第五章 三角形
第5章 三角函数与解三角形公式
三角函数与解三角形公式总结【预备知识点】一、任意角与弧度制（一）任意角1.任意角的概念：规定一条射线绕其端点任意方向旋转所形成的角。
2.任意角的分类：（1）正角：规定一条射线绕其端点逆时针方向旋转所形成的角。
（2）负角：规定一条射线绕其端点顺时针方向旋转所形成的角。
（3）零角：规定一条射线绕其端点无任意方向旋转所形成的角，始边与终边重合的角。
口诀：正逆负顺零重合3.相等角、相反角与角的运算（1）相等角：旋转方向相同且旋转量相等。
（2）相反角：旋转方向相反且旋转量相等。
（3）角的运算：线性加减运算与数乘运算。
4.常见误区：（1）锐角是第一象限角，但是第一象限角不一定是锐角，因为有周期。
例如420°。
（2）钝角是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角，因为有周期。
例如495°。
（3）直角不是任意象限角，属于y轴的特殊角。
（4）平角、周角属于轴线角，它不属于任何一个象限角。
（二）弧度制1.弧长公式及其意义（1）弧长公式：l=nπr180⟺lr=n∗π180=|α|⟺l=|α|r（2）弧长公式的意义：（i）圆心角α所对的弧长与半径r的比值，只与α大小有关。
（ii）弧长长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用rad表示，读作弧度。
其中rad可省略。
（3）一般地，正角的弧度数是正数，零角的弧度数是0，负角的弧度数是一个负数。
2.角度制与弧度制的互换依据：180°=π rad{1°=π180rad≈0.01745 rad 1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′（三）常见的角度制与弧度制互换表示二、三角函数常用特殊值【大重点，熟练背诵】【必考知识点】一、三角函数概念（1）定义式【熟记理解】（2）同角三角函数的基本关系【大重点题型：化弦为切经常用到，结合诱导公式与恒等变换】（i）平方关系【重点记第一个】sin2x+cos2x=11+cot2x=csc2x1+tan2x=sec2x（ii）商数关系【重点记第一个】tanx=sinx cosxcotx=cosx sinx（iii）倒数关系tanx∗cotx=1sinx∗cscx=1cosx∗secx=1（3）三角函数在各象限的符号【大重点并背诵】二、诱导公式【大重点，以下表格全背】诱导公式的基本思路【以第1组~第4组为例】：（1）首先，任意负角的三角函数转化成任意正角的三角函数【用公式3或1】（2）其次，任意正角的三角函数转化成0∼2π的三角函数【用公式1】（3）最后，0∼2π的三角函数转化成锐角三角函数【用公式2或4】三、三角恒等变换【大重点，所有公式都要背】1.两角和与差的正弦、余弦、正切Cα−β:cos(α−β)=cosα∗cosβ+sinα∗sinβCα+β:cos(α+β)=cosα∗cosβ−sinα∗sinβSα−β:sin(α−β)=sinα∗cosβ−cosα∗sinβSα+β:sin(α+β)=sinα∗cosβ+cosα∗sinβTα−β:tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα∗tanβTα+β:tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα∗tanβ扩展：三角和公式Cα+β+γ:cos(α+β+γ)=cosα∗cosβ∗cosγ−cosα∗sinβ∗sinγ−sinα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗cosγSα+β+γ:sin(α+β+γ)=sinα∗cosβ∗cosγ+cosα∗sinβ∗cosγ+cosα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗sinγTα+β+γ:tan(α+β+γ)=tanα+tanβ+tanγ−tanα∗tanβ∗tanγ1−tanα∗tanβ−tanα∗tanγ−tanβ∗tanγ2.二倍角的正弦、余弦、正切C2α: cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1; cos2α=1+cos2α2,sin2α=1−cos2α2S2α: sin2α=2sinα∗cosαT2α: tan2α=2tanα1−tan2α扩展1：半角公式Cα2: cosα2=±√1+cosα2Sα2: sinα2=±√1−cosα2Tα2: tanα2=sinα1+cosα=1−cosαsinα=±√1−cosα1+cosα注意：正负由α2所在的象限决定！其中Cα: cosα=cos2α2−sin2α2=1−2sin2α2=2cos2α2−1=1−tan2α21+tan2α2Sα: sinα=2sin α2∗cosα2=2∗tanα21+tan2α2Tα:tanα=2∗tanα2 1−tan2α2扩展2：三倍角公式S3α: sin3α=3sinα−4sin3α=4sinα∗sin(π3−α)∗sin(π3+α)C3α: cos3α=4cos3α−3cosα=4cosα∗cos(π3−α)∗cos(π3+α)T3α: tan3α=3tanα−tan3α1−3tan3α=tanα∗tan(π3−α)∗tan(π3+α)扩展3：四倍角公式S4α: sin4α=−4∗[cosα∗sinα∗(2sin2α−1)]C4α: cos4α=1−8∗cos2α∗sin2αT4α: tan4α=4tanα−4tan3α1−6tan2α+tan4α扩展4：五倍角公式S5α: sin5α=16sin5α−20sin3α+5sinαC5α: cos5α=16cos5α−20cos3α+5cosαT5α: tan5α=5−10tan2α+tan4α1−10tan2α+5tan4α3.和差化积公式sin α+sin β=2sin α+β2∗cosα−β2sin α−sin β=2cos α+β2∗sinα−β2cos α+cos β=2cos α+β2∗cosα−β2cos α−cos β=−2sin α+β2∗sinα−β2tan α+tan β=sin(α+β) cosα∗cosβtan α−tan β=sin(α−β) cosα∗cosβcot α+cot β=sin(α+β) sinα∗sinβcot α−cot β=−sin(α−β) sinα∗sinβtan α+cot β=cos(α−β) cosα∗sinβtan α−cot β=−cos(α+β) cosα∗sinβsin2α−sin2β=sin(α+β)∗sin(α−β)cos2α−cos2β=−sin(α+β)∗sin(α−β)sin2α−cos2β=−cos(α+β)∗cos(α−β)cos2α−sin2β=cos(α+β)∗cos(α−β)记忆口诀：同名和差三角积，（sin α±sin β或cos α±cos β：等式左边只有同是正弦或同是余弦才可以相加减。
