2002-数三真题、标准答案及解析

X 的简单随机样本，则未知参数 θ 的矩估计量为______
【答】
1 n ∑ X i −1 n i =1
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2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评
x y z
Fx' = ( x + 1)e x , Fy' = −( y + 1)e y , Fz' = −( z + 1)e z .
故
F' F' x + 1 x − z ∂z y + 1 y−z ∂z e , =− y = e ， =− x = F 'z z + 1 F 'z z + 1 ∂x ∂y
+∞
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【详解】因为 E ( X ) = 所以，由 E ( X ) = X =
∫
0
xe −( x −θ ) dx = θ + 1,
1 n 1 n , 1 X 即 θ + = ∑ i ∑ Xi, n i =1 n i =1 1 n ∑ X i − 1. n i =1
$= 得参数 θ 的矩估计量为 θ
x →ξ
(C) 对 f (a ) = f (b) 时,存在 ξ ∈ (a, b) ,使 f '(ξ ) = 0 (D) 存在. ξ ∈ (a, b) ,使 【答】 [ B] 【详解】 由题设, f ( x) 在 ξ (ξ ∈ (a, b) 处可导,从而连续, 故有 lim[ f ( x ) − f (ξ )] = 0. 应选(B).
n →∞
1 1 n (1− 2 a ) n − 2na + 1 n 1 1− 2 a = e1− 2 a ] = lim[1 + ] n →∞ n(1 − 2a ) n(1 − 2a) 1 n − 2na + 1 n 1 ] = ln e1− 2 a = n(1 − 2a ) 1 − 2a
【详解】 因为 lim[
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⎡1 2 −2 ⎤ T ⎢ ⎥ （3）设三阶矩阵 A = 2 1 2 ,三维向量 α = ( a,1,1) . 已知 Αα 与 α 线性相关， ⎢ ⎥ ⎢ ⎣3 0 4 ⎥ ⎦
a＝________ 【答】 -1 【详解】 由题设，存在 k，使得 Αα
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u2
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lim
x →0
∫
x
0
[ ∫ arctan(1 + t )dt ]du
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2002 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析
一、
填空题 （1）设常数 a ≠
1 n − 2na + 1 n ] = , 则 lim ln[ →∞ n n(1 − 2a ) 2
.
【答】
1 1 − 2a
=2
【详解 1】
π 1
4 3
u2
=
π
6
x u2
lim
x →0
∫ [∫
0
x
0
arctan(1 + t )dt ]du
x(1 − cos x)
= 2 lim
x →0
∫ [∫
0
0
arctan(1 + t )dt ]du
x3
= 2 lim
x →0
∫
x2
0
arctan(1 + t )dt 3x 2
= 2 lim
∫
1 4 0
dy ∫
y y
f ( x, y )dx + ∫12 dy ∫ 2 f ( x, y )dx = ∫ 2 dx ∫ 2 f ( x, y )dy.
4
y
1
1
1
x
0
x
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du =
∂u ∂u x + 1 x− z y + 1 y−z dx + dy = ( f x' + f z' e )dx + ( f y' + f z' e )dy. ∂x ∂y z +1 z +1
2 2
故 cos X , Y
(
2
2
)− E(X
2
, Y 2 ) E ( X 2 )(Y 2 ) = 0.28 − 0.3 = −0.02.
若x ≥ θ , 若x < θ
而 X 1 , X 2 ,L , X n 是来自总体
− ( x −θ ) ⎧ , ⎪e （5）设总体 X 的概率密度为 f ( x;θ ) = ⎨ ⎪ ⎩0,
x →ξ
f (b) − f (a) = f '(ξ )(b − a).
2 n an 5 1 n （2） 设幂级数 ∑ an x 和 ∑ bn x 的收敛半径分别为 与 ，则幂级数 ∑ 2 x 的 3 3 n =1 n =1 n =1 bn
n n n n
收敛半径为
( A) 5.
【答】 [ A]
( B)
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X
−1
0
1
P
0.15
0.5
0.35
且
X2
0
1
P
0.4
0.6
Y2
0
1
P
0.5
0.5
X 2Y 2
0
1
P
0.72
0.28
从而 E X Y
(
2
2
) = 0.28, E ( X ) = 0.69, E (Y ) = 0.5,
1 ⎧ D1 = ⎨( x, y ) | 0 ≤ y ≤ , y ≤ x ≤ 4 ⎩
⎫ y ⎬, ⎭
1 1 1⎫ ⎧ D2 = ⎨( x, y ) | ≤ y ≤ , y ≤ x ≤ ⎬ 4 2 2⎭ ⎩
于是 D 也可以表示为 D = ⎨( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 故
⎧ ⎩
1 2 ⎫ , x ≤ y ≤ x⎬. 2 ⎭
T
(
−1
)
T
P T α = λ P T α , 可见矩阵 ( P −1 AP ) 属于特征值 λ 的特征
T
向量是 P
T
α.
（5） 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则 （A）X+Y 都服从正态分布 （C） X 和 Y 都服从 χ 分布.
2 2 2
（B） X + Y 都服从 χ 分布.
2 2 2
2
【详解】 令 u = sin x , ，则有
sin x = u , x = arcsin u , f ( x) =
而
∂u ∂z x + 1 x− z = f x' + f z' = f x' + f z' e , ∂y ∂x z +1 ∂u ∂z y + 1 y−z = f y' + f z' = f y' + f z' e , ∂y ∂y z +1
所以
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所以 lim ln[
n →∞
（2）交换积分次序：
∫
1 4 0
dy ∫
y y
f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx = ___________.
1 2 1 4
1 2 y
【答】
∫
1 2 0
dx ∫ 2 f ( x, y )dy
x
x
【详解】 积分区域 D = D1 + D2 , 其中
= kα ，即
⎡ 1 2 −2 ⎤ ⎡a⎤ ⎢2 1 2 ⎥ = k ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢3 0 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣1⎦ ⎧a + 2 − 2 = ka, ⎪ 即 ⎨ 2a + 1 + 2 = k , 可得 a = −1, k = 1. ⎪3a + 4 = k , ⎩
故所求 a 为－1. （4） 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为
2 arctan(1 + x 2 ) x →0 6x
=
2 π π = . 3 4 6
四 、 （本题满分 8 分） 设函数 u = f ( x, y, z ) 有连续偏导数 , 且 z = z ( x, y ) 由方程 xe − ye = ze 所确
x y z
定,求 du 【详解 1】 设 F ( x, y, z ) = xe − ye − ze , 则
x x z
【详解 2】 在 xe − ye = ze 两边微分,得
e x dx + xe x dx − e y dy − ye y dy = e z dz + ze z dz ,
故