1.4.3正切函数的性质与图像13
1.4.3正切函数的性质与图象
--米山国藏
谢谢大家
(2) 作正切线
(3) 平移
y
(4) 连线
o
2
o 3 x
84 8 2
探究函数
y
tan
x
，x
[0,
2
)
的图像在
[0,
2
)
的趋势
“ ”正切
y
-
x
-ห้องสมุดไป่ตู้
-
O
2
2
正切曲线
“华”正切
“华”正切
性质 数
图象 形
性质 数
数形 结合
“华”正切
已知tan x 3, x （- ， ），求x.
22 变式1：已知 tan x 3, 求x.
f (x) f (x)
tan(-x) - tan x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数
“画”正切
“画”正切
利用正切线作正切函数的图象
yT P
O
Ax
正切线：有向线段AT
“画”正切
利用正切线画出函数
y tan x，
x [0, )
2
的图象:
作法:(1) 等分：把单位圆在第一象限的部分分成4等份。
1.4.3 正切函数的 性质与图象
甘肃省临洮中学 朱建辉
核心素养
学习目标
能画出正切 函数的图象， 掌握正切函 数的性质．
数学抽象 直观想象
思想方法
数形结合 类比推理
“话”正切
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
1.4.3正切函数的图象与性质
x 变式题：求函数y 3 tan(- )的单调区间. 2 4 x
4 3 （2k ， 2k ），k Z . 2 2
y 3 tan(-
3 2k - x 2k ,k Z 2 2 x
2
)的单调递减区间为 :
1、函数y tan( x A.{ x R | x k
4
)的周期是（ C ）
C、 3
D、 6
课堂练习
３、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx 相交的 相邻两点间的距离是( A )
A、
B、/2
C、2
D、与a值有关
4、与函数y tan( 2 x 一条直线是（ D） A. x
4
)的图象不相交的
2
B. x -
2
C.x
4
D. x
8
课堂练习 课本P45 练习2
3 2
y
y tan x
1
2
-1
0
2
3 2
x
观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围：
(1) tan x 0
(2) tan x 0
︱ k x k , k Z} {x 2 {x︱ x k , k Z }
（2）
3 (0, ) ( , ) 4 4
课本P45 小(1)tan138与tan143
课堂练习 练习6 比较下列各组是两个正切值的大
思想：在同一个单调区间比较！
13 17 (2) tan 与 tan 4 5 (1) 90 138 143 270 tan 138 tan 143 13 17 2 (2) tan tan , tan tan 4 4 5 5 2 且 0 2 5 4 2 17 13 tan tan tan tan 5 4 5 4
1.4.3正切函数的图像与性质
22
C.
(k
3
4
, k
4
)
k
z
D. (k , k 3 )
4
4
kz
第23页，共51页。
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图 象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
第25页，共51页。
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，， 即－1≤tan x<1.
ππ
ππ
在(－ 2 ，2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－ 4 ，4 )．
又 y＝tan x 的周期为π，
所以所求 x 的范围是
π
π
[kπ－ 4 ，kπ＋ 4 )，k∈Z.
即为此函数的定义域．
⑵ 值域： R
2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性： 在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ)， k Z 内都是增函数。
2
2
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
第24页，共51页。
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． [思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
奇函数
5、周期性
最小正周期是
3
第22页，共51页。
高考链接：
1.（2007.江西，文）函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）
1.4.3正切函数的性质与图象
B
)
π 2．y＝tanx(x≠kπ＋ ，k∈Z)在定义域上的单调性为( 2 A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
C
)
π π C．在每一个区间－ ＋kπ， ＋kπ (k∈Z)上为增函数 2 2 π π D．在每一个区间－ ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)上为增函数 2 2
(2)∵tan496°＝tan136°，
y＝tanx 在(90°，270°)上是增函数，270°>136°>126
°>90°，∴tan136°>tan126°，即 tan496°>tan126°.
不求值， 比较下列每组中两个正切值的大小， 用不等号 “<” 、 “>”连接起来．
< (1)tan32°________tan215 °.