新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教学设计
新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教学设计一. 教材分析新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》主要包括等腰三角形和直角三角形两个部分。
本章内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行教学的，旨在让学生进一步理解三角形的特殊性质，提高他们的观察和思考能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容时，已经具备了基本的三角形知识，但对于等腰三角形和直角三角形的性质和判定，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定方法。
2.过程与方法：培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索和解决问题的精神。
四. 教学重难点1.重点：等腰三角形和直角三角形的性质和判定方法。
2.难点：如何引导学生理解和运用等腰三角形和直角三角形的性质和判定方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和图形模型，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生积极参与课堂讨论，培养他们的思考能力和解决问题的能力。
3.实践操作法：让学生动手操作，加深对三角形性质的理解。
六. 教学准备1.教具：准备相关的图形模型和实物模型。
2.教学素材：收集相关的生活实例和练习题。
3.课件：制作课件，辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示等腰三角形和直角三角形的图形，引导学生观察它们的特殊性质。
3.操练（15分钟）让学生动手操作，尝试判断给出的三角形是否为等腰三角形或直角三角形。
教师巡回指导，及时纠正学生的错误。
4.巩固（10分钟）针对学生的操作情况，进行讲解和辅导，使学生理解和掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定方法。
5.拓展（10分钟）出示一些相关的练习题，让学生运用所学的知识解决问题。
2024年新课标人教版七年级下全册数学教案
2024年新课标人教版七年级下全册数学教案一、教学内容本节课选自2024年新课标人教版七年级下册数学教材第五章《三角形的初步认识》，具体内容包括：5.1三角形的定义及性质，5.2三角形的分类，5.3三角形的周长和面积。
二、教学目标1. 知识目标：使学生掌握三角形的定义，理解三角形的性质，掌握三角形的分类，掌握三角形周长和面积的计算方法。
2. 能力目标：培养学生运用三角形知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
三、教学难点与重点重点：三角形的定义及性质，三角形的分类，三角形周长和面积的计算方法。
难点：三角形性质的理解，三角形面积公式的推导。
四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、圆规、多媒体设备。
学具：三角板、直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的三角形实物，引导学生发现三角形的特征，从而引出本节课的主题。
2. 新课导入：（2）三角形的性质：引导学生通过画图、观察、思考，发现三角形的性质，如内角和等于180°等。
（3）三角形的分类：根据三角形的边长和角度，将三角形分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。
（4）三角形周长和面积的计算：通过实例讲解，引导学生掌握三角形周长和面积的计算方法。
3. 例题讲解：讲解典型例题，巩固所学知识，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 随堂练习：设计有针对性的练习题，让学生当堂巩固所学知识。
六、板书设计1. 三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的图形。
2. 三角形的性质：内角和等于180°，两边之和大于第三边等。
3. 三角形的分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。
4. 三角形周长和面积的计算方法。
七、作业设计1. 作业题目：（3）应用题：运用三角形的周长和面积知识，解决实际问题。
2. 答案：见附页。
超实用高考数学专题复习：第五章三角函数解三角形 第8节正弦定理和余弦定理及其应用
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
2.S△ABC＝
1
1
2absin C＝ 2 bcsin A＝
1
acsin
abc
B＝ ＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，
2
4R
并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角
变式迁移
【例2】 (经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋
ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
解析 由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即 sin A
(3)如图，易知 sin C＝45，cos C＝35.
在△BDC 中，由正弦定理可得sBinDC＝sin ∠BCBDC，
∴BD＝sBinC∠·siBnDCC＝3×245＝125
2 .
