精美编排-高中数学必修2第三章练习与章末检测合集-含答案

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人教版必修二第三章测试题(含答案)

第三章测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列四个命题中，正确的共有（）.（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；（2）直线的倾斜角的取值范围是[]0π，；（3）若两直线的斜率相等，则他们平行；（4）直线y =k x +b 与y 轴相交，交点的纵坐标的绝对值叫截距. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．如图：直线l 1 的倾斜角1=30°，直线 l 1 l 2 ，则l 2的斜率为（）.Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.3．已知，则直线通过（）. A . 第一、二、三象限B . 第一、二、四象限C . 第一、三、四象限D . 第二、三、四象限4．已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（）.A ．B ．C ．D ．5．如果直线l ：x ＋a y ＋2＝0平行于直线2x －y ＋3＝0，则直线l 在两坐标轴上截距之和是（）.A ．6B ．2C ．－1D ．－26．不论为何实数，直线恒过（）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若直线210(1)10,x ay a x ay a +-=--+=与平行则的值为（）. A ．21 B ．21或0 C ．0 D ．2-8．点（-1，1）关于直线x -y -1=0的对称点（）. A ．(-1，1)B ．(1， -1)C ．(-2，2)D ．(2，-2)9．等腰三角形两腰所在直线方程分别为x +y =2与x -7y -4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在的直线斜率为（）.α⊥33-333-30,0ab bc <<ax by c +=01=-+by ax y 1-033=--y x 1,3==b a 1,3-==b a 1,3=-=b a 1,3-=-=b a a (3)(21)70a x a y ++-+=A ．3B ．2C ．31-D ．21-10．点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（）.A . [0，5]B . [0，10]C . [5，10]D . [5，15]11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）.A ．3B ．2C ．13- D ．12-12．如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则⊿ABC 的边长是（）.A ．23B ．364 C ．3174D ．2213二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．与直线平行，并且距离等于3的直线方程是． 14．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是： ①15；②30；③45；④60；⑤75，其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）15．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=．设i P 是il (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是．16．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里,,,a b c p 均为非零实数，设直线,BP CP 分别与边,AC AB 交于点,E F ，某同学已正确求得直线OE 的方程为1111()()0x y bcpa-+-=，请你完成直线OF 的方程：（）11()0x y p a+-=.5247=+y x A B Cx y POFE三、解答题 17．（10分）已知三角形ABC 的顶点是A （-1，-1），B （3，1），C （1，6）.直线L 平行于AB ，且分别交AC ，BC 于E ， F ，三角形CEF 的面积是三角形CAB面积的.求直线L 的方程.18．（12分）过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２x －５y ＋９＝０与Ｌ２：２x －５y －７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线x －４y －１＝０上，求直线Ｌ的方程.19．（12分）已知点A 的坐标为，直线的方程为3x ＋y －2＝0，求：（1）点A 关于直线的对称点A′的坐标；（2）直线关于点A 的对称直线的方程．20．（12分）在△ABC 中，A （m ，2），B （-3，-1），C （5，1），若BC 的中点M 到AB 的距离大于M 到AC 的距离，试求实数m 的取值范围.21．（12分）光线从A （-3，4）点出发，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过D （-1，6）点，求直线BC 的方程.22．（12分）有定点P （6，4）及定直线l :y=4x ，点Q 是在直线l 上第一象限内的点，41)4,4(-l l l l '直线PQ 交x 轴的正半轴于M ，则点Q 在什么位置时，△OMQ 的面积最小？参考答案一、选择题1．选A .垂直于x 轴的直线斜率不存在；倾斜角的范围是[)0π，；两直线斜率相等，它们可能平行，也可能垂直；直线y=kx+b 与y 轴相交，交点的纵坐标叫直线在y 轴上的截距.2．选C .3．选C .，所以通过第一、三、四象限. 4．选D . 由ax+by -1=0，得b x b a y 1+-=. 当x=0时，y=b 1；11-=b，得b=-1.060ay a b-=︒-==的倾斜角为，所以5． B .选由两直线平行，得a=-0.5，所以直线方程为x -0.5y +2=0，当x=0时，y=4;当y=0时，x=-2.故4+(-2)=2.6．选B . 由方程（a +3）x+(2a -1)y+7=0 ，得：（x +2y ）a +3x -y +7=0，故x +2y =0且3x -y +7=0. 解得x =-2，y =1. 即该直线恒过（-2，1）点，则恒过第二象限.7．选A .当0a =时，两直线重合，不合题意；1110,.22a a a aa-≠=-=当时，解之得8．选D .设对称点为（a ，b ），则依题意，111022111a b b a -+--=-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，解得：22.a b ==-⎧⎨⎩，9．选A .设底面所在直线斜率为k ，则由到角公式得11(1)k k--=+-⨯17117k k -+，解得3=k 或31-=k （不符合题意舍去），所以3=k . 10．选B .根据题意可知点P 在线段4x +3y =0(－14≤x －y ≤7)上，有线段过原点，故点P 到原点最短距离为零，最远距离为点(6,8)P -到原点距离且距离为10，故选B .11．选A .11:20,1l x y k +-==-，221:740,7l x y k --==，设底边所在直线的斜率为11221,k k k k =⋅=-∴=,0,0a c a cy x k b b b b=-+=-><k ，由题意，l 3与l 1所成的角等于l 2与l 1所成的角，于是有：121217111173k k k k k k k k k k k --+-=⇒=++-+，再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A .12. 选D ．过点Ｃ作2l 的垂线4l ，以2l 、4l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．设(,1)A a 、(,0)B b 、(0,2)C -，由AB BC AC ==，知2222()149a b b a -+=+=+=边长，检验A ：222()14912a b b a -+=+=+=，无解；检验B ：22232()1493a b b a -+=+=+=，无解；检验D ：22228()1493a b b a -+=+=+=，正确. 二、填空题13. 设所求直线方程为7x +24y +C=0，由两平行线间的距离公式得：，解得C=-80或70.【答案】或 14. 两平行线间的距离为211|13|=+-=d ，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.故填写① ⑤.【答案】①⑤15. 设12300(0,),(,0),(,)P b P a P x y ．由题设点1P 到,A B 两点的距离和为d =显然当3b =即1(0,3)P 时，点1P 到,A B 两点的距离和最小．同理23(2,0),(1,0)P P ，所以123231322P P P S P P b ∆=⨯⨯=．【答案】3216.画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1yx b a +=，直线CP ：1yx c p+=，两式相减得1111()()0x y c b p a -+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．【答案】 11cb-三、解答题17.【解析】由已知，直线AB 的斜率K=，3d ==080247=-+y x 070247=++y x 21∵EF ∥AB ，∴ 直线EF 的斜率为 K=， ∵三角形CEF 的面积是三角形CAB 面积的，∴E 是CA 的中点. 又点E 的坐标（0，），直线EF 的方程是，即. 18. 【解析】设线段ＡＢ的中点P 的坐标（a ，b ），由P 到L 1，、L 2的距离相等，得=经整理得，，又点P 在直线x －4y －1＝0上，所以.解方程组251034101a b a a b b -+==---==-⎧⎧⎨⎨⎩⎩，得，即点P 的坐标（-3，-1），又直线L 过点（2，3），所以直线Ｌ的方程为，即.19. 【解析】（1）设点A′的坐标为（x ′，y ′）.因为点A 与A′关于直线对称，所以AA′⊥，且AA′的中点在上，而直线的斜率是－3，所以′＝.又因为＝．再因为直线的方程为3＋－2＝0，AA′的中点坐标是（），所以3·－2＝0 .由①和②，解得x ′＝2，y ′＝6.所以A′点的坐标为（2，6） . （2）关于点A 对称的两直线与互相平行，于是可设的方程为3＋＋c ＝0. 在直线上任取一点M （0，2），其关于点A 对称的点为M ′（x ′，y ′），于是M ′点在上，且MM ′的中点为点A ，由此得024422x y ''++=-=，，即x ′＝－8，y ′＝6. 于是有M ′（－8，6）.因为M 点在上，所以3(－8)＋6＋＝0，∴＝18 . 故直线的方程为3x ＋y ＋18＝0 .20. 【解析】M （1，0），设M 到AB 、AC 的距离分别为d 1，d 2. 当m ≠-3，m ≠5时，由两点式得AB 的直线方程为(1)(3)2(1)(3)y x m ----=----，即3(3)60x m y m -+-+= 同理得AC 的直线方程15215y x m --=--，即 x - (m -5)y +m -10=0．214125x y 2125=-052=+-y x 0152=+-b a 014=--b a )3(2)3()1(3)1(----=----x y 0754=+-y x l l l l A A k '31A A k '314x 4y ,4x 4y =+'-'+'-'所以l x y 24y ,24x +'-'24y 24x +'+-'l l 'l 'x y l l 'l '⨯c c l '1222996181026m m d d m m m m --==++-+，，由于d 1>d 2，即22996181026mm m m m m --++-+>，解得：m <12.21. 【解析】如图所示，由题设，点B 在原点O 的左侧，根据物理学知识，直线BC 一定过（-1，6）关于y 轴的对称点（1，6），直线AB 一定过（1，6）关于x 轴的对称点（1，-6）且k AB =k CD ，∴k AB = k CD = 4631+--=52-.∴AB 方程为y -4 =52-(x +3).令y =0，得x =75-，∴B （75-，0）.CD 方程为y -6 =52-(x +1). 令x =0，得y =72，∴B （0，72）.∴BC 的方程为17752x y+=-，即5x -2y +7=0.22. 【解析】设点Q （x 0，4x 0）（x 0＞1），由题意显然x 0≠6，∴直线PQ 的方程为00444(6)6x y x x --=--，令y=0，得x M = 0051x x - ，∴点M 的坐标为（0051x x -，0），设△OMQ 的面积为S ，则2000101421x S OM x x =⋅=-20010=11x x -+2010=111()+x 24--≥40，（当且仅当x 0=2时等号成立）.当S =40时，x 0=2，4x 0=8，∴点Q 的坐标为（2，8）.而当x 0=6时，点Q （6，24），此时S =12×6×24=72＞40，不符合要求，故当点Q 坐标为（2，8）时，△OMQ 的面积最小，且最小值为40.。

(精校版)人教版必修二数学第三章测试题及答案解析

13
三、解答题
16．解：设所求直线的方程为 y＝ 3 x＋b，
4
令 x＝0,得 y＝b,所以直线与 y 轴的交点为(0，b)；
令 y＝0，得 x＝－ 4 b,所以直线与 x 轴的交点为＋ 4 b＋0 ．
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3
由已知，得|b｜＋＋ 4 b ＋ b2 ＋＋ 4 b2 ＝12，解得 b＝±3．
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18．解：(1)当 x，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令 m2―2m―3＝0,解得 m＝－1，m＝3;
令 2m2＋m－1＝0，解得 m＝－1，m＝ 1 ．
2
所以方程表示一条直线的条件是 m∈R，且 m≠－1．
(2）由（1）易知，当 m＝ 1 时,方程表示的直线的斜率不存在，
5．已知等边△ABC 的两个顶点 A（0，0),B(4，0），且第三个顶点在第四象限，则 BC 边所
在的直线方程是（ )．
A．y＝－ 3 x
B．y＝－ 3 (x－4)
C．y＝ 3 （x－4）
D．y＝ 3 （x＋4）
6．直线 l：mx－m2y－1＝0 经过点 P(2,1）,则倾斜角与直线 l 的倾斜角互为补角的一条直
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高一数学必修2第三章检测试卷及答案

请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！高一数学必修2第三章数学试卷考试时间：120分钟总分150分一、选择题（本大题共12个题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）1．若直线x ＝1的倾斜角为 α，则 α( )． A ．等于0B ．等于πC ．等于2π D ．不存在2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2（第2题）3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )．A ．2B ．－2C ．4D ．14．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ．3π B ．32π C ．4π D ．43π 5．如果l 的一般式方程为012=+-y x ，则直线l 不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知点A （2,a ）(a ＞0)到直线l:03=+-y x 的距离为1，则a 的值为（）A ．21-- B.21+- C. 21- D.21+7．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )．A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝ 0D ．3x ＋19y ＝08．直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )．A ．3B ．－3C ．1D ．－19. 直线0=++c by ax 的倾斜角为135°，则b a ,满足（）A. 1=+b aB. 1=-b aC. 0=+b aD. 0=-b a 10.到直线0143=--y x 的距离为2的直线方程为（） A ．01143=--y x B. 01143=+-y xC ．094301143=+-=--y x y x 或 D.094301143=+-=+-y x y x 或11. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )．A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝012. 点),(y x P 在直线04=-+y x 上，则22y x +的最小值是（） A. 8 B. 22 C.2 D.16 二、填空题(本大题共四个小题，每题5分，共20分)13．若三点A (－2，3)，B (3，－2)，C (21，m )共线，则m 的值为． 14．已知0＞m ，则点)2,1(m m p -到直线的x y =的距离为 . 15．已知点A (－2，1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，则P 点坐标为．16．已知点A （2，3）、B （1-，2），则AB = ．班级姓名得分……密……………………封……………………线……………………………………请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！三、解答题（本题共6题，共70分，解答应写出文字说明、正面过程或演算步骤） 17,.(本题满分10分) （1）求点)7,5(-p 到直线03512=-+y x 的距离.18.(本题满分10分)直线)0(0126≠=--a a y ax 在.x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求a 值及其斜率.19. （本题满分12分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程。

高中数学第三章三角函数章末检测湘教版必修2-湘教版高一必修2数学试题

第三章三角函数章末检测一、选择题1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( )A ．390°B．420° C ．450°D．480° 答案 B2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵P (tan α，cos α)在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，由tan α<0，得α在第二、四象限，由cos α<0，得α在第二、三象限 ∴α的终边在第二象限．3．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于( ) A ．第一、二象限B ．第二、三象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限答案 B4．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( ) A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，两边平方，得sin θcos θ＝a 2－12<0，故－π2<θ<0且cos θ>－sin θ，∴|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－π4<θ<0，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13.5．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )A ．1B ．2 C.12D.13 答案 B解析由图象知2T ＝2π，T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2.6．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )答案 D解析若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．7．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 D解析 ∵a ＝sin 5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7.2π7－π4＝8π28－7π28>0.∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin α>cos α.∴a ＝sin 2π7>cos 2π7＝b .又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan 2π7>sin 2π7＝a .∴c >a .∴c >a >b .8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．－310B.310C ．±310D.34答案 B解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 答案 C解析函数y ＝sin x ――→向右平移π10个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.10．函数f (x )＝－cos x ln x 2的部分图象大致是下列选项中的( )答案 A解析函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－cos(－x )ln(－x )2＝－cos x ln x2＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项C 和D ；当x ∈(0,1)时，cos x >0,0<x 2<1，则ln x 2<0，于是f (x )>0，此时函数f (x )的图象位于x 轴的上方，排除选项B. 二、填空题11．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为________cm. 答案 6π＋40解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l ＝|α|·r ＝6π. ∴周长为(6π＋40) cm.12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.答案 0解析方法一由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT ＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将(π4，0)代入上式sin(3π4＋φ)＝0.∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z ，则φ＝k π－3π4，k ∈Z .∴f (7π12)＝2sin(7π4＋k π－3π4)＝0.方法二由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，f (x 0)＝－f (x 0＋T2)，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝－f (π4)＝0.13．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．答案 8解析 T ＝6，则5T4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8.14．有下列说法：①函数y ＝－cos2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin2x 的图象；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．答案 ①④解析对于①，y ＝－cos2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错．三、解答题15．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |， ∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.16．已知f (α)＝sin2π－α·cos 2π－α·tan －π＋αsin －π＋α·tan －α＋3π.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0. ∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝cos 5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3)＝cos π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34.17．函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )的最小正周期为π，y 0＝3. 由2x 0＋π6＝52π得x 0＝7π6(2)因为x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，知x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象是。

