9.8棱柱、棱锥的面积与体积
《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计、导学案、同步练习
《8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。
教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。
【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。
建立知识间的联系，提高学生概括、类2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。
棱柱棱锥棱台的表面积和体积完整版课件
北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐 步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述 变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多 种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考 虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活 力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？
高
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥， 两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗 的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？
解：由题意知
V长方体ABCDABCD 11 0.5 0.5(m3 )
V棱锥P ABCD
1 11 0.5 3
柱
一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为
体
高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一
个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的
距离。
h
s
锥
正棱椎的体积公式是 V 1 Sh
3
体
(其中S为底面面积，h为高)
它是同底同高的棱柱的体积的 1 3
棱锥的体积公式也是 V 1 Sh 3
1 B.2
3 D. 4
4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所 有小正方体的表面积为 18a2 ． 【解析】原正方体的棱长为 a，切成的 27 个小正方体的棱长为13a， 每个小正方体的表面积 S1＝19a2×6＝23a2，所以 27 个小正方体的表面 积是23a2×27＝18a2.
垂线，这点与垂足之间的距离。
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱 柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
体几何—棱柱、棱锥侧面积与体积》
二、棱锥
1.设正棱锥的底面周长为c，斜高为h′，则它
1 的侧面积S锥侧= ch 2 1 2.设棱锥底面积为S，高为h，则其体积V= Sh 3
返回
课前热身
1.设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C ) (A)4cm2 (C)2cm2 (B)2 2 cm2 (D) 2cm2
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
54《立体几何－ 棱柱、棱锥侧面积与体积》
棱柱、棱锥的侧面积与体积
要点·疑点·考点
课
前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展
误
解 分 析
要点·疑点·考点
一、棱柱 1.设直棱柱的底面周长为c，高是h，侧面积为 S柱，则S柱=ch 2.设斜棱柱的直截面的周长为c，侧棱长为l， 侧面积为S斜，则S斜=cl 3.设棱柱底面积为S，高为h则体积V=Sh
4. 如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥ AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点． (1)求证：EF⊥面BCD； (2)求多面体ABCDE的体积； (3)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.
【解题回顾】对于不规则几何体一定要能识别其本
质，本题的多面体实际上是倒着的四棱锥.
6
3
返回
能力·思维·方法
1.若一个斜棱柱A1B1C1—ABC的底面是等腰 △ ABC， 它的三边边长分别是AB=AC=10cm，BC=12cm，棱柱 的顶点A1 与A 、 B 、 C三点等距，且侧棱AA1基本方法是求出各个 侧面的面积与底面积.本题求侧面积时也可以用直截面 BCD的周长去乘AA1而得到.
国6省的高考题.(2)来源于1987年全国理科题，即将锥 体分割成两个有公共底，高在同一线段上的两个锥体. 因此本例实际上是将两年高考题有机地结合在一起.
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
所以正四棱台的侧面面积为48 15.
练习
变1.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积.
解：如图，设 = 3，是斜高.
1
2
∵侧 = 2底 ，∴4 ∙ ∙ ∙ = 2 2 .
∴ = .在∆中， = 3， =
∴9
2
+( ) =
公式法
直接代入公式求解
等积法 例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用
底面积和高都易求的形式即可
补体法 将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三
棱柱补成四棱柱等
分割法 将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
练习
题型三：组合体的表面积体积
例3.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
与体积
复习引入
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节进一步
认识简单几何体的表面积和体积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体
所占空间的大小.
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的
表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
例析
练习
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底
面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧
面面积.
解：(法二)设正四棱台为 − 1 1 1 1 ，延长正四棱台的侧棱交于点，作
面上的斜高，交1 1 于1 ，如图.
