2003真题电子版
2003年高考真题——数学(理科)真题及答案[全国卷I]
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2003年高考真题——数学(理科)真题及答案[全国卷I]2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知$x\in (-\pi/2,0)$，$cosx=4$，则$tan2x=$text{(A)}\frac{7}{24}\quad\text{(B)}-\frac{7}{24}\quad\text{(C)}\frac{24}{7}\quad\text{(D)}-\frac{247}{25}2.圆锥曲线$\rho=2cos\theta$的准线方程是text{(A)}\rho cos\theta=-2\quad\text{(B)}\rhocos\theta=2\quad\text{(C)}\rho sin\theta=2\quad\text{(D)}\rho sin\theta=-23.设函数$f(x)=\begin{cases}1,&x1$，则$x$的取值范围是text{(A)}(-1,1)\quad\text{(B)}(-1,+\infty)\quad\text{(C)}(-\infty,-2)\cup[0,+\infty)\quad\text{(D)}(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)4.函数$y=2sinx(sinx+cosx)$的最大值为text{(A)}1+2\sqrt{2}\quad\text{(B)}2-\sqrt{2}\quad\text{(C)}2\quad\text{(D)}2\sqrt{2}5.已知圆$C:(x-a)^2+(y-2)^2=4(a>0)$及直线$l:x-y+3=0$，当直线$l$被$C$截得的弦长为23时，则$a=$text{(A)}2\quad\text{(B)}2-\sqrt{2}\quad\text{(C)}2^{-1}\quad\text{(D)}2+\sqrt{2}6.已知圆锥的底面半径为$R$，高为$3R$，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是text{(A)}2\pi R\quad\text{(B)}\pi R^2\quad\text{(C)}\piR\sqrt{2}\quad\text{(D)}\pi R\sqrt{3}7.已知方程$(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0$的四个根组成一个首项为1的等差数列，则$|m-n|=$text{(A)}1\quad\text{(B)}3\quad\text{(C)}\frac{1}{2}\quad\t ext{(D)}\frac{4}{3}8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为$F(7,0)$，直线$y=x-1$与其相交于$M$、$N$两点，$MN$中点的横坐标为$-\frac{1}{2}$，则此双曲线的方程是text{(A)}\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{8}=1\quad\text{(B)}\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{8}=1\quad\text{(C)}\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{9}=1\quad\text{(D)}\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{9}=19.函数$f(x)=\sin x$，$x\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$的反函数$f^{-1}(x)$是text{(A)}-\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(B)}-\pi-\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(C)}\pi+\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(D)}\pi-\arcsin x,\ x\in[-1,1]10.已知长方形的四个顶点$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$和$D(0,1)$，一质点从$AB$的中点$P$沿与$AB$的夹角$\theta$的方向射到$BC$上的点$Q$，则$\theta$的取值范围是text{(A)}\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\quad\text{(B)}\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\quad\text{(C)}\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]\quad\text{(D)}\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right]2.将文章进行修正和改写：2、P3和P4是点P在CD、DA和AB上的反射点，入射角等于反射角。
2003年英语真题及答案（全国卷）
2003年英语真题及答案（全国卷）绝密★启⽤前2003年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试英语第⼆部分：英语知识运⽤（共两节，满分45分）第⼀节：单项填空（共15⼩题：每⼩题1分，满分15分）21．Don’t be afraid of asking for help it is needed.A．unless B．since C．although D．when22．A cook will be immediately fired if he is found in the kitchen.A．smoke B．smoking C．to smoke D．smoked23．Allen had to call a taxi because the box was to carry all the way home.A．much too heavy B．too much heavy C．heavy too much D．too heavy much24．—Sorry, Joe, I didn’t mean to…—Don’t call me “Joe”. I’m Mr Parker to you, and you forget it!A．do B．didn’t C．did D．don’t25．If anybody calls, tell them I’m out, and ask them to their name and address.A．pass B．write C．take D．leave26．The sign reads “In case of fire, break the glass and push red button.”A．不填；a B．不填；the C．the; the D．a;a27．All morning as she waited for the medical report from the doctor, her nervouseness .A．has grown B．is growing C．grew D．had grown28．A left luggage office is a place where bags be left for a short time, especially at a railway station.A．should B．can C．must D．will29．We’re going to the bookstore in John’s car. You can come with us you can meet us there later.A．but B．and C．or D．then30．Why don’t you put the meat in the fridge? It will fresh for several days.A．be stayed B．stay C．be staying D．have stayed31．News reports say peace talks between the two countries with no agreement reached.A．have broken down B．have broken out C．have broken in D．have broken up 32．—There’s coffee and tea: you can have .—Thanks.A．either B．each C．one D．it33．—Susan, go and join your sister cleaning the yard.—Why ? John is sitting there doing nothing.A．him B．he C．I D．me34．The old couple have been married for 40 years and never once with each other.A．they had quarreled B．they have quarreledC．have they quarreled D．had they quarreled35．—I think you should phone Jenny and say sorry to her.— .It was her fault.A．No way B．Not possible C．No chance D．Not at all第⼆节：完形填空（共20⼩题：每⼩题1.5分，满分30分）阅读下⾯短⽂，掌握其⼤意，然后从36—55各题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项。
2003年英语真题及答案（全国卷）-a637
绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试英 语语第二部分：英语知识运用（共两节，满分45分）分）第一节：单项填空（共15小题：每小题1分，满分15分）分）2121．Don’t be afraid of asking for help ．Don’t be afraid of asking for help ．Don’t be afraid of asking for help it is needed. it is needed. A ．unless B ．since C ．although D ．when 2222．．A cook will be immediately fired if he is found in the kitchen. A ．smokeB ．smokingC ．to smokeD ．smoked2323．．Allen had to call a taxi because the box was to carry all the way home.A ．much too heavyB much too heavy B．．too much heavyC too much heavy C．．heavy too muchD heavy too much D．．too heavy much2424．—Sorry, Joe, I didn’t mean to…．—Sorry, Joe, I didn’t mean to…—Don’t call —Don’t call me “Joe”. I’m Mr Parker to you, and me “Joe”. I’m Mr Parker to you, and you forget it! you forget it! A ．do B ．didn’t ．didn’t C ．did D ．don’t ．don’t 2525．If anybody calls, tell them I’m out, and ask them to ．If anybody calls, tell them I’m out, and ask them to ．If anybody calls, tell them I’m out, and ask them to their name and address. their name and address. A ．pass B ．write C ．take D ．leave 2626．The ．The sign reads “In case of of fire, fire, break the glass and push push red red button.”button.” A ．不填；．不填；a a B ．不填；．不填；the the C ．the; the D ．a;a 2727．．All morning as she waited for the medical report from the doctor, her nervouseness .A ．has grownB ．is growingC ．grewD ．had grown2828．．A left luggage office is a place where bags be left for a short time, especially at a railway station.A ．shouldB ．canC ．mustD ．will2929．We’re going to the bookstore in John’s car. You can come with us ．We’re going to the bookstore in John’s car. You can come with us you can meet us there later.A ．butB ．andC ．orD ．then3030．Why don’t you put the meat in the fridge? It will ．Why don’t you put the meat in the fridge? It will ．Why don’t you put the meat in the fridge? It will fresh for several days. fresh for several days. A ．be stayed B ．stay C ．be staying D ．have stayed 3131．．News reports say peace talks between the two countries with no agreement reached. A ．have broken down B ．have broken out C ．have broken in D have broken in D．．have broken up3232．—There’s coffee and tea: you can have ．—There’s coffee and tea: you can have ．—There’s coffee and tea: you can have . .—Thanks.A ．eitherB ．eachC ．oneD ．it3333．—．—．—Susan, go and join your sister cleaning the yard. Susan, go and join your sister cleaning the yard.—Why ? John is sitting there doing nothing. A ．himB ．heC ．ID ．me3434．．The old couple have been married for 40 years and never once with each other.A ．they had quarreledB ．they have quarreledC ．have they quarreledD ．had they quarreled— .It was her fault.A ．No wayB ．Not possibleC ．No chanceD ．Not at all第二节：完形填空（共20小题：每小题1.5分，满分30分）分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从阅读下面短文，掌握其大意，然后从3636——55各题所给的四个选项（各题所给的四个选项（A A 、B 、C 和D ）中，选出最佳选项。
2003考研数一真题及解析
2( x 1) 4( y 2) (z 5) 0 ，即 2x 4 y z 5
21
2003
(3) 【答案】 1
【详解】将 f ( x) x 2 (
x ) 展开为余弦级数
f ( x) x2
an cosnx(
n0
2
f ( x, y)dxdy 进行计算．
g ( x, y ) z0
【详解】图中阴影区域为积分区域 . 由题设，有
P{ X Y 1}
f (x, y)dxdy
y
xy1
1
1x
2 dx 6xdy
0
x
yx
1
21
O
1
2
xy1 x
2003
1
2 (6 x
2
12 x )dx
1
0
4
(6) 【答案】 (39.51,40.49) ．
(5) 设有齐次线性方程组 Ax 0和 Bx 0 , 其中 A, B 均为 m n 矩阵，现有 4 个命题：
① 若 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解，则秩 ( A ) 秩 ( B )；
② 若秩 ( A ) 秩 ( B )，则 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解；
③ 若 Ax 0 与 Bx 0 同解，则秩 ( A )= 秩( B )；
? min( X1, X 2 , , X n ).