人教版必修二数学第三章测试题及答案解析

第三章直线与方程一.选择题1．下列直线中与直线x－2y＋1＝0平行的一条是()．A．2x－y＋1＝0B．2x－4y＋2＝0C．2x＋4y＋1＝0D．2x－4y＋1＝02．已知两点A(2,m)与点B(m,1)之间的距离等于13,则实数m＝()．A．－1B．4C．－1或4D．－4或13．过点M(－2,a)和N(a,4)的直线的斜率为1,则实数a的值为()．A．1B．2C．1或4D．1或24．假如AB＞0,BC＞0,那么直线Ax―By―C＝0不经由的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知等边△ABC的两个极点A(0,0),B(4,0),且第三个极点在第四象限,则BC边地点的直线方程是()．A．y＝－3x B．y＝－3(x－4)C．y＝3(x－4)D．y＝3(x＋4)6．直线l：mx－m2y－1＝0经由点P(2,1),则竖直角与直线l 的竖直角互为补角的一条直线方程是()．A．x―y―1＝0B．2x―y―3＝0C．x＋y－3＝0D．x＋2y－4＝07．点P(1,2)关于x轴和y轴的对称的点依次是()．A ．(2,1),(－1,－2)B ．(－1,2),(1,－2)C ．(1,－2),(－1,2)D ．(－1,－2),(2,1)8．已知两条平行直线l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0,l 2 : 6x ＋by ＋c ＝0间的距离为3,则b ＋c ＝()．A ．－12B ．48C ．36D ．－12或489．过点P (1,2),且与原点距离最大的直线方程是()． A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝010．a ,b 知足a ＋2b ＝1,则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点()．A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，61 －B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 －，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 ，21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 －，61二.填空题11．已知直线AB 与直线AC 有雷同的斜率,且A (1,0),B (2,a ),C (a ,1),则实数a 的值是____________．12．已知直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k 的取值规模是____________．13．已知点(a ,2)(a ＞0)到直线x －y ＋3＝0的距离为1,则a 的值为________．14．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经由一个定点,则过这必定点和原点的直线方程是 ____________________．15．已知实数x ,y 知足5x ＋12y ＝60,则22 ＋ y x 的最小值等于____________．三.解答题16．求斜率为43,且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程．17．过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1 : 4x ＋3y ＋1＝0与l 2 : 4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2,求直线l 的方程．18．已知方程(m 2―2m ―3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0(m ∈R )．(1)求该方程暗示一条直线的前提;(2)当m 为何实数时,方程暗示的直线斜率不消失？求出这时的直线方程;(3)已知方程暗示的直线l 在x 轴上的截距为－3,求实数m 的值;(4)若方程暗示的直线l 的竖直角是45°,求实数m 的值． 19．△ABC 中,已知C (2,5),角A 的等分线地点的直线方程是y ＝x ,BC 边上高线地点的直线方程是y ＝2x －1,试求极点B 的坐标．参考答案一.选择题 1．D解析：应用A 1B 2－A 2B 1＝0来断定,消除A,C,而B 中直线与已知直线重合．2．C解析：因为|AB |＝1 －＋－ 222)()(m m ＝13,所以2m 2－6m ＋5＝13．解得m ＝－1或m ＝4． 3．A解析：依前提有2 ＋－ 4a a ＝1,由此解得a ＝1．4．B解析：因为B ≠0,所以直线方程为y ＝B A x －BC ,依前提B A＞0,BC ＞0．即直线的斜率为正值,纵截距为负值,所以直线不过第二象限．5．C解析：因为△ABC 是等边三角形,所以BC 边地点的直线过点B ,且竖直角为3π,所以BC 边地点的直线方程为y ＝3(x －4)．6．C解析：由点P 在l 上得2m ―m 2―1＝0,所以m ＝1．即l 的方程为x ―y ―1＝0．所以所求直线的斜率为－1,显然x ＋y －3＝0知足请求． 7．C解析：因为点(x ,y )关于x 轴和y 轴的对称点依次是(x ,－y )和(－x ,y ),所以P (1,2)关于x 轴和y 轴的对称的点依次是(1,－2)和(－1,2)．8．D解析：将l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0, 因为两条直线平行,所以b ＝8．由228 ＋ 6 － 10c＝3,解得c ＝－20或c ＝40．所以b ＋c ＝－12或48．9．A解析：设原点为O ,依前提只需求经由点P 且与直线OP 垂直的直线方程,因为k OP ＝2,所以所求直线的斜率为－21,且过点P ．所以知足前提的直线方程为y －2＝－21(x －1),即x ＋2y －5＝0．10．B解析：办法1：因为a ＋2b ＝1,所以a ＝1－2b ．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0．整顿得(1－2x )b ＋(x ＋3y )＝0．所以当x ＝21,y ＝－61时上式恒成立．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．办法2：由a ＋2b ＝1得a －1＋2b ＝0．进一步变形为a ×21＋3×⎪⎭⎫⎝⎛61 －＋b ＝0．这解释直线方程ax ＋3y ＋b ＝0当x ＝21,y ＝－61时恒成立．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．二.填空题11．251±．解析：由已知得1 － 20－ a ＝1 － 0 － 1a ,所以a 2―a ―1＝0．解得a ＝251±．12．－1≤k ≤1且k ≠0．解析：依前提得21·|2k |·|k |≤1,个中k ≠0(不然三角形不消失)．解得－1≤k ≤1且k ≠0． 13．2－1．解析：依前提有221 ＋ 13＋ 2 － a ＝1．解得a ＝2－1,a ＝－2－1(舍去)．14．y ＝2x ．解析：已知直线变形为y ＋2＝－a (x ＋1),所以直线恒过点(―1,―2)．故所求的直线方程是y ＋2＝2(x ＋1),即y ＝2x ．15．1360．解析：因为实数x ,y 知足5x ＋12y ＝60, 所以22 ＋ y x 暗示原点到直线5x ＋12y ＝60上点的距离．所以22 ＋ y x 的最小值暗示原点到直线5x ＋12y ＝60的距离．轻易盘算d ＝144 ＋ 2560＝1360．即所求22 ＋ yx 的最小值为1360．三.解答题16．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ,令x ＝0,得y ＝b ,所以直线与y 轴的交点为(0,b ); 令y ＝0,得x ＝－34b ,所以直线与x轴的交点为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，34 －b ．由已知,得|b |＋b 34 －＋2234 －＋ ⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ＝12,解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3,即3x －4y ±12＝0．17．解：当直线l 的方程为x ＝1时,可验证不相符题意,故设l 的方程为y －2＝k (x －1),由⎩⎨⎧0＝ 1 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋＝ y x x y k k 解得A⎪⎭⎫⎝⎛4 ＋ 38 ＋ 5 －，4 ＋ 37 － 3k k k k ; 由⎩⎨⎧0 ＝ 6 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋＝ y x x y kk 解得B ⎪⎭⎫⎝⎛4 ＋ 301 － 8 ，4 ＋ 321 － 3k k k k ．因为|AB |＝2,所以4 ＋ 35＋ 4 ＋ 3522⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k ＝2．整顿得7k 2－48k －7＝0．解得k 1＝7或k 2＝－71．故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0．18．解：(1)当x ,y 的系数不合时为零时,方程暗示一条直线, 令m 2―2m ―3＝0,解得m ＝－1,m ＝3; 令2m 2＋m －1＝0,解得m ＝－1,m ＝21．所以方程暗示一条直线的前提是m ∈R ,且m ≠－1．(2)由(1)易知,当m ＝21时,方程暗示的直线的斜率不消失,此时的方程为x ＝34,它暗示一条垂直于x 轴的直线．(3)依题意,有3 － 2 － 6－22m m m ＝－3,所以3m 2－4m －15＝0．所以m ＝3,或m ＝－35,由(1)知所求m ＝－35．(4)因为直线l 的竖直角是45º,所以斜率为1．故由－1 －＋ 23 － 2 － 22m m m m ＝1,解得m ＝34或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的竖直角为45°时,m ＝34．19．解：依前提,由⎩⎨⎧xy x y ＝1 － 2 ＝解得A (1,1)．因为角A 的等分线地点的直线方程是y ＝x ,所以点C (2,5)关于y ＝x 的对称点C'(5,2)在AB 边地点的直线上．AB 边地点的直线方程为y －1＝1 － 51－ 2(x －1),整顿得x －4y ＋3＝0．又BC 边上高线地点的直线方程是y ＝2x －1,所以BC 边地点的直线的斜率为－21．BC 边地点的直线的方程是y ＝―21(x －2)＋5,整顿得x ＋2y －12＝0．联立x －4y ＋3＝0与x ＋2y －12＝0,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛25 ，7．(第19题)。

高中数学必修2第三章测试题及答案汇编

高中数学必修2第三章测试题一、选择题1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（）Ａ３０° Ｂ４５° Ｃ６０° Ｄ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23-D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）27 4. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（）Ａ m ＝－３，n ＝１０Ｂ m ＝３，n ＝１０Ｃ m ＝－３，n ＝５Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,则Ｌ的方程是（）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=07. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（A ）平行（B ）垂直（C ）相交但不垂直（D ）不能确定10.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=011.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 .12．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .16. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的 17.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0距离是7的直线的方程; 没有公共点，求实数m 的值.②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.18．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6(m ∈R ，m ≠－1)，根据下列条件分别求m 的值：①l 在x 轴上的截距是－3；②斜率为1．19．已知△ABC 的三顶点是A (－1，－1)，B (3，1)，C (1，6)．直线l 平行于AB ，交AC ，BC 分别于E ，F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的41．求直线l 的方程．20．一直线被两直线l 1：4x ＋y ＋6＝0，l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．21．直线l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．15、求经过两条直线04:1=-+y x l 和02:2=+-y x l 的交点，且与直线012=--y x 平行的直线方程；16、已知直线L ：y=2x-1,求点P （3 ，4）关于直线L 的对称点。

高中数学必修二第三章同步训练(含答案)

3.1.1 倾斜角与斜率练习一一、选择题1、已知，A(–3, 1)、B(2, –4)，则直线AB 上方向向量AB的坐标是A 、(–5, 5)B 、(–1, –3)C 、(5, –5)D 、(–3, –1) 2、过点P(2, 3)与Q(1, 5)的直线PQ 的倾斜角为 A 、arctan2 B 、arctan(–2) C 、–arctan2 D 、π–arctan23、直线l 1: ax+2y –1=0与直线l 2: x+(a –1)y+a 2=0平行，则a 的值是 A 、–1 B 、2 C 、–1或2 D 、0或1 4、过点A(–2, m), B(m, 4)的直线的倾斜角为+arccot2，则实数m 的值为A 、2B 、10C 、–8D 、05、已知点A(cos77 °,sin77°), B(cos17°, sin17°)，则直线AB 的斜率为 A 、 tan47° B、cot47° C、–tan47° D、–cot47°6、下列命题正确的是A 、若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应B 、若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应C 、直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan kD 、直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tan α7、过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–，则a 等于A 、–8B 、10C 、2D 、48、过点A (2, b )和点B (3, –2)的直线的倾斜角为，则b 的值是A 、–1B 、1C 、–5D 、59、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 210、已知点M (cos α, sin α), N (cos β, sin β)，若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π, 则θ等于A 、(π+α+β) B 、(α+β)2π2π2143π2121C 、(α+β–π) D 、(β–α)11、若直线l 的斜率为k =–a b(ab >0)，则直线l 的倾斜角为A 、arctan a bB 、arctan(–a b)C 、π–arctana bD 、π+arctan a b二、填空题：12、若直线k 的斜率满足–<k<，则该直线的倾斜角α的范围是.13、若直线l 的倾斜角是连接P(3, –5), Q(0, –9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为. 14、已知直线l 1和l 2关于直线y=x 对称，若直线l 1的斜率为，则直线l 2的斜率为；倾斜角为. 15、已知M(2, –3), N(–3,–2)，直线l 过点P(1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是. 答案：一、选择题1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B ；6、A ；7、B ；8、A ；9、B ；10、C ；11、C 二、填空题 12、2[0,)(,)63πππ13、247-2121333314、,36π 15、344k k ≥≤-或3.1.1 倾斜角与斜率练习二一、选择题1、过（0，5）和（1，2）两点的直线的倾斜角是（）A 、π-arctan3B 、π+arctan3C 、arctan(-3)D 、2、若直线l 的倾斜角θ满足，则θ的取值范围是（）A 、（k ∈Z ） B 、或C 、或D 、或3、已知直线的倾斜角为θ，且cot θ=α（α<0）则θ为（）A 、arctan αB 、C 、D 、4、k 是直线l 的斜率，θ是直线l 的倾斜角，若30°≤θ<120°，则k 的取值范围是（）A 、B 、C 、或D 、5、已知直线过点A （2，-1）和B （3，2），直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则直线的斜率是（）A 、-6B 、C 、D 、3arctan 2+π3tan <θ3+<<-ππθππk k 260πθ<≤πθπ<<230πθ<≤πθπ<<260πθ<≤πθπ<<32α1arctan-απ1arctan+απarctan -333≤≤-k 133≤≤k 3-<k 33≥k 33≥k 1l 2l 1l 2l53-4343-6、函数y=f(x)与其反函数的对称轴绕原点按逆时针旋转90°得直线，则直线到直线的斜率k 的变化范围是（）A 、B 、[1，+∞）C 、（-∞，-1）D 、（-∞，-1）∪[1，+∞]7、已知直线l 1: y =x sin α和直线l 2: y =2x +c ，则直线l 1与l 2（） A 、通过平移可以重合 B 、不可能垂直C 、可能与x 轴围成等腰直角三角形D 、通过绕l 1上某一点旋转可以重合8、已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=–，则直线l 的斜率为A 、B 、C 、–D 、–二、填空题9、若直线l 的斜率k=sin θ，其倾斜角的取值范围是___________。

