倒易点阵习题集
XRD(2-晶体学基础)(1)
1．倒易点阵的定义？ 2．倒易点阵的重要性质？
34
<100>等效晶向
16
（三）晶面和晶面间距 1、晶面
➢ 在布拉菲格子中作一簇平行的平面，这些相互平行、 等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
➢ 这些相互平行的平面称为晶体的晶面 ➢ 同一布拉菲格子中可以存在位相不同的的晶面
17
（hkl）：表示一组相互平行的晶面， 称为晶面指数或米勒指数。
（hkl）是平面在三个坐标轴上截距倒数的互质比。 晶格中一组晶面不仅平行，并且等距；
一组晶面必包含了所有格点而无遗漏。
同一个格子，两组不同的晶面
18
例
以晶胞参数a,b,c为三个对应晶轴的度量单位，晶面ABC在 坐标轴上的截距分别为2、3、6； 其倒数为1/2、 1/3 、 1/6，
h:k:l = 1/2 :1/3 : 1/6
=3:2:1
故: 该晶面的晶面指数 （hkl）为(321)。
带轴。
凡属于[uvw]晶带的晶面，其面指数（hkl）必符合关系：
hu+kv+lw=0
晶带定律
跳过下一页PPT 26
二、倒易点阵（倒点阵）
倒点阵可以直观地解释衍射图的成因， 它是虚拟的、抽象的教学工具。
晶体学中的正点阵（空间点阵），通过某种联系，将其 抽象出另外一套结点的集合，得到倒点阵。
➢ 晶体点阵中的一个晶面（hkl），在倒点阵中将用 一个点Phkl表示。该点与其对应的晶面有倒易关系。
E、当晶面指数中某个位置上的指数为0时， 表示该晶面与对应的晶轴平行。 如（100）(001）。
22
2、晶面间距dhkl
晶面间距是指两个相邻的平行晶面间的垂直距离。 通常用dhkl 或简写为d来表示。
2-4-倒易点阵
第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。
矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。
相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。
显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。
我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。
其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。
5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。
倒易点阵
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢
点阵中的规律练习
●
●
●
●
按规律填空:
根据左边图形的变化关系，推断出右边问号 处应选几号？
（1）
?
①√
②③
④
（2）
？
①√ ②
③
④
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
?
(5)、北师大附小阅览室的一张方桌能坐4人,如果多于 4人,可以把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人 (如 图所示).
按照上述规定填写下表的空格:
桌子数 1
2
3
人数 4 6 8
4 …8
10 … 18
(6)、用火柴棒按如图的方式搭一行三角形,搭1个三角 形需3支火柴棒,搭2个三角形需5支火柴棒,搭3个三角形 需7支火柴棒.照这样的规律搭下去,搭10个三角形需要 几支火柴棒?你能发现什么规律吗?
