高中数学 第三章 不等式 3.3.1 基本不等式课件 北师大版必修5
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高中数学必修5《不等式基本性质》PPT
不等式的性质：
性质 1 a b b a
（对称性）
证明：(1) a b a b 0
由正数的相反数是负数 ，得
(a b) 0， 即 b a 0，
ba (2) b a b a 0
由负数的相反数是正数 ，得
(b a) 0， 即 a b 0，
ab
故 a b b a
当 c 0 时，(a b)c 0，即 ac bc .
性质5：a b且c d a c b d （同向可加性）
证明： a b，
acbc.
(1)
cd，
bcbd .
(2)
由 (1)、(2) 得 a c b d
说明： 此推论可以推广到有限个同向不等式两边分别相加 .
即说，两个或更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式 与原不等式同向。
性质 3 a b a c b c
证明： (a c) (b c) a b 而 ab ab0
即 (a c) (b c) 0
（同加性）
acbc
想一想： a b a c b c ?
根据性质1，得 a b a c b c
说明： 由性质3可以得出：
abc acb.
性质 2 a b且b c a c 或 c b且b a c a
证明： a b，b c ，
a b 0，b c 0 .
由两个正数的和仍是正 数，得
（传递性）
(a b) (b c) 0，
即 a c 0，
ac.
根据性质1，性质2还可以表示为：
c b且b a c a .
即说，不等式中任何一项改变符号后，
可以把它从一边移到另一边。
性质4 a b且c 0 ac bc a b且c 0 ac bc
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对 其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等 式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个 系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不 等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根 的大小进行分类讨论．
集
(x1，x2) ∅
∅
1．一元二次不等式的求解步骤 (1)①通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项 系数大于零；②计算出相应一元二次方程的判别式；③求出相应 一元二次方程的根(或判断相应方程没有实根)；④根据③画出相 应二次函数的图像写出解集． (2)会用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的求解的算法过程．
4．若1ax2＋bx＋a>0 的解集是{x|2<x<8}，则 a＝ ________________________________________________________ ________________.
b＝________.
解析： 由题意知 a<0，且方程1ax2＋bx＋a＝0 的两根分别为
[思路点拨] 根据已知解集和一元二次不等式解的结构，逆 向推出 a、b、c 应满足的关系，进而求解不等式．一元二次不等 式解集的两个端点值是一元二次方程的两根．
解析： ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}． ∴a<0，且－3,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
由韦达定理得－－33×＋44＝＝ac－，ba，
答案： ＞ 两 －5,1 (－∞，－5)∪(1，＋∞) (－5,1)
4．解下列不等式： (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
高中数学必修5课件：第3章3-3-1二元一次不等式(组)与平面区域
数学 必修5
第三章 不等式
(3)若直线 l：Ax＋By＋C＝0，记 f(x，y)＝Ax＋By＋C，M(x1， y1)，N(x2，y2)，则
点M，N在l的同侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2>0 点M，N在l的异侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2<0
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第三章 不等式
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
() A.32 4 C.3
B.23 D．34
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第三章 不等式
解析： 如图所示为不等式表示的平 面区域，平面区域为一三角形，三个顶点 坐标分别为(4,0)，43，0，(1,1)，所以三角 形的面积为 S＝12×4－43×1＝43.
答案： C
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第三章 不等式
用二元一次不等式(组)表示实际问题
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第三章 不等式
答案：
4x＋3y≤480， 2x＋5y≤500， x≥0， y≥0， x，y∈N*
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第三章 不等式
4．画出不等式组x0－≤yx≤＋1y0≤，20， 0≤y≤15，
表示的平面区域．
解析： 根据题意画出不等式组表示的平面区域，如图所
示．
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第三章 不等式
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第三章 不等式
3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1 t产品的资源 需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲
2
3
5
乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度， 每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两 种产品允许的产量的范围．
高中数学第三章不等式3.3.2基本不等式与最大小值课件北师大版必修5
【思路点拨】 利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三 相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解 之．
【解析】 (1)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
2．基本不等式求最值的条件 (1)x，y 必须是正数． (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足．
|自我尝试|
1．已知 x＋y＝1 且 x>0，y>0，则1x＋1y的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．6
【课标要求】 1.能应用基本不等式解决函数及实际应用问题中的最大(小)值 问题. 2.培养学生数学应用意识和数学建模思想．
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．用基本不等式求最值的结论 (1)设 x，y 为正实数，若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当 x＝y＝2s时， 积 xy 有最大值为s42. (2)设 x，y 为正实数，若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y＝ p时， 和 x＋y 有最小值为 2 p.
xy 的最大值是( )
1
1
A.4
B.8
C．4 D．.8
解析：因为 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，所以 xy＝12×2xy≤122x＋t;0，即 x＝14，y＝12时取等号，此时，xy 的最
大值是18.故选 B.
