2016-2017学年河北省廊坊市省级示范高中联合体高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年河北省廊坊市省级示范高中联合体高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．已知复数3547i z i-=+，则复数z 的虚部为（ ） A. 165B. 4765-C. 4765D.4765i 【答案】C 【解析】()()()()35473514747474765i i i iz i i i ---+===++-,所以复数z 的虚部为4765. 本题选择C 选项.2．已知集合{}1,3,5,7A =， ()(){}|2150 B x x x =-->，则()R A C B ⋂=（ ） A. {}1,3 B. {}1,3,5 C. {}3,5 D. {}3,5,7 【答案】B【解析】()(){}11|2150 |5,|522R B x x x x xx C B x x ⎧⎫⎧⎫=-->=∴=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或，又因为集合{}1,3,5,7A =，所以(){} 1,3,5R A C B ⋂=. 本题选择B 选项.3．()12xex dx +⎰等于（ ）A. eB. 1C. 1e -D. 1e +【答案】A【解析】()()()()121002|110.x x e x dx e x e e ⎰+=+=+-+=本题选择A 选项.4．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心(),x yB. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D. 甲、乙两个模型的2R 分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 【答案】D【解析】对于A ，回归直线一定过样本中心，正确；对于B ，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适。

带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高。

故正确；对于C ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故正确；对于D ，∵相关指数2R 取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，又∵甲、乙两个模型的相关指数2R 的值分别约为0.98和0.80，0.98>0.80，∴甲模型的拟合效果好，故不正确。

本题选择D 选项.5．已知实数,,a b c ，满足2log 257a =， 2.62b =， 14c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c b a <<D. b c a << 【答案】C【解析】由题意可得：22log 257log 2568a =>=，2.63228b =<=，2.6124c b ⎛⎫====<== ⎪⎝⎭，综上可得：c <b <a . 本题选择C 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6．在,,,,,A B C D E F 六个人中任选三人参加比赛，其中A 和E 不能同时参加比赛， B 和C 两人要么都参加比赛，要么都不参加，则不同的参赛方案有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 8种 D. 10种 【答案】B【解析】列出6人中选3人的所有结果如下： ABC ,ABD ,ABE ,ABF , ACD ,ACE ,ACF ,ADE , ADF ,AEF ,BCD ,BCE , BCF ,BDE ,BDF ,BEF , CDE ,CDF ,CEF ,DEF ,观察可得，满足题意的结果共有6个. 本题选择B 选项.7．随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若(5)(1)p a p a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】C【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N (4,3)，∵P (ξ<a −5)=P (ξ>a +1)，∴x =a −5与x =a +1关于x =4对称，∴a −5+a +1=8，∴2a =12，∴a =6. 本题选择C 选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.8．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）A.1 B ．1- C ．0 D ．2 【答案】A【解析】令1x =可得401234(2a a a a a ++++=令1x =-可得401234(2a a a a a -+-+=所以22024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+444(2(2[(21===故选A9．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 27 B. 36 C. 33 D. 30 【答案】D【解析】因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有： 233318C A ⨯=种；3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有：132312C A ⨯=种；所以，选派方案共有18+12=30种。

本题选择D 选项.10．将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”，“至少出现一个6点”，则概率等于（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵P （A|B ）=P （AB ）÷P （B ），P （AB ）=P （B ）=1-P （.B ）=1-∴P （A/B ）=P （AB ）÷P （B ）=【考点】条件概率与独立事件11．下列说法中，正确的个数是（ ） ①函数()22xf x x =-的零点有2个；②函数sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π； ③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则()00f x '=”的否命题是真命题；④12π-=.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】对于①由题意可知：要研究函数()22xf x x =-的零点个数，只需研究函数22,x y y x ==的图象交点个数即可。

画出函数22,x y y x ==的图象，由图象可得有3个交点。

所以①不正确；对于②,函数12sin 2sin 243623y x x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数的最小正周期2π，所以②不正确； 对于③,命题“函数f (x )在x =x 0处有极值,则f ′(x 0)=0”的否命题是：若f ′(x 0)=0,则函数f (x )在x =x 0处有极值,显然不正确。

