求导公式的逆用

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不定积分公式总结

不定积分公式总结在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念，它是求导的逆运算。

掌握不定积分公式对于解决各种积分问题至关重要。

接下来，就让我们一起系统地总结一下常见的不定积分公式。

一、基本积分公式1、常数的积分：∫C dx ＝ Cx ＋ C₁（其中 C 为常数，C₁为任意常数）这意味着任何常数乘以自变量 x 的积分，结果是该常数乘以 x 再加上一个任意常数。

2、幂函数的积分：∫xⁿ dx ＝（1/（n ＋ 1)）xⁿ⁺¹＋ C （n ≠ －1）∫x⁻¹ dx ＝ ln|x| ＋ C3、指数函数的积分：∫eˣ dx ＝eˣ ＋ C∫aˣ dx ＝（1 ／ln a) aˣ ＋ C （a ＞ 0 且a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C6、反三角函数的积分：∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2) ln(1 ＋ x²) ＋ C二、凑微分法相关公式凑微分法是一种非常重要的积分方法，通过将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。

例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a) ∫f(u) du （其中 u ＝ ax ＋ b）常见的凑微分形式有：1、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a) sin(ax ＋ b) ＋ C2、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a) cos(ax ＋ b) ＋ C三、换元积分法相关公式换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。

不定积分计算公式

不定积分计算公式积分是微积分中的一个重要概念，不定积分即求导的逆运算。

计算不定积分可以使用一些常见的公式和技巧，下面将介绍一些常见的不定积分公式。

1.基本积分公式(1) ∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。

(3) ∫e^x dx = e^x + C。

(4) ∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C。

(5) ∫sinx dx = -cosx + C。

(6) ∫cosx dx = sinx + C。

(7) ∫tanx dx = -ln，cosx， + C。

(8) ∫cotx dx = ln，sinx， + C。

(9) ∫sec^2x dx = tanx + C。

(10) ∫cosec^2x dx = -cotx + C。

2.函数的初等不定积分公式(1) ∫e^u du = e^u + C。

(2) ∫sinu du = -cosu + C。

(3) ∫cosu du = sinu + C。

(4) ∫tanu du = -ln，cosu， + C。

(5) ∫cotu du = ln，sinu， + C。

(6) ∫sec^2u du = tanu + C。

(7) ∫cosec^2u du = -cotu + C。

(8) ∫secu * tanu du = secu + C。

(9) ∫cosecu * cotu du = -cosecu + C。

(10) ∫(1+u^2) du = u + (1/3)u^3 + C。

3.基本积分法则(1) 线性法则：∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。

(2) 乘法法则：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx。

(3) 分部积分法：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x) dx。

逆用求导数公式解题

逆用求导公式构造新函数，确定构造出新函数的性质常见的构造函数方法有如下几种： (1)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式)(x f '＋)(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； ②对于不等式)(x f '－)(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )；特别地，对于不等式)(x f '>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . (2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式)(x f 'g (x )＋f (x ))(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； ②对于不等式)(x f 'g (x )－f (x ))(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)．(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数①对于不等式x )(x f '＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； ②对于不等式x )(x f '－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x (x ≠0)；③对于不等式x )(x f '＋nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝x n f (x )； ④对于不等式x )(x f '－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)；⑤对于不等式)(x f '＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )； ⑥对于不等式)(x f '－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x ；⑦对于不等式)(x f '＋kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e kx f (x )； ⑧对于不等式)(x f '－kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e kx ；⑨对于不等式f (x )＋)(x f 'tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝sin xf (x )； ⑩对于不等式f (x )－)(x f 'tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )sin x (sin x ≠0)；⑪对于不等式)(x f '－f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝cos xf (x )； ⑫对于不等式)(x f '＋f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )cos x (cos x ≠0)．1．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，若1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是（） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b << 解：构造()()F x xf x =，且()F x 为偶函数，()()()F x xf x f x ''=+，由()()()()()000f x xf x f x F x f x xxx''+'+>⇒>⇒>，∴0x >，()0F x '>，函数()F x 在()0,+∞单调递增，12a F ⎛⎫=⎪⎝⎭，()()22b F F =-=，()1ln ln 22c F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，a c b << 2．已知()'f x 是函数()()0f x x R x ∈≠且的导函数，当0x >时，()()'0xf x f x -<成立，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 构造()()f x F x x=,()()()20xf x f x F x x'-'=<,()F x ∴单调递减，()0.22a F =，()20.2b F =，()2log 5c F =，c a b <<，选C3.定义在上R上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0<x 时，xx f <')(，则不等式x x f x f +-≥+)1(21)(的解集为_________ 解：构造221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，由)(x g 为奇函数，当0<x 时，0)()(<-'='x x f x g ，)(x g 为减函数，，x x f x f +-≥+)1(21)(，可得22)1(21)1(21)(x x f x x f ---≥-，即)1()(x g x g -≥∴x x -≤1，即21≤x优解：根据经验判断，所解的不等式一定是)1()(x g x g ->，这样就不需要复杂的变形结合)(x g 的单调性快速得出答案。

三角函数反三角函数积分公式求导公式

三角函数反三角函数积分公式求导公式三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

而反三角函数则是三角函数的逆运算，用于解决三角方程和计算角度值。

三角函数与反三角函数的积分求导公式在数学中有着重要的应用，下面将介绍这些公式以及其推导。

一、正弦函数与反正弦函数的积分求导公式：1.正弦函数的积分求导公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C该公式可以通过求导得到，即对右边的-cos(x) + C对x求导，由导数的链式法则可得到sin(x)。

2.反正弦函数的积分求导公式：∫arcsin(x) dx = x * arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) + C这个公式可以通过对右边的表达式求导来验证，即对x * arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)对x求导，应用链式法则和反正弦函数的导数即可得到1 / sqrt(1 - x^2)。

二、余弦函数与反余弦函数的积分求导公式：1.余弦函数的积分求导公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C可以通过对右边的sin(x) + C求导来验证，由导数的链式法则可得到cos(x)。

