2019届河南省高考模拟试题精编(九)文科数学(解析版)

2019届河南省高考模拟试题精编(九)文科数学(考试用时：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)，则z ·z ＝( ) A.2 B ．2 C ．1 D.122．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x ＞a }，A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )A.176升B.72升 C.11366升 D.10933升 4．已知几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的内切球的半径为()A. 2B.33C. 3D.3＋175．已知实数3、m 、163依次构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率为( )A.32或 5B.32C. 5D.32或526．已知命题p ：若a ＝0.30.3，b ＝1.20.3，c ＝log 1.20.3，则a ＜c ＜b ；命题q ：“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )7．已知M (－4,0)，N (0，－3)，P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则△PMN 面积的取值范围是( )A ．[12,24]B ．[12,25]C ．[6,12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，252 8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．21B ．22C ．23D ．249．今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有多少钱？( )A ．28B ．32C ．56D ．7010．已知P 是△ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →＝xAB→＋yAC →，则xy 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，49 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14 12．已知函数f (x )＝2ln x ＋(x －t )22x ，若对任意的x ∈[1,2]，f ′(x )·x ＋f (x )＞0恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(0,1)D ．(1,2)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．假若你是某工厂厂长，在你的办公桌上有各部门提供的以下信息．人事部：明年工人数不多于600，且每人每年按2 000个工时计算； 市场部：预计明年产品的销售量在9 000～11 000件；技术部：生产该产品平均每件需要120个工时，且这种产品每件需要安装4个某重要部件；供应部：某重要部件的库存为2 000个，明年可采购到这种部件34 000个． 由此推算，明年产量最多为________件．14．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝________.15．已知数列{a n }是首项为32的正项等比数列，S n 是其前n 项和，且S 7－S 5S 5－S 3＝14，若S k ≤4·(2k －1)，则正整数k 的最小值为________． 16．已知点P 是抛物线C ：y 2＝x 上的定点(P 位于第一象限)，动直线l ：y ＝－36x ＋m (m ＜0)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，若对任意的m ∈(－∞，0)，直线PA ，PB 的倾斜角总是互补，则点P 的坐标是________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必答题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24. (1)求角A ；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．18．(本小题满分12分)在某校举行的航天知识竞赛中，参加竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]，分数在80分以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？文科生理科生总计获奖 5不获奖总计200附表及公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 819.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的正方形，E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥面PCD.(1)求证：AP＝AD；(2)若PA⊥BD，求三棱锥D-ACE体积．20．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a2x 2－(a ＋1)x .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－2，求f (x )的单调区间； (2)若x ＞0时，f (x )x ＜f ′(x )2恒成立，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集；(2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．高考文科数学模拟试题精编(九)班级：__________姓名：__________得分：________________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.________14._______15._______16.________三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考文科数学模拟试题精编(九)1．解析：选B.通解：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，z ＝1－i ，z ·z ＝2，故选B.优解：由题意知|z |＝|2i||1＋i|＝|2|2＝2，利用性质z ·z ＝|z |2，得z ·z ＝2，故选B.2．解析：选A.∵A ＝{x ∈R|x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞a }，A ∩B ＝∅，∴a ≥3，故选A.3．解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A. 4.解析：选B.