广西柳州铁一中高二数学5月月考试题 理 新人教A版
广西南宁市第三中学、柳州铁一中学17—18学年上学期高二第三次月考数学(理)试题(附答案)
柳州铁一中学、南宁三中高二上学期联考理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列{}n a 的公差为2，且1124n a a -=+，则n =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．152．已知集合{}032|2<--∈=x x R x A ，{}m x R x B <<-∈=1|，若A x ∈是B x ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．),3(+∞B ．)3,1(-C ．),3[+∞D ．]3,1(-3．下列函数中，既是偶函数又在区间),0(+∞上单调递减的是（ ）A ．3x y = B ．||ln x y =C ．)2sin(x y -=πD ．12--=x y4．向量,a b 满足()()3,2,22a b a b a b ==-⋅+=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．23π B ．3π C ．56π D ．6π 5．以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为8.16,则y x ,的值分别为（ ） A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，86．已知角α的终边过点(8,6sin30)oP m --，且54cos -=α，则m 的值为( ) A ．21B. 21-C ．23-D.23 7．已知抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为5，则PFO ∆的面积为( ) A ． 1B. 2 C ． 3D. 48．已知实数,x y 满足121y y x x y m≤⎧⎪≥-⎨+≥⎪⎩，如果目标函数y x z -=的最小值为2-，则实数m 等于（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．19．已知x b x a x f cos sin )(-=若)4()4(x f x f +=-ππ，则直线0=+-c by ax 的倾斜角为（ ）A ．4πB ．3π C.32π D.43π 10．某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ） A ．34B ．38C ．4D ．811．已知点12,F F 分别为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，12,e e 分别是1C 和2C 的离心率，若P是1C 和2C 在第一象限内交点，221π=∠PF F ,则2111e e +的值可能在下列哪个区间（ ） A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)4,3(D ．)5,4(12．若实数,x y 满足0x y >>，且1412x y x y+=-+，则x y +的最小值为（ ） A ．3234+ B ．3256+C ．3246+ D ．3249+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．只填结果） 13．曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________. 14，则它的外接球的体积为 .15．直线12-=x y 与双曲线14822=-y x 交于B A ,两点，则AB 的中点坐标为 . 16．已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 和2F 是左、右两焦点，由2F 向21MF F ∠的外角平分线作垂线，垂足为N ，则N 点的轨迹方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本题满分10分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
高二数学月考卷1
高二数学月考卷1一、选择题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = (x² 1)/(x 1)的定义域是（）A. RB. {x | x ≠ 1}C. {x | x ≠ 0}D. {x | x ≠ 1}2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则2a 3b = （）A. (8, 1)B. (8, 1)C. (8, 1)D. (8, 1)3. 二项式展开式(x + y)⁵中x²y³的系数是（）A. 5B. 10C. 20D. 304. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，a3 = 9，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 65. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. y = x上D. y = x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是实数。
（）2. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）3. 两条平行线上的任意一对对应线段比例相等。
（）4. 双曲线的渐近线一定经过原点。
（）5. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x) > 0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若log₂x = 3，则x = ______。
2. 若等差数列{an}中，a4 = 8，a7 = 19，则a10 = ______。
3. 圆的标准方程(x h)² + (y k)² = r²中，(h, k)表示圆的______。
4. 若sinθ = 1/2，且θ是第二象限的角，则cosθ = ______。
5. 矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式|A| = ______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述矩阵乘法的定义。
2. 请解释什么是反函数。
3. 简述等差数列的通项公式。
4. 请说明直线的斜率的意义。
5. 简述三角函数的周期性。
广西柳州铁一中学2023-2024学年下学期高一五月月考数学试题(含答案)
柳州铁一中2023-2024学年第二学期高一年级5月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知集合，则A．B．C．D．2．已知函数，则等于（）A．B．C．D．3．已知，则（）A．B．C．D．4．已知平面向量，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．5．函数的部分图像大致是（）A．B．C．D．6．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设, , 则，当且仅当时等号成立，根据权方和不等式，函数的最小值为（）A．16B．25C．36D．497．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数. 人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：；述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数. 已知，给氧1小时后，血氧饱和度为. 若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：）A．0.3B．0.5C．0.7D．0.98．设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，当时，. 若在在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题正确的是（）A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是B．设，则“且”是“”的必要不充分条件C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“”是假命题的实数的取值范围为10．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰三角形C．若，则有两解D．在中，若，则必是等边三角形11．在如图所示的三棱锥中，两两互相垂直，下列结论正确的为（）A．直线与平面所成的角为B．二面角的正切值为C．到面的距离D．作平面，垂足为，则为的重心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高二第二学期月考数学试卷理科及答案
高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。
人教a版选修1-1综合质量评估数学试卷有答案-(高二)
人教a版选修1-1综合质量评估数学试卷有答案-(高二)综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使-x0+1>0C.∃x0∈R,使-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a 等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,3)C.[0,3]D.[1,3]【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f′(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C. D.【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为-y2=1,设点P(x0,y0)(x0≥),则有-=1(x0≥),解得=-1 (x0≥),因为=(x0+2,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+2)+=x0(x0+2)+-1=+2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-,因为x0≥,所以当x0=时,·取得最小值×3+2-1=3+2,故·的取值范围是[3+2,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是.【解析】因为f′(x)=,所以f′(e)=,又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x.答案:y=x14.若命题“∃x0∈R,a+x0+1<0”是假命题,则a的取值范围是.【解析】因为∃x0∈R,a+x0+1<0是假命题,所以∀x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0,命题成立.当a≠0时,即所以a≥,所以a的取值范围为a≥或a=0.答案:a≥或a=015.(2016·临沂高二检测)若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k= . 【解析】设切点坐标为(x0,y0).因为y=lnx,所以y′=.所以f′(x0)==k.因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,所以把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.所以k==.答案:16.(2016·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ,b= .【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.答案:1 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·西安高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,若p真,由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,所以-2<a<2.若q真,即函数f(x)=(3-2a)x是增函数,则3-2a>1,所以a<1.又由于p或q为真,p且q为假,所以p和q一真一假,(1)若p真q假,则所以1≤a<2.(2)若p假q真,则所以a≤-2.综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).【补偿训练】已知p:f(x)=x+在区间 [1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若“p∨q”为真,求实数a的取值范围.【解析】若p真,f′(x)=1-.因为f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数,则f′(x)=1-≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x2在[1,+∞)上恒成立,所以a≤(x2)min,所以a≤1.p:A={a|a≤1}.若q真,f′(x)=3x2+2ax+3.要使得f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值,则f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,Δ=4a2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3.q:B={a|a<-3或a>3}.因为“p∨q”为真,所以A∪B={a|a≤1或a>3}.所以所求实数a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解. 即方程3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得b≤.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立.所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m 的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),令f′(x)≥0,得a≤x≤3a,令f′(x)≤0,得x≥3a或x≤a,所以f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以f(x)在x=a处取得极小值,在x=3a处取得极大值.由已知有即解得所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+2x2-3x-1.(2)由(1)知f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,则必须有解得实数a的取值范围为.21.(12分)(2016·南阳高二检测)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F 的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若·=1,求直线l的斜率.(2)求∠ATF的最大值.【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),当直线l与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时·=(2,2)·(2,-2)=0,这与·=1矛盾. 故直线l与x轴不垂直.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-1). ①将①代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).。
广西柳州铁一中学2023-2024下学期高一五月月考英语试题(含答案,含听力原文,无音频)
