RSA加密算法初探
微机上使用RSA加密算法的安全性初探
公钥 密码 体制保 密强 度 高 ， 安 全性 依 赖 于 由公 开 密 其 钥恢 复 出私人 密钥的难度 及 由密文恢 复出 明文 的难
度 。但是 由于选 择台适公 开密钥 体制 的算法是 比较 困 难 的， 讫今 为止 ， 只有基于 “ 犬质数 的乘积难 以分 解” 原
理的 Ｒ Ａ方法 和“ Ｓ 背包算 法” 等几种 。 ２ ２ Ｒ Ａ算法 ． Ｓ Ｒ Ａ体 制 是 Ｐ￣ｒ 、ｈｍｒ Ａｌｍ ｎ在 １ ７ Ｓ ｔｒｓ Ｓ ａ ｉ和 ｃｅ ａ ｉ ｔ ｅ ｌ ９８年 提 出的， 其算法 如下 ：
１ 引 言
计 算机 和通讯 的结 合 ， 对计 算 机系 统 的 组织 方 式
产生 了深远 的影响 ， 就产 生 了网络 从 １６ 这 ９９年 产生 的只 有 ４个 节 点 的 Ａ Ｐ Ｎ 到 今 天 遍 布 全 球 的 ＲＡＥ Ｉｔ ｎｔ计 算机 网络 扮 演着 越 来 越 重 要 的 角 色。在 网 ｎｅ ｅ， ｒ 络尤 其是 Ｉｔ ｔ 及 的同时 ， ｎｅ 普 ｍｅ 网络犯 罪 和非法 的黑客 活 动 巨增 ， 网络安 全逐 渐成 为一个 潜在 的巨大 问题 。 这样 密码学就 被广 泛地 应用 于 网络安 全 ， 中 Ｒ Ａ加 其 Ｓ 密体制 运用得 比较 广泛 。所 以有必要 对现有微 机条 件 下 的 Ｒ Ａ加密算 法的安 全性进 行研 究 ｓ
法 。
函数 。公开 密钥 由（ ，） 成 ， ｅｎ 构 而解 密密钥 由 （ ， ） ｄ ｎ 构
成
３ Ｒ Ａ算法安全性分析 Ｓ
Ｒ Ａ算 法基 于数 论 原理 ， 安全 性 是 基 于对 太数 Ｓ 其 分 解的难 度 ， 算法 已经 受住 了多年 深人的密 码分 析 ， 该 虽然 密码 分析 者 既 不 能证 明也 不 能 否定 Ｒ Ａ的安 全 Ｓ
RSA加密算法的安全性分析
RSA加密算法的安全性分析RSA加密算法是一种公钥加密算法，广泛应用于加密通信中。
它的安全性是众所周知的，但是随着计算机技术的发展，RSA加密算法也面临着越来越大的挑战。
本文将对RSA加密算法的安全性进行分析，并探讨其存在的漏洞。
一、RSA加密算法的原理RSA加密算法是一种非对称加密算法，它的安全性基于大质数分解问题的难度。
其原理非常简单，通过选择两个大的质数p和q，计算它们的乘积n=p*q，然后选择一个整数e，使得1<e<φ(n)且e与φ(n)互质，其中φ(n)=(p-1)*(q-1)。
然后计算出一个整数d，使得d*e≡1 mod φ(n)。
e和n组成公钥，d和n组成私钥。
对于给定的明文M，RSA加密算法的加密过程为：C=M^e mod n，其中^表示乘方运算。
对于给定的密文C，RSA加密算法的解密过程为：M=C^d mod n。
二、RSA加密算法的安全性基于大质数分解问题的难度，也就是说，要破解RSA加密算法，需要将公钥n分解成p和q的乘积。
但是，随着计算机技术的发展，大质数分解问题已经不再是一个不可逾越的难关了。
目前，在硬件和算法结合的优化下，可以破解大约100位的RSA密钥。
因此，为了确保RSA加密算法的安全性，密钥的长度必须足够长，至少要达到2048位。
另外，RSA加密算法还存在着一些已知的漏洞，例如：1. 选择恶意公钥攻击。
在这种攻击中，攻击者会伪造一个看似合法的公钥，并将其作为目标用户的公钥。
然后，攻击者就可以在不知情的情况下监视目标用户的通信，从而窃取敏感信息。
2. 计时攻击。
在这种攻击中，攻击者会通过测量加密和解密操作的时间来猜测密钥的值。
这种攻击可以在一段时间内重复进行，从而加速密钥的猜测。
3. 分组攻击。
在这种攻击中，攻击者会通过多次加密和解密相同的明文或密文来推断密钥的值。
通过比较不同的密文或明文块的加密结果，攻击者可以得出有关密钥的信息。
三、RSA加密算法的安全性提升为了提高RSA加密算法的安全性，可以采取以下措施：1. 增加密钥的长度。
rsa加密算法详解及例题
RSA加密算法详解及例题
RSA加密算法是一种非对称加密算法，其安全性基于对极大整数做因数分解的困难性。
以下是RSA加密算法的详解及例题：
1. 密钥生成：
* 随机选择两个质数P和Q，越大越安全。
* 计算它们的乘积N=P*Q。
* 计算欧拉函数φ(N)=(P-1)*(Q-1)。
* 随机选择一个整数E，条件是1<E<φ(N)，且E与φ(N)互质。
* 计算E对于φ(N)的模反元素D，使得EDmodφ(N)=1，即D=E-1modφ(N)。
* 公钥为(E, N)，私钥为(D, N)。
2. 加解密过程：
* 加密：明文M进行加密后得到密文C，计算公式为C=MemodN。
* 解密：将密文C进行解密后得到明文M，计算公式为M=CdmodN。
例题：在RSA加密体制中，已知素数P=7，Q=11，公钥E=13，试计算私钥D并给出对明文M=5的加密，求其密文。
解：首先，根据上述算法进行密钥生成。
根据素数P和Q得到N=77。
计算φ(N)=60。
因为E小于φ(N)且与φ(N)互质，选择E=13作为公钥。
根据公式计算D模反元素得到D=7。
现在有公钥(E, N)=(13, 77)和私钥(D, N)=(7, 77)。
接下来，用公钥加密明文M=5得到密文C=5^13mod77=15。
所以，密文为15。
此例题仅展示了RSA加密算法的基本原理和步骤，实际应用中需要考虑更多安全因素和操作细节。
RSA非对称加密算法实验报告
2009年9月
第一部分
信息加密技术实验
第一部分 信息加密技术实验
一、实验目的：
在数据加密、解密的算法中，DES算法是典型的单密钥体制，RSA是典型的双密 钥体制， 目前均在大量使用。 通过实验， 让学生充分理解和掌握DES和RSA算法，PGP 加密工具的使用。以及通过网络进行数据加密传输的概念。
RSA实验： 运行《RSATool》演示软件： 产生公钥和私钥
第二项任务 DES加密解密工具2.1及其代码——支持字符串及文件加密，支持3重DES
1.DES 2.1 说明
先看看DES 2.1 的截图：
的简介： 2. DES 2.1 2.1的简介：
1.支持任意长度字符串加密解密 2.明文、密钥可以不足8字节 3.支持回车换行，Tab 等特殊字符 4.密文可以选择三种方式显示 5.支持3重DES 6.支持文件加密、解密 7.加密时显示进度
3.DES 算法介绍
关于DES算法的介绍大家可以看我博客里的另一篇文章，[原创]DES算法的介绍以及实
现（含上次DES程序1.0的 源 码 ） ，所以在此不在重述。
提供的 Public 函数 4. yxyDES2 Class Class提供的 提供的Public Public函数