设1 =
，则
3
故剩余部分的体积 = 正方体 − 三棱锥 − = −
1
1 3
6
=
1 3
《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案、导学案、课后作业
《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案【教材分析】本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；难点：棱台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本114-115页，思考并完成以下问题1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究（一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S＋S )h .四、典例分析、举一反三题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积．【解析】因为四面体S －ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示．S ABC a 2因为BC ＝SB ＝a ，SD,所以S △SBC ＝BC ·SD ＝a ×a ＝a 2. 故四面体S －ABC 的表面积S ＝4×a 22. 解题技巧（求多面体表面积注意事项） 1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．跟踪训练一1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m ，底面外接圆的半径是0.46 m ，问：制造这个滚筒需要________m 2铁板(精确到0.1 m 2)．【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m ， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S 侧＝ch ＝6×0.46×1.6＝4.416 (m 2)． 所以S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6 (m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板． 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．==1212244【答案】16.【解析】 V 三棱锥A －DED 1＝V 三棱锥E －DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.例3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m ，公共面是边长为1m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？【答案】【解析】由题意知长方体的体积，棱锥的体积， 所以这个漏斗的容积. 解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项) 1．常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题ABCD 30.01m 30.67m ''''ABCD A B C D -110.5V =⨯⨯()30.5m =''''P A B C D -1110.53V =⨯⨯⨯()316m =112263V =+=()30.67m ≈柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；【答案】8 3.【解析】由题意，设AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则BD＝C1D＝a2＋b2 4，BC1＝a2＋b2，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又12×32a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝34a2，∴V＝34×8×4＝8 3.2、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．【答案】见解析【解析】如图，连接EB，EC.四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝13×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝12V三棱锥C－ABE＝12V三棱锥E－ABC＝12×12V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本116页练习，119页习题8.3的1、6题.【教学反思】本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了; 棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》导学案【学习目标】知识目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．核心素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【学习重点】：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；【学习难点】：棱台的体积公式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本114-115页，填写。
9.9(3)棱柱棱锥的表面积和体积
2 : ( 2 2 ) ；被分成的兩部份體積之比為(自上 而下) ____________
而下) ___________。
棱柱棱錐的表面積 及體積
學習目標
1、掌握棱柱的表面積和體積公式；
2、掌握棱錐的表面積和體積公式；
3、能利用體積公式解決距離問題。
思考：面積是相對於平面圖形而言的，體積是相
對於空間幾何體而言的。那麼側面積、全面積、 表面積、體積又有什麼含義呢？ 側面積：指立體圖形各個側面面積之和。(去掉 底面) 全面積：全面積是立體幾何裡的概念，相對於截 面積來說，就是表面積的總和。 表面積：立體圖形能觸摸到的面積之和。(即每 個面的面積之和) 體 積：幾何體所占空間的大小。
一、棱柱的側面積 1、直棱柱的側面積公式
A1 B1 C1 D1 E1 AA 1 1 E1 B1 C1 D1
E A B C D E A A D B C
如果直棱柱的底面周長是C，高是h，那麼它的側 面積是 S Ch
2、棱柱的全面積(表面積)公式
S表 S側 2S底
例1 已知一直棱柱的底面是邊長分別為6cm和8cm且它們 的夾角為30°的平行四邊形，側棱長是5cm，求它的全 面積。
P
21 a 7
60 B
a C D
A
2一個棱錐被平行於底面的兩個平面所截，若兩個截面與 底面面積之比為1:4:9，求該棱錐被截面截得的三部分 體積之比。
練習
1、已知正三棱錐的底面邊長為a，過各側棱中點的截面
面積為 ________
2、一個棱錐被平行於底面的截面所截，若截面面積與底 面面積之比為1：2，則棱錐的高被分成的兩段的比(自上
A’ D B’
C B
A
2、從一個正方體中，如圖那樣截去四個三棱錐， 得到 一個正三棱錐B -ACD，求它的體積是正方體 體積的幾分之幾？
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-高中数学必修第二册课件
∴VA1-ABC＝13S△ABC·h＝13Sh，
课 堂 小
学
结
探 新
VC-A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝43Sh.
·
提 素
知
养
合 作
又 V 台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，
课
探 究
∴VB-A1B1C＝V 台－VA1-ABC－VC-A1B1C1
时 分 层
释 疑 难
＝73Sh－S3h－43Sh＝23Sh，
究
分
层
释 的表面积有关问题的关键．
作
疑
业
难
返 首 页
·
32
·
情
课
境
堂
导 学
2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的
小 结
·
探
提
新 底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平 素
知
养
面问题．
合
作
课
探 究
3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思
时 分
层
释 想”及“等价转化思想”．
作
疑
业
难
返 首 页
·
33
·
情
课
境
堂
导
小
学
1．如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则三棱锥 结
·
探
提
新 知
D1-ACD 的体积是(
)
素 养
合 作 探
A．16
究
B．13
课 时 分
层
释 疑 难
C．12
D．1
作 业
返 首 页
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
＝
3 4
，
所以 VB1-ABC＝13
·S△ABC·AA1＝13
×
3 4
×3＝
3 4
.