北师大版高中数学必修第二册第三章测试题及答案

北师大版高中数学必修第二册第三章测试题及答案一、选择题1.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至8000，则C 大约增加了(lg 20.3010≈)（） A. 10%B. 30%C. 60%D. 90%2.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20,80)mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg/mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（） A. 2小时B. 4小时C. 6小时D. 8小时3.2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A 星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v （单位：km/s ）和燃料质量M （单位：kg ），火箭质量m （单位：kg ）的函数关系是：2000ln 1Mv m ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v 的值为多少（参考数值为ln 20.69≈；ln101 4.62≈）（） A. 13.8B. 9240C. 9.24D. 13804.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 乙（如图所示）,那么对于图中给定的t 和1t，下列判断中一定正确的是（）A. 在1t 时刻，两车的位置相同B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t 时刻，两车的位置相同D. 在0t 时刻，甲车在乙车前面5.已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的14以下，则至少需要通过这样的玻璃（参考数据：lg30.477,lg 20.301≈≈）（） A. 12块B. 13块C. 14块D. 15块6.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100①，水温(C)y ︒与时间(min)t 近似满足一次函数关系；①用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度(C)y ︒与时间(min)t 近似满足函数的关系式为101802t ay b-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（,a b 为常数）, 通常这种热饮在40①时，口感最佳，某天室温为20①时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A. 35 minB. 30minC. 25 minD. 20 min7.一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h）A. 2.3小时B. 3.5小时C. 5.6小时D. 8.8小时8.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入－支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法：（1）图2的建议是：减少支出，提高票价；（2）图2的建议是：减少支出，票价不变；（3）图3的建议是：减少支出，提高票价；（4）图3的建议是：支出不变，提高票价；上面说法中正确的是（） A. （1）（3）B. （1）（4）C. （2）（4）D. （2）（3）9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010.则下列各数中与MN 最接近的是（）（参考数据：lg2≈0.30）（A ）1030（B ）1028 （C ）1036 （D ）109310.向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h 随时间t 变化的图象如图所示，则杯子的形状为（）A B C D11.下表是某次测量中两个变量x ，y 的一组数据，若将y 表示为x 的函数,则最有可能的函数模型是（）A ．一次函数模型 B.二次函数模型 C ．指数函数模型 D ．对数函数模型12.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A ．收入最高值与收入最低值的比是B ．结余最高的月份是月份C ．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D ．前个月的平均收入为万元二、填空题13.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站___________km 处14.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）15.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；①在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．（注：结余=收入支出）3:17124564016.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg/L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大.三、解答题17.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.18.围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）。

高中数学必修2第三章课后习题解答

新课程标准数学必修2第三章课后习题解答第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率练习（P86） 1、解：（1）k=tan 30°=3；（2）、k=tan 45°=1；（3）k=tan 120°=﹣tan 60°=；（4）k=tan 135°=﹣tan 45°=﹣1； 2、解：（1）67CD k =，因为CD k >0，所以直线CD 的倾斜角是锐角；（2）PQ k =PQ k <0，所以直线PQ 的倾斜角是钝角。

3、解：（1）因为0AB k =，所以直线AB 的倾斜角是0°；（2）因为过C ，D 两点的直线垂直x 轴，所以直线CD 的倾斜角是（3）因为1PQ k =，所以直线PQ 的倾斜角是45°.4、解：设A(x ，y)为直线上一点. 图在右边当斜率k=2时，根据斜率公式220y x -=- ，整理得：22y x =+ 当斜率k=2时，根据斜率公式220y x --=-，整理得：22y x =-+练习（P89）1、解：（1）因为11k =，21k =，所以12k k =，因此，直线1l 与直线2l 平行；（2）因为34155k k ==-，，所以341k k =-，因此，直线3l 与4l 垂直. 2、解：经过A ，B 的直线的斜率11AB m k m -=+，经过P ，Q 的直线的斜率13PQ k =. （1）由AB ∥PQ 得，1113m m -=+，解得12m =.所以，当12m =时，直线AB 与PQ 平行；（2）由AB ⊥PQ 得,11113m m -⨯=-+,解得2m =-.所以，当2m =-时，直线AB 与PQ 垂直.习题3.1 A 组（P89）1、解：由1k =，得1k =时，倾斜角是45°；1k =-时，倾斜角是135°. 2、解：由已知，得AB 边所在直线的斜率4AB k =；BC 边所在直线的斜率12BC k =； CD 边所在直线的斜率4CD k =-；DA 边所在直线的斜率14DA k =. 3、解：由已知，得：23AB k x =-；54AC y k -=- 因为A ，B ，C 三点都在斜率为2的直线上，所以223x =-；524y -=-，解得4,3x y ==-. 4、解：（1）经过A ，B 两点直线的斜率361m k m -=+.由题意，得36121m m-=+. 解得2m =-.（2）经过A ，B 两点直线的斜率232m k m+=.由直线AB 的倾斜角是60°知，斜率tan 60k=︒=所以232m m+=. 解得34m +=5、解：经过A ，B 两点直线的斜率1AB k =. 经过A ，C 两点的直线的斜率1AC k = 所以A ，B ，C 三点在同一条直线上6、解：（1）由题意，直线AB 的斜率282241k -==-，又因为直线1l 的斜率12k = 所以12k k =，因此直线1l ∥2l ；（2）因为1l 经过点()()3,3,5,3P Q -，它们的纵坐标相同，所以直线PQ 平行于x 轴又2l 平行于x 轴，且不经过P ，Q 两点，所以直线1l ∥2l ；（3）由已知得，直线1l 的斜率112k =，直线2l 的斜率212k = 因为12k k =，所以1l ∥2l ；7、解：（1）由已知得，直线2l 的斜率232k =. 又直线1l 的斜率123k =- 因为1232123k k ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以1l ⊥2l ；（2）由已知得，直线2l 的斜率()216123k ---==---，又直线1l 的倾斜角是45°.所以直线1l 的斜率1tan 451k =︒=. 因为()12111k k =-⨯=-，所以1l ⊥2l ；（3）由已知得，直线1l 的斜率153k =-，直线2l 的斜率235k =因为1253135k k =-⨯=-，所以1l ⊥2l ； 8、解：设点D 的坐标为(),x y ，由已知得，直线AB 的斜率3AB k =，直线CD 的斜率3CD y k x =-，直线CB 的斜率2CB k =-，直线AD 的斜率11AD y k x +=-. 由CD ⊥AB ，且CB ∥AD ，得313121yx y x ⎧⨯=-⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，解得0,1x y ==，所以，点D 的坐标为()0,1.B 组 1、解：因为点P 在x 轴上，所以设点P 的坐标为(),0x .直线PM 的斜率22PM k x -=-，直线PN 的斜率25PN k x =- 因为∠MPN 是直角，所以有PM ⊥PN ，1PM PN k k =-，即22125x x -⨯=---解得1x =，或6x =. 所以，点P 的坐标是()1,0，或()6,0.2、解：由已知得，直线1l 的斜率133k m -=+，直线2l 的斜率212k =-. （1）若1l ∥2l ，则3132m -=-+，解得3m =. （2）若1l ⊥2l ，则31132m -⎛⎫⨯-=- ⎪+⎝⎭，解得92m =-. 3、解：由已知得，AB边所在的直线的斜率AB k =, BC边所在的直线的斜率BC k =CD边所在的直线的斜率2CD k =, DA边所在的直线的斜率DA k =方法一：因为(12AB BC k k ==-，所以AB ⊥BC. 同理，BC ⊥CD ，CD ⊥DA. 因此，四边形ABCD 是矩形方法二：因为(1AB BC k k ==-，所以AB ⊥BC. 又因为BC DA k k =，所以BC ∥DA. 同理，AB ∥CD. 因此，四边形ABCD 是矩形4、解：如图，符合条件的四边形有两个.由已知得，直线BC 的斜率312363BC k -==--,直线CD 的斜率2CD k =-. 直线AD 的斜率52AD n k m -=-,直线AB 的斜率16AB n k m -=-（1）当AD ⊥DC ，AB ∥CD 时，1AD CD k k =-，即()5212n m -⨯-=-- ① ABCD k k =，即126n m -=-- ②由①，②得185m =，295n =. 所以，点A 的坐标为1829,55⎛ ⎝⎭（2）当BC ⊥AB ，AD ∥BC 时，1BC AB k k =-，即12163n m -⎛⎫⨯-=- ⎪-⎝⎭③AD BC k k =，即5223n m -=-- ④ 由③，④得8613m =，2513n =.所以，点A 的坐标为8625,1313⎛⎫⎪⎝⎭. 综上，185m =，295n =或8613m =，2513n =. 5、解：直线l 的斜率()2222232232123m m m m k m m m m m ----==+-+---. 由tan 451k =︒=，得2223121m m m m --=+-. 解得1m =-，或2m =-. 当1m =-时，点A 的坐标是()3,2-，点B 的坐标是()3,2-，A ，B 是同一个点，不符合条件. 当2m =-时，点A 的坐标是()6,1，点B 的坐标是()1,4-，符合条件. 所以，2m =- 6、解：如图，在线段AB 上取点M ，连接MP ，AP ，BP. 观察图形，可知AP MP BP k k k ≤≤，即11k -≤≤.因此，倾斜角的范围是045α︒≤≤︒，或135180α︒≤≤︒. 3．2直线的方程练习（P95） 1、（1）)13y x +=-；（2）)223y x -=；（3）30y -=；（4）)24y x +=+.2、（1）1, 45°；（2，60°.3、（1）22y x =-；（2）24y x =-+；4、（1）1l ∥2l ；（2）1l ⊥2l .练习（P97） 1、（1）123102y x --=---；（2）500550y x --=--2、（1）123x y +=，即3260x y +-=（2）156x y +=-，即65300x y -+=，图在右方 3、解：（1）设直线l 的方程为1x ya b+=，因为由直线l 过点()0,5，且在两坐标轴上得截距之和为2，所以 051a b+=， 2a b +=，解得3a =-，5b =.因此，所求直线的方程是135x y+=-，即53150x y -+= （2）设直线l 的方程为1x ya b+=，因为直线l 过点()5,0，且在两坐标轴上得截距之差为2，所以501a b+=， 2a b -=，解得5a =，3b =或5a =，7b = 因此，所求直线的方程是153x y +=，或157x y+=即35150x y +-=，或75350x y +-=练习（P99） 1、（1）()1282y x +=--，化成一般式240x y +-=；（2）20y -=；（3）()()234253y x ---=----，化成一般式10x y +-=；（4）1332x y +=-，化成一般式230x y --= 2、（1）-3, 5；（2）54, -5；（3）12-, 0；（4）76,23. 3、（1）当B ≠0时，直线l 的斜率是AB-；当B=0时，直线l 的斜率不存在.（2）当C=0，A ，B 不全是零时，方程0Ax By C ++=表示通过原点的直线.习题3.2 A 组（P100）1、（1）)28y x +=-360y ---=；（2）20x +=；（3）47y x =-+，即470x y +-=；（4）()()182841x y ---=----，即260x y +-=；（5）20y -=；（6）143x y +=-，即34120x y --=. 2、解法一：直线AB 的斜率73151AB k -==-；直线AC 的斜率1231101AC k -==-.又直线AB 与直线AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线.解法二：直线AB 的斜率1AB k =，所以，经过A ，B 的直线方程是31y x -=-把点C 的坐标()10,12代入方程，得10-12+2=0，满足方程. 所以点C 在直线AB 上，因此A ，B ，C 三点共线3、解：已知两点A ()7,4-，B ()5,6-,则线段AB 的中点M 坐标是()1,1.因为直线AB 的斜率56AB k =-，所以，线段AB 的垂直平分线的斜率是65. 因此，线段AB 的垂直平分线的方程是()6115y x -=-，即6510x y --=.4、解法一：由已知，线段AB 的中点E 的坐标是36,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段AC 的中点F 的坐标是()1,4.经过E ，F 的直线的两点式方程是36231642y x --=--，化成一般式290x y +-=. 解法二：由已知，线段AB 的中点E 的坐标是36,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线BC 的斜率()321642BC k --==---.因为连结线段AB ，AC 中点的直线平行于BC 所以，经过AB ，AC 中点的直线的方程是()31622y x -=--，即290x y +-=. 5、解：因为直线y x =A ()2,3-)32y x +=-，即240x ---=. 6、解：设弹簧原长为b ，弹性系数为k ，弹簧的长度l 与所挂物体重量G 之间关系的方程为l b kG -=. 由题意，当4G =时，20l =，所以204b k -= ①当5G =时，21.5l =，所以21.55b k -= ② ①，②联立，解得 1.5k =， 14b =因此，弹簧的长度l 与所挂物体重量G 之间关系的方程为 1.514l G =+. 7、解：设铁棒的长()l m 与温度()t C ︒之间的关系为t kt b =+.由题意，当40t =时，12.506l =，所以4012.506k b += ①当80t =时，12.512l =，所以8012.512k b += ② ①，②联立，解得 0.00015k =， 12.500b =.因此，铁棒的长度l 与温度t 之间的关系的方程为0.0001512.500l t =+. 所以，当100t =时，12.515l =.8、解：由已知，()4,0A ，()0,3B ，()4,0C -，()0,3D -.AB 边所在直线的方程是143x y+=，即34120x y +-=； BC 边所在直线的方程是143x y+=-，即34120x y -+=；CD 边所在直线的方程是143x y+=--，即34120x y ++=；DA 边所在直线的方程是143x y+=-，即34120x y --=.。