(1) 求总体 X 的分布函数 F ( x) ;
(2) 求统计量 ?的分布函数 F?( x) ；
(3) 如果用 ?作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性 .
2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
2003年高考英语试题(全国)
2003年普通高等学校招生全国统一考试英语本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
第一卷1至14页。
第二卷15至18页。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷（三部分，共 115分）注意事项：l．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1．5分，满分7．5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. ｣19.15.B. ｣9.15.C. ｣9.18.答案是B。
1. What is the man going to do?A. Open the window.B. Find another room.C. Go out with the woman.2. What do we know about Peter Schmidt?A. He has lost his ticket.B. He is expecting a ticket.C. He went out to buy a ticket.3. What do we know about mother and son?A. She wants to tell him the result of the game.B. She doesn't like him to watch TV.C. She knows which team he supports.4. What are the speakers talking about?A. Exam results.B. Time for the exam.C. Change of class hours.5. What will the woman tell the man?A. Her company’s name.B. Her new address.C. Her phone number.第二节（共15小题海小题1．5分，满分22．5分）听下面5段对话或独白。
2003考研数三真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若 其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是.(2) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b .(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=，T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .(5) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为.(6) 设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=( ) (A) 在0x =处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点0x =. (C) 在0x =处右极限不存在. (D) 有可去间断点0x =.(2) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(3) 设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，Λ,2,1=n ，则下列命题正确的是 ( )(A) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(B) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.a b =(C) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(4) 设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( )(A) a b =或20a b +=. (B) a b =或20a b +≠.(C) a b ≠且20a b +=. (D) a b ≠且20a b +≠.(5) 设s ααα,,,21Λ均为n 维向量，下列结论不正确的是 ( )(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则sααα,,,21Λ线性无关.(B) 若s ααα,,,21Λ线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ(C) s ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21Λ线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件( ) (A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立.三 、(本题满分8分)设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=+-∈-，试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=, 求.2222y gx g ∂∂+∂∂五 、(本题满分8分)计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()f x 及其极值.七、(本题满分9分)设()()()F x f x g x =, 其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且(0)0f =, .2)()(x e x g x f =+(1) 求()F x 所满足的一阶微分方程； (2) 求出()F x 的表达式.八、(本题满分8分)设函数()f x 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==. 试证：必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中.01≠∑=ni i a 试讨论n a a a ,,,21Λ和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分)设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ， 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求,a b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】2>λ【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】λ是参变量，x 是函数()f x 的自变量10001cos()(0)1(0)limlim lim cos 00x x x x f x f x f x x x xλλ-→→→-'====-，要使该式成立，必须10lim 0x x λ-→=，即1λ>.当(,0)(0,)x ∈-∞+∞U 时，1211()cos sin f x x x x xλλλ--'=+要使()0f x '=在0x =处连续，由函数连续的定义应有120011lim ()lim cos sin ()0x x f x x x f x x x λλλ--→→⎛⎫''=+== ⎪⎝⎭ 由该式得出2λ>. 所以()f x '在0x =处右连续的充要条件是2>λ．(2)【答案】64a【详解】设曲线与x 轴相切的切点为0(,0)x ，则00x x y ='=. 而2233y x a '=-，有22033x a =又在此点y 坐标为0(切点在x 轴上)，于是有320030x a x b -+=，故 322200003(3)b x a x x x a =-=-，所以 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=20101x y x a dxdy ≤≤≤-≤⎰⎰=1120x x a dx dy +⎰⎰1220[(1)]a x x dx a =+-=⎰(4)【答案】-1【详解】这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==T T T T a a E αααααααα⋅-+-1111()T T T T E a a αααααααα=-+-=T T T a a E αααααα21-+-1(12)T E a E aαα=+--+=，于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 已知0a <，故1a =-．(5)【答案】0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质DX a X D =+)(，(,)(,)Cov X Y a Cov X Y +=，又因为Z 仅是X 减去一个常数，故方差不会变，Z 与Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．(,)(,0.4)[((0.4)]()(0.4)Cov Y Z Cov Y X E Y X E Y E X =-=---()0.4()()()0.4()E XY E Y E Y E X E Y =--+ ()()()(,)E XY E Y E X Cov X Y =-=，且()().D Z D X = 又(,)Cov Y Z (,)Cov X Y =，所以0.9.XY ρ===(6)【答案】12． 【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21Λ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i 【详解】本题中22221,,,n X X X Λ满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+， 因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于()2111.2n i i E X n ==∑二、选择题(1)【答案】()D【详解】方法1：直接法：由()f x 为奇函数知，(0)0f =；又由xx f x g )()(=，知()g x 在0x =处没定义，显然0x =为()g x 的间断点，为了讨论函数()g x 的连续性，求函数()g x 在0x →的极限．000()()(0)lim ()lim lim (0)0x x x f x f x f g x f x x →→→-'===-导数的定义存在， 故0x =为可去间断点．方法2：间接法：取()f x x =，此时()g x =,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除()A ()B ()C 三项．(2)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零． 从而有000(,)(,)(,)0y y x y x y df x y f dyy==∂==∂选项()A 正确．(3)【答案】()B 【详解】由2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，知0n n p a ≤≤，0n n q a ≤-≤若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n a 收敛. 再由比较判别法，∑∞=1n n p 与()1n n q ∞=-∑都收敛，后者与1n n q ∞=∑仅差一个系数，故1n n q ∞=∑也收敛，选(B)．(4)【答案】(C)【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1， 说明A 的秩为2，由此可确定,a b 应满足的条件． 【详解】方法1：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系()()()()1101*n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩知秩(A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有11(2)1(2)0010a b b b b b b A b a b a b a b a b a bb b ab aa b==+=+--2(2)()0a b a b =+-=有02=+b a 或a b =．当a b =时，[][]()[][]()211311000000b b b b b b A b b b b b b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦显然秩()12A =≠， 故必有 a b ≠且02=+b a ． 应选(C)．方法2：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系，()()()()1101*n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，知()1*r A =，()2r A =. 对A 作初等行变换[][]()[][]()21131100a b b a b b A b a b b a a b b b a b a a b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当a b =时，从矩阵中可以看到A 的秩为1，与秩()2A =，不合题意(排除(A)、(B)) 故a b ≠，这时[]()[]()[][][][]231213201100100101001b a b a a b b a b b a b b b A b a a b b a a b ÷-÷-+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦故02=+b a ，且a b ≠时，秩(A )=2，故应选．(5)【答案】(B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题．【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有 02211≠+++s s k k k αααΛ， 则s ααα,,,21Λ必线性无关.因为若s ααα,,,21Λ线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使得02211=+++s s k k k αααΛ，矛盾． 可见(A)成立．(B): 若s ααα,,,21Λ线性相关，则存在一组(而不是对任意一组不全为零的)数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ (B)不成立．(C) s ααα,,,21Λ线性无关，则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21Λ的秩为s ，则s ααα,,,21Λ线性无关，因此(C)成立．(D) s ααα,,,21Λ线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立．综上所述，应选(B)．【评注】 原命题与其逆否命题是等价的． 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使得02211=+++s s k k k αααΛ成立，则s ααα,,,21Λ线性相关． 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则s ααα,,,21Λ线性无关． 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．(6)【答案】C【分析】(1) ,A B 两事件相互独立的充要条件：{}{}{}P AB P A P B =(2) ,,A B C 三事件相互独立的充要条件：(i),,A B C 两两相互独立； (ii){}{}{}{}P ABC P A P B P C =⋅⋅【详解】方法1：因为{}112P A =，{}212P A =，{}312P A =，{}414P A =，且 {}1214P A A =，{}1314P A A =，{}2314P A A =，{}2414P A A =，{}1230P A A A =，可见有{}{}{}1212P A A P A P A =，{}{}{}1313P A A P A P A =，{}{}{}2323P A A P A P A =， {}{}{}{}123123P A A A P A P A P A ≠，{}{}{}2424P A A P A P A ≠．故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C)．方法2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确. 因此只要检查(C)和(D){}{}{}{}{}2342341110244P A A A P P A P A P A =∅=≠⋅⋅=⨯⨯故(D)错，应选(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．11111lim ()lim[]sin (1)x x f x x x x πππ--→→=+-- 1111lim[]sin (1)x x x πππ-→=+--11(1)sin lim (1)sin x x xx xπππππ-→--=+-令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以1lim ()x f x -→01sin (1)lim sin (1)u u u u u πππππ+→--=+-1sin (1)lim (sin cos cos sin )u u u u u u ππππππππ+→--=+⋅⋅-⋅01sin (1)limsin u u u u uπππππ+→--=+⋅ 2201sin (1)lim u u u u ππππ+→--+等201cos (1)lim 2u u uπππππ+→+-+洛 2201sin (1)lim 2u u ππππ+→-+洛110ππ+== 定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续． 