2019年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案_PDF压缩

2019年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨2019年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2019年5月19日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）1．已知2()2f x x x =-，集合{}(())0A x f f x ==，则集合A 中所有元素的和为。

【答案】4【解答】方程(())0f f x =化为2(2)0f x x -=，即222(2)2(2)0x x x x ---=。

∴22(2)(22)0x x x x ---=。

解得，10x =，22x =，31x =-41x =∴{}0211A =-+，，，A 中所有元素的和为4。

2.在ABC △中，若AC =，2AB =5tan12π=，则BC =。

【答案】【解答】5tan12π=，得2sin()56tan 122cos()6A A πππ+=+，即5tan(tan 612A ππ+=。

∴5612A k πππ+=+，k Z ∈。

结合0A π<<，得5612A ππ+=，4A π=。

∴由余弦定理，得222222cos 222cos24BC AC AB AC AB A π=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅=。

∴BC =3．函数()f x x =的值域为。

【答案】01⎡⎤+⎣⎦【解答】解法一：()f x x =。

设1sin x α-=（22ππα-≤≤），则()cos (1sin ))14f x πααα=++=++。

由22ππα-≤≤，得3444πππα-≤+≤，sin()124πα-≤+≤。

∴()f x值域为01⎡⎤⎣⎦。

解法二：()11f x '==（02x <<）。

∵012x <<+时，()0f x '>；122x +<<时，()0f x '<。

∴()f x在区间012⎡+⎢⎣⎦，上为增函数，在区间122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上为减函数。

∴()f x值域为01⎡⎤⎣⎦。

4．已知复数z ，1z ，2z （12z z ≠）满足22122z z ==--，且124z z z z -=-=，则z =。

【答案】【解答】先求复数2i --的平方根。

设2()2x yi +=--（x ，y R ∈），则22()22x y xyi -+=--。

2222x y xy ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩，解得111x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，221x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩由22122z z ==--，12z z ≠，知1z 、2z为复数2i --的两个平方根。

由对称性，不妨设11z =-，21z i =-+。

于是，124z z -=，12124z z z z z z -=-=-=，复数z ，1z ，2z 对应的点Z ，1Z ，2Z 构成边长为4的正三角形。

又复数1z ，2z 对应的点1Z ，2Z 关于原点O 对称，∴OZ 为12ZZ Z △的高，故z OZ ==。

5．已知32()2f x x ax bx =+++的图象关于点(20)，对称，则(1)f =。

【答案】4【解答】解法一：由()f x 的图象关于点(20)，对称，知3232(2)(2)(2)(2)2(6)(412)4210f x x a x b x x a x b a x a b +=++++++=++++++++为奇函数。

∴6042100a a b +=⎧⎨++=⎩，67a b =-⎧⎨=⎩。

∴(1)1216724f a b =+++=-++=。

解法二：由()f x 的图象关于点(20)，对称，知对任意x R ∈，(2)(2)0f x f x ++-=。

于是，对任意x R ∈，3232(2)(2)(2)2(2)(2)(2)20x a x b x x a x b x +++++++-+-+-+=。

即2(212)(8220)0a x a b ++++=恒成立。

∴212084200a a b +=⎧⎨++=⎩，67a b =-⎧⎨=⎩。

∴(1)1216724f a b =+++=-++=。

解法三：依题意，有3()(2)(2)f x x m x =-+-。

利用(0)822f m =--=，得5m =-。

于是，3()(2)5(2)f x x x =---，(1)1(5)4f =---=。

6．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，120ABC ∠=︒，4PA =。

若三棱锥P ABC -外接球的半径为22，则直线PC 与ABC 平面所成角的正切值为。

【答案】233【解答】如图，设1O 为ABC △的外心，O 为三棱锥P ABC -外接球的球心。

由PA ABC ⊥平面，1OO ABC ⊥平面，知1PA OO ∥。

取PA 中点D ，由22OP OA ==，知D 为PA 中点，且四边形1DAO O 为矩形。

又4PA =，∴12O O AD ==，ABC △外接圆的半径12r O A ==。

在ABC △中，由2sin ACr ABC=∠，得22sin12023AC =⨯⨯︒=。

∴423tan 323PA PCA AC ∠===。

∴PC 与ABC 平面所成角的正切值为233。

（第6题图）（第6题答题图）7．已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）与双曲线2C ：22221x y m n-=（0m >，0n >）有相同的焦点1F 、2F ，其中1F 为左焦点。