答案：B
3．已知 x>1，y>1 且 xy＝16，则 log2x·log2y( ) A．有最大值 2 B．等于 4 C．有最小值 3 D．有最大值 4
3.3.1《基本不等式》课件(北师大版必修5)
• [题后感悟] 多次使用a＋b≥2时，要注意等
号能否成立，累加法是不等式性质的应用， 也是一种常用方法，对不能直接使用基本 不等式的证明需重新组合，形成基本不等 式模型，再使用．
2.已知 a，b，c 为不全相等的正实数， 求证：a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ca.
证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴a＋b≥2 ab，b＋c≥2 bc，c＋a≥2 ac， ∴2(a＋b＋c)≥2 ab＋2 bc＋2 ca， 即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ac， 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，等号不成立． ∴a＋b＋c＞ ab＋ bc＋ ac.
已知 a，b，c∈R＋且 a＋b＋c＝1.
1 1 1 求证：a－1b－1c－1≥8.
• [策略点睛]
[规范作答] 证法一：∵a，b，c∈R ，a＋b＋c＝1， 1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a . 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c－1≥ c . 上述三个不等式两边均为正，两边分别相乘，
1 1 1 3.已知 a， c∈R ， a＋b＋c＝1， b， 且 求证： ＋b＋c≥9. a
＋
证明： 证法一：∵a，b，c 为正实数． 1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ∴a＋b＋c＝ a ＋ b ＋ c b c a c a b ＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9.
1 1 1 bc 2 得a－1b－1c－1≥2· a ·
＋
ac 2 ab b · c ＝8，
1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3 ∴原不等式成立．
a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 证法二：左边＝ －1 －1 －1 a b c b c a c a b ＝a＋ab＋bc＋c
高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
高中数学 第三章 不等式 3.3.1 基本不等式课件 北师大版必修5
§3 基本不等式
3.1 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导方法. 2.理解基本不等式的几何意义及其等号 成立的条件. 3.能利用基本不等式证明不等式.
思维脉络
基本不等式 (1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号 成立.我们称上述不等式为基本不等式,其中������+2������称为 a,b 的算术平均 数, ������������称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义:
lg������·lg������;
(4)若
a,b∈(0,+∞),则1������
+
1 ������
>
2������������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)正确.在基本不等式������+2������ ≥ ������������中,将 a,b 分别用 a4,b4 代换, 且 a4≥0,b4≥0,
解析:①③错,都忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一
条件;
②正确,若 x<0,则 x+4������=- (-������) +
-
4 ������
≤-2
(-������)·
-
4 ������
=-4,当且仅当
-x=-4������,即 x=-2 时,等号成立;
④错,当 ������2 + 2 = ������21+2时,x2+2=1,x2=-1(不成立).故正确的是②.
3.1 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导方法. 2.理解基本不等式的几何意义及其等号 成立的条件. 3.能利用基本不等式证明不等式.
思维脉络
基本不等式 (1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号 成立.我们称上述不等式为基本不等式,其中������+2������称为 a,b 的算术平均 数, ������������称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义:
lg������·lg������;
(4)若
a,b∈(0,+∞),则1������
+
1 ������
>
2������������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)正确.在基本不等式������+2������ ≥ ������������中,将 a,b 分别用 a4,b4 代换, 且 a4≥0,b4≥0,
解析:①③错,都忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一
条件;
②正确,若 x<0,则 x+4������=- (-������) +
-
4 ������
≤-2
(-������)·
-
4 ������
=-4,当且仅当
-x=-4������,即 x=-2 时,等号成立;
④错,当 ������2 + 2 = ������21+2时,x2+2=1,x2=-1(不成立).故正确的是②.