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第八章 立体几何初步
28
3．若一个正六棱柱的底面边长为 a，侧面对角线的长为 2a，则它的表面
积为________． 解析：正六棱柱的底面边长为 a，所以正六棱柱的底面面积为 S 底＝
3
3a2 2
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第八章 立体几何初步
5
1．等底、等高的两个棱柱的体积有何关系？ 提示：等底、等高的两个棱柱的体积相等． 2．棱柱、棱锥、棱台的体积之间有什么关系？ 提示：棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系可以理解为：
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第八章 立体几何初步
6
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱锥的体积等于底面面积与高之积．( × ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( × ) (3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．( × )
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第八章 立体几何初步
30
解：由图可知△A1BD 是边长为
2
a
的等边三角形，其面积为
3 2
a2，故
所求几何体 A1B1C1D1-DBC 的表面积 S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S 正方形
A1B1C1D1＝
3 2
a2＋3×12
×a2＋3a2＝
3＋9 2
a2.
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第八章 立体几何初步
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
[方法技巧] 棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法技巧
(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面 边长、高、斜高、侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应 用．
(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧 面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．
(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大 小棱锥侧面积作差得到．
[对点练清] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15， 高是 5，求该直四棱柱的侧面积．
解：如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，对角线 A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝A2C2＋B2D2＝a2＋4 b2＝200＋ 4 56＝ 64，∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积 S＝4×8×5＝160.
＝
1 2
×VD×BC
＝
1 2
×
13 ×2
3＝
39
，
S
△
ABC
＝
1 2
×(2 3)2× 23＝3 3，
所以，三棱锥 V－ABC 的表面积为 3S△VBC＋S△ABC＝3 39＋3 3 ＝3( 39＋ 3)．
[易错矫正] (1)解答本题易出现的失误是不能根据正三棱 锥的结构特征，并且根据题目条件求出正三棱锥的侧面三角形的 高．
8．3 简单几何体的表面积与体积 8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2.能用公式解决简单的实际问题． 3.通过学习，帮助学生进一步掌握在平面上表示空间图形的
方法与技能，提高学生直观想象、数学运算的核心素养．
棱柱棱锥的面积和体积
S直棱柱侧=ch, S斜棱柱侧=c’l, V柱体＝Sh
h S
S’
L
S
柱体体积公式的推导：
等底面积等高的几个柱体 被平行于平面α的平面所 截截面面积始终相等
体 积
∵V长方体＝abc
相 等
∴V柱体＝Sh
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
h S
取任意两个锥体，它们
B θ
1
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE
E
分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。
C
结论： V三棱锥＝VC-AED＋VB-AED
练习1：
将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？ （请列出三棱锥体积表达式）
C’
的底面积为S，高都是h ＋
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh22
截面面积始终相等
h
＝ 两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S2h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。 把这两个锥体
放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平
D’ 问问题题12、、你如能果有这几是种一 解个法平？行六面
A’
B’
体呢？或者
四棱柱呢？
CLeabharlann DAB练习2:
从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得
到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体
积的几分之几？
A
棱柱棱台棱锥的表面积和体积
棱柱棱台棱锥的表面积和体积一、棱柱的表面积和体积1.1 棱柱的定义棱柱是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点的侧面所组成的立体图形。
1.2 棱柱的表面积公式棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面积之和。
表面积公式：S = 2B + Ph （其中B为底面积，P为侧棱长，h为高）1.3 棱柱的体积公式棱柱的体积等于底面积乘以高。
体积公式：V = Bh （其中B为底面积，h为高）二、棱台的表面积和体积2.1 棱台的定义棱台是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。
2.2 棱台的表面积公式棱台的表面积等于上下底面积之和加上所有侧棱形所组成部分之和。
表面积公式：S = B1 + B2 + L （其中B1、B2为上下底部分别对应的底面积，L为侧棱长）2.3 棱台的体积公式棱台的体积等于上下底面积之和乘以高再除以2。
体积公式：V = (B1 + B2)h / 2（其中B1、B2为上下底面积，h为高）三、棱锥的表面积和体积3.1 棱锥的定义棱锥是由一个多边形底面和若干个连接底面各对应顶点并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。
3.2 棱锥的表面积公式棱锥的表面积等于底面积加上所有侧棱形所组成部分之和。
表面积公式：S = B + L （其中B为底面积，L为侧棱长）3.3 棱锥的体积公式棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3。
体积公式：V = Bh / 3（其中B为底面积，h为高）四、总结通过以上介绍可以发现，无论是棱柱、棱台还是棱锥，它们计算表面积和体积都有自己独特的公式。
在实际运用中，我们需要根据所给出的具体数据，选择相应的公式进行计算。
同时，对于这些几何图形的认识和理解也是非常重要的，只有深入了解它们的定义和性质，才能更好地应用到实际问题中。
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(教学课件)高一数学同步备课系列(人教A版2019 必修第二册)
∴S上底面
3 2
6
2 6 3 cm 2 .