点P 为两曲线在第一象限的交点，1e 、2e 分别为曲线1C 、2C 的离心率，若12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，则21e e -的取值范围为。

【答案】2()3+∞，【解答】设双曲线的焦距为2c 。

则依题意，有2122PF F F c ==，12222PF a c m c =-=+，1c e a =，2c e m=。

由122121222422PF a c PF cPF F F c PF a c⎧=->=⎪⎨+=>=-⎪⎩，得23a c a c >⎧⎨<⎩，于是，11132e <<。

又121212e c ce m a c e ===--。

∴1211112e e e e e -=--。

设112e t -=，则1(03t ∈，，121111111(112222e t t e e e t e t t---=-=-=+--。

由11()()12f t t t =+-在区间1(0)3，上为减函数，得()f t 值域为2()3+∞，。

∴21e e -的取值范围为2()3+∞，。

（第7题答题图）8．已知I 为ABC △的内心，且54()IA BI CI =+uu r uu r uu r。

记R 、r 分别为ABC △的外接圆、内切圆半径，若15r =，则R =。

【答案】32【解答】解法一：取BC 中点D ，依题意，有54()8IA IB IC ID =-+=-uu r uu r uu r uu r。

∴A 、I 、D 共线，AB AC =。

由15r ID ==，知24IA =。

作IE AB ⊥于E ，则15IE ID ==，155sin 248BAD ∠==，39cos 8BAD ∠=，tan BAD ∠=。

∴22tan 23910BC BD AD BAD ==⋅∠=⨯⨯又5sin sin 228832BAC BAD ∠=∠=⨯⨯=。

∴264sin BC R BAC ==∠，32R =。

解法二：依题意，有5440IA IB IC ++=uu r uu r。

由三角形内心的向量表示：若a 、b 、c 分别为ABC △的内角A 、B 、C 的对边，I 为ABC △的内心，则0aIA bIB cIC ++=uu r uu r uu r uu r。

可得，::5:4:4a b c =，设10a k =，则8b c k ==.作AD BC ⊥于D，则AD =，212ABC S BC AD =⨯⨯=△。

又15r =，1()132ABC S AB BC CA r kr =++=△，因此，k ==又sin 8AD B AB ==。

∴8264sin sin b k R B B ===，32R =。

（第8题答题图）9．已知集合{}12345U =，，，，，{}I X X U =⊆，从集合I 中任取两个不同的元素A 、B ，则A B ⋂中恰有3个元素的概率为。

【答案】562【解答】当A B ⋂确定后，如{}345A B ⋂=，，时，设{}345A A '=⋃，，，{}345B B '=⋃，，，A B ''⋂=∅，则{}A B ''，的情况有：{}{}1∅，，{}{}2∅，，{}{}12∅，，，{}{}{}12，，共4种情形。

∴所求的概率为35232410425323162C C ⨯⨯⨯==⨯。

10．已知532()10f x x x ax bx c =-+++，若方程()0f x =的根均为实数，m 为这5个实根中最大的根，则m 的最大值为。

【答案】4【解答】设()0f x =的5个实根为1234x x x x m ≤≤≤≤，则由韦达定理，得12340m x x x x ++++=，1234121314232434()()10m x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++=-。

于是，212131423243410x x x x x x x x x x x x m +++++=-+。

∴2222212341234121314232434()2()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+++-+++++2222(10)20m m m =--+=-。

另一方面，由柯西不等式，知2222212341234()4()x x x x x x x x +++≤+++。

于是，224(20)m m ≤-，216m ≤，4m ≤。

又对4532()(4)(1)1020154f x x x x x x x =-+=----，方程()0f x =的根均为实数，且5个实根中最大的根4m =。

∴m 的最大值为4。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程）11．已知数列{}n a 满足194a =，11273120n n n n a a a a ++--+=（*n N ∈）。

（1）记2n n c a =-，求数列{}n c 的通项公式；（2）记21n n n b a n =+，求使[][][][]1232019n b b b b ++++≤L 成立的最大正整数n 的值。

（其中，符号[]x 表示不超过x 的最大整数）【解答】（1）由2n n c a =-，得2n n a c =+，代入条件递推式，得112(2)(2)7(2)3(2)120n n n n c c c c ++++-+-++=。