又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续．四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得221()()2x y g f xy f x u x v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂f f y x u v ∂∂=+∂∂ 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v∂∂=-∂∂ 从而2222222222222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂2222222222222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有2222222()22()22222220sin()sin()sin sin sin .2xy xy DDt r rr t I e x y dxdy e e x y dxdye e d r rdr d r dr e e tdt ππππππππθθπ-+--+=---=+=+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记tdt e A t sin 0⎰-=π，则0000sin cos cos cos t t t t A e tdt e d t e t e tdt ππππ----⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππππ-----⎡⎤=---+=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六【分析】(1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者．(2) 等比级数求和公式2011(11)1n n n x x x x x x∞==+++++=-<<-∑L L【详解】先对和函数21()1(1)2nnn x f x n ∞==+-∑求导211()(1)nn n f x x∞-='=-∑2221(1)(1)nn n n n n x xx x ∞∞-===-=--∑∑2221()11n n x x x x x x ∞=-=--=-⋅=++∑ 对上式两边从0到x 积分200()1xxt f t dt dt t '=-+⎰⎰21()(0)ln(1)2f x f x ⇒-=-+ 由(0)1f =， 得21()1ln(1)(1).2f x x x =-+<为了求极值，对()f x 求一阶导数，2212()211x xf x x x-'=-⋅=++ 令0)(='x f ，求得唯一驻点0x =． 由于2221()(1)x f x x -''=-+， 01)0(<-=''f 由极值的第二充分条件，得()f x 在0x =处取得极大值，且极大值为(0)1f =．七【分析】题目要求()F x 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对()F x 求导，并将其余部分转化为用()F x 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可． 【详解】(1) 方法1：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +2[()()]2()()f x g x f x g x =+-=2(2)2()x e F x -可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==． 方法2：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=22[()][()]f x g x ''+2[()()]2()()f x g x f x g x ''''=+-又由.2)()(x e x g x f =+ 有()()2x f x g x e ''+=，)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，于是22()42()()42()x x F x e f x g x e F x '=-=-可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==(2) 题(1)得到()F x 所满足的一阶微分方程，求()F x 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解为 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 所以 ]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰- =.22x x Ce e -+将(0)0F =代入上式，得01,1C C =+=-. 所以 .)(22x x e e x F --=八【分析】题目要证存在)3,0(∈ξ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知(3)1f =，只需要再证明存在一点[0,3)c ∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[,3]c 上应用罗尔定理即可． 条件(0)(1)(2)3f f f ++=等价于13)2()1()0(=++f f f ．问题转化为1介于()f x 的最值之间，最终用介值定理可以达到目的．【详解】方法1：因为()f x 在[0，3]上连续，所以()f x 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值M 和最小值m (连续函数的最大值最小值定理)，于是M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(．三式相加 3(0)(1)(2)3.m f f f M ≤++≤ 从而 (0)(1)(2)1.3f f f m M ++≤=≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为()(3)1f c f ==， 且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf方法2：由于(0)(1)(2)3f f f ++=，如果(0),(1),(2)f f f 中至少有一个等于1，例如(2)1f =，则在区间[2,3]上对()f x 使用罗尔定理知，存在(0,2)(0,3)ξ∈⊂使.0)(='ξf 如果(0),(1),(2)f f f 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)内至少存在一点η使()1f η=．在区间[,3]η对()f x 用罗尔定理知，存在(,3)(0,3)ξη∈⊂，使.0)(='ξf 证毕．九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值． 【详解】方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++=ΛM M M M M ΛΛΛ321321321321 231231231231nin i n in i nin i nin i b a a a a b a a b a a b a a a b a b a a a a b====+++=++++∑∑∑∑L LL M M M M M L23232312311()11nn ni n i n a a a a b a a b a a a ba a a a b=+=+++∑L L L M M M M M L 2311000()000000n ni i a a a b b a b b==+∑L L L M M M M M L =).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0A ≠，即0≠b 且01≠+∑=ni i a b 时，秩()A n =，方程组仅有零解．(2) 当0b =时，0A =，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a Λ由01≠∑=ni i a 可知，),,2,1(n i a i Λ=不全为零．不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系T a a )0,,0,1,(121Λ-=α，Ta a )0,,1,0,(132Λ-=α，.)1,,0,0,(,1T n na a ΛΛ-=α (3) 当∑=-=ni i a b 1时，0A =. 这时0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为1231123112311231nin i nini ni n i nn i i a a a a a a a a a a A a a a a a aa a a a ====⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑L LLM M M M L1231111111001(1)000nin i nniii i nni i i i n ni i i i a a a a a a a a a a a =======⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑L LLu u u u u u u u u u u u u u u u u u r M M M M L将第行的倍加到其余各行12311211001101011nin i n ii a a a a a n a ==⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∑∑L L L M M MM u u u u u u u u u u u u u u u u u u r L从第行到第行同乘以倍 0000()11001.2,3,,10001001i i a i n ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦LL M M M M L L u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r L将第行的倍加到第行，由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n =Λ ．原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T Λ=α十【分析】 特征值之和等于A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于A 的行列式，由此可求出,a b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．【详解】(1)二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=，由题设得1231122332(2)1a a a a λλλ++=++=++-=，21230||0204212.02a bA a b b λλλ===--=--解得1,2a b ==-．(2) 求矩阵A 的特征值，令210202(2)(3)022E A λλλλλλ---=-=-+=-+，得矩阵A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ 解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，系数矩阵为102000204-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，得基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，系数矩阵为402050201--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]12300100Q ηηη⎤⎥⎥==⎢⎥⎢⎥，则Q 为正交矩阵． 在正交变换X QY =下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】本题求,a b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(220022b a a bb aA E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ 由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得1,2a b ==-．第一步求参数见《数学复习指南》P361重要公式与结论4，完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P47第九题．十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论． 【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数． 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1． 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性．求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率． 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．求概率密度()g u ，一般应先求分布函数(){}{}G u P U u P X Y u =≤=+≤，在计算概率的时候，应充分利用X 只有可能取值1X =和2X =．全概率公式：如果事件1,,n A A L 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为Ω(总体的样本空间)；并且()0,1,2,,.i P A i n >=L 则对任一事件B 有()1()(|)ni i i P B P A P B A ==∑．【详解】设()F y 是Y 的分布函数，由全概率公式，得U X Y =+的分布函数}{)(u Y X P u G ≤+={1}{1}{2}{2}P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤= 0.3{1}0.7{2}P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤= 0.3{11}0.7{22}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=．由于X 和Y 相互独立，所以 {1}{11}P Y u P Y u X ≤-=≤-=，{2}{22}P Y u P Y u X ≤-=≤-= 所以 ()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-。
2003考研数学一真题及答案解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =-【详解2】因为2121lim )1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→xxx x x x ，所以原式=.121ee=-【评注】本题属常规题型（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z 故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .【评注】本题属基本题型。
（3）设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】根据余弦级数的定义，有xd x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx =⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd =1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132.【分析】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】本题属基本题型。
2003考研数学一真题及答案解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。
2003年考研数学真题与答案
⎜⎜⎝⎛
1 0
⎟⎟⎠⎞,
β
2
=
⎜⎜⎝⎛
0 1
⎟⎟⎠⎞
，
α
1
可由
β1
,
β
2
线性表示，但
α1
线性无
关，排除(C). 故正确选项为(D).
3. 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 m × n 矩阵，现有 4 个命题：
① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) ≥ 秩(B)；
5. 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1 : ax + 2by + 3c = 0 ，
l2 : bx + 2cy + 3a = 0 ，
l3 : cx + 2ay + 3b = 0 .
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a + b + c = 0.
【详解】 ：必要性
设三条直线 l1, l2 , l3 交于一点，则线性方程组
可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出
Ax=0
与
Bx=0
同解，如
A
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦
，
B
=
⎡0 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
，则秩(A)=秩(B)=1，但
Ax=0
与
Bx=0
不同解，可见命题④不成立，排除(D),
故正确选项为(B).
⎡3 2 2⎤
⎡0 1 0⎤
4. 设矩阵 A = ⎢⎢2 3 2⎥⎥ ， P = ⎢⎢1 0 1⎥⎥ ， B = P −1 A*P ，求 B+2E 的特征值与特征向
(A) 当 r < s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r < s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关.