4
S下底面 6
3 2
6 54 3 cm 2 .
4
F
'
A
'
D'
B
'
C
'
E
D
F
A
S侧面
E
'
1
6 (2 6) 21 24 21cm 2 .
2
C
B
2
因此，正六棱台的表面积为 S表 60 3 24 21(cm ).
直棱柱 = ℎ + 2S底面积 (为底面周长, ℎ为高)
（2）斜棱柱的侧面积为多少？如何计算它的表面积？
斜棱柱侧 = (为直截面的周长, 为棱长)
斜棱柱 = L + 2S底面积 (为直截面的周长, 为棱长)
侧面
矩形
底面
多边形
直棱柱
棱
柱
的
表
面
积
侧面
四边形
斜棱柱
底面
多边形
（3）棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
所占空间的大小.
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的
表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
问题1：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，
你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
问题1：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，
你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
如果棱锥的底面面积为，高为ℎ，那么该棱锥的体积
1
棱锥 = 3 ℎ.
棱锥的高是指从顶点
初中数学知识归纳棱柱和棱锥的表面积和体积的计算
初中数学知识归纳棱柱和棱锥的表面积和体积的计算初中数学知识归纳：棱柱和棱锥的表面积和体积的计算在初中数学中，我们学习了很多与几何形体相关的知识。
其中，棱柱和棱锥是我们经常遇到的两种几何形体。
本文将归纳总结有关棱柱和棱锥的表面积和体积的计算方法，帮助同学们更好地理解与应用这些数学概念。
一、棱柱棱柱是具有两个并列的、相等的多边形底面以及连接底面顶点的直线段的几何形体。
根据底面的形状，我们可以分为正方形棱柱、长方形棱柱等不同类型。
1. 表面积的计算棱柱的表面积由两部分组成：底面的面积和侧面的面积。
底面的面积可以根据底面形状的不同而有所变化，而侧面的面积则是棱柱的高乘以底面的周长。
以一个正方形底面的棱柱为例，设正方形的边长为a，则底面的面积为a^2。
侧面可以视为一个长方形，它的长为棱柱的高h，而宽为正方形的边长a。
因此，侧面的面积为2ah。
综上所述，正方形底面的棱柱的表面积S等于底面的面积加上侧面的面积，即：S = a^2 + 2ah。
2. 体积的计算棱柱的体积为底面的面积乘以棱柱的高。
对于正方形底面的棱柱而言，体积可以表示为V = a^2 * h。
二、棱锥棱锥是具有一个多边形底面和以底面的顶点为顶点的直线段的几何形体。
根据底面的形状，我们可以分为正方形棱锥、三角形棱锥等不同类型。
1. 表面积的计算棱锥的表面积也由底面的面积和侧面的面积组成。
底面的面积可以由底面形状的不同而有所变化，而侧面的面积则是由侧面的形状和底面之间的连线所确定。
以一个三角形底面的棱锥为例，设三角形的底边边长为a，底面到顶点的高为h，则底面的面积为S = (1/2) * a * h。
而侧面的面积等于三角形的周长乘以底面到顶点的高的一半，即S = (1/2) * a * h * 3。
综上所述，三角形底面的棱锥的表面积S等于底面的面积加上侧面的面积，即：S = (1/2) * a * h + (1/2) * a * h * 3。
2. 体积的计算棱锥的体积为底面的面积乘以棱锥的高再除以3。
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计一、教材分析本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积．二、教学目标与核心素养课程目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式；2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1．数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2．数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3．数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．三、教学重难点重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；难点：棱台的体积公式的理解．四、教学过程◆复习引入平行四边形面积公式、矩形面积公式、三角形面积公式、正三角形面积公式、梯形面积公式．思考：面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的．面积：平面图形所占平面的大小；体积：几何体所占空间的大小；表面积：几何体表面面积的大小．问题1：几何体的展开图与其表面积的有何关系？