一年级找规律练习题幼儿找规律练习题找规律练习题幼儿园找规律练习题小学找规律练习题初一找规律练习题初中找规律练习题三角形找规律练习题点阵激光点阵图
点阵中的规律练习
（1）观察下列点阵，并在括号中填上适当的算式,你发现有什么规律。
( 1×4 ) ( 2 × 4 )
( 3×4 )
问：你能画出第4个点阵吗？
（4×4）
（2）观察下列点阵，并在括号中填上适当的算式,你发现有什么规律。
1×1 2×2
3×3
4×4
1＝1 4＝1＋2＋1 9＝1＋2＋3＋2＋1 16＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1
（2）观察下列点阵，并在括号中填上适当的算式,你发现有什么规律。
问：你能画出第5个点阵吗？
（5×5）
(3)观察下图已有的几个图形，按规律画出下一个图形。
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导竭诚为您提供优质文档/双击可除第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导篇一：第十二章习题答案new1、分析电子衍射与x衍射有何异同？答：相同点：①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。
②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。
不同点：①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。
而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2?。
②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。
④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。
2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。
关系：①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c。
⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。
3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
证：如图，以入射x射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心o处，入射线经试样与球相交于o*；以o*为倒易原点，若任一倒易点g落在厄瓦尔德球面上，则g对应的晶面满足衍射条件产生衍射。
倒易点阵
向量P×Q正是沿晶面法向
P
b
a
Q
k c
h b
H
l
P
k
Q
(
b
a)
(
c
b)
kh lk
倒易点阵的引入（2）
H
P
Q
(
b
a)
( c
b)
kh lk
所以，为了方便表示， 我们引入新的矢量
H
(b
a)
如何确定倒易点阵上的阵点
根据基矢的对应关系式确定倒易基矢
a*
b
c
V
b*
a
c
c*
V a
b
V
a* 1 d100
b*
1
d 010
c* 1 d 001
倒易基矢的方向大小确定后，将基矢平移单位长度得到阵点
正点阵基矢间夹角和倒点阵基矢间夹角间的关 系
• 根据基矢之间的夹角的定义，有 • 把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得
(j 2 (i 2 (i
2
k) k) j)
体心立方的倒格子是边长为2/a的面心立方 。
变换矩阵的引入
由倒易矢量的定义可以知道，倒空间中的三个基矢其实 是正空间中与正空间基矢共原点的三个矢量，因此可以 用空间变换将两组基矢联系起来，从而将正、倒空间的 矢量计算结合起来。
ab bb
ac bc
a* b*
c c a c b c c c*
现代材料分析测试技术-第02章-3倒易点阵爱瓦尔德作图法精选全文
爱瓦尔德球与倒易点阵的关联作用
• 若有倒易点G（指数为hkl）落在球上，则 • G点对应的晶面组（hkl）与入射束oo*，
满足布拉格定律 • 有k‘－k＝g • 布拉格定律的另一种表达形式
12
证明：爱瓦尔德作图法－ 布拉格定律的几何表达形式
• O*D＝oo*sinθ • g=1/d （倒易矢量的定义）
• a*·a = b*·b = c*·c =1
• a* b* c*的表达式为：V空间点阵单位晶胞
的体积
a b c ;b a c ;c a b
V
V
V
4
• 某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二 基矢所成的平面
• 正倒点阵异名基矢点乘为0,同名基矢点乘为1
5
倒易点阵与正点阵的倒易关系及 倒易矢量及性质
• 无数倒易点组成点阵－倒易点阵 • 倒易点阵的倒易是正点阵。 • 倒易矢量及性质：
从倒易点阵原点向任一倒易阵点所 连接的矢量叫倒易矢量，表示为：
Hhkl = ha* + kb* + l c* 两个基本性质
6
两个基本性质 ：
1) Hhkl垂直于正点阵中的hkl晶面 2) Hhkl长度等于hkl晶面的晶面间距dhkl的倒数
&2-3 倒易点阵
1
倒易点阵的引入