2
由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD
＝sin[π－(C＋∠BDC)]
规律方法 (1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关 系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. (2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉 一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
第8节 正弦定理和余弦定理及其应用
新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教案
新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教案一. 教材分析新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》主要包括等腰三角形和直角三角形两个部分。
本章内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行学习的，旨在让学生进一步理解三角形的特征，学会识别和判断特殊的三角形，并掌握其性质。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，他们对三角形的基本概念和性质有了初步的了解。
但是，对于等腰三角形和直角三角形的性质，他们可能还不是很清楚，需要通过具体的活动和例题来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生会判断等腰三角形和直角三角形，并能运用其性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等过程，培养自己的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，感受数学的乐趣，培养团队协作和积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：学生会判断等腰三角形和直角三角形，并能运用其性质解决一些实际问题。
2.难点：学生能够灵活运用三角形的性质，解决一些复杂的实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，引导学生理解和掌握三角形的性质。
2.动手操作法：通过学生的动手操作，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.讨论交流法：学生在小组内进行讨论和交流，培养团队协作和积极思考的精神。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学素材：PPT、教学案例、练习题等。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过PPT展示一些生活中的三角形图片，引导学生观察和思考：这些三角形有什么特点？你是如何判断的？2. 呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现等腰三角形和直角三角形的定义和性质，引导学生理解和掌握。
3. 操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，检测他们对于等腰三角形和直角三角形的理解和掌握。
4. 巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用等腰三角形和直角三角形的性质进行解决，巩固他们对于这些性质的理解和掌握。
第五章 三角形单元测试(含答案)
第五章三角形单元复习题一、选择题1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ( ) A．三角形内部；B．三角形的一边上；C．三角形外部； D．三角形的某个顶点上2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( )A．4、5、6； B．6、8、15； C．5、7、12； D．3、9、133．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 ( )A．0°＜α＜90°；B．60°＜α＜90°；C．60°＜α＜180°；D．60°≤α＜90°4．下列判断正确的是 ( )A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是( )A．x＜6； B．6＜x＜12； C．0＜x＜12； D．x＞126．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三角形 ( ) A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形7．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ( ) A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高线交点D．三条高线所在直线交点8．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为 ( )A．30°； B．75°； C．105°； D．30°或75°9．如图5—124，直线l、l'、l''表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( )A．一处； B．二处； C．三处； D．四处10．三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是 ( )A．锐角三角形； B．直角三角形； C．钝角三角形； D．根本无法确定二、填空题1．如果△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是_________；第三边为奇数的所有可能值为_________；周长为偶数的所有可能值为_________．2．四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形．3．过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°和40°的两个角，那么∠A，∠B中较大的角的度数是____________．4．在Rt△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，则∠ADB＝______．5．如图5—125，∠A＝∠D，AC＝DF，那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可)，才能使△ABC≌△DEF．6．三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_______三角形．7．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是_________．8．如图5—126，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，则∠ACE的度数是______．9．已知：如图5—127，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为______．10．每一个多边形都可以按图5—128的方法割成若干个三角形．而每一个三角形的三个内角的和是180°．按图5—127的方法，十二边形的内角和是__________度．