柳铁一中2023—2024学年第二学期高一年级5月月考英语科试卷第一部分听力（共两节，满分30分）回答听力部分时，请先将答案标在试卷上，听力部分结束前，你将有两分钟时间将你的答案转涂到客观题答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What programs does the woman prefer?A．Talk shows.B．Sports programs.C．Cooking programs.2．What does the woman ask the man to do?A．Have dinner.B．Pick up a gift.C．Look at a piece of jewelry.3．What does the man usually take with him on vacation?A．A suitcase.B．A backpack.C．A sports bag.4．How does Anna feel about chemistry?A．Hopeless.B．Confident.C．Worried.5．Why did the man choose the guitar?A．He needs a cheap instrument.B．He wants to be like his friends.C．He thinks it is cool to play the guitar.第二节（共15小题，每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
2019-2020年高二上学期第一次月考数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则等于（）A．B．C．D．2.不等式的解集是（）A．B．C．D．3. 与的等比中项是（）A．1 B．-1 C．D．4.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：（）根据上表中的数据可以求得线性回归方程中的为6．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为：（）A．66.8万元B．67.6万元C．66.4万元D．66.2万元5.已知是空间中两不同直线，是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（）A．若直线，则B．若平面，则C．若，则D．若平面，，则6.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99．依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为一，二，三，…，十．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码是个位数字与的个位数字相同，若，则在第七组中抽取的号码是（）A．66 B．65 C．64 D．637.设是定义在上的偶函数，则的解集为（）A．B．C．D．8.已知，且，则下列不等式不正确的是（）A．B．C．D．9.函数的大致图象是（）A．B．C．D．10.如图是计算的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．11.若正数满足，则的最小值是（）A．24 B．25 C．28 D．3012.三棱锥三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．13. ，点在内，且，设，则等于（）A．B．C．D．314.已知不等式组表示的平面区域内为，点．若点是上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．15.已知为锐角，且，函数，数列的首项，则有（）A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.已知直线()12:20,:210l ax y a l a x ay a -+=-++=互相垂直，则的值是___________．17.在中，若，则的值等于___________．18.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为___________．19.将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是_________．20.设变量满足约束条件且目标函数的最大值是4，则等于________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.（本小题满分10分）在中，角的对边分别为，且成等差数列．（1）若，求的面积；（2）若成等比数列，试判断的形状．22.（本小题满分12分）设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列的前项和．（1）求证：数列是等差数列；（2）若数列的前项和为，求．23. （本小题满分12分）在如图所示的四棱锥，四边形为正方形，平面，且分别为的中点，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．24. （本小题满分12分）已知不等式的解集为．（1）求集合；（2）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．25．（本小题满分12分）已知圆和圆．（1）判断圆和圆的位置关系；（2）过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程；（结果必须写成一般式）；（3）过圆的圆心作动直线交圆于两点．试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．26．（本小题满分12分）已知函数（为常数）为上的奇函数．（1）求实数的值；（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围．参考答案A 卷： 1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 6. A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12. B 13.B 14.C 15.AB 卷：1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.B 15.C16. 0或1 17. 18． 19． 20．21．解：∵成等差数列，可得．∴结合，可得．（1）∵，∴由正弦定理，得．∵，可得，∴为锐角，得，从而．因此，的面积为．（2）∵成等比数列，即，∴由正弦定理，得，又∵根据余弦定理，得，∴，整理得，可得，∵，∴，可得为等边三角形．当时，，∴，又，∴，所以，数列是以3为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）知，，∴，设；∵，∴∴， ∴12311111111223111n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭23．证明：（1）连结，分别交于点，连结，∵为中点，为中点，∴，又，∴为中点，又，∴为的中点，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）解：∵平面，∴，又，∴平面，由图可知，二面角为钝角，∴二面角的余弦值 为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．解：（1）()()222102210x x x x x <-⎧++-<⇒⎨-+--<⎩或或，∴ （2）∵，∴，∵()1444919363793723625x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--+=-+≤-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴，由题可得，，∴．25．解：（1）因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以圆和圆的圆心距，所以圆与圆相离，（2）设切线的方程为：，即，所以到的距离，解得，所以切线的方程为或，（3）①当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，此时直线与圆的交点为，即为圆的直径，而点在圆上，即圆也是满足题意的圆②当直线的斜率存在时，设直线，由，消去整理，得，由，得或，设，则有，①由①得()()()22121212122164444161k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=+，② ()121212284481y y kx kx k x x k+=+++=++=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③ 若存在以为直径的圆经过点，则，所以，因此，即，则，所以，满足题意， 此时以为直径的圆的方程为()()22121212120x y x x x y y y x x y y +-+-+++=， 即，亦即，综上，在以为直径的所有圆中，存在圆或，使得圆经过点．26．解：（1）由题意知，即，所以，此时，而，所以为奇函数，故为所求；（2）由（1）知，因为，所以，故恒成立等价于恒成立，因为，所以只需，即可使原不等式恒成立，故的取值范围是．（3）由题意，化简得，方程，即有唯一实数解，令，则，即等价为有一个正根或两个相等正根，设，则满足或由，得，即，当时，，满足题意由得，综上，的取值范围为或． .。
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全册综合检测A 卷——基本知能盘查卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是( ) A ．380 B ．29 C ．32 D ．23解析：选A 令380＝n (n ＋1)，即n 2＋n －380＝0， 解得n ＝19或n ＝－20(舍去)， 所以380是{n (n ＋1)}的第19项． 同理，可检验B 、C 、D 不是该数列中的项．2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x，所以y ′| x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于( ) A ．－5 B ．－3 C ．5 D ．3解析：选C 由题意可得，S 4S 2＝a 1[1－－24]1－－2a 1[1－－22]1－－2＝1＋(－2)2＝5. 4．若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．e 解析：选C f ′(x )＝a e x－cos x ，若函数f (x )＝a e x－sin x 在x ＝0处有极值， 则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1， 经检验a ＝1符合题意，故选C.5．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )解析：选D 由函数y ＝f (x )的图象知，当x <0时，f (x )单调递减；当x >0时，f (x )先递增，再递减，最后再递增，分析知y ＝f ′(x )的图象可能为D.6．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36D ．81解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，q 2a 1＋a 2＝9，∴q 2＝9.∵a n >0，∴q ＝3，∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27.故选B.7．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不单调，则f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3解析：选A 由题意，得f ′(x )＝(x －b )(x －2)． 因为f (x )在区间[－3,1]上不单调，所以－3<b <1. 由f ′(x )>0，得x >2或x <b ； 由f ′(x )<0，得b <x <2，所以f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.故选A.8．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：选C 设容器的高为x cm ，容器的体积为V (x ) cm 3，则容器的长为(90－2x ) cm ，宽为(48－2x ) cm ，所以容器的体积V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0＜x ＜24)，V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝12(x 2－46x ＋360)．由V ′(x )＞0，得0＜x ＜10；由V ′(x )＜0，得10＜x ＜24，所以V (x )在(0,10)上单调递增，在(10,24)上单调递减，故容器的体积V (x )最大时，该容器的高为10 cm.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，则下列命题中正确的是( )A ．若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B ．若S 4＝S 12，则使S n ＞0的n 的最大值为15C ．若S 15＞0，S 16＜0，则{S n }中S 8最大D ．若S 7＜S 8，则S 8＜S 9解析：选BC 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝a 1＋a 10×102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1＞0，则a 8＞0，a 9＜0，则有S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＝0，故使S n ＞0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15＞0，S 16＜0，则S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8＞0，S 16＝16a 1＋a 162＝16a 8＋a 92＜0，则有a 8＞0，a 9＜0，则{S n }中S 8最大，C 正确；对于D ，若S 7＜S 8，即a 8＝S 8－S 7＞0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误．故选B 、C.10．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝2为f (x )的极小值点C ．f (x )的最大值为1＋ln 2D ．f (x )的最小值为1＋ln 2 解析：选BD ∵f (x )＝2x＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x ＞0)，由f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， ∴x ＝2为f (x )的极小值点，f (x )无极大值点， 且f (x )的极小值也是最小值，为1＋ln 2，无最大值． 故选B 、D.11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，都有S n≥S 3，则a 6a 5的值可能为( )A ．2B ．53 C.32 D ．43解析：选ABC 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 1≥S 3，S 2≥S 3，S 4≥S 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1≥3a 1＋3×22d ，2a 1＋d ≥3a 1＋3×22d ，4a 1＋4×32d ≥3a 1＋3×22d ，∴－3d ≤a 1≤－2d (d ＞0)， ∴代入选项知，当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝2时，a 1＝－3d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝53时，a 1＝－52d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5d a 1＋4d ＝32时，a 1＝－2d 成立；当a 6a 5＝a 1＋5da 1＋4d＝43时，a 1＝－d 不成立．故选A 、B 、C. 12．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC 对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x .