2.反余弦函数的积分求导公式：∫arccos(x) dx = x * arccos(x) - sqrt(1 - x^2) + C可以通过对右边的x * arccos(x) - sqrt(1 - x^2)求导来验证，应用链式法则和反余弦函数的导数即可得到-1 / sqrt(1 - x^2)。

三、正切函数与反正切函数的积分求导公式：1.正切函数的积分求导公式：∫tan(x) dx = -log，cos(x)， + C可以通过对右边的-log，cos(x)， + C求导来验证，应用对数函数的导数和链式法则即可得到sec^2(x) = 1/cos^2(x)。

2.反正切函数的积分求导公式：∫arctan(x) dx = x * arctan(x) - 1/2 * log(1 + x^2) + C可以通过对右边的x * arctan(x) - 1/2 * log(1 + x^2)求导来验证，应用对数函数的导数和链式法则即可得到1 / (1 + x^2)。

分部积分法顺序口诀

不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。

分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。

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基本信息中文名称分布积分法外文名称Integration by parts目录1定义2应用折叠编辑本段定义不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。

分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。

折叠编辑本段应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。

原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv移项后，成为：udv = d(uv) -vdu两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。

在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a=[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a=[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx简记作∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a u'vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。

导数的逆运算技巧

导数的逆运算技巧
导数的逆运算技巧是反求原函数或者反求方程的过程，也称为求解微分方程的方法。

下面介绍几种常见的导数的逆运算技巧。

1. 反向应用常见导数公式：
常见的导数公式包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数规则。

当已知函数的导数，可以反向应用这些导数公式来求解原函数。

2. 积分运算：
导数与积分是互为逆运算的关系，因此可以通过积分运算来进行导数的逆运算。

具体而言，如果已知函数f(x) 的导数为g(x)，那么原函数F(x) 可以通过积分运算得到：F(x) = ∫g(x) dx + C，其中C 是积分常数。

3. 分部积分法：
对于一个函数乘以另一个函数的积分，可以通过分部积分法将其转化为更容易求解的形式。

分部积分法公式为：∫u dv = uv - ∫v du。

选择合适的u 和dv 并进行积分运算，可以反向求解出原函数。

4. 反函数法：
若已知函数f(x) 的导数，且该函数在某个区间内是严格单调连续的，那么
可以应用反函数法来求解原函数。

具体步骤是先求出导函数f'(x) 的反函数，再对其进行求导得到原函数的导数。

5. 递归运算：
对于一些特定的函数组合形式，可以应用递归运算来求解导数的逆运算。

例如，对于连续多次求导的情况，可以通过递归地进行积分操作来求解原函数。

导数的逆运算往往需要结合具体的问题与函数特性来选择适当的方法。

同时，求解导数的逆运算也可能存在多个解或无解的情况，需要在具体问题中进行验证和判断。

逆用函数求导公式--------构造法解题

逆用函数求导公式--------构造法解题数学试题的呈现方式，是数学公式逆用形式，如两角和与差的三角公式逆用，可以用辅助角公式解决，线性规划的目标函数，常见的有截距，距离，斜率公式的形式，，求定积分的运算就是导数公式的逆用寻找原函数，两个函数和差积商的导数公式逆用，可以通过构造新函数来解决。