• 倒易点和倒易原点 • 晶体点阵中的晶面和相应倒易点的关系 • 整个晶体中各种方位、各种面间距的晶
面所对应的倒易点之总和，构成了一个 三维的倒易点阵。正空间与倒空间
2
3
1.倒易点阵中单位矢量的定义式
• a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b =0
7
2-4 爱瓦尔德图解法
材料研究方法试题库
材料研究方法试题库第一章一、选择题1.用来进行晶体结构分析的X射线学分支是（）A.X射线透射学；B.X射线衍射学；C.X射线光谱学；D.其它2. M层电子回迁到K层后，多余的能量放出的特征X射线称（）A.Kα；B. Kβ；C. Kγ；D. Lα。
3. 当X射线发生装置是Cu靶，滤波片应选（）A．Cu；B. Fe；C. Ni；D. Mo。
4. 当电子把所有能量都转换为X射线时，该X 射线波长称（）A.短波限λ0；B. 激发限λk；C. 吸收限；D. 特征X射线5.当X射线将某物质原子的K层电子打出去23生、、、、、、、。
3. 经过厚度为H的物质后，X射线的强度为。
4. X射线的本质既是也是，具有性。
5. 短波长的X射线称，常用于；长波长的X射线称，常用于。
习题1.X射线学有几个分支？每个分支的研究对象是什么？2.分析下列荧光辐射产生的可能性，为什么？（1）用CuKαX射线激发CuKα荧光辐射；（2）用CuKβX射线激发CuKα荧光辐射；45（3）用CuK αX 射线激发CuL α荧光辐射。
3. 什么叫“相干散射”、“非相干散射”、“荧光辐射”、“吸收限”、“俄歇效应”、“发射谱”、“吸收谱”？4. X 射线的本质是什么？它与可见光、紫外线等电磁波的主要区别何在？用哪些物理量描述它？5. 产生X 射线需具备什么条件？6. Ⅹ射线具有波粒二象性，其微粒性和波动性分别表现在哪些现象中？7. 计算当管电压为50 kv 时，电子在与靶碰撞时的速度与动能以及所发射的连续谱的短波限和光子的最大动能。
8. 特征X 射线与荧光X 射线的产生机理有何异同？某物质的K 系荧光X 射线波长是否等于它的K 系特征X 射线波长？9. 连续谱是怎样产生的？其短波限V eV hc 301024.1⨯==λ与某物质的吸收限k k k V eV hc 31024.1⨯==λ有何不同（V 和V K 以kv为单位）？10. Ⅹ射线与物质有哪些相互作用？规律如何？对x 射线分析有何影响？反冲电子、光电子和俄歇电子有何不同？11.试计算当管压为50kv时，Ⅹ射线管中电子击靶时的速度和动能，以及所发射的连续谱的短波限和光子的最大能量是多少？12.为什么会出现吸收限？K吸收限为什么只有一个而L吸收限有三个？当激发X系荧光Ⅹ射线时，能否伴生L系？当L系激发时能否伴生K系？13.已知钼的λKα＝0.71Å，铁的λKα＝1.93Å及钴的λKα＝1.79Å，试求光子的频率和能量。
画出倒易点阵的例题
画出倒易点阵的例题
倒易点阵是一种艺术绘画形式，它通过绘制一系列的点来形成图像。
与传统的点阵绘画相反，倒易点阵是从图像的负片开始绘制的，即将图像的亮度和颜色取反，以达到独特的效果。
下面是一个倒易点阵的例题，我们将使用铅笔绘制一个简单的风景图。
步骤1: 准备绘画材料，包括铅笔、纸张和橡皮擦。
步骤2: 选择一个简单的风景图作为参考，例如一棵树和一片草地。
步骤3: 将纸张分成一个个小方格，每个方格大小根据你的喜好来决定。
方格的大小将决定你绘制的图像的细节程度。
步骤4: 从图像的底部开始，观察每个方格内的图像，然后用铅笔在相应的位置上绘制一个点。
对于较亮的部分，可以使用浅色铅笔，对于较暗的部分，可以使用深色铅笔。
步骤5: 逐个方格绘制点，直到完成整幅图像。
记得要注意绘制图像的倒置，即将亮色转换成暗色，暗色转换成亮色。
步骤6: 完成绘制后，用橡皮擦除掉纸上的方格线条，使整幅图像看
起来更加清晰。
这是一个简单的倒易点阵绘画例题，通过绘制一系列的点来还原图像。
倒易点阵绘画不仅能够锻炼我们的观察力和绘图技巧，还能够给人一种独特的艺术体验。
你可以尝试绘制更复杂的图像，添加更多的细节，挑战自己的绘画能力。
无论是初学者还是有经验的艺术家，倒易点阵都是一个有趣且有创造力的绘画方式。
倒易点阵习题集
倒易点阵习题集例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，()12aa x y z =+- ()22aa x y z =-++ ()32aa x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，,,xy z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。
初基晶胞体积()31231 2c V a a a a =??=根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ==?=? ()212322222222c x y zV a a a a b a a xy a a a π=?=-=+- ()223122222222c xy z V a a a a b a a yz a a a π=?=-=+- ()23122222c xy zV a a a a b a a zx a a a π=?=-=+-于是有：()()()123222,,b x y b y z b z x a a aπππ=+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．同理，对面心立方点阵写出初基矢量()1??2aa x y =+ ()2??2aa y z =+ ()3??2aa z x =+ 如图1.10所示。