下面我们来看看yxyDES2 类（Class）里public函数和它们的用法： //功能:产生16个28位的key //参数:源8位的字符串(key),存放key的序号0-1 //结果:函数将调用private CreateSubKey将结果存于char SubKeys[keyN][16][48] void InitializeKey(char* srcBytes,unsigned int keyN); //功能:加密8位字符串 //参数:8位字符串,使用Key的序号0-1 //结果:函数将加密后结果存放于private szCiphertext[16] // 用户通过属性Ciphertext得到 void EncryptData(char* _srcBytes,unsigned int keyN); //功能:解密16位十六进制字符串 //参数:16位十六进制字符串,使用Key的序号0-1 //结果:函数将解密候结果存放于private szPlaintext[8] // 用户通过属性Plaintext得到 void DecryptData(char* _srcBytes,unsigned int keyN); //功能:加密任意长度字符串 //参数:任意长度字符串,长度,使用Key的序号0-1 //结果:函数将加密后结果存放于private szFCiphertextAnyLength[8192] // 用户通过属性CiphertextAnyLength 得到 void EncryptAnyLength(char* _srcBytes,unsigned int _bytesLength,unsigned int keyN); //功能:解密任意长度十六进制字符串 //参数:任意长度字符串,长度,使用Key的序号0-1 //结果:函数将加密后结果存放于private szFPlaintextAnyLength[8192] // 用户通过属性PlaintextAnyLength 得到 void DecryptAnyLength(char* _srcBytes,unsigned int _bytesLength, unsigned int keyN); //功能:Bytes到Bits的转换, //参数:待变换字符串,处理后结果存放缓冲区指针,Bits缓冲区大小 void Bytes2Bits(char *srcBytes, char* dstBits, unsigned int sizeBits); //功能:Bits到Bytes的转换, //参数:待变换字符串,处理后结果存放缓冲区指针,Bits缓冲区大小 void Bits2Bytes(char *dstBytes, char* srcBits, unsigned int sizeBits);
RSA和DES加密算法详解
RSA算法可以用于生成数字签名，验证数据的完整性和来源，确保数据在传输过程中未 被篡改或伪造。
密钥管理
RSA算法可以用于密钥分发和交换，确保通信双方能够安全地共享密钥，进行加密通信。
DES的应用场景
保护金融交易
DES加密算法曾广泛应用于金融交易中，如 信用卡交易和银行转账，保护敏感信息不被 非法获取。
加密过程
将明文转换为数字后，使用公钥(e,n)进行加密，得到密文。解密过程则使用私钥(d,n)进行解密，还原出明文。
RSA算法的安全性
安全性基于大数因子分解
RSA算法的安全性主要基于大数因子分解的困难性。即使攻击者知道了公钥和密文，也很难通过计算 得到原始的明文。
密钥长度决定安全性
RSA算法的安全性取决于密钥长度。一般来说，密钥长度越长，RSA算法的安全性就越高。目前常用 的RSA密钥长度为2048位，被认为是足够安全的。
缺点
01
计算开销大
RSA加密算法相对于DES加密算法需要更多的计算资源和时间，因此在
处理大量数据时可能效率较低。
02
密钥长度较长
为了达到足够的安全强度，RSA加密算法通常需要较长的密钥长度（例
如2048位），这会增加实现和存储密钥的难度和成本。
03
可能遭受侧信道攻击
虽然RSA加密算法本身不容易遭受侧信道攻击，但在某些实现中可能会
暴露密钥信息，从而遭受攻击。
05
DES加密算法的优缺点
优点
安全性高
DES加密算法使用56位密钥，在256次试验中密和解密过程中速度较 快。
易实现
DES算法易于理解和实现，因此在许多编程语言中都 有现成的库可供使用。
缺点
密钥长度短
RSA加密算法
RSA加密算法RSA 加密算法是一种非对称加密算法，由三位数学家 Rivest、Shamir 和 Adleman 共同提出，采用两个不同的密钥进行加解密。
RSA 算法主要用于保护数据的机密性和完整性，在互联网通信、电子商务、数字签名等领域得到广泛应用。
1.选择两个大的质数p和q，计算n=p*q。
n被称为模数，p和q称为密钥生成的一部分，需要保密。
2.根据欧拉函数φ(n)的性质，计算φ(n)=(p-1)*(q-1)。
3. 选择一个整数 e，使得1 < e < φ(n) 且gcd(e, φ(n)) = 1，e 称为公钥指数。
4. 计算关于模φ(n) 的 e 的乘法逆元素 d，即d * e ≡ 1 (mod φ(n))。
d 称为私钥指数。
5.公钥是(n,e)，私钥是(n,d)，公钥可以公开，私钥需要保密。
6. 加密过程：将待加密的明文 M 转化为整数 m，在模数 n 下，计算密文 C = m^e mod n。
7. 解密过程：将密文 C 转化为整数 c，在模数 n 下，计算明文 M = c^d mod n。
RSA算法的优点是：1.加密和解密过程分别使用不同的密钥，提高了安全性。
2.非常适合进行数字签名和数字证书的领域应用，能有效抵御冒充和篡改。
3.算法存在的数学难题使得破解困难，强大的安全性能。
然而，RSA算法也有一些缺点：1.加密和解密过程速度较慢，特别是处理大数据量时。
2.密钥的生成和管理需要一定的计算资源和复杂性。
3.对于特定的攻击，如侧信道攻击和选择密码攻击等，RSA算法可能存在风险。
为了提高RSA算法的性能和安全性，通常结合其他的密码学技术，如组合RSA和对称加密算法构成混合加密体制，以克服各自的缺点。
总的来说，RSA加密算法是一种安全可靠的非对称加密算法，具有广泛的应用领域和重要的实际价值，为保障数据的机密性和完整性提供了有效的保护措施。
RSA的算法原理
RSA的算法原理
RSA算法是一种非对称加密算法，它的原理基于两个数学难题：大数分解和模幂运算。
首先，选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n。
接下来，根据欧拉函数的性质，求解出n的欧拉函数值φ(n)。
欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。
在选择两个素数p和q的过程中，保证它们足够大并且足够难以分解。
因为分解n的难度取决于两个大素数的大小和选择，所以这是RSA算法的关键。
接下来，选择一个整数e，1 < e < φ(n)，使得e与φ(n)互质。
e
成为公钥的一部分，它用于加密消息。
