《平行线等分线段定理》参考学案
数学教案：平行线等分线段定理
数学教案：平行线等分线段定理一、教学目标1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法，并能运用该定理解决实际问题；3.提高学生对平行四边形的认识和理解能力；4.加强学生的空间几何思维和推理能力。
二、教学重点1.理解平行线等分线段定理的基本概念及定理内容；2.掌握平行线等分线段定理的证明方法；3.运用平行线等分线段定理解决实际问题。
三、教学难点1.掌握平行线等分线段定理的证明方法；2.运用平行线等分线段定理解决实际问题。
四、教学方法1.课堂讲解；2.课堂讨论；3.案例分析；4.课堂练习。
五、教学过程第一步：引入问题老师拿出一支笔和一张纸，向学生展示两个平行线段，要求学生探究两个平行线段之间的关系。
第二步：学生探究学生分组讨论，在讨论的过程中，师生共同发现两个平行线段中间的线段被平分。
第三步：提出结论学生在分组讨论的基础上，提出结论：平行线等分线段定理。
第四步：确立概念老师向学生引入平行线等分线段定理的定义，让学生理解该概念。
第五步：证明定理老师给出定理的证明，让学生观察和理解证明过程。
第六步：实例练习老师让学生在班内分为小组，通过实例练习来加深对平行线等分线段定理的理解。
第七步：课堂讨论老师和学生一起讨论实例练习的解法，帮助学生梳理思路，加深对平行线等分线段定理的理解。
六、教学评估1.学生通过实例练习的成绩；2.学生课堂讨论表现的质量；3.学生对平行线等分线段定理的掌握程度。
七、板书设计1.平行线等分线段定理；2.定义：两个平行线段间的线段被平分。
八、课堂作业1.完成课堂练习；2.思考并总结平行线等分线段定理的证明方法。
九、教学反思通过本节课的教学，学生们进一步了解了平行线等分线段定理，掌握了证明方法，提高了空间几何思维和推理能力，并对平行四边形有了更深的认识。
但是，课堂时间可能会不够充分，需要加强课堂安排。
平行线等分线段定理 说课稿 教案 教学设计
一平行线等分线段定理[学习目标]1.理解平行线等分线段定理的证明过程及性质.2.能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2.3.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]1.三角形、梯形的中位线定理的内容是什么？提示(1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.(2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.2.如图，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，H是____的中点，F是____的中点.提示BG AC DC[预习导引]1.平行线等分线段定理文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等符号语言已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，且AB＝BC，则A′B′＝B′C′图形语言作用证明同一直线上的线段相等2.推论1证明线段相等，求线段的长度3.推论证明线段相等，求线段的长度要点一平行线等分线段定理例1如图①，在AD两旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD 的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条线段的长度相等.证明如图②，过点A作直线AM平行于A1C，延长DC交AM于点M，过点D作直线DN平行于BC2，延长AB交DN于点N，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段.跟踪演练1如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BC＝()A.3B.6C.9D.4解析如图②，过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.答案 B要点二平行线等分线段定理的推论例2如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.求证：MN＝NB.解如图所示，延长ME交BC的延长线于点P，由题意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，∴PC＝AC＝BC.∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴PM∥CN，又∵点C是BP的中点，∴点N是MB的中点.∴MN＝NB.规律方法证明同一直线上相邻两条线段相等，常用方法构造三角形及中位线.跟踪演练2如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点.求证：AM＝BM.证明过M点作ME∥BC，交AB于点E.∵∠ABC＝90°，∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.∵在梯形ABCD中，M是CD的中点，∴AE＝EB.∴ME是AB的垂直平分线.∴AM＝BM.要点三平行线等分线段定理的综合应用例3已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于A，B，C三点，直线l2分别交α，β，γ于D，E，F三点，且AB＝BC.求证：DE＝EF.证明(1)当l1与l2共面时，由面面平行的性质得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行线等分线段定理得：DE＝EF，(2)当l1与l2异面时，如图，在直线l2上取一点G，过点G作l3∥l1，设l3与平面α，β，γ分别相交于P，Q，R.则l1与l3确定一个平面π1，l3与l2确定一个平面π2.在平面π1中，连接AP，BQ，CR，则由面面平行的性质可知AP∥BQ∥CR.由AB＝BC，得PQ＝QR；同理在平面π2中，就可证明DE＝EF.综上，DE＝EF.规律方法这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.跟踪演练3如图所示，四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别与EF的延长线交于点M，N.求证：∠AME＝∠CNE.证明连接BD，过F作FG∥AB，交BD于G，连接GE，GF.在△ABD中，∵FG∥AB，且F是AD的中点，∴DG＝GB，∴FG是△ABD的中位线，∴GF＝12AB，GF∥BM.同理可证：GE＝12CD，GE∥CN.∵AB＝CD，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE.∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.∵GE∥CD，∴∠GEF＝∠CNE.∴∠AME＝∠CNE.1.(1)定理中的“一组平行线”是指“平行线组”，是由三条或三条以上互相平行的直线组成的.(2)定理中的条件“在一条直线上截得的线段相等”实质是指“平行线组”中每相邻两条平行线间的距离都相等.(3)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问题.2.在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法(1)过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论得另一腰的中点；(2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形.3.在几何证明中添加辅助线的方法(1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形；(2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线.。
平行线等分线段定理数学教案
平行线等分线段定理数学教案
标题：平行线等分线段定理数学教案
一、教学目标
1. 让学生理解并掌握平行线等分线段定理的概念和证明方法。
2. 培养学生的空间想象能力，提高他们的几何思维能力。
3. 通过实际操作，使学生能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容
平行线等分线段定理是平面几何中的重要定理之一，它的表述为：如果一条直线与两条平行线相交，那么被截得的两部分长度相等。
三、教学过程
1. 引入新课
教师可以通过展示一些实例或者生活中的场景来引入这个定理，激发学生的学习兴趣。
2. 教学新知
（1）定理的描述：首先，教师要清晰明了地向学生解释定理的内容。
（2）定理的证明：然后，教师需要引导学生一起进行定理的证明。
在这个过程中，教师要注重培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
3. 巩固练习
教师可以设计一些相关的习题，让学生在实践中巩固所学的知识。
四、课堂小结
教师带领学生回顾本节课的主要内容，并强调平行线等分线段定理的重要性。
五、作业布置
教师可以布置一些相关的作业，让学生在课后继续思考和练习。
六、教学反思
教师需要对本节课的教学效果进行反思，以便于改进以后的教学。
成都市东湖中学八下数学《平行线等分线段定理》导学案
成都市东湖中学八下数学《平行线等分线段定理》导学案
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
已知：直线l1∥l2∥l3，AB=BC，
求证：A1B1=B1C1
例1.已知AB∥CD∥EF，AF交BE于O，且AO=OD=DF，若BE=60厘米，求BO
例2.已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CM交AB于N，如果AB=6厘米，
求PN
例3.已知△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD交BC于E，DF∥CB交AB于F，AF=4厘米，求AB
例4 。
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC边的中点，DE⊥BC交AB于E，求证：AB=2CE.