考试必备-高中数学必修2第三章练习与章末检测合集-含答案

第三章直线与方程§3①1直线的倾斜角与斜率3①1①1倾斜角与斜率一、基础过关1①下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条①其中正确的个数是() A①0 B① 1 C① 2 D① 32①斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为()A①a＝4，b＝0 B①a＝－4，b＝－3C①a＝4，b＝－3 D①a＝－4，b＝33①在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为() A①－2 3 B①0 C① 3 D①2 34①直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是() A①[0°，90°]B①[90°，180°)C①[90°，180°)或α＝0°D①[90°，135°]5①若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________①6①若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______①7①如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率①8①一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标①二、能力提升9①设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为() A①α＋45°B ①α－135°C ① 135°－αD ①当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 10①若图中直线l 1、 l 2、 l 3的斜率分别为k 1、 k 2、 k 3，则( )A ①k 1<k 2<k 3B ①k 3<k 1<k 2C ①k 3<k 2<k 1D ①k 1<k 3<k 211①已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________①12①△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率①三、探究与拓展13①已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小①答案1①B 2①C 3①B 4①C5①30°或150° 33或－336①(－2,1)7①解直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°①k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33，k BD ＝－3①8①解设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P (2,0)①9①D 10①D11①20°≤α<200°12①解如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33，k AC ＝tan 30°＝33①13①解画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率①由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a①3①1①2 两条直线平行与垂直的判定一、基础过关1①下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行 A ①1个B ① 2个C ① 3个D ①4个2①已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为 ( ) A ①－8B ① 0C ① 2D ①103①已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )A ①45°B ① 135°C ① －45°D ①120° 4①已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ①1B ①C ① 0或2D ①0或15①经过点A (1,1)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝________①6①直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________①7①(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD ①(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a 的值①8①如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、 P (1，t )、 Q (1－2t,2＋t )、 R (－2t,2)，其中t >0①试判断四边形OPQR 的形状①二、能力提升9①顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ① 平行四边形B ①直角梯形C ①等腰梯形D ①以上都不对10①已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2经过点A (1，3)，B (－2，－23)，则直线l 1，l 2的位置关系是____________①11①已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________①12①已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率①三、探究与拓展13①已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形①答案1①A 2①A 3①B 4①D5①526①2 －987①(1)证明由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35，k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD ①(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3①8①解由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t＝－1t ①∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ ①∴四边形OPQR 为平行四边形①又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，故四边形OPQR 为矩形①9①B10①平行或重合11①(－19，－62)12①解由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5①由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在①设AB 、 AC 边上高线的斜率分别为k 1、 k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15①∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15①13①解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知：A (2，－1)①(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ， ⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1∴⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85①综上⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85①§3①2直线的方程3①2①1直线的点斜式方程一、基础过关1①已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为() A①y＝3x＋2 B①y＝－3x＋2C①y＝－3x－2 D①y＝3x－22①过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为() A①2x＋y－1＝0 B①x－2y－5＝0C①x－2y＋7＝0 D①2x＋y－5＝03①直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A①k>0，b>0 B①k>0，b<0C①k<0，b>0 D①k<0，b<04①下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()5①将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为_______①6①已知一条直线经过点P(1,2)且与直线y＝2x＋3平行，则该直线的点斜式方程是________①7①求满足下列条件的直线方程：(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过点P(5，－2)，且与y轴平行；(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)两点①8①已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程①二、能力提升9①集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A、B间的关系是() A①A＝B B①B AC①A B D①以上都不对10①直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点()A①(1,3) B①(－1，－3)C①(3,1) D①(－3，－1)11①下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程①正确的为________(填序号)①12①已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1①(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围①三、探究与拓展13①等腰△ABC 的顶点A (－1,2)，AC 的斜率为3，点B (－3,2)，求直线AC 、 BC 及∠A 的平分线所在直线的方程①答案1①D 2①C 3①B 4①C5①y ＝－13x ＋136①y －2＝2(x －1)7①解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0①(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为 y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4①(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5①(4)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1①又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0①8①解设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1， ∴2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35①∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)，即y ＝35x ＋3①9①B 10①C11①②③12①解 (1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)①由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)①(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0. 解得－15≤k ≤1①所以，实数k 的取值范围是－15≤k≤1①13①解直线AC的方程：y＝3x＋2＋3①∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角为30°或120°①当α＝30°时，BC方程为y＝33x＋2＋3，∠A平分线倾斜角为120°，∴所在直线方程为y＝－3x＋2－3①当α＝120°时，BC方程为y＝－3x＋2－33，∠A平分线倾斜角为30°，∴所在直线方程为y＝33x＋2＋33①3①2①2直线的两点式方程一、基础过关1①过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是() A①x＋y＋1＝0 B①x＋y－1＝0C①x－y＋1＝0 D①x－y－1＝02①一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程() A①可以写成两点式或截距式B①可以写成两点式或斜截式或点斜式C①可以写成点斜式或截距式D①可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3①直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是()A①|b| B①－b2C①b2D①±b4①以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A①3x－y－8＝0 B①3x＋y＋4＝0C①3x－y＋6＝0 D①3x＋y＋2＝05①过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________①6①过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是______________①7①已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程①8①已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)①求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程①二、能力提升9①直线xm－yn＝1与xn－ym＝1在同一坐标系中的图象可能是()10①过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()A①2x＋y－12＝0 B①2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C①x－2y－1＝0 D①x＋2y－9＝0或2x－5y＝011①已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|P A|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________①12①三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)①(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程①三、探究与拓展13①已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程①答案1①D 2①B 3①B 4①B5① x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 6①x 2＋y 6＝1 7①解设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b ①∵k ＝6，∴方程为y ＝6x ＋b ①令x ＝0，∴y ＝b ，与y 轴的交点为(0，b )；令y ＝0，∴x ＝－b6，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－b 6，0①根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫－b62＋b 2＝37， ∴b ＝±6①因此直线l 的方程为y ＝6x ±6①8①解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、 AC 中点的连线①因为线段AB 、 AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1①(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为 x 117－y11＝1①9①B 10①D11①(0,1)12①解 (1)由截距式得x －8＋y4＝1，∴AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x－2，∴AB 所在直线的方程为x ＋y －4＝0①(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)①∴BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0①(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2，又D (－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)，∴AC 边上的中垂线所在直线的方程为2x ＋y ＋6＝0①13①解当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0①当直线l 不过原点时，设其方程为x a ＋yb＝1，由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b ＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0①故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0①3①2①3直线的一般式方程一、基础过关1①直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为() A①－2 B① 2 C①－3 D①32①直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则() A①C＝0，B>0 B①A>0，B>0，C＝0C①AB<0，C＝0 D①AB>0，C＝03①直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为()A①32B①32或0 C①0 D①－2或04①直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是() A①3x＋2y－1＝0 B①3x＋2y＋7＝0C①2x－3y＋5＝0 D①2x－3y＋8＝05①已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________①6①若直线l1：x＋ay－2＝0与直线l2：2ax＋(a－1)y＋3＝0互相垂直，则a的值为________①7①根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1①8①利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程①二、能力提升9①直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()10①直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足() A①a＝b B①|a|＝|b|且c≠0C①a＝b且c≠0 D①a＝b或c＝011①已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________________①12①已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行①三、探究与拓展13①已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0①(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围①答案1①D 2①D 3①A 4①A5①－4156①0或－17①解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0①(2)x ＝－3，即x ＋3＝0①(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0①(4)y ＝3，即y －3＝0①(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0①(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0①8①解设直线为Ax ＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B ＝－C ，B ＝－C3①由三角形面积为6，得|C2AB|＝12，∴A ＝±C4，∴方程为±C 4x －C3y ＋C ＝0，所求直线方程为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0①9①C 10①D11①x －y ＋1＝012①解当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0①显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行①当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m，∴m ＝－2①∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行①13①(1)证明将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)①而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限①∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限①(2)解直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3①∵l 不经过第二象限，∴a ≥3①§3①3 直线的交点坐标与距离公式3①3①1 两条直线的交点坐标一、基础过关1①两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )A ①垂直B ① 平行C ① 重合D ①平行或重合2①经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是 ( )A ①2x ＋y －8＝0B ①2x －y －8＝0C ①2x ＋y ＋8＝0D ①2x －y ＋8＝03①直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为 ( )A ①1B ① －1C ① 2D ①－24①两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A ①－24B ① 6C ① ±6D ①以上答案均不对5①若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________①6①已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________①7①判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标①(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0①8①求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为在x 轴上截距的两倍的直线l 的方程①二、能力提升9①若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A ① ⎝⎛⎭⎫－32，2 B ①(0,2)C ①⎝⎛⎭⎫－32，0D ①⎣⎡⎦⎤－32，2 10①直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ①32 B ①23C ①－32D ①－2311①当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________①12①在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标①三、探究与拓展13①一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标①答案1①D 2①A 3①B 4①C5①26① 8x ＋16y ＋21＝07①解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)①(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行①(3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合①8①解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、 y 轴上的截距分别是4和8，符合题意①(2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0①据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0①令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ①∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x ①即2x －3y ＝0①∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0①9①A 10①D11①(－1，－2)12①解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点①由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1，故A (－1,0)①又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6，故C 点坐标为(5，－6)①13①解设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)①∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3①由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3①3①3①2 两点间的距离一、基础过关1①已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ① 0或8B ①0或－8C ①0或6D ①0或－62①设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于 ( ) A ①5B ① 42C ① 2 5D ①2103①已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )A ①2 3B ① 3＋23C ① 6＋3 2D ①6＋2104①已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( ) A ①4x ＋2y ＝5B ①4x －2y ＝5C ①x ＋2y ＝5D ①x －2y ＝55①已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是_______①6①点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________①7①已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程①8①求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半①二、能力提升9①已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ①(－1,0) B ①(1,0) C ①⎝⎛⎭⎫225，0 D ①⎝⎛⎭⎫0，225 10①设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ①x ＋y －5＝0B ①2x －y －1＝0C ①2y －x －4＝0D ①2x ＋y －7＝011①等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________①12①△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |①求证：△ABC 为等腰三角形①三、探究与拓展13①已知直线l 过点P (3,1)且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程①答案1①A 2①C 3①C 4①B5①17 6①(2,10)或(－10,10)7①解由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)①由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5①当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0①综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0①8①证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系①设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以|DE |＝12|AB |①即三角形的中位线长度等于底边长度的一半①9①B 10①A11①2 612①证明作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)①设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)①因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )①又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c ①所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形①13①解设直线l 与直线l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0，两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25 ② 联立①②可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5y 1－y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝5，由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x＝3或y＝1①3①3①3点到直线的距离3①3①4两条平行直线间的距离一、基础过关1①已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为() A① 1 B①－1 C① 2 D①±22①点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是() A①10 B①22C① 6 D① 23①到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为() A①3x－4y－11＝0 B①3x－4y＋9＝0C①3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 D①3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝04①P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为()A①95B①185C①2910D①2955①已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________①6①过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________①7①△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)①(1)求BC边的高所在直线的方程；(2)求△ABC的面积S①8①如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程①二、能力提升9①两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是() A①(0，＋∞) B①[0,5]C①(0,5] D①[0，17]10①直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为() A① 3 B① 2 C① 1 D①011①若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是________①(写出所有正确答案的序号)①15°②30°③45°④60°⑤75°12①已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0①直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程①三、探究与拓展13①等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)①求边AB 、 AC 所在直线方程①答案1①D 2①B 3①C 4①C 5①713266①2x ＋y －5＝07①解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0①(2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8①8①解设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )①∴|AD |＝2，|BC |＝2b ①梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3①但b >1，∴b ＝3①从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0①9①C 10①B11①①⑤12①解因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82①又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|①解得C ＝21或C ＝5①故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0①13①解已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013①由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10①所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313，所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)①即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0①章末检测一、选择题1①若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ①30°B ① 45°C ① 60°D ①90°2①如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为 ( )A ①－3 B ①－6 C ①－32 D ①233①若经过点(3，a )、 (－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为( )A ①52 B ①25C ①10 D ①－104① 过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ①x －2y －1＝0B ①x －2y ＋1＝0C ①2x ＋y －2＝0D ①x ＋2y －1＝05①实数x ，y 满足方程x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值为( )A ①4B ① 6C ① 8D ①126①点M (1,2)与直线l ：2x －4y ＋3＝0的位置关系是( )A ①M ∈lB ① M ∉lC ① 重合D ①不确定7①直线mx ＋ny －1＝0同时过第一、三、四象限的条件是( ) A ①mn >0B ① mn <0C ① m >0，n <0D ①m <0，n <08①若点A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ① k ≤34或k ≥43B ① k ≤－43或k ≥－34C ①34≤k ≤43D ①－43≤k ≤－349①已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( ) A ①－4B ①20 C ①D ①2410①过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( )A ① y ＝1B ①2x ＋y －1＝0C ①y ＝1或2x ＋y －1＝0D ①2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝011①直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33倾斜角的2倍，则( )A ①m ＝－3，n ＝1 B ①m ＝－3，n ＝－3 C ①m ＝3，n ＝－3D ①m ＝3，n ＝112①过点A ⎝⎛⎫0，73与B (7,0)的直线l 1与过点(2,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ①－3B ① 3C ①－6D ①6二、填空题13①若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________①14①甲船在某港口的东50 km ，北30 km 处，乙船在同一港口的东14 km ，南18 km 处，那么甲、乙两船的距离是________①15①已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、 Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________①16①已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，则yx的最大值为________①三、解答题17①已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程①18①求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程①19①在△ABC 中，已知A (5，－2)、 B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程①20①如图，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程①21①光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程①22①某房地产公司要在荒地ABCDE (如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m 2)①答案1①A 2①B 3①D 4①A 5①C 6①B 7①C 8①C 9①A 10①C 11①D 12①B13①－2或4或614① 60 km15①－2316①217①解在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)①∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°①若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－3①若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0①综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0①18①解设直线l 2上的动点P (x ，y )，直线l 1上的点Q (x 0,4－2x 0)，且P 、 Q 两点关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称，则有⎩⎪⎨⎪⎧|3x ＋4y －1|5＝|3x 0＋4(4－2x 0)－1|5，y －(4－2x 0)x －x 0＝43.消去x 0，得2x ＋11y ＋16＝0或2x ＋y －4＝0(舍)①∴直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0①19①解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M ⎝⎛⎫5＋x 02，y 0－22，BC 中点N ⎝⎛⎭⎫7＋x 02，y 0＋32①∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，x 0＝－5①∵N 在x 轴上，∴y 0＋32＝0，y 0＝－3，即C (－5，－3)①(2)∵M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)①∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1①即5x －2y －5＝0①20①解设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得： ⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)①故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0①21①解设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－yx 0－x＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x＝－23，3×x ＋x2－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的坐标为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0①22①解在线段AB 上任取一点P ，分别向CD 、 DE 作垂线划出一块长方形土地，以BC ，EA 的交点为原点，以BC ，EA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则AB 的方程为x 30＋y20＝1，设P ⎝⎛⎭⎫x ，20－2x3，则长方形的面积 S ＝(100－x )⎣⎡⎦⎤80－⎝⎛⎭⎫20－2x 3(0≤x ≤30)①化简得S ＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30)①当x ＝5，y ＝503时，S 最大，其最大值为6 017 m 2①。

高中数学必修2第三章测试(含答案)