三、解答题1，已知：如图5—129，△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点D，过D作MN∥BC交AB、AC分别于点M、N，求证：BM＋CN＝MN2．已知：如图5—130，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD ＝1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由．3．已知：如图5—131，在△ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．4．已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．5．已知：如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．6．已知：如图5—133，AB＝DE，CD＝FA，∠A＝∠D，∠AFC＝∠DCF，则BC＝EF．你能说出它们相等的理由吗?参考答案一、1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．A 10．D ． 二、1．cm c cm 104<<，5cm 、7cm 、9cm ，16cm 或18cm ； 2．2； 3．70° 4．︒135 5．AB ＝DE （或∠B ＝∠E 或∠C ＝∠F ）； 6．直角； 7．41<<BD ； 8．︒45； 9．14cm 10．1800． 三、1．证明：∵ BD 、CF 平分∠ABC 、∠ACB ． ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵ MN ∥BC ，∴ ∠6＝∠2，∠3＝∠5． ∴ ∠1＝∠6，∠4＝∠5． ∴ BM ＝DM ，CN ＝DN ． ∴ BM ＋CN ＝DM ＋DN ． 即 BM ＋CN ＝MN ． 2．解：CE 是AB 边上的中线．理由：∵ ∠ACB ＝90°，∠ACD:∠BCD ＝1:2， ∴ ∠ACD ＝30°，∠BCD ＝60°． ∵ CE 平分∠BCD ， ∴ ∠DCE ＝∠BCE ＝30°．∵ CD ⊥AB ，∠ACD ＝30°，∠BCD ＝60°， ∴ ∠A ＝60，∠B ＝30∴ ∠A ＝∠ACD ＋∠DCE ＝∠ACE ，∠B ＝∠BCE ． ∴ AE ＝EC ，BE ＝EC ． ∴ AE ＝BE ．所以CE 为AB 边上的中线．3．证明：延长BD 交AC 于M 点，延长CE 交BD 的延长线于点N ．在△ABM 中，BM AM AB >+，在△CNM 中，NC MC NM >+，∴ NC BM MC NM AM AB +>+++． ∵ NM BN BM AC MC AM +==+,， ∴ NC NM BN NM AC AB ++>++．∴ NC BN AC AB +>+． ① 在△BNC 中，EC NE DN BD NC BN +++=+ ② 在△DNE 中，DE NE DN >+ ③ 由②、③得：EC DE BD NC BN ++>+ ④ 由①、④得：EC DE BD NC BN AC AB ++>+>+ 4．已知：线段a 和∠α如下图（1）．求作Rt △ABC 使α∠=∠︒=∠=A C a BC ,90,． 作法：（1）作∠α的余角∠β． （2）作∠MBN ＝∠β． （3）在射线BM 上截取BC ＝a ．（4）过点C 作CA ⊥BM ，交BN 于点A ，如图（2）． ∴ △ABC 就是所求的直角三角形． 5．证明：∵ △ACM 和△BCN 都是正三角形，∴ ∠ACM ＝∠BCN ＝60°，AC ＝CM ，BC ＝CN ． ∵ 点C 在线段AB 上，∴ ∠ACM ＝∠BCN ＝∠MCN ＝60°． ∴ ∠ACM ＋∠MCN ＝∠BCN ＋∠MCN ＝120°． 即 ∠NCA ＝∠BCM ＝120°． 在△ACN 和△MCB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CB CN BCM ACN CM AC ∴ △ACN ≌△MCB （SAS ）．∴ ∠ANC ＝∠MBC ． 在△PCN 和△QCB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,CB CN BCN MCN MBC ANC ∴ △PCN ≌△QCB （AAS ）． ∴ PC ＝QC ． ∵ ∠PCQ ＝60°∴ △PCQ 是等边三角形． ∴ ∠PQC ＝60° ∴ ∠PQC ＝∠QCB ． ∴ PQ ∥AB ．6．解：连结CE 、BF ，如图．在△ABF 和△DEC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD FA D A DE AB ∴ △ABF ≌△DEC （SAS ）． ∴ ∠3＝∠4，BF ＝EC ． ∵ ∠AFC ＝∠DCF ，∴ ∠AFC －∠3＝∠DCF －∠4． 即 ∠1＝∠2． 在△BCF 和△EFC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,21,CF FC EC BF ∴ △BCF ≌△EFC （SAS ）． ∴ BC ＝EF ．。
八年级上册数学五章知识点
八年级上册数学五章知识点本文主要讲解了八年级上册数学第五章的知识点，此章节主要涉及到三角形的相关知识。
一、三角形的概念三角形是由三条线段所围成的图形，其中两条线段之和必须大于第三条线段，否则无法围成三角形。
在三角形中，我们常常会用三角形的三个顶点代表这个三角形，如下图所示：A/ \/ \B-----C这里的三角形ABC可以用三个顶点A、B、C表示。
二、三角形的分类按照三角形的角度和边长，我们可以将三角形分为以下几类：1.按照角度分类（1）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
（2）钝角三角形：其中一个角是钝角的三角形。
（3）直角三角形：其中一个角是直角的三角形。
2.按照边长分类（1）等边三角形：三条边都相等的三角形。
（2）等腰三角形：两条边相等的三角形。
（3）普通三角形：即不是等边三角形也不是等腰三角形的三角形。
三、三角形的性质1.三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。
也就是说，对于一个三角形ABC，在角A、角B、角C三个角上，有：∠A + ∠B + ∠C = 180°2.三角形的角平分线定理三角形中，从一个角的顶点引出一条线段，使这条线段把这个角分成两个相等的角，这条线段就被称为这个角的角平分线。
3.三角形的中线定理三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
4.三角形的垂心定理三角形的三条高交于一点，这个点被称为三角形的垂心。
四、三角形的计算在计算三角形的面积和周长时，我们主要需要用到以下公式：1.三角形面积公式对于任意一个三角形ABC，其面积S等于底边长度b与高h的乘积的一半，即：S = 1/2 * b * h其中b为三角形任意一边的长度，h为该边上的高的长度。
2.三角形周长公式对于任意一个三角形ABC，其周长L等于其三条边长的和，即： L = AB + BC + AC其中AB、BC、AC分别为三角形三边的长度。
五、小结本章节主要涉及到三角形的相关知识，包括三角形的概念、分类、性质和计算方法。
第68课时 第五章《三角形》回顾与思考(1)
第68课时课题：第五章《三角形》回顾与思考（1）学习目标：1、阅读教材进行知识梳理。
2、简单运用本章知识解决问题。
学习重点：知识梳理学习难点：运用知识解决问题。
学习过程：一、知识梳理1、三角形的定义是：；2、三角形的三边关系是：（1）三角形任意两边的和第三边；（2）三角形任意两边的差第三边；（3）三角形任意一边大于，小于。
3、三角形三个内角的和等于0；外角和等于0；4、三角形外角性质：三角形的一个外角等于，大于；5、三角形的分类：按按角分类有三角形、三角形和三角形；三角形和三角形统称斜三角形。