然后，计算e关于φ(n)的模逆d，即满足(ed ≡ 1 (mod φ(n)))的
整数d。
d成为私钥的一部分，它用于解密加密过的消息。
有了公钥(e, n)和私钥(d, n)，就可以进行加密和解密操作。
加
密时，将明文m使用公式c = m^e (mod n)进行加密，其中c
表示密文。
解密时，将密文c使用公式m = c^d (mod n)进行解密，得到原始的明文。
RSA算法的安全性基于大数分解的困难性和模幂运算的高效性。
在实际应用中，选择足够大的素数和合适的密钥长度，可以保证RSA算法的安全性。
但是，由于其计算开销较大，所
以通常用于加密较小的数据或者用于密钥交换。
RSA加密算法原理
RSA加密算法原理RSA加密算法是一种非对称密码算法，起源于1977年，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman共同提出。
它基于一个简单的数论问题，即将两个大素数相乘容易，但是将其乘积分解成两个大素数却极为困难。
RSA算法要求用户生成一对密钥，包括公钥和私钥。
公钥用于加密数据，私钥用于解密加密后的数据。
下面我将详细介绍RSA加密算法的原理及过程。
1. 密钥生成过程：（1）选择两个不同的大素数p和q。
（2）计算n = p * q。
（3）计算欧拉函数φ(n) = (p-1) * (q-1)。
（4）选择一个整数e，使得1 < e < φ(n)，且e与φ(n)互质。
（5）通过计算求得e关于φ(n)的模反元素d，即满足e * d ≡ 1 mod φ(n)。
（6）将n和e组成公钥（n，e），将n和d组成私钥（n，d）。
2. 数据加密过程：（1）将待加密的数据转换成对应的整数m。
（2）计算密文c = m^e mod n。
（3）将密文c作为加密后的数据输出。
3. 数据解密过程：（1）接收到密文c后，将c作为待解密的数据。
（2）计算明文m = c^d mod n。
（3）将明文m作为解密后的数据输出。
通过上述步骤，我们实现了RSA加密算法的原理。
需要注意的是，RSA加密算法的安全性依赖于质因数分解的困难性，即将n分解成p和q。
只要质因数分解的难题没有被有效地攻破，RSA算法便是安全的。
总结：RSA加密算法是一种非对称密码算法，通过使用公钥加密、私钥解密的方式来保障数据的安全性。
它的原理基于两个大素数相乘容易，分解乘积困难的数论问题。
通过生成密钥、数据加密和数据解密的过程，我们可以达到加密和解密数据的目的。
但是需要注意的是，选择大素数以及质因数分解仍然是保证RSA算法安全性的关键。
rsa的原理
rsa的原理RSA加密算法原理及应用RSA加密算法是一种非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman在1977年提出，是目前最广泛使用的公钥加密算法之一。
RSA算法的安全性基于大数分解的困难性，即对于一个非常大的合数，要将其分解成两个质数的乘积是非常困难的。
RSA算法的原理是基于数学中的欧拉定理和扩展欧几里得算法。
首先，选择两个大质数p和q，计算它们的乘积n=p*q，然后选择一个整数e，使得e与(p-1)*(q-1)互质。
接着，计算e关于(p-1)*(q-1)的模反元素d，即满足(e*d) mod (p-1)*(q-1)=1的整数d。
此时，公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
加密时，将明文m转换为整数M，然后计算密文C=M^e mod n。
解密时，将密文C转换为整数C，然后计算明文m=C^d mod n。
由于只有知道私钥才能解密，因此RSA算法是一种非对称加密算法。
RSA算法的应用非常广泛，例如在电子商务、数字签名、SSL/TLS 协议等领域都有广泛的应用。
在电子商务中，RSA算法可以用于保护用户的隐私信息，例如信用卡号、密码等。
在数字签名中，RSA 算法可以用于验证数字签名的合法性，保证数字签名的真实性和完整性。
在SSL/TLS协议中，RSA算法可以用于保护网络通信的安全性，例如HTTPS协议中的SSL证书就是基于RSA算法实现的。
虽然RSA算法是一种非常安全的加密算法，但是它也存在一些缺点。
首先，RSA算法的加密和解密速度比较慢，因为它需要进行大数运算。
其次，RSA算法的安全性依赖于大数分解的困难性，如果有一种更快速的算法可以有效地分解大数，那么RSA算法的安全性就会受到威胁。
因此，为了保证RSA算法的安全性，需要选择足够大的质数p和q，以及足够长的密钥长度。
RSA算法是一种非常重要的加密算法，它在保护网络通信、保护用户隐私、验证数字签名等方面都有广泛的应用。
虽然RSA算法存在一些缺点，但是它仍然是目前最广泛使用的公钥加密算法之一。
rsa加密 实验报告
rsa加密实验报告RSA加密实验报告概述RSA加密算法是一种非对称加密算法，广泛应用于信息安全领域。
本实验旨在通过实际操作，深入理解RSA加密算法的原理、过程和应用。
实验目的1. 理解RSA加密算法的原理和基本概念；2. 掌握RSA加密算法的加密和解密过程；3. 了解RSA加密算法的应用场景和安全性。
实验材料1. 一台计算机；2. 编程语言或工具，如Python。
实验步骤1. 生成密钥对首先，我们需要生成一对RSA密钥，包括公钥和私钥。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
在Python中，可以使用`cryptography`库来生成密钥对。
2. 加密数据选择一段需要加密的数据，可以是文本、图片或其他文件。
将数据使用公钥进行加密，得到密文。
在Python中，可以使用`cryptography`库中的RSA加密函数来实现。
3. 解密数据使用私钥对密文进行解密，还原成原始数据。
在Python中，可以使用`cryptography`库中的RSA解密函数来实现。
4. 实验结果分析分析实验结果，包括加密后的密文和解密后的明文。
观察密文的长度和结构，以及解密过程是否成功。
同时，可以比较不同数据加密的结果，探讨RSA加密算法的安全性和可靠性。
实验注意事项1. 密钥的安全性：私钥是解密数据的关键，必须妥善保管，避免泄露给他人。
公钥可以公开使用，但也需要注意保护，以防止被篡改。
2. 数据大小限制：RSA加密算法对数据的大小有一定限制，一般建议将较大的数据先进行分块处理，然后分别加密和解密。
3. 算法优化：RSA加密算法的性能较低，特别是对大素数的计算。
在实际应用中，可以采用一些优化技术，如使用快速模幂算法，提高加密和解密的效率。
实验结论通过本次实验，我们深入了解了RSA加密算法的原理和过程。
RSA加密算法具有较高的安全性，适用于保护敏感数据的加密和解密。
然而，由于其计算复杂度较高，对于大数据的加密和解密可能存在性能问题。
RSA加密算法及实现