第三章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④按照直线的倾斜角的概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系．正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：仅有①正确，其它均错．答案：A2．过点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．5D ．－5 解析：由题意可知，y ＋34－2＝tan135°＝－1，∴y ＝－5.答案：D3．已知点P (x ，－4)在点A (0,8)和B (－4,0)的连线上，则x 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－6D ．－8解析：由A (0,8)和B (－4,0)得直线AB 的方程为x －4＋y8＝1，又点(x ，－4)在该直线上，∴x－4＋－48＝1，∴x ＝－6. 答案：C4．如果点(5，a )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4解析：由题意可知(5，a )到两平行线间距离之和等于两平行线间的距离，∴|30－8a ＋1|62＋82＋|30－8a ＋10|62＋82＝|10－1|62＋82|31－8a |＋|40－8a |＝9，把选项代入知，a ＝4，(a ＝5舍去)．答案：B5．过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0 解析：解法1：验证知，D 为所求．解法2：当直线过原点时，设y ＝kx ，代入点(5,2)求得k ＝25，∴y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设方程为x 2a ＋y a ＝1，代入点(5,2)求得a ＝92∴方程为x ＋2y －9＝0.故所求方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0. 答案：D6．直线2x －y ＋k ＝0与4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行又不重合解析：因为2x －y ＋k ＝0与4x －2y ＋1＝0可变形为y ＝2x ＋k 和y ＝2x ＋12，所以当k ＝12时，两直线重合；当k ≠12时，两直线平行．故应选C.答案：C7．已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 解析：由题意知a (a ＋2)＝－1. 解得a ＝－1. 答案：D8．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在斜率为k 的直线上，若|AB |＝a ，则|y 2－y 1|等于( ) A ．|ak | B ．a 1＋k 2 C.a 1＋k2D.a |k |1＋k2解析：设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则a ＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2|y 2－y 1|， ∴|y 2－y 1|＝a |k |1＋k2.答案：D9．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析：当a >0时，由y ＝ax 可知，C 、D 错误；又由y ＝x ＋a 又知A 、B 也不正确．当a <0时，由y ＝ax 可知A 、B 错误，又由y ＝x ＋a 可知D 也不正确．答案：C10．已知直线l ：x sin θ＋y cos θ＝1，点(1，cos θ)到l 的距离为14，且0≤θ≤π2，则θ等于( )A.π12B.π6 C.π4D.π3解析：由点到直线的距离公式可得|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝14，即|sin θ－sin 2θ|＝14，经验证知，θ＝π6满足题意．答案：B11．一条线段的长是5，它的一个端点A (2,1)，另一个端点B 的横坐标是－1，则B 的纵坐标是( )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－5或3解析：设B 的坐标为(－1，y )，由题意得(－1－2)2＋(y －1)2＝52， ∴(y －1)2＝16，∴y ＝5或y ＝－3. 答案：C12．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，下面四个结论正确的个数是( ) ①AB ∥CD ②AB ⊥AD ③|AC |＝|BD | ④AC ⊥BD A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①k AB ＝－4－26＋4＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，∴AB ∥CD .②k AB ＝－35，k AD ＝12－22＋4＝53，∵k AB ·k AD ＝－1，∴AB ⊥AD .③|AC |＝(12＋4)2＋(6－2)2＝272，|BD |＝(2－6)2＋(12＋4)2＝272. ∴|AC |＝|BD |.④k AC ＝6－212＋4＝14，k BD ＝12＋42－6＝－4，∵k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .综上知，①、②、③、④均正确．故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．已知A (a,3)，B (3,3a ＋3)两点间的距离是5，则a 的值为________．解析：(3－a )2＋(3a ＋3－3)2＝5，即(3－a )2＋9a 2＝25，解得a ＝－1或85.答案：－1或8514．两条平行直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，各自绕A ，B 旋转．若这两条平行线距离取最大时，两直线方程是________．解析：根据题意，当这两条直线平行旋转到与直线AB 垂直时，距离取得最大值． ∵k AB ＝13，∴两直线分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0. 答案：3x ＋y －20＝0,3x ＋y ＋10＝015．已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，与两坐标轴围成的三角形面积为8，则直线l 1的方程为________．解析：∵l 1与l 2平行，故可设l 1的方程为x －3y ＋m ＝0.与两坐标轴的交点(0，m3，(－m,0)．由题意可得：12|－m ×m3|＝8.∴m ＝43或m ＝－4 3. 答案：x －3y ±43＝016．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且P 到原点的距离与P 到直线x ＋3y －2＝0的距离相等，则点P 坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋3y ＝0上，可设P 的坐标为(－3a ，a )．依题意可得(－3a )2＋a 2＝|－3a ＋3a －2|12＋32，化简得：10a 2＝410∴a ＝±15. 故P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，15或⎝⎛⎭⎫35，－15.答案：⎝⎛⎭⎫35，－15或⎝⎛⎭⎫－35，15三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知点A (1,4)，B (4,0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A ，B 之间的距离，求点M 的坐标．解：因为点M 在x 轴上，所以设M (x,0)，则 |x －4|＝(4－1)2＋(0－4)2＝5， ∴x ＝9或x ＝－1. 所以M (9,0)或(－1,0)．18．(12分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：(1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y ＝kx ，由点到直线的距离公式可得 32＝|4k －3|1＋k2，解k ＝－6±3214.故所求直线的方程为y ＝(－6±3214)x . (2)当直线不经过坐标原点时，设所求直线为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.由题意可得|4＋3－a |2＝3 2.解a ＝1或a ＝13.故所求直线的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上可知，所求直线的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 19．(12分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1. (1)倾斜角为π4；(2)在x 轴上的截距为1. 解：(1)倾斜角为π4，则斜率为1.∴－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝1或m ＝－1.当m ＝1时，m 2－m ＝0，不符合题意．当m ＝－1时，直线方程为2x －2y －5＝0符合题意， ∴m ＝－1.(2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12或m ＝2.当m ＝－12或m ＝2时都符合题意，∴m ＝－12或m ＝2.20．(12分)求经过直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0与l 2：2x －3y －8＝0的交点M ，且满足下列条件的直线方程．(1)经过原点；(2)与直线2x ＋y ＋5＝0平行； (3)与直线2x ＋y ＋5＝0垂直．解：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＋5＝02x －3y －8＝0得交点M 的坐标为(1，－2)．(1)直线过原点，可得直线方程为2x ＋y ＝0.(2)直线与2x ＋y ＋5＝0平行，可设为2x ＋y ＋m ＝0，代入M (1，－2)，得m ＝0， ∴直线方程为2x ＋y ＝0. (3)直线与2x ＋y ＋5＝0垂直， ∴斜率为k ＝12，又过点M (1，－2)，故所求方程为y ＋2＝12(x －1)，即x －2y －5＝0.21．(12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a 和b 的值．(1)求直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴(a －1)a ＋(－b )×1＝0 即a 2－a －b ＝0① 又点(－3，－1)在l 1上 ∴－3a ＋b ＋4＝0②由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，即b ≠0. ∴a b ＝1－a .∴b ＝a 1－a (a ≠1)，故l 1、l 2的方程分别可以表示为 l 1：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0.∵原点到l 1和l 2的距离相等． ∴4|a －1a |＝|a1－a|，解得a ＝2或a ＝23因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.22．(12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在的直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解：设直角顶点为C ，C 到直线y ＝3x 的距离为d . 则12·d ·2d ＝10，∴d ＝10. 又l 的斜率为12，∴l 的方程为y ＋2＝12(x －4)，即x －2y －8＝0.设l ′是与直线y ＝3x 平行且距离为10的直线，则l ′与l 的交点就是C 点，设l ′的方程是3x －y ＋m ＝0，则|m |10＝10，∴m ＝±10，∴l ′的方程是3x －y ±10＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y －10＝0，及⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y ＋10＝0，得C 点坐标是⎝⎛⎭⎫125，－145或⎝⎛－285，－345.。

人教版高二数学必修2第三章章末检测及模块测试含答案

人教版高二数学必修三第三章章末检测及模块测试含答案（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.下列说法中正确的是（）A.相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B.独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C.相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D.独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的解析相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义.故选C. 答案 C2.对于回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，下列说法中不正确的是（）A.直线必经过点（x －，y －）B.x 增加1个单位时，y 平均增加b ^个单位 C.样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^D.样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a ^解析回归直线方程是根据样本数据得到的一个近似曲线，故由它得到的值也是一个近似值. 答案 D3.根据如下样本数据：得到的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则（） A.a ^>0，b ^<0 B.a ^>0，b ^>0 C.a ^<0，b ^>0D.a ^<0，b ^<0解析根据题意，画出散点图.根据散点图，知两个变量为负相关，且回归直线与y 轴的交点在y 轴正半轴，所以a ^>0，b ^<0.答案 A4.如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A.性别与喜欢理科无关B.女生中喜欢理科的比例约为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大些D.男生中不喜欢理科的比例约为60%解析由图可知，女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些. 答案 C5.在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大（） A.a a ＋b 与d c ＋d B.c a ＋b 与a c ＋d C.aa ＋b 与cc ＋dD.aa ＋b 与cb ＋c解析由等高条形图可知aa ＋b 与cc ＋d的值相差越大，|ad －bc |就越大，相关性就越强.答案 C6.根据上表数据计算的相关系数为（） A.0 B.－0.897 3 C.1.022 8 D.0.991 8 解析利用相关系数公式即可求得. 答案 D7.下列是x 与y 之间的一组数据则y 关于x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，对应的直线必过点（）A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 C.（2，2）D.（1，2）解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4为样本点的中心，故一定在回归直线上. 答案 A8.为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8组观察值.计算知∑8i ＝1x i =52,∑8i ＝1y i =288, ∑8i ＝1x 2i =478, ∑8i ＝1x i y i =1849,则y 关于x 的回归方程是（）A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47xD.y ^＝11.47－2.62x解析本题主要考查线性回归方程的计算. 由b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^ x －，直接计算得b ^≈2.62，a ^≈11.47，所以回归方程为y ^＝2.62x ＋11.47.答案 A9．某产品的广告费用x根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元D ．72.0万元解析 x －＝4＋2＋3＋54＝3.5，y －＝49＋26＋39＋544＝42，∴a ^＝y －－b ^x －＝42－9.4×3.5＝9.1， ∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B.答案 B10.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（） A.－1B.0C.12D.1解析所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D. 答案 D11.①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”.其中正确命题的个数为（） A.0 B.1C.2D.3解析由列联表中数据可求得随机变量K 2的观测值k ＝992×（700×32－60×200）2760×232×900×92≈7.349>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”.因此②③正确，故选C. 答案 C12.下表给出5组数据（x ，y ），为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据（－5，－3），则应去掉（）A.第2组B.第3组解析通过散点图选择，画出散点图如图，应除去第三组，对应点的坐标是（－3，4）.故选B.答案 B二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知下表所示数据的回归直线方程为y ^＝4x ＋242，则实数a ＝ .解析由题意，得x －＝4，y －＝15（1 028＋a ），代入y ^＝4x ＋242，可得15（1 028＋a ）＝4×4＋242，解得a＝262.答案 26214.在评价建立的线性回归模型刻画身高和体重之间关系的效果时，R 2= ，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机变量贡献了剩余的36%”.解析当R 2＝0.64时，说明体重的差异有64%是由身高引起的，所以身高解释了64%的体重变化，而随机变量贡献了剩余的36%. 答案 0.6415.若两个分类变量X 与Y 的2×2则“X 与Y 之间有关系”这个结论出错的概率为 .解析由列联表数据，可求得随机变量K 2的观测值 k ＝81×（10×16－40×15）225×56×50×31≈7.227>6.635.因为P （K 2≥6.635）≈0.01，所以“x 与y 之间有关系”出错的概率为0.01.答案 0.0116.某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.解析由题意可得父亲和儿子的身高组成了三个坐标（173，170），（170，176），（176，182）， ∴x －＝173＋170＋1763＝173，y －＝170＋176＋1823＝176，∴b ^＝∑3i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑3i ＝1（x i －x －）2＝1， ∴a ^＝y －－b ^×x －＝176－173＝3，∴y ^＝x ＋3，即孙子的身高约为y ^＝182＋3＝185.答案 185三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17.（10分）某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张.作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系. 解作2×2相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例.从图中可以看出，考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前心情紧张与性格类型有关.18.（12分）在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查.调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动.（1）请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表：（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？注：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），（其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量）解（1（2k ＝110×（30×35－20×25）250×60×55×55≈3.667，因为k ≈3.667＜k 0＝3.841，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”.19.（12分）要分析学生中考的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表：表中x 是学生入学成绩，是高一年级期末考试数学成绩. （1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）若某学生的入学成绩为80分，试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩. 解（1）作出散点图如图，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系.（2）列表如下：可求得x －＝110×（63＋67＋…＋76）＝70，y －＝110×（65＋78＋…＋75）＝76，∑10t ＝1x 2i ＝51 474, ∑10i ＝1x i y i ＝55 094.∴b ^＝55 094－10×70×7651 474－10×702≈0.765 56. a ^≈76－0.765 56×70≈22.41，故所求的线性回归直线方程为y ^＝22.41＋0.765 56x .（3）若学生入学成绩为80分，代入上面线性回归直线方程y ^＝22.41＋0.765 56x ，可求得y ^≈84（分）. 故该同学高一期末数学成绩预测为84分.20.（12分）为了了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级的学生进行了问卷调查得到如下列联表.平均每天喝500 mL 以上为常喝，体重超过50 kg 为肥胖.已知在30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415.（1）请将上面的列联表补充完整.（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由.（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（其中有2名女生）抽取2人参加电视节目，则正好抽到1男1女的概率是多少？解（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x 人，则x ＋230＝415，解得x ＝6.（2）由已知数据，得K 2＝30×（6×18－2×4）10×20×8×22≈8.523>7.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A ，B ，C ，D ，女生为E ，F ，则任取2人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共15种.其中1男1女有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ，故抽出1男1女的概率p ＝815. 21.（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？解（1）设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A －表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”.基本事件总数为10，事件A －包含的基本事件数为4. ∴P （A －）＝410＝25，∴P （A ）＝1－P （A －）＝35.（2）x －＝12，y －＝27，∑3i ＝1x i y i ＝977，∑3i ＝1x 2i ＝434，a ^＝y －－b ^x －＝27－2.5×12＝－3， ∴y ^＝2.5x －3.（3）由（2）知：当x ＝10时，y ^＝22，误差不超过2颗；当x ＝8时，y ^＝17，误差不超过2颗.故所求得的线性回归方程是可靠的.22.（12分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品.（1）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，其中合格品的件数X 的数学期望；（2）从乙流水线样本的不合格品中任取2件，求其中超过合格品重量的件数Y 的分布列；（3）由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.参考公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解（1）由题图知甲样本中合格品数为（0.06＋0.09＋0.03）×5×40＝36，故合格品的频率为3640＝0.9，据此可估计从甲流水线上任取1件产品，该产品为合格品的概率p ＝0.9，则X ～（5，0.9），E （X ）＝5×0.9＝4.5. （2）由题表知乙流水线样本中不合格品共10个，超过合格品质量的有4件，则Y 的可能取值为0，1，2，且P （Y ＝k ）＝C k 4C 2－k6C 210（k ＝0，1，2），于是有P （Y ＝0）＝13，P （Y ＝1）＝815，P （Y ＝2）＝215.所以Y 的分布列为：（3）2×2列联表如下：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝80×（360－120）66×14×40×40≈3.117>2.706，所以有90%的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.模块检测（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有（） A.20种 B.30种 C.40种 D.60种解析分类解决.甲排周一，乙、丙只能在周二至周五这4天中选两天进行安排，有A 24＝12（种）方法；甲排周二，乙、丙只能在周三至周五这3天中选两天安排，有A 23＝6（种）方法；甲排周三，乙、丙只能安排在周四和周五，有A 22＝2（种）方法.由分类加法计数原理，得共有12＋6＋2＝20（种）方法. 答案 A2.某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，14，则E （－X ）的值为（）A.14B.－14C.54D.－54解析 ∵E （X ）＝5×14＝54，∴E （－X ）＝－E （X ）＝－54.故选D.答案 D3.设（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的回归直线（如图所示），以下结论中正确的是（）A.x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B.x 和y 的相关系数在0到1之间C.当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D.直线l 过点（x －，y －）解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A ，B 错误.C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误.根据回归直线方程一定经过样本点的中心可知D 正确. 答案 D4.已知（1＋x ）10＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 10（x －1）10，则a 8等于（） A.－180 B.180 C.45 D.－45解析本题是关于二项展开式的系数问题，注意到展开式右边的特点，可将1＋x 写成x －1＋2，再展开（1＋x ）10＝（2＋x －1）10＝C 010210＋C 11029（x －1）＋C 21028（x －1）2＋…＋C 81022（x －1）8＋C 9102（x －1）9＋C 1010（x－1）10，可得a 8＝22C 810＝180. 答案 B5.从集合{1，2，3，…，11}中任意取两个元素作为椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B ＝{（x ，y ）||x |<11，|y |<9}内的椭圆的个数是（） A.43 B.72 C.86 D.90解析根据题意，m 是不大于10的正整数，n 是不大于8的正整数.但是当m ＝n 时，x 2m 2＋y 2n2＝1是圆而不是椭圆.先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有10－1＝9种可能.故满足条件的椭圆有8×9＝72（个）. 答案 B6.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X 位于区间（51，69]的人数大约是（）A.997B.954C.800D.683解析由题图知，X ～N （μ，σ2），其中，μ＝60，σ＝9，∴P （μ－σ＜x ≤μ＋σ）＝P （51＜x ≤69）＝0.682 6， ∴人数大约为0.682 6×1 000≈683. 答案 D 7.若（1－2x ）2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018（x ∈R ），则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为（）A.2B.0C.－1D.－2解析令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.故选C. 答案 C8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名学生至少一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（） A.360 B.520 C.600 D.720 解析根据题意，分两种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有C 12·C 35·A 44＝480（种）情况；若甲、乙两人都参加，有C 22·C 25·A 44＝240（种）情况，其中甲、乙相邻的有C 22·C 25·A 33·A 22＝120（种）情况. 故不同的发言顺序种数为480＋240－120＝600. 答案 C9.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A ，A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析丁同学所得相关系数0.85最大，残差平方和m 最小，所以A ，B 两变量线性相关性更强.故选D. 答案 D10.则有结论（）A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些C.两人的产品质量一样好D.无法判断谁的质量好一些解析 E （ξ甲）＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， E （ξ乙）＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9， ∵E （ξ甲）>E （ξ乙），故甲每天出废品的数量比乙要多，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些. 答案 B11.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得，K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是（）A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 答案 C12.设m ，n 是正整数，多项式（1－2x ）m ＋（1－5x ）n中x 的一次项的系数为－16，则x 2的系数是（） A.－13 B.6 C.79 D.37解析由于多项式（1－2x ）m ＋（1－5x ）n 中x 的一次项的系数为C 1m ·（－2）＋C 1n ·（－5）＝－16，可得2m ＋5n ＝16.根据m ，n 均为正整数，得m ＝3，n ＝2.故x 2的系数是C 23·（－2）2＋C 22·（－5）2＝37. 答案 D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量X 服从正态分布N （0，σ2），且P （－2≤X ≤0）＝0.4，则P （X >2）＝ . 解析由已知P （0≤X ≤2）＝P （－2≤X ≤0）＝0.4， ∴P （X >2）＝12×（1－0.4－0.4）＝0.1.答案 0.114.设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6（a >0）的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是 .解析 A ＝C 26（－a ）2，B ＝C 46（－a ）4，由B ＝4A ，得4C 26（－a ）2＝C 46（－a ）4，解得a ＝±2.∵a >0，∴a ＝2. 答案 215.已知随机变量ξ～B （n ，p ），若E （ξ）＝4，η＝2ξ＋3，D （η）＝3.2，则P （ξ＝2）＝ . 解析由已知np ＝4，4np （1－p ）＝3.2， ∴n ＝5，p ＝0.8，∴P （ξ＝2）＝C 25p 2（1－p ）3＝32625.答案3262516.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种.解析首末两格涂法为6×5＝30（种），中间两格有两种情况，①6×5×5×4＝600，②6×5＝30，故涂法数为600＋30＝630（种）. 答案 630三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17.（10分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件，求：（1）取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和均值；（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.解（1）由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k （k ＝0，1，2，3）件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P （X ＝k ）＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0，1，2，3，所以随机变量X 的分布列为：X 的均值E （X ）＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910. （2）设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P （A 1）＝C 13C 23C 310＝340，P （A 2）＝C 23C 17C 310＝740，P （A 3）＝C 33C 310＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P （A ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋P （A 3）＝340＋740＋1120＝31120.18.（12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（1）求T 的分布列与数学期望（）；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解（1）由统计结果可得T以频率估计概率得T 的分布列为：从而E （T ）＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32（分钟）.（2）设T 1，T 2分别表示往返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座的时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.方法一 P （A ）＝P （T 1＋T 2≤70）＝P （T 1＝25，T 2≤45）＋P （T 1＝30，T 2≤40）＋P （T 1＝35，T 2≤35）＋P （T 1＝40，T 2≤30）＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二 P （A －）＝P （T 1＋T 2>70）＝P （T 1＝35，T 2＝40）＋P （T 1＝40，T 2＝35）＋P （T 1＝40，T 2＝40）＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P （A ）＝1－P （A －）＝0.91.19.（12（1）求样本的数学平均成绩及标准差（精确到0.01）；（2）若总体服从正态分布，求此正态曲线的近似方程.解（1）平均成绩x －＝160（4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3）＝6.s 2＝160[6×（4－6）2＋15×（5－6）2＋21×（6－6）2＋12×（7－6）2＋3×（8－6）2＋3×（9－6）2]＝1.5.所以s ≈1.22，即样本的数学平均成绩为6分，标准差约为1.22.（2）以x －＝6，s ＝1.22作为全体学生的数学平均成绩和标准差的估计值. 即μ＝6，σ＝1.22.则总体服从正态分布N （6，1.222）. 正态曲线的近似方程为φμ，σ（x ）＝11.222πe －（x －6）32.20.（12分）在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病.试推断药物处理跟发生青花病是否有关系. 解由已知条件得2×2列联表如下：提出假设H 0：经过药物处理跟发生青花病无关系.根据列联表中的数据，可以求得K 2的观测值 k ＝470×（25×200－185×60）2210×260×85×385≈9.788.因为当H 0成立时，K 2≥7.879的概率约为0.005，而此时k ＝9.788>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的.21.（12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？解（1）根据表中所列数据可得散点图如下：（2因此，x －＝255＝5，y －＝2505＝50，∑5i ＝1x 2i ＝145，∑5i ＝1y 2i ＝13 500，∑5i ＝1x i y i ＝1 380. 于是求得：b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5；a ^＝y －－b ^x －＝50－6.5×5＝17.5.因此，所求线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.（3）根据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为10百万元时，y ^＝6.5×10＋17.5＝82.5（百万元），即这种产品的销售收入大约为82.5百万元.22.（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克）.质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如下图.（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品的数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的质量超过505克的概率.解（1）由频率分布直方图，知质量超过505克的产品数为[（0.01＋0.05）×5]×40＝12. （2）依题意，得Y 的所有可能取值为0，1，2.P （Y ＝0）＝C 228C 240＝63130，P （Y ＝1）＝C 128C 112C 240＝2865，P （Y ＝2）＝C 212C 240＝11130.∴Y 的分布列为（3）利用样本估计总体，该流水线上产品质量超过505克的概率为0.3.令ξ为任取的5件产品中质量超过505克的产品数量，则ξ～B （5，0.3），故所求概率P （ξ＝2）＝C 25（0.3）2（0.7）3＝0.308 7.。