本文通过对导数公式的逆用，构造新函数，并结合函数的单调性，奇偶性来解决不等式问题。

背景知识：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．典型例题：类型一：和差导数公式逆用：例1. 设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有.A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+解：构造)()()(x g x f x F -=，0)()()(>'-'='x g x f x F ，)(x F 为增函数，)()()(b F x F a F <<)()()()()()(b g b f x g x f a g a f -<-<-，∴()()()()f x g b g x f b +>+，选D 类型二，积的导数公式逆用：9.设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0<x 时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且0)1(=g .则不等式0)()(<x g x f 的解集是_________解：)()()(x g x f x F =，0)()()()()(>'+'='x g x f x g x f x F ，)(x F 为增函数，)(x F 为奇函数，0)3(=g ，0)1(=F ，结合)(x F 的图象可得0)(<x F 的解集为)1,0()1,(⋃--∞7．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有x x f x x f <'+)()(，则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 的解集为（）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，解：由()()f x xf x x '+<，0x <得： [()]0xf x x '<<，令()()F x xf x =，则当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞是减函数，(2014)+=F x (2014)(2014)x f x ++ ，(2)(2)(2)F f -=--，由题意：(2014)F x +＞(2)F -又()F x 在(,0)-∞是减函数，∴20142x +<-，即2016x <-，故选C设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()(>'+x f x x f .则不等式)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为．解：令)()(x xf x h =，因为0)()(>'+x f x x f ，=')(x h 0)]([>'x f x ，)(x h 在定义域上递增函数，所以)1(1)1(122-->++x f x x f x ，1≥x ，∴112->+x x ，2<x ，解集为)2,1[8．设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x x f x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为（）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，解：由22()()f x xf x x '+>，0x <得：232()()xf x x f x x '+<，即23[()]0x f x x '<<，令2()()F x x f x =，则当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞是减函数，2(2014)(2014)(2014)F x x f x +=++ ，(2)4(2)F f -=-，(2014)(2)0F x F +-->，()F x 在(,0)-∞是减函数，所以由(2014)(2)F x F +>-得，20142x +<-，即2016x <-，故选C类型三，商的导数公式逆用：当出现导数差的形式是，可以考虑商的导数例1．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，当0x >时，有2()()0xf x f x x'->成立，则不等式0)(>x f 的解集是A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(1,0)-C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞解：由当0x >时，有2()()0xf x f x x '->成立,知函数xx f x F )()(=的导函数0)()()(2>-'='x x f x f x x F 在),0(+∞上恒成立,所以函数x x f x F )()(=在),0(+∞上是增函数,又因为函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,所以函数xx f x F )()(=是定义域上的偶函数,且由0)1(=f 得0)1()1(==-F F ,由此可得函数xx f x F )()(=的大致图象为: 由图可知不等式0)(>x f 的解集是),1()0,1(+∞⋃-.故选A.例2．函数)(x f 是R 上的可导函数,0x ≠时，()()0f x f x x '+>，则函数1()()g x f x x =+的零点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0解：方法一：构造函数)()(x xf x F =，)()()(x f x x f x F +'='，()()0f x f x x '+>，0)(>'xx F ，当0>x 时，0)(>'x F ，)(x F 为增函数，当0<x 时，故可得0)(<'x F ，)(x F 为减函数，0)0(=F ,0)(≥x F ，1()()g x f x x =+xx F x x xf 1)(1)(+=+=无零点方法二：由于函数g(x)＝f(x)+1x，可得x≠0，因而 g （x ）的零点跟 xg （x ）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg （x ）=xf （x ）+1 的零点．由于当x≠0时，f ′(x)+()f x x＞0，①当x ＞0时，(())(()1)()()xg x xf x xf x f x '''=+=+=()(())f x x f x x '+＞0，所以()xg x 在（0，+∞）上是单调递增函数．又∵0lim[()1]1x xf x →+=，∴当x ∈（0，+∞）时，函数()xg x =()1xf x +＞1恒成立，因此()xg x =()1xf x +在（0，+∞）上没有零点．②当x ＜0时，由于(())(()1)()()xg x xf x xf x f x '''=+=+=()(())f x x f x x'+＜0，故函数()xg x 在（-∞，0）上是递减函数，函数()xg x =()1xf x +＞1恒成立，故函数()xg x 在（-∞，0）上无零点．综上可得，函g(x)＝f(x)+1x 在R 上的零点个数为0.上的函数，其中()f x 的导函数为'()f x ，满足．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f ><．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f <>解：由'()()f x f x <，知0)()()()()()(2<-'=-'='x x x x ex f x f e e x f e x f x F ，故函数是定义在R 上的减函数，),0()2(F F <∴即)0()2(202f e f e e <⇒<，同理可得)0()2012()0(2012201202012f e f ef e f <⇒<）（，故选B例4设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，)()(x f x f >',且1)3(=f ,解不等式3)(->x e x f解：构造函数x e x f x g )()(=，则x ex f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，)3()(g x g >，∴3>x例5．若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（）.A 、(2011)f <2(2009)f eB 、(2011)f =2(2009)f eC 、(2011)f >2(2009)f eD 、不能确定【答案】C解：构造函数x e x f x g )()(=，则x ex f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，则20092011)2009()2011(ef e f >，即2)2009()2011(e f f >. 例6．若不等式定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，其导函数是()()(),tan f x f x f x x ''<⋅且恒有成立，则A ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由()()sin 'cos x f x f x x <，得()()'sin cos 0f x x f x x ->，构造函数()sin f x y x =，则()()2'sin cos 'sin f x x f x x y x-=0>，函数()sin f x y x =为增函数，由63ππ<，则63sin sin 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例7(周考22)14．已知定义在R 上的奇函数)(x f 的导函数为)('x f ，当0<x 时，)(x f 满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则)(x f 在R 上的零点个数为 A.1 B.3 C. 5 D .1或3 导函数，不分段 0<x ，)()()(222x f x x f x x xf >'+ 由()()2 ') (f x xf x xf x +<两边同乘x 可得，)()()(222x f x x f x x xf <'+，则可得)(])([22x f x x f x >',构造函数x e x f x x F )()(2=，0)(])([)(22>-'='xe xf x x f x x F ，函数x e x f x x F )()(2=为增函数，当0<x ，0)0()(=<F x F ,02>x ex ， 0)(<x f ，)(x f 为奇函数，)(x f 零点个数为1例8)(x f 是定义在上R 的奇函数，且0)1(=-f ，当0>x 时，0)(2)()1(2<-'+x xf x f x ，则不等式0)(>x f 的解集为解：1)()(2+=x x f x F ，0)1()(2)()1()(222<+-'+='x x xf x f x x F ，)(x F 为减函数，)(x F 为奇函数，0)1(=-f0)1(=-F ,结合)(x F 的图象可得不等式0)(>x f 的解集为)1,0()1,(⋃--∞6．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有( )A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤解：由()()0x f x f x '+≤可得()()x f x f x '≤-，因为(0,)x ∈+∞且()0f x ≥，所以()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减或()f x 为非负的常数函数（当且仅当(0,)x ∈+∞时，都有()0f x '=时，()f x 才为常数函数），当()f x 在(0,)+∞单调递减时，由0a b <<可得()()0f a f b >≥，再由不等式性质中的可乘性可得()()bf a af b >；当()f x 为非负常数函数时，()()0f a f b =≥，所以()()af b bf a ≤（当且仅当()0((0,))f x x =∈+∞时，等号成立），综上可知，选A.方法二：由()()0xf x f x '+≤，即[()]0xf x '≤，设()()F x x f x =，则()0F x '≤，所以()F x 在(0,)+∞单调递减或()F x 为恒大于零的常数函数（当且仅当(0,)x ∈+∞时，都有()0F x '=时，()F x 才为常数函数），当()F x 在(0,)+∞单调递减时，由a b <，可得()()F a F b >即()()af a bf b >；当()F x 为恒大于零的常数函数时，()()F a F b =即()()af a bf b =，根据不等式传递性，)()()()(b af b bf a af a bf ≥≥≥ 方法三：构造函数x x f x F )()(=，2)()()(xx f x f x x F -'='，由()()xf x f x '≤-得，2)()()(x x f x f x x F -'='0)()(2≤--≤x x f x f ，)(x F 为单调减函数或常函数，由a b <可得()()af b bf a ≤时，()'()'()f x f x xf x +<恒A D ．c b a <<解：构造函数1)(-=x x F ，=')(x F 0)1()(]1[2>--='-x x f x ,)(x F 为单调增函数， 12)2(-=f a ,13)3(-=f b ,12)12(--=f c ，由3212<<-，可得c a b <<，选A类型四，构造组合函数形式例1 定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0<x 时，x x f <')(，则不等式x x f x f +-≥+)1(21)(的解集为_________ 解：221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，)(x g 为奇函数，当0<x 时，0)()(<-'='x x f x g ，)(x g 为减函数，，x x f x f +-≥+)1(21)(，可得22)1(21)1(21)(x x f x x f ---≥-，即)1()(x g x g -≥∴ x x -≤1，即21≤x 例2定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0>x 时，x x f >')(，若a a f a f 22)()2(-≥--，则实数的取值范围是的_________解：221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，)(x g 为奇函数，当0>x 时，0)()(>-'='x x f x g ，)(x g 为增函数，a a f a f 22)()2(-≥--，可得2221)()2(21)2(a a f a a f -≥---，即)1()(x g x g -≥∴ )()2(a g a g ≥-，a a ≥-2，即1≤a例3定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足1)()(>'+x f x f 4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中为自然对数的底数）的解集为_________解：构造函数x x e x f e x F -=)()(，=')(x F )1)()(()()(-+'=-+'x f x f e e x f e x f e x x x x ,)(x F 为R 单调增函数， 3)0(=F ,原不等式等价于)0()(F x F >,∴解集为),0(+∞。