◆学习新知几何体的侧面展开图、侧面展开图的构成问题2：怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？◆书本114页例题1讲解长方体体积公式、正方体体积公式关于体积有如下几个事实：（1）相同的几何体的体积相等；（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；（3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等．问题3：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？问题4：推广到一般的棱锥，你猜想锥体的体积公式是什么？问题5：根据棱台定义，如何计算台体的体积？问题6：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？◆书本115页例题2讲解（简单组合体的方式：拼接）．◆书本116页练习第3题讲解（简单组合体的方式：截挖）．◆随堂练习：书本116页练习第2题．◆巩固练习1、将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积与正方体的体积比为_______．2、将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了______．◆课堂小结知识层面：1、棱柱、棱锥、棱台的表面积；2、棱柱、棱锥、棱台的体积．思想方法：1、体会一般化与特殊化的思想方法；2、空间问题平面化思想的渗透．五、作业：完成本节的校本作业、预习下一节内容．1 2 3 1 23。
棱柱,棱锥的侧面积与体积
1、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2cm,高为4cm,过BC作一截面,使截面与底面成60°角,那么截面面积为〔B〕
A4cm2B C D
2、正三棱锥侧面积是底面积的2倍,那么侧面与底面所成的二面角是〔C〕
A30°B45°C60°D75°
3、把等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B—AD—C,那么BD与面ABC所成角的正切值为〔B〕
7、在斜三棱柱ABC-A１B１C１中,每条棱长都为ａ,侧棱长与底面所成的角等于 ,其中侧面BCC１B１
垂直于底面,求四棱锥C1-ABB1A1的体积．
８、如图,四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为ａ的正方形,SD⊥面ABCD,面ABEF与侧面SCD交于EF,二面角S-AB-C为 ,二面角F-AB-S为 ,且 ,〔１〕求四边形ABEF的面积；
〔２〕棱锥S-ABEF的体积．
A B C1D
4、如图,在棱长为 的正三棱锥P—ABC中, P
∠APB=∠BPC=∠CPA=40°,过点A作截面
AEF,分别交PB,PC于E,F,那么截面△AEF周长的E F
最小值为〔A〕
A6B C36D A C
5、正三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为
那么棱锥的侧面积与全面积之比为3：4. B
6、斜三棱柱ABC—A1B1C1各条棱长都是a,且一个顶点A1在另一底面的射影恰好是这底面正三角形的中央,求此三棱柱的全面积.
班级
姓名
学号
时间
课题
棱柱、棱锥侧面积与体积
设计
一、方法点击:
1、棱柱、棱锥的概念及性质是计算中必不可少的依据,在有关计算中要充分利用他们.
2、多面体中的截面及棱锥直角三角形和直角梯形是将空间问题平面化的重要途径.
【数学】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件2023-2024学年高一下人教A版(2019)必修第二册
V棱锥P-ABCD
1
1 3
11 0.5 (m ).
3
6
∴这个漏斗的容积为
V组合体
1 1 2 3
(m ).
2 6 3
C'
D'
A'
B'
D
C
A
B
P
巩固练习
课本P116
1. 正六棱台的上下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,求它的表面积.
解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.
V正方体ABCD ABC D
V三棱锥G AEF
1 3
(m ).
8
1 1 1 1 1
1
3
(m ).
3 2 4 4 4 384
D'
C'
A'
B'
∴这个石凳的体积为
V石凳
1 8
5
3
(m ).
8 384 48
G
F
A
D
C
E
B
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
棱柱
棱台
棱锥
典例解析
例1 如图示，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积.
S
解：∵∆ABC是正三角形，其边长为a.
∴S ABC
3 2
a .
4
因此，四面体P-ABC的表面积为
S P ABC
C
A
B
3 2
4
a 3a 2 .