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AB一、选择题3.1.1 倾斜角与斜率练习一1、已知，A(–3, 1)、B(2, –4)，则直线 AB 上方向向量的坐标是A 、(–5, 5)B 、(–1, –3)C 、(5, –5)D 、(–3, –1) 2、过点 P(2, 3)与 Q(1, 5)的直线 PQ 的倾斜角为π A 、arctan2 B 、arctan(–2) C 、 –arctan2 D 、π–arctan223、直线 l 1: ax+2y –1=0 与直线 l 2: x+(a –1)y+a 2=0 平行，则 a 的值是A 、–1B 、2 C 、–1 或 2 D 、0 或 14、过点 A(–2, m), B(m, 4)的直线的倾斜角为A 、2 B 、10 C 、–8 D 、0π+arccot2，则实数 m 的值为25、已知点 A(cos77 °,sin77°), B(cos17°, sin17°)，则直线 AB 的斜率为 A 、 tan47° B 、cot47° C 、–tan47° D 、–cot47°6、下列命题正确的是A 、若直线的斜率存在，则必有倾斜角 α 与它对应B 、若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应C 、直线的斜率为 k ，则这条直线的倾斜角为 arctan kD 、直线的倾斜角为 α，则这条直线的斜率为 tanα17、过点 M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为– 2，则 a 等于A 、–8B 、10C 、2D 、43π 8、过点 A (2, b )和点 B (3, –2)的直线的倾斜角为 4，则 b 的值是A 、–1B 、1C 、–5D 、59、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3 的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 210、已知点 M (cosα, sinα), N (cosβ, sinβ)，若直线 MN 的倾斜角为 θ，0<α<π<β<2π, 则 θ 等于11 A 、 (π+α+β)B 、 22(α+β)a b–11 C 、 (α+β–π)D 、 22 a(β–α)11、若直线 l 的斜率为 k =– b(ab >0)，则直线 l 的倾斜角为a A 、arctanB 、 arctan()a aC 、π–arctanbD 、π+arctan b二、填空题：12、若直线 k 的斜率满足–<k< 3，则该直线的倾斜角 α 的范围是.13、若直线 l 的倾斜角是连接 P(3, –5), Q(0, –9)两点的直线的倾斜角的 2 倍，则直线 l 的斜率为14、已知直线 l 1 和 l 2 关于直线 y=x 对称，若直线 l 1 的斜率为斜角为.，则直线 l 2 的斜率为；倾15、已知 M(2, –3), N(–3,–2)，直线 l 过点 P(1, 1)，且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是.答案：一、选择题1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B ；6、A ；7、B ；8、A ；9、B ；10、C ；11、C 二、填空题212、[0, ) ( 6 3,)3 3 3 b33 33 3 313、14、 3 ,3 615、 k ≥ 3或k ≤ -443.1.1 倾斜角与斜率练习二一、选择题1、过（0，5）和（1，2）两点的直线的倾斜角是（）+ arctan 3 A 、π-arctan3 B 、π+arctan3 C 、arctan(-3)D 、 22、若直线 l 的倾斜角 θ 满足tan< ，则 θ 的取值范围是（）k - << k +0 ≤<<<A 、23 （k∈Z）B 、6 或 2 0 ≤<<<0 ≤< 2<<C 、3 或 2D 、6 或 33、已知直线的倾斜角为 θ，且 cotθ=α（α<0）则 θ 为（）- arctan 1A 、arctanαB 、+ arctan 1C 、D 、- arctan4、k 是直线 l 的斜率，θ 是直线 l 的倾斜角，若 30°≤θ<120°，则 k 的取值范围是（）-≤ k ≤≤ k ≤ 1 k ≥k ≥A 、3B 、 3C 、k < - 或 3D 、5、已知直线l 1 过点 A （2，-1）和 B （3，2），直线l 2 的倾斜角是直线l 1 倾斜角的 2 倍，则直线l 2 的斜率是（）- 3A 、-6B 、 53 C 、4 -3 D 、4 -2473y =l l l f(x )-16、函数 y=f(x)与其反函数的对称轴 1 绕原点按逆时针旋转 90°得直线 2 ，则直线1 到直线 l2 的斜率 k 的变化范围是（）3 [ , ] A 、4 4B 、[1，+∞）C 、（-∞，-1）D 、（-∞，-1）∪[1，+∞]7、已知直线 l 1: y =x sinα 和直线 l 2: y =2x +c ，则直线 l 1 与 l 2 （）A 、通过平移可以重合B 、不可能垂直C 、可能与 x 轴围成等腰直角三角形D 、通过绕 l 1 上某一点旋转可以重合48、已知直线 l 的倾斜角为 α，若 cosα=– 5，则直线 l 的斜率为3A 、 44 B 、 33 C 、– 44 D 、– 3二、填空题9、若直线 l 的斜率 k=sinθ，其倾斜角的取值范围是。