(完整版)湖南省_2003年_高考数学真题(理科数学)(附答案)_历年历届试题
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)-同湖南一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知（==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π）A ．B ．C ．D ．247247-724724-2．圆锥曲线（ 的准线方程是θθρ2cos sin 8=）A ．B ．C ．D ．2cos -=θρ2cos =θρ2sin -=θρ2sin =θρ3．设函数（ 的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-）A ．（－1，1）B ．（－1，+）∞C ．D ．),0()2,(+∞⋃--∞),1()1,(+∞⋃--∞4．函数的最大值为（)cos (sin sin 2x x x y +=）A ．B ．C ．D ．221+12-25．已知圆的截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-弦长为时，则a =32A ．B ．C ．D ．222-12-12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．22Rπ249R π238R π223r π7．已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 41则（）=-||n mA ．1B ．C ．D ．4321838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为M 、N 两点，与其相交于直线1),0,7(-=x y F MN 中点的横坐标为则此双曲线的方程是（ ,32-）A ．B ．C ．14322=-y x 13422=-y x 12522=-yx D ．15222=-y x 9．函数（ =∈=-)(23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ）A ．B ．]1,1[,arcsin -∈-x x ]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．D ．]1,1[,arcsin -∈+-x x π]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB的中点P 0沿与AB 夹角为的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB θ上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（的取值范围是θtg ,2x 1),0,44则若<<x （）A ．B ．C ．D ．)1,31(32,31(21,52()32,52(11．（=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ）A ．3B ．C ．D ．6316112．一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（2）A ．3B ．4C ．3D ．6πππ3π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．展开式中的系数是 .92)21(xx -9x 14．使成立的的取值范围是.1)(log 2+<-x x x15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中l 点，能得出⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序l 号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且是和的等比中项. 求.|1|-z ||z |2|-z ||z 18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.19．（本小题满分12分）已知 设.0>c P ：函数在R 上单调递减.xc y =Q ：不等式的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求的取值1|2|>-+c x x c 范围.20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 102arccos(=θθ台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？s21．（本小题满分14分）已知常数在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分,0>a a 别在BC 、CD 、DA 上移动，且，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是DADGCD CF BC BE ==否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设中所有的数从小到大排列成的数Z}t s,,0|2{2}{t∈<≤+且是集合t s a sn 列，即.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：}{n a35 69 1012— — — —— — — ——（i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求.100a （Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设中所有的数都是从小到大排Z}t s,r,,0|22{2}{r∈<<≤++且是集合t s r b stn 列成的数列，已知k.,1160求=k b 2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题13． 14．（-1，0）15．7216．①④⑤221-三、解答题：17． 解：设，则复数由题设)60sin 60cos r r z+=.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1,(4)3sinD E CC A B DC ABC CDEFDE G ADB G DF EFDEF FG FD FD EF FDED EG FC CD AB A B EBEGEBG AB ABDEB⊥∴∆∴∈=⋅==∴=======∴∠==∴分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,FABEFEFEDABED=⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111111111111的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AEDAABBAAAKAABAAEDAKAAEDKAKAEKAAEABAAEDABAAEDAEDEDABAED∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数在R上单调递减xcy=.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为RcxxyRcxx-+=⇔>-+).,1[21,0(.1,,.21,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数ccQPcQPccRcxxcRcxxycxccxcxcxx20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为yx,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到,)]([)()(22t ryyxx≤-+-,6010)(+=tt r台风的侵袭，则有即.)6010()0()0(222+≤-+-tyx22)22201027300()2220102300(tt⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤tttt解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设)10(≤≤==kDADCCDCFBCBE由此有E（2，4a k），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：①)12(2=-+ykax直线GE 的方程为：②02)12(=-+--a y x k a 从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a 整理得 当时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.1)(21222=-+a a y x 212=a当时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
(完整word版)2003年高考理科数学真题及答案[全国卷I]
![(完整word版)2003年高考理科数学真题及答案[全国卷I]](https://img.taocdn.com/s3/m/9185bf4079563c1ec5da718d.png)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ）（A ）247 （B ）247-（C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22R π （B ）249Rπ （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m（ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1]（C ）x arcsin +π1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tgθ的取值范围是（ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ΛΛ （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33（D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2003考研数学二真题及答案解析
率为 1，再利用点斜式得，过点 (1,1) 处的切线方程为
y −1 = 1⋅ (x −1) ，即 x − y = 0.
(ln 2)n
(3)【答案】
n!
【详解】 y = f (x) 带佩亚诺余项的麦克劳林公式：
ln x
xy
y
(A) − y 2 . x2
y2
(B)
.
x2
(C) − x 2 . y2
x2 (D) .
y2
(4 ) 设函数 f (x) 在 (−∞,+∞) 内连续，其导函数的图形如图所示，
y
则 f (x) 有( )
(A)一个极小值点和两个极大值点.
(B)两个极小值点和一个极大值点.
(C)两个极小值点和两个极大值点.
易知矩阵 A + E 可逆，于是有 ( A − E)B = E.
再两边取行列式，得 A − E B = 1，
0 01 因为 A − E = 0 1 0 = 2 , 所以 B = 1 ．
2 −2 0 0
方法 2：由 A2 B − A − B = E ，得
( A + E)( A − E)B = A + E
(A) 当 r < s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r < s 时，向量组 I 必线性相关.
(B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关. (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关.
三 、(本题满分 10 分)
ln(1+ ax3)
,
x<0
2003年高考英语真题及答案全国卷
2003年高考英语真题及答案全国卷第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题：每小题1.5分，满分7.5分）1．What is the man going to do?A．Open the window. B．Find another room. C．Go out with the woman. 2．What do we know about Peter Schmidt?A．He has lost his ticket.B．He is expecting a ticket.C．He went out to buy a ticket.3．What do we know about mother and son?A．She wants to tell him the result of the game.B．She doesn’t like him to watch TV.C．She knows which team he supports.4．What are the speakers talking about?A．Exam results. B．Time for the exam. C．Change of class hours. 5．What will the woman tell the man?A．Her company’s name. B．Her new address. C．Her phone number. 第二节（共15小题：每小题1.5分，满分22.5分）6．What is the possible relationship between the woman and the man? A．Wife and husband. B．Doctor and patient. C．Boss and secretary 7．What does the woman think about the man?A．He is not good to the children.B．He is not telling the truth.C．He sleeps too much.8．Where does the woman want to go?A．An office. B．A fruit shop. C．A police station.9．What does the woman have to do now?A．Wait for mark at the crossroads.B．Walk ahead and turn right.C．Walk a little way back.10．What exactly does the man want to find out?A．What people think of the bus service.B．How many people are using the bus service.C．Which group of people use the bus service most often. 11．What does the woman say about the bus service?A．The distance between bus stops is too long.B．The bus timetables are full of mistakes.C．Buses are often not on time.12．Why does the woman say her husband is fortunate?A．He often goes to work in a friend’s car.B．He doesn’t need to go shopping by bus.C．He lives close to the bus station.13．What is the probable relationship between the two speakers? A．Salesperson and customerB．Old school friendsC．Fellow workers14．What do we know about the woman?A．She is fond of her work.B．She is tired of traveling.C．She is interested in law.15．What is the man?A．A company manager. B．A salesperson. C．A lawyer.16．Why do es the woman ask for the man’s address?A．To send him a book.B．To get together with him.C．To repair something at his home.17．What is the aim of the program?A．To keep trainees in shape.B．To improve public relations.C．To develop leadership skills.18．Which of the following will the trainess be doing during the program?A．Attending lectures on managementB．Preparing reports for the company.C．Making plans for a journey.19．How long will the program last?A．8 days B．12 days C．20 days.20．If people want to join the program, what should they do after the meeting?A．Take a pre-test B．Pay for the program. C．Sign on a piece of paper. 第二部分：英语知识运用（共两节，满分45分）第一节：单项填空（共15小题：每小题1分，满分15分）21．Don’t be afraid of asking for help it is needed.A．unless B．since C．although D．when22．A cook will be immediately fired if he is found in the kitchen. A．smoke B．smoking C．to smoke D．smoked23．Allen had to call a taxi because the box was to carry all the way home.A．much too heavy B．too much heavyC．heavy too much D．too heavy much24．—Sorry, Joe, I didn’t mean to…—Don’t call me “Joe”. I’m Mr Parker to you, and you forget it! A．do B．didn’t C．did D．don’t25．If anybody calls, tell them I’m out, and ask them to their name andaddress.A．pass B．write C．take D．leave26．The sign reads “In case of fire, break the glass and push red button.”A．不填；a B．不填；the C．the; the D．a;a27．All morning as she waited for the medical report from the doctor, her nervouseness .A．has grown B．is growing C．grew D．had grown28．A left luggage office is a place where bags be left for a short time, especially at a railway station.A．should B．can C．must D．will29．We’re going to the bookstore in John’s car. You can come with us you can meet us there later.A．but B．and C．or D．then30．Why don’t you put the meat in the fridge? It will fresh for several days.A．be stayed B．stay C．be staying D．have stayed31．News reports say peace talks between the two countries with no agreement reached.A．have broken down B．have broken outC．have broken in D．have broken up32．—There’s coffee and tea: you can have .—Thanks.A．either B．each C．one D．it33．—Susan, go and join your sister cleaning the yard.—Why ? John is sitting there doing nothing.A．him B．he C．I D．me34．The old couple have been married for 40 years and never once with each other.A．they had quarreled B．they have quarreledC．have they quarreled D．had they quarreled35．—I think you should phone Jenny and say sorry to her.— . It was her fault.A．No way B．Not possible C．No chance D．Not at all第二节：完形填空（共20小题：每小题1.5分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从36—55各题所给的四个选项（A、B、C 和D）中，选出最佳选项。
2003年考研数学三真题及全面解析
2003年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(2102112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵TE A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里Tαα为n 阶矩阵，而22a T=αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+-= =TT T T a a E αααααααα⋅-+-11=TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有 0121=+--a a ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =于是有 cov(Y ,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDXY X ρ（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 21.【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】 这里22221,,,n X X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有 ∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ]【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n na绝对收敛，即∑∞=1n na收敛，当然也有级数∑∞=1n na收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C) s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ， 且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =， )()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).三 、（本题满分8分）设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂ 【详解】vf x u f y xg ∂∂+∂∂=∂∂， .vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ 故 vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，.2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t⎰--+-ππ=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值. 【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xxx x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰ 由f(0)=1, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于,)1(1)(222x x x f +--='' 01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(xe x g xf =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=' =)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-=.22x xCe e-+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是.)(22x xe e x F --=八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321 =).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（ 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T=α十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T=ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系.)2,0,1(3T-=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可。
2003年考研数学一真题及答案详解
(A) an bn 对任意 n 成立 (C)极限 lim a n c n 不存在
n
(B) bn cn 对任意 n 成立 (D)极限 lim bn cn 不存在
n
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(3)已知函数 f ( x, y) 在点 (0, 0) 的某个邻域内连续,且 lim
x 0
1 lim ln( 1 x 2 ) x 0
1 2 x 1 2 ， 2 2 x
所以
原式= e
1 e
.