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序口诀微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。

分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。

定义微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分部积分法分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。

根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。

分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。

应用在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。

原公式：(uv)'=u'v+uv'求导公式：d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为：d(uv) = vdu + udv 移项后，成为：udv = d(uv) -vdu两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。

不定积分公式总结

不定积分公式总结不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求导的逆运算。

在数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

不定积分公式众多，熟练掌握这些公式对于解决积分问题至关重要。

下面我们就来对常见的不定积分公式进行总结。

一、基本积分公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。

2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）∫x^（－1) dx ＝ ln|x| ＋ C对于幂函数的积分，当指数不为－1 时，将指数加 1 然后除以新的指数，再加上常数 C；当指数为－1 时，积分结果为自然对数。

3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）指数函数 e^x 的积分就是其本身，而对于底数为 a 的指数函数，积分结果需要除以其底数的自然对数。

4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C这是对数函数的一个重要积分公式。

二、凑微分法相关公式凑微分法是积分中的一种重要方法，通过对被积表达式进行适当的变形，将其凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。

1、例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a)∫f(u) du （令 u ＝ ax ＋ b）2、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a)sin(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）3、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a)cos(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）凑微分法需要我们对函数的形式有敏锐的观察力，能够准确地找到合适的代换。

高中数学求导公式表

高中数学求导公式表求导是高中数学中的一个重要概念，也是微积分的基础。

求导公式表是数学求导时经常用到的一些公式的集合，下面是一个详细的高中数学求导公式表：1.常数的导数公式：如果f(x)=c，则f'(x)=0，其中c是常数。

2.变量的导数公式：如果f(x)=x，则f'(x)=13.幂函数的导数公式：如果f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n是常数。

4.指数函数的导数公式：如果f(x) = a^x，则f'(x) = a^x * ln(a)，其中a是常数且a > 0。

5.对数函数的导数公式：如果f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))，其中a是常数且a > 0。

6.三角函数的导数公式：如果f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。

如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。

如果f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。

如果f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。

如果f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。

如果f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。

8.双曲函数的导数公式：如果f(x) = sinh(x)，则f'(x) = cosh(x)。

如果f(x) = cosh(x)，则f'(x) = sinh(x)。

如果f(x) = tanh(x)，则f'(x) = 1 - tanh^2(x)。

9.复合函数的导数公式：如果f(x)=g(h(x))，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。

10.和差法则：如果f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)。

导数公式逆用中的函数构造

导数公式逆用中的函数构造在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它表示了函数在其中一点的变化率。

导数的计算通常使用导数公式，而逆用中的函数构造则是根据已知的导数来构造一个原函数。

在导数公式逆用中的函数构造中，我们可以利用已知的导数来求解原函数。

由于求导是一个线性运算，即导数函数具有加法和乘法性质，我们可以运用这些性质来构造原函数。

首先，我们考虑一些基本的导数公式，如常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。

这些导数公式是我们构造原函数的基础。

1.常数函数的导数是0，即如果f(x)=C，其中C是一个常数，那么f'(x)=0。

因此，我们可以使用常数函数来构造原函数。

2. 幂函数的导数是幂次减一后乘以原函数的系数，即如果f(x) = Cx^n，其中C和n是常数，那么f'(x) = Cnx^(n-1)。

利用这个性质，我们可以通过已知的导数来构造原函数。

3.指数函数的导数是指数函数自身乘以原函数的系数，即如果f(x)=Ce^x，其中C是常数，那么f'(x)=Ce^x。

同样地，我们可以通过已知的导数构造指数函数的原函数。

4. 对数函数的导数是倒数函数除以原函数的系数，即如果f(x) = Cln(x)，其中C是常数，那么f'(x) = C/x。

我们可以运用这个性质来构造对数函数的原函数。

5. 三角函数的导数可以通过三角函数的定义公式和三角函数的相关性质来求解。

例如，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)，tan(x)的导数是sec^2(x)等。

通过对这些导数公式的熟悉，我们可以构造出原函数。

除了使用基本的导数公式之外，我们还可以运用导数的加法性质和乘法性质来构造原函数。

1.导数的加法性质：如果f(x)和g(x)分别是两个函数的导数，那么f(x)+g(x)是两个函数的和的导数。

通过这个性质，我们可以将已知的导数分解为几个已知导数的和，然后分别构造出原函数，最后求和即可。

积分求导公式运算法则上下项

积分求导公式运算法则上下项积分求导是微积分中的重要概念之一、它是求导和积分两个运算的逆运算，也就是说，如果我们对一个函数进行求导操作，然后再对它进行积分操作，我们将恢复到原来的函数。

积分求导的公式运算法则有很多，下面将介绍其中一些常用的法则。

1. 常数法则：如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0。

即d/dx(c) = 0。

2. 线性法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，而a和b是常数，那么d/dx(a*f(x) + b*g(x)) = a*d/dx(f(x)) + b*d/dx(g(x))。

3. 幂法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，那么它的导数为d/dx(x^n) = n*x^(n-1)。

例如，d/dx(x^3) = 3*x^24. 和差法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么d/dx(f(x) +g(x)) = d/dx(f(x)) + d/dx(g(x))。