人教版必修二数学第三章测试题及答案解析

第三章直线与方程一、选择题1．下列直线中与直线x－2y＋ 1＝0 平行的一条是 ( ) ．A． 2x－ y＋ 1＝ 0 B．2x－ 4y＋ 2＝ 0C． 2x＋ 4y＋ 1＝ 0 D． 2x－ 4y＋ 1＝ 02．已知两点 A( 2， m) 与点 B( m， 1) 之间的距离等于13 ，则实数 m＝ () ．A．－ 1 B ． 4 C．－1或 4 D．－4 或 13．过点 M( － 2，a) 和 N( a， 4) 的直线的斜率为1，则实数 a 的值为 ( ) ．A． 1 B ． 2 C．1或 4 D．1或24．如果 AB＞ 0， BC＞ 0，那么直线Ax―By― C＝ 0 不经过的象限是 ( ) ．A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限5．已知等边△ ABC 的两个顶点A( 0， 0) ，B( 4， 0) ，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是 ( ) ．A． y＝－ 3 x B．y＝－ 3 ( x－ 4)C． y＝ 3 ( x－ 4) D． y＝ 3 ( x＋ 4)6．直线 l： mx－ m2y－ 1＝ 0 经过点 P( 2，1) ，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是 ( ) ．A． x― y― 1＝ 0 B．2x― y― 3＝0C． x＋ y－ 3＝ 0 D． x＋ 2y－ 4＝ 07．点 P( 1，2) 关于 x 轴和 y 轴的对称的点依次是( ) ．A． ( 2，1) ，( －1，－ 2) B．( －1，2) ，( 1，－ 2)C．( 1，－ 2) ，( －1，2) D．( －1，－ 2) ，( 2， 1)8．已知两条平行直线l1 : 3x＋ 4y＋ 5＝ 0， l 2 : 6x＋ by＋ c＝0 间的距离为3，则 b＋ c＝() ．A．－ 12 B．48 C．36 D．－12 或 48 9．过点 P( 1， 2) ，且与原点距离最大的直线方程是( ) ．A． x＋ 2y－ 5＝ 0 B．2x＋ y－ 4＝0C． x＋ 3y－ 7＝0 D． 3x＋ y－ 5＝ 010． a， b 满足 a＋ 2b＝ 1，则直线 ax＋ 3y＋ b＝ 0 必过定点 ( ) ．A．－1，1B．1，－1C．1，1D．1，－1 62 2 6 2 6 6 2二、填空题11．已知直线AB 与直线 AC 有相同的斜率，且A( 1， 0) ， B( 2， a) ，C( a， 1) ，则实数a 的值是 ____________．12．已知直线x－ 2y＋ 2k＝ 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是 ____________ ．13．已知点 ( a，2)( a＞ 0) 到直线 x－ y＋ 3＝ 0 的距离为1，则 a 的值为 ________．14．已知直线ax＋ y＋ a＋2＝ 0 恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是____________________ ．15．已知实数x， y 满足 5x＋ 12y＝ 60，则x2＋ y2的最小值等于 ____________ ．三、解答题3 ，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12 的直线方程．16．求斜率为417．过点 P( 1， 2) 的直线 l 被两平行线 l1 : 4x＋ 3y＋ 1＝ 0 与 l 2 : 4x＋ 3y＋ 6＝ 0 截得的线段长 | AB| ＝ 2 ，求直线 l 的方程．18．已知方程 ( m2― 2m― 3) x＋ ( 2m2＋m－ 1) y＋ 6－ 2m＝ 0( m∈R) ．( 1) 求该方程表示一条直线的条件；( 2) 当 m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；( 3) 已知方程表示的直线l 在 x 轴上的截距为－ 3，求实数 m 的值；( 4) 若方程表示的直线l 的倾斜角是 45°，求实数 m 的值．19．△ ABC 中，已知 C( 2，5) ，角 A 的平分线所在的直线方程是y＝ x，BC 边上高线所在的直线方程是y＝ 2x－ 1，试求顶点 B 的坐标．参考答案一、选择题1．D解析：利用 A1B2－A2B1＝ 0 来判断，排除A ， C，而 B 中直线与已知直线重合．2． C解析：因为 | AB| ＝( 2 － m) 2＋( m－ 1) 2＝13 ，所以 2m2－ 6m＋ 5＝ 13．解得 m＝－ 1 或 m＝ 4．3．A4 － a解析：依条件有＝1，由此解得a＝ 1．4． B解析：因为 B≠0，所以直线方程为y＝Ax－C，依条件A ＞0，C＞0．即直线的斜B B B B率为正值，纵截距为负值，所以直线不过第二象限．5． C解析：因为△ ABC 是等边三角形，所以BC 边所在的直线过点B，且倾斜角为π，3 所以 BC 边所在的直线方程为y＝ 3 ( x－ 4) ．6． C2解析：由点 P 在 l 上得 2m― m ―1＝ 0，所以 m＝ 1．即 l 的方程为x― y―1＝ 0．7． C解析：因为点 ( x， y) 关于 x 轴和 y 轴的对称点依次是 ( x，－ y) 和 ( － x，y) ，所以 P( 1， 2) 关于 x 轴和 y 轴的对称的点依次是 ( 1，－ 2) 和 ( － 1， 2) ．8．D解析：将 l 1 : 3x＋ 4y＋ 5＝ 0 改写为 6x＋ 8y＋10＝ 0，因为两条直线平行，所以b＝ 8．由10－ c或 c＝ 40．所以 b＋ c＝－ 12 或 48．＝ 3，解得 c＝－ 2062＋829．A解析：设原点为O，依条件只需求经过点P 且与直线OP 垂直的直线方程，因为 k OP ＝2，所以所求直线的斜率为－1，且过点 P ．2所以满足条件的直线方程为y － 2＝－ 1( x － 1) ，即 x ＋ 2y － 5＝ 0．210．B解析：方法 1：因为 a ＋ 2b ＝1，所以 a ＝ 1－ 2b ．所以直线 ax ＋ 3y ＋ b ＝ 0 化为 ( 1－ 2b) x ＋ 3y ＋ b ＝0．整理得 ( 1－ 2x) b ＋ ( x ＋ 3y) ＝ 0．所以当 x ＝ 1 ， y ＝－ 1时上式恒成立．2 6所以直线 ax ＋ 3y ＋ b ＝ 0 过定点1，－ 1．26方法 2：由 a ＋ 2b ＝1 得 a － 1＋ 2b ＝ 0．进一步变形为 a ×1＋3× －1＋ b ＝ 0．26这说明直线方程 ax ＋ 3y ＋b ＝ 0 当 x ＝1， y ＝－1时恒成立．26所以直线 ax ＋ 3y ＋ b ＝ 0 过定点1，－ 1．26二、填空题11．15．2解析：由已知得a － 0＝ 1－ 0 ，所以 a 2―a ― 1＝ 0．解得 a ＝15．2 －1a － 1212．－ 1≤ k ≤ 1 且 k ≠ 0．解析：依条件得 1· | 2k | · | k | ≤1，其中 k ≠ 0( 否则三角形不存在 ) ．2 解得－ 1≤ k ≤ 1 且 k ≠ 0．13． 2 －1．a － 2 ＋ 3 2 － 1， a ＝－2 －1(舍去)．解析：依条件有＝ 1．解得 a ＝12＋1214． y ＝ 2x ．解析：已知直线变形为 y ＋ 2＝－ a( x ＋ 1) ，所以直线恒过点 ( ―1，― 2) ．故所求的直线方程是y ＋ 2＝ 2( x ＋ 1) ，即 y ＝ 2x ．15．60．解析：因为实数 x ， y 满足 5x ＋ 12y ＝ 60，所以 x 2 ＋ y 2 表示原点到直线 5x ＋12y ＝ 60 上点的距离．所以 x 2＋ y 2的最小值表示原点到直线 5x ＋12y ＝ 60 的距离．容易计算 d ＝60＝ 60 ．即所求 x 2＋ y 2的最小值为 60．25＋ 144 1313 三、解答题16．解：设所求直线的方程为y ＝ 3x ＋ b ，4令 x ＝0，得 y ＝b ，所以直线与y 轴的交点为 ( 0， b) ；令 y ＝0，得 x ＝－ 4b ，所以直线与x 轴的交点为－ 4b ，0 ．33由已知，得 | b| ＋－ 4b ＋ b 2＋－ 4b2＝ 12，解得 b ＝± 3．33故所求的直线方程是 y ＝ 3x ± 3，即 3x － 4y ±12＝ 0．4 17．解：当直线 l 的方程为 x ＝ 1 时，可验证不符合题意，故设l 的方程为 y －2＝ k ( x －1) ，由 y ＝ kx ＋ 2 － k 解得 A 3k － 7 ，－ 5k ＋ 8；4 x ＋ 3 y ＋1＝ 0 3k ＋ 43k ＋ 4 由 y ＝ kx ＋ 2 － k 解得 B 3k － 12 ， 8 －10k ． 4 x ＋ 3 y ＋ 6＝ 0 3k ＋ 4 3k ＋ 4525 k2因为|AB|＝ 2 ，所以＋＝ 2 ．3k ＋ 43k ＋ 4整理得 7k 2－48k －7＝ 0．解得 k ＝ 7 或 k＝－ 1．127故所求的直线方程为x ＋ 7y － 15＝0 或 7x ― y ― 5＝ 0．18．解： ( 1) 当 x ， y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令 m 2― 2m ― 3＝ 0，解得 m ＝－ 1， m ＝3；令 2m 2＋ m － 1＝ 0，解得 m ＝－ 1， m ＝ 1． 2所以方程表示一条直线的条件是m ∈ R ，且 m ≠－ 1．( 2) 由( 1) 易知，当 m ＝ 1时，方程表示的直线的斜率不存在，2此时的方程为 x ＝ 4，它表示一条垂直于x 轴的直线．( 3) 依题意，有2m － 6＝－ 3，所以 3m 2－ 4m － 15＝ 0．m 2－ 2m － 3所以 m ＝3，或 m ＝－ 5 ，由 ( 1) 知所求 m ＝－ 5．3 3( 4) 因为直线 l 的倾斜角是45o ，所以斜率为 1．故由－ m 2 － 2m － 3 ＝ 1，解得 m ＝ 4 或 m ＝－ 1( 舍去 ) ．2m 2＋ m － 134所以直线 l 的倾斜角为 45°时， m ＝．y ＝ 2x － 119．解：依条件，由解得 A( 1，1) ．y ＝ x因为角 A 的平分线所在的直线方程是y ＝ x ，所以点 C( 2， 5) 关于 y ＝x 的对称点 C'( 5，2) 在 AB 边所在的直线上．2 －1AB 边所在的直线方程为 y － 1＝( x －1) ，整理得x － 4y ＋ 3＝0．又 BC 边上高线所在的直线方程是y ＝2x － 1，所以 BC边所在的直线的斜率为－1．(第 19题)2BC 边所在的直线的方程是 y ＝― 1( x － 2) ＋ 5，整理得x ＋2y － 12＝ 0．2联立 x － 4y ＋ 3＝0 与 x ＋ 2y －12＝ 0，解得 B 7，5．2。

人教版高中数学必修二(全)教材配套章末检测题附答案解析

人教版高一数学必修二教材配套检测题目录第一章空间几何体教材配套检测题 (2)第一章空间几何体章末检测题参考答案 (5)第二章点、直线、平面之间的位置关系教材配套检测题 (6)第二章点、直线、平面之间的位置关系章末检测题参考答案 (9)第三章直线与方程教材配套检测题 (11)第三章直线与方程检章末测题参考答案 (13)第四章圆与方程教材配套检测题 (16)第四章圆与方程章末检测题参考答案 (18)人教版高一数学必修二第一章空间几何体教材配套检测题一、选择题1. 下列命题中正确的是.A 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 .B 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台2. 如下图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的截面图形可能是.A （1）（2） .B （1）（3） .C （1）（4） .D （1）（5） 3. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的体积为1.6A .B 12.C 13.D 14. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比为.A 3π .B 4π .C 2π .D π 5. 如下图所示的正方体中，M 、N 分别是1AA 、1CC 的中点，作四边形1D MBN ，则四边形1D MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是AC MN 1A （1）（2）（3）（5）AB CD6. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，4AD =，13AA =，分别过BC 、11A D 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111AEA DFD V V -=，11112EBE A FCF D V V -=，11113B E B C F C V V -=. 若123::1:4:1V V V =，则截面11A EFD 的面积为 .A .B .C .D 二、填空题7. 从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E 、F 、G ，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是。

(完整版)高一数学必修2第三章测试题及答案解析

数学必修二第三章综合检测题一、选择题1．若直线过点 (1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是 ( )A ．30°B．45° C． 60° D．90°2．若三点 A(3,1)，B(－2, b)，C(8,11)在同素来线上，则实数 b 等于 ()A ．2 B．3 C．9 D．－ 93．过点 (1,2)，且倾斜角为 30°的直线方程是 ( )3A ．y＋2＝3 (x＋1) B．y－2＝ 3(x－1)C. 3x－3y＋6－ 3＝0D. 3x－y＋2－ 3＝04．直线 3x－2y＋5＝0 与直线 x＋3y＋10＝0 的地址关系是 ( )A ．订交B．平行C．重合D．异面5．直线 mx－y＋2m＋1＝0 经过必然点，则该定点的坐标为 ( )A ．(－2,1) B．(2,1) C．(1，－ 2) D．(1,2)6．已知 ab＜0，bc＜0，则直线 ax＋by＋c＝ 0 经过 ( )A ．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限7．点 P(2,5)到直线 y＝－ 3x 的距离 d 等于 ( )A ．0 B. 2 3＋52－2 3＋5D. － 2 3－5C. 2 28．与直线 y＝－ 2x＋3 平行，且与直线 y＝3x＋4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是 ()1A ．y＝－ 2x＋4 B．y＝2x＋48 1 8C．y＝－ 2x－3 D．y＝2x－39．两条直线 y＝ax－2 与 y＝(a＋2)x＋1 互相垂直，则 a 等于 ( )A ．2 B．1 C．0 D．－ 110．已知等腰直角三角形 ABC 的斜边所在的直线是3x－y＋2＝0，直角极点是 C(3，－ 2)，则两条直角边 AC，BC 的方程是 ( ) A．3x－y＋5＝0，x＋2y－7＝0B．2x＋y－4＝0，x－2y－7＝0C．2x－y＋4＝0,2x＋y－7＝0D．3x－2y－2＝0,2x－y＋2＝011．设点 A(2，－ 3)，B(－ 3，－ 2)，直线 l 过点 P(1,1)且与线段AB 订交，则 l 的斜率 k 的取值范围是 ( )A ．≥3或 k≤－ 4 B．－ 4≤k≤3 k4 4 3C．－4≤k≤4D．以上都不对12．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为 1，且与点 B(3,1)距离为2 的直线共有( )A ．1 条B．2 条C．3 条D．4 条二、填空题13．已知点 A(－1,2)，B(－4,6)，则 |AB|等于 ________．14．平行直线 l 1：x－y＋1＝0 与 l2：3x－3y＋1＝0 的距离等于________．15．若直线 l 经过点 P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线 l 的方程为 ________或________．16．若直线 m 被两平行线 l 1：x－y＋1＝0 与 l 2：x－y＋3＝0 所截得的线段的长为 2 2，则 m 的倾斜角可以是① 15° ②30° ③45°④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是 ________． (写出所有正确答案的序号 )三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17．求经过点 A(－2,3)，B(4，－ 1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．18．(1)当 a 为何值时，直线l 1：y＝－ x＋2a 与直线 l 2：y＝(a2－2)x＋2 平行？(2)当 a 为何值时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x－3垂直？19．在△ ABC 中，已知点 A(5，－2)，B(7,3)，且边 AC 的中点 M 在y 轴上，边 BC 的中点 N 在 x 轴上，求：(1)极点 C 的坐标；(2)直线 MN 的方程．20．过点 P(3,0)作素来线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0 和l2：x＋y＋3＝0 之间的线段 AB 恰被 P 点均分，求此直线方程．21．已知△ ABC 的三个极点 A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求(1)AC 边上的高 BD 所在直线方程；(2)BC 边的垂直均分线EF 所在直线方程；(3)AB 边的中线的方程．22．当 m 为何值时，直线 (2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.(1)倾斜角为 45°；(2)在 x 轴上的截距为 1.数学必修二第三章综合检测题 1A斜率＝2＋ 3 －2＝ 3，∴倾斜角为 30°. k 4－1 3b － 11 11－ 1 2 D由条件知 k BC ＝k AC ，∴ －2－8＝－，∴ b ＝－ 9.8 33C由直线方程的点斜式得 y －2＝tan30 (x °－1)，整理得 3x －3y ＋6－ 3＝0.4A ∵A 1B 2－A 2B 1＝3×3－1×(－2)＝11≠0，∴这两条直线订交． 5A 直线变形为 m(x ＋2)－(y －1)＝0，故无论 m 取何值，点 (－2,1)都在此直线上。

高中数学必修2第三章练习题及答案ABC卷

第三章直线与方程[ 基础训练 A 组]一、选择题1．设直线ax by c 0 的倾斜角为，且 sin cos0，则 a, b 满足（）A．a b 1B．a b 1C．a b 0D．a b 02．过点P( 1,3)且垂直于直线x 2 y 3 0 的直线方程为（）A．2x y 1 0 B ．2x y 5 0C．x 2 y 5 0 D ．x 2 y 7 03．已知过点A( 2, m)和B( m,4)的直线与直线2x y10平行，则 m 的值为（）A．0 B ．8 C ．2 D ．104．已知ab 0, bc0 ，则直线 ax by c 通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5．直线x 1的倾斜角和斜率分别是（）A．450,1．0C．900 ，不存在D．1800 ，不存在B135, 16．若方程 (2m2m3) x (m2m) y4m 1 0 表示一条直线，则实数m 满足（）A．m03 B．m2C．m 1D．m 1，m 3， m 0 2二、填空题1．点P(1, 1)到直线x y 1 0 的距离是________________.2．已知直线 l 1 : y2x3, 若 l 2与 l1关于y轴对称，则 l 2的方程为 __________;若 l 3与 l1关于 x 轴对称，则 l 3的方程为 _________; 若 l 4与 l1关于y x 对称，则l4的方程为 ___________;3．若原点在直线l上的射影为(2, 1)，则 l 的方程为____________________。

4．点P(x, y)在直线x y 4 0上，则 x2y 2的最小值是 ________________. 5．直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4), D (5,0) ，则直线 l 的方程为________________。

三、解答题新课标第一网1．已知直线Ax By C0 ，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与 x 轴相交；（4）系数满足什么条件时是 x 轴；（ 5）设 P x0，y0为直线Ax By C0 上一点，证明：这条直线的方程可以写成 A x x0 B y y00 ．2 ．求经过直线 l 1 : 2x3 y 5 0, l 2 : 3x 2y 30 的交点且平行于直线2x y 30 的直线方程。