【评注】 本题属常规题型 （ 2 ） 曲 面 z x 2 y 2 与 平 面 2x 4 y z 0 平 行 的 切 平 面 的 方 程 是
2x 4 y z 5 .
L
x esin y dy y e sin x dx
L
x e sin y dy y esin x dx .
L
x esin y dy y e sin x dx 2 2 .
六 、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层 .汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力 而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为 k .k 0 ).汽锤 第一次击打将桩打进地下 a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打 时所作的功之比为常数 r (0 r 1) .问 (1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.) 七 、(本题满分 12 分) 设函数 y y ( x) 在 (,) 内具有二阶导数 , 且 y 0, x x( y ) 是 y y ( x) 的反函 数.
2003考研数学一真题以及解析
2003212003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1)21ln(1)lim(cos )x x x +®=(2) 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos 02p p ££-=å¥=x nx ax n n，则2a =. (4) 从2R的基÷÷øöççèæ-=÷÷øöççèæ=11,0121a a 到基÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=21,1121b b 的过渡矩阵为. (5) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(£££îíì=则=£+}1{Y X P. (6) 已知一批零件的长度X (单位：cm cm)服从正态分布)1,(m N ，从中随机地抽取16个 零件，得到长度的平均值为40 (cm )，则m 的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=F =F二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设函数()f x 在),(+¥-¥内连续，其导函数的图形如图所示，内连续，其导函数的图形如图所示， 则()f x 有() (A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =¥®n n a ,1lim =¥®n n b ,¥=¥®n n c lim ,则必有() (A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ¥®lim 不存在. (D) 极限n n n c b ¥®lim 不存在.yx(3) 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-®®y x xy y x f y x ，则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点.(B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点. (4) 设向量组I ：r a a a ,,,21 可由向量组II ：s b b b ,,,21 线性表示，则() (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关.(B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.(5) 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =, 其中,A B 均为n m ´矩阵，现有4个命题：个命题：① 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则秩(A )³秩(B )；② 若秩(A )³秩(B )，则0Ax =的解均是0Bx =的解；的解； ③ 若0Ax =与0Bx =同解，则秩(A )=秩(B )； ④ 若秩(A )=秩(B )， 则0Ax =与0Bx =同解.以上命题中正确的是() (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④.(6) 设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则( )(A) )(~2n Y c .(B) )1(~2-n Y c . (C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . 三 、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 四 、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数å¥=+-012)1(n n n 的和.已知平面区域}0,0),{(p p ££££=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证：试证：(1)dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-òò--;(2) 22sin sin p ³--òdx ye dy xe x L y 六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<. 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m 表示长度单位米.) 七 、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+¥-¥内具有二阶导数，且)(,0y x x y =¹¢是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程；的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(=¢=y y 的解.八 、(本题满分12分)设函数()f x 连续且恒大于零，连续且恒大于零，òòòòò+++=W )(22)(222)()()(t D t d y x f dv z y x f t F s，òòò-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(s，其中}),,{()(2222t z y x z y x t £++=W ，}.),{()(222t y x y x t D £+=(1) 讨论()F t 在区间),0(+¥内的单调性. (2) 证明当0t >时，).(2)(t G t F p>设矩阵úúúûùêêêëé=322232223A ，úúúûùêêêëé=100101010P ，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a 十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品，乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X 的数学期望；的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为的概率密度为îíì£>=--,,,0,2)()(2q q q x x e x f x其中0>q 是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n XX X ,,,21，记，记 ).,,,min(ˆ21n X X X =q(1) 求总体X 的分布函数()F x ; (2) 求统计量q ˆ的分布函数)(ˆx F qq； (3) 如果用q ˆ作为q 的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【答案】1e【详解】方法1：求()lim ()v x u x 型极限，一般先化为指数形式型极限，一般先化为指数形式()()ln ()lim ()lim v x v x u x u x e =然后求lim ()ln ()v x u x ，再回到指数上去．，再回到指数上去．)1ln(102)(cos lim x x x +®=22ln cos ln cos limln(1)ln(1)0lim x xx x x x e e ®++®=,而220ln cos ln(1cos 1)limlimln(1)ln(1)x x x x x x ®®+-=++20cos 1lim x x x®-=(等价无穷小替换ln(1)x x +) 220112lim 2x xx ®-==-(等价无穷小替换211cos 2x x -) 故 原式=.121ee=-方法2：令21ln(1)(cos )x y x +=，有2ln cos ln ln(1)x y x =+，以下同方法1．(2)【答案】542=-+z y x【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．平面042=-+z y x 的法向量：1{2,4,1}n =-；曲面22y x z +=在点),,(000z y x 的法向量：20000{(,),(,),1}x y n z x y z x y =-00{2,2,1}x y =- 由于12//n n ，因此有，因此有00221241x y-==- 可解得，2,10==y x ，相应地有.520200=+=y x z所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：2{2,4,1}n =-，故所求的切平面方程为，故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即，即542=-+z y x(3)【答案】1【详解】将)()(2p p ££-=x x x f 展开为余弦级数展开为余弦级数20()cos ()n n f x x a nx x p p ¥===-££å，其中ò=ppcos )(2nxdx x f a n ．所以所以x d x xdx x a 2sin 12cos 22022òò=×=pppp2001[sin2sin22]x xx xdx pp p=-×ò1cos2xd x pp =ò001[cos2cos2]x x xdx ppp=-ò1=(4)【答案】÷÷øöççèæ--2132 【详解】n 维向量空间中，从基n a a a ,,,21 到基n b b b ,,,21 的过渡矩阵P 满足满足[n b b b ,,,21 ]=[n a a a ,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：为：P =[121],,,-n a a a [],,,21n b b b ．根据定义，从2R 的基÷÷øöççèæ-=÷÷øöççèæ=11,0121a a 到基÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=21,1121b b 的过渡矩阵为的过渡矩阵为P =[121],-a a [úûùêëéúûùêëé-=-21111011],121b b =.213221111011úûùêëé--=úûùêëéúûùêëé-(5)【答案】14． 【分析】本题为已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P £．连续型二维随机变量(,)X Y 概率的求解方法概率的求解方法(,)(,),y xF x y f u v dudv -¥-¥=òò此题可转化为二重积分}),({0z Y X g P £0(,)(,)g x y z f x y dxdy £=òò进行计算．进行计算．【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有由题设，有=£+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +£òò11206xx dx xdy -=òò1yy x =1220(612)x x dx =-ò14= (6)【答案】)49.40,51.39(． 【分析】可以用两种方法求解：【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差12=s，对正态总体的数学期望m 进行估计. 因为(,1)XN m ，设有n个样本，样本均值11ni i X X n ==å，则1(,)XN n m ，将其标准化，由公式()~(0,1)()X E X N D X n-得：)1,0(~1N nX m -由正态分布分为点的定义a ma -=<-1}1{2u nX P 可确定临界值2a u ，进而确定相应的置信区间22(,)x u x u nnaas s -+． (2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值m 的置信区间问题．由教材上已经求出的置信区间22(,)x u x u nnaass-+，其中2{}1,(0,1)P U u UN a a <=-，可以直接得出答案．直接得出答案．【详解】方法1：由题设，95.01=-a ，可见.05.0=a 查标准正态分布表知分位点.96.12=a u 本题16n =, 40=x . 