令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x .若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x.令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥214．函数f (x )＝x －a ln x (a >0)的极小值为________． 解析：因为f (x )＝x －a ln x (a >0)，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax(a >0)． 由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a . 答案：a －a ln a15．曲线y ＝sin x x在点M (π，0)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝cos x ·x －sin xx 2，所以所求切线的斜率为k ＝y ′| x ＝π＝πcos π－sin ππ2＝－1π.由于切点坐标为(π，0)，故切线方程为y ＝－1π(x －π)， 即x ＋πy －π＝0. 答案：x ＋πy －π＝016．数列{a n }的前n 项和S n 满足a 2＝2，S n ＝12n 2＋An ，则A ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.解析：∵a 2＝S 2－S 1＝(2＋2A )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋A ＝2，∴A ＝12.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12＋12n －1＝n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：12 nn ＋1四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－n ＋1a n n n ＋1＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n2－n .18．(12分)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2e ＋2，f ′2＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1，所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．所以g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值． 所以g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)． 所以f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间． 19．(12分)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8， 又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 4＝a 1q 3得q ＝2， 故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，n ∈N *.(2)S n ＝a 11－q n 1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1 ＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1，n ∈N *. 20．(12分)已知函数f (x )＝1＋1x ＋ln x ＋ln x x.(1)判断函数f (x )的单调性；(2)记g (x )＝2ex －1x e x ＋1，试证明：当x >1时，f (x )>(e ＋1)g (x )．解：(1)由题意，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －ln xx 2.令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x.当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， 当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，∴φ(x )≥φ(1)＝1>0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知f (x )为(0，＋∞)上的增函数， 故当x >1时，f (x )>f (1)＝2，故f xe ＋1>2e ＋1. g ′(x )＝2ex －1x e x ＋1－x e x ＋1′·e x －1x e x ＋12＝2ex －11－e x x e x＋12.∵x >1，∴1－e x<0，∴g ′(x )<0， 即g (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴当x >1时，g (x )<g (1)＝2e ＋1.∴f xe ＋1>2e ＋1>g (x )，即f (x )>(e ＋1)g (x )． 21．(12分)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a2，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)， 则a n ＝a 1qn －1，且a n ＞0.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q q ＋1＝2q ＋1，a 21q5q ＋1＝32q ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1＞0，q ＞0，∴a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1，∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n－14－1＋nn －12＝4n－13＋n n －12.22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R.(1)证明：ln x ≤x －1；(2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数． 解：(1)证明：令g (x )＝ln x －x ＋1(x ＞0)， 则g (1)＝0，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，∴当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减． ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1.(2)f ′(x )＝1x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x，x ＞0.令－2x 2＋ax ＋1＝0， 解得x 0＝a ＋a 2＋84(负值舍去)，在(0，x 0)上，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，在(x 0，＋∞)上，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f (x 0)．当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1.当a ＞1时，f (1)＝a －1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a －14a 2＋12＜12a －1－14a 2＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －122－14＜0，f (2a )＝ln 2a －2a 2＜2a －1－2a 2＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －122－12＜0. ∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1和区间(1,2a )上各有一个零点． 综上可得，当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1； 当a ＞1时，函数f (x )有两个零点．B 卷——高考能力达标卷 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }为等比数列且a n >0，a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20解析：选A 由等比数列的性质知a 2·a 4＝a 23，a 4·a 6＝a 25，所以a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25.又a n >0，所以a 3＋a 5>0，所以a 3＋a 5＝5.2．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174 D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝1时，f (x )取得最小值，且最小值为f (1)＝3.3．已知{a n }是等比数列，a 4·a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1解析：选 B 根据等比数列的性质可得a 4·a 7＝a 3·a 8＝－512.又a 3＋a 8＝124，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.因为公比为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－4，a 8＝128，所以q 5＝a 8a 3＝－32，所以q ＝－2.4．设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－6解析：选 B ∵f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＝(x 2－3kx )(x 2＋3kx ＋2k 2)，∴f ′(x )＝(2x －3k )(x 2＋3kx ＋2k 2)＋(x 2－3kx )(2x ＋3k )，∴f ′(0)＝－3k ×2k 2＝－6k 3＝6，解得k ＝－1.故选B.5．设曲线y ＝ln xx ＋1在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选 A 由题意得，y ′＝ln x ′x ＋1－ln xx ＋1′x ＋12＝1＋1x －ln x x ＋12(x >0)．∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴2－ln 14＝－a ，解得a ＝－12，故选A. 6．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916D ．378解析：选B 设数列{a n }的公比为q ，由题意可知，q >1， 且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3， 即2×(6＋2)＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝12舍去，则a 1＝62＝3， ∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×1－261－2＝189.7．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．184解析：选D 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.8．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(1，＋∞) 解析：选B 构造函数y ＝xf (x )，x ∈(0，＋∞)， 则y ′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，所以函数y ＝xf (x )的图象在(0，＋∞)上单调递减． 又因为f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)， 所以(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)， 所以x ＋1＜x 2－1，解得x ＞2或x ＜－1(舍去)．所以不等式f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)的解集是(2，＋∞)．故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则下列说法正确的是( )A ．a 1＞0B ．q ＞0 C.a 3a 2＝3或－1D ．a 6a 4＝9解析：选ABD 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q .因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 1＞0，且q ＞0，故A 、B 正确；由q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍)，所以a 3a 2＝q ＝3，a 6a 4＝q 2＝9，故C 错误，D 正确，故选A 、B 、D.10．设函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增 B ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减C ．若b ＝－6，则函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10D ．若b ＝0，则函数f (x )的图象与直线y ＝10有三个公共点解析：选CD 对于选项A ，B ，根据函数f (x )＝x 3－12x ＋b ，可得f ′(x )＝3x 2－12.令3x 2－12＝0，得x ＝－2或x ＝2，故函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A ，B 都不正确；对于选项C ，当b ＝－6时，f ′(－2)＝0，f (－2)＝10，故函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10，选项C 正确；对于选项D ，当b ＝0时，f (x )的极大值为f (－2)＝16，极小值为f (2)＝－16，故直线y ＝10与函数f (x )的图象有三个公共点，选项D 正确．故选C 、D.11．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7解析：选AD ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1，a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1，a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．故选A 、D.12．已知函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点，则下列选项正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋x 0<0D ．f (x 0)＋x 0>0解析：选AC 因为f (x )＝x ln x ＋12x 2，所以f ′(x )＝ln x ＋1＋x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e >0，又当x →0时，f ′(x )→－∞，所以0<x 0<1e ，故A 正确，B 错误；f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 0＋1＝x 0ln x 0＋x 0＋1－12x 0＝－12x 20<0，故C 正确，D 错误．综上所述，选A 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析：将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111.