2015-2016学年高二数学人教A版选修1-2课时达标检测：第一章 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用

一、回归分析的基本思想
[课时达标检测]
一、选择题
1．为了研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，已知两人计算过程中x －，y －
分别相同，则下列说法正确的是( )
A ．l 1与l 2一定平行
B ．l 1与l 2重合
C ．l 1与l 2相交于点(x －，y －
) D ．无法判断l 1和l 2是否相交
解析：选C 回归直线一定过样本点的中心(x －，y －
)，故C 正确．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：
建立的回归模型拟合效果最好的同学是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 解析：选A 相关指数R 2越大，表示回归模型的效果越好．
3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －
)
C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：选D 回归方程中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，A 正确；
由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x －，y －
)，B 正确；
依据回归方程中b ^的含义可知，x 每变化1个单位，y ^
相应变化约0.85个单位，C 正确； 用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故D 不正确． 4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
解析：选B 样本点的中心是(3.5,42)，则a ^＝y －－b ^x －
＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^
＝65.5.
5．(福建高考)已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A.b ^>b ′，a ^
>a ′ B.b ^>b ′，a ^
<a ′ C.b ^<b ′，a ^
>a ′
D.b ^<b ′，a ^
<a ′
解析：选C 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝ 6
i ＝1
x i y i －6x －·y － 6i ＝1x 2i
－6x －2＝
58－6×72×13
691－6×⎝⎛⎭
⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13
，所以b ^<b ′，a ^
>a ′. 二、填空题
6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1
2x ＋1上，则这组样本数据
的样本相关系数为________．
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1. 答案：1
7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
则y 对x 的线性回归方程为________．
解析：设y 对x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由表中数据得x －＝176，y －＝176，b ^＝1
2，
a ^＝176－12×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝1
2
x ＋88.
答案：y ^＝1
2
x ＋88
8．关于x 与y 有如下数据：
为了对x ，y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：y ^
＝6.5x ＋17.5，乙：y ^
＝7x ＋17，则________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．
解析：设甲模型的相关指数为
R 21，则R 21＝1－
∑i ＝1
5
(y i －y ^
i )2
∑i ＝1
5
(y i －y －
)2
＝1－155
1 000
＝0.845；设乙模
型的相关指数为R 22，则R 22＝1－1801 000＝0.82.因为0.845＞0.82，即R 21＞R 2
2，所以甲模型拟合效果更好．
答案：甲 三、解答题
9．假设某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：
试求：
(1)y 与x 之间的回归方程；
(2)当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？ 解：(1)根据表中数据作散点图，如图所示：
从散点图可以看出，样本点都集中分布在一条直线附近，因此y 与x 之间具有线性相关关系．利用题中数据得：
x ＝1
5(2＋3＋4＋5＋6)＝4，
y ＝1
5
(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5，
∑5i ＝1x i y i ＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，
∑5
i ＝
1
x 2i ＝22＋32＋42＋52＋62
＝90， 所以b ^＝∑5
i ＝1x i y i
－5x y ∑5i ＝
1
x 2i －5x 2
＝112.3－5×4×5
90－5×42＝1.23，
a ^＝y －
b ^
x ＝5－1.23×4＝0.08， ∴线性回归方程为y ^
＝1.23x ＋0.08.
(2)当x ＝10时，y ^
＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即当使用10年时，估计维修费用是12.38万元．
10．在一段时间内，某种商品的价格x (元)和需求量y (件)之间的一组数据为：
求出y 关于x 的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏．(参考数据：∑5
i ＝1x 2
i ＝1 660，∑
5
i ＝1
x i y i ＝3 992)
解：从作出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．由数据可得x ＝18，y ＝45.4.
由计算公式得b ^＝－2.35，a ^＝y －b ^
x ＝87.7. 故y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝－2.35x ＋87.7. 列表：
所以∑5i ＝1
(y i －y i )2
＝8.3，∑i ＝
1
(y i －y )2＝229.2. 相关指数R 2＝1－
∑5
i ＝
1
(y i －y ^
i )2∑5i ＝1
(y i －y )
2
≈0.964.
因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果好．。