4
【跟踪训练】已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱
长为5，底面的边长为6，求它的表面积．
第4课时 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
|第4课时棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积|知识技能1．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．2．能用公式解决简单的实际问题思想方法通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，提高空间思维能力和空间想象力．数学素养1．在探索棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养．2．在求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和数学运算素养．重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导与应用．难点：通过柱、锥、台的侧面展开图特点理解侧面积计算公式的结构特征．问题导引预习教材P114～115，思考下面的问题：1．前面我们已经研究了棱柱、棱锥、棱台的有关概念和特征，也了解了其平面展开图，那么怎样计算其表面积呢？2．怎样计算棱柱、棱锥、棱台的体积呢？即时体验1．棱长为a的正方体的表面积为6a2．2．已知一个长方体的底面是面积为4m2的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，那么这个长方体的侧面积是(B)A．16m2B．64m2C．48m2D．24m23．若一个正方体的棱长是另一个正方体棱长的2倍，则其体积是另一个正方体体积的(B)A．4倍B．8倍C．2倍D．16倍4．若一个长方体的体积是1．8dm3，宽是15cm，高是6cm，则它的长是(A)A．2dm B．20dmC．2cm D．45cm一、数学运用[1]巩固练习正棱台的侧面积求解方法及求解公式，提升学生的数学运算能力．已知正四棱台(上、下底面都是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的下底面边长为8，高和上底面边长都是4，求它的侧面积．[1](见学生用书课堂本P53)[处理建议]由正棱台的侧面积计算公式可知，首先要求出它的斜高，故应构造出包含高和斜高的直角三角形求解．[规范板书]解解法1：如图①，E,E1分别是BC,B1C1的中点，O,O1分别是下、上底面的中心，则O1O为正四棱台的高，所以O1O＝4．(例1答图①)连接OE,O1E1，则OE＝12AB＝12×8＝4,O1E1＝12A1B1＝2．过点E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝4,OH＝O1E1＝2，所以HE＝OE－O1E1＝2．在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝82＋22＝22×17，所以E1E＝217，因此S侧＝4×12×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(8＋4)×217＝4817．解法2：如图②，正四棱台的侧棱延长交于一点P ．取B 1C 1,BC 的中点E 1,E ，则EE 1的延长线必过点P (以后可以证明)，O 1,O 分别是正方形A 1B 1C 1D 1与正方形ABCD 的中心．(例1答图②)由正棱台的定义有O 1E 1＝12A 1B 1＝2,OE ＝12AB ＝4，所以有PO 1PO ＝O 1E 1OE ＝24，即PO 1PO 1＋O 1O＝12， 所以PO 1＝O 1O ＝4．在Rt △PO 1E 1中，PE 21＝PO 21＋O 1E 21＝82＋22＝22×17, PE 2＝PO 2＋OE 2＝162＋42＝42×17，所以E 1E ＝PE －PE 1＝417－217＝217．从而S 侧＝4×12×(BC ＋B 1C 1)×E 1E ＝2×(8＋4)×217＝4817．[题后反思] (1)解决有关正棱台的问题时，常用的两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来求解．(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，棱台的侧棱长为3，求它的侧面积．[规范板书] 解 如图，作出正三棱台ABC -A 1B 1C 1，过点B 作BM ⊥B 1C 1于点M ．易知在Rt △BB 1M 中，B 1M ＝1,BB 1＝3，(变式答图)故BM ＝BB 21－B 1M 2＝2，所以S 侧＝12×(2＋4)×3×2＝92． [题后反思] 此题中构造包含侧棱和斜高的直角三角形是解题的关键．[2]通过求基本量求棱柱、棱锥、棱台的体积．若一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．[2](见学生用书课堂本P53)[处理建议] 由三棱锥的体积公式知，首先要求出三棱锥的高这一基本量， 故应构造包含侧棱和高的直角三角形．[规范板书] 解 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ．(例2答图)由题意知O 为正三角形的中心，连接BO 并延长，交CD 于点M ，则M 为CD 的中点．在Rt △ABO 中，AO ＝AB 2－BO 2＝(15)2－(23)2＝3，所以V A -BCD ＝13Sh ＝13×93×3＝9．[题后反思] 本题的关键是求出三棱锥的高．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．[规范板书] 解 如图，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ′，D 分别是B ′C ′，BC 的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD,DD ′，则点O,O ′分别在AD,A ′D ′上，DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0．(变式答图)上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253．由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝3253，所以h 0＝1333． O ′D ′＝13×32×20＝1033， OD ＝13×32×30＝53．记棱台的高为h ，则h ＝O ′O ＝h 20－(OD －O ′D ′)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43， 故棱台的体积V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝ ⎛⎭⎪⎫3253＋34×20×30＝1900．[3]棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的运用．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用截面截下一个棱锥C -A 1DD 1，求三棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．