6、三角形的三条重要线段：（1）叫做三角形的角平分线；一个三角形有条角平分线，并且在相交于一点。
（2）叫做三角形的中线；一个三角形有条中线，并且在相交于一点。
（3）叫做三角形的高线；一个三角形有条高线，并且在相交于一点。
三角形的角平分线、中线和高都是（填写“直线”或“射线”或“线段”）7、叫做全等形。
全等图形和都相等。
8、的两个三角形叫做全等三角形，全等三角形的相等，相等。
9、要判定一个三角形全等必须个条件，其中至少有一个条件是；三角形全等的判断方法有（1）SSS：语言叙述是；（2）SAS：语言叙述是；（3）ASA：语言叙述是；（4）AAS：语言叙述是；(5)HL：语言叙述是；其中（填写序号）是判定任意三角形用的，而只能判定三角形全等。
二、作图1、画出三角形的所有角平分线：2、画出三角形的所有角平分线：3、画出三角形的所有高线：4、作三角形：（1）根据“SSS”作出：（2）根据“SAS”作出：（3）根据“ASA”作出：（4）根据“AAS”作出：（5）根据“HL”作出：三、练习：1、三角形具有性；2、一个三角形的一边为3，一边为5，则第三边m的取值范围是；3、一个等腰三角形的一边是3，一边是8，则它的周长是；4、一个等腰三角形的一边是5，一边是8，则它的周长是；5、三角形的一个外角等于820，于这个角不相邻的一个内角是400，则这个三角形其余各角的度数分别是。
北师大版七年级数学下册第五章《三角形〈探索三角形全等的条件〉》(第一课时)说课稿
《探索三角形全等的条件》（第一课时）说课稿的说明新课标下的数学教学，既要为学生的今天的学习服务，又要为学生明天的学习奠基。
改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知的能力、分析和解决问题的能力，以及合作与交流的能力。
坚持“以学生发展为本”的教学设计理念，把学生的起点作为教师的起点，把传授知识服务于学生有个性、可持续、全面和谐的发展，使每一堂课都成为不可重复的激情与智慧综合的过程。
基于上述认识，在本节课的设计中力求突出以下特点：一、设置问题，引导思维。
一个好的数学问题，既能揭示课堂的教学内容，又能充分调动学生的积极性。
本节设置了一个个的问题，把知识串联起来，以引导学生的思维。
学生在思考问题的过程中，掌握了全等三角形的判别条件及三角形的稳定性，从而完成了本节的教学目标。
二、自主探究，训练思维。
新课程标准强调教学不能把知识的结果强加给学生，而应重视获取知识的过程。
因此，在本节教学设计中，突出了学生的自主探究的特点。
尤其在难点的突破过程中，一方面体会分类讨论方法，确定探究的方向，另一方面设计学生动手画图、剪切等活动，训练了学生思维的多样性。
三、合作交流，激活思维。
合作学习是新课程所倡导的，引导学生交流是学生获取知识的有效途径。
所以在本节课的设计中两次组织学生分组学习，相互交流，使学生的参与热情更高，思维更活。
5、1 探索三角形全等的条件（第一课时）说课稿各位领导，老师：大家好!今天我说课的题目是《探索三角形全等的条件》（第一课时），下面我将从四个方面汇报我的认识和教学过程的设计。
一、说教材1、教材地位和前后联系《探索三角形全等的条件》是北师大版试验教科书七年级下册第五章第五节的内容。
它是在学生学习了三角形的有关要素和性质、全等图形的特征的基础上，进一步研究三角形全等的条件，它与前面学习的全等三角形的特征及后面将要学习的三角形全等的(“ASA”、“AAS”、“SAS”)判别方法作为探索三角形全等的核心内容，为后面学习奠定基础，也是初中数学的重要内容。
有限元方法-第五章--平面三角形单元
D
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
(i)
2
所以，[S]的子矩阵可记为
Si DBi
E
2 1 2
bi
1
bi
2
ci
ci
1
ci
2
bi
（ i
,
j
,
m轮换） (5-19)
对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 ， 换成 /1-，即得到其弹性矩阵
D
1
E1 1 2
1
1
起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种 化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法 的绝妙之处。
基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式，
单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过
插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，
故设
u 1 2x 3y
v 4 5x 6y
(b)
0
(b)
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci ym
0
(c)
类似地有
N j xi , yi 0 , N j x j , y j 1 , N j xm , ym 0 (d) Nm xi , yi 0 , Nm x j , y j 0 , Nm xm , ym 1
式中 1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个
自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于 这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分 别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式， 得：
ui 1 2 xi 3 yi
第五章 第30课 余弦定理与解三角形
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第五章 解三角形
4. 在△ABC 中，已知 D 为边 AB 上一点，若 BC⊥CD，AC＝3 2，AD＝ 3，sin
∠ABC＝ 33，则△ABC 的面积是___6__2___．
【解析】如图，cos∠ADC＝cos∠ABC＋π2＝－sin∠ABC＝－ 33，且 AC＝3 2， AD＝ 3.在△ACD 中，由余弦定理得(3 2)2＝3＋CD2－2 3×CD×－ 33，解得 CD ＝3.在 Rt△BCD 中，因为 sin∠ABC＝ 33，CD＝3，所以 BD＝3 3，BC＝3 2，所以 S△ABC＝12×4 3×3 2× 33＝6 2.
利用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 sinAsinB＝34，试判断△ABC 的形状． 【思维引导】已知条件等式中既有边又有角，因此考虑将边与角的混合关系转化 为只含有边或者只含有角的关系，再作判断．
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第五章 解三角形
在△ABC 中，已知内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinπ3－C＋
cosC－π6＝
3 2.
(1) 求角 C 的大小；
【解答】 因为 sinπ3－C＋cosC－π6＝ 23，所以 cosC＝12.
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第五章 解三角形
(2) 若 B＝π6，BC 边上的中线 AM＝ 7，求△ABC 的面积． 【解答】 因为 B＝π6，所以 C＝π－A－B＝23π，易知△ABC 为等腰三角形，且 a ＝b.在△AMC 中，由余弦定理得，AM2＝AC2＋MC2－2AC·MCcosC，即 7＝b2＋b22－ 2·b·b2·－12，解得 b＝2，故△ABC 的面积为 S＝12b2sinC＝ 3.
