(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习保分大题规范专练(二)

保分大题规范专练（二）
1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(a －c )sin C .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，求AC 边上高h 的最大值．
解：(1)由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(a －c )·c 即a 2＋c 2－b 2
＝ac ， 则由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12
， 因为B ∈(0，π)，所以B ＝
π3. (2)因为9＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，
当且仅当a ＝c 时取等号．
又S △ABC ＝12ac sin B ＝12
bh ， 所以h ＝ac sin
π33≤332，即高h 的最大值为332
. 2.如图，矩形ABCD 中，AB AD ＝λ(λ>1)，将三角形ACD 沿AC 翻折，
使点D 到达点E 的位置，且二面角C
AB E 为直二面角． (1)求证：平面ACE ⊥平面BCE ；
(2)设F 是BE 的中点，二面角E
AC F 的平面角的大小为θ，当λ∈[2,3]时，求cos θ的取值范围．
解：(1)证明：∵二面角C AB E 为直二面角，AB ⊥BC ，
∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ，
∵AE ⊥CE ，BC ∩CE ＝C ，∴AE ⊥平面BCE .
∵AE ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE .
(2)设AD ＝1，则AB ＝λ，
法一：过点F 作FG ⊥EC 于点G ，则可证FG ⊥平面AEC ，再过点G 作
GH ⊥AC 于点H ，连接FH ，则AC ⊥FH .
∴∠FHG 即为二面角E
AC F 的平面角， 也即∠FHG ＝θ，
∵AF ＝CF ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ2－122＝λ2＋32， ∴H 为AC 的中点，
∴FH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋322－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋122＝22， FG ＝EF ·BC EC ＝λ2－12λ
， ∴HG ＝FH 2－FG 2
＝λ2＋12λ， ∴在△FHG 中，cos θ＝HG FH ＝
22·1＋1λ2. 由λ∈[2,3]得cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53
，104. 法二：如图，以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E (0,0,0)，A (0,1,0)，B (λ2－1，0,0)，C (λ2
－1，0,1)， F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ2－12，0，0， 则EA ―→＝(0,1,0)，EC ―→＝(λ2－1，0,1)．
设平面EAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧ y ＝0，
λ2－1·x ＋z ＝0，
取x ＝1， 则m ＝(1,0，－λ2－1)，
同理可得平面FAC 的一个法向量为
n ＝(2，λ2－1，－λ2－1)，
∴cos θ＝m ·n |m ||n |＝λ2＋1λ·2λ2＋1＝22
·1＋1λ2，
由λ∈[2,3]得cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，104. 3．已知函数f (x )＝13
x 3－ax 2＋3x ＋b (a ，b ∈R)． (1)当a ＝2，b ＝0时，求f (x )在[0,3]上的值域；
(2)对任意的b ，函数g (x )＝|f (x )|－23
的零点不超过4个，求a 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝13
x 3－2x 2＋3x ， 得f ′(x )＝x 2
－4x ＋3＝(x －1)(x －3)．
当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上单调递增；
当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，故f (x )在(1,3)上单调递减．
又f (0)＝f (3)＝0，f (1)＝43，
所以f (x )在[0,3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4
3.
(2)由题得f ′(x )＝x 2－2ax ＋3，Δ＝4a 2－12.
①当Δ≤0，即a 2≤3时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增，满足题意． ②当Δ>0，即a 2>3时，f ′(x )＝0有两根，
设两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝3.
则f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． 由题意知|f (x 1)－f (x 2)|≤4
3，
即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 31－x 3
23－a x 2
1－x 22＋3x 1－x 2≤4
3.
化简得(a 2－3)3≤1，解得3<a 2≤4.
综合①②，得a 2≤4，即－2≤a ≤2.。