O 6
4 3 2
x
正切函数的性质 :
定义域： x x k , k Z 2 值域： R
周期性：
k 对称中心是 ( , 0), k Z 2
T
奇偶性： 奇函数
单调性： 在开区间 2 k , 2 k k Z 内递增
cosx 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(4)．
解：令 z x
例1.求函数 y tan （x ）的定义域 . 4
z z k , k z 2 由x z k , 4 2 可得 x k k 2 4 4
y A tan( x ) T y tan x T π
2、奇偶性 π tan( x ) tan x , x R, x kπ , k Z 2 正切函数是奇函数
1.4.3正切函数的图像与性质
新知探究
题型探究
感悟提升
5π x π π 解 (1)由2－3≠2＋kπ(k∈Z)得 x≠ 3 ＋2kπ，
5π ∴f(x)的定义域是xx≠ 3 ＋2kπ，k∈Z .
1 π π ∵ω＝2，∴周期 T＝ω＝1＝2π. 2 π π 5π x π π 由－2＋kπ<2－3<2＋kπ(k∈Z)得－3＋2kπ<x< 3 ＋2kπ(k∈Z)． ∴函数
解 由 y＝|tan x|得， π tan x，kπ≤x<kπ＋2k∈Z， y＝ －tan x，－π＋kπ<x<kπk∈Z. 2 其图象如图．
新知探究
题型探究
感悟提升
由图象可知，函数 y＝|tan x|是偶函数，
π 单调递增区间为kπ，2＋kπ(k∈Z)， π 单调递减区间为－2＋kπ，kπ(k∈Z)，
新知探究
题型探究
感悟提升
π 6 π (2)tan5π＝tan π＋5 ＝tan5， 13 π 13 tan－ 7 π＝－tan 7 π＝－tan2π－7 π π ＝－tan －7 ＝tan7，
π π π π ∵－2<7<5<2， y＝tan x
外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
解
tan x＋1≥0， 由题意得 1－tan x>0，
即－1≤tan x<1. x
π π 的取值范围是－4，4.又
1.4.3正切函数的图像和性质
单调性及值域
渐近 线
正切曲线是被相互平行的直线 x
2
k , k Z
kZ
所隔开的无穷多支曲线组成的
单调递增区间： k , k 2 2
值域：R
思考：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
0
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
比较大小：
(1) tan138
2 T 2
T
（ 结论：f ( x ) A tan x ） （A 0， 0)的周期 T
正切函数的基本性质
奇偶性
f ( x ) sin x , x R 为奇函数 f ( x ) cos x , x R 为偶函数
f ( x) tan x，x k ，k Z 2
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上
定义域： { x | x
2
k , k Z}
例1
求函数
y tan x 的定义域。 3 2
解：函数y tan x 的自变量应该满足 3 2 x k , k 2 3 2 1 函数的定义域为 x x 2k , k . 3
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
复习回顾
1.如下图，利用三角函数线表示出角α 的正弦、 余弦、正切值？
高中数学1.4.3正切函数的性质和图象
正切函数是周期函数， 周期是
o
x
奇偶性： 单调性：
对称性：
奇函数 tan(－x)=－tanx 在 内是增函数 对称中心是
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
o
x
例2.求函数
解：原函数要有意义，自变量x应满足 即 所以，原函数的定义域是 由于 所以原函数的周期是2. 由
解得 所以原函数的单调递增区间是
1.4.3 正切函数的性质和图像
函数 图形 定义域 值域
最值
y=sinx
1 -1
时， 时，
单调性
奇偶性 周期
对称性
奇函数
对称轴： 对称中心：
增函数 减函数
y=cosx
1
-1
时， 时，
增函数
偶函数
减函数
对称轴： 对称中心：
§1.4性质：
y
定义域： 值域： 周期性：
的定义域、周期和单调区间。
练习： P45 T3、 T4、 T5、 T6
作业： P46 T6、T7、T8、T9
1.4.3正切函数图象与性质课件
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
4、奇偶性 非奇非偶函数
5、周期性
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
2
2
例1 求函数 y tan(x ) 的定义域。
解：令 z x ,
4
那么函数 y t4an z的定义域是：
24
令u x ;所以y tan u的单调递增区间为:
2 4 k u k ,k Z
2
2
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k 22 4 2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
24
2k 3 x 2k
2
2
2k x 2k 3
2
2
例4 求下列函数的周期：
•最小正周期：所有周期T中最小的正数。
3.如何利用单位圆中的正 弦线作出 正弦函数图象？
Y
y sin x, x [0,2 ]
74 3 5 11 2
63 2 3 6
O 2 5
6 3 23 6
X
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数
1.4.3正切函数的图像和性质
单调性 奇偶性 周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴：关x于原2点对k称 , k Z 对称中心： (k , 0) k Z
2
R
奇函数
在R上没有单调性
在( k , k )上单调增
2
2
没有最值
练习：P45 2
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y y tan x
(1) x (k , k ) k Z
2
(2) x k k Z
3 2
2.在每个分支里是单调递增的
2
3 .关于原点对称（奇函数）.