3.3.1基本不等式课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)
a＋b 基本不等式 ab≤ (a>0，b>0)；在应用时要注意 2 a>0，b>0 必须同时成立，当且仅当 a＝b 时取等号；若不具备这条 件，必须通过变形使其满足 a>0，b>0.
课前探究学习
课堂讲练互动
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法二
1 令 a＝b＝ ，则 a＋b＝1， 2
2 2
1 1 1 1 1 1 2 ab＝1，a ＋b ＝ ，2ab＝2× × ＝ ，再令 a＝ ，b＝ ，a＋ 2 2 2 2 2 8 1 1 5 b＝ ＋ ＝ ，2 ab＝2 2 8 8 ∴a＋b 最大． 1 1 1 × ＝ ， 2 8 2
【题后反思】 当已知条件中有一个多项式的和为1时，要 注意“1”的代换，这种方法体现了换元的思想，通过换元 可以化繁为简，化难为易，将未知变为已知，使思路豁然 开朗．
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a b 已知 a＞0，b＞0，x＞0，y＞0， ＋ ＝1， 【训练3】 x y 求证：x＋y≥( a＋ b)2. a b a b 证明 法一 ∵1＝ ＋ ，∴x＋y＝(x＋y) ＋ x y x y
b a (3) ＋ ≥2(ab＞0) a b a＋b (4) ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 2 a2＋b2 (a，b∈R＋ )． 2
课前探究学习 课堂讲练互动
题型一
利用基本不等式比较大小
2, 则 a2 【例1】 已知 0＜a＜1,0＜b＜1， a＋b,2 ab， ＋b 2ab 中哪一
个最大？
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名师点睛
1．对于概念的理解 (1)基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等号成立的条 a＋b 件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，则 ab≠ ， 2 a＋b 即只能有 ab＜ . 2 a＋b (2)基本不等式 ab≤ (a＞0，b＞0)又称为均值不等式，其 2 a＋b 中 叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数， 2 因此两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
2
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5
一二三
二、基本不等式
【问题思考】 1.填空: (1)基本不等式
①当 a>0,b>0 时,有������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立;
②对于正数 a,b,常把������+2������叫做 a,b 的算术平均数,把 ������������叫做 a,b 的几
解(1)由题意知 x>0,由基本不等式得 f(x)=3x+1������2≥2 3������·1������2=2 36=12. 当且仅当 3x=1������2,即 x=2 时,f(x)取得最小值 12.故 f(x)的最小值是 12. (2)由 lg a+lg b=2,得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ������������=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.故 a+b 的最小值是 20. (3)由于 x,y 是实数,所以 2x>0,2y>0,于是
提示填表略,(1)当 x+y 是定值时,xy 有最大值,且最大值等于
������+������ 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
������������.
2.填空: 基本不等式与最值 已知x,y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
变式训练 2(1)已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
《基本不等式 》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】
OcB
随堂练习
结论：（1） 2 11 ab
ab a b 2
a2 b2 2
2 ab (a b)2
2
3 ab a2 b2
2
随堂练习
例 2 已知 x，y 都是正数，求证：
(1) y x 2 xy
(2) (x＋y)(x2＋y2 )(x3＋y3 ) 8x3 y3
证明：(1)∵x，y 都是正数，
CD AB交圆 O 上半圆于点 D ，过点 C 作
A
CE OD 交 OD 于点 E
在 RtOCD 中，由射影定理知 DC2 DE OD
即： DE DC 2 ab 2 OD a b 1 1 2 ab
由于 DC DE 得 ab 2 ，当且仅当 a b 时，等号成立 11 ab
D
E
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
基本不等式
新课学习
1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
新课学习
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，比较 4 个直角三角形的 面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
新课学习
不等式： a2 b2 2ab ,当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形 EFGH 缩为一 个点时，有 a2 b2 =2ab
新课学习
（2）总结结论：一般的，如 a,b R,那么a2 b2 2ab当且仅当a b时“=”成立
（3）推理证明：作差法。
新课学习
重要不等式：如果 a、b∈R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a＝b 时取“＝”号）
∴ x 0, y 0. y x 2 y x 2 ，即 y x 2
随堂练习
结论：（1） 2 11 ab
ab a b 2
a2 b2 2
2 ab (a b)2
2
3 ab a2 b2
2
随堂练习