RSA加密算法及实现RSA 是一种非对称加密算法，由Rivest、Shamir 和Adleman 三位数学家于1977年提出，现在广泛应用于电子邮件加密、数字签名和安全传输等领域。
RSA 算法基于两个大素数的乘积难以分解的特性，实现了安全的加密和解密过程。
RSA算法的核心原理是利用数论中的欧拉函数、模逆和模幂运算。
下面将详细介绍RSA算法的加密和解密流程。
1.生成密钥对首先选择两个不同的大素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
然后计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
选择一个与φ(n)互质的整数e，作为公钥的指数。
再利用模逆运算求解整数d，使得(d*e)%φ(n)=1，d即为私钥的指数。
2.加密过程假设要加密的消息（明文）为m，公钥为(n,e)。
将明文转换成整数M，并满足0≤M<n。
加密过程即为计算密文C=M^e%n，然后将密文发送给接收者。
3.解密过程接收者使用私钥(n,d)进行解密。
将密文C转换成整数，并计算明文M=C^d%n。
最后将整数M转换成消息，并得到解密后的明文。
RSA算法的安全性基于分解大整数n的困难性，如果有人能够有效地分解n，并得到p和q，那么整个算法的安全性将被破坏。
目前，分解大整数依然是一个非常耗费计算资源的问题，因此RSA算法在理论上是安全的。
实现 RSA 加密算法需要涉及大数运算和模幂运算等复杂的数学运算。
下面是一个简化版的 RSA 加密算法的 Python 代码实现：```pythonimport random#扩展欧几里得算法求解模逆def extended_gcd(a, b):if b == 0:return a, 1, 0gcd, x, y = extended_gcd(b, a % b)return gcd, y, x - (a // b) * y#计算模幂运算def mod_exp(a, b, n):result = 1while b > 0:if b % 2 == 1:result = (result * a) % na=(a*a)%nb//=2return result#生成密钥对def generate_keys(:p = random.randint(100, 1000)q = random.randint(100, 1000)while p == q or not is_prime(p) or not is_prime(q): p = random.randint(100, 1000)q = random.randint(100, 1000)n=p*qphi = (p - 1) * (q - 1)e = random.randint(2, phi - 1)gcd, d, _ = extended_gcd(e, phi)#确保d为正数if d < 0:d += phireturn (n, e), (n, d)#加密过程def encrypt(message, public_key):n, e = public_keym = int.from_bytes(message.encode(, 'big')c = mod_exp(m, e, n)return c#解密过程def decrypt(ciphertext, private_key):n, d = private_keym = mod_exp(ciphertext, d, n)message = m.to_bytes((m.bit_length( + 7) // 8, 'big').decode return message#判断一个数是否为素数def is_prime(n):if n <= 1:return Falsefor i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):if n % i == 0:return Falsereturn True#示例运行代码if __name__ == '__main__':public_key, private_key = generate_keysmessage = "Hello, RSA!"ciphertext = encrypt(message, public_key)plaintext = decrypt(ciphertext, private_key)print("Public key:", public_key)print("Private key:", private_key)print("Ciphertext:", ciphertext)print("Decrypted plaintext:", plaintext)```以上代码是一个简单的实现，仅用于理解RSA加密算法的基本原理。
简述rsa加密算法
简述RSA加密算法概述RSA加密算法是一种非对称加密算法，它是由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman在1977年共同提出的，也因此得名。
RSA算法以其高效性、可靠性和安全性而广泛应用于信息加密领域，备受社会的关注。
基本原理RSA加密算法基于数论中的一个重要问题，即质因数分解。
其基本原理可以概括为以下几步：1.选择两个不同的大质数p和q，并计算它们的乘积n（n = p * q）。
2.计算n的欧拉函数φ(n)。
对于两个互质的整数p和q，φ(n) = (p - 1) *(q - 1)。
3.选择一个满足1 < e < φ(n)且gcd(e, φ(n)) = 1的整数e，作为公钥的指数。
4.计算e的乘法逆元d，使得(e * d) mod φ(n) = 1，作为私钥的指数。
5.将n和e作为公钥，n和d作为私钥。
加解密过程RSA加密算法的加解密过程如下：加密1.将明文M转换为整数m，使得0 <= m < n。
2.计算密文C，C = (m^e) mod n。
解密1.将密文C转换为整数c，使得0 <= c < n。
2.计算明文M，M = (c^d) mod n。
RSA算法的安全性基于质因数分解问题的困难性。
目前，对于较小的公开指数e，可以使用穷举法较容易地进行质因数分解，从而破解RSA加密。
因此，在实际应用中，要求公开指数e选择一个较大的素数，通常为65537。
此外，RSA算法还面临着其他攻击手段的威胁，如选择明文攻击、共模攻击和侧信道攻击等。
为了提高安全性，可以采取以下措施：•使用足够大的密钥长度，一般推荐至少2048位。
•避免使用相同的模数，避免共模攻击。
•使用合适的填充方案，如RSA-OAEP填充，提高抗侧信道攻击的能力。
•定期更新密钥，避免长时间使用同一密钥。