单调性
在每个分支里是单调递增的
增区间：
2
k
,
2
k
kZ
注意：只能说 y tan x 在某个区间内是增函数，
不能说 y tan x在定义域范围是增函数.
正切函数的性质
定义域 值域 奇偶性 周期性
单调性
最值
{x x k , k z}
(3) x ( k , k )
2
k Z 2
2
o 2
1.4.3正切函数的图像与性质
单调区间：（ 5 2k，1 2k），k Z 33
对称中心：(k- 2 , 0), k Z 3
应用提升
例2.比较tan 13 与tan 17 的大小 ?
4 5
应用提升
练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性.
练习2.如果、
(
,
)且
tan
cot
,
2
那么必有（ ）
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
小结回顾
正切函数的基本性质
课后作业
1．书本P45练习，做书上. 2．P46习题A组6,7,8,9；B组2 做本子上 3.《作业本》同步练习
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
复习回顾
y y=sinx
1
-2 -
o
-1
2 3
y y=cosx
1
-2
- -1
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
四.单调性：
正弦函数在[ 2k , 2k ](k Z )上是单调递增的,从 1到1;
2
2
在[ 2k , 3 2k ](k Z )上是单调递减的,从1到 1
4 5
6 x
y y=cosx
1
-6 -5 -4 -3 -2
- -1
2 3 4
5
6 x
六.对称轴和对称(k ,0);
2
y cos x的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.3正切函数的性质与图像
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
①若 ω＞0，由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代 换”的思想，令 kπ－π2 ＜ωx＋φ＜kπ＋π2 ，k∈Z，解得 x 的范围即可.
kπ＋23π，0，k∈Z.(8 分)
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
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(2)由－1≤tan2x－π3 ≤ 3，
得－π4 ＋kπ≤2x－π3 ≤π3 ＋kπ(k∈Z)，
解得π6 ＋2kπ≤x≤4π 3 ＋2kπ(k∈Z).
所 以 不 等 式 － 1≤f(x)≤
所以 T＝ω＝ 1 ＝4π.
4 由 kπ－π2 ＜4x－π6 ＜kπ＋π2 (k∈Z)， 得 4kπ－4π3 ＜x＜4kπ＋8π3 (k∈Z). 因为 y＝3tan4x－π6
提知能·高效测评
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
在4kπ－4π 3 ，4kπ＋8π 3 (k∈Z)内单调递增， 所以 f(x)＝－3tan4x－π6 在4kπ－4π 3 ，4kπ＋8π 3 (k∈Z)内单调递减.故原函 数的最小正周期为 4π，单调递减区间为4kπ－4π 3 ，4kπ＋8π 3 (k∈Z).
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
解析：
(1) 函 数
y
＝
1 tan
x
有
意
1.4.3正切函数的性质与图象
X
2
如何作正切函数在整个定义域上的图象？ 根据正切函数的周期性，只要把上述图象 向左、右扩展，就可以得到正切函数在整个定 义域上的图象.