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第三章直线与方程§3＠1直线的倾斜角与斜率3＠1＠1倾斜角与斜率一、基础过关1＠下列说法中：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条＠其中正确的个数是() A＠0 B＠ 1 C＠ 2 D＠ 32＠斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为()A＠a＝4，b＝0 B＠a＝－4，b＝－3C＠a＝4，b＝－3 D＠a＝－4，b＝33＠在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为() A＠－2 3 B＠0 C＠ 3 D＠2 34＠直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是() A＠[0°，90°]B＠[90°，180°)C＠[90°，180°)或α＝0°D＠[90°，135°]5＠若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________＠6＠若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______＠7＠如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率＠8＠一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标＠二、能力提升9＠设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为() A＠α＋45°B ＠α－135°C ＠ 135°－αD ＠当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 10＠若图中直线l 1、 l 2、 l 3的斜率分别为k 1、 k 2、 k 3，则( )A ＠k 1<k 2<k 3B ＠k 3<k 1<k 2C ＠k 3<k 2<k 1D ＠k 1<k 3<k 211＠已知直线l 的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________＠12＠△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率＠三、探究与拓展13＠已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小＠答案1＠B 2＠C 3＠B 4＠C5＠30°或150° 33或－336＠(－2,1)7＠解直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°＠k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0， k AC ＝33，k BD ＝－3＠8＠解设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x，依题意，由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P (2,0)＠9＠D 10＠D11＠20°≤α<200°12＠解如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33，k AC ＝tan 30°＝33＠13＠解画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率＠由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a＠3＠1＠2 两条直线平行与垂直的判定一、基础过关1＠下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行 A ＠1个B ＠ 2个C ＠ 3个D ＠4个2＠已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值为 ( ) A ＠－8B ＠ 0C ＠ 2D ＠103＠已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( )A ＠45°B ＠ 135°C ＠－45°D ＠120° 4＠已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ＠1B ＠C ＠ 0或2D ＠0或15＠经过点A (1,1)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝________＠6＠直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________＠7＠(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD ＠(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a 的值＠8＠如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、 P (1，t )、 Q (1－2t,2＋t )、 R (－2t,2)，其中t >0＠试判断四边形OPQR 的形状＠二、能力提升9＠顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ＠平行四边形B ＠直角梯形C ＠等腰梯形D ＠以上都不对10＠已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2经过点A (1，3)，B (－2，－23)，则直线l 1，l 2的位置关系是____________＠11＠已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________＠12＠已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率＠三、探究与拓展13＠已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形＠答案1＠A 2＠A 3＠B 4＠D5＠526＠2 －987＠(1)证明由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35，k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD ＠(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3＠8＠解由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ，k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ，k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t＝－1t ＠∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ ＠∴四边形OPQR 为平行四边形＠又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，故四边形OPQR 为矩形＠9＠B10＠平行或重合11＠(－19，－62)12＠解由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5＠由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在＠设AB 、 AC 边上高线的斜率分别为k 1、 k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15＠∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15＠13＠解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知：A (2，－1)＠(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ， ⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1∴⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85＠综上⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85＠§3＠2直线的方程3＠2＠1直线的点斜式方程一、基础过关1＠已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为() A＠y＝3x＋2 B＠y＝－3x＋2C＠y＝－3x－2 D＠y＝3x－22＠过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为() A＠2x＋y－1＝0 B＠x－2y－5＝0C＠x－2y＋7＝0 D＠2x＋y－5＝03＠直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A＠k>0，b>0 B＠k>0，b<0C＠k<0，b>0 D＠k<0，b<04＠下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()5＠将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为_______＠6＠已知一条直线经过点P(1,2)且与直线y＝2x＋3平行，则该直线的点斜式方程是________＠7＠求满足下列条件的直线方程：(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过点P(5，－2)，且与y轴平行；(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)两点＠8＠已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程＠二、能力提升9＠集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A、B间的关系是() A＠A＝B B＠B AC＠A B D＠以上都不对10＠直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点()A＠(1,3) B＠(－1，－3)C＠(3,1) D＠(－3，－1)11＠下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程＠正确的为________(填序号)＠12＠已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1＠(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围＠三、探究与拓展13＠等腰△ABC 的顶点A (－1,2)，AC 的斜率为3，点B (－3,2)，求直线AC 、 BC 及∠A 的平分线所在直线的方程＠答案1＠D 2＠C 3＠B 4＠C5＠y ＝－13x ＋136＠y －2＝2(x －1)7＠解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0＠(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为 y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4＠(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5＠(4)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1＠又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0＠8＠解设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1， ∴2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35＠∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)，即y ＝35x ＋3＠9＠B 10＠C11＠②③12＠解 (1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)＠由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)＠(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0. 解得－15≤k ≤1＠所以，实数k 的取值范围是－15≤k ≤1＠13＠解直线AC 的方程：y＝3x＋2＋3＠∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角为30°或120°＠当α＝30°时，BC方程为y＝33x＋2＋3，∠A平分线倾斜角为120°，∴所在直线方程为y＝－3x＋2－3＠当α＝120°时，BC方程为y＝－3x＋2－33，∠A平分线倾斜角为30°，∴所在直线方程为y＝33x＋2＋33＠3＠2＠2直线的两点式方程一、基础过关1＠过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是() A＠x＋y＋1＝0 B＠x＋y－1＝0C＠x－y＋1＝0 D＠x－y－1＝02＠一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程() A＠可以写成两点式或截距式B＠可以写成两点式或斜截式或点斜式C＠可以写成点斜式或截距式D＠可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3＠直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是()A＠|b| B＠－b2C＠b2D＠±b4＠以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A＠3x－y－8＝0 B＠3x＋y＋4＝0C＠3x－y＋6＝0 D＠3x＋y＋2＝05＠过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________＠6＠过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是______________＠7＠已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程＠8＠已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)＠求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程＠二、能力提升9＠直线xm－yn＝1与xn－ym＝1在同一坐标系中的图象可能是()10＠过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()A＠2x＋y－12＝0 B＠2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C＠x－2y－1＝0 D＠x＋2y－9＝0或2x－5y＝011＠已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|P A|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________＠12＠三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)＠(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程＠三、探究与拓展13＠已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程＠答案1＠D 2＠B 3＠B 4＠B5＠ x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 6＠x 2＋y 6＝1 7＠解设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b ＠∵k ＝6，∴方程为y ＝6x ＋b ＠令x ＝0，∴y ＝b ，与y 轴的交点为(0，b )；令y ＝0，∴x ＝－b6，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－b 6，0＠根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫－b62＋b 2＝37， ∴b ＝±6＠因此直线l 的方程为y ＝6x ±6＠8＠解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、 AC 中点的连线＠因为线段AB 、 AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1＠(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为 x 117－y11＝1＠9＠B 10＠D11＠(0,1)12＠解 (1)由截距式得x －8＋y4＝1，∴AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x－2，∴AB 所在直线的方程为x ＋y －4＝0＠(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)＠∴BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0＠(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2，又D (－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)，∴AC 边上的中垂线所在直线的方程为2x ＋y ＋6＝0＠13＠解当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0＠当直线l 不过原点时，设其方程为x a ＋yb＝1，由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b ＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0＠故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0＠3＠2＠3直线的一般式方程一、基础过关1＠直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为() A＠－2 B＠ 2 C＠－3 D＠32＠直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则() A＠C＝0，B>0 B＠A>0，B>0，C＝0C＠AB<0，C＝0 D＠AB>0，C＝03＠直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为()A＠32B＠32或0 C＠0 D＠－2或04＠直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是() A＠3x＋2y－1＝0 B＠3x＋2y＋7＝0C＠2x－3y＋5＝0 D＠2x－3y＋8＝05＠已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________＠6＠若直线l1：x＋ay－2＝0与直线l2：2ax＋(a－1)y＋3＝0互相垂直，则a的值为________＠7＠根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1＠8＠利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程＠二、能力提升9＠直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()10＠直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足() A＠a＝b B＠|a|＝|b|且c≠0C＠a＝b且c≠0 D＠a＝b或c＝011＠已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________________＠12＠已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行＠三、探究与拓展13＠已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0＠(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围＠答案1＠D 2＠D 3＠A 4＠A5＠－4156＠0或－17＠解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0＠(2)x ＝－3，即x ＋3＝0＠(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0＠(4)y ＝3，即y －3＝0＠(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0＠(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0＠8＠解设直线为Ax ＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B ＝－C ，B ＝－C3＠由三角形面积为6，得|C2AB|＝12，∴A ＝±C4，∴方程为±C 4x －C3y ＋C ＝0，所求直线方程为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0＠9＠C 10＠D11＠x －y ＋1＝012＠解当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0＠显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行＠当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m，∴m ＝－2＠∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行＠13＠(1)证明将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)＠而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限＠∴不论a为何值，直线l总经过第一象限＠(2)解直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3＠∵l不经过第二象限，∴a≥3＠§3＠3 直线的交点坐标与距离公式3＠3＠1 两条直线的交点坐标一、基础过关1＠两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )A ＠垂直B ＠平行C ＠重合D ＠平行或重合2＠经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是 ( )A ＠2x ＋y －8＝0B ＠2x －y －8＝0C ＠2x ＋y ＋8＝0D ＠2x －y ＋8＝03＠直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为 ( )A ＠1B ＠－1C ＠ 2D ＠－24＠两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A ＠－24B ＠ 6C ＠ ±6D ＠以上答案均不对5＠若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0} {(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________＠6＠已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________＠7＠判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标＠(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0＠8＠求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为在x 轴上截距的两倍的直线l 的方程＠二、能力提升9＠若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A ＠ ⎝⎛⎭⎫－32，2 B ＠(0,2)C ＠⎝⎛⎭⎫－32，0D ＠⎣⎡⎦⎤－32，2 10＠直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ＠32 B ＠23C ＠－32D ＠－2311＠当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________＠12＠在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标＠三、探究与拓展13＠一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标＠答案1＠D 2＠A 3＠B 4＠C5＠26＠ 8x ＋16y ＋21＝07＠解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)＠(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行＠(3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合＠8＠解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、 y 轴上的截距分别是4和8，符合题意＠(2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0＠据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0＠令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ＠∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x ＠即2x －3y ＝0＠∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0＠9＠A 10＠D11＠(－1，－2)12＠解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点＠由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1，故A (－1,0)＠又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6，故C 点坐标为(5，－6)＠13＠解设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)＠∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3＠由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3＠3＠3＠2 两点间的距离一、基础过关1＠已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ＠ 0或8B ＠0或－8C ＠0或6D ＠0或－62＠设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于 ( ) A ＠5B ＠ 42C ＠ 2 5D ＠2103＠已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )A ＠2 3B ＠ 3＋23C ＠ 6＋3 2D ＠6＋2104＠已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( ) A ＠4x ＋2y ＝5B ＠4x －2y ＝5C ＠x ＋2y ＝5D ＠x －2y ＝55＠已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是_______＠6＠点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________＠7＠已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程＠8＠求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半＠二、能力提升9＠已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ＠(－1,0) B ＠(1,0) C ＠⎝⎛⎭⎫225，0 D ＠⎝⎛⎭⎫0，225 10＠设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ＠x ＋y －5＝0B ＠2x －y －1＝0C ＠2y －x －4＝0D ＠2x ＋y －7＝011＠等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________＠12＠△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |＠求证：△ABC 为等腰三角形＠三、探究与拓展13＠已知直线l 过点P (3,1)且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程＠答案1＠A 2＠C 3＠C 4＠B5＠17 6＠(2,10)或(－10,10)7＠解由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)＠由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5＠当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0＠综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0＠8＠证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系＠设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以|DE |＝12|AB |＠即三角形的中位线长度等于底边长度的一半＠9＠B 10＠A11＠2 612＠证明作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)＠设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)＠因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )＠又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c ＠所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形＠13＠解设直线l 与直线l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0，两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25 ② 联立①②可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5y 1－y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1＠3＠3＠3点到直线的距离3＠3＠4两条平行直线间的距离一、基础过关1＠已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为() A＠ 1 B＠－1 C＠ 2 D＠±22＠点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是() A＠10 B＠22C＠ 6 D＠ 23＠到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为() A＠3x－4y－11＝0 B＠3x－4y＋9＝0C＠3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 D＠3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝04＠P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为()A＠95B＠185C＠2910D＠2955＠已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________＠6＠过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________＠7＠△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)＠(1)求BC边的高所在直线的方程；(2)求△ABC的面积S＠8＠如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程＠二、能力提升9＠两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是() A＠(0，＋∞) B＠[0,5]C＠(0,5] D＠[0，17]10＠直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为() A＠ 3 B＠ 2 C＠ 1 D＠011＠若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是________＠(写出所有正确答案的序号)①15°②30°③45°④60°⑤75°12＠已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0＠直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程＠三、探究与拓展13＠等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)＠求边AB 、 AC 所在直线方程＠答案1＠D 2＠B 3＠C 4＠C 5＠713266＠2x ＋y －5＝07＠解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0＠(2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8＠8＠解设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )＠∴|AD |＝2，|BC |＝2b ＠梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3＠但b >1，∴b ＝3＠从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0＠9＠C 10＠B11＠①⑤12＠解因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82＠又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|＠解得C ＝21或C ＝5＠故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0＠13＠解已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013＠由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10＠所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313，所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)＠即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0＠章末检测一、选择题1＠若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ＠30°B ＠ 45°C ＠ 60°D ＠90°2＠如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为 ( )A ＠－3 B ＠－6 C ＠－32 D ＠233＠若经过点(3，a )、 (－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为( )A ＠52 B ＠25C ＠10 D ＠－104＠过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ＠x －2y －1＝0B ＠x －2y ＋1＝0C ＠2x ＋y －2＝0D ＠x ＋2y －1＝05＠实数x ，y 满足方程x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值为( )A ＠4B ＠ 6C ＠ 8D ＠126＠点M (1,2)与直线l ：2x －4y ＋3＝0的位置关系是( )A ＠M ∈lB ＠ M ∉lC ＠重合D ＠不确定7＠直线mx ＋ny －1＝0同时过第一、三、四象限的条件是( ) A ＠mn >0B ＠ mn <0C ＠ m >0，n <0D ＠m <0，n <08＠若点A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ＠ k ≤34或k ≥43B ＠ k ≤－43或k ≥－34C ＠34≤k ≤43D ＠－43≤k ≤－349＠已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( ) A ＠－4B ＠20 C ＠D ＠2410＠过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( )A ＠ y ＝1B ＠2x ＋y －1＝0C ＠y ＝1或2x ＋y －1＝0D ＠2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝011＠直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33倾斜角的2倍，则( )A ＠m ＝－3，n ＝1 B ＠m ＝－3，n ＝－3 C ＠m ＝3，n ＝－3D ＠m ＝3，n ＝112＠过点A ⎝⎛⎭⎫0，73与B (7,0)的直线l 1与过点(2,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ＠－3B ＠ 3C ＠－6D ＠6二、填空题13＠若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________＠14＠甲船在某港口的东50 km ，北30 km 处，乙船在同一港口的东14 km ，南18 km 处，那么甲、乙两船的距离是________＠15＠已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、 Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________＠16＠已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，则yx的最大值为________＠三、解答题17＠已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程＠18＠求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程＠19＠在△ABC 中，已知A (5，－2)、 B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程＠20＠如图，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程＠21＠光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程＠22＠某房地产公司要在荒地ABCDE (如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m 2)＠答案1＠A 2＠B 3＠D 4＠A 5＠C 6＠B 7＠C 8＠C 9＠A 10＠C 11＠D 12＠B13＠－2或4或614＠ 60 km15＠－2316＠217＠解在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)＠∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°＠若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－3＠若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0＠综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0＠18＠解设直线l 2上的动点P (x ，y )，直线l 1上的点Q (x 0,4－2x 0)，且P 、 Q 两点关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称，则有⎩⎪⎨⎪⎧|3x ＋4y －1|5＝|3x 0＋4(4－2x 0)－1|5，y －(4－2x 0)x －x 0＝43.消去x 0，得2x ＋11y ＋16＝0或2x ＋y －4＝0(舍)＠∴直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0＠19＠解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M ⎝⎛⎭⎫5＋x 02，y 0－22，BC 中点N ⎝⎛⎭⎫7＋x 02，y 0＋32＠∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，x 0＝－5＠∵N 在x 轴上，∴y 0＋32＝0，y 0＝－3，即C (－5，－3)＠(2)∵M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)＠∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1＠即5x －2y －5＝0＠20＠解设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)＠故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0＠21＠解设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－yx 0－x＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的坐标为 x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0＠22＠解在线段AB 上任取一点P ，分别向CD 、 DE 作垂线划出一块长方形土地，以BC ，EA 的交点为原点，以BC ，EA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则AB 的方程为x 30＋y20＝1，设P ⎝⎛⎭⎫x ，20－2x3，则长方形的面积 S ＝(100－x )⎣⎡⎦⎤80－⎝⎛⎭⎫20－2x 3(0≤x ≤30)＠化简得S ＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30)＠当x ＝5，y ＝503时，S 最大，其最大值为6 017 m 2＠。

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