答案：11114．已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝________，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧f1－x －2f x ＝x 2－1，f x －2f 1－x ＝1－x2－1，解得f (x )＝－x 2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0.答案：－1 8x －3y ＋5＝015．已知函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：2116．函数f (x )＝e x(x －a e x)恰有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝e x(x －a e x)， ∴f ′(x )＝(x ＋1－2a e x)e x . ∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根． 令x ＋1－2a e x＝0，且a ≠0， ∴x ＋12a＝e x. 设y 1＝x ＋12a(a ≠0)， y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a ＞1，解得0＜a ＜12，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知等差数列{a n }单调递减，且a 3＝1，a 2a 4＝34.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a 1a n }是否为等差数列．若是，求出公差；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意知，a 2＋a 4＝2a 3＝2. 又a 2a 4＝34，数列{a n }单调递减，∴a 4＝12，a 2＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝－12，a 1＝a 2－d ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12n ＋52. (2)由(1)知a 1a n ＝2a n ，则当n ≥2时，2a n －2a n －1＝2(a n －a n －1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.当n ＝1时，2a 1＝4，∴数列{a 1a n }是首项为4，公差为－1的等差数列．18．(12分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋b x2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.19．(12分)在①q ·d ＝1，②a 2＋b 3＝0，③S 2＝T 2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．若S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和，T n 是公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和，________，a 1＝1，S 5＝25，a 2＝b 2，是否存在正数λ，使得λ|T n |＜12?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：∵S 5＝25＝5a 3，∴a 3＝5，∴a 2＝a 1＋a 32＝1＋52＝3，∴b 2＝a 2＝3.∴d ＝a 2－a 1＝3－1＝2.若选①，∵q ·d ＝1，∴q ＝1d ＝12，∴b 1＝3×2＝6，∴T n ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .由λ|T n |＜12得λ≤1，又λ＞0，∴λ的取值范围为(0,1]． 若选②，∵a 2＋b 3＝0，∴b 3＝－a 2＝－3， ∴q ＝－1，b 1＝－3，∴当n 为偶数时，T n ＝0，则λ＞0；当n 为奇数时，T n ＝－3，由λ|T n |＜12得λ＜4. 综上，λ的取值范围为(0,4)．若选③，由S 2＝T 2得b 1＝a 1＋a 2－b 2＝1＋3－3＝1，∴q ＝b 2b 1＝3，∴T n ＝1－3n 1－3＝3n－12.∵T n 单调递增，没有最大值， ∴不存在正数λ，使λ|T n |＜12.20．(12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln(x ＋b )，a >0，b >0.已知投资额为0时收益为0.(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益．解：(1)由投资额为0时收益为0， 可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)． 设投入经销B 商品的资金为x 万元(0≤x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元． 设所获得的收益为S (x )万元，则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0≤x ≤5)．x ＋1当0≤x <2时，S ′(x )>0，函数S (x )单调递增； 当2<x ≤5时，S ′(x )<0，函数S (x )单调递减． 所以当x ＝2时，函数S (x )取得极大值，也是最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6(万元)．当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时，可获得最大收益，收益的最大值为6ln 3＋6万元．21．(12分)已知等差数列{a n }是单调增数列，且a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3a n ＋13a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＝8，a 2a 3＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，a 3＝3.又等差数列{a n }是单调增数列， 所以a 2<a 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝5，所以d ＝a 3－a 2＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3＋2(n －2)＝2n －1.(2)由(1)可得b n ＝3a n ＋13a n ＝32n －1＋13·(2n －1)，所以S n ＝(3＋33＋35＋…＋32n －1)＋13[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝31－9n1－9＋13·n 1＋2n －12＝32n ＋18＋n 23－38.22．(12分)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R)． (1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，则k ＝f ′(1)＝2.∵f (1)＝1，∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)由题意得，g (x )＝2ln x －x 2＋m ， 则g ′(x )＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x.⎣⎦e 当1e ≤x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当1<x ≤e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有最大值g (1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2， ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.。
广西柳州铁一中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题
广西柳州铁一中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A ．2B ．38．二次函数(2y ax bx c a =++①0abc <；②方程2ax bx c ++是抛物线上的两点，那么1y <()m am b a b +≥+，其中正确结论的个数是（A ．5B ．4C ．3D ．2．．C ．．．下列说法正确的是（）．方程2y y =的解是1y =．方程210x x -+=的两个实数根之积为．以1-、2两数为根的一元二次方程可记为：220x x --=．一元二次方程2430x x m ++=的两实数根的平方和为7，则如图，若直线1l ：1y b =+与坐标轴交于)0,1，(),0B m 两点，与直线()1.5,P n ，直线2l 交x 轴于点C ，交轴于点D .则下列结论正确的是（A ．32m =-，2n =25y kx by x =+⎧⎨=-+⎩的解是三、单空题16．如图，正六边形ABCDEF 四、计算题五、证明题18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 在AB 上，DE AE ⊥，O 是Rt ADE △的外接圆，交AC 于点F(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若O 的半径为10，16AC =，求cos EAD ∠.六、应用题19．直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？(2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？七、问答题20．如图（1），抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点()5,0A ，交y 轴于点()0,5B .(1)求b 和c 的值；(2)已知点()11,E x y ，()22,F x y 是抛物线2y x bx c =-++上的两个点，且128x x -=，12y y =，求此抛物线的顶点到EF 的距离；。
2025届广西省南宁二中、柳州高中高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
2025届广西省南宁二中、柳州高中高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．322．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%3．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee - 4．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．5．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．222B ．53C ．1316D ．1136．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A 在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．5B ．52C ．52D ．57．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值8．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥10．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，圆O 是边长为23ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2212．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=，AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．33B ．332C ．3D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新人教A版高一上学期数学第一次月考试卷
新人教A版高一上学期摸底试卷数学试卷(二)A卷考生注憲：1 •本试卷分第I卷(选择題)和第二卷(非选择题)两部分，共150 分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第I卷(选择题共60分)一、单项选择题(每小题5分，共40分〉1.若集合A={xe^v|x<Vlo}^ = 2>/2,!illJ下列结论正确的是【】(A) a^A(B) a^.A(C) A (D) {a}c.A2.己知命题P：3A G N,X2 <0.则命题p的否定为【】(A) H YE N,FW0 (B) HveN,x2 >0(C) VxeN,x2 >0 (D) VxeN,x2 >03.设集合A = {x\Kx<2},B = {x\x<a},若人匸3,则实数o的取值范围是【】(A) {a\a<2}(B) {a\a <l}(C) {a\a>]}(D) {c^a>i\4.己知集合A = {l,3,a},B = {l,d‘-d + l},若3匸4,则实数a= 【](A) -1 (B) 2 (C) -1或 2 (D) 1 或一1 或 25.若实数a,b,c,d满足a>b,c>d,则下列不等式成立的是【】(A) a+c>b+d(B) a—c>b—d(C) ac>bd(D) ^-> —d c6.不等式组$ + § v 5x +1的解集是&卜> i}侧实数m的取值范围是【】[x -m>\(A) [1,+s) (B) (-s,l] (C) [0,+8) (D) (-oo,0]7.若“x>2肿-3”是“_lvxv4”的必要不充分条件，则实数加的取值范围是【】(A) [-1,1] (B) [-1,0] (C) [1,2] (D) [-1,2]8.当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”;当两个集合中有公共元素,但不互为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”对于集合A={-1,*},集合B = {^ax2=l,a>Q},^集合A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为(A) {1} (B) {1,4} (C) {0,1,4} (D) {0,1,2,4}-v多项选择题(每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分)9.己知集合A = {y|y = x:+l}傑合B = {(兀,)为，=/+1},下列关系正确的是【］(A) (1,2)eB (B) A = B(C) O^A(D) (0,0)10.己知那么命题P的一个必要不充分条件是【】(A) OWxvl (B) -1<X<1 (C) 0<x<l (D) x^Q11.己知函数y = x4-丄+ 1(兀<0),则该函数的【】X(A)最小值为3 (B)最大值为3(C)没有最小值(D)最大值为-112.已知关于x的不等式a^+bx + 3>0,关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的结论是【】(A)不等式ax2+bx + 3>0的解集可以是{x\x>3}(B)不等式ax2+bx + ?»0的解集可以是R(C)不等式ax2+bx + 3>0的解集可以是0(D)不等式ax2+bx + 3>0的解集可以是{x\-l<x<3}第II卷非选择题(共90分)三、填空题(每小题5分，共20分)13.己知集合A = {l,a,3},B = {d + 14 + 2,/-1},若3七03),则实数a = __________ .14.已知命题p.a^x^a + l,命题q:x2-4x<0,若p是g成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 _____________ .15.己知命题“m^R,Q，+4x + l>0”是假命题，则实数a的取值范围是______________ .16.__________________________________________________ 己知正实数x,y满足xy^ + 2x+y = 4,则x+y的最小值为_______________________________ .四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)47. <本题満分10分)设集合A = {x\- 3<x<4},B = {x\m -1 < x < 3/n - 2}.(1)当加=3时，求AC\B-(2)若= 求实数加的取值范围.18 •(本题満分12分)己知不等式0^_3卄2>0的解集为{x|xvl或5}.(1)求°上的值;(2)解不等式ax2— (ac + b>)x + be<0.己知 P =側一2<x< 10}，非空集合S = {x|l - m <x <1 + in}.（1）若XG P是xeS的必要条件，求实数加的取值范围；（2）是否存在实数加，使xeP是XE S的充要条件.20」本题满分12分）己知m e R,命题p:对Dx w [0,1],不等式2x -2 M nr - 3/w恒成立;命题q : w [-1,1]，使得m W ax成立.（1）若p为真命题，求实数加的取值范围；（2）当& = 1时,若命题p和命题q有且仅有一个为真,求实数m的取值范围.4（1）己知x<3,求函数y = --- + x的最大值；x-31 3（2）己知x,y eR+,且x + y = 4,求一+ —的最小值.22.（本题满分12分）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2 m,每个长方形平行于墙的边长也不小于2 m.（1）设所用篱笆的总长度为/m,垂直于墙的边长为xm,试用解析式将/表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？。