利用y =x 3，x =0时，导数为0，但是x =0不是函数的极值点，所以是真命题；所以③不正确；对于④, 11-⎰的几何意义是半圆的面积,圆的面积为π,112π-⎰=.所以④正确；本题选择B 选项.12．已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若10223x x x +=，函数()()()0g x f x f x =-，则()g x （ ） A. 恰有一个零点 B. 恰有两个零点 C. 恰有三个零点 D. 至多两个零点 【答案】B 【解析】由已知()()()()()()323200g x f x f x x ⎡⎤=-=++-++=-+++++⎣⎦,()2'32f x x ax b =++,由题可知121221023{332ax x bx x x x x +=-⋅=-=,代入上式可得()()()201g x x x x x =-⋅-，所以()g x 恰有两个零点.点晴：本题考查的是函数的零点问题，解决本题的关键有两个，一方面利用题目条件()32x x ax bx =++有两个极值点12,x x 得到012,a b x x x ，与，的关系121221023{332a x x bx x x x x +=-⋅=-=，并且通过作差化简整理得()()()220000g x x x x x a x x ax b ⎡⎤=-+++++⎣⎦，两者结合可得()()()201g x x x x x =-⋅-从而得到()g x 恰有两个零点.二、填空题13．现有这么一列数，2， 32， 54， 78，（ ），1332， 1764，…，按照规律，（ ）中的数应为__________.【答案】1116【解析】由题意可得，分子为连续的质数，分母依次为首项为2、公比为2的等比数列，故括号中的数应该为1116.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．14．若()45218x ax ⎛- ⎝的展开式中含3x 项的系数是16，则a =________.【答案】2±【解析】42ax ⎛ ⎝展开式的通项公式为()()5842421441rr rr rr r r T C ax C a x ---+⎛==- ⎝， 0,1,2,3,4r =.令5832r -=，得2r =； 令5822r -=-，得4r =. ∴依题设，有224816C a -=， 解得2a =±.点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是23，没有平局，若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于__________.【答案】2027【解析】甲队获胜分2种情况①第1、2两局中连胜2场,概率为1224339P =⨯=； ②第1、2两局中甲队失败1场，而第3局获胜，概率为1222228133327P C ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭ 因此,甲队获胜的概率为122027P P P =+=. 16．已知函数()211log e xf x x e e⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则使得()()121f x f x +<-成立的x 的范围是__________． 【答案】02x << 【解析】由题意得,函数()f x 定义域是R ，∵()()()()221111log log e e x x f x x f x x f x e e e e -⎛⎫⎛⎫-=-+-==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 是偶函数，∵偶函数()f x 在()0,+∞ 上单调递减, ()()121f x f x +<-，∴121x x +>- ,解得02x <<，故答案为： 02x <<.三、解答题17．设函数2()21,[0,2]f x x ax a x =+--∈，a 为常数.（1）用()g a 表示()f x 的最小值，求()g a 的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立，若成立，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）⎪⎩⎪⎨⎧-≤+<<----≥--=2,3302,10,1)(2a a a a a a a a g ；（2）m 的最小值为0.【解析】试题分析：(1)利用函数的对称轴,讨论a 的范围,求出二次函数的最小值,求)(a g 的解析式；(2)判断存在,利用)(a g 的单调性,求出)(a g 的最小值,然后求解m 的值.试题解析：（1）对称轴a x -=①当00≥⇒≤-a a 时，()f x 在]2,0[上是增函数，当0=x 时，有最小值1)0(--=a f ；②当22-≤⇒≥-a a 时，()f x 在]2,0[上是减函数，2=x 时，有最小值33)2(+=a f ；③当0220<<-⇒<-<a a 时，()f x 在]2,0[上不单调，a x -=时有最小值1)(2---=-a a a f ；⎪⎩⎪⎨⎧-≤+<<----≥--=∴2,3302,10,1)(2a a a a a a a a g（2）存在，由题知)(a g 在]21,(--∞是增函数，在),21[+∞-是减函数 21-=a 时，43)(max -=a g0)(≤-m a g 恒成立，43,)(max -≥∴≤⇒m m a g .m 为整数，∴m 的最小值为0.【考点】函数的单调性；恒成立问题.【方法点晴】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）.找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值. 18．为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙（Ⅰ）根据题目完成22⨯列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．（Ⅱ）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为12，13，13，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望()E X．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（Ⅰ）2×2列联表如下由()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++算得，()()()()()22110403020207.8 6.6354020203040202030K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关 5分 （Ⅱ）设,,A B C 成绩优秀分别记为事件,,M N R ，则()()()11,23P M P N P R === ∴随机变量X 的取值为0，1，2，3 6分()()122202339P x P MNR ===⨯⨯=, ()()122112121412332332339P x P MNR MNR MNR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ()()1121111215223323323318P x P MNR MNR MNR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()1111323318P x P MNR ===⨯⨯=10分E(X) =0×+1×+2×+3× = 12分 【考点】2×2列联表，概率，分布列及期望.19．为了解某校学生假期日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图（1）求这500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数x 和样本方程2s （同一组中的数据用该组的中点值做代表）（2）由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ， 2σ近似为样本的方差2s ，（i ）利用该正态分布，求(100122.8)P X <≤；（ii ）若随机从该校学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生假期日平均数学学习时间位于()77.2,122.8的人数，利用（i ）的结果，求()E ξ.附： 11.4≈若()2~,X N μσ，则()p X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544p X μσμσ-<≤+=【答案】(1) 2100,520x s ==；(2) (i)0.3413；(ii)136.52. 【解析】试题分析：(1)结合所给的频率分布直方图可得平均数学学习时间的样本平均数x =100，样本方程2s =520；(2)(i )利用正态分布的对称性可得(100122.8)P X <≤=0.3413； (ii )结合(i )的结论和正态分布的性质可得()E ξ=136.52.