湘教版解读-第五章三角形(445)
第五章三角形本章综述三角形是最简单、最基本的图形，在生活中随处可见.它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用.因此，探索和掌握它的基本性质对我们更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的.本章前几节主要介绍了三角形的有关概念，以及三角形三边之间的关系、内角和等基本性质.然后又和大家认识了全等三角形，同时设计一系列的实践活动，探索了三角形全等的条件以及直角三角形全等的特殊条件.本章的重点是了解三角形三边之间的关系以及内角和；掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形全等解决一些实际问题.本章的难点是正确地识别全等三角形的对应元素和探索三角形全等的条件.本章位置与作用：本章内容是在七年级上学期我们学习平面图形的基础上的进一步学习，同时为进一步学习四边形和相似图形的知识打下基础，多边形的很多问题都是转化为三角形来加以解决的．学习本章内容对于提高我们的识图能力和思维能力起到很大的帮助.思想方法与特征：学习本章内容我们采用探求发现法和探索——归纳法以及讲练结合法.采取合作学习、自主探究、动手实践的学习方式来探究新知.学习指导与策略：学习本章内容我们首先应复习在七年级上学期学习“线段、射线、直线”的简单知识以及尺规作图的知识，再是我们在学习中要做到亲自经历观察、操作、推理、与交流等数学活动. 要广泛联系实际，三角形、多边形广泛存在应用于生活当中，比如三角形的稳定性可以用来解释建筑工程中的三角架原理、地砖砖的铺设等等，因此，学习中要注意与生活实际相联系，用所学知识解释解决生活中的实际问题；要及时复习已学知识，三角形是最简单的直线型图形，它的很多知识都是以前面的线段、角，相交线、平行线等知识为基础的，比如三角形的高线、中线、角平分线与已学过的垂线，线段的中点，角的平分线既有联系，又有区别，要注意复习、比较，加深理解.** 认识三角形一览众山小诱学·导入材料：问题：在图5.1－1中给我们展示了一个三角形的木架，在实际生活中这样的例子很多，这主要是利用三角形稳定性，除三角形的稳定性以外，你还知道三角形的哪些性质呢？导入：前在实际生活中我们利用三角形的性质很多，三角形的稳定性只是其中的应用比较多的一个，像三角形的三边关系，内角和，全等以及直角三角形的勾股定理等等在生活中应用非常广泛，为了能在实际生活中熟练的应用这些知识，解释生活中的问题，我们就学习三角形的有关知识.温故·知新1．什么是直线？什么是射线、什么是线段？它们的异同点？拉直的电线给我们直线的感觉，它向两方无限延伸；像这样向两方无限延伸的直直的线就是直线.直线没有端点.像手电光给我们射线的感觉，它向一方无限延伸；我们把直线上的一个点和它一旁的部分叫做射线.直线的这个点叫做射线的端点.射线有一个端点.直线上的两个点和它们之间的部分，叫做线段.这两个点叫做线段的端点.线段有两个端点.2．什么叫做角？有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共的端点叫做角的顶点.两条射线叫做角的边.一个角有四种表示方法：①可以用三个大写的英文字母表示，把顶点的字母放在中间，每边上取一个点的字母放在两边.②当顶点处只有一个角时，可以用顶点的大写字母表示.③在角上标上阿拉伯数字表示.④在角上标上希腊字母表示.3．角的分类.角按照度数可以分为锐角、直角、钝角、平角和周角等.我们把等于90度的角叫做直角.等于180度的角叫做平角.等于360度的角叫做周角.小于直角而等于0度的角叫做锐角.大于直角而小于平角的角叫做钝角.庖丁巧解牛知识·巧学一、三角形的概念1、三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.这三条线段的公共的端点叫做三角形的顶点；这三条线段叫做三角形的边；两边的夹角叫做三角形的内角.三角形可以用符号“△”表示，如图5.1－2中的三角形，记作“△ABC”；三条边分别是AB、BC、AC；三个内角分别是∠A、∠B、∠C；△ABC的三边有时也可用a、b、c表示.【误区警示】（1）这三条线段在同一条直线上；（2）三条线段按一定顺序首尾顺次相接. 如果不是首尾顺次相接也不是三角形.2、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.一个三角形有三条角平分线，它们交于一点. 如图5.1－3中AD、BE、CF分别是△ABC的三条角平分线.【学法一得】由定义有，在△ABC 中，由AD 平分∠BAC （或∠BAD ＝∠CAD ＝21∠BAC ）可得AD 是△ABC 的角平分线，反之，如果AD 是△ABC 的角平分线，就有AD 平分∠BAC ，或∠BAD ＝∠CAD ＝21∠BAC.3、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.一个三角形有三条中线，这三条中线交于一点. 如图5.1－4中AD 、BE 、CF 分别是△ABC 的三条中线.【学法一得】由定义有：①若△ABC 中，D 是BC 中点，（或BD ＝CD ＝21BC ），则线段AD 是BC 边的中线；反之，若AD 是BC 边的中线，则点D 是BC 中点（或BD ＝CD ＝21BC ）；②三角形的中线是由三角形的顶点到对边的中点的连线段，既不是直线也不是射线．4、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.三角形有三条高，它们交于一点. 如图5.1－5中AD 、BE 、CF 分别是△ABC 的三条高.【学法一得】锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.如图5.1－6中所示.图（1）交点在三角形内部；图（2）交点在三角形的边上；图（3）交点在三角形的外部.【误区警示】三角形的角平分线、中线、高都是线段，它们和角的平分线，过中点的直线以及从顶点向对边作的垂线是不相同的. 角的平分线是射线，过中点的直线以及从顶点向对边作的垂线都是直线.5、三角形的高，中线与角平分线归纳小结三角形的角平分线、中线、高线是三角形的三条重要线段，它们具有很多重要的性质，对于解有关三角形的问题有很重要的意义．总结如下表三角形的重要线段意义图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段D CBA**是△ABC的BC上的高线.**⊥BC于D.3.∠ADB＝∠ADC＝90°.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段D CBA**是△ABC的BC上的中线.**＝EC＝BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段21D CBA**是△ABC的∠BAC的平分线.2.