例5 。
已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，CE、AF分别交BD于M、N，求证：BM=MN=NC.
已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB边的中点，EF∥DC，交BC于F，
求证：DC=2EF.
已知：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是DC边的中点，求证：AE=BE.
已知：△ABC的两中线AD、BE相交于点G，CH∥EB交AD的延长线于点H，求证：AG=2GD.
已知：梯形ABCD中，AD∥BC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.
已知：△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，DF交BC于E，
求证：DE=EF.
已知：AD为△ABC的中线，M为AD的中点，直线CM交AB于点P，
求证：AP= 1/3AB。
《平行线等分线段定理》教案新人教A版选修
数学：一《平行线等分线段定理》教案3（新人教A版选修4-1）平行线等分线段定理课题：平行线等分线段定理授课人柯文祥课时：一节目的要求：掌握平行线等分线段定理，会按要求等分一条已知线段。
教学重点：理解平行线等分线段定理。
教学难点：平行线等分线段定理的合理应用。
教学方法：演示、指导法能力点：观察、分析、应用教学过程：1、提出问题如何把一条线段三等分、五等分、七等分呢？2、预备知识我们先认识一个事实，笔记本上的平行线将一条直线等分若干段。
如图：这个事实的根据是我们将要学习的"平行线等分线段定理"。
演示讲解平行线等分线段定理的证明，见课件。
3、平行线等分线段定理的应用定理推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
它是平行线等分线段定理一般的应用推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分另一边。
它是平行线等分线段定理的一种特殊情况。
如图：（1）（2）（3）4、平行线等分线段定理的应用将一已知线段AB五等分课件"作图1"演示5、学生练习将以10cm的线段七等分方法一：过线段端点作射线；在射线上取七等分线段；连另外的端点，过其余点作所连端点平行线。
方法二：利用已有平行线分线段七等分。
以平行线上一点为A圆心，以10cm为半径画弧，交第八条平行线于点B，连AB，所交平行线的点为线段AB的七等分点。
如图：6、课堂练习7、小结：（1）平行线等分线段定理的理解a//b//c→ DE=EFAB=BC（2）平行线等分线段定理的应用将一线段任意等分。
如线段AB三等分、五等分、......。
平行线等分线段比例定理导学案
平行线等分线段比例定理导学案编制：邵玉春 2011.1.21学习目标：1、平行等分线段成比例定理；2、推论；3、平行等分线段成比例定理及推论的证明.新知导读：1、平行等分线段成比例定理：三条平行线截得两条直线，所得的对应线段成比例.2、推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（成两边的延长线）所得的对应线段成比例.注：①这个推论也称为三角形一边平行线的性质定理.②它包括以下三种基本（DE 为截线）习惯上称（1）与（3）为“A ”型 （2）为“X ”型 （3）逆命题也正确 范例点睛：例1、已知，如图123,,AB n DE n l l l BC m DF m n==+ 求证.变式演练：△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的点，AD 、EF 交于P ，若BD=DC ，AE=AF ，求证.AB PF AC PE=例2、如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，过O 作AB 的平行线，与AD 、BC 分别交于E 、F ，与CD 的延长线交于K ，求证2KO KE KF = .变式演练：如图所示，,DE BC EF DC ,求证2AD AF AB = .例3、如图，在△ABC 中，,,6,3,8EF CD AFE B AE ED AF ∠=∠=== .（1）求AC 的长 （2）求22CD BC 的值.变式演练：如图，梯形ABCD 中，AD BC ,EF 经过梯形对角线交点O ，且EF AD .（1）求证：OE=OF （2）求OE OE AD BC +的值 （3）求证：112AD BC EF+=达标检测及变式训练1、如图D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，且,DE BC DF AC ，则以下比例成立的是（ ）A 、AD DE BD BC =B 、AB BF EC FC= C 、DF DE AC BC = D 、EC BF AC BC= 2、在△ABC 中，点D 、F 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE BC 的是（ ）A 、AD=5 AB=8 AE=10 AC=16B 、BD=1 AD=3 CE=2 AE=8C 、AB=7 BD=4 AE=4 EC=3D 、AB=AC=8 AD=AE=83、梯形ABCD 中，,::,AD BC AD BC a b = 中位线EF=m ，则MN 的长是 .第（3）题图 第（4）题 第（5）题4、如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，,,AE BC ED AB G BC F 交与交延长线于，若BG:GA=3:1，BC=8，则AE= .5、已知P 、Q 分别在BC 和AC 上，2354BP CQ AR CP QA RP===，，则 . 6、如图，,AB CD AC BD O 、相交于点，BO=7，DO=3，AC=25，求AO.7、如图123, 4.53512.9l l l CH AG BG EF ==== 若，，，,求DH ，EK.8、如图，一直线交△ABC 的边AC 、AB 于D 、F 点，交CB 的延长线于E ，若AD=BE ，求证：AC DF BC EF = .9、如图，四边形ABCD 为平行四边形，过B 的直线交AC 、AD 、CD 的延长线于O 、F 、E ，求证：2.OB OF OE =10、如图，AD 平分,,154BAC DE AC EF BC AB cm AF cm ∠== ，，，求BE 和DE 的长.。
《平行线等分线段定理》参考学案
1 / 2《平行线分线段定理》学案学习目标：1. 了解平行线分线段定理产生的背景，体验定理的产生过程；2. 探索并理解平行线分线段定理的证明过程；3. 能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2；4. 能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题； 重、难点： 重点：掌握平行线分线段定理以及推论； 难点：定理和推论的应用； 学习过程： 一、课前准备：1) 预习教材第68页至第71页的内容，从中找出疑惑之处； 2) 回忆初中学习过的平行线的判定和性质； 二、新课导学：● 知识梳理：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 ● 基础自测： 判断题1. △ABC 中点D 、E 三等分AB ，DF ∥EG ∥BC ，DF 、EG 分别交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC （ ）2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC( )3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。
（ ） 4. 如图l1∥l2∥l3且AB=BC ，那么AB=BC=DE=EF （ ）● 典例分析：◆分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．例1 已知：如图，M 、N 分别为平行四边形ABCD 边AB 、CD 的中点。
CM 、AN 分别交BD 于点E 、F 求证：BE=EF=FD分析：1、证CM ∥AN 2、证BE=EF3、证练习：已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC=90。
M 是CD 的中点 求证：AM=BMA BE CDFl 3l 2l 1CDMBA2 / 2例2 如图 4－85． AB ⊥j 于B. CD ⊥j 于 C,E 为 AD 中点．求 证：△EBC 是等腰三角形．分析：先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题． 练习：如图4－86，CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，M 为CD 中点．求证：∠MAB ＝∠MBA ．◆ n 等分任意一已知线◆例3 已知：线段AB ，求作：线段AB 的五等分点段的作图引申：问题1： 求作一点P 把线段AB 分成2：3 问题2： 如果把△ABC 的面积分成2：3怎么办？分析：引导学生构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A 和点B ．◆达标检测，回授效果1．已知：如图11，在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是CD 的中点，EF//BC 交AB 于F ，FG// BD 交AD 于G 。