试题解析：（1）600.1800.241000.331200.221400.11100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()22222400.1200.240200.22400.11520s =-⨯+-⨯++⨯+⨯=（2）（i ）由（1）知X 服从正态分布()100,520N ，且2σ=， 所以1P X <≤（）=1177.2122.810022.810022.822P X P X <<=-<<+（）（） 10.68260.34132=⨯= （ii ）由（i ）知学生假期日平均数学学习时间位于（77.2,122.8）的概率为0.6826，依题意ξ服从二项分布,即()~200,0.6826B ξ，()2000.6826136.52E ξ∴=⨯=20．已知函数()1ln xf x x ax-=+，（ 0a >） （1）当2a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围； （3）求函数()f x 在区间[]1,2的最小值.【答案】(1) 210x y --=；(2)为[)1,+∞;(3)当1a ≥时, ()min 0f x =; 当102a <≤时, ()min 1ln22f x a =-当112a <<时, ()min 11ln 1f x a a=+-. 【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数的切线方程可得切线方程为210x y --=； (2)结合函数的定义域和恒成立的条件可得a 的取值范围是[)1,+∞； (3)结合题意分类讨论可得当1a ≥时, ()0min f x =; 当102a <≤时, ()122min f x ln a =-当112a <<时, ()111min f x ln a a=+-. 试题解析： (1)当2a =时,()1,(0)2xf x lnx x x-=+>,且()10f =又∵()221,(0)2x f x x x -=>' ∴()f x 在1x =处的切线斜率为()112f '= 所以切线方程为()112y x =-,即210x y --= (2) ()21,(0)ax f x x ax '-=>由已知得()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立,即1a x ≥在[)1,+∞上恒成立,又当[)1,x ∈+∞时11x ≤,所以1a ≥,即a 的取值范围为[)1,+∞(3)当1a ≥时()0f x '≥在[]1,2上恒成立,此时()f x 在[]1,2为增函数,所以()()10min f x f == 当102a <≤时, ()0f x '≤在[]1,2上恒成立,此时()f x 在[]1,2为减函数,所以()()1222minf x f ln a==-当112a <<时,令()0f x '=,得()11,2x a =∈又因对于任意11,x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭有()0f x '< ,对于任意1,2x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()0f x '>,∴()1111min f x f ln a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭综上所述,当1a ≥时, ()0min f x =; 当102a <≤时, ()122min f x ln a=- 当112a <<时, ()111min f x ln a a=+- 21．设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，a R ∈. （1）令()'()g x f x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值.求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞，当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a +∞；（2）12a > 【解析】试题分析：（1）先求出()'()g x f x =的解析式，然后求函数的导数()g x '，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求出()g x 的单调区间；（2）分别讨论a 的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证可得结论.试题解析：（1）()ln 22g x x ax a =-+，(0,)x ∈+∞，则112'()2axg x a x x-=-=， 当0a ≤时，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >，当0a >时，1(0,)2x a∈时，'()0g x >， 1(,)2x a∈+∞时，'()0g x <，所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a +∞.（5分） （2）由（1）知，'(1)0f =.①当0a ≤时，(0,1)x ∈时，'()0f x <，(1,)x ∈+∞时，'()0f x >， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由（1）知'()f x 在1(0,)2a内单调递增， 当(0,1)x ∈时，'()0f x <，1(1,)2x a∈时，'()0f x >，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=时，'()f x 在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，'()0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a <<，当1(,1)2x a∈时，'()0f x >，()f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，体现了导数的综合应用，着重考查了函数的单调性、极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，把问题等价转化等是解答的关键，综合性强，难度较大，平时注意解题方法的积累与总结，属于难题. 22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.【答案】（I）直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为.（II）.【解析】试题分析：(Ⅰ) 消去得直线的普通方程为.由极坐标与直角坐标互化公式，可得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 设曲线上的点为,则点到直线的距离为当时, ,可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.试题解析：(Ⅰ)由消去得,所以直线的普通方程为.由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为当时, ,所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.法2: 设与直线平行的直线为,当直线与圆相切时, 得,解得或(舍去),所以直线的方程为.所以直线与直线的距离为.所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.23．已知函数()12f x x a x a =+-+-. （1）若()13f <，求实数a 的取值范围； （2）若1a ≥， x R ∈，求证： ()2f x ≥ 【答案】(1) 24,33⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意分类讨论0a ≤， 102a <<, 12a ≥三种情况可得实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)由题意结合三角不等式的性质即可证得题中的结论. 试题解析：(1) 因为()13f <，所以123a a +-<.① 当0a ≤时，得()123a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤;② 当102a <<时，得()123a a +-<，解得2a >-，所以102a <<;③ 当12a ≥时，得()123a a --<，解得43a <，所以1423a ≤<;综上所述，实数a的取值范围是24,33⎛⎫-⎪⎝⎭.(2) 因为1,a x≥∈R ,所以()()()1212f x x a x a x a x a=+-+-≥+---31a=-31a=-2≥.。