由三视图知该几何体为四棱锥，如图，可知PO ＝22－1＝3，V ＝13×S ABCD ×PO ＝13×4×3＝433，四棱锥的全面积S ＝22＋12×2×2×4＝12，设四棱锥的内切球的半径为r ，可知13×r ×S ＝V ，即13×r ×12＝433，解得r ＝33.故选B.5．解析：选A.由题意得m ＝±4，当m ＝4时，曲线为焦点在y 轴上的椭圆，离心率为32；当m ＝－4时，曲线为焦点在x 轴上的双曲线，离心率为51＝5，故选A.6．解析：选C.因为0＜a ＝0.30.3＜0.30＝1，b ＝1.20.3＞1.20＝1，c ＝log 1.20.3＜log 1.21＝0，所以c ＜a ＜b ，故命题p 为假命题，綈p 为真命题；由x 2－x －6＞0可得x ＜－2或x ＞3，故“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，q 为真命题，故(綈p )∧q 为真命题，选C.7．解析：选C.作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点M (－4,0)，N (0，－3)的直线的方程为3x ＋4y ＋12＝0，而它与直线3x ＋4y ＝12平行，其距离d ＝|12＋12|32＋42＝245，所以当P 点在原点O 处时，△PMN 的面积最小，其面积为△OMN 的面积，此时S △OMN ＝12×3×4＝6；当P 点在线段AB 上时，△PMN的面积最大，为12×32＋42×245＝12，故选C.8．解析：选C.n ＝21,21＝0(mod 3)；n ＝22，∴22＝1(mod 3)；n ＝23， ∴23＝2(mod 3)；23＝3(mod 5)，∴输出n ＝23.9．解析：选B.设甲、乙、丙三人各持有x ，y ，z 钱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z2＝90y ＋x ＋z2＝70z ＋x ＋y 2＝56，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72y ＝32z ＝4，所以乙手上有32钱．10．解析：选A.取AC 的中点为O ，连接OM ，ON ，则ON ∥AP ，ON ＝12AP ，OM ∥BC ，OM ＝12BC ，所以异面直线PA 与MN 所成的角为∠ONM ，在△ONM中，依题意得，OM ＝2，ON ＝23，MN ＝4，由勾股定理可知OM ⊥ON ，则∠ONM ＝30°，选A.11．解析：选D.由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB→＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤λ≤－13，所以AB→－AP →＝PB →＝λBC →＝λ(AC →－AB →)，所以AP →＝－λAC →＋(λ＋1)AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－λx ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，于是xy ＝x (1－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝23时，xy 取得最小值29，所以xy 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14，故选D.12．解析：选A.令F (x )＝2xf (x )，则F ′(x )＝2f (x )＋2xf ′(x )，由f ′(x )·x ＋f (x )＞0可知F ′(x )＞0在[1,2]上恒成立，所以对任意的x ∈[1,2]，F ′(x )＝2x ＋2(x －t )＞0恒成立，即t ＜x ＋1x ，因此问题转化为t ＜h (x )＝x ＋1x 在[1,2]上恒成立．因为h (x )min ＝1＋11＝2，所以t ＜2，选A.13．解析：设工人数为n ，由已知最多为600人，则劳动力的年生产能力为n ×2 000＝2 000n .由生产该产品平均每件需要120个工时，得产量为2 000n ÷120＝503n ≤503×600＝10 000(件)，而这10 000件产品需要某重要部件的数量40 000＞2 000＋34 000＝36 000，因此从供应部提供的信息知年生产量为36 000÷4＝9 000，刚好达到预计销售量的最低限，由此可见，明年产量最多为9 000件．答案：9 00014．解析：由sin α－sin β＝1－32，得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－322，即sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝74－3，①由cos α－cos β＝12，得cos 2α＋cos 2β－2cos αcosβ＝14，②①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝3，即cos(α－β)＝32. 答案：3215．解析：∵S 7－S 5S 5－S 3＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝q 2＝14，∴q ＝12.又∵S k ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 1－12＝64－64⎝ ⎛⎭⎪⎫12k≤4·(2k －1)．化简得：22k －17·2k ＋16≥0，∴2k ≥16,2k ≤1(舍)，∴k ≥4. 答案：416．解析：由题意知，直线PA ，PB 的斜率均存在，设点P (t 2，t )(t ＞0)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，直线PA 的斜率为k ，则直线PA ：y －t ＝k (x －t 2)，直线PB ：y －t ＝－k (x －t 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y －t ＝k (x －t 2)，化简得k 2(x －t 2)2＋(2tk －1)(x －t 2)＝0，又x A ≠t 2，所以x A －t 2＝1－2tk k 2，y A －t ＝k －2tk 2k 2＝1－2tk k ，同理，x B －t 2＝1＋2tk k 2，y B －t ＝－k －2tk 2k 2＝－1－2tk k ，于是k AB＝y A －y Bx A －x B＝(y A －t )－(y B －t )(x A －t 2)－(x B －t 2)＝2k －4tk＝－12t ＝－36，则t ＝3，则P (3，3)．答案：P (3，3) 17．解：(1)由cos2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24， 得cos (B －C )2－sin B ·sin C ＝－24，(2分)∴cos(B＋C)＝－22，(4分)∴cos A＝22(0＜A＜π)，∴A＝π4.(6分)(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得16＝b2＋c2－2bc≥(2－2)bc，当且仅当b＝c时取等号，即bc≤8(2＋2)．