平行线等分线段定理参考教案02
一平行线等分线段定理教学目标1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．2．熟练掌握任意等分线段的方法．3．培养化归的思想。
运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法．教学重点和难点重点是平行线等分线段定理及证明；难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用．教学过程设计一、从特殊到一般猜想结论1．复习提问，学生口答．（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD1C1 C1C-84 MCD⊥j于C,E为AD中点．求证：△EBC是等腰三角形．教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB ＝∠MBA．（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线j 引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j 上的线段之间有何等量关系？四、师生共同小结1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．2．怎样n等分一条已知线段？3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．五、作业课堂教学设计说明本教学过程设计需1课时完成．1．利用复习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点．2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80（a））到变式图形（图4-80（b）-(e)，分别证明或说明．这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强．3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用．因此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及时巩固．4．定理还可用以下方式引入：（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行直线j1,j2,j3,j4…分别被直线m，n所截．若将m截得线段AB＝BC＝CD，那么将n截得的线段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单情况，即三条平行直线j1，j2，j3．引导学生证明时，要强调两点：①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等．②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形．（3）利用运动观点掌握定理的变式图形（图4-80）．（4）利用特殊化的方法得出推论2，推论1．。
《平行线等分线段定理》教学设计
《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》是建立在坐标系及其概念的几何定理，它解释了沿着一条平行线分割线段的方法。
定理：沿着一条平行于线段的边的任何一点P，使得被分割的线段的两个部分的和相等。
教学目标：1、让学生了解平行线等分线段定理；2、引导学生学习定理，训练他们实际使用定理；3、培养学生运用新知识去解决实际几何问题的能力；4、让学生形成正确的数学思维，增强学习的主动性。
教学重点：让学生掌握如何通过沿着一条平行线分割线段，计算线段的平分点及两个部分的和是否为等值。
教学步骤：第一步：讲解定理（1）开篇热身：引导学生了解坐标系及线段的概念，把这些概念构建成数学语言（也可使用图片帮助学生理解）；（2）讲解定理：通过讲解让学生熟悉，平行线等分线段定理的概念，并运用概念来证明定理；（3）让学生自行推理：让学生用数学语言和实际图形来分析和运用定理的原理，以帮助完成证明。
第二步：提供例题第三步：让学生探讨此定理的产生原因第四步：引入实际应用：介绍平行线等分线段定理在画图、计算机及机械等领域的实际应用。
第五步：实践操作：让学生按照老师的指令，开展前面知识点的演练；第六步：结束课程，总结：（1）检查学生自我总结：做出当时学习对自己的影响；（2）总结本次学习：学习定理及其应用的关键；（3）撰写总结报告：将前面学习的定理及方法拓展到新的场景中。
总结：本课针对《平行线等分线段定理》，采用“引导—讲解—练习—讨论—实践—总结“的步骤，使学生正确、系统地理解、掌握及灵活运用定理。
通过本课的学习，不仅认识到定理的本质，在实践中让学生尝试运用它，训练学生的解决实际几何问题的能力，以及正确的数学思维，增强学习的主动性。
高中数学选修4-1第一讲学案及答案
D B E F 平行线等分线段定理与 平行线分线段成比例定理一．学习目标：一．学习目标：1. 探索并理解平行线分线段定理的证明过程；探索并理解平行线分线段定理的证明过程；2．能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2； 3.3.平行线分线段成比例定理与推论的区别平行线分线段成比例定理与推论的区别平行线分线段成比例定理与推论的区别4.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题二．知识梳理：二．知识梳理：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段截得的线段推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线2.2.三条平行线截两条直线，所得的对应线段三条平行线截两条直线，所得的对应线段三条平行线截两条直线，所得的对应线段推论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。
所截得的三角形的三边与原三角形的三边角形的三边 三．基本技能：判断下列命题是否正确1.1. 如图△如图△ABC ABC 中点D 、E 三等分AB AB，，DF DF∥∥EG EG∥∥BC BC，，DF DF、、EG 分别交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC AC（（ ））2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC ( ) 3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。
一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。
（ ）4.4.如图，如图，如图，DE DE DE∥∥BC BC，分别交，分别交AB AB、、AC 于点D 、E 则：BC DEAC AE AB AD ==（ ）A C G 四．典型例题例1.已知：如图所示，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F 求证：AF ＝ AC . 例2在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，E 为AB 的中点．求证：EC ＝ED . . 例3.如图所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于点D ，与AC 边交于点E ，与BA 的延长线交于点F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝EC ·F A . 例4.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 为底边BC 上的任意一点，过E 点作与AD 平行的直线，分别交直线AB 、CA 于点F 、G .求证：求证： ＝ . 13BE BF CE CG当堂检测：当堂检测：1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是 （）2．如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1、l2、l3相交于点A、E、B，直线CD与l1、l2、l3相交于点C、E、D，AE＝EB，则有() A．AE＝CE B．BE＝DEC．CE＝DE D．CE＞DE3.顺次连接梯形各边中点连线所围成的四边形是__________ 4.如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝____. 5.如下图所示，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，点H是______的中的中点．点，点F是______的中点．6.如图所示，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6 cm，则AP＝____；若PM＝1 cm，则PC＝______. 