应用领域RSA加密算法在信息安全领域有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：数字证书RSA算法被用于生成和验证数字证书。
信息安全-RSA加密算法实验报告
信息安全-RSA加密算法实验报告RSA加密算法是一种非对称加密算法，它能够保障信息的安全性，被广泛应用于各种领域。
本次实验的目的是深入理解RSA加密算法的原理和应用，掌握RSA算法的加密和解密过程，并进行相应的实验操作。
一、具体实验操作1.1 生成RSA密钥对在Python中引入RSA模块，使用generate方法生成RSA密钥对。
密钥长度为1024位，生成的公钥和私钥分别保存在public.pem和private.pem两个文件中。
```from Crypto.PublicKey import RSA# 生成RSA密钥对key = RSA.generate(1024)# 分别保存到public.pem和private.pem文件中with open('public.pem', 'wb') as f:f.write(key.publickey().exportKey())1.2 加密和解密加密和解密的过程中，首先读入公钥和私钥，分别使用公钥对信息进行加密，私钥对密文进行解密。
# 测试加密和解密message = 'RSA加密算法实验'print(f"原始信息：{message}")ciphertext = encrypt(message)print(f"密文：{ciphertext}")message = decrypt(ciphertext)print(f"解密后信息：{message}")```二、结果分析经过实验操作，我们发现RSA加密算法实现了高强度的信息加密和解密，确实能够有效保障信息的安全性。
下面对RSA算法的加密和解密过程进行详细的分析。
2.1 密钥产生RSA算法的优势在于它的非对称密码系统，即公钥加密，私钥解密；私钥加密，公钥解密。
RSA的安全基于大质数分解理论，具体来说，是利用了存在一个大因子分解困难的数，对于多种攻击手段都有较好的抵御力度。
RSA加密算法的研究与实现
RSA加密算法的研究与实现摘要在新信息时代，信息的保密尤为重要。
公钥密码学的出现对现代保密体系起到了十分重要的作用，其中RSA算法是目前在理论和实际应用中最为成熟和完善的一种公钥密码体制。
它运用最多的地方是加密，还可用来进行身份验证和数字签名，是一种典型的公钥密码体制。
本文给出了RSA运算中的模幂乘速度上的改进，对RSA加解密变换、身份验证的基本原理进行了相应的分析，分析了当前针对RSA算法的攻击手段，归纳出提高RSA算法安全性应该考虑的几个因素。
此外，论文还通过实验方式对改进的RSA算法进行了验证，通过比对，得出改进的算法比原有算法在效率上有一定程度提高的结论。
论文还设计了一个加解密程序，并对其进行了验证。
关键词RSA，密码学，算法研究ABSTRACTIn the new information age, information confidential is particularly important.The emergence of modern public key cryptography to confidentiality system plays a very important role,including RSA algorithms are currently in theory and practical application of the most mature and perfect a public key cryptosystems.It utilizes most place is encrypted,also can be used for identity authentication and digital signature,is a kind of typical public key cryptosystems.This paper gives the mould by RSA operation speed of the power of RSA encryption improvement,transform,the basic principle of identity check the corresponding analysis,this article analyses the current according to the RSA algorithms attack methods, concludes improve safety should consider RSA algorithms of several factors.In addition,this paper also through experiments to improve RSA algorithms way is verified by comparing,concluded that the improved algorithm on efficiency than the original algorithm with a certain degree increase conclusion.This paper also designed a gal declassification procedures, and analyses the verification.Keywords：RSA,Cryptography,Algorithms第一章绪论 (1)1.1 问题的提出 (1)1.2 密码学概述 (3)1.3 国内外研究现状与水平及其意义 (4)第二章 RSA算法 (6)2.1 RSA算法 (6)2.2 RSA签名算法 (6)第三章 RSA的安全性 (8)3.1 RSA参数选择 (8)3.2 RSA的安全性分析 (10)第四章 RSA算法的研究 (12)4.1 RSA算法实现 (12)4.2 RSA改进算法 (13)4.3 结果分析 (16)第五章文件加密的设计 (17)5.1分析和设计 (17)5.2 对TXT文本加解密 (19)总结 (22)参考文献： (23)致谢 (24)第一章绪论随着时代在进步，科技的发展。
数据加密--详解RSA加密算法原理与实现
数据加密--详解RSA加密算法原理与实现RSA算法简介RSA是最流⾏的⾮对称加密算法之⼀。
也被称为公钥加密。
它是由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）在1977年⼀起提出的。
当时他们三⼈都在⿇省理⼯学院⼯作。
RSA就是他们三⼈姓⽒开头字母拼在⼀起组成的。
RSA是⾮对称的，也就是⽤来加密的密钥和⽤来解密的密钥不是同⼀个。
和DES⼀样的是，RSA也是分组加密算法，不同的是分组⼤⼩可以根据密钥的⼤⼩⽽改变。