在整个定义域上的图象
y
正切曲线
1
o
-1
x
7.对称性
是它的对称中心
y
1
-3/2 - -/2
x
-1
0 /2
3/2
7.对称性
是它的对称中心
.
有没有更简单的方法求 的周期？
的周期为
函数
定义域 周期性 奇偶性 奇函数
单调性 增区间
值域 对称性 对称中心：
O
A
x
O
A
x
T
y y
T
O
A
A
x
O
T
x
4.单调性
由正切线的变化规律可以得出，正切函数 在 开区间 函数. 注：正切函数没有减区间 内是增函数. 又由正切函数的周期性可知，正切函数在 内都是增
观察正切线变化规律，思考正切函数的值域.
y y
T
O
A
x
O
A
x
T
y y
T
O
A
A
x
O
T
x
5.值域
y tan
1 k x ,k Z 3 3 2
k x 的对称中心是 （ ,0)， 2
解得
3k x ,k Z 2
1 所以函数 y 2 tan( 3 x 3 ) 的对称中心是 3k ( ,0), k Z . 2
1.4.3 正切函数的性质和图像
B
（2)我们怎么做出正切函数 在 - ， 内的简图 2 2
一点两线
三点两线
（3）直线y=a与y=tanx的两个相邻的交点间的距离是多少？ （4）正切函数具有怎样的对称性？
x 1 变式 : y 3 tan( ) (1) y 3 tan( x ); 2 4 2 4 1 解 : 原函数可化为 : y 3 tan( x ); 解：令 k x k 2 4 2 2 4 2 1 3 令k x k 2k x 2k 2 2 4 2 2 2
1 y 3 tan( x )递增区间为 : 2 4
数学应用 例3 求下列的单调区间：
1 y 3 tan( x )递减区间为 : 2 4
总结：对于函数 y A t an( x )的单调区间的求解， 应注意哪些方面？
3 ，k z 2k ， 2k 2 2
x
2
3
由图可知：x k , 2 x
6
）
3
2求函数y tan x 1 1 tan x的定义域
y
令k
3
2x
6
k
2
,k z
-
1
2
k k x 2 4 2 3 k k 解集为x / x ,k z 2 4 2 3
5 2
关于原点对称
5 2
3 2
-
O 2 2
3 2
X
f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)
正切函数是奇函数
思考 4 ：结合正切函数的周期性，正切函数的单 调性如何？
课件8： 1.4.3 正切函数的性质与图像
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z
解析：tan(4π－x)＝－tan(x－4π)．由 x－π4≠kπ＋4π (k∈Z)得
x≠kπ＋34π(k∈Z)，∴函数的定义域是x|x≠kπ＋34π，k∈Z.
答案：D
2．根据正切函数的图像解不等式：tan 2x≤－1.
解：在(－2π，π2)内，tan(－4π)＝－1.所以不等式 tan 2x≤－1 的解集由不等式 kπ－π2＜2x≤kπ－π4，k∈Z 确定．解得k2π－4π＜x≤k2π－π8 ，k∈Z.所以不等式 tan 2x≤－1 的解集为x|k2π－π4＜x≤k2π－π8，k∈Z.如图所示．
①定义域：x|x∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z； ②值域：[0，＋∞)；
(6 分) (7 分)
③周期性：T＝π；
(8 分)
④奇偶性：非奇非偶函数；
(10 分)
⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋2π)，k∈Z. (12 分)
[方法规律] 由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像；
[方法规律] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本身的 定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式 组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．
1．函数 y＝tan(π4－x)的定义域是 ( )
π A.x|x≠4
B.x|x≠－π4
C.x|x≠kπ＋4π，k∈Z
[例 3] (12 分)画出函数 y＝|tan x|＋tan x 的图像，并根据图像
求出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
[解]
由 y＝|tan x|＋tan x 其图像如图所示．
知
y＝02，tanx∈x，（x∈kπ（－kπ2π，，kkππ）＋，2π），(k∈Z)．
§1.4.3正切函数的图像与性质