根据{ 1.96}0.951X P n m-<=，有40{ 1.96}0.95116P m -<=，即{39.5140.49}0.95P m <<=，故m 的置信度为0．95的置信区间是)4940,5139(．方法2：由题设，95.01=-a ，22222{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u a a a a a <=-<<=F -=F =查得9612=au将1s =，16n =, 40=x 代入22(,)x u x u n n a a ss-+得置信区间)49.40,51.39(二、选择题(1)【答案】()Cy【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数是导数 不存在的点．不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(2)【答案】()D 【详解】方法1：推理法：推理法由题设lim 1n n b ®¥=，假设lim n nnb c ®¥存在并记为A ，则lim limn n n n n nb c c A b ®¥®¥==,这与lim n n c ®¥=¥矛盾，故假设不成立，lim n n n b c ®¥不存在．不存在． 所以选项()D 正确．正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =¥®n n a ,1lim =¥®n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确； 取1n n b n-=，2n c n=-，满足1lim =¥®n n b ,¥=¥®n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =¥®n n a ,¥=¥®nn c lim ,而lim1n n n a c ®¥=，()C 不正确．不正确．(3)【答案】()A 【详解】由2220,0(,)lim1()x y f x y xy x y ®®-=+222(,)(1)()f x y xy x y a Þ-=++，其中00lim 0x ya ®®=． 由(,)f x y 在点(0,0)连续知，(0,0)0f =．取y x =，x 充分小，0x ¹，有222(,)(1)(2)0f x y x x a =++>；取y x =-，x 充分小，0x ¹，有222(,)(1)(2)0f x y x x a =-++< 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选()A ．(极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r a a a ,,,21 可由向量组II ：s b b b ,,,21 线性表示，线性表示，则当则当s r >时，向量组I 必线性相关．必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r a a a ,,,21 可由向量组II ：s b b b ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r £． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】【详解】 用排除法：用排除法：÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=10,01,00211b b a ，则21100b b a ×+×=，但21,b b 线性无关，排除(A)；÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=01,01,00121b a a ，则21,a a 可由1b 线性表示，但1b 线性无关，排除(B)；÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=÷÷øöççèæ=10,01,01211b b a ，1a 可由21,b b 线性表示，但1a 线性无关，排除(C)．(5)【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③、④，迅速排除不正确的选项．抓住③、④，迅速排除不正确的选项．【详解】若0AX =与0BX =同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n -秩(A )=n -秩(B ), 得秩(A )=秩(B )，命题③成立，可排除(A), (C)；但反过来，若秩(A )=秩(B )，则不能推出0AX =与0BX =同解，通过举一反例证明，若úûùêëé=0001A ，úûùêëé=1000B ，则秩(A )=秩(B )=1，但0AX =与0BX =不同解，可见命题④不成立，排除(D). 故正确选项为(B)．(6)【答案】(C)．【分析】求解这类问题关键在于了解产生2c 变量、t 变量、F 变量的典型模式．变量的典型模式．(1)2c 分布：设12,,,n X X X 相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量21nii Z X ==å服从自由度为n 的2c 分布．记做2().Zn c(2)t 分布：设1(0,1)X N ，22~()X n c ，且12,X X 相互独立，则随机变量12/X Z X n=服从自由度为n 的t 分布．记做()Zt n(3)F 分布：分布：设设2212(),(),Xn Yn c c 且,X Y 相互独立，相互独立，则随机变量则随机变量12X n Z Y n =服从F 分布，其第一、二自由度分别为12,.n n 记做12(,).ZF n n【详解】其实，由F 分布的性质以及t 分布和F 分布的关系得，分布的关系得，(1) 如果统计量如果统计量()T t n ，则有2(1(1,,)T F n ；(2) 如果统计量12(,)FF n n ，则有211(,)F n n F．由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C)．先由t 分布的定义知()UX t n Vn=，其中)(~),1,0(~2n V N U c ，于是，于是 21XY ==122U n VU n V =，分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以)1(~22c U . 由F 分布的定义知~(,1).Y F n故应选(C)．三【分析】圆锥体体积公式：213V r h p =×；旋转体的体积：；旋转体的体积：(1) 连续曲线()y f x =，直线x a =、x b =所围成的图形绕直线0x x =旋转一周而成的立体的体积[]210()b aV f x x dx p=-ò(2) 连续曲线()x g x =，直线y c =、y d =所围成的图形绕直线0y y =旋转一周而成的立体的体积[]220()dc V g y y dy p=-ò【详解】为了求D 的面积，首先要求出切点的坐标，设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是：处的切线方程是：).(1ln 000x x x x y -+= 切线的斜率为01x y x ¢=，由于该切线过原点，将(0,0)点代入切线方程，得01ln 0=-x ，从而.0e x=所以该切线的方程为所以该切线的方程为.1x ey = (1) 利用平面图形D 的面积公式()()S y y dy baj y =-ò，得，得ò-=-=1.121)(e dy ey eA y(2) 旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图．可画一草图．y 1D O 1 ex切线x ey 1=与x 轴及直线x e =所围成的三角形绕直线x e =旋转所得的圆锥体积为：122101().3V e ey dy e p p =-=ò 曲线ln y x =与x 轴及直线x e =所围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体体积为：dy e e V y 212)(ò-=p 1220(2)y y e e e e dy p =-×+ò12201(2)2yye y e e e p =-×+211(2)22e e p =-+-因此所求旋转体的体积为因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=òe e dy e e e V V V y p p p四【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．另外，由于函数展开成的幂级数，经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导(积分)后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有要另行单独处理，设已有00()()n n n f x a x x ¥==-å收敛区间为00(,)x R x R -+． 如果在0x x R =+处级数收敛，并且()f x (左)连续，则展开式成立的范围可扩大到0x x R =+处，在0x x R =-处亦有类似的结论，不过此时()f x (左)连续应改称(右)连续．连续．【详解】本题可先求导，【详解】本题可先求导，()f x ¢()2222(12)2(12)1212121212111212x x x x x x x x x ¢-+---æöç÷++èø==--æöæö++ç÷ç÷++èøèø基本求导公式基本求导公式 22422(14)14x x --==++21214x =-+ 对于函数2114x+，可以利用我们所熟悉的函数x -11的幂级数展开：的幂级数展开： 211(11)1nnn x x x x x x ¥==+++++=-<<-å所以所以 2222001(4)(1)414114nn n n n n x x x x ¥¥===-=--<-<+åå(把x 换成24x -) 有 220111()22(1)4,(,).1422n n n n f x x x x ¥=¢=-=--Î-+å对上式两边求积分，得对上式两边求积分，得2000()(0)()2(1)4x xn n n n f x f f t dt t dt ¥=æö¢-==--ç÷èøåòò 221000(1)4112(1)42,(,)2122n nxn n n n n n t dt x x n ¥¥+====-=--=-Î-+ååò， 又因为04f p=（），所以，所以()(0)()xf x f f t dt ¢=+ò=).21,21(,124)1(24120-Î+--+¥=åx x n n n nn p即21012(1)411arctan 2,(,).1242122n nn n xx x x n p ¥+=--=-Î-++å (*) 在21=x 处，右边级数成为0(1)1212nn n ¥=-×+å，收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数()f x 连续，所以成立范围可扩大到21=x 处．而在12x =-处，右边级数虽然收敛，但左边函数()f x 不连续，所以成立范围只能是11(,]22x Î-．为了求å¥=+-012)1(n n n ，令21=x 代入(*)得åå¥=+¥=+--=×+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n nn n f pp,再由0)21(=f ，得，得 .4)21(412)1(0pp =-=+-å¥=f n n n五【详解】(1) 方法1：用格林公式证明. 由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式LD Q P Pdx Qdy dxdy x y æö¶¶+=-ç÷¶¶èøòòò． 所以所以òòò--+=-DxyxLydxdy eedx yedy xe)(sin sin sin sin所以所以òòò+=---Dx y xLLydxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin 因为积分区域D 关于y x =对称，所以对称，所以sinsinsinsin()()x y yxyxDDee dxdy e edxdy --+=+òòòò与互换故 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Lysin sin sin sin -=-òò--方法2：化为定积分证明：化为定积分证明左边sin sin yxLLxedy yedx -=-òò=dx edy exyòò--0sin 0sin ppp p =ò-+ppsinsin)(dx eexx右边sin sin yxLLxedy yedx -=-òò=òò--ppp p 0sinsin dx edy exy=ò-+ppsin sin )(dx e e xx所以所以 dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Lysin sin sin sin -=-òò--．(2) 方法1：用格林公式证明：用格林公式证明òòò--+=-DxyxLy dxdy eedx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDx y òòòò-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x òòòò-+sin sin 利用轮换对称性利用轮换对称性=sin sin()2xxDDee dxdy dxdy -+³òòòò22p =(因为2,0,0a b ab a b +³>>) 方法2：由(1)知，sin sin sin sin 0()2yxxxLxedy yedx eedx dx pppp---=+³òòò22p =六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为x 轴正向，设第n 次击打后，桩被打进地下nx ，第n 次击打时，次击打时，汽锤所作的功为汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．