初基晶胞体积()312314c V a a a a =??=。
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量()()()123222,,b x y z b x y z b x y z a a aπππ=+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()32/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．(a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ??，现计算()123b bb ??．由式(2．1)知，123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ==?=? 此处()123c V a a a =?? 而()()()(){}222331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ==??- ?这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D =??-?。
第二部分 倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导
ϕG = ∑ f j ( G ) exp ( −iG ⋅ r j )
j
(2.11)
其中 rj 是基元中第 j 原子的坐标，
r j = x j a1 + y j a2 + z j a3 , ( 0 ≤ x j , y j , z j < 1) f j 是第 j 原子的形状因子，
4
f j = ∫ dVn j ( r ) exp ( −iG ⋅ r )
j
(2.13)
当基元的几何结构因子为零时，空间点阵所允许的反射消失，而根据消失了 的反射(即消光规则)又可以帮助我们确定晶体结构．
5
例题
2．1 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵
是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵．
[证明]
选体心立方点阵的初基矢量如图 1．8 所示，
2
2
{
}
这里引用了公式： ( A × B ) × ( C × D ) = ⎡ ⎣( A × B ) ⋅ D ⎤ ⎦C − ⎡ ⎣( A × B ) ⋅ C ⎤ ⎦D。 由于 ( a3 × a1 ) ⋅ a1 = 0 ，故有
⎛ 2π ⎞ b2 × b3 = ⎜ ⎟ ⎡ ⎣( a3 × a1 ) ⋅ a2 ⎤ ⎦ a1 ⎝ Vc ⎠
2k ⋅ G + G 2 = 0
或
(2.9a)
2k ⋅ G = G 2
(2.9b)
可以证明，布喇格定律和劳厄条件完全是等价的。
相应于倒易点阵矢量 G 所给出的波矢改变 Δk = G ，有劳厄衍射的峰值，这 个劳厄衍射峰正好相当于来自和 G 相垂直的晶面族的布喇格反射，而出现在布 喇格定律中的反射级 n 正是倒易点阵矢量 G 除以和它平行的最短倒易点阵矢量 而得的倍数。
2-1倒易点阵
正、倒格子之间的关系（二）
3. 正格矢 Rm=m1a1+m2a2+m3a3 和倒格矢Gn=n1b1+n2b2+n3b3之间满足下 列关系：
Rm · Gn=2πμ ，μ =0，±1， ± 2… • 推论：若两矢量点积为2π的整数倍，且其中一个矢量为正（倒）易点阵 位矢，则另一矢量必为倒易（正）点阵的位矢。
(2)V * V (2 )3
倒格基矢和正格基矢之间的几何关系？
5. 由定义可知： b
•
1
a2 , a3 ; b2 a3 , a1; b3 a1, a2 ;
推论：如果a1、a2、a3相互垂直，则b1、b2、b3分布平行于 a1、a2、a3，且有
b1
2 2 2 , b2 , b3 . a1 a2 a3
b
a
例1：两种原子组成下图所示的二维正方格子，晶格沿水平和垂直方向的总长度分 为4cm和2cm。试回答下列问题 ： （1）在图1中画出原胞图形，取基矢；计算原胞的面积及此 晶格包含的原胞数。 （2）此晶格的倒格子基矢？画出倒格子图形，其对应的原胞面积？
例2：六角晶系的倒格基矢？
倒格子的意义
• 利用倒易点阵的概念可以比较方便地导出晶体几何学 中各种重要关系式； • 引入倒格子，可方便地把三维周期函数展开成傅里叶 级数； • 在实验上：由晶体的X射线衍射图样（与晶面族亦即倒 格矢有关)-->可分析出倒格矢->倒格子结构->求出晶 体的(正格子)结构； • 在理论物理上：倒格子空间的矢量可以用来标识波矢k， 通常用波矢来描述电子在晶体中的运动状态或晶格的 振动状态。由倒易点阵基矢所张的空间称为倒易空间， 其可理解为状态空间（k空间）。
2-3-倒易点阵
II. 倒点阵原胞的体积反比于正点阵原胞体积
( 2π ) 3 Vb = Va
证明：
2π 3 Vb = b1 • (b2 × b3 ) = ( ) (a2 × a3 ) ⋅ [( a3 × a1 ) × (a1 × a2 )]