(10分)∴S△ABC＝12bc sin A＝24bc≤4(2＋1)，即△ABC面积的最大值为4(2＋1)．(12分)18．解：(1)a＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025，x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.(4分)(2)2×2列联表如下：文科生理科生总计获奖53540不获奖45115160总计50150200因为K2＝200×(5×115－35×45)240×160×50×150＝256≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．(12分)19．解：(1)证明：取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则EQ綊12CD，又AF綊12CD，∴AFEQ为平行四边形，EF∥AQ，(2分)∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，∴AP＝AD.(6分)(2)∵AQ⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AQ⊥CD，又AD ⊥CD ，又AQ ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ，又BD ⊥PA ，CD ∩BD ＝D ，∴PA ⊥平面ABCD .(10分)∴V D -ACE ＝V E -ACD＝13×12PA ×S △ACD ＝13×12×2×12×2×2＝23. 故三棱锥D -ACE 的体积为23.(12分)20．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4.(2分)∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b2＝1.解得a 2＝8，b 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 28＋y24＝1.(5分)(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0＞0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kxx 28＋y 24＝1得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k2，∴直线AP 的方程为y ＝k 1＋1＋2k 2(x ＋22)，直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)，(8分) ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2，∴|MN | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |，设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k ，则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4.(10分)令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2，0)，P 2(2,0)．(12分)21．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ＋ax －(a ＋1)，则f ′(1)＝0.(1分)而f (1)＝ln 1＋a 2－(a ＋1)＝－a2－1，∴曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－a2－1.(2分)∴－a2－1＝－2，解得a ＝2.(3分)∴f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝1x ＋2x －3.(4分)由f ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x 2－3x ＋1x ＞0，得0＜x ＜12或x ＞1，由f ′(x )＝1x ＋2x －3＜0，得12＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12，1.(6分)(2)若f (x )x ＜f ′(x )2，则ln x x ＋a 2x －(a ＋1)＜12x ＋ax 2－a ＋12，即ln x x －12x ＜a ＋12在区间(0，＋∞)上恒成立．(7分)设h (x )＝ln x x －12x ，则h ′(x )＝1－ln x x 2＋12x 2＝3－2ln x 2x 2，(9分)由h ′(x )＞0，得0＜x ＜e 32，因而h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e 32上单调递增，由h ′(x )＜0，得x ＞e 32，因而h (x )在(e 32，＋∞)上单调递减．∴h (x )的最大值为h (e 32)＝e －32，∴a ＋12＞e －32，故a ＞2e －32－1.从而实数a 的取值范围为{a |a ＞2e －32－1}．(12分)．22.解：(1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y＋2)2＝1，(1分)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，(3分) 圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(5分)(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，(8分)∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.(10分)23．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝4－|x ＋32|－|x －32|≥0，得|x ＋32|＋|x －32|≤4.当x ＜－32时，－x －32－x ＋32≤4，解得x ≥－2，∴－2≤x ＜－32；当－32≤x ≤32时，x ＋32－x ＋32≤4恒成立，∴－32≤x ≤32；当x ＞32时，x ＋32＋x －32≤4，解得x ≤2，∴32＜x ≤2. 综上，|x ＋32|＋|x －32|≤4，即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]．(5分)(2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r .由柯西不定式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9.∵13p＋12q＋1r＝4，∴3p＋2q＋r≥94，(8分)当且仅当13p＝12q＝1r＝43，即p＝14，q＝38，r＝34时，取等号．∴3p＋2q＋r的最小值为94.(10分)。