类似地，d/dx(f(x) - g(x)) =d/dx(f(x)) - d/dx(g(x))。

这条法则说明了求导运算在函数的和与差上是可分配的。

5. 乘积法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么d/dx(f(x)*g(x)) = f(x)*d/dx(g(x)) + g(x)*d/dx(f(x))。

这条法则告诉我们对于一个函数的乘积，可以首先对其中一个函数求导，然后再乘以另一个函数，并将相乘的结果相加。

6. 商法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，那么d/dx(f(x)/g(x)) = (g(x)*d/dx(f(x)) - f(x)*d/dx(g(x)))/[g(x)]^2、这条法则指导我们在求导一个函数的商时如何进行运算。

7. 反函数法则：如果y = f(x)是一个可导函数，而x = g(y)是它的反函数，那么d/dx(g(y)) = 1/[d/dy(f(x))]，(x = g(y))。

这条法则说明了如何对一个函数的反函数求导。

积分和求导是互逆运算吗

积分和求导是互逆运算吗
积分和求导是互逆运算。

用具体术语来讲，导数表示了变化率的概念，积分却似乎与变化率没什么关联。

而有趣的是，导数和积分其实是紧密相关的。

求导其实就是一个函数到另一个函数的映射。

给定一个函数，通过对它进行求导，我们能得出另外一个函数，后者可以表示前者在每一点处的变化情况。

积分也可以被理解为函数到函数的映射。

通过对函数进行积分，我们可以计算出以函数图像为边界部分的区域的面积。

微积分基本定理大致讲的是，先取一个函数f，对它进行求导，得出一个新函数，接着对这个新函数进行积分，你会再次得到f。

换句话讲，积分和微分是互逆的过程。

不定积分的产生

不定积分的产生不定积分是微积分中的一个重要概念，它是导数的逆运算。

不定积分的产生可以通过回顾微积分的历史来理解。

微积分最早的起点可以追溯到古希腊的几何学和阿赫麦斯（Archimedes）的工作，但真正的突破是由牛顿和莱布尼茨在17世纪末创立的。

牛顿和莱布尼茨是独立发展出微积分的两位数学家。

他们的研究都集中在找到一种方法来计算曲线下的面积，这在当时是一个重要的问题，因为曲线的面积计算对于数学和物理领域都有重要的应用。

牛顿和莱布尼茨分别独立地引入了积分的概念，并发现了求不定积分的方法。

他们的方法虽然不同，但基本思想是一致的。

不定积分的概念可以通过求导运算反过来得到。

我们知道，求导是一个逐项的过程，即对于任何求导的函数f(x)，可通过分别对f(x)的每一项求导来计算f'(x)。

因此，自然地反过来，我们可以通过对每一项进行逐项的积分来计算不定积分。

这种思想产生了不定积分的定义。

具体来说，对于一个函数f(x)，它的不定积分可以记作∫f(x) dx，其中∫是一个数学符号，表示求积分的运算，f(x)是被积函数，dx表示x的微元。

不定积分的结果是一个函数，通常记作F(x)，称为原函数或积分常数。

原函数的导函数恰好是被积函数，即F'(x) = f(x)。

以一个简单的例子来说明不定积分的概念。

考虑函数f(x) = x^2，我们希望计算它的不定积分∫x^2 dx。

根据逐项积分的思想，我们可以将x^2拆分为每一项的和：x^2 = x * x。

对于每一项x，它的积分是1/2 * x^2，因此不定积分∫x dx = 1/2 * x^2 + C，其中C是积分常数。

不定积分的概念迅速得到了广泛的应用。

在物理学中，不定积分可以用来计算物体的位移、速度和加速度等。

在经济学中，不定积分可以用来计算生产函数的边际效应、边际成本和边际收益等。

在统计学中，不定积分可以用来计算累积分布函数和概率密度函数等。

不定积分的计算方法有很多种，其中一种常见的方法是使用基本积分公式和换元积分法。

导数运算_两连发_

数学·如何让导数运算更流畅□王佩其数学运算，最讲究的是自然和简洁，导数运算又何尝不是如此.当你面对一个函数求导问题时，若可以好好观察与思考，便可以让导数运算更加流畅.例1求函数f（x）=（1+cos x）（1-cos x+sin x）1+cos x+sin x的导数.分析若采用直接求导，会因计算量颇大而颇感“有心无力”；若想到先化简，则“前途一片光明”.解因为f（x）=2cos2x2·2sin2x2+2sinx2cosx22cos2x2+2sinx2cosx2=2cos2x2·sinx2cosx2=sin x，所以f′（x）=cos x.点评对于某些函数式，我们应先仔细观察它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合并化简，得到最简的结果后再求导.例2求函数f（x）=ln x-1x+1%姨的导数.分析若直接求导，则同样无从下手.若想到利用对数运算法则将其“分解”，则“曙光在前头”.解因为f（x）=12[ln（x-1）-ln（x+1）]，所以f′（x）=121x-1-1x+1姨姨=1x2-1.点评对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行拆分，然后各个击破.例3若函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-3） (x)2010），求f′（2010）的值.分析初看题目，会让人无从下手，造成这种情况的主要原因是没有找到解决问题的切入点或具体方法.但若仔细观察分析，把（x-1）（x-2）（x-3） (x)2009）看成一个整体，然后利用积的求导法则，便可迎刃而解.解原函数式可写成f（x）=［（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2009）］（x-2010），所以f′（x）=［（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2009）］′（x-2010）+［（x-1）（x-2）（x-3） (x)2009）］（x-2010）′=［（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2009）］′（x-2010）+［（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2009）］，则f′（2010）=0+2009×2008×2007×…×1=2009！.点评对于某些函数式，我们应对问题本质进行洞察，通过整体思想走出困境.筲巩固练习1.若f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+2011），求f′（0）的值.2.求下列函数的导数.（1）y=x2-x+1x2+x+1；（2）y=x1-1-x%姨；（3）y=cos2xsin x-cos x.