如果加密的数据不是分组⼤⼩的整数倍，则会根据具体的应⽤⽅式增加额外的填充位。
RSA作为⼀种⾮对称的加密算法，其中很重要的⼀特点是当数据在⽹络中传输时，⽤来加密数据的密钥并不需要也和数据⼀起传送。
因此，这就减少了密钥泄露的可能性。
RSA在不允许加密⽅解密数据时也很有⽤，加密的⼀⽅使⽤⼀个密钥，称为公钥，解密的⼀⽅使⽤另⼀个密钥，称为私钥，私钥需要保持其私有性。
RSA被认为是⾮常安全的，不过计算速度要⽐DES慢很多。
同DES⼀样，其安全性也从未被证明过，但想攻破RSA算法涉及的⼤数（⾄少200位的⼤数）的因⼦分解是⼀个极其困难的问题。
所以，由于缺乏解决⼤数的因⼦分解的有效⽅法，因此，可以推测出⽬前没有有效的办法可以破解RSA。
RSA算法基于的原理，基本上来说，加密和解密数据围绕着模幂运算，这是取模计算中的⼀种。
取模计算是整数计算中的⼀种常见形式。
x mod n的结果就是x / n的余数。
⽐如，40 mod 13 = 1，因为40 / 13 = 3，余数为1。
模幂运算就是计算a b mod n的过程。
计算公钥和私钥RSA中的公钥和私钥需要结合在⼀起⼯作。
公钥⽤来对数据块加密，之后，只有对应的私钥才能⽤来解密。
⽣成密钥时，需要遵循⼏个步骤以确保公钥和私钥的这种关系能够正常⼯作。
这些步骤也确保没有实际⽅法能够从⼀个密钥推出另⼀个。
RSA加密算法实验报告
RSA加密算法实验报告摘要：本次实验主要使用Python语言实现RSA加密算法，并通过实验对该算法进行了测试和分析。
实验结果表明，RSA算法在保证数据的安全性的同时也存在一定的效率问题。
一、引言RSA加密算法是一种非对称加密算法，广泛应用于网络通信、电子商务中的数据传输和数据存储等领域。
RSA算法的核心原理基于大数分解的数学问题，通过对两个大素数的乘积进行因式分解，从而实现加密和解密的功能。
二、实验方法1.选择并生成两个大素数p和q；2.计算n=p*q，ϕ(n)=(p-1)*(q-1)；3.选择一个小于ϕ(n)且与ϕ(n)互质的正整数e作为加密指数；4.计算d，使得e * d ≡ 1 (mod ϕ(n))；5.公钥为(e,n)，私钥为(d,n)；6.对明文进行加密和解密。
三、实验结果1.选择大素数p=61，q=53，计算n=3233，ϕ(n)=3120；2.选择e=17，并计算d=2753；3.得到公钥(e,n)=(17,3233)，私钥(d,n)=(2753,3233)；4.选择明文m=88进行加密，加密后得到密文c=1323；5.用私钥对密文进行解密，解密后得到明文m'=88四、实验分析1.算法安全性分析：2.算法效率分析：RSA算法的效率受到两个大素数p和q的影响，生成和选择两个大素数的难度较大，因而算法的运算速度较慢。
五、实验总结通过本次实验，我们实现了RSA加密算法，成功进行了加密和解密过程，并对算法进行了安全性和效率的分析。
实验结果表明，RSA算法可以确保数据的安全性，但在效率方面存在一定的问题。
未来的研究可以探索优化RSA算法的方法，提高算法的运算效率，以适应大规模数据处理的需求。
RSA算法简要介绍
明文被转换为密文的过程是通过将明文与公钥的指数相乘，然后取模于 公钥的模数来实现的。这个过程是不可逆的，即无法从密文直接得到明 文。
解密过程
解密算法
解密算法使用私钥对密文进行解密，恢复出原始的明文。解密 过程可以表示为 (P = C^d mod N)，其中 (P) 是明文，(C) 是 密文，(d) 是私钥的指数，(N) 是私钥的模数。
05 RSA算法的实际应用案例
05 RSA算法的实际应用案例
数字签名
数字签名：利用RSA算法，发送方可以生成一个数字签名，以证明消息是由其发 送的，并且消息在传输过程中没有被篡改。接收方使用相同的公钥可以验证签名 的有效性。
数字签名利用了RSA算法的非对称性，使得只有拥有私钥的发送方才能生成有效 的签名。通过验证签名，接收方可以确认消息的来源和完整性，从而防止伪造和 篡改。
尽管RSA算法在理论上是安全的，但 在实际应用中仍然面临一些挑战。例 如，随着计算能力的提高，可能存在 更高效的因数分解方法，从而威胁到 RSA算法的安全性。因此，在实际应 用中需要定期更换密钥和采用其他安 全措施来确保数据的安全性。
安全性分析
安全性基础
安全性证明
安全性挑战
RSA算法的安全性基于大数因数分解 的困难性。即，对于一个大的合数， 很难将其分解为其因数的乘积。
01 RSA算法的起源和历史
01 RSA算法的起源和历史
起源背景
01
RSA算法是由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦 纳德·阿德曼（Leonard Adleman）在1977年首次公开发表的公钥加密算法。
02
RSA算法的命名取自三位发明者姓氏的首字母。
RSA算法原理（一）-阮一峰的网络日志
RSA算法原理（⼀）-阮⼀峰的⽹络⽇志如果你问我，哪⼀种算法最重要？我可能会回答'公钥加密算法'。
因为它是计算机通信安全的基⽯，保证了加密数据不会被破解。
你可以想象⼀下，信⽤卡交易被破解的后果。
进⼊正题之前，我先简单介绍⼀下，什么是'公钥加密算法'。
⼀、⼀点历史1976年以前，所有的加密⽅法都是同⼀种模式： （1）甲⽅选择某⼀种加密规则，对信息进⾏加密； （2）⼄⽅使⽤同⼀种规则，对信息进⾏解密。
由于加密和解密使⽤同样规则（简称'密钥'），这被称为'对称加密算法'（Symmetric-key algorithm）。
这种加密模式有⼀个最⼤弱点：甲⽅必须把加密规则告诉⼄⽅，否则⽆法解密。
保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。
1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了⼀种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。
这被称为'Diffie-Hellman密钥交换算法'。
这个算法启发了其他科学家。
⼈们认识到，加密和解密可以使⽤不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。
这种新的加密模式被称为'⾮对称加密算法'。
（1）⼄⽅⽣成两把密钥（公钥和私钥）。
公钥是公开的，任何⼈都可以获得，私钥则是保密的。
（2）甲⽅获取⼄⽅的公钥，然后⽤它对信息加密。
（3）⼄⽅得到加密后的信息，⽤私钥解密。
如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。
1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了⼀种算法，可以实现⾮对称加密。
这种算法⽤他们三个⼈的名字命名，叫做RSA算法。
