19.第十九讲 转化灵活的圆中角(含答案)-

第十九讲 转化灵活的圆中角
角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化．
根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来．
熟悉以下基本图形、基本结论．
注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨．
【例题求解】
【例1】 如图，直线AB 与⊙O 相交于A ，B 再点，点O 在AB 上，
点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝40°，点E 是直线AB 上一个动点(与点O 不重合)，直线EC 交⊙O 于另一点D ，则使DE=DO 的点正共有 个．
思路点拨 在直线AB 上使DE=DO 的动点E 与⊙O 有怎样的位置关系?
分点E 在AB 上(E 在⊙O 内)、在BA 或AB 的延长线上(E 点在⊙O 外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E 点位置、存在的个数．
注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．
【例2】 如图，已知△ABC 为等腰直角三形，D 为斜边BC 的中
点，经过点A 、D 的⊙O 与边AB 、AC 、BC 分别相交于点E 、F 、M ，对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF ＝AB ；③
BC
BA
EF ED
；④2BM 2=BF ×BA ；⑤四边形AEMF 为矩形．其中正确结论的个数是( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．
注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择．
【例3】如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面积．
思路点拨由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例的关键．
【例4】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连
结AC，过点C作直线CD⊥AB于D(AD<DB)，点E是AB上任
意一点(点D、B除外)，直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线
CD交于点G．
(1)求证：AC2=AG×AF；
(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然
成立?若成立．请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．
思路点拨(1)作出圆中常用辅助线证明△ACG∽△AFC；
（2）判断上述结论在E点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键．注：构造直径上90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．
【例5】 如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB=CD=EF ，且对
角线AD 、BE 、CF 相交于一点Q ，设AD 与CF 的交点为P ．
求证：（1）EC
AC
ED QD =
；(2)22CE AC PE CP =． 思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多
对相似三角形．
(1) 证明△QDE ∽△ACF ；(2)易证
DE
QC
PE CP =，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明．
注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有： (1)利用圆的定义判定；
(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定．
学历训练
A 组
1．一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ． 2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的一点，则∠1+∠2= ．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF=2，AF=3，则EF 的长为 ．
4．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB+AC=12，AD ⊥BC 于D ，AD ＝3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x ，用x 的代数式表示y ，y = ．
5．如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ：∠ECD ＝3：2，那么∠BOD 等于( )
A ．120°
B ．136°
C ．144°
D ．150°
6．如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA=DC ，∠AOC=160°，则∠BOC 等于( )
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
7．如图，BC 为半圆O 的直径，A 、D 为半圆O 上两点，AB=3，BC=2，则∠D 的度数为( )
A ．60°
B ． 120°
C ． 135°
D ．150°
8．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，点P 是弧AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ．给出下列四个结
论：①CH 2=AH ×BH ；② AD AC
；③AD 2=DF ×DP ；④ ∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图，已知B正是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
(1)求证：AC·BC=BE·CD；
(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
10．如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．
(1)求证：FB=FC；
(2)求证：FB2=FAFD；
(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．
B组
11．如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C 点除外)，则tan∠APB·tan∠CPD= ．
12．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，则四边形ABCD 的面积为．
13．如图，圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，则BC= ．14．如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，∠B=40°，则∠A等于( ) A．60°B．50°C．80°D．70°
15．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB 和DC，它们相交于P，若∠APD=60°，则⊙O的面积为( )
A．25πB．16πC．15πD．13π
16．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2
17．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=2AE，且BD=3
2，求四边形ABCD的面积．
18．如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)A B·DC+AD·B C＝AC·BD．
19．如图，已知P是⊙O直径AB延长线上的一点，直线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF ⊥AB于点H，CF交AB于点E．
(1)求证：PA·PB=PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．
20．如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=4，S △ABC =36，∠B 为锐角，且关于x 的方程
24cos 10x x B -+=有两个相等的实数根，D 是劣弧 AC 上任一点(点D 不与点A 、
C 重合)，DE 平分∠ADC ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ． (1)求∠B 的度数； (2)求CE 的长；
(3)求证：DA 、DC 的长是方程02=⋅+⋅-DF DE y DE y 的两个实数根．
参考答案。