[3](例3)(见学生用书课堂本P54)[处理建议] 求三棱锥的体积主要有三种方法：①直接法，②割补法，③等价转化法．本题使用割补法最为便捷．[规范板书] 解 设D 1A 1＝a,D 1D ＝b,D 1C 1＝c ，则长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为abc ．而三棱锥C -A 1DD 1的体积为13×12×a ×b ×c ＝16abc ，因此剩余部分的体积为abc －16abc ＝56abc ，所以C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5．[题后反思] (1)割补法：分割法和补形法统称为割补法．当一个几何体的形状不规则时，常将此几何体通过分割或补形的方法变为一个或几个规则、体积易求的几何体，然后计算．(2)三棱锥也即四面体C -A 1DD 1的体积可以根据条件选择恰当的一面作为底，方便求面积．如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1-ABD ，求剩余的几何体A 1B 1C 1D 1-DBC 的表面积．(变式1)[规范板书] 解 由图可知△A 1BD 是边长为2a 的等边三角形，其面积为32a 2，故所求几何体A 1B 1C 1D 1-DBC 的表面积S ＝S △A 1BD ＋3S △DBC ＋3S 正方形A 1B 1C 1D 1＝32a 2＋3×12×a 2＋3a 2＝3＋92a 2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．(变式2)[规范板书]解截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF-A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为S，高为h，则△AEF的面积为14S，由于V1＝VAEF-A1B1C1＝13·h·⎝⎛⎭⎪⎫S4＋S＋S2＝712hS，剩余的不规则几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－712hS＝512hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5．[4]求组合体的表面积和体积．已知一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：m)，那么浇制一个这样的预制件需要多少立方米的混凝土(钢筋的体积忽略不计，精确到0．01m3)？[4](例4)(见学生用书课堂本P54)[处理建议]可将题中图形看作是大长方体减去一个以等腰梯形为底面的四棱柱，也可看作一个长方体加上两个以直角梯形为底面的四棱柱．[规范板书]解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．S底＝0．6×1．1－12×(0．5＋0．3)×0．3＝0．54(m2)，V＝S底·h＝0．54×24．8≈13．39(m3)．故浇制一个这样的预制件需要约13．39m3的混凝土．[题后反思]求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．(变式)[规范板书]解此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台＝1 3(82＋42＋82×42)×3＝112(cm3)，V正四棱柱＝4×4×2＝32(cm3)，故V＝112＋32＝144(cm3)．[题后反思](1)复习三视图的知识；(2)计算组合体的体积时，应先考虑组合体的结构特征，然后将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积．[5]求不规则几何体(可分割成棱柱或棱锥)的体积．*如图，在几何体ABCEDF中，AB＝8,BC＝10,AC＝6，侧棱AE,CF,BD 均垂直于底面ABC,BD＝3,FC＝4,AE＝5，求该几何体的体积．(例5)[处理建议] 空间几何体ABCFED 不是棱柱、棱锥、棱台，可将其分割成两个图形分别求体积．[规范板书] 解 由题意可知△ABC 为直角三角形，且∠BAC 为直角． 如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM,MN,DN ．(例5答图)因为AB ＝8,AC ＝6,BD ＝3，所以三棱柱ABC -NDM 的体积为12×8×6×3＝72．因为CM ＝AN ＝BD ＝3,CF ＝4,AE ＝5,AC ＝6，所以MF ＝1,NE ＝2,NM ＝AC ＝6,DN ＝AB ＝8，从而四棱锥D -MFEN 的体积为13×12×(1＋2)×6×8＝24，所以所求几何体的体积为72＋24＝96．[题后反思] 求几何体体积的常用方法：如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB,EF ＝2,EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．(变式)[规范板书] 解 如图，连接EB,EC,AC ，易知V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16．(变式答图)因为AB ＝2EF ,EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF ，从而V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4， 故该多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20．[题后反思] 把该几何体分割成一个四棱锥与一个三棱锥的组合体，求出它的体积即可．二、课堂练习1．已知正四棱柱的底面边长是3cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的表面积为90cm 2．2．已知各面均为等边三角形的四面体的表面积为3，则其棱长等于(A)A ．1B ．233C ．22D ． 23．已知一个正三棱柱的底面边长为3，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为(D)A ．52B ．72C ．332D ．92提示算出底面正三角形的面积和侧棱的长即可求解．4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥A-BB1C1的体积为(A)A．312B．34C．612D．64提示过点A作AE⊥BC，则AE为三棱锥A-BB1C1的高．三、课堂小结1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．求三棱锥体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等价转化法．。
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能力·思维·方法
1.若一个斜棱柱A1B1C1—ABC的底面是等腰 △ABC， 它的三边边长分别是AB=AC=10cm，BC=12cm，棱柱 的顶点A1 与A 、 B 、 C三点等距，且侧棱AA1=13cm， 求此棱柱的全面积.