2024—2025学年广西南宁市第三中五象校区学高二上学期月考数学试卷(一)
2024—2025学年广西南宁市第三中五象校区学高二上学期月考数学试卷（一）一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知两条直线，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（）（参考数据：，）A．B．C．D．(★★) 7. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 在中,内角所对的边分别为，若，，则（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（）A．极差是4B．众数小于平均数C．方差是1.8D．数据的80%分位数为4(★★) 10. 已知，，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（）A．三棱锥的体积为定值B．直线平面C．当时，D．直线与平面所成角的正弦值为三、填空题(★★) 12. 已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ______ ．(★★) 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 _______ .(★★★) 14. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ________ ．四、解答题(★★) 15. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；(2)若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率. (★★★) 16. 如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，．(1)求证：平面平面(2)求直线EC与平面P AC所成角的正弦值．(★★★) 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断并证明在上的单调性；(3)解不等式.(★★★) 18. 已知的内角所对的边分别是.(1)求角；(2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.(★★★★) 19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B 折至点P的位置，得到四棱锥；(1)求证：；(2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；(3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．。
广西柳州铁一中2013届高三第一次月考试题数学理
柳州铁一中学高三年级第一次月考数学（理）科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}R x y y M x ∈==,2，{}R x x y y N ∈==,2，则N M 等于（ ）A. ),0(+∞B. [),0+∞C. {}4,2D. {})16,4(),4,2( 2. 若复数i a Z 3)2(+-=为纯虚数，则a 2log 的值为（ ） A. i B. 1 C.21D. –i 3. 3211lim 1x x x →--的值是（ ）A . 0B .32C . 1D . 不存在 4.在2011年深圳的大运会上，有一个12人的旅游团在某场馆进行合影留恋，他们先站成了前排4人，后排8人的情况，现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排调2人到前排，且这两个人在前排的位置不相邻，则不同的调整方法数是（ ）A ．72B ．280C ．560D ．14405. 向量(2,0),(22cos ,232sin )OA OB θθ==++，向量OA 与向量OB 夹角的范围是A . [0,]4πB . [,]62ππC . 5[,]152ππ D . 5[,]1212ππ 6. 平面α与球O 相交于周长为π2的⊙'O ，A 、B 为⊙'O 上两点，若4π=∠AOB ，且A 、B 两点间的球面距离为42π，则'OO 的长度为（ ） A . 1 B . 2 C . π D . 27. 设1()33xf x =+,则 f (－12)＋f (－11)+ f (－10)+ + f (0)+ + f (11)+ f (12)+ f (13)的值为（ ） A . 3 B . 133 C .2833 D . 13338. 直线047:1=+-y x l 到02:2=-+y x l 的角平分线方程是（ ） A.0730326=+-=-+y x y x 或 B ．0326=++y x C ．073=++y x D ．0326=-+y x9.已知a 为实数，函数x a ax x x f )2()(23-++=的导函数)('x f 是偶函数，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是（ ）A. x y 3-=B. x y 2-=C. x y 3=D. x y 2=10.在二项式n x )21(-的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（ ）A.-960B.960C.1120D.1680 11.已知点F 是抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线C 于A 、B 两点，设FB FA >，则FBFA 的值等于（ ）A.2B.3C.4D.512.设定义域为R 的函数⎩⎨⎧-=12lg )(x x f )2()2(=≠x x ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有5个不同的实数解54321,,,,x x x x x ，则)(54321x x x x x f ++++的值等于（ ）A. 0B. 2lg 2C. 2lg 3D. 1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.不等式12+<-x x 的解集是14.已知数列{}n a 中，)(42,111*+∈+==N n a a a n n ，求通项公式n a = 15.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，则23++x y 的最大值与最小值的和为 16.设R x x ∈21,，常数0>a ，定义运算“⊕”， 22121)(x x x x +=⊕，定义运算“⊗”，22121)(x x x x -=⊗.现有0≥x ，则动点))()(,(a x a x x P ⊗-⊕的轨迹方程是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为c b a ,,，已知3,2π==C c .(1)若ABC ∆面积等于3，求b a ,的值；（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响，已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率为0.12,至少选修一门的概率为0.88,用ξ表示该学生选修课程门数和没有选修门数的乘积.（1）记“函数x x x f ξ+=2)(是R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （2）求ξ的概率分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，C 1C =CB =CA =2，AC ⊥CB ， D 、E 分别是棱C 1C 、B 1C 1的中点， (1) 求二面角B －A 1D －A 的大小；(2) 在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？ 若存在，确定F 的位置并证明结论；若不存在，说明理由．20. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 给出定义在(0，＋∞)上的三个函数：()ln f x x =，2()()g x x af x =-，()h x x a x =-，已知)(x g 在1=x 处取极值.（1）确定函数)(x h 的单调性；（2）求证：当21e x <<时，恒有2()2()f x x f x +<-成立.21. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 满足nn n a a a a 21,3111+==+. (1)数列{}n a 的通项公式； (2)设nn a b 120-=，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式； (3）记n n a c 1=，函数nn x c x c x c x c x f ++++= 33221)(，求证：).(521*∈<⎪⎭⎫ ⎝⎛N n f .高三年级第一次月考数学（理）科试卷 第3页 共4页22. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．） 若F 1、F 2为双曲线C: 22221x y a b-=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 及N (2，3)均在双曲线上，M 在C 的右准线上，且满足111,||||||||OF OPOP OM FO PM OP OM OF OP ⋅⋅==⋅⋅. （1）求双曲线C 的离心率及其方程；（2）设双曲线C 的虚轴端点B 1、B 2（B 1在y 轴的正半轴上），点A,B 在双曲线上，且22B A B B λ=，当110B A B B ⋅=时，求直线AB 的方程.柳州铁一中学高三年级第一次月考数学（理）科答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACBCBADDBCBC二、填空题 13、⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x 14、4251-⨯-n 15、328 16、)0(42≥=y ax y 三、解答题17、解：（1）由余弦定理：422=-+ab b a ……1分又3sin 21==∆C ab S ABC ，所以4=ab ……3分 联立方程组⎩⎨⎧==-+4422ab ab b a ，解得2==b a ……5分（2）由题意：A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++，即A A A B cos sin 2cos sin =当332,334620cos =====b a B A A ，，时，ππ……7分 当a b A B A 2,sin 2sin 0cos ==≠即时，得联立方程组⎩⎨⎧==-+a b ab b a 2422，解得334,332==b a ……9分 所以332sin 21==∆C ab S ABC ……10分18、解：设该生选修甲、乙、丙课程的概率依次为321,,P P P ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--12.0)1)(1)(1(112.0)1(08.0)1)(1(321321321P P P P P P P P P 解得⎪⎩⎪⎨⎧===5.06.04.0321P P P ……3分 （1）依题意，ξ的所有可能取值为0，2ξ=0的意义是：该生选修课程数为3，没选修课程数为0，或选修课程数为0，没选修课程数为3， 故24.05.06.04.0)5.01)(6.01)(4.01()0(=⨯⨯+---==ξP ，……6分而函数x x x f ξ+=2)(是R 上的偶函数时ξ=0， 所以24.0)0()(===ξP A P ……8分（2）由（1）知76.0)0(1)2(==-==ξξP P ……10分 ξ的概率分布列为ξ0 2 P0．240．76其数学期望是：52.176.0224.00)(=⨯+⨯=ξE ……12分 19．解法一： (1) 分别延长AC ，A 1D 交于G ，∵BC ⊥平面ACC 1A 1，过C 作CM ⊥A 1G 于M ，……2分 连结BM ， ∴BM ⊥A 1G ，∴∠GMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角，……4分 平面A 1C 1CA 中，C 1C = CA = 2，D 为C 1C 的中点，∴CG = 2，DC = 1，在Rt △CDG 中，552=CM ，∴tan 5GMB ∠=， ∴二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan ．……6分(2) 在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ，F 为AC 中点……8分 证明如下： ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱， ∴B 1C 1//BC ， ∵由(1)，BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ， ∵F 为AC 中点， ∴C 1F ⊥A 1D ， ∴EF ⊥A 1D ， ……10分同理可证EF ⊥BD ，∴EF ⊥平面A 1BD ，∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面， ∴ 点F 唯一．……12分 解法二：（1）∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱，AC ⊥CB, ∴如图建系C-xyz . ∵C 1C = CB = CA = 2，D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点． C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C 1(0，0，2)， B 1(2，0，2)，A 1(0，2，2)，D(0，0，1)，E(1，0，2)，设平面A 1BD 的一个法向量为(,,)n x y z =, ∵BD = (- 2，0，1)，1(0,2,1)A D =--,∴12020n BD x z n A D y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩， ∴取n = (1，- 1，2) 为平面A 1BD 的一个法向量. 又∵平面A 1DA 的法向量为m= (1，0，0)，∴16cos ,||||66n m n m n m ⋅<>===⋅， ∴二面角B －A 1D －A 的二面角为66arccos．(2) ∵F 在线段AC 上，∴设F(0，y ，0)使得EF ⊥平面A 1BD ，欲使EF ⊥平面A 1BD ， 当且仅当n //FE，∵n= (1，- 1，2)，EF = (1，- y ，2)， ∴y = 1，∴存在唯一一点F(0，1，0)满足条件，即点F 为AC 中点． 