筲参考答案1.2011！.2.（1）2x2-2（x2+x+1）2；（2）-121-x%姨；（3）-cos x+sin x.专题突破导数运算“两连发”30数学·函数运算中求导法则的逆用举例□杨玉红函数运算中的求导法则：法则一[u （x ）±v （x ）]′=u ′（x ）±v ′（x）；法则二[u （x ）v （x ）]′=u ′（x ）v （x ）+u （x ）v ′（x ）；法则三u （x ）v （x ）□□′=u ′（x ）v （x ）-u （x ）v ′（x）v 2（x）（v ≠0）.在求导过程中除了熟记常见函数的导数公式和函数运算中的求导法则之外，还要特别注意导数运算公式和法则的灵活运用，尤其是函数乘法与除法中的求导法则的逆用.下面我们一起来看几个这方面的例子.例1设f （x ）是定义域为（0，+∞）的恒大于零的可导函数，且xf ′（x ）+f （x ）＜0，则对任意的两个正数a ，b ，当a ＜b 时，有（）A.bf （a ）＞af （b ）B.bf （a ）＜af （b ）C.af （a ）＜bf（b ） D.f （a ）＜f （b）解析因为x ′=1，则xf ′（x ）+f （x ）＜0可写为xf ′（x）+x ′f （x ）＜0，此时不等式左侧与法则二等式右侧形式相同，构造函数F （x ）=xf （x ），则F ′（x ）=xf ′（x ）+x ′f （x ）＜0，所以F （x ）在（0，+∞）上为减函数.又0＜a ＜b ，所以F （a ）＞F （b ），即af （a ）＞bf （b ），故C 不正确.又0＜a ＜b 且f （x ）＞0，对af （a ）＞bf （b ）两侧同时放缩，可得bf （a ）＞af （a ）＞bf （b ）＞af （b ），即bf （a ）＞af （b ），故A 正确，B 不正确.因为f （x ）＞0且xf ′（x ）+f （x ）＜0，所以xf ′（x ）＜0，因为x ＞0，所以f ′（x ）＜0，即f （x ）在（0，+∞）上为减函数.又0＜a ＜b ，所以f （a ）＞f （b），故D 不正确.综上所述，选择A.例2设f （x ），g（x ）是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且f ′（x ）g （x ）-f （x ）g ′（x ）＜0，则当a ＜x ＜b 时，有（）A.f （b ）g （x ）＞f （x ）g （b ）B.f （x ）g （a ）＞f （a ）g （x ）B.f （x ）g （b ）＞f （b ）g（x ） D.f （x ）g （x ）＞f （a ）g（a）解析已知不等式f ′（x ）g （x ）-f （x ）g ′（x ）＜0的左侧与法则三等式的右侧分子形式相同，构造函数F （x ）=f （x ）g （x ），则F ′（x ）=f ′（x ）g （x ）-f （x ）g ′（x）[g （x ）]2＜0，故F （x ）在R 上为减函数.当a ＜x ＜b 时，有f （a ）g（a ）＞f （x ）g （x ）＞f （b）g （b ）成立.又f （x ），g （x ）是定义域为R 的恒大于零的函数，所以f （x ）g （b ）＞f （b ）g（x ），故选C.例3已知f （x ），g（x ）都是定义在R 上的函数，满足g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＜f （x ）g ′（x ），f （x ）=a x·g（x ）（a ＞0，且a ≠1），f （1）g （1）+f （-1）g （-1）=52，在有穷数列f （n ）g （n ）≠≠（n =1，2，…，10）中，任意取正整数k （1≤k ≤10），则前k 项和大于1516的概率为（）A.15B.25C.35D.45解析由f ′（x ）g （x ）＜f （x ）g ′（x ）及g （x ）≠0，可得f ′（x ）g （x ）-f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＜0，即f （x ）g （x ）□≤′＜0，则函数f （x）g （x ）在R 上为减函数.由f （x ）=a x·g （x ）及g （x ）≠0，可得f （x）g（x ）=a x .所以0＜a ＜1.而f （1）g （1）+f （-1）g （-1）=52，则a +a -1=52，解得a =12，a =2（舍去）.所以f（n ）g（n ）=12n ，故有穷数列f （n ）g （n ）≠≠的前n 项和为12+122+123+…+12n =1-12n （1≤n ≤10）.若前k 项和大于1516，即1-12k ＞1516，解得k ＞4.而k 为1≤k ≤10的正整数，即k =5，6，7，8，9，10.故前k 项和大于1516的概率为P =610=35.故选C.1.设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，恒有f ′（x ）g （x ）+f （x ）g ′（x ）＞0，且g （3）=0，则不等式f （x ）g （x ）＜0的解集是（）A.（-3，0）∪（3，+∞）B.（-3，0）∪（0，3）C.（-∞，-3）∪（3，+∞） D.（-∞，-3）∪（0，3）2.若对可导函数f （x ），g （x ），当x ∈［0，1］时，恒有f ′（x ）g （x ）＜f （x ）g ′（x ），又已知α，β是一个锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F （x ）=f （x）g（x ）（g （x ）≠0），则下列不等式中正确的是（）A.F （sin α）＜F （cos β）B.F （sin α）＞F （cos β）C.F （cos α）＞F（cos β） D.F （cos α）＜F（cos β）1.D.2.A.专题突破31。

求导公式的逆用范文

求导公式的逆用范文求导公式的逆用指的是如何根据函数的导数，来推导出函数本身。

在微积分中，这个过程被称为积分，即求导的逆运算。

求导公式的逆用是微积分中一个重要的内容，它使得我们能够通过函数的导数来还原出函数本身。

本文将介绍求导公式的逆用的基本思想和方法。

求导公式的逆用可以分为两个部分：不定积分和定积分。

不定积分可以用来找到函数的原函数，也可以看作是求导的逆运算。

定积分则可以用来计算函数在一些区间上的面积。

这两个部分在求导公式的逆用中是相互关联的，具有重要的意义。

一、不定积分不定积分是求导的逆运算。

如果函数F(x)在区间[a, b]上的导函数是f(x)，即F'(x)=f(x)，那么F(x)就是f(x)在[a, b]上的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

不定积分的结果是一个函数，表示在一些变量上积分得到的函数。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以求它的不定积分。