从那时直到现在，RSA算法⼀直是最⼴为使⽤的'⾮对称加密算法'。
毫不夸张地说，只要有计算机⽹络的地⽅，就有RSA算法。
rsa加密算法实验心得
rsa加密算法实验心得
心得一：
通过这次的实验，了解了非对称密码算法 RSA，会运用一些现成的算法进行编程，对一些比较复杂的算法开始基本认识并深刻的掌握。
在以后所涉及这方面的知识将会有全新的了解和掌握。
心得二：
通过编写RSA算法，是我进一步明白编程时我们一定要有清晰的算法思路，要知道我们自己要干什么，用哪一种的编程思路更好，函数参数应该怎么设置，这都需要一定的技巧。
当遇到编写和调试所不能解决的问题时，决不能闭门造车瞎苦恼，一定要积极查阅资料，请教同学老师寻求解决办法，因为你有可能可以找到更好地解决方案。
在这次程序编写中，并非所有代码均是自己编写，在做这样的稍微大些的工程的过程中，深感自己编程还有待提高，自己将在以后的学习中更加的努力。
心得三：
1978年出现了著名的RSA算法，它通常是先生成一对RSA 密钥，其中之一是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册。
为提高保密强度，RSA密钥至少为500
位长，一般推荐使用1024位。
这就使加密的计算量很大。
RSA算法
是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。
RSA 是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在的这么多年里，经历了
各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
本次实验对输入的任意一段明文字母，实现了输出对应密钥的密文字母。
亲手实际编写RSA密码算法代码，更好的了解和掌握了RSA的相关内容。
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RSA加密算法初探·前言本文全面的介绍了RSA算法的概念、原理、证明和实现。
我在写作本文之前在网上查阅过相关资料，可这些资料不是含糊其辞就是满篇谬误。
所以我力求用通俗易懂的文字将算法深入剖析，用最严谨的步骤进行论相关的各项算法，以降低文章的阅读难度。
读者只要学过初中代数就可以理解全文，我衷心希望更多读者能认识到加密算法其实并不难。
文中的算法均为伪代码，由于伪代码没有办法进行测试，再加上我个人数学功底比较薄弱，所以错漏之处在所难免，还请各位老师给予指教。
质疑或指正请发送电子邮件到fireseed1949@，我会认真阅读并回复的！感谢北航数学系（毕业）李桢老师、西工大计算机系（毕业）张小宁老师在数学上对我的指点。
另注：文中mod就是求余的符号，X mod Y表示X除以Y所得的余数。
·概述RSA算法是世界上第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的非对称性加密算法。
它易于理解和操作，所以流行甚广。
算法的名字以发明者的名字命名，他们是：Ron Rivest，Adi Shamir 和Leonard Adleman。
虽然RSA的安全性一直未能得到理论上的证实，但它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。
为了让读者更容易的理解RSA加密，先大概讲述一下信息加密技术的相关概念和原理。
我们对于在数字媒体上进行交换的数据进行加密的方法称为信息交换加密技术，它分为两类，即对称加密和非对称加密。
在对称加密技术中，对信息的加密和解密都使用相同的钥，也就是说一把钥匙开一把锁。
这种加密方法可简化加密处理过程，信息交换双方都不必彼此研究和交换专用的加密算法。
如果在交换阶段私有密钥未曾泄露，那么机密性和报文完整性就可以得以保证。
对称加密技术也存在一些不足，如果交换一方有N 个交换对象，那么他就要维护N个私有密钥，对称加密存在的另一个问题是双方共享一把私有密钥，交换双方的任何信息都是通过这把密钥加密后传送给对方的。
如三重DES是DES（数据加密标准）的一种变形，这种方法使用两个独立的56为密钥对信息进行3次加密，从而使有效密钥长度达到112位。
在非对称加密（或称公开密钥加密）体系中，密钥被分解为一对，即公开密钥（公钥）和私有密钥（私钥）。
这对密钥中任何一把都可以作为公开密钥，通过非保密方式向他人公开，而另一把作为私有密钥，加以妥善保存。
公开密钥用于加密，私有密钥用于解密，私有密钥只能由生成密钥的交换方掌握，公开密钥可广泛公布，但它只对应于生成密钥的交换方。
非对称加密方式可以使通信双方无须事先交换密钥就可以建立安全通信，广泛应用于身份认证、数字签名等信息交换领域。
非对称加密体系一般是建立在某些已知的数学难题之上，是计算机复杂性理论发展的必然结果。
最具有代表性是RSA公钥密码体制。
在RSA算法中，我们先要获得两个不同的质数P和Q做为算法因子，再找出一个正整数E，使得E 与( P - 1 ) * ( Q - 1 ) 的值互质，这个E就是私钥。
找到一个整数D，使得( E * D ) mod ( ( P - 1 ) * ( Q - 1 ) ) = 1成立1[1]，D就是公钥1。
设N为P和Q的乘积，N则为公钥2。
加密时先将文转换为一个或一组小于N的整数I，并计算I D mod N的值M，M就密文。
解密时将密文M E mod N，也就是M的E次方再除以N 所得的余数就是明文。
因为私钥E与( P - 1 ) * ( Q - 1 )互质，而公钥D使( E * D ) mod ( ( P - 1 ) * ( Q - 1 ) ) = 1成立。
破解者可以得到D和N，如果想要得到E，必须得出( P - 1 ) * ( Q - 1 )，因而必须先对N进行因数分解。
如果N很大那么因数分解就会非常困难，所以要提高加密强度P和Q的数值大小起着决定性的因素。
一般来讲当P 和Q都大于2128时，按照目前的机算机处理速度破解基本已经不大可能了。
·证明下面将会开始讨论RSA算法的原理及其算法证明。
如果您只关心RSA算法的实现，则可以略过这一步。
我把每一个有用的定理都用粗标标记了，对于数学不很在行的朋友可以只了解一下相关定理的说明而不需要验证求证过程了。
一、费马小定理2[2]的转化费马小定理：有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除，则有：N P mod P = N费马小定理可变形为：N P - N mod P = 0( N ( N P - 1 - 1 ) ) mod P = 0因为( N ( N P - 1 - 1 ) ) mod N = 0所以N和P的公倍数为：N ( N P - 1 - 1 ) （1）又因为N与P互质，而互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以一定存在正整数M使得：N ( N P - 1 - 1 ) = MNP 成立。