20、解：（1）由题设，2()ln g x x a x =-，则()2ag x x x'=-. …………2分 由已知，(1)0g '=，即202a a -=⇒=. …………3分 于是()2h x x x =-，则1'()1h x x =-.由1'()101h x x x=->⇒>，…………5分所以h (x )在(1，+∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数. …………6分（2）当21x e <<时，0ln 2x <<，即0()2f x <<，所以 0)(2>-x f …………8分欲证2()2()f x x f x +<-，只需证[2()]2()x f x f x -<+，即证2(1)()1x f x x ->+.设2(1)2(1)()()ln 11x x x f x x x x ϕ--=-=-++， 则22212(1)2(1)(1)()(1)(1)x x x x x x x x ϕ+---'=-=++.……10分 当21e x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在区间(1，e 2)上为增函数.从而当21e x <<时，()(1)0x ϕϕ>=，即2(1)ln 1x x x ->+，故2()2()f x x f x +<-. ……12分21、解：解：⑴211,21211,21111=-+=+=+=+++nn n n n n n n n a a a a a a a a a 即倒数，分的等差数列，公差为是首项为2231 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a ，122131111+=⨯-+=-+=n n d n a a n ）（）（，∴121+=n a n ……4分⑵），（）（*∈-=+-=-=N n n n a b nn 2191220120 )(2)(,96182)(,95.9,0219111092121n n n n n n b b b s b b b b b b s n n n b b n s n n b +++-=+++-+++=>+-=+=≤<> 时当分时当得由∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=)9(,16218)9(,1822n n n n n n s n ……8分⑶n n f )21()12()21(5213)21(2⨯+++⨯+⨯= ①132)21()12()21()12()21(5)21(3)21(21+⨯++⨯-++⨯+⨯=n n n n f ② ①-②：132)21()12(])21()21()21[(2213)21(21+⨯+-+++⨯=n n n f=112)21()12(211])21(1[)21(223+-⨯+---+n n n=11)21()12()21(123+-⨯+--+n n n ……10分∴521)12()21(5)21(2<⨯+--=-n n n f ……12分 22、解：（1）①由题知：| OF 1|=|PM|=c ，1FOP POM ∠=∠,∴F 1 OMP 是菱形，……1分 ∵由双曲线第一定义：|PF 2| -|PF 1|=2a, |PF 1|=|OF 1|=c ， ∴|PF 2| =2a+c,∴由双曲线第二定义得： e=2||||PF PM =2a c c + ；⇒ e=21e +1 ; ⇒220e e --=;解得e=2或e= -1（舍）；……3分②∵2ce a==，∴c=2a, ∴223b a = 将N （2，3）代入双曲线方程得 224313a a-=，∴23a =,29b = ……5分∴所求双曲线方程为22139x y -= ……6分 （2） 由（1）知1(0,3),B 2(0,3),B -∵22B A B B λ=，∴2B A B 、、三点共线， 即直线AB 过2(0,3),B -∴设直线AB 为y=kx-3, 代入22139x y -=得223)6180k x kx -+-=（，……8分 设11(,),A x y 22(,),B x y 则 12263k x x k +=- ，122183x x k =-；∵110B A B B ⋅=， ∴1212123()90x x y y y y +-++=21212(1)6()360k x x k x x ⇒+-++=；……10分将12x x +和12x x 代入得 5k =±； 检验满足0∆>，∴AB 直线方程为53y x =±- ……12分。
广西柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
广西柳州铁一中学2024-2025 学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．复数(62i)(15i)+-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．ABC V 中，“A 为锐角”是“sin 0A >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,l m l m αβ⊥⊥∥，则下列命题中正确的是（ ） A ．αβ⊥B ．l β⊥C ．m ∥αD ．l β⊂4．某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.4，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（ ） A ．0.24B ．0.42C ．0.82D ．0.885．在数列{}n a 中，若11a =-，()1121n n a n a -=≥-，则2024a =（ ） A ．2B ．1-C ．12D ．16．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭个单位长度后，所得函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．π12B ．5π12 C ．π6D ．π37．函数e e ()x xf x x-+=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．双曲线C ：2221(0)y x a a -=>F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d PF +的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二、多选题9．已知0ab <，则（ ） A ．222a b ab +≥ B ．222a b ab +< C ．()0a a b ->D ．2b aa b+≥ 10．设偶函数()f x 的定义域为R ，若()211f x --为奇函数，则（ ）A ．()11f =B ．()()22f x f x +=-C ．函数()f x 的一个周期是6D ．()()()()12320242024f f f f ++++=L11“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（ ） A 2212y +=是“黄金椭圆”B ．若椭圆22112x y m+=是黄金椭圆，则6m =C ．设“黄金椭圆”C 的左右焦点分别为12,F F ，存在椭圆C 上一点P ，使得12PF PF ⊥u u u r u u u u rD ．设过原点的直线与焦点在x 轴上的“黄金椭圆”分别交于A 、B 两点，“黄金椭圆”上动点P (异于A ，B )，设直线P A ，PB 的斜率分别为12,k k，则12k k ⋅=三、填空题12．已知向量,a b rr 的夹角为60o ，且=1a r，2a b -r r b =r13．已知圆222:240M x y ay a +-+-=与圆22:430N x y x +-+=有4条公切线，则a 的取值范围为．14．在ABC V 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是．四、解答题15．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC V 的面积()2221sin 2S C a b c =⋅+-(1)求C(2)若2c =，ABC Va ，b16．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且513334,9a a S +== (1)求数列{n a }的通项公式及前10项的和； (2)设数列{n b }的通项公式为nn n a b a t=+，问：是否存在正整数t ，使得12,,m b b b （3,N m m ≥∈）成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，3PC PE =，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==．(1)在侧棱PD 上是否存在点F ，使得点A ，B ，E ，F 四点共面？若存在，指出点F 的位置，并证明；若不存在，请说明理由；(2)求二面角P AB E --的余弦值.18．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率； （3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案， 方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.19．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过圆22(1)1y x +-=的圆心的直线交抛物线与圆分别为A C D B ､､､（从左到右）.(1)若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线的方程； (2)若抛物线和圆只有一个公共点，求p 的取值范围；(3)在（1）的条件下，,AOC BOC △△的面积满足：4AOC BOD S S =△△，求弦AB 的长.。
广西柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学题
广西柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学题一、单选题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，过P 作圆的切线PA ,PB ,切点为A ,B 使得，则椭圆1C 的离心率的取值范围是A ．B ．C ．D ．1[,1)22．椭圆222116x y b+=，（04b <<）的右顶点为A ，已知()10B ,，若椭圆上存在点P ，满足2PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎦3．已知圆22:((1)1C x y +-=和两点(,0)A t -，(,0)(0)B t t >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则t 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]1,34．设12,F F 分别是椭圆的左､右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若126PF QF =，则直线2PF 的斜率为（ ） A ．4 B ．4- C ．2- D ．1-5．加斯帕尔⋅蒙日是1819:世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210+=>>x y a b a b时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆M 的离心率为12B ．若G 为正方形，则G 的边长为C ．椭圆M 的蒙日圆方程为227x y +=D ．长方形G 的面积的最大值为146．若椭圆：()222210+=>>x y a b a b 的蒙日圆为2224:3C x y a +=，则椭圆Γ的离心率为（ ）A B C D 7．现将质点P 随机投入椭圆22:12x C y +=所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆22221x y a b+=的面积公式为πS ab =）（ ）A B C ．1 D ．1 8．若圆22(3)()9x y λ-+-=与椭圆2213x y +=的蒙日圆有且仅有一个公共点，则λ的值为（ ） A ．3± B ．4± C ．5± D ．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，现有椭圆()222:1416x y C a a +=>的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P Q ､两点，若MPQ V 面积的最大值为34，则a 的值为（ ）A．B ．C ．D ．10．双曲线22:14x C y -=的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π二、填空题11．在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线22:13x W y -=的蒙日圆上一点P 作W 的两条切线，与该蒙日圆分别交于,A B 两点，若30PAB o ，则PAB V 的周长为.12．椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆上，120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，直线2AF 交椭圆于点B ，1AB AF =u u u r u u u r ，则椭圆的离心率为．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴垂线交椭圆于点P ，若12PF F V 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.14．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F ，2F .若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率e 的取值范围为.三、多选题15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1DD 的中点，F 是侧面11AA D D 内的一个动点（含边界），且BF ∥平面1B CE ，则下列结论正确的是（ ）A ．平面1B CE 截正方体1111ABCD A BCD -所得截面的面积为94B ．动点FC ．1BF FD +的最小值为D ．EF 与平面1B CE 16．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 在侧面CDD 1C 1上运动，且满足B 1F //平面A 1BE ．以下命题正确的有（ ）A ．点FB ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为45°C ．平面A 1BE 与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为D ．过点E ，F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为四、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC V 的面积为S ，已知222b c a +-=(1)求角A ；(2)若2a =c -的取值范围.18．ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，记ABC V 的面积为S ，且222a c b +-. (1)求角B ；(2)若D 为AC 的中点，且6AB BD ==， ABC V 的内切圆的半径.19．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角A 为锐角，ABC V 的面积为S ，且满足2a =．(1)若cos sin a B b A c +=，求A ；(2)求b c c b+的最大值．。
柳州铁路第一中学2023届高一数学第一学期期末质量检测试题含解析
， ，
，
故答案为：
14、
【解析】将 平方，求出 的值，再利用弦化切即可求解.
【详解】
，
，
，
，
，
所以 ，
所以 .
故答案为：
15、
【解析】由直四棱柱 的底面是边长为1的正方形,侧棱长 可得 由 知 就是异面直线 与 的夹角,且 所以 =60°,即异面直线 与 的夹角大小等于60°.
记 ，（ ）
①当 时，
由
由 ，
综上所述， 的取值范围是
【点睛】本题的第二问中关键是采用动轴定区间的方法进行求解，即讨论对称轴在定区间的左右两侧以及对称轴在定区间上的变化情况，从而确定该函数的最值.