7.如图所示，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( ) A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1 8.在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE ∥BC 的是( ) A ．AD ＝5，AB ＝8，AE ＝10，AC ＝16 B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6 C ．AB ＝7，BD ＝4，AE ＝4，EC ＝3 D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝AE ＝8 9.如图所示，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值．的值．10.如图所示，在梯形ABCD 中，A D ∥BC BC，，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF EF∥∥AD（（1）求证：）求证：OE=OF OE=OF OE=OF；；（2）求OE OE AD BC + （（3）求证：112=AD BC EF+平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理答案例1.证明：如图，过点D作DG∥BF交AC于点G. 在△BCF中，D是BC的中点，DG∥BF，∴G为CF的中点，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中点，BF∥DG，∴F是AG的中点，即AF＝FG∴AF＝1/3 AC. 点评：构造基本图形法是重要的数学思想方法：构造基本图形法是重要的数学思想方法例2.证明：过点E作EF∥BC交DC于点F. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC. ∵E是AB的中点，的中点，∴F是DC的中点．的中点．∵∠BCD＝90°，°，∴∠DFE＝90°. ∴EF⊥DC于点F，且F是DC的中点，的中点，∴EF是线段DC的垂直平分线．的垂直平分线．∴EC＝ED.(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等) 例3. 证明：过点A作AG∥BC交DF于点G. ∵AG∥BD，∴FAFB=AGBD. 又∵BD=DC，∴FAFB =AG DC. ∵AG∥BD，AG AE例4. ＝ 证明：∵∥∴=. ∵∴=∴=2229. 10. 解析：过D作DG∥CA交BF于G，则BGGF＝BDDC＝53. ∵E为AD的中点，DG∥AF，∴△DGE≌△AFE，EG＝EF. ∴BGEF＝BG12GF＝2BGGF＝2×53＝103. 故BEEF＝BG＋EFEF＝10＋33＝133. (1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC. ∴AEAB=DFDC，OEBC=AEAB，OFBC=DFDC. ∴OEBC=OFBC，∴OE=OF. (2)解析：∵OE∥AD，∴OEAD=BEAB. 由(1)知OEBC=AEAB，∴OEAD+OEBC=BEAB+AEAB=BE AEAB+=1 (3)证明：由(2)知OEAD+OEBC=1，∴2OEAD+2OEBC=2. 又EF=2OE，∴EFAD+EFBC=2，∴1AD+1BC=2EF. 。
人教版高中数学选修4-11.1《平行线等分线段定理》教案【2】
一平行线均分线段定理教课目的1．掌握平行线均分线段定理及推论，认识它的变式图形．2．娴熟掌握随意均分线段的方法．3．培育化归的思想。
运动联系的看法及“特别——一般——特别”的认识事物的方法．教课要点和难点要点是平行线均分线段定理及证明；难点是平行线均分线段定理的证明和灵巧运用．教课过程设计一、从特别到一般猜想结论1．复习发问，学生口答．（1）如图 4－77，在△ABC 中，AM ＝MB ，MD //BC ，DE//AB ．求证：AD ＝DC．说明：①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明．②题中条件 DE//AB 与结论没有必定联系，可当作是证明时所增添的协助线，删去不影响结论的建立，即获得第（ 2）题．（2）如图 4－78，在△ABC 中， AM ＝ MB ， WD//BC ，则 AD ＝DC．教法：①指引学生用语言表达该命题．若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段．②对结论进行引伸：若把两平行直线换成一组平行直线，能否还有这类性质？二、用化归、特别化的方法及运动的看法学习定理1．用化归的方法证明定理．以三条平行线与被截的两条直线订交成梯形为例来证明定理．已知：如图 4-79（a）,l1∥l2∥l3,AB=BC ．求证： A1B1=B1C1 ．剖析：因为三条平行线与被截的两条直线订交成梯形，如何利用梯形中常用梯形，如何利用梯形中常用的协助线，将梯形切割化归为大家熟习的三角形和平行四边形去解决？方法一如图 4－ 79（b），结构基本图形 4－78，过 Al 作 AC 的平行线交 j2 于 D,交j3 于 E,利用复习题（ 1）的方法来证明．方法二如图 479（c），结构基本图形 4-79（ d），过 BI 作 EF//AC 分别交 j1，j3于 E，F，利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明．2．用运动的看法掌握定理的变式图形．2．用运动的看法掌握定理的变式图形．（l）当三条平行线与被截的两直线订交不组成梯形时，以上结论能否建立？教师制作教具，演示 AlC1 ；所在直线运动的各样状态（见图 480），让学生察看结论，并总结：可用近似的方法来证明．说明：（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对地点不影响定理的结论．（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对地点不影响定理的结论．（2）重申图 4－80（ c）中截得的 A 1B1＝ B1C1，与 AC 与 A 1C1的交点 D 没关，让学生认清定理的基本图形结构．（ 2）重申图4－80（c）中截得的 A 1B1＝ B1C1，与 AC 与 A1 C1的交点 D 没关，让学生认清定理的基本图形结构．（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情况相同合用．（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情况相同合用．3．用特别化的方法研究推论．对定理的两种特别状况，即图4-80（a）、图 4-80（b）分解出被截的两条直线与平行组订交组成的梯形、三角形，就获得了定理在梯形和三角形中的特例，得到推论 1 和推论 2．指引学生表达两种情况下的特别结论，绘图并写出数学表达式以下：推论 1 经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必均分另一腰．在图 4-81 中,∵梯形 ABCD 中， AD//BC ，AE ＝EB，EF//BC ，∴ DF＝FC．推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必均分第三边．在图4－ 82 中，∵△ABC 中， AE ＝EB， EF//BC，∴ AF＝FC．让学生熟记基本图形图4-81、图 4-82 的结构特色以及它们所包括的重要结论，是灵巧运用它们解决问题的要点．三、运用定理解决问题1．n 均分随意一已知线段的作图．例 1 已知：如图 4-83，线段 AB ．求作线段 AB 的五均分点．剖析：指引学生推行图 4-82，结构定理的基本图形，进行作图和证明，重申平行线组要分别经过点 A 和点 B．2．分解或结构基本图形，应用定理及推论证明．例 2（l ）如图 4-84 M ，N 分别为□ ABCD的边 AB， CD 的中点， CM 交 BD 于 E，AN 交 BD 于 F，求证： BE＝EF＝FD．（2）如图 4－ 85． AB ⊥j 于 B. CD ⊥j 于 C,E 为 AD 中点．求证：△ EBC 是等腰三角形．教师指导：指引学生先剖析图中存在哪些基本图形，而后如何利用它们的结论解题．例 3(采用 )（ 1）如图 4－86，CB⊥ AB ，DA ⊥ AB ，M 为 CD 中点．求证：∠MAB ＝∠ MBA ．（2）如图 4-87， E 为□ABCD对角线的交点，过点 A ，B，C， D，E 分别向直线 j 引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j上的线段之间有何等量关系？四、生共同小1．平行均分段定理及两个推的内容及明方法．2．怎 n 均分一条已知段？3．指学生学方法：利用化思想明；利用“特别—一般～特别”的方法研究；利用运的思方法将推行；利用分解，结构基本形的方法灵巧运用定理．五、作堂教课明本教课程需 1 达成．1．利用复起到两个作用：（1）研究定理的特别状况，学生从特别到一般接受理；（2）启明思路，准定理所用的基本形，分别点．2．明定理的程，上是从特别——三条平行，到一般——一平行，依据从定理的准形（4-80（a））到式形（4-80（b）-(e)，分明或明．理深入，切合学生的知律，性．3．本的两个推上是三角形、梯形的中位的判断定理，有着特别广泛的用．因此堂上要修业生不会用言表达它，要求熟掌握它的基本形和数学表达式，并通两个小行及稳固．4．定理可用以下方式引入：（ 1）利用坐黑板提出（4-88）一平行直 j1,j2,j3,j4分⋯被直m，n所截．若将m截得段AB＝BC＝CD，那么将n 截得的线段 A’ B，’B’ C，’C’ D’否相等？是（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单状况，即三条平行直线 j1，j2，j3．指引学生证明时，要重申两点：①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等．②利用平行四边形的性质平移线段以结构全等三角形．（ 3）利用运动看法掌握定理的变式图形（图4-80）．（4）利用特别化的方法得出推论2，推论 1．。