根据求导的逆运算，应该找到一个函数F(x)，使得F'(x)=x^2、根据指数幂的求导规则，可以得到F(x)=(1/3)x^3+C，其中C为常数。

因此，∫x^2dx=(1/3)x^3+C。

不定积分的具体计算方法是先找到函数F(x)，然后在F(x)后面加上一个常数C。

这里的常数C是为了表示在不同函数中的不定积分结果。

二、定积分定积分是求函数在一个区间上的面积。

以函数f(x)为例，若它在[a, b]上连续，那么在[a, b]上的定积分可以定义为∫[a,b] f(x)dx，表示f(x)在[a, b]上的面积。

定积分可以用来计算曲线下的面积、计算物体的质量等。

求定积分的方法有很多，其中最常用的方法是牛顿-莱布尼兹公式，也称为基本积分公式。

根据这个公式，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a, b] f(x)dx=F(b)-F(a)。

也就是说，通过求函数的原函数，我们可以求出它在一些区间上的定积分。

例如，对于函数f(x)=x^2，在区间[1, 2]上的定积分可以表示为∫[1,2]x^2dx。

反向求导公式

反向求导公式反向求导是微积分中的一个重要概念，它是指在已知函数的导函数的情况下，求出原函数。

在求导过程中，我们经常使用一些常用的导函数公式，这些公式可以帮助我们求出原函数。

而在反向求导中，我们需要根据这些公式的逆过程，即反过来应用这些公式，从而求出原函数。

下面是一些常用的反向求导公式：1. 反向求导基本公式：- 公式1：求导前的函数是x的n次方函数，导数是nx^(n-1)。

那么反向求导时，如果函数的导数是nx^(n-1)，那么函数原本就是x的n次方函数。

- 公式2：求导前的函数是常数函数，导数是0。

那么反向求导时，如果函数的导数是0，那么函数原本就是常数函数。

2. 反向求导与数学运算的关系：- 公式3：求导前的函数是两个函数的和，导数是这两个函数的导数的和。

那么反向求导时，如果函数的导数是两个函数的导数的和，那么函数原本就是两个函数的和。

- 公式4：求导前的函数是两个函数的乘积，导数是这两个函数的导数的乘积再加上其中一个函数乘以另一个函数的导数。

反向求导时，如果函数的导数是两个函数的导数的乘积再加上其中一个函数乘以另一个函数的导数，那么函数原本就是两个函数的乘积。

- 公式5：求导前的函数是两个函数的商，导数是这两个函数的导数的差再除以第二个函数的平方。

反向求导时，如果函数的导数是这两个函数的导数的差再除以第二个函数的平方，那么函数原本就是两个函数的商。

3. 反向求导与复合函数的关系：- 公式6：如果已知函数f(x) = g(h(x))，那么反向求导时，可以使用链式法则，将导数f'(x)表示为g'(h(x)) * h'(x)。

这些公式是反向求导的基本工具，通过这些公式可以帮助我们求出原函数。

在实际应用中，我们常常根据具体的函数形式和导数的特点，灵活运用这些公式来求解问题。

总结起来，反向求导就是通过已知导数求出原函数的过程。

通过应用一些常用的反向求导公式，我们可以更加方便地求解原函数。

求不定积分的几种基本方法

求不定积分的几种基本方法不定积分是求函数的原函数的过程，也就是求导的逆过程。

下面介绍几种基本的求不定积分的方法：1.直接积分法：直接应用不定积分的定义，逐项求积即可。

这个方法适用于具备初等函数原函数的情况，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 分部积分法：适用于积分项为两个函数的乘积时，将其转化为一个函数的导数和另一个函数的不定积分的积的形式进行求解。

分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du，选择不同的u和dv，通过反复应用该公式，可以将原积分项转化为更简单的形式。