19、（1） 或
（2） 时，最小值为
【解析】（1）直接解一元二次不等式即可，
【试题解析】(Ⅰ) 是定义在 上的奇函数
, 经检验成立
(Ⅱ) 是定义在 上的奇函数且
即
函数 在 上是增函数
的取值范围是
21、（1）
（2）众数为 ，平均数为
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
可得 ，
（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；
（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.
（2）令 ，问题转化为“ ”为真命题，根据基本不等式找函数的最小值即可；
（3）当 时， ，记 ，若函数 在 上的最大值为 ，分 和 ，结合对数函数的单调性列式求解即可.
【详解】（1）函数 的增区间为 （写出开区间亦可）；
理由： ， 为偶函数，
任取 ， ，
广西柳州市柳州高级中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题
广西柳州市柳州高级中学2023-2024学年高一上学期开学考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
中，
10．如图，在ABC
交AB于E，则DE
a b>，且满足：对实数
11．设,0
值为.
12．记[]x表示不超过实数
如0，7等都是“好数
四、解答题
13．二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，例如：
15．某单位欲购买A､B两种电器，根据预算，共需资金两件B种电器共需资金2300元：购买两件
(1)购买一件A种电器和一件B
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使APB ∠为锐角？若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形OACB 的边,OA OB 分别在x 轴和y 轴上，8,6OA OB ==.点P 从点O 开始沿OA 边匀速移动，点M 从点B 开始沿BO 边匀速移动，点P ，点M 同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t 秒()06t ≤≤.
(1)连接矩形的对角线AB ，当t 为何值时，以,,P O M 为顶点的三角形与AOB 相似；
(2)在点P ，点M 运动过程中，线段PM 的中点Q 也随着运动，请求出CQ 的最小值；
(3)将POM 沿PM 所在直线翻折后得到PDM △，试判断D 点能否在对角线AB 上，如果能，求出此时t 的值，如果不能，请说明理由.。
2022-2022年高二上期第一次月考数学题带答案和解析(广西桂林中学)
2022-2022年高二上期第一次月考数学题带答案和解析（广西桂林中学）解答题已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2的最大值；（3）当M不为空集，且M[1，4]时，求实数m的取值范围．【答案】(1) 实数m的取值范围为（﹣1，2）;(2) 的最小值为;(3) a的取值范围为.【解析】试题分析：（1）为空集时，由此求出的取值范围；(2) 由（1）知，则函数化为,利用基本不等式可求出其最大值（3）设，讨论M为空集和M不为空集时，利用判别式，结合图象求出实数m的取值范围．试题解析：（1）∵M为空集，∴△=4m2﹣4（m+2）＜0，即m2﹣m﹣2＜0∴实数m的取值范围为（﹣1，2）.（2）由（1）知m∈（﹣1，2），则m+1>0，∴f(m)=即f(m)= 当且仅当，即时取等号.所以（3）令f（x）=x2﹣2ax+a+2=（x﹣a）2﹣a2+a+2，当M不为空集时，由M⊆[1，4]，得．综上，实数a的取值范围为选择题已知等比数列{an}的公比，a2=8，则其前3项和S3的值为A. 28 B. 32 C. 48 D. 64【答案】A【解析】由题等比数列中，∵公比则故选A．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析; （1）已知等式利用正弦定理，整理后根据不为0求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将及的值代入表示出，根据的范围，利用二次函数的性质求出的范围，即可求出的范围．试题解析：（1）由已知得：，由正弦定理，得，∵sinA≠0，则，即，又B∈（0，π），则B=.（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，由0＜a＜1，得≤b2＜1，∴≤b＜1．若关于x的不等式x2+ax-2＜0的解集{x|-2＜x＜1}，则a =_____．【答案】1【解析】不等式x2-ax+b＜0的解集}，即的解为，由韦达定理可得：，即．故答案为1选择题在△ABC中，若acosB=bcosA，则该三角形一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】，由正弦定理可得：，即又即则△ABC的形状是等腰三角形，故选D选择题不等式x2-1＜0的解集为A. （0，1）B. （﹣1，1）C. （﹣∞，1）D. （﹣∞，－1）∪（1，+∞）【答案】B【解析】不等式可化为解得故选B解答题如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C、D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC=30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，求该船航行的速度.【答案】船速为千米/分钟【解析】试题分析：在中，可求得在中，可求得，利用正弦定理可求得，从而可求得|BD|=1km，最后可在△ABD中，由余弦定理求得，从而可求得船速．试题解析：:在△BCD中,∠BDC=30°+60°=90°，CD=1，∠BCD=45°，从而BC= ，在△ACD中,∠CAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,由正弦定理,得，解得AC=，在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos 60°=，解得AB=，船速为千米/分钟．选择题如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运A. 3年B. 4年C. 5年D. 6年【答案】C【解析】设二次函数为将点代入，得故二次函数为则年平均利润为当且仅当，即时，取等号，∴每辆客车营运5年，年平均利润最大，最大值为2万元．故选C选择题若a＞0，b＞0，且lga和lgb的等差中项是1，则的最小值是A. B. C. D. 1【答案】B【解析】（当且仅当时等号成立）故选：B．选择题设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是A. a2＞a bB. a2＜b2C.D.【答案】C【解析】A.当时，但，故A不恒成立B. 当时，但，故B故不恒成立D当时，但，故D故不恒成立C恒成立故选C解答题已知数列的前n项的和Sn，点（n，Sn）在函数=2x2+4x 图象上：（1）证明是等差数列；（2）若函数，数列{bn}满足bn=，记cn=an•bn，求数列前n项和Tn；（3）是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f(x)=﹣x2+4x﹣≤0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由．【答案】(1) 数列{an}的通项公式为an=4n+2;(2) Tn=10﹣（2n+5）;(3) 实数λ=1,见解析.【解析】试题分析：（1）要求数列的通项公式，利用，然后把代入验证；（2）由函数，数列满足，利用错位相减法可得数列{前项和（3）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，由是递增数列，能推导出存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立试题解析;（1）由题意，Sn=2n2+4n，当n=1时，a1=S1=6，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+4n）﹣[2（n﹣1）2+4（n﹣1）]=4n+2，当n=1时，a1=S1=4+2=6，也适合上式∴数列{an}的通项公式为an=4n+2，n∈N*；是等差数列（2）∵函数g（x）=2﹣x，∴数列{bn}满足bn=g（n）=2﹣n，又∵cn=an•bn，∴Tn=6×2﹣1+10×2﹣2+14×2﹣3+…+（4n+2）×2﹣n，…①，∴Tn=6×2﹣2+10×2﹣3+…+（4n﹣2）×2﹣n+（4n+2）×2﹣（n+1），…②，①﹣②得：（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，对任意n∈N*恒成立，即任意n∈N*恒成立，∵an=4n+2，是递增数列，所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立．填空题在△ABC中，∠ABC=90°，延长AC到D，连接BD，若∠CBD=30°，且AB=CD=1，则AC=________．【答案】【解析】如图所示，延长，过作，垂足为，则设，则．故答案为：填空题在等差数列中，若__________．【答案】-10【解析】由题等差数列中，由，得即选择题已知数列满足(n∈N*)，且对任意n∈N*都有，则t的取值范围为A. （，+∞）B. [，+∞）C. （，+∞）D. [，+∞）【答案】D【解析】∵数列满足时，时，，可得．，数列{为等比数列，首项为，公比为．．∵对任意都有，则的取值范围为故选：D．选择题已知数列是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9＜S8=S7，则下列说法不正确的是A. S9＜S10B. d＜0C. S7与S8均为Sn的最大值D. a8=0【答案】A【解析】根据，得到又由，得到得到等差数列为的递减数列，则与均为的最大值．所以只有答案A是错误的．故选A选择题△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°【答案】C【解析】试题分析：,中．故C 正确．解答题已知等比数列满足a3a4a5=512，a3+a4+a5=28，且公比大于1．（1）求通项公式；（2）设，求前n项和Sn．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由等比数列的性质，可得，则由已知可得解之，结合公比大于1，，由此可得求通项公式；（2）利用裂项相消法可求前n项和Sn．试题解析（1）∵，得a4=8，∴a3a5=64，a3+a5=20；∴，又q＞1，∴（2）∵bn=log22n=n，∴∴，==.解答题已知等差数列满足：a3=7，a5+a7=26，求数列的通项公式及其前n项和Sn．【答案】an=2n+1; Sn=n2+2n.【解析】试题分析：设等差数列的公差为，可得首项和公差的方程组，解方程组易得通项公式及其前项和．试题解析;设等差数列{an}的公差为d，则，解得，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，Sn==n2+2n．填空题记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有Sn=2an ﹣3，则a6=_____．【答案】96【解析】由题意对任意的，都有∴当时，两式相减，得1，即∴数列是首项为3、公比为2的等比数列，故答案为96．选择题要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D 点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是A. 30mB. 40mC. mD. m【答案】B【解析】由题题意，设则在中，∴根据余弦定理，得即：整理得解之得或（舍）即所求电视塔的高度为40米．故选B．选择题已知△ABC中，a=，b=1，B=30°，则△ABC的面积是A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】由于中，则由正弦定理可得，即有则或，若，则°，则的面积是；若，则，则的面积是．故选D．选择题若x，y满足，则2x+y的最大值为A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】根据线性约束条件化出可行域如图所示（阴影部分）．设得由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即代入目标函数得即目标函数的最大值为4．故选C．。