§1.4.3正切函数的图像与性质一、教材分析 1．地位与作用本节是《普通高中课程标准实验教科书》（人教版）数学必修4第1章第1.4节《三角函数的图象与性质》中的内容．本节课是在学生已经有了研究正弦、余弦函数的图像与性质的经验基础上，学习的又一具体的三角函数，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石． 2．教材处理正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法．设计中首先通过正切函数的定义，诱导公式，正切线研究正切函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调性，并类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画正切函数tan ,(,)22y x x ππ=∈-的图像，再从图象上观察出上述性质，让学生感受类比思想、数形结合思想在研究函数性质中的重要作用．同时通过设计一个得到正切曲线的方法，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节．在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了“问题6”帮助学生理解该性质，并启发学生从代数和几何两种角度看问题． 二、学情分析在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦、余弦函数的研究又再一次做了一个模板，所以学生已经具有了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力．但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度．高一学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力．能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识．但在处理问题时学生很容易“想当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果． 三、教学目标确定及依据正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题．本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1．知识与技能（1）能借助诱导公式和单位圆探究任意角的正切函数的性质； （2）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像； （3）掌握正切函数的基本性质；（4）体会用数形结合的思想理解和处理问题． 2．过程与方法首先由学生自主绘图，通过媒体课件演示作图过程得到完整的正确图象，学生纠正图像，然后再让学生观察，类比正弦，探索得到性质． 3．情感态度与价值观在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣．培养学生自主探索的学习习惯和分析问题、解决问题的能力． 四、重点与难点1．重点：正切函数的图象及其主要性质． 2．难点：利用正切线画出函数tan ,(,)22y x x ππ=∈-的图象，对直线,2x k k Z ππ=+∈是tan y x =的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解．五、教学理念本着以人为本的教学理念及发挥学生主动性，使学生成为课堂的主体的教学原则，遵循事物的发生、发展成熟过程及学生的认知规律，通过学生的自主探索，总结出函数的图象，并通过图象得出正切函数的性质，在此过程中体现生生、师生之间的团结合作，互相帮助的精神，学生的内在潜能得以挖掘．通过例题的分析，学生分析问题及严密推理能力得以提高，学生体会到学习数学的乐趣，同时发现数学不但美妙而且神奇，并在此过程中体验成功后的喜悦． 六、学法分析类比学习法，即类比正弦函数、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数．类比正弦函数的画法做正切函数，利用图像研究正切函数的性质． 七、教法分析新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生．以此为宗旨，我采用引导教学法、讲授教学法等诸多方法，引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合．结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识． 八、教学过程 教学 环节 教师活动学生活动设计意图课前1 分钟31.tan 60,2.tan ,453.tan 210,4.tan 3ππ====学生口答 1， 熟悉特殊角三角函数值创 设 情 境 揭 示 课 题同学们，在前两次课中，我们学习了正、余弦函数的图象与性质．今天我们将类比正弦、余弦函数的学习方法，研究正切函数的图象与性质．请同学们先自己阅读教材P42-43的内容，并填写下列表格：函数 tan y x = 定义域 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈周期性π奇偶性 奇函数单调性 在()22k k k Z ππππ-++∈，上是增函数值域R（通过学生自学，填写上表，结合几何画板展示，老师及时对学生的答案进行客观和鼓励性的评价，最后教师进行总结和归纳．）学生带着老师的问题阅读教材并填写表格，后与同桌交流 2， 1．培养学生的自学能力，让学生养成带着问题阅读教材的习惯 3，2．为下面通过正切函数的图像研究性质做准备正切函数图像的作法正切曲线与渐近线由于正切函数是周期为π的函数，所以我们类比研究正弦函数的图像的方法，选择一个周期内来作正切函数的图像，然后向左右进行延伸即可．（教师引导学生采用正切线作出图像）问题四：如何利用正切线画出函数的图像？1．利用正切线作tan,(,)22y x xππ=∈-的图象．