八年级数学平行线等分线段定理教案
word平行线等分线段定理教材分析：平行线等分线段定理是梯形这一节的重点，它是在平行四边形和梯形的基础上提出的，定理的证明是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形。
用平行四边形和三角形的知识进行证明，这一定理是研究三角形、梯形中位线、n等分任意线段作图以及第五章“平行线分线段成比例定理”的基础，要求学生掌握这个定理，并且认识它的变式图形。
目标：1、会用语言及结合图形的符号语言叙述平行线等分线段定理和它的两个推论。
2、会运用平行线等分线段定理及其推论证明和计算有关几何问题，会用它等分一条已知线段。
重点：平行线等分线段定理及其运用难点：运用语言对定理及其推论的概括。
考点：教法：此节课属于探究性课题，通过学生实验、观察、思考、概括出定理、几何命题，从而证明，两个推论和把一条线段任意等分，可以处理为定理的应用和变形，并且渗透了图形运动变化的观点，以及由特殊到一般，再由一般到特殊的思维过程。
课前准备：1、预习教材p180定理的证明。
2、画有一组等距平行线的小黑板，一根长60cm的细小木棒AB。
过程设计：引导性材料：让学生观察画有画有等距平行线的小黑板。
思考：这组平行线中，每相邻两条平行线的距离怎样？在小黑板上画一直线L1，使L1与横线垂直，观察L1被各条横线分成的线段是否相等？再画一条直线L2(与等距平行线不垂直)，那么L2被各条横线分成的线段是否相等？(可抽学生用直尺和圆规去比较)教学设计：［1］问题1：试把刚才实验中得到的事实概括成为一个几何命题［2］问题2：怎样证明上述命题的成立？说明：①证明前，教师先画图----“三条平行线”代表一组平行线，再由学生写出这个命题的已知、求证(并板书)②由于学生预习阅读了课本的证明过程，启发学生说出证法的实质是平移线段AC，构造出两个平行四边形和一对全等三角形，从而使问题得以解决，从而证明到A1B1=B1C1［1］说明：让学生概括命题有助于提高学生语言表述能力，对学生叙述中的困难及时帮助，并逐步修正完善，直到得出命题，并板书。
2022年 《拓展了解平行线等分线段定理》优秀教案
平行线等分线段定理一、知识点1 掌握平行线等分线段定理及其推论2 会利用等分点作平行线，转化成与比例相关的问题二、例题分析第一阶梯[例1]：在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F求证：BF=CF 提示：〔1〕由条件可得几个中点？有几条平行线？〔2〕平行线等分线段定理及推论是如何表达的？〔3〕此题有几种方法证明？请比拟一下其方法之间的联系？参考答案：证明：在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC∴E是AB的中点〔经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边〕又∵EF∥AC，交BC于F∴F是BC的中点，即BF=FC说明：〔1〕在三角形中，给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，可得出平行线与另一边的交点即是中点〔2〕此题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但麻烦[例2]求证在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC求证：ED=EC 提示：〔1〕对一个命题进行证明，首先要分清什么？再根据题意如何？〔2〕在梯形中，假设一腰的中点，一般过这点作什么样的辅助线即可得到另一腰的中点〔3〕请总结一下利用平行线等分线段定理及推论时所必备的条件和所得的结论分别是什么？参考答案：证明：过E点作EF∥BC交DC于F∵在梯形ABCD中，AD∥BC∴AD∥EF∥BC∵E是AB的中点∴F是DC的中点〔经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰〕∵∠ADC=90°∴∠DFE=90°∴EF⊥DC于F 又F是DC中点∴EF是DC的垂直平分线∴ED=EC〔线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等〕说明：〔1〕命题证明要正确的理解题意，按题意画出图形再根据图形，写出和求证〔2〕此题作EF与DC垂直，证EF∥BC也可以第二阶梯[例1]在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于∵CD是∠ACB 的平分线，AE⊥CE于E∴在△AEC与△MEC中∴△AEC≌△MEC∴AE=EM∴E是AM的中点，又在△ABM中FE∥BF∴点F是AB边的中点∴AF=BF说明：〔1〕一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善此题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△相交就势在必行了〔2〕在三角形中，假设有角平分线可构造全等三角形，有一边上的中点，过这点可作平行线〔3〕△AEC与△MEC只能证全等后才能得到AE=EM，在此没有定理可用第三阶梯[例1]：如图以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作□ACED，DC的延长线交BE于F求证：EF=BF提示：〔1〕梯形的上下两底具有什么性质？平行四边形的对角线有什么性质？〔2〕如何添加辅助线，再结合条件平行四边形，得到某条线段的中点呢〔3〕此题有几种构造三角形中点的方法？构造梯形可以吗？请试一试参考答案：证明：连结AE交DC于O ∵四边形ACED是平行四边形∴O是AE的中点〔平行四边形对角线互相平分〕∵梯形ABCD∴DC∥AB在△EAB中，OF∥AB 又O是AE的中点∴F是EB的中点∴EF=BF说明：〔1〕证题时，当一个条件有几个结论时要选择与其有关联的结论〔2〕此题可延长EC，在梯形ABCD内构造平行四边形或以AB、BE、AD的延长线为边构造梯形也可以得证[例2]梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E为AB的中点求证：△ECD为等边三角形提示：〔1〕由条件可知，CE是哪个特殊三角形的什么线段？为什么？∠2的度数是多少？〔2〕在梯形ABCD中，有AB边的中点E，如何添加辅线后，得到ED=EC？为什么？〔3〕此题不用平行线等分线段定理，还有别的方法吗？试一试参考答案：证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DE于F∵梯形ABCD ∴AD∥BC ∴AD∥EF∥BC又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点〔经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰〕∵DC⊥BC ∴EF⊥DC∴ED=EC 〔线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等〕∴△EDC为等腰三角形∵AB=BC ∠B=60°∴△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°又E是AB边中点∴CE平分∠ACB∴∠1=∠2=30°∴∠DEF=30°∴∠DEC=60°又ED=EC∴△DEC为等边三角形说明：〔1〕一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE〔或CE〕与底边相交，构造全等三角形〔2〕此题不要AB=BC的条件，保存其它条件构造全等三角形也可得证不访试一试。
高中数学第一讲一平行线等分线段定理学案含解析新人教A版选修9