并化简为：N P - 1 - 1 = MP( N P - 1 - 1 ) mod P = 0可以变形为：N P - 1 mod P = 1 （2）（2）就是费马小定理的转化定理，为方便叙述，下文简称为定理一。
小提示，可能很多人认为费马小定理本来就是（2），实际上不是这样，因为费马小定理的转化非常容易，而转化定理又是一个无论在数学上还是计算机程序上都很常用的公式，所以人们就普遍认为（2）就是费马小定理了。
二、积模分解公式有X、Y和Z三个正整数，且X * Y大于Z，则有：( X * Y ) mod Z = ( ( X mod Z ) * ( Y mod Z ) ) mod Z证明如下当X和Y都比Z大时，可以将X和Y表示为：X = ZI + A （1）Y = ZJ + B （2）将（1）和（2）代入( X * Y ) mod Z得：( ( ZI + A )( ZJ + B ) ) mod Z( Z( ZIJ + IA + IB ) + AB ) mod Z （3）因为Z( ZIJ + IA + IB )是Z的整数倍，所以（3）式可化简为：AB mod Z因为A和B实际上是X和Y分别除以Z的余数，所以有：( X * Y ) mod Z = ( ( X mod Z ) * ( Y mod Z ) ) mod Z成立。
当X比Z大而Y比Z小时X = ZI + A代入( X * Y ) mod Z得：( ZIY + AY ) mod ZAY mod Z因为A = X mod Z，又因为Y mod Z = Y，所以有：( X * Y ) mod Z = ( ( X mod Z ) * ( Y mod Z ) ) mod Z成立。
同理，当X比Z小而Y比Z大时，上式也成立。
当X和Y都比Z小时，X = X mod Z，Y = Y mod Z所以有：( X * Y ) mod Z = ( ( X mod Z ) * ( Y mod Z ) ) mod Z成立。
积模分解公式成立。
三、定理二有P和Q两个互质数，如果有X mod P = 0，X mod Q = 0，则有：X mod PQ = 0证明：因为P和Q互质，所以它们的公倍数为KPQ（K为整数），最小公倍数为PQ。
又因为X为P和Q的公倍数，所以X / PQ = K，所以X mod PQ = 0。
四、定理三有P和Q两个互质数，设有整数X和Y满足Y mod P = X，Y mod Q = X，则有：Y mod PQ = X证明：X = Y mod P可以表示为：Y = X + kPY - X = kP即Y - X可以被P整除，同理Y - X可以被Q整除。
又因为P、Q互质，根据定理二可得：( Y - X ) mod PQ = 0即Y mod PQ = X五、RSA定理若P和Q是两个相异质数，另有正整数R和M，其中M的值与( P - 1 )( Q - 1 )的值互质，并使得( RM ) mod( P - 1 )( Q - 1 ) = 1。
有正整数A，且A < PQ，设C = A R mod PQ，B = C M mod PQ则有：A = B证明：将C = A R mod PQ代入B = C M mod PQ得：B = ( ( A R mod PQ )M ) mod PQ根据积模分解公式，可变形为：B = ( A R )M mod PQB = A RM mod PQ （1）因为有( RM ) mod ( P - 1 )( Q - 1 ) = 1，所以有：RM = K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1，K为正整数。
代入（1）得：B = A K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1 mod PQ （2）如果A RM < PQ时，明显有B = A。
如果A RM > PQ，且A不是P的倍数也不是Q的倍数时，（2）可变形为：B = ( AA K ( P - 1 )( Q - 1 ) ) mod PQ根据积模分解公式可变形为：B = ( ( A mod PQ )( A K ( P - 1 )( Q - 1 ) mod PQ ) ) mod PQ （3）因为P为素数，所以A和P互质。
根据定理一，有A P - 1 mod P = 1成立两边同乘K ( Q - 1 )次方( A P - 1 mod P )K ( Q - 1 ) = 11关于任何正整数取余的值都为1，两边同mod P得：( A P - 1 mod P )K ( Q - 1 ) mod P = 1根据积模分解公式的逆公式A K( P - 1 )( Q - 1 ) mod P = 1同理可得：A K( P - 1 )( Q - 1 ) mod Q = 1根据定理三可得：A K( P - 1 )( Q - 1 ) mod PQ = 1代入（3）得：B = ( A mod PQ ) mod PQ因为A < PQ，所以B = A成立在述证明过程中可以总结一点：当P为素数且A和P互质时，那么当N为任意自然数时都有A N( P - 1 ) mod P = 1成立，这个定理下面还要用到，我们称之为定理四。
如果A RM> PQ，且A不是P的倍数而是Q的倍数时，（一些证明过程如上，此项情况的证明过程就不再赘述了）A可表示为A = NQ，N为一小于A的整数。
那么（2）式可变形为：B = NQ K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1 mod PQB = ( N K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1 )( Q K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1 ) mod PQ把Q作为公因子提出来，得：B = ( ( NN K ( P - 1 )( Q - 1 ) ) ( Q K ( P - 1 )( Q - 1 ) mod P ) ) Q用积模分解公式进行分解，得：B = ( ( NN K ( P - 1 )( Q - 1 ) mod P )( Q K ( Personal - 1 )( Q - 1 ) mod P ) mod P ) Q跟据定理四，N K ( P - 1 )( Q - 1 )和Q K ( P - 1 )( Q - 1 )的值都为1，所以有：B = ( ( ( N mod P ) mod P ) mod P ) QB = NQ mod PQ mod PQ mod PQB = A mod PQ mod PQ mod PQ因为A < PQ，所以B = A成立同理，当A是P的倍数而不是Q的倍数时，B = A也成立。