U (ξ1 ξ 2 ξ 3 ) = U (ξ1a1 + ξ 2a 2 + ξ 3a 3 ) = U [(ξ1 + l1 )a 1 , (ξ 2 + l2 )a 2 , (ξ 3 + l3 )a 3 ]
其可以看作以ξ1、ξ2、ξ3为变量，周期为1的函数，因此可以写成傅立叶级数：
U (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ∑∑∑ um1m2 m3 e 2π i ( m1ξ1 + m2ξ 2 + m3ξ 3 )
Va 2π 3 = ( ) ( a2 × a3 ) ⋅ {[( a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [( a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 } Va
3 2π 3 ( 2 π ) = ( ) [( a3 × a1 ) ⋅ a2 ] ⋅ [( a2 × a3 ) ⋅ a1 ] = Va Va
• •
m
m
10
VI证明过程：
由于晶格的周期性，如U(r)表示r点某一物理量，则有：
U (r ) = U (r + R l )
r为晶格中任一点位置，Rl为晶格平移矢量，记做：
r = ξ 1a 1 + ξ 2 a 2 + ξ 3 a 3
R l = l1a 1 + l2a 2 + l3a 3
x衍射晶体学基础(倒易点阵)
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几 何学抽象，用以描述和分析晶体 结构的周期性和对称性，由于各 阵点的周围环境相同，它只能有 14种类型
晶体结构则是晶体中实际质点（原 子、离子或分子）的具体排列情况， 它们能组成各种类型的排列，因此， 实际存在的晶体结构是无限的。
倒易点阵的思路：
倒易点阵
一. 定义 二. 倒易点阵和晶体点阵的关系 三. 倒易点阵的物理意义
Gh1h2h3 (h1h2h3 )
G 1 d h1h2h3
h1h2h3
第一步：
第二步：
第一步成立，OM垂直于ABC面，
c n
n
OM方向上的单位矢量为
C
b
OM dh1h2h3
00
1 2
0
1 2
0
1 2
00
（b）为氯化钠的空间点 阵，属面心立方 点阵。每个阵点 对应1个氯离子 和1个钠离子
Na+
Cl－
(a)
2020/3/4
(b)
5
Cl－ Na+
Cl _ Cs+
Cl _ Cs+
6
2020/3/4
+
基元
Байду номын сангаас
＝
空间点阵
晶体结构
7
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正、倒点阵中的面线关系
几何要素
正点阵
倒点阵
关系
晶面
晶面（hkl） 倒易矢量g[hkl] * （hkl）⊥g[hkl] *
晶带轴 晶向矢量r[uvw] 倒易面(uvw)* r[uvw]⊥ (uvw)*
面线关系 r[uvw]∥（hkl） g[hkl] * ∥ (uvw)*
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导竭诚为您提供优质文档/双击可除第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导篇一：第十二章习题答案new1、分析电子衍射与x衍射有何异同？答：相同点：①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。
②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。
不同点：①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。
而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2?。
②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。
④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。
2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。
关系：①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c。
⑤只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。
3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
证：如图，以入射x射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心o处，入射线经试样与球相交于o*；以o*为倒易原点，若任一倒易点g落在厄瓦尔德球面上，则g对应的晶面满足衍射条件产生衍射。
材料现代分析方法(复习题及答案)
1、埃利斑由于光的波动性，光通过小孔发生衍射,明暗相间的条纹衍射的图样，条纹间距随小孔尺寸的变大，衍射的图样的中心有最大的亮斑，称为埃利斑。
2、差热分析是在程序的控制条件下，测量在升温、降温或恒温过程中样品和参比物之间的温差。
3、差示扫描量热法（DSC）是在程序控制条件下，直接测量样品在升温、降温或恒温过程中所吸收的或放出的热量。