一平行线等分线段定理1．平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)用符号语言表述：已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′(如图)，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′.(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条或三条以上的平行线组成的．(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的推论(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．推论既可用来平分已知线段，也可用来证明线段的倍数问题．l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4如图，已知直线l于A，B，C，D和A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.求证：A1B1＝B1C1＝C1D1.直接利用平行线等分线段定理即可．∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，∴A1B1＝B1C1.∵直线l2∥l3∥l4，且BC＝CD，∴B1C1＝C1D1，∴A1B1＝B1C1＝C1D1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．1．如图，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BE等于( )A．9 B．10 C．11 D．12解析：选A 过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BE＝9.2．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′.求证：A′D′＝B′C′.证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于O点，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′.同理，O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.E.求证：AG＝2DE.AF＝FC，GF∥EC→AG＝GE→△BDG≌△CDE→AG＝2DE在△AEC中，∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE . 故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ， ∴AG ＝2DE .此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，求BE 的长．解：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 因为AB ∥DC ，OE ∥AB ， 所以DC ∥OE ∥AB . 因为AD ＝6，所以BE ＝EC ＝12BC ＝12AD ＝3.4．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F .求证：AF ＝13AC .证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于点G . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DG ∥BF ，∴G 为CF 的中点，即CG ＝GF . 在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ，∴F 是AG 的中点，即AF ＝FG .∴AF ＝13AC .求证：AM ＝BM .解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E .∵AD ∥BC ，∴AD ∥EM ∥BC . 又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°， ∴ME 垂直平分AB . ∴AM ＝BM .有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．5．若将本例中“M 是CD 的中点”与“AM ＝BM ”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下：过点M 作ME ⊥AB 于点E ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB . ∵ME ⊥AB ，∴ME ∥BC ∥AD . ∵AM ＝BM ，且ME ⊥AB ， ∴E 为AB 的中点， ∴M 为CD 的中点．6．如图所示，E ，F 是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，过AB 的中点M 作MN ∥BC ，分别交EF ，CD 于点P ，N ，则EP ＝12________，CD ＝2________＝2________＝2________＝2________.答案：EF DN NC AM MB课时跟踪检测(一)一、选择题1．在梯形ABCD 中，M ，N 分别是腰AB 与腰CD 的中点，且AD ＝2，BC ＝4，则MN 等于( ) A ．2.5B ．3C ．3.5D ．不确定解析：选B 由梯形中位线定理知选B.2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍解析：选A ∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点， 即BF ＝FD . 又DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：选A 如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm. ∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm.4．梯形的一腰长为10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为 ( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2解析：选D 如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ， ∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)．∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×5×24＝60 (cm 2)．二、填空题5．如图，在AD 两旁作AB ∥CD 且AB ＝CD ，A 1，A 2为AB 的两个三等分点，C 1，C 2为CD 的两个三等分点，连接A 1C ，A 2C 1，BC 2，则把AD 分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．解析：如图，过A 作直线AM 平行于A1C ，过D 作直线DN 平行于BC 2，由AB ∥CD ，A 1，A 2为AB 的两个三等分点，C 1，C 2为CD 的两个三等分点，可得四边形A 1CC 1A 2，四边形A 2C 1C 2B 为平行四边形，所以A 1C∥A 2C 1∥C 2B ，所以AM ∥A 1C ∥A 2C 1∥C 2B ∥DN ，因为AA 1＝A 1A 2＝A 2B ＝CC 1＝C 1C 2＝C 2D ，由平行线等分线段定理知，A 1C ，A 2C 1，BC 2把AD 分成四条线段的长度相等．答案：相等6．如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得F 为AD 的中点． 由EG ∥AC ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F ，D 是AC 的三等分点， 则AC ＝3EG ＝6 cm.由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5 cm.答案：6 cm 5 cm7．如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于点P ，DN ∥CP .若AB ＝6 cm ，则AP ＝________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝________.解析：由AD ⊥BC ，AB ＝AC ，知BD ＝CD ， 又DN ∥CP ， ∴BN ＝NP ，又AM ＝MD ，PM ∥DN ，知AP ＝PN ， ∴AP ＝13AB ＝2 cm.易知PM ＝12DN ，DN ＝12PC ，∴PC ＝4PM ＝4 cm. 答案：2 cm 4 cm 三、解答题8．已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点(BE >CE )，AE ，CD 交于点F . 求证：F 是CD 的中点． 证明：如图，过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，在△ABE 中，∵AD ＝BD ，DG ∥AE ， ∴BG ＝GE .∵E 是BC 的三等分点， ∴BG ＝GE ＝EC .在△CDG 中，∵GE ＝CE ，DG ∥EF ， ∴DF ＝CF ， 即F 是CD 的中点．9.如图，在等腰梯形中，AB ∥CD ，AD ＝12 cm ，AC 交梯形中位线EG 于点F ，若EF ＝4 cm ，FG ＝10 cm.求此梯形的面积．解：作高DM ，CN ， 则四边形DMNC 为矩形．∵EG 是梯形ABCD 的中位线， ∴EG ∥DC ∥AB . ∴F 是AC 的中点．