【解题回顾】求斜棱柱全面积的基本方法是求出各个 侧面的面积与底面积.本题求侧面积时也可以用直截面 BCD的周长去乘AA1而得到.
2.若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积 是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为( (A)1 : 4
C
)
(B) 1 : 3
(C) 1 : 8
(D) 1 : 7
3.设长方体三条棱长分别为a,b,c，若长方体所有棱的 长度之和为24，一条对角线长度为5 ，体积为2，则
2.已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱A1A，CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积.
【解题回顾】求多面体的体积的方法主要是：直接法
(解法1)、分割法(解法2)、补形法(解法3).
3.在三棱锥P-ABC中，PA 、 PB 、 PC两两成60°角， PA=a，PB=b，PC=c，求三棱锥P-ABC的体积.
二、棱锥
1.设正棱锥的底面周长为c，斜高为h′，则它
1 的侧面积S锥侧= ch 2 1 2.设棱锥底面积为S，高为h，则其体积V= Sh 3
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课前热身
1.设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C ) (A)4cm2 (C)2cm2 (B)2 2 cm2 (D) 2cm2
【解题回顾】(1)把A 、 B 、 C中的任一个点作为顶点( 其余三点构成的三角形作为底面)是解题的关键，这 说明改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角 度在解题中是十分重要的. (2)当a=b=c时，得到正四面体的体积是212a３. (3)若在PA、PB、PC上各任取一点M、N、R，设PM=
VP - MNR mnr m,PN=n,PR=r,则容易证明 ,这一结论与 VP - ABC abc PA、PB、PC成多大的角无关.
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延伸·拓展
5.如图(甲)，从三棱锥P-ABC的顶点P沿着三条侧棱PA 、PB、PC剪开成平面图形，得到 △P1P2P3(如图(乙)) ，且P1P2=P2P3.
(1)在三棱锥P-ABC中，求证：PA⊥BC. (2)若P1P2=26，P1P3=20，求三棱锥P-ABC的体积.
误解分析
1.求斜棱柱的全面积，除直截面周长乘侧棱长这个公 式外，大多采用逐一求出各表面面积，然后作和的方 法，因此不要盲目套什么公式，或在相加时，漏了上 、下底面积 2.求三棱锥的体积非常灵活，有直接法、割补法、颠 倒顶点法等，不管用何种方法，一定要看清字母位置 ，更不能漏乘1/3.
1 1 1 等于( a b c 11 (A) 4 11 (C) 2
A
)
4 (B) 11 2 (D) 11
4.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，另一条侧棱到这个 侧面的距离是a，则这个三棱柱的体积是( C ) (A) 1 Sa
3 (C) 1 Sa 2
(B) 1 Sa
4 2 (D) Sa 3
5.在侧棱长为23，每个侧面的顶角均为40°的正三棱 锥P-ABC中，过A作截面分别交PB 、 PC于E 、 F，则 △AEF的最小周长是( A ) (A) 6 (C) 36 (B) 2 3 (D)
第10课时 棱柱、棱锥的侧面积与体积 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
一、棱柱 1.设直棱柱的底面周长为c，高是h，侧面积为 S柱，则S柱=ch 2.设斜棱柱的直截面的周长为c，侧棱长为l， 侧面积为S斜，则S斜=cl 3.设棱柱底面积为S，高为h则体积V=Sh
4. 如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥ AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点． (1)求证：EF⊥面BCD； (2)求多面体ABCDE的体积； (3)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.
【解题回顾】对于不规则几何体一定要能识别其本
质，本题的多面体实际上是倒着的四棱锥.