，汽锤所作的功等于克服阻力所做的功．112112x k W kxdx x ==ò，2122221()2x x k W kxdx x x ==-ò，3222332()2x x k W kxdx x x ==-ò，1x a =从而从而 212332k W W W x ++=又12rW W =，2321W rW r W ==， 从而从而222231231(1)(1)22k kx W W W r r W r r a =++=++=++ 于是于是231x a r r =++． (2) 第n 次击打后，桩被打进地下nx ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n．则汽锤前n 次所功的和等于克服桩被打进地下n x m 所做的功．所做的功．11210(1)nx n n kxdx W W W r rW -=+++=+++ò而2102akW kxdx a ==ò牛-莱公式莱公式 所以所以212(1)22nn kk x r ra -=+++ 从而从而111.1n n n r x a r ra r--=+++=- 等比数列求和公式等比数列求和公式由于01r <<，所以1lim 1n n a x r+®¥=-．七【详解】【详解】(1) 将题中的dydx 与22d x dy变换成以x 为自变量y为因变量的导数dxdy 与22d y dx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有，有dy dx =y dxdy ¢=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ×¢)1(=32)(1y y y y y ¢¢¢-=¢×¢¢¢-． 代入原方程，得代入原方程，得.s i n x y y =-¢¢ ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-¢¢y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xxe C e C Y-+=由于i l w +不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为的特解为 x B x A y sin cos *+=则*sin cos y A x B x ¢=-+，*cos sin y A x B x ¢¢=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-¢¢的通解为的通解为.sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(=¢=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(=¢=y y 的解为的解为.sin 21x e e y xx --=-且()y x 的导函数1()cos 02x xy x e e x -¢=+->，满足题设0y ¢¹条件．条件．八【详解】(1) 首先对()F t 进行化简，三重积分转化为在球面坐标系中的计算；二重积分转化为在极坐标系中的计算．化为在极坐标系中的计算．22222222000()()()sin 2sin ()t tt f x y z dvddf r r drdf r r drp ppq j j pj j W ++==òòòòòòòò()22220002()cos 4()ttf r r dr f r r dr pp jp =×-=òò(球面坐标) 22222000()()()2()ttD t f x y d d f r rdr f r rdr ps q p +==òòòòò(极坐标) 所以所以22222000222()sin 4()()()2()ttt td d f r r dr f r r drF t d f r rdrf r rdrpppqj j p qp==òòòòòòò22022()()ttf r r drf r rdr=òò为了讨论()F t 在区间),0(+¥内的单调性，对()F t 求导：求导：222222022()()()()()2[()]tttt f t f r rdr f r r dr f t tF t f r rdr ×-×¢=òòò22022()()()2[()]tt tf t f r r t r drf rrdr ×-=òò由于()0,0,0f t r t r >>->，所以2()()0f r r t r ->. 再利用定积分的性质：若在区间[,]a b 上()0f x >，则()0baf x dx >ò. 所以()0F t ¢>，所以()F t 在区间),0(+¥内严格单调增加．内严格单调增加．(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可．将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可．因为因为 2220()2()2()tt t tf x dx f x dx f r dr -==òòò， 所以所以2222()0222()2()()()()2()()ttD t ttttf x y d f r rdrf r rdrG t f x dx f r drf r drsp p -+===òòòòòòò要证明0t >时)(2)(t G t F p>，只需证明0t >时，0)(2)(>-t G t F p，即，即22200222()2()2()()()()ttttf r r drf r rdrF tG t f r rdrf r drp-=-òòòò()()()()()222220022002()()()()()tttt tf r r dr f r dr f r rdr f r rdr f r dréù×-êúëû=×òòòòò 令()()()22222()()()()tt tg t f r r dr f r dr f r rdr =×-òòò2222222202220()()()()()2()()()()()0ttttg t f t t f r dr f t f r r dr f t t f r rdrf t f r t r dr t ¢=+-=->>òòòò故()g t 在),0(+¥内单调增加，又因为(0)0g =，所以当0t >时，有()0)0g t g>=（， 从而0t >时，).(2)(t G t F p>九【分析】【分析】 法1：可先求出*1,A P -，进而确定P A P B *1-=及2B E +，再按通常方法确定其特征值和特征向量；法2：先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据2B E +与*2A E +相似求出其特征值与特征向量．相似求出其特征值与特征向量．【详解】方法1：经计算可得经计算可得úúúûùêêêëé------=522252225*A ，úúúûùêêêëé-=-1000011101P ， 所以所以P A P B *1-==úúúûùêêêëé----322452007，úúúûùêêêëé----=+5224720092E B ． 令 290(2)274(9)(3)0225E B E l l l l l l --+=-=--=-，故2B E +的特征值为.3,9321===l l l当921==l l 时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为，得线性无关的特征向量为,0111úúúûùêêêëé-=h ,1022úúúûùêêêëé-=h 所以属于特征值921==l l 的所有特征向量为的所有特征向量为úúúûùêêêëé-+úúúûùêêêëé-=+102011212211k k k k h h ，其中21,k k 是不全为零的任意常数．是不全为零的任意常数．当33=l 时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为，得线性无关的特征向量为úúúûùêêêëé=1103h ， 所以属于特征值33=l 的所有特征向量为úúúûùêêêëé=110333k k h ，其中03¹k 为任意常数．为任意常数． 方法2：设A 的特征值为l ，对应的特征向量为h ，即lh h =A ．由于07¹=A ，所以.0¹l所以所以 ***()()A A A E A A A E A A A E h h h h =Þ=Þ=***()A A A A A A lh h l h h h h lÞ=Þ=Þ=，于是于是11*11()()()A B P P A P P P h h h l----==， .)2()2(11h lh --+=+P AP E B因此，2+lA为2B E +的特征值，对应的特征向量为.1h -P由于)7()1(3222322232--=---------=-l l l l l l A E ，故A 的特征值为1231,7l l l ===当121==l l 时，对应的线性无关特征向量可取为úúúûùêêêëé-=0111h ， .1012úúúûùêêêëé-=h当73=l 时，对应的一个特征向量为.1113úúúûùêêêëé=h 由úúúûùêêêëé-=-1000011101P ，得úúúûùêêêëé-=-01111h P ，úúúûùêêêëé--=-11121h P ，úúúûùêêêëé=-11031h P ．因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3．对应于特征值9的全部特征向量为的全部特征向量为úúûùêêëé--+úúûùêêëé-=+--11101121212111k k P k P k h h ，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为的全部特征向量为úúúûùêêêëé=-1103313k P k h ，其中3k 是不为零的任意常数．是不为零的任意常数．十【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组交于一点，则线性方程组ïîïíì-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵úúúûùêêêëé=a c c b b a A 222与增广矩阵úúúûùêêêëé---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A b c a b c ac a b c a b -++++-++=-=--- 123111()236()23a b c b c a a b c b c a c a b c a b-=++-=-++-1006()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c --=-++--=-++---- 6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222¹-+-+-a c c b b a ，故，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于由于])([2)(22222b b a a b ac c b b a ++-=-==0]43)21[(222¹++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,ll l 交于一点．于一点．方法2：“必要性”“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则úúúûùêêêëé100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b éùêú=êúêúëû 所以||0B =．而．而232323232323a b c a b cB b c a b c a A c a b c a b-==--=--2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设但根据题设0)()()(222¹-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组：考虑线性方程组ïîïíì-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组等价于方程组îíì-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为因为])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==222[()]0a b a b -+++¹,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．交于一点．十一【详解】乙箱中可能的次品件数为0,1,2,3,分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果(取到的次品数)就是要找的完备事件组．就是要找的完备事件组．(1) 方法1：X 的可能取值为0,1,2,3, 取出k 件次品()0,1,2,3k =的取法有333kkC C -种；种；样本空间即从两个箱子中取出3件产品的总的取法数为36C ．所以有，X 的概率分布为的概率分布为36333}{C C C k X P kk -==， k 0,1,2,3.