(1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份；(2) 作正切线；(3) 平移；(4) 连线．2．根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan,y x x R=∈，且()zkkx∈+≠ππ2的图像，称“正切曲线”．3．从上图可看出，正切曲线是由被相互平行的直线,2x k k Zππ=+∈隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．学生根据教师的提示通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图象的画法作出正切函数的图象；图像扩展得到“正切曲线”让学生学会分析、解决问题的一般方法（类比思想）；让学生学会实际动手作图，培养学生的动手操作能力；学生得到“正切曲线”，明确与“正弦曲线”的不同：图象是间断的而且与无数条渐近线xy2π-π23-π-π2π-2ππ23yx观察图像，提炼性质问题五：你能利用正切函数的图像得出正切函数性质吗？（教师引导学生利用正切函数的图像得出性质）函数tany x=定义域{|,}2x x k k Zππ≠+∈值域R周期性π奇偶性奇函数单调性在()22k k k Zππππ-++∈，上是增函数渐近线,2x k k Zππ=+∈对称中心(,0)2kk Zπ∈问题六：正切函数在定义域能是不是单调函数？通过观察图形再次获得函数性质，并补充渐近线方程与对称中心坐标培养学生合作交流意识，让学生体会函数性质与图像之间的关系，体会形与数的结合更能抓住问题的本质例题讲解例6．求函数tan()23y xππ=+的定义域、周期和单调区间．推广：函数tan()y A xωϕ=+的周期是||Tπω=．学生自己独立思考，然后和同桌交流通过对例题学习感受化归思想、整体思想三点两线法问题七：在做正弦曲线时有“五点法”，请同学们思考怎样快速作出正切曲呢？（教师引导学生得到正切曲线的方法：三点两线法．）学生回顾思考，探究让学生了解三点两线法反馈演练1．书P45 练习 2-6；2．补充练习直线y a=（a为常数）与tany x=相邻两支的交点间的距离是多少？（引导学生结合图象进行分析）在教师引导下由学生独立完成及时反馈对知识的掌握情况与对知识巩固归纳整理，整体认识教师展示出问题后，让学生自己总结归纳，提炼知识，然后教师根据时间提问学生（1）请同学们回顾本节课所学过的知识内容有哪些？学到了哪些主要数学思想方法？（2）在本节课的学习过程中，你还有那些不太明白的地方，请向老师提出．（3）你自己认为自己在这节课中的表现怎样？有什么收获？你最深的体会是什么？学生自己对问题进行思考，整理出 1本节课所学习的知识有哪些，列出提纲和同桌交流通过学生归纳总结，寻找知识建立的支点，有利于学生对知识的掌握，同时可以帮助学生逐渐养成归纳概括和提升抽象问题的能力．十、板书设计§1.4.3 正切函数的图像及其性质 1．正切函数的定义 2．正切线的作法 3．正切函数图像4．正切函数图像的性质 5．例题分析 6．课后思考题十一、教学反思在本节课中，我时刻通过设置“矛盾冲突”撞击学生的思维，比如：在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；又如，在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙．总之，教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学，才是真正的数学教学，才能承载中学数学课堂的使命——培养学生的数学思维和数学素养．作 业 布 置1．书P46 A 组 8，9；B 组 2（定义域、对称中心、单调区间）； 2．预习1.5 学生课后独立完成，教师进行认真批改复习巩固知识，培养学生的实战能力，培养学生独立思考问题的精神．。
1. 4. 3正切函数的性质与图像. doc
1.4.3正切函数的性质与图象班级姓名学习目标：1、用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2、用正切函数图象解决函数有关的性质；3、理解并掌握作正切函数图象的方法；4、理解用函数图象解决有关性质问题的方法；教案重点：正切函数的性质与图象的简单应用.教案难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用.教案过程：知识探究<一）：正切函数的性质：思考1：正切函数的定义域是__________,思考2：根据诱导公式与周期函数的定义，你能判断正切函数是周期函数吗？若是，其最小正周期 T=_______思考3:函数的周期T=__,一般地，函数的周期T=____.思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？思考5：观察右图中的正切线,当角x在 <）内增加时,正切函数值发生什么变化?由此反映出一个什么性质思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在开区间<）<）内都是(增、减>函数。