∠1＝∠2＝12∠BAC.二、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边.即在△ABC中，如果三条边是a、b、c，那么：a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a；这个关系是根据“两点之间线段最短”得来的.【深化升华】（1）三角形两边的和大于第三边的根据是“两点之间，线段最短”；（2）运用“三角形两边的和大于第三边”可以用来判断三条线段能否组成三角形：判断时可以检查是否任意两边之和大于第三边，也可以检查较小的两边的和是否大于第三边；（3）由“三角形两边的和大于第三边”可得“三角形两边的差小于第三边“．我们可以通过不等式的性质推导得来.即由a+c＞b ，我们可以得出b－c＜a；由b+c＞a，可以得到a－b＜c；由a+b＞c，可以得出c－a＜b.【记忆要诀】三角形，两边和，大于任意一条边.三角形，两边差，一定小于第三边.三、三角形的内角和三角形的三个内角的和等于180°.在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.【学法一得】学习了内角和定理，在一个三角形中要是知道了两个角的度数，我们就可以求出另一个角的度数了；或者是我们知道其中两个、三个角的关系我们也可以求出角的度数.四、三角形按照角分类三角形按照内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类.【辨析比较】锐角三角形三个内角都是锐角直角三角形有一个内角是直角钝角三角形有一个内角是钝角【学法一得】三角形的按角分类也就是按照最大角确定三角形，即最大角是钝角的是钝角三角形；最大角是直角的是直角三角形；最大角是锐角的是锐角三角形.五、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.即在直角△ABC中，已知∠C是直角，则∠A+∠B＝90°【辨析比较】这个性质和三角形内角和定理异曲同工，其实也是从内角和定理得来的，但是在直角三角形中我们利用它可以直接求出另一个角的度数，比利用内角和定理少一个条件.典题·热题知识点一：三角形的概念【例1】判断题：连接三角形的顶点和它的对边中点的线，叫做三角形的中线.（）思路解析：紧紧把握概念.三角形的中线是线段.答案：×方法归纳：在三角形中线定义——连接三角形顶点和对边中点的线段中，线段是我们往往容易忽视的地方.还有高线，三角形的角平分线也是线段.【例2】如图5.1－7，在下下列四个图形中，是过△ABC的顶点B作AC边上的高，其中画图正确的是（）、思路解析：本题考查的是对三角形的高的定义的理解，在以上四个选项中，B、C、D都是错误的，其原因在于对三角形高的定义理解不清；B图错在未抓住“垂线”这一重要特征，画出的BE与AC不垂直；C图错在垂线没有过B点，虽有垂直，也不是三角形的高；D图错在过点B的垂线不是向AC边画的，而是与BC边垂直.答案：A方法归纳：高线的特征有三个，分别是：过顶点，垂直，对边，三者缺一不可.知识点二：利用三边关系解题【例3】有两条线段的长分别为a＝8 cm,b＝6 cm,要选一条线段c，使a、b、c构成一个三角形，则c的取值范围应是________.思路解析：第三条边的长度应符合三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.换句话说c要大于a、b的差，要小于a、b的和.答案：2＜c＜14误区警示：对我们不能只考虑两边之和大于第三边，也就是说，第三边要小于两边之和；对于没有确定的第三边应该还要大于两边之差.【例4】一个木工师傅现有两根木条，它们长分别为50cm，70cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架，设第三根木条为xcm，则x的取值范围是________.思路解析：第三条边的长度应符合三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.只有同时符合这两个关系才能构成三角形.凡是构成三角形的三边一定符合这两种关系.答案：20<x<120巧妙变式：我们可以改变条件，来加深学生对三边关系的理解；如：我们可以改为我们有两根木条，分别是50cm，110cm，要选择第三根木条，讲他们钉成一个等腰三角形的木架，第三根木条的长应该是多少？【例5】（05青海省中考题）两根木棒的长分别8cm，10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的取值范围是_________．思路解析：本题的实质是由8cm，10cm，x构成一个三角形的条件．答案：由三角形三边的关系知，10－8<x<10+8，故2<x<18．巧妙变式：由长度为2cm、4cm的线段构成三角形的三边，那么该三角形的周长等于_________．三角形的三边可能是：2cm、2cm、4cm或2cm、4cm、4cm两种情况，但三边长为2cm、2cm、4cm时，不符合三角形三边关系（即构不成三角形），所以三角形的三边长只能为2cm、4cm、4cm，则三角形的周长为10cm.【例6】如图5.1-8，在开阔地带有四个村庄A、B、C、D饮水困难，现准备一水泵厂，向这四个村庄同时送水，问该水厂建在何处，所需水管最短？请说明理由．思路解析：根据三角形中任意两边之和大于第三边．答案：水泵厂建在线段AB、CD的交点处，理由如下，如图：令AB、CD交于点O，另取异于O 的一点M，连接MA、MB、MC、MD，三角形三边关系有MA+MB>AB，MC+MD>CD，所以MA+MB+MC+MD>AB+CD，故取AB、CD交点O处所需水管最短．巧解提示：本题也可以根据“两点之间，线段最短.”作出解答.知识点三：利用三角形内角和解题【例7】在△ABC中，若∠B＝∠C＝40º，则∠A＝________ .思路解析：因为三角形的内角和是180°，我们又知道∠B＝∠C＝40º，所以很简单得到∠A的度数.答案：100°巧妙变式：这是比较简单的题目，我们可以改变题目的已知条件，达到考察内角和的目的；如：（1）在△ABC中，若AB＝AC，∠B＝40º，则∠A＝________（根据AB＝AC，我们得到∠B＝∠C ＝40º，然后得到∠A＝100°）.（2）在△ABC中，若AB＝BC，∠B＝40º，则∠A＝________（根据AB＝BC，我们可以得到∠A＝∠C，又知∠B＝40º，所以得到∠A＝70º）【例8】一个三角形中最小角不能大于（）**° B.60° C.80° D.90°思路解析：因为三角形的内角和是180°，要是最小的角大于60°了，就和内角和矛盾了.答案：B.误区警示：在本题中，我们往往会以为C、D也是正确的，这是因为我们在此是给最小角确定最大的范围，而不是它在不在给定的范围，所以最小角超过了80°、90°，内角和就超过了180°，这样就和内角和发生矛盾.