离散数学 习题课重排

3. X=R-{0,1}, X上定义六个函数，如下：x∈X, f1(x)=x f2(x)=x-1 f1 f2 f3 f4 f5 f 6 f3(x)=1-x f4(x)=(1-x)-1 f1 f f f f f f 1 2 3 4 5 6 f5(x)=(x-1)x-1 f2 f2 f1 f4 f3 f5 f 6 f6(x)=x(x-1)-1 f3 f3 f5 f1 f6 f2 f 4 令F={f1,f2, f3, f4, f5, f6} f4 f4 f6 f2 f5 f1 f 3 是F上的复合运算， f5 f5 f3 f6 f1 f4 f 2 试证明（F, ）是群。 f f f f f f f 证明：列（F, ）的运算表： 6 6 4 5 2 3 1 例如 f2f3(x)= f2( f3(x))=(1-x)-1 = f4(x) f5f6(x)= f5( f6(x))=((x(x-1)-1)-1)(x(x-1)-1)-1 =x-1= f2(x) 由此表可以看出满足：封闭、有幺元 f1 ，每个函数都 有逆元： f1-1 =f1 , f2-1 =f2, f3-1 =f3, f4-1 =f5, f5-1 =f4, f6-1=f6 另外已经知道函数复合是可结合的。所以（F, ）是群。

8. <G,>是群，定义G上关系R如下； R= {<x,y>| z∈G,使得 y=zxz-1 } 证明R是G上等价关系。 a)证明R自反：任取x∈G, 幺元e∈G, 因为 x=exe-1 由R定义得<x,x>∈R，所以R自反。 b)证明R对称：任取x,y∈G, 设有<x,y>∈R, 由R定义得z∈G,使得 y=zxz-1 , 于是有： z-1yz= z-1(zxz-1)z , z-1yz= (z-1z)x(z-1z) , 所以 z-1y(z-1) -1 =x 因z-1∈G，所以有<y,x> ∈R, 所以R对称。 c)证明R传递：任取x,y,z∈G, 设有<x,y>∈R, <y,z>∈R 由R定义得z1,z2∈G,使得 y=z1xz1-1 , z=z2yz2-1 , 于是有z=z2yz2-1 = z2(z1xz1-1)z2-1 = (z2z1)x(z1-1z2-1)=(z2z1)x(z2z1)-1 因 z2z1∈G ,∴<x,z>∈R, ∴R传递。∴R是G上等价关系。
3 3 6 2 5 1 4
4 5 6 4 1 5 2 6 3 5 3 1 6 4 2 6 5 4 3 2 1
7. 循环群的任何子群都是循环群。 S A 例子:群<X, >： A=R2 L=R3 S=R4 S S A X={R, R2, R3, R4} 令H= {S,A}={R2,R4} A A S 显然<H, >是<X, >的子群，且它是以A (R2) 为生成元的 循环群。即子集H中幂指数最小的元素为H的生成元。 证明：设<G,>是以g为生成元的循环群，HG,<H,> 是<G,>的子群，且 gk是H中幂指数最小的元素, 下面证明gk为H中的生成元。 任取gi∈H, (要证明gi = (gk)m= gkm 即i=km m∈I) 假设i不是k的整数倍，令i=km+t m,t∈I 0<t<k gt = gi-km = gig-km = gi(gk)-m = gi ((gk)-1)m 因为<H,>是群，gi,gk∈H, (gk)-1∈H, ((gk)-1)m∈H, 所以 gi((gk)-1)m∈H, 即gt∈H, 而t<k,这与gk是H中幂指数最小 的元素矛盾，所以i是k的整数倍，于是 gi =(gk)m , gk为H中的生成元。所以<H,>也是循环群。
x’(xx’)=(x’x)x’=ex’=x’=x’e由a)的 结论得: xx’=e ，所以x’也是x的右逆元。所以x’是x的逆元. 综上所述得 （A,）是群. 5. 设（G,）是群. a∈G, 令 H={y| ya=ay, y∈G} 求证： （H,）是（G,）的子群。 证明：方法1，用子群定义证明<H,> 满足： a)封闭性：任取y1, y2∈H, ∴ y1a=ay1 y2a=ay2 , (y1y2)a=y1(y2a )=y1(ay2) =(y1a)y2 =(ay1)y2 =a(y1y2 ) ∴y1y2∈H ,满足封闭性。 b)幺元e∈H, 因ea=ae ∴ e∈H。 c)可逆性：任取y∈H, ya=ay, y-1∈G, y-1a=y-1ae =y-1a(yy-1)=y-1(ay)y-1= y-1(ya)y-1 = ( y-1y)ay-1= eay-1= a y-1 ∴ y-1∈H, ∴ （H, ）是（G, ）的子群。
9. 设（G,）是群，而a∈G, f:GG是映 射, 对x∈G, f(x)=axa-1 求证 f是G到 G的自同构。
10. 两个群<G, >和<S, >的运算表如下： 证明它们同构