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柳州铁一中2012-2013学年第二学期高二第二次月考理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第I 卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数i i+-11 的值等于 ( ) A.22 B.2 C.i D.i -2. 设集合{}21|<≤-=x x A ，{}a x x B <=|，若φ≠B A ，则a 的取值范围是( )A.2<aB.2->aC.1->aD.21≤<-a3．下列函数中，在区间（0,1）上为增函数的是 ( )A.x y 21log = B.xy 1=C.x y sin =D.x x y -=24．曲线y=31x 3-x 2+5在x =1处的切线的倾斜角是 ( ) A. 43π B.3π C.4π D.6π5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =( )A ．8B ．7C ．6D ．56．若f (cosx )＝cos 2x ，则f (sin π12)等于 ( )A. 12B.－12C.－32D. 327.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)2(,24)2(,log )(22x x x x x a x f 在点x =2处连续，则常数a 的值是 ( )A.2B.3C.4D.58．7人坐成一排，若只改变其中3人的位置，其他4人的位置不变，则不同的改变方法共有 ( )A ．210种B ．126种C ．70种D ．35种9．若M 是△ABC 的重心，则下列向量中与AB →共线的是 ( )A. AB →＋BC →＋AC →B. AM →＋MB →＋BC →C. AM →＋BM → -CM →D.3AM → -AC →10．若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 ( )A ．(1,2)B ．(2,+∞)C ．(1,5)D ．(5,+∞)11．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为( )A ．16（12－6π)3B ．18πC ．36πD ．64（6－4π)212.己知关于x 的方程的两根分别为椭圆和双曲线的离心率.记分别以m 、n 为横纵坐标的点P(m ，n )表示的平面区域为D,若函数的图象上存在区域D 上的点,则实数a 的取值范围为 ( ) A. B. C. D.第II 卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．6)1(xx +展开式中的常数项为 .（结果用数字表示） 14．函数4)3lg(--=x x y 的定义域是________.（结果用集合形式表示）15．过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的直线与抛物线交于P 、Q ，由P 、Q 分别引其准线的垂线PH 1、QH 2垂足分别为H 1、H 2，H 1H 2的中点为M ，记|PF |=a ，|QF |=b ，则|MF |= .16．AB 垂直于BCD ∆所在的平面，4:3:,17,10===BD BC AD AC ，当BCD ∆的面积最大时，点A 到直线CD 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本题满分10分）在ABC △中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 已知它的周长为21，且sin sin 2A B C +=．（1）求c 边的长； （2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．18．(本题满分12分)广西从今年秋学期开始进行高中新课程教学改革，八月份在南宁举行一次数学新课程研城市 南宁市 柳州市 梧州市 桂林市 人数 20 15 5 10(2) 若指定从南宁市或柳州市中随机选出2名教师发言，设发言人来自南宁市的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 90BAC ∠=,点D 是棱11B C 的中点.（1）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （2）求二面角1D A C A --的余弦值.20.（本题满分12分）.设函数()()R p x p x x f ∈--=,1ln . （1）当1=p 时，求函数()x f 的单调区间；（2）设函数()()(),122--+=x x p x xf x g 对任意1≥x 都有()0≤x g 成立，求实数p 的取值范围.21.（本题满分12分）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
22．（本题满分12分）已知函数)0()(2≠+=a bx ax x f 的导函数()27f x x '=-+,数列{}n a 的前n 项和为n S ,点)N )(,(*∈n S n P n n 均在函数)(x f y =的图象上.(1)求数列{}n a 的通项公式及n S 的最大值;(2)令n b =其中*∈N n ,求{}n nb 的前n 项和.2011级第二次月考理科数学答案13. 15 14. {|34}x x x >≠且135三. 解答题(共90分)17. 解：（1）由sin sin A B C +=及正弦定理，得a b +=，又1a b c ++=…………………4分1c += 1c ∴=………………………5分（2）由1sin 2S ab C =又1sin 6S C =11sin sin 26ab C C ∴= 13ab ∴=，又a b +=7分由22222()21cos 222a b c a b ab c C ab ab +-+--===………….9分60C ∴=…………………………………………………..10分18. 解：(1)从50名教师随机选出2名的方法数为2501225C =，……. 2分选出2人来自同一城市的方法数为22222015510350C C C C +++=，……4分故2人来自同一城市的概率为350212257P ==. …………………5分 (2) ξ的所有可能取值为0，1，2.173C C )0(235215===ξP ， ……………………………………6分112015235C 60(1)C 119C P ξ===， ……………………………… .7分 11938C C )2(235220===ξP ……………………………………… 8分 ∴ξ的分布列为………………10分360381368012171191191197E ξ=⨯+⨯+⨯==…………………….12分19. 解.（1）证明：因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1AA ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱.因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11CC A D ⊥，…………………3分又因为1111A B AC =，D 为11B C 中点， 所以111A D B C ⊥. …………5分 因为1111CC B C C =,所以1A D ⊥平面11BB C C . ----（5分） (2)解： 因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，90BAC ∠=，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -……6分设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，. 1111(,,0),(0,11)22A D AC ==-，，………………………………………8分 设平面1A DC 的法向量为=()x,y,z n ，则有1100A D A C ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，0x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-，取1x =，得(1,1,1)=--n . ………………………………………9分 又因为3AB AB⋅==n n ，AB⊥平面11ACC A ，…………11分 所以平面11ACC A 的法向量为 (1,00)AB =，，因为二面角1D A C A --是钝角.所以，二面角1D A C A --的余弦值为3-. -------------（12分） 20.解：（1）当p =1时，()ln 1f x xx ，其定义域为()0,+∞.所以1()1f x x'=-.…………2分 由1()10f x x'=->得01x <<， 所以()f x 的单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+∞.…………5分（2）由函数22()()(21)ln (1)g x xf x p x x x x p x =+--=+-,得()ln 12g x x px '=++.由（1）知，当p =1时，()(1)0f x f ≤=，即不等式1ln -≤x x 成立. …………7分① 当12p ≤-时，()ln 12(1)12(12)0g x x px x px p x '=++≤-++=+≤， 即g(x)在[)+∞,1上单调递减，从而()(1)0g x g ≤=满足题意； …………9分② 当102p -<<时，存在11,2x p ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得ln 0,120x px >+>， 从而()ln 120g x x px '=++>，即g(x)在11,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， 从而存在011,2x p ⎛⎫∈-⎪⎝⎭使得0()(1)0g x g >=不满足题意； ③当0p ≥时，由1≥x 知2()ln (1)0g x x x p x =+-≥恒成立，此时不满足题意.综上所述，实数p 的取值范围为12p ≤-. …………12分21. 解.（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)设点P(x ,y ),则AP =（x +6, y ）,FP =（x －4, y ）,由已知可得22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩……………………………4分则22x +9x －18=0, x =23或x =－6. 由于y >0,只能x =23,于是y =235.∴点P 的坐标是(23,235)……………………………..6分(2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0. 设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是26+m . 于是26+m =6-m ,又－6≤m ≤6,解得m =2……………………………………………..8分 椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有 222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+,……10分 由于－6≤X ≤6, ∴当x =29时,d 取得最小值15……………..12分22.解:(1) )0()(2≠+=a bx ax x f ,b ax x f +='∴2)(由()27f x x '=-+得:1,7a b =-=,所以2()7f x x x =-+…………2分又因为点)N )(,(*∈n S n P n n 均在函数)(x f y =的图象上,所以有27n S n n =-+当1=n 时,116a S ==……………………………………………3分当2≥n 时,128n n n a S S n -=-=-+，28(N )n a n n *∴=-+∈令280n a n =-+≥得4n ≤,∴当3n =或4n =时,n S 取得最大值12………5分综上, 28(N )n a n n *=-+∈,当3n =或4n =时,n S 取得最大值12…………6分(2)由题意得418,2n n b b -+====所以112n n b b +=,即数列{}n b 是首项为8,公比是12的等比数列…………7分故{}n nb 的前n 项和32412222n n T n -+=⨯+⨯++⨯………………①24311222(1)222n n n T n n -+-+=⨯+⨯++-⨯+⨯…………②..........9分 所以①-②得：3243122222n n n T n -+-+=+++-⨯…………………11分 44116[1()]2232(2)2112n n nn T n n ---∴=-⋅=-+-…………………12分。