索罗模型

y
(n2+δ)k
(n1+δ)k sf(k) N1
N2
稳态的影响
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经济增长的黄金分割律
假定不存在折旧，则(n+δ)k就变为nk，稳态条件就变为sy=nk 稳态时，人均消费c就是人均收入与人均储蓄之差，即： c=y—sy 又由于sy=nk， y=f(k)，故可得到：c= f(k)－nk 人均消费c最大化的一阶条件是： f′(k) (nk)′= 0 f′(k)－(nk)′= 0，即： f′(k)=n
~
0 0 g n+g
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~ y
~ (n + g + δ )k
f(k)
s~ y
O
~ ~ k0 k 0∗ 引入技术进步的新古典增长模型
~ k
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技术进步条件下新古典增长模型的基本方程推导
设：Y=F(AN，K) ~ y 单位有效劳动产出 ， = Y / AN ~ 单位有效劳动占有的资本量 k = K / AN 技术进步率为g=∆A/A，人口增长率为n=∆N/N
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∆K = I − δK = sY − δK
~ K Qk = AN
~ ∆K Y K ~ − δk ⑴ ⇒ = s⋅ −δ ⋅ = sy AN AN AN
对上式两边取对数，有
~ ln k = ln K − (ln A + ln N ) ，即有
等式两边对时间t求导，得 ~ ~ ∆k ∆k ∆K ∆A ∆N ∆K − + − ( g + n ) ⇒ ∆K = ~ ⋅ K + ( g + n )K = ~ = K A N K k k ~ ~ ~ ∆K ∆k K K 两边同除以AN ⇒ = ~ ⋅ + (g + n ) ⋅ = ∆k + ( g + n )k ⑵ AN AN k AN 联立⑴和⑵，有
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人口增长率提高对稳态的影响
人口增长率提高后，人口增长率曲线向上移动。与人均储蓄曲 线相交于一个新的稳态水平。
•此时： •1）人均产出减少。 •2）人均资本减少。 •3）总产量稳定增长。这是因 为：从sy=(n+δ)k式中可以读 出：尽管人均产出没有增加， 可n的增加以及nk的增大必定 带来总产出的增加。
ln k (t ) = ln K (t ) − (ln A + ln N (t ))
~ ~ ~ ~ ~ ~ − δk = ∆k + (g + n )k ； 推出∆k = s~ − (n + g + δ )k sy y
稳态的条件是：
~ ~ = (n + g + δ )k sy
从中可以形成的总结性认识：
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黄金分割律的图示
△k＝0时， 人均资本＝ (n+δ)k 则人均消费 ＝MM' 如果要使人均 消费达到最大， MM'应该最大。 T O nk sf(k)3 X′ M′ T′ M X y=f(k) sf(k)2 sf(k)1
y
k
k*
k2
k1*
k
图9-6 经济增长的黄金分割率
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考虑技术进步时的新古典增长模型
1、前面关于新古典增长理论是在没有考虑技术进步情况下进行 的。现把技术进步这一因素引入。 Y 2、考虑技术进步：生产函数就可以写为： = F ( AN , K ) ~ ~ 可以证明：新古典增长模型的基本方程为 ∆k = s~ − ( n + g + δ ) k y
~ ~ = (n + g + δ )k 稳态的条件是：sy
1 n +δ s 1− a y= k 将k A = ( ) 代入， 可得： s n +δ a s 1− a yA = ( ) n +δ （9.17）
上式表明：若其它条件相同，储蓄率或投资率高的国家通常比 较富裕，这些国家的劳动力人均资本k较高，因此人均产量y也较 高；相反，人均增长率高的国家通常比较贫穷，这些国家的劳动 力人均资本k较低，因此人均产量y也较低。
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2、人均生产函数曲线的引入
不考虑技术进步： Y=F（N,K） 规模报酬不变 λY=F(λN, λK),令λ＝1/N N＝全部人口，假设所有人口 参与生产 则 Y/N =F（1, K /N ） （ 令人均产出y＝ Y/N， 人均资本k＝ K /N ， 则y＝ f（k）= F（1, k ）
y
y＝ f（k） ＝ （ ）
⑷人均产出增长率只取决于技术进步速度。由于Y=F(AN,K)
Y AN K 有 = F( , ) ，推出 y = f ( A, k) ，对此式两边取自然对数，有 N N N
∆y ∆ A ∆ k = + lny=lnA+lnk，等式两边再对时间t求导，可得 。 y A k
从上一点可知道，k的增长率为零时，人均产出y的增长率只取 决于技术进步A的速度（教材用g表示）
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⑴引入技术进步并没有使稳态分析的结论产生大的波动；
∆Y ∆K ∆N ~ ⑵由于 ∆k = 0 ，从 Y = K = N = n 式就可推出，n必为常量， 进而推出δ也必为常量； ~ ~ ⑶处于稳定状态时，由于 = f (k ) 、 ~ = 0 ，推出按有效劳动平均 ∆k y ~ K ~ 的资本 k = AN的增长率为零，进而按有效劳动平均的产量 y = Y / AN 的增长率为零；
索罗经济增长模型
人口增长率提高 经济增长的黄金分割率 引入技术进步 小组成员：阿娜亚、叶菲、曹岩、 申晓斌、母淮阳、张盛飞、 汪杰、韩国成、何伟
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新古典增长模型
由美国经济科学家家索洛和斯旺分别提出，而由英国经济学家米 德系统表述，放弃了哈多模型中关于劳动和资本不可相互替代以 及不存在技术进步的假定，主要描述经济增长率同劳动力增长率、 技术进步增长率之间的关系。 一、不考虑技术进步时的模型 1、三个假设条件： ⑴社会储蓄函数S=sY ，s是储蓄率； ⑵劳动力按照一个不变的比率n增长； ⑶规模报酬不变。
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⑸总产出的增长速度取决于（g+n）。因为
~ K k = AN
对此式两边取自然对数，两边再对时间t求导，可得：
~ ∆k ∆K ∆A ∆N ∆K − − = − ( g + n) ~ = K A N K k
~ 在 ∆k =0 时，总产出的增长率=g+n
变量 稳态增长率
~ 按有效劳动平均的资本 k
按有效劳动平均的产量 y 人均产出y 总产出Y
0 人均生产函数曲线
k
根据上式，在假设⑵和不考虑技术进步条件下，人均产出y的增 长就唯一由人均资本k的增长决定。 但是，人均资本k的增加又取决于什么？
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可将人均生产函数设定成一种特定形式，即y=f(k)=ka，其中参 数a介于0～1之间，则由稳态条件（21.10）式知，有 1 a s sk = (n + δ )k 推导： s 1− a 1−a 1− a =k = k kA = s n +δ n +δ n +δ 由人均生产函数，又可求得稳态下的人均产量yA。 由sy=（n+δ）k，可以求得