杭州月考) 已知椭圆的焦点坐标为，第 5 页 共 14 页，过 垂直于长轴的直线交椭圆于 、 两点，且.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，则 在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.的内切圆的面积是否存在最大值？若存19. （5 分） (2019·黄山模拟) 已知等差数列{an}满足 a4=7，其前 5 项和为 25，等比数列{bn}的前 n 项和 Sn=2n-1（n∈N*）.（I）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.20. （10 分） (2015 高三上·包头期末) 已知动点 M（x，y）到直线 ι：x=4 的距离是它到点 N（1，0）的距 离的 2 倍．（1） 求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2） 过点 P（0，3）的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点，若 A 是 PB 的中点，求点 A 的坐标．21. （10 分） (2020·攀枝花模拟) 已知 点 ，点 满足为圆上一点，过点 作 轴的垂线交 轴于（1） 求动点 的轨迹方程；（2） 设 为直线上一点， 为坐标原点，且，求面积的最小值.22. （10 分） (2017·赣州模拟) 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线 l： （1） 求曲线 C 的参数方程；（t 为参数，0≤α＜π）．第 6 页 共 14 页（2） 若直线 l 与曲线 C 相切，求直线 l 的倾斜角及切点坐标． 23. （10 分） (2016 高三上·汕头模拟) 已知函数 f（x）=|x﹣a|+|x+1| （1） 若 a=2，求函数 f（x）的最小值； （2） 如果关于 x 的不等式 f（x）＜2 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．第 7 页 共 14 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 60 分)17-1、17-2、第 9 页 共 14 页18-1、第 10 页 共 14 页19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
太原理工大学离散复习题
D.若R1和R2都是传递的，则R1∘R2也是传递的。
7.集合A={1.2.3……10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y∈A}则R的性质为（）
A.自反的B.对称的C.传递的D.对称的,传递的
8.判断下列那些命题是正}
B的最大元
B的最小元
B的极大元
B的极小元
B的上确界
B的下确界
无
无
2.4
2.5
无
无
3.试将下列公式化为主析取范式和主合取范式
（P Q） （ P R）
4.集合A={1，2，3，4}， x,y A，有X Y=min（x，y）
（1）请列出A上 运算的运算表。
（2）判断<A， >是否为独异点？写出判断的理由。
C.空集只是非空集合的子集D.空集只是任何集合的真子集。
9.P={x|(x+1)²≤4且x∈R}，Q={x|5≤x²+16且x∈R}，下列那些命题是正确（）
A.Q⊂PB.Q⊆PC.P⊂QD.P=Q
10.集合A上的恒等关系（）
A.是偏序关系不是恒等关系B.是等价关系不是偏序关系
C.既是等价关系又是偏序关系D.不是等价关系又是偏序关系
11.在任何图中必有偶数个（）
A.度数为偶数的结点B.入度为奇数的结点
C.度数为奇数的结点D.出度为奇数的结点
12.判断下列命题哪个正确（）
A.割点是唯一存在的B.只有e7可充当割边
C.e7不是割边D.v6是割点
13自然数集合N的基数与自然数集合N的笛卡尔积集合
N×N的基数相比较（）
A.自然数集合N的基数小于自然数集合N的笛卡尔积集合的基数
04高等数学(理工类)考研真题四
01数二考研题
12. 一个半球体状的雪堆 , 其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比 , 比 例常数 K 0 . 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状 , 已知半径为 r0 的雪 堆在开始融化的 3 小时内融化了其体积的 7 , 问雪堆全部融化需要多少小时 ? 8 01数二考研题
x
13. 已知函数 f ( x) 在 ( 0 , ) 内可导 , f ( x ) 0 , lim f ( x ) 1, 且满足
1 f ( x hx) lim e x, h 0 f (x ) 1 h
02数二考研题
. 11 .
. 12 .
考研真题四
1. 计算不定积分 : 2. 计算不定积分 : 3. 设 f ( x 2 1 ) ln 4. 计算不定积分 : 5. 计算不定积分 : 6. 计算不定积分 : 7. 计算不定积分 : 8. 计算不定积分 : 9. 设 f (ln x ) x 3 e x 2 dx . dx . sin 2 x 2 sin x x2 , 且 f [ ( x ) ] ln x , 求 ( x ) dx . x2 2 arctan x dx . x 2 (1 x 2 ) 1 dx . 1 sin x dx x (4 x) ln sin x dx . sin 2 x x2 x5 dx . 6 x 13 f ( x ) dx . .
94数二考研题
求 f (x). 14. 计算不定积分 xe arctan x dx . (1 x 2 ) 3/ 2
03数二考研题
15. 已知 f ( e x ) xe x , 且 f (1) 0 , 则 f ( x ) ________ .
04数一考研题
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x
6. 讨论函数 f ( x ) x 3x 3 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点.
1
x 7. 求极限 lim . x 1 x
四．证明题（12分）当 x 0 时， x ln x 1 x 2 1 x 2 1 . 五、应用题（12分）已知曲线 y x 2 ，求 （1）曲线上当 x 1 时的切线方程； （2）求曲线 y x 2 与此切线及 x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 Vx .
a x
).
5. 设函数 f ( x ) lim
n
1 x ，则下列结论正确的为 ( 1 x 2n
)
( A) 不存在间断点； (C ) 存在间断点 x 0 ；
( B ) 存在间断点 x 1 ； ( D ) 存在间断点 x 1 .
二．填空题（每题2分，共10分） 1. 极限 lim
) 是收敛的.
(C ) F ( e x ) c;
( D)
F (e x ) c. x
3. 下列广义积分中 (
( A) sin xdx;
( B)
1 dx; 1 x
1
(C )
x dx; 1 x2
( D ) e x dx
0
4.
f ( x ) 为定义在 [a, b] 上的函数，则下列结论错误的是 ( ( A) f ( x ) 可导，则 f ( x ) 一定连续； ( B ) f ( x ) 可微，则 f ( x ) 不一定可导； (C ) f ( x ) 可积，则 f ( x ) 一定有界； ( D ) f ( x ) 连续，则 f (t )dt 在 [a, b] 不一定可导.
d2y dx 2 .
x 0
3x t 3. 若有界可积函数 f ( x ) 满足关系 f ( x ) f ( )dt 3x 3, 求 f ( x ) . 0 3
4. 求不定积分 (1 sin 3 )d .
x 1, x 1 2 5. 设 f ( x ) 1 2 ，求定积分 f ( x )dx. 0 x , x 1 2
复习题四
一、选择题（每题2分，共10分） 1. lim
sin( x 2 1) ( x 1 x 1 ).
( A)
1;
( B)
0;
(C )
2;
( D)
1 . 2
).
2. 若 f ( x ) 的一个原函数为 F ( x ) ，则 e x f ( e x )dx 为 (
( A) F ( e x ) c; ( B ) F ( e x ) c;
x 0
x2 1 1 ______ . x
x 1 t2 2. 曲线 在 t 2 处的切线方程为 ______ . 3 yt
3. 设 f ( x ) 在 x 2 处连续，且 lim 4. 曲线 y 5.
f ( x) 2 ，则 f ( 2) ______ . x2 x 2
3 2 2 x 上相应于 x 从3到8的一段弧长为 ______ . 3
f ( x ) 的导函数是 sin x ，则 f ( x ) 的一个原函数为 ______ .
三．计算题（每题8分，共56分）
1. 已知函数 y arcsin x e x cos(3 2 x ) ，求 dy. 2. 设函数 y f ( x ) 由方程 xy e y e 确定，求