例 2 已知 x，y 都是正数，求证：
(1) y x 2 xy
(2) (x＋y)(x2＋y2 )(x3＋y3 ) 8x3 y3
证明：(1)∵x，y 都是正数，
CD AB交圆 O 上半圆于点 D ，过点 C 作
A
CE OD 交 OD 于点 E
在 RtOCD 中，由射影定理知 DC2 DE OD
即： DE DC 2 ab 2 OD a b 1 1 2 ab
由于 DC DE 得 ab 2 ，当且仅当 a b 时，等号成立 11 ab
D
E
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
基本不等式
新课学习
1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
新课学习
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，比较 4 个直角三角形的 面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
新课学习
不等式： a2 b2 2ab ,当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形 EFGH 缩为一 个点时，有 a2 b2 =2ab
新课学习
（2）总结结论：一般的，如 a,b R,那么a2 b2 2ab当且仅当a b时“=”成立
（3）推理证明：作差法。
新课学习
重要不等式：如果 a、b∈R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a＝b 时取“＝”号）
∴ x 0, y 0. y x 2 y x 2 ，即 y x 2
北师大版高中数学必修五课件第三章《不等式》含参数的不等式恒成立问题的解法
练习1:
对于一切|p|≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p 恒成立，则实数x的取值范围是：——x<—-—1—或——x—>—3—。
7
例取2值、范①围若不是≤等—a1式—1＜6—x12—<l—o—g—ax—对。x（0,）12恒成立，则实数a的 ②若不等式x2-kx+2>0,对x[-3,3]恒成立，则实数k
解:分离参数得:a≥
x 2 xy xy
1 2
1
令（t>0xy） t
,则a≥（t>011）恒2t 2t成立
y x y x
恒成立
又令1+2t=m（m>1），则
f(m)=
1
m (m21)2
m2
4m 2m
5
(m
4 m5 )
2
4 2 52
5 1 2
(当且仅当m=5时等号成立)
高中数学课件
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北师大版高中数学必修5第三章《不 等式》
2
‹#›
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 ______C__>_0________Δ_=_b_2_-4_。ac<0
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 _____C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c。<0
15
三、课时小结：
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
对于一切|p|≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p 恒成立，则实数x的取值范围是：——x<—-—1—或——x—>—3—。
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例取2值、范①围若不是≤等—a1式—1＜6—x12—<l—o—g—ax—对。x（0,）12恒成立，则实数a的 ②若不等式x2-kx+2>0,对x[-3,3]恒成立，则实数k
解:分离参数得:a≥
x 2 xy xy
1 2
1
令（t>0xy） t
,则a≥（t>011）恒2t 2t成立
y x y x
恒成立
又令1+2t=m（m>1），则
f(m)=
1
m (m21)2
m2
4m 2m
5
(m
4 m5 )
2
4 2 52
5 1 2
(当且仅当m=5时等号成立)
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北师大版高中数学必修5第三章《不 等式》
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‹#›
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 ______C__>_0________Δ_=_b_2_-4_。ac<0
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a<0 _____C_<_0________Δ_=_b_2_-4__a_c。<0
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三、课时小结：
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
高中数学 第三章 基本不等式课件 北师大版必修5(1)
D
A 因为 所以
O
C
B
当且仅当C与O重合，即a=b时，等号成立
例１
设ａ，ｂ均为正数，
证明
不等式
证明 因为a,b均为正数，由基本不等式，
可知
也即
当且仅当a=b时，等号成立
下面给出这个不等式的几何解释．
C
a+b 2 Ｅ ab
A
aO
D
b
B
对基本不等式，用语言文字可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
从几何的角度可叙述为：
圆的半径不小于弦长的一半。 从数列的角度可叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
课堂作业：
课本90页练习题
想一想？
由基本不等式，例1和练习题你能给出这几式
子的大小关系吗？
小结：
1.两个重要的不等式
2.基本不等式的联系和体会 3.对基本不等式和例1及练习题的总结
当且仅当a=b时，等号成立
课后作业： 1.课本94页A组3题和B组1题 2.预习3.2节
国际数学大会（ICM2002）的会标
正方形ABCD的面积≥4个直角三角形面积之和
A
D
E F
G H
x
B
y C
如果令x=
, y=
，
则就称为
如果a,b都是非负数，那么
，
当且仅当a=b时，等号成立本不等式
（均值不等式）
称为a,b的算术平均数 称为a,b的几何平均数
令AC= a , CB= b