∴DC ＝2EF ＝8，AB ＝2FG ＝20，MN ＝DC ＝8.在Rt △ADM 和Rt △BCN 中，AD ＝BC ，∠DAM ＝∠CBN ，∠AMD ＝∠BNC ，∴△ADM ≌△BCN . ∴AM ＝BN ＝12(20－8)＝6.∴DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝6 3. ∴S 梯形＝EG ·DM ＝14×63＝84 3 (cm 2)．10.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，四边形ABDE 是平行四边形，AD的延长线交EC 于F .求证：EF ＝FC .证明：法一：如图，连接BE 交AF 于点O . ∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BO ＝OE . 又∵AF ∥BC ， ∴EF ＝FC . 法二：如图，延长ED 交BC 于点H .∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AB ∥ED ，AB ∥DH ，AB ＝ED .又∵AF∥BC，∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于点M.∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥EA，AE＝BD.又∵AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM＝BD.∴AM＝AE.∴EF＝FC.敬请批评指正。
选修4 1平行线等分线段定理教学设计
平行线等分线段定理【教材分析】教学重点：根据新的课程标准，将平行线等分线段定理及其推论的应用作为重点，同时将自主探索、动手操作、协作交流意识的培养作为重点。
教学难点：定理的灵活应用是本节的难点。
在教学过程中循序渐进的设计“猜一猜”、“想一想”、“议一议”、“做一做”、“试一试”以突破这一难点。
【设计理念】现代教学论指出，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。
没有交往，没有互动，就不存在或未发生教学，那些只有教学的形式表现而无实质性交往发生的“教学”，是假教学。
把教学本质定位为交往，是对教学过程的正本清源。
对教学而言，交往意味着对话，意味着参与，意味着相互建构，它不仅是一种教学活动方式，更是弥漫、充盈于师生之间的一种教育情境和精神氛围。
对学生而言，交往意味着心态的开放，主体性的凸现，个性的张显，创造性的解放。
对教师而言，交往意味着上课不是传授知识，而是一起分享理解；上课不是无谓的牺牲和时光的耗费，而是生命活动、专业成长和自我实现的过程。
交往还意味着教师角色定位的转换:教师由教学中的主角转向“平等中的首席”，从传统的知识传授者转向现代的学生发展的促进者。
根据新的课程标准，结合本班学生实际，改变传统的严格意义上的教师教和学生学，力求师生互教互学，彼此形成一个真正的“学习共同体”。
让学生成为学习活动的主人，教师成为学生学习的组织者和合作者，而不是权威的讲授者。
教师可以根据学生的提问或者活动中可能出现的某些情况，提供示范、建议和指导，引导学生们大胆阐述并讨论他们的观点，让学生说明他们所获得的结论的有效性，并对结论进行评价。
学生学习的过程不是学生被动地吸收课本上的现成结论，而是一个学生亲自参与丰富、生动的思维活动，经历实践和创新的过程。
【教学目标】知识目标：能用语言及结合图形的符号语言叙述平行线等分线段定理和它的两个推论；用它们能初步解决证明线段相等和计算线段长度的问题；会用尺规作图法等分一条已知线段；能独自处理等分实际物体的问题。
人教新课标版数学高二-高中数学平行线等分线段定理学案选修4-1
吉林省吉林市朝鲜族中学高中数学 1.1 平行线等分线段定理学案新人教A版选修4-1吉林朝中高二年级数学学科教学案第周课时课题课堂类型新课上课时间2014年月日学习目标1.知道平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．2. 熟练任意等分线段的方法．学习重点平行线等分线段定理及其证明学习难点平行线等分线段定理证明和应用学习内容学法指导一．复习平行线的性质和判定？二．知识点：如图，三条直线l1, l2, l3 满足l1∥l2∥l3 ，直线l∥l，且分别于l1, l2, l3交于A1, A2 , A3 和B1, B2,B3 .当A1A2 A2A3 时，观察图形思考：B1B2、B2B3 的长度有什么关系？如果l 与l 不平行，上述关系还成立吗？1.平行线等分线段定理：如果 ____________ 在一条直线上截得的线段______ ，那么在其它直线上截得的线段也 ______ .推论 1：经过三角形一边的 ____ 与另一边 _____ 的直线必 _____ 第三边.推论 2：经过梯形一腰的 ______ ，且与底边 ______ 的直线 _____ 另一腰.三．典型例题例1：如图，要在一块钢板上的A、B两个小孔间再钻三个小孔，是这些小孔都在直线AB上，并且每两个相邻的小孔中心的距离相等，如果只有圆规和无刻度直尺，应当怎样确定小孔的中心位置？多媒体你能证明吗?等分线定理的作用：①把线段n等分.B.A例2：如图1-7D 和E 分别是△ABC 中AB 边和AC 边的中点。
求证：DE ∥BC 且DE=1/2BC四．当堂练习：1. 已知：在□ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，连BE 、DF 交AC 于G 、H 点.求证：AG=GH=HC2.已知：如图，梯形ABCD 中，︒=∠90,//ABC BC AD ,M 是CD 的中点。
求证：AM=BM学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差② 证明在同一直线上的线段相等自主练习。
(八年级数学教案)数学教案-平行线等分线段定理
数学教案－平行线等分线段定理八年级数学教案教学建议1．平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．2．平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.教法建议平行线等分线段定理的引入生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.教学设计示例一、教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美●二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析●三、重点、难点1．教学重点：平行线等分线段定理2．教学难点：平行线等分线段定理●四、课时安排l课时●五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具●六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．已知：如图，直线，．求证：．分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．（引导学生找出另一种证法）分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．∴∵，∴又∵，，∴∴为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线．②在射线上以任意长顺次截取．③连结．④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．、、、就是所求的五等分点．（说明略，由学生口述即可）【总结、扩展】小结：（l）平行线等分线段定理及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．八、布置作业教材P188中A组2、9九、板书设计。
人教版高中数学选修4-1《平行线等分线段定理》教学设计
平行线均分线段定理教课方案示例一、教课目的1.使学生掌握平行线均分线段定理及推论 .2.可以利用平行线均分线段定理随意均分一条已知线段，进一步培育学生的作图能力．3.经过定理的变式图形，进一步提升学生剖析问题和解决问题的能力．4.经过本节学习，领会图形语言和符号语言的和睦美二、教法设计学生察看发现、议论研究，教师指引剖析三、要点、难点1．教课要点：平行线均分线段定理2．教课难点：平行线均分线段定理四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用绘图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生绘图探究；师生共同概括结论；教师示范作图，学生板操练习七、教课步骤【复习发问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生着手做一实验：每个同学拿一张横格纸，第一察看横线之间有什么关系？（横线是相互同等的，而且它们之间的距离是相等的），而后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为何？）这时在横格纸上再任画一条与横线订交的直线，丈量它被相邻横线截得的线段能否也相等？