3.换元积分法：也称为代换积分法，适用于积分项中含有复杂的函数形式时，通过建立合适的替代变量，将原积分转化为简单的形式。

换元积分法的核心思想是对积分变量进行代换，一般采用的代换方法有三角代换、指数代换、倒代换等。

换元积分法的关键是选取合适的代换变量，使得原积分转化为更容易求解的形式。

4.幂函数积分法：当积分项中含有形如x^n（n是常数）的幂函数时，可以利用幂函数的积分性质求解。

幂函数积分法是直接求解幂函数不定积分的方法，通过对幂函数的不定积分公式进行推导，得到幂函数积分的一般公式。

5.三角函数积分法：当积分项中含有三角函数时，可以利用三角函数的积分性质求解。

三角函数积分法是根据三角函数的不定积分公式进行求解，通过对三角函数的积分公式进行推导，得到不同三角函数的不定积分形式。

6.无穷级数展开法：对于一些特殊的函数，可以通过将其展开为无穷级数的形式，然后对无穷级数逐项求积分来求解原函数。

以上是一些常见的不定积分的基本方法。

在实际求解过程中，还可以结合不同的方法灵活应用，选择最适合的方法求解不定积分。

同时，需要注意积分常数的添加和积分区间的确定，以保证求解结果的正确性。

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解：设 F(x)
g(x) ex
f
(
x) ex
1
则
F
'
(
x)
g'(x)ex g(x)ex e2x
0
F ( x)在R上单调递增
由
f (x) 2019 e x
1得
f
(
x) ex
1
2019
，又
F
(0)
f
(0) e0
1
2019
不等式为 F(x) F(0) x 0 不等式解集为(0, )
课堂练习
1.设函数 f (x) 的导函数为 f ' (x) ，且在 R 上 2 f (x) xf ' (x) 0 恒成立，则 f (1) ， 2019 f ( 2019) ，2020 f ( 2020) 的大小关系为 2. f (x) 是定义在 R 上的函数，其导数为 f ' (x) ，且满足 f ' (x) 2 f (x) ，则有（） A. e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) B。 e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) C. e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) D. e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) 3.设 f (x) 是定义在 R 上的函数，其导函数为 f ' (x) ，若 f (x) f ' (x) 1 ，且 f (0) 2019则不等式 ex f (x) ex 2018 的解集为
F (x)在（- ，0）上单调递减，在（0，）上单调递增
F（x） F(0) 即 x2 f (x) 1 x4 0
4
x2 f (x) 1 x4 0 f (x) 0 4
由 2 f (x) xf ' (x) x 2 得 f (0) 0
f (x) 0 故选 A
应用举例
变式 2：定义在 R 上的函数 f (x) ，其导函数为 f ' (x) ，若 f (x) f ' (x) 1 ， f (0) 2020，则不等式 f (x) 2019 e x 1的解集为
2 f (x) xf ' (x) x 2 0
当x 0时, F ' (x) 0; 当x 0时, F ' (x) 0;
F(x)在（- ，0）上单调递减，在（0，）上单调递增
F（x） F(0) 即 x2 f (x) 0
f (x) 0
由 2 f (x) xf ' (x) x 2 得 f (0) 0
xf
'(x) nf x n1
(x)
f '(x)enx nenx f (x) enx[ f '(x) nf (x)]
e2nx
e2nx
f '(x) nf (x) enx
逆用求导公式探求原函数
3.观察特征： [xn f (x)]' xf ' (x) nf (x)
[enx f (x)]' f ' (x) nf (x)
2.设 f (x), g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x 0 时，f (x)g(x) f (x)g(x) 0,
且 g(3) 0, 则不等式 f (x)g(x) 0 的解集是（） A． (3,0) (3,) B． (3,0) (0,3) C．(,3) (3,) D．(,3) (0,3) 3. f (x) 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足 xf ' (x) f (x) 0 ,对任意正数 a、b,
求导公式的逆用
逆用求导公式探求原函数
1.构造原函数知识准备
（2）导数的运算法则
[ f (x) g(x)]' f ' (x) g ' (x)
[ f (x)g(x)]' f ' (x)g(x) f (x)g ' (x)
[ f (x)]' f ' (x)g(x) f (x)g ' (x)
g(x)
2 f (x) xf ' (x) x2 ，则下列不等式在 R 上恒成立的是（）
A. f (x) 0
B. f (x) 0
C. f (x) 1
D. f (x) 1
解法 1：设 F (x) x 2 f (x) 则F '(x) 2xf (x) x2 f ' (x) = x[2 f (x) xf ' (x)]
课后作业
必做题
1. 设函数 f ' (x) 是奇函数 f (x)(x R) 的导函数， f (1) 0 ，当 x 0 时， x f' ( x) f( x) ，0则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是（）
A．(, 1) (0,1) B．(1, 0) (1, ) C．(, 1) (1, 0) D．(0,1) (1, )
当x 0时, F ' (x) 0; 当x 0时, F ' (x) 0;
F (x)在（- ，0）上单调递增，在（0，）上单调递减
F(x) F(0) 即 x 2[ f (x) 1] 0
f (x) 1
应用举例
变式 1. 已知定义在 R 上的函数 f x ，其导函数为 f ' x ，且满足
若 a＜b，则必有（） A.af (b) bf (a) B.bf (a) af (b) C.af (a) f (b) D.bf (b) f (a)
4.函数 f (x) 的定义域为 R ， f (1) 2 ，对任意 x R ， f (x) 2 ，则 f (x) 2x 4 的解集
为（） A（ 1，1） B（ 1，+ ） C（， 1） D（，+ ）
A. f (x) 0
B. f (x) 0
C. f (x) 1
D. f (x) 1
析：由 2 f (x) xf ' (x) 2 得 2 f (x) xf ' (x) - 2 0
结构式 2xf (x) x 2 f ' (x) - 2x
解：构造 F (x) x 2 f (x) x 2 则 F ' (x) 2xf (x) x 2 f ' (x) - 2x x[2 f (x) xf ' (x) - 2]
F（x） f (x) C e nx
逆用求导公式探求原函数
5.模型训练题设条件式尝试构造原函数
xf ' (x) 3 f (x)
F（x） x3 f (x) C
f (x) - x f ' (x) 2
f '(x) 1 f (x) 2
F（x） f (x) C x2
x
F（x） e 2 f (x) C
[g(x)]2
（3）复合函数求导
y f (g(x))
令u g(x)
y f (u)
则y
' x
yu'
u
' x
逆用求导公式探求原函数
2.两类构造原函数常用运算
[
f
(x) xn
]'
[
f (x) enx
]'
f '(x)xn nxn1 f (x) x2n
x n 1[ xf
'(x) nf x2n
( x)]
D. f (4) e4 f (0)
2. 设 f (x) 是定义在 (0, ) 上的函数，其导函数为 f '(x) ， xf '(x) f (x) ln x 且 x
f (e) 1 ，则不等式 f (x) e x 1 的解集是
e
e
谢谢！
23
b 0 ，c
3 f ( 7 ) ,则
26
7 .已知定义在
上的函数 ,满足
；
其中是
的导函数,e 是自然对数的底数 ,则 f (1) 的范围为_________ f (2)
8.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x
时，
,若
,则 a,b,c 的大小关系是( )
A a>b>c B c>b>a C c>a>b
4 f (x) - 2 f ' (x)
F（x）
f (x) e2x
C
当原条件结构式不标准时，可通过同
乘或除一个量转化（不考虑符号问题）
应用举例
例 2. 已知定义在 R 上的函数 f x ，其导函数为 f ' x ，且满足
2 f (x) xf ' (x) 2 ，则下列不等式在 R 上恒成立的是（）
f (x) 0 故选 A
应用举例
变式 1. 已知定义在 R 上的函数 f x ，其导函数为 f ' x ，且满足
2 f (x) xf ' (x) x2 ，则下列不等式在 R 上恒成立的是（）
A. f (x) 0
B. f (x) 0
C. f (x) 1
D. f (x) 1
解法 2：分析：由 2 f (x) xf ' (x) x 2 0 得结构式2xf (x) x 2 f ' (x) x3
设 F (x) x 2 f (x) 1 x 4 则 F‘ (x) 2xf (x) x 2 f ' (x) x3 = x[2 f (x) xf ' (x) x 2 ]
4
由 2 f (x) xf ' (x) x 2 得2 f (x) xf ' (x) x 2 0
当x 0时, F ' (x) 0; 当x 0时, F ' (x) 0;