4、倒易点阵是由晶体点阵按照一定的对应关系建立的空间点阵,此对应关系可称为倒易变换。
5、干涉指数在（hkl）晶面组（其晶面间距记为dhkl）同一空间方位，设若有晶面间距为dhkl/n(n 为任意整数)的晶面组(nh，nk，nl）即（H,K，L)记为干涉指数.6、干涉面简化布拉格方程所引入的反射面（不需加工且要参与计算的面）。
7、景深当像平面固定时（像距不变）能在像清晰地范围内，允许物体平面沿透镜轴移动的最大距离。
8、焦长固定样品的条件下，像平面沿透镜主轴移动时能保持物象清晰的距离范围.9、晶带晶体中，与某一晶向【uvw】平行的所有(HKL）晶面属于同一晶带，称为晶带射线若K层产生空位,其外层电子向K层跃迁产生的X射线统称为K系特征辐射，其中有L 10、α层电子跃迁产生的K系特征辐射称为Ka。
11、数值孔径子午光线能进入或离开纤芯（光学系统或挂光学器件）的最大圆锥的半顶角之余弦，乘以圆锥顶所在介质的折射率。
12、透镜分辨率用物理学方法(如光学仪器）能分清两个密切相邻物体的程度13 衍射衬度由样品各处衍射束强度的差异形成的衬度成为衍射衬度。
射线若K层产生空位，其外层电子向K层跃迁产生的X射线统称为K系特征辐射，其中有L 14α层电子跃迁产生的K系特征辐射称为Ka。
15质厚衬度由于样品不同区间存在原子序数或厚度的差异而形成的非晶体样品投射电子显微图像衬度，即质量衬度，简称质厚衬度。
16 质谱是离子数量（强度）对质荷比的分布，以质谱图或质谱表的形式的表达。
一、判断题1)、埃利斑半径与照明光源波长成反比，与透镜数值孔径成正比。
现代材料测试技术习题2
习题一1-1 讨论Mg 的晶体结构、点阵结构（布拉菲点阵）。
按比例尺绘出晶胞，点阵胞的图形。
写出基点原子、基本阵点的数目和坐标。
1-2 Fe 3C 是正交晶系晶体，其点阵常数为：a=0.4518nm ，b=0.5069nm ，c=0.6736nm 。
按比例尺绘出其倒易点阵，并从图上直接测量出（111）晶面的面间距（nm ）。
1-3 在一个立方晶系晶体内，确定下列衍射面中那些衍射面属于[011]晶带：（001）；（101）；（111）；（121）；（021）；（131）；（100）；（311）；（221）；（123）；（222）。
绘出[011]晶向的零层倒易面，标出上述各共带面的位置。
1-4 证明点阵面（110）、（121）和（312）属于[111]晶带。
1-5 证明在立方晶系中，[HKL]晶向垂直于（HKL ）晶面。
在其他晶系中则一定不变。
求出在任意晶系中，（HKL ）晶面发现的晶向指数的表达式。
1-6 是找出一个正六面体的全部宏观对称性，写出其全对称组合符号，国际符号。
一个四方棱柱体的情况又如何？1-7 平面A 在极射赤平面投影图上系用通过N 极、S 级和点0°N 、70°W 的大圆来表示。
平面B 的极点位于30°N 、50°W 。
试求此二平面之间的夹角，并绘出平面B 的大圆。
1-8 极点A 的位置为20°N 、50°E 。
经下列旋转操作以后，起最终位置坐标是什么？并描绘出其旋转时的途径。
①从N 向S 看去，以逆时针方向，绕NS 轴旋转100°②对观察者而言，以顺时针方向，绕垂直于投影面的轴旋转60° ③围绕极点坐标为10°S,30°W 的倾斜轴B ，顺时针方向旋转60°1-9 在倒易点阵中是如何表示同一晶带中所有共带面的？在极射赤平面投影图中又是如何表示的？1-10 绘出立方晶系晶体的（111）标准极射赤平面投影图，表明{100}、{110}、{111}所有极点的位置，并描绘出几个低指数晶带圆（把属于同一晶带的晶带面的极点联结而成的大圆）。
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例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，()1ˆˆˆ2aa x y z =+- ()2ˆˆˆ2aa x y z =-++ ()3ˆˆˆ2aa x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，ˆˆˆ,,xy z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。
初基晶胞体积()312312c V a a a a =⋅⨯=根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ ()2123ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV a a a a b a a xy a a a π=⨯=-=+- ()2231ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV aa a ab a a yz a a a π=⨯=-=+- ()2312ˆˆˆˆˆ22222222c xy zV aa a ab a a zx a a a π=⨯=-=+-于是有：()()()123222ˆˆˆˆˆˆ,,b x y b y z b z x a a aπππ=+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．同理，对面心立方点阵写出初基矢量()1ˆˆ2aa x y =+ ()2ˆˆ2aa y z =+ ()3ˆˆ2aa z x =+ 如图1.10所示。
初基晶胞体积()312314c V a a a a =⋅⨯=。