p1 p2 p3 p4

q1 q2 q3 q4
p1 p2 p3 p4
p1 p2 p3 p4
p2 p1 p4 p3
4. （A,）是半群，e 是左幺元，且对每个x∈A,
x’∈A, 使得x’x=e, a)证明, a,b,c∈A,若 ab=ac, 则 b=c. b)证明（A,）是群. 证明:a) a,b,c∈A,设有 ab=ac, 由已知条件得a’∈A,使得a’a=e, a’(ab)= a’(ac), (a’a)b=(a’a)c , eb=ec, 所以 b=c b)先证明e也是右幺元: 任取x∈A, (证出xe=x) 由已知得 x’∈A,使得x’x=e, x’(xe) =(x’x)e=ee =e=x’x 由a)的结论得: xe=x , 所以e 也是右幺元. 所以 e是幺元. 再证x’是x的右逆元: (因为由x’x=e, 得x’是x的左幺 元)
方法2,任取y1, y2∈H, ∴ y1a=ay1 y2a=ay2, y2-1∈G (y1y2-1)a=( y1y2-1 )ae =y1y2-1a( y2 y2-1) =y1y2-1(ay2) y2-1= y1y2-1(y2a) y2-1 = y1(y2-1y2)a y2-1 = y1eay2-1 =(y1a) y2-1 =(ay1) y2-1 =a(y1 y2-1 ) ∴ y1 y2-1∈H ∴ <H, >是<G,>的子群。 作业 . 设（G,）是群，x∈G,有xx=e,证明（G,） 是交换群 。 证明：任取x,y∈G, 由xx=e，∴x= x-1 , xy∈G ∴ xy=(xy)-1= y-1x-1 =yx 所以<G,>是交换群 。
代数系统的同态，同构：
设<X,>,<Y, >是两个代数系统，和 都是二元运算， 如果存在映射f:XY,使得对任何x1 ,x2∈X，有 f(x1x2)=f(x1)f(x2) --------此式叫同态(同构)关系式 则称 f是从<X,>到<Y, >的同态映射，简称这两个代数 系统同态。记作X∽Y。 并称<f(X), >为<X,>的同态像。 如果f是满射的，称此同态f是满同态。 如果f是入射的，称此同态f是单一同态。 如果f是双射的，称<X,>与<Y, >同构，记作X≌Y。 f是<X,>到 <X,>的同态(同构),称之为自同态(自同构)。
1. （R,）是实数R上二元运算,定义为:a,b∈R, a b=a+b+a· b 求证（R,）是独异点。 证明：⑴证明封闭，任取a,b∈R,由于实数R对+和 · 封 闭，所以a+b+a· b∈R，于是ab∈R。 ⑵证明可结合，任取a,b,c∈R, a(bc) =a+(bc)+a· (bc) =a+(b+c+b· c)+a· (b+c+b· c) =a+b+c+b· c+(a· c+a· c)=(a+b+a· b+a· b· b)+c+(a· c+a· c) c+b· b· =(a+b+a· b)+c+(a+b+a· c=(ab)+c+(ab)· =(ab)c b)· c ⑶证明有幺元0，任取a∈R, a0=a+0+a· 0=a 0a=0+a+0· a=a 所以对，0是幺元。 最后（R,）是独异点。
p3 p4 p1 p2
p4 p3 p2 p1
q1 q2 q3 q4
q3 q4 q1 q2
q4 q3 q2 q1
q1 q2 q3 q4
q2 q1Байду номын сангаасq4 f q3
11. 设f和g都是群<G1,>到<G2, >的同 态，证明<C,>是<G1,>的一个子群，其 中 C={x| x∈G1且f(x)=g(x)}
×7 1 2 6. 设G={1,2,3,4,5,6}, （G,×7 ) 是循环群吗？如是,指出生成元。 1 1 2 证明：由<G,×7>的运算表可以 2 2 4 看出，×7 满足封闭、有幺元1、 3 3 6 4 4 1 有可逆性:1-1 =1, 2-1 =4, 3-1 =5, 5 5 3 4-1 =2, 5-1 =3, 6-1 =6, 6 6 5 另外, ×7可结合，所以 <G,×7>是群。 3是生成元：32=2， 33=6， 34=81(mod 7)=4， 35=243(mod 7)=5， 36=729(mod 7)=1， 或5是生成元：52=4， 53=125(mod 7)=6， 54=625(mod 7)=2， 55=3125(mod 7)=3, 56=15625(mod 7)=1， 所以 <G,×7>是循环群。