= 即 X 0 1 2 3 P 201 209 209 201因此，由离散型数学期望的定义因此，由离散型数学期望的定义{}1()nk k k E X x P X x ==×=å易得易得19913()0123.202020202E X =´+´+´+´=方法2：本题对数学期望的计算也可用分解法：本题对数学期望的计算也可用分解法：设0, ,1,i i X i ì=íî从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第件产品是次品件产品是次品..则i X 的概率分布为的概率分布为i X 01 P 21 21.3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以由数学期望的线性可加性，有，所以由数学期望的线性可加性，有200321 ()()()()1233.2E X E X E X E X =++= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有构成完备事件组，因此根据全概率公式，有å====30}{}{)(k k X A P k X P A P =33001{}{}66k k k P X k k P X k ===×=×=åå ()1131.6624E X ==×= 十二【分析】【分析】本题表面上是一数理统计问题，本题表面上是一数理统计问题，本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点．将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式．数字特征结合起来是一种典型的命题形式．求分布函数()F X 是基本题型：求统计量q ˆ的分布函数)(ˆx F qq ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验q q=ˆE 是否成立．是否成立．【详解】(1) 由连续型随机变量分布函数的定义，有由连续型随机变量分布函数的定义，有.,,0,1)()()(2q q q £>îíì-==ò¥---x x e dt t f x F xx(2) 由题给).,,,min(ˆ21n X X X =q ，有，有 }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n £=£= q q 121{min(,,,)}n P X X X x =->121{,,,}n P X x X x X x =->>> 1[1()]n F x =--2(),1,.0,n x x e x q q q -->ì-=í£î (3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得q ˆ概率密度为概率密度为.,,0,2)()()(2ˆˆq q q q q q q £>îíì==--x x ne dx x dF x f x n 因为因为 2()ˆˆ()()2n x E xf x dx nxe dx q q q q +¥+¥---¥==òò12n q q =+¹， 所以q ˆ作为q 的估计量不具有无偏性．的估计量不具有无偏性．。
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日语能力考试二级2003真题电子版２００３２級文字、語彙問題Ⅰ次の文の下線をつけた言葉は、どのように読みますか。
その読み方を、それぞれの１．２．３．４から一つ選びなさい。
問１話しあいで決まったことを記録する。
１決まった１きまった２おさまった３かたまった４まとまった２記録１きえん２きろく３きじゅつ４きりょく問２子どもは成長するにしたがって知恵がつく。
３成長１せいなが２ぜいなが３せいちょう４ぜいちょう４知恵１しえ２ちえ３しけい４ちけい問３このことについて例外は認めません。
５例外１れがい２れいがい３れつがい４れんがい６認めません１すすめません２つとめません３ふくめません４みとめません問４エンジンに異常があるという連絡があった。
７異常１いじょう２こしょう３ししょう４ひじょう８連絡１てんかく２てんらく３れんかく４れんらく問５この機械は操作が比較的簡単です。
９操作１そうさく２ぞうさく３そうさ４ぞうさ１０比較的１ひかくてき２ひがくてき３ひこうてき４ひごうてき問６この政党から総理大臣が出たことはない。
１１政党１せいと２せいとう３せいど４せいどう１２大臣１たいしん２たいじん３だいしん４だいじん問７この説は誤りだと仮定してみよう。
１３誤り１あやまり２いつわり３こだわり４さだまり１４仮定１かてい２かりてい３はんてい４ばんてい問８昨年度の日本における総医療費は３０兆３５８３億円であった。
１５医療１いりゅう２いりょう３ちりゅう４ちりょう１６兆１ちゅ２ちゅう３ちょ４ちょう１７億１おく２おうく３おくう４おっく問９世界の主要都市の暮らしやすさについて調査する。
１８主要１しゅよ２しゅよう３しゅうよ４しゅうよう１９暮らし１ならし２てらし３さらし４くらし２０調査１ちょうさ２こうさ３しんさ４けんさ問題Ⅱ次の下線をつけた言葉は、どのような漢字を書きますか。
その漢字を、それぞれの１，２，３，４から一つ選びなさい。
問１もうしこみ書のけいしきがへんこうされた。
２１もうしこみ１甲し込み２申し込み３甲し混み４申し混み２２けいしき１刑式２刑武３形式４形武２３へんこう１変化２変更３変則４変換問２みなさん、せっきょくてきにぎろんにさんかしてください。
２４せっきょくてき１責局的２責極的３積局的４積極的２５ぎろん１儀論２儀諭３議論４議諭２６さんか１参加２参画３賛加４賛画問３たにのそこから発見されたこうぶつは、たいへんめずらしいものらしい。
２７たに１谷２俗３浴４容２８そこ１底２低３抵４邸２９こうぶつ１公物２高物３貢物４鉱物３０めずらしい１妙しい２珍しい３貴しい４稀しい問４えいきゅうにせんそうが起きないようにねがう。
３１えいきゅう１永久２永遠３恒久４恒遠３２せんそう１戦双２戦争３闘双４闘争３３ねがう１求う２祈う３望う４願う問５どんなに健康にじしんがあっても、ゆだんしているとかぜをひく。
３４じしん１自身２自真３自信４自伸３５ゆだん１由断２由談３油断４油談問６あくてんこうのため、荷物のとうちゃくがおくれた。
３６あくてんこう１悪天向２悪天荒３悪天航４悪天候３７とうちゃく１至着２到着３致着４倒着３８おくれた１延れた２留れた３遅れた４滞れた問７きょうどうで部屋を借りれば、家賃をせつやくできる。
３９きょうどう１共同２共働３供同４供働４０せつやく１倹約２倹略３節約４節略問題Ⅲ次の文の＿＿に入れるのに最も適当なものを、１，２，３，４から一つ選びなさい。
４１スピーチが終わると，会場から＿＿が起こった。
１握手２応援３拍手４理解４２転ばないように＿＿に気をつけてください。
１足元２足早３足音４足跡４３今度の打ちあわせは土曜日です。
＿＿、時間は後ほどお伝えします。
１なお２さらに３むしろ４それでも４４みそしるをつくって、ごはんを＿＿。
１きざんだ２たいた３わかした４むいた４５何があったのか＿＿話していただけませんか。
１するどく２すまなく３けわしく４くわしく４６弱点を＿＿して、オリンピック選手に選ばれた。
１修正２修理３回復４克服４７田中さんは毎回予習を＿＿やってくるまじめな学生だ。
１ふたたび２そんなに３ちゃんと４かわりに４８漢字を書くのは＿＿だが、読むほうは問題ない。
１得意２敬意３上手４苦手４９彼は、今度のコンサートが終わったら歌手を＿＿したいと語った。
１移動２引退３失業４完了５０人間は言葉による＿＿を行う動物である。
１コミュニケーション２オートメーション３コレクション４フゔッション問題Ⅳ次の５１から５５は、言葉の意味や使い方を説明したものです。
その説明に最もあう言葉を、１，２，３，４から一つ選びなさい。
５１お金を出すのをいやがる人。
１かち２けち３とち４ふち５２他人の迷惑を考えないで、行動するようす。
１あつかましい２あわただしい３はなはだしい４いさましい５３足りない点を補う。
１パスする２セットする３カバーする４マナスする５４ものが多すぎて余っている状態。
１多分２多量３過剰４過半数５５川を流れとは反対の方へ進むこと。
１おいかける２さかのぼる３たちあがる４とりかえる問題Ⅴ次の５６から６０の言葉の使い方として最も適当なものを１，２，３，４から一つ選びなさい。
５６せっかく１せっかく休みをとって旅行に来たんだから、仕事のことを考えるのはやめよう。
２彼女にせっかくおみやげをあげたら、あらないと言われた。
３せっかく教えて下さって、ありがとうございます。
４彼はせっかくパソコンを買って、eメールを始めた。
５７単なる１あなたはわたしにとって単なる存在です。
２祖母は単なる話を何度もくりかえす。
３昨日のンタビューは単なる３０分で終わった。
４それは単なるうわさだから、気にしないほうがいいよ。
５８ふりむく１窓から外をふりむいたら、富士山がきれいに見えた。
２声をかけられてふりむくと、林先生が立っていた。
３どんなことがあっても未来をふりむいて生きていきたい。
４下をふりむかずに歩きなさい。
５９だらけ１彼の部屋は汚いだらけだ。
２彼は部屋を散らかしだらけだ。
３彼の部屋は不潔だらけだ。
４彼の部屋はゴミだらけだ。
６０いちいち１すみません、この三つ、いちいち包んでいただけますか。
２小山さん、いちいち親切にしてくれてありがとう。
３うちの親は私のやることにいちいち文句をつける。
４たなの上には、思い出の品がいちいちならんでいる。
問題Ⅵ次の６１から６５の下線をつけた言葉の意味に最も近いものを、１，２，３，４から一つ選びなさい。
６１小泉さんはおしゃべりな人だ。
１よく飲む２よく食べる３よく話す４よく怒る６２あの人はおそらくパーテゖーには出席しないだろう。
１たしかに２もちろん３たとえ４たぶん６３スーツケースの重さはやく３キロだ。
１あと２もう３およそ４たった６４小野さんに先日のことをおわびした。
１怒鳴った２謝った３感謝した４質問した６５犬がいなくなったので、ほうぼう探しまわった。
１あちこち２あれこれ３うろうろ４まごまご２００３２級読解、文法問題Ⅰ次の文章を読んで、後の問いに答えなさい。
答えは、１，２，３，４から最も適当なものを一つ選びなさい。
子どもを持ったことのある人なら、三歳の子どもが電話に興味を持つことをご存じだと思う。
会話がとてもおもしろい時期である。
話しかければ返事をしてくれる電話に夢中にならないはずがない。
言葉の発達と共に、うちの電話機は子どものおもちゃとなっていった。
初めのうちは、ジジババからの電話の途中で少し話をして喜んでいるだけであったが、（注１）そのうち掛かってくる電話にも出たがるようになった。
（中略）①次に彼は、番号を押して自分で電話を掛けることに興味を覚えたようである。
ジジババの家と、うちの子と話をするのを楽しみにしてくれる叔母にかぎって掛けさせることにして、この二軒の電話番号を＃０１と＃０２の短縮番号にしてあげた。
彼はほとんど毎日(注２)どちらかに電話をした。
②「ぼくのなまえはあおきいくまです」「四さいになったらおおさわようちえんにいくんだよ」とか、「今日ねおにくとおやさいいっぱいたべたの。
あとね、えーとね……」などなど、彼のおしゃべりにつき合っている叔母もたいへんだなと横で聞いていて思いつつ、好きにさせておいた。
③「またおでんわしてねっていってた」「ごはんをいっぱいたべてねっていってたよ」「おばさんはひとりですんでいてさびしいんだって。
ぼくとおはなしするのがたのしみだって。
ぼくにあいたいって」久しぶりに叔母に会う機会があった。
「いつも子どもが長々と電話してすみません」「あーらやだ。
何言ってんのよ、ちっとも電話してくんないじゃない。
子どもは元気？」(注３)(注４)④彼は毎日この叔母と電話で話をしていたのではなかったか。
その夜、＃０２に電話してみた。
見知らぬ人が電話を取った。
(注５)「あなたがお父様ですか。
いつもお坊ちゃまからかわいいお電話をいただいております。
いつかご挨拶をと思っておりましたが、遅くなって申しわけございません。
私は、××と申すものです。
いつもこの時間になるとお電話がこないかと心待ちにしております。
最近はそれはもう毎日のようにお電話をくださいますので一日電話がこないと風邪でもひいたのではないか、もしや事故にでもあったんじゃないかとかやきもきしてしまうのですよ。
⑤（注６）今まで眠れない日がおおございましたのに、電話の向こうで“ババ”って言ってくれ(注７)た日はぐっすりと眠れるようになりました。
主人をおととしガンで亡くしがっくりきていたところに、頼みだった息子夫婦も半年（注８）（注９）前に交通事故で亡くなりましてね、孫も一緒だったんです。
生きていればもうじき四歳に⑥なるはずでした。
幼稚園もきまっていましたのにねえ。
そんな時にお宅のお坊ちゃまからお電話をいただきまして、初めは死んだはずの孫からかと思いました。
一回だけの幸運な⑦間違い電話のつもりでいたら何度もくるようになりまして、最初は、たどたどしかったの(注１０)に今ではもう立派にお話もできるようになって……。
もしご迷惑でありませんでしたら、時々はお坊ちゃまのお声をお聞かせ願えませんでしょうか」こんな話を聞いてしまったらいやとは言えないだろう。
叔母の家の電話番号を短縮番号に入力する時のミスだったようだ。
新たに本当の叔母の番号を＃０３にいれた。
そして彼は今でも＃０２に電話をしているようである。
（青木晴彦「電話」『第１１回NTTふれあいトーク大賞１００選』による）(注１)ジジババ：おじいさんとおばあさん(注２)短縮番号にする：簡単にかけられるように電話番号を短い数字にして電話機にセットする(注３)あーらやだ：少しおどろいた時に使う女性の言い方(注４)電話してくんない：電話してくれない(注５)見知らぬ人：ぜんぜん知らない人(注６)やきもきする：心配する(注７)おおございました：「多かった」のていねいな言い方(注８)ガン：病気の名前(注９)がっくりくる：急に元気がなくなる(注１０)たどたどしい：話し方がおさないようす問１①「出たがるようになった」とあるが、何をしたがるようになったのか。