根据式(2．1)计算倒易点阵矢量()()()123222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,b x y z b x y z b x y z a a aπππ=+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()32/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．[证明](a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ⋅⨯，现计算()123b b b ⋅⨯．由式(2．1)知，123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ 此处()123c V a a a =⋅⨯ 而()()()(){}222331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D ⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
由于()3110a a a ⨯⋅=，故有()22331212c b b a a a a V π⎛⎫⨯=⨯⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭而()312c V a a a =⨯⋅ 故有22312c b b a V π⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭()()()()()233123111232222cccb b b a b a a a V V V πππ⋅⨯=⋅=⋅⨯=或写成()()()31231232b b b a a a π⋅⨯=⋅⨯倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的()32π倍。
(b) 现要证明晶体点阵初基矢量123,,a a a 满足关系()()()2331121231231231232,2,2b b b b b b a a a b b b b b b b b b πππ⨯⨯⨯===⋅⨯⋅⨯⋅⨯有前面知：()22312cb b a V π⨯=令()()()223111231232122c b b c a b b b V b b b πππ⎡⎤⨯==⎢⎥⋅⨯⋅⨯⎢⎥⎣⎦又知 ()()312312cb b b V π⋅⨯=，代入上式得：()()3111322c cV c a a V ππ⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦同理 ()31221232b b c a b b b π⨯==⋅⨯()12331232b b c a b b b π⨯==⋅⨯可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．2．3 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易点阵矢量()123G hkl hb kb lb =++垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离d (hkl)为：()()2d hkl G hkl π=(c) 证明对初基矢量123,,a a a 互相正交的晶体点阵，有()d hkl =(d) 证明对简单立方点阵有()d hkl =证明(a) 参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC 在三个晶轴上的截距分别是123,,a h a k a ． 现要证明G(hkl)垂直于ABC ，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC 上的两个矢量CA 和CB 即可．31a a CA h l =-，32a a CB k l=- 用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得()()3311123130a a a a G hkl CA hb kb lb hb lb h l h l ⎛⎫⋅=++⋅-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭同理，()0G hkl CB ⋅=故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)． (b) 点阵平面(hkl)的面间距d (hkl)为()()()()()123112ˆG hkl hb kb lb a a d hkl OA nh h G hkl G hkl G hkl π++=⋅=⋅=⋅=(c) 如果晶体点阵的初基矢量123,,a a a 彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交．