（指引学生把做实验的条件和获得的结论写成一个命题，教师总结，由此获得平行线均分线段定理）平行线均分线段定理：假如一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其余直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组拥有特别条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特别平行线组，这一点一定使学生明确．下边我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．已知：如图，直线，．求证：．剖析 1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段构成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），经过全等三角形性质，即可获得要证的结论．（指引学生找出另一种证法）剖析 2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前方常用的协助线，把梯形转变为平行四边形和三角形，而后再利用这些熟习的知识即可证得．证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．∴∵ ，∴又∵，，∴∴为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算灵活向演示）．指引学生察看下列图，在梯形中，，，则可获得，由此得出推论1．推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必均分另一腰．再指引学生察看下列图，在中，，，则可获得，由此得出推论2．推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必均分第三边．注意：推论 1 和推论 2 也都是很重要的定理，在此后的论证和计算中常常用到，所以，要修业生一定掌握好．接下来讲怎样利用平行线均分线段定理来随意均分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五均分点．作法：①作射线．②在射线上以随意长按序截取．③连接．④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．、、、就是所求的五均分点．（说明略，由学生口述即可）【总结、扩展】小结：（l）平行线均分线段定理及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的状况下证明的，关于多于三条的平行线的状况，也可用相同方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特别平行线组．（4）应用定理随意均分一条线段．八、部署作业。
平行线等分线段定理 说课稿 教案 教学设计
平行线等分线段定理【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形； 2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用 【教学难点】平行线等分线段定理的证明 【教学方法】引导·探究·发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等 【教学设计】一、实际问题，导入新课1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？2·先将矩形（ABCD ）纸对折，得折痕MN （如图1）；·再把B 点叠在折痕MN 上， 得到Rt △BEP （如图2）； ·最后沿EP 折叠，便可得到（如图1） 等边△BEF （如图2）。
（如图2）3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。
二、复习引导，发现定理1．复习提问（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？ （2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？ 师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。
2．操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：（1）画一条与这组平行线垂直的直线l 1，则直线l 1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l 2，量一量直线l 2被这组平行线截得的线段是否相等。
3．引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述B C N NF吗？猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
4．验证猜想教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。
三、归纳探究，证明定理1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1证”吗？已知：直线a // b // c ，AB = BC （如图1） 求证：A'B' = B'C'。
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《平行线分线段定理》学案
学习目标：
1. 了解平行线分线段定理产生的背景，体验定理的产生过程；
2. 探索并理解平行线分线段定理的证明过程；
3. 能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2；
4. 能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题； 重、难点：
重点：掌握平行线分线段定理以及推论； 难点：定理和推论的应用； 学习过程： 一、课前准备：
1) 预习教材第二页至第五页的内容，从中找出疑惑之处； 2) 回忆初中学习过的平行线的判定和性质； 二、新课导学：
● 知识梳理：
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 ● 基础自测： 判断题
1. 如图△ABC 中点D 、E 三等分AB ，DF ∥EG ∥BC ，DF 、EG 分别交AC 于点F 、G ，
则点F 、G 三等分AC （ ）
2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC
B
E G A
C
D F
( )
3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线
段。
（ ）
4. 如图l1∥l2∥l3且AB=BC ，那么AB=BC=DE=EF （ ）
典例分析：
◆分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．
例1 已知：如图，M 、N 分别为平行四边形ABCD 边AB 、CD 的中点。
CM
、AN 分别交BD 于点E 、F 求证：BE=EF=FD
分析：1、证CM ∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
练习：已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC=90。
M 是CD 的中点 求证：AM=BM
例2 如图 4－85． AB ⊥j 于B. CD ⊥j 于 C,E 为 AD 中点．求 证：△EBC 是等腰三角形．
A B E A
B
C
D
F
l 3
l 2
l 1
C
D
M
分析：先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．
练习：如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB＝∠MBA．
◆ n等分任意一已知线段的作图
例3 已知：线段AB，求作：线段AB的五等分点
引申：
问题1：求作一点P把线段AB分成2：3
问题2：如果把△ABC的面积分成2：3怎么办？
分析：引导学生构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和点B．
◆达标检测，回授效果
1．已知：如图11，在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是CD 的中点，
EF//BC 交AB 于F ，FG// BD 交AD 于G 。
求证：AG = DG 。
2．如图
12，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE//BC 交AC 于E ， （11） EF//AB 交BC
于F 。
（1）求证：BF=CF ；
（2）图中与DE 相等的线段有 ；
（3）图中与EF 相等的线段有 ；
（4）若连结DF ，则DF 与AC 的位置关系是 ，数量关系是 。
（12）
3． 求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。
4．已知：如图13，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点， BE 的延长线交AC 于F 。
求证：FC = 2AF 。