思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？思考8：当x大于且无限接近时，正切值如何变化？当x小于且无限接近时, 正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么?知识探究<二）：正切函数的图象:思考1:类比正弦函数图象的作法,可以利用正切线作正切函数y=tanx,x∈<）的图象，具体应如何操作？思考2：右图中,直线x=和x= 与正切函数的图象的位置关系如何？思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？思考4：正切函数y=tanx,x∈R,x ≠+kπ，的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？应用示例例1 比较大小.(1>tan138°与tan143°；(2>tan(>与tan(>.练习：比较大小.(1>tan1519°与tan1493°；(2>tan与tan(>.例2求函数y=tan(x+>的定义域、周期和单调区间.变式训练求函数y=tan(x+>的定义域,值域,单调区间,周期性.课堂小结知识：正切函数的性质有哪些？正切函数的图象怎么画？能力：正切函数的性质和图象的应用及数形结合法。
1.4.3正切函数图象与性质
单调性 奇偶性
周期 对称性
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
xR
2 5 x
2
y=co
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
2
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
1.4.3正切函数的性质和图像
1.4.3正切函数的性质与图像【学习目标】1.利用正切函数已有的知识（定义、诱导公式、正切线等）研究性质、图像2.能够利用正切函数的图像再研究函数的性质【学习过程】你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图像和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图像与性质？ 问题1：由正切函数的定义，函数x y tan =的定义域？问题2：由诱导公式，函数x y tan =的周期？问题3：由诱导公式，函数x y tan =的奇偶性？问题4：由正切线，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2tan ππx x y ，的单调性？值域？问题5：由正切线，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2tan ππx x y ，的图像？问题6：由函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2tan ππx x y ，的图像向左、右扩展，得函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图像？问题7：你能从正切函数的图像出发，再研究它的性质吗？探究一:正切型函数的性质例一：求函数)42tan(3π+=x y 的定义域 ，值域，周期，单调区间以及对称中心练习1：求函数1)46tan(--=x y π的定义域 ，值域，周期，单调区间以及对称中心探究二：正切函数单调性的应用例二：不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：00173tan 167tan ).1(与 )513tan()411tan(2ππ--与）（练习2：6tan 87tan )1(ππ与 00130tan 46tan 2与）（ 【当堂检测】1. 求函数)43tan(2π+=x y 的定义域，周期及单调区间2.函数)4tan(x y -=π的定义域，周期及单调区间3.不用求值比较tan1,tan2,tan3的大小。
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当x在任意两个连续整数间 包括 在任意两个连续整数间(包括 在任意两个连续整数间 整数本身)变化时函数至少有两 整数本身 变化时函数至少有两 次无意义， 的最小值。 次无意义，求k的最小值。 的最小值
-π - π
2 4
o
-1
πБайду номын сангаас4
π 2
π
3π π 2
x
2.性质： 性质： 性质 对称性： ①.对称性：奇函数 对称性 关于点(kπ,0)中心对称 关于点 中心对称 单调性： ②.单调性： 单调性 π π 上是增函数。 在区间(− + kπ, + kπ） 上是增函数。 2 2 周期性： ③.周期性： 周期性 为最小正周期的周期函数。 以 π 为最小正周期的周期函数。
正切函数图象及性质 一.复习： 复习： 复习 1.正切函数： 正切函数： 正切函数 y=tanx
π x ∈ {x ∈ R | x ≠ + kπ, k ∈ Z} 2 y∈R
2.正切线 正切线
正切函数图象及性质： 二.正切函数图象及性质： 正切函数图象及性质 1.图象： 图象： 图象
y
1
A π - 3π 2 O1
π 1.若函数 若函数y=tan(3ax- )的最小正 的最小正 若函数 3 π 周期是 (a<0)，则a=_____。 ， 。 2
练习： 三.练习： 练习
2.比较下列各数的大小： 比较下列各数的大小： 比较下列各数的大小
1 ①.tan2与tan9 ②.tan1与 与 与 tan 4
3.求函数 y = tan x + lg(1 − tan x ) 的定 求函数 义域。 义域。