设 112233ˆˆˆ,,b b xb b y b b z === 由倒易点阵基矢的定义()()()123231312222,,c c cb a a b a a b a a V V V πππ=⨯=⨯=⨯ 及 123c V a a a =得1122332,2,2b a b a b a πππ===()()()()()222222222212322212312322h k l h k l G hkl hb kb lb a a a a a a π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是面间距为()()2221232d hkl G hkl h k l a a a π==⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(d) 对立方晶系中的简单立方点阵，123a a a a ===，用(c)的结果可得()222d hkl h k l=++2．4 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长AB ＝4，AC =3，夹角BAC ＝3π的平行四边形ABCD 重复而成，试求倒易点阵的初基矢量．[解] 解法之一参看图2．4，晶体点阵初基矢量为1ˆ4a x= 2333ˆˆ2a x y =+用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量12,b b 。
设111222ˆˆˆˆ,x y x y b b xb y b b x b y =+=+ 由111221222,0,0,2b a b a b a b a ππ⋅=⋅=⋅=⋅= 得到下面四个方程式()11ˆˆˆ42x y xb x b y π⋅+= (1)()113ˆˆˆˆ022x y x y b x b y ⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭(2) ()22ˆˆˆ40x y xb x b y ⋅+= (3)()223ˆˆˆˆ222x y x y b x b y π⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭(4) 由式(1)得： 1142,2x x b b ππ==由式(2)得：113022x y b b +=，即130222y b π⋅+= 解得：1y b =由式(3)得： 2240,0x x b b ==代入式(4)得：222,2y y b π==于是得出倒易点阵基矢12ˆˆˆ,2b xyb y π== 解法之二选取3a 为ˆz方向的单位矢量，即令 3ˆa z= 于是初基晶胞体积c V 为1233ˆˆˆˆ422c V a a a x x y z ⎛⎫=⋅⨯=⋅+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭倒易点阵基矢为()12323ˆˆˆˆˆ22c b a a x y z x y V ππ⎛⎫=⨯=⨯=-⎪⎪⎭()2312ˆc b a a y V π=⨯=()3122ˆ2cb a a zV ππ=⨯= 对二维点阵，仅取ˆˆ,x y 两个方向，于是得 124ˆˆˆ,22333b xyb y πππ=-= 2．5 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为12333ˆˆˆˆˆ,,2222a a a a x y a a x y a cz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c 和43a π，并且相对于正点阵转动了30角；(b)当比率c ／a 取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的c ／a 比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积． [解](a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示．12333ˆˆˆˆˆ,,22a a a ax y a ax y a cz =+=-+= 初基晶胞体积为()231232c V a a a a c =⋅⨯=倒易点阵初基矢量为123ˆˆˆ2232ˆˆ22230c c xy zaa ab a a x yV V a a cπππ=⨯=-=+ 231ˆˆˆ222ˆˆ0033022c cx y zb a ac x yV V a aa a πππ=⨯==-+ 312ˆˆˆ2232ˆ02302c cxy z aa b a a z V V ca a πππ=⨯==- 或写为123ˆˆ332ˆˆˆ,,2233x x b y b y b z c a a π⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同正点阵初基矢量123ˆˆ33ˆˆˆ,,2222y y a a x a a x a cz ⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 比较看出，123,,b b b 所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为2c π和43a π，并相对于正点阵绕c 转动了30角(见图2．6)。
(b)设倒易点阵的点阵常数比为c a **，出(a)可知32423a c a c c a ππ**==若c a c a **=，则有22330.93122c a c a === 故当正点阵的c a 32倒易点阵的c a **和正点阵的c a 有相同值。