同时我们可以举出反例说明A这个选项是错误的，例如等边三角形.知识点四：三角形的按角分类【例9】有三个三角形,它们的两个内角的度数分别如下：①30°和50°;②70°和20°;③82°和23°,其中属于锐角三角形的是________.思路解析：我们根据内角和，可以得出另一个角的度数，然后确定是哪种三角形.答案：③方法归纳：三角形的按角分类是根据最大角来确定的，最大角是钝角的是钝角三角形，最大角是直角的是直角三角形，最大角是锐角的是锐角三角形.【例10】△ABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形思路解析：判断使什么三角形，要求出各个角的大小，看三个角都是什么角；由已知∠A－∠B ＝90°得到∠A＝∠B+90°，所以∠A是钝角.答案: C巧妙变式：△ABC中，如果∠A+∠B+2∠C＝270°，那么△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形解：由内角和∠A+∠B+∠C＝180°以及∠A+∠B+2∠C＝270°可得到∠C＝90°所以是直角三角形.问题·探究思想方法探究问题：在解决几何问题时，尤其是三角形的边和角的大小问题时，我们可以用列方程的方法来解决.探究过程：例如：“已知三角形三个内角的度数之比为：1∶3∶5，求这三个内角的度数.”一题.我们在解题时可以设这个三角形的最小角为x，那么其他两个角分别为3x、5x，根据“三角形的内角和等于180°”可得：x+3x+5x＝180°解得：x＝20°3x＝60°，5x＝100°探究结论：在解决几何问题时，尤其是三角形的边和角的大小问题时，我们可以用列方程的方法来解决.这样来解题比较简单，容易理解.如图5.1－9，△ABC中，I是内角平分线AD、BE、CF的交点.材料信息探究 问题：（1）∠BIC 与∠A 的大小有什么关系呢？为什么？ （2）∠CIA 与∠B 呢？∠AIB 与∠C 呢？说明理由. 探究过程：（1）∠BIC ＝90°+21∠A 因为BE 平分∠ABC ，所以由角平分线定义可得∠IBC ＝21∠ABC . 同理可以得：∠ICD ＝21∠ACB . 所以∠IBC +∠ICD ＝21（∠ABC +∠ACB ） 又因为∠A +∠B +∠C ＝180°所以：∠ABC +∠ACB ＝180°－∠A 因此可得∠IBC +∠ICD ＝21（180°－∠A ） 又因为∠BIC ＝180°－（∠IBC +∠ICD ） 所以∠BIC ＝180°－21（180°－∠A ） ＝90°+21∠A . 同样的道理可得（2），即：∠CIA ＝90°+21∠B ，∠AIB ＝90°+21∠C 探究结论：（1）∠BIC ＝90°+21∠A （2）∠CIA ＝90°+21∠B ，∠AIB ＝90°+21∠C交流讨论探究 问题1．（1）图5.1－10（1）中三角形被遮住的两个内角是什么角？图（2）中的呢？试说明理由.（2）如图（3）中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较. 探究过程：学生甲：图（1）的三角形被遮住的两个内角都是锐角.因为图（1）露出的角是直角.根据三角形的内角和是180°，可知一个三角形中不可能有两个直角，也不可能有一个直角和一个钝角.所以，图（1）中的三角形被遮住的那两个内角一定是锐角.图（2）中的三角形被遮住的两个内角也一定是锐角.学生乙：图（3）中三角形被遮住的两个内角是一个直角和一个锐角.学生丙：不对，应该是一个锐角和一个钝角.学生丁：不，应该是两个锐角.学生戊：都不对，三种情况都有可能.师：当一个三角形的两个内角被遮住时，如果露出的那个角是直角或钝角时，那么被遮住的两个内角都是锐角，如果露出的那个角是锐角时，那么被遮住的两个内角可能都是锐角，也可能是一个直角一个锐角，也可能是一个钝角一个锐角. 把这一结果与（1）的结果进行比较，又会得到什么？学生合：三角形按角可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.探究结论：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.锐角三角形的三个角都是锐角；直角三角形有一个角是直角，另两个角是锐角；钝角三角形有一个角是钝角，另两个角是锐角.我们根据锐角的个数是不能确定三角形的形状的.更上一层楼基础·巩固1. 已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，求∠A、∠B、∠C的度数.思路解析：我们知道三角形的三个内角之和为180°，可以设∠A的度数为2x，然后去求∠B 和∠C.答案：∠A＝40°,∠B＝60°,∠C＝80°2．在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝54°那么△ABC是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能思路解析：知道两个角的度数，我们可以利用内角和求出另一个角的度数，然后根据最大角确定是什么三角形.答案：A.3．已知△ABC中，∠A、∠B都是锐角，那么△ABC是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定思路解析：不因为在三类三角形中都是有两个角是锐角的，我们根据这一个条件不能确定三角形的类别，我们要根据最大角的都是来确定.答案：Ｄ.4．已知△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高.求∠DBC的度数.思路解析：∠DBC 在△BDC 中，∠BDC ＝90°，为求∠DBC ，应先求出∠C . 答案：解：设∠A ＝x °,则∠C ＝∠ABC ＝2x ° ∴x +2x +2x ＝180 解得：x ＝36 ∴∠C ＝72°在△BDC 中，∵∠BDC ＝90° ∴∠DBC ＝180°－90°－72°∴∠DBC ＝18°5．两根木棒的长分别是7cm 和9 cm ，现要你选择第3根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是7的倍数，则你选择的木棒的长为________cm.思路解析：第三条边的长度应符合三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.只有同时符合这两个关系才能构成三角形.凡是构成三角形的三边一定符合这两种关系.所以16＞第三边＞2，在这个范围内的7的倍数是7 cm 或14cm.答案：7 cm 或14cm6．在三角形的角平分线、中线、高线中，属于直线的有(每种线只有一条) **条 B.1条 C.2条 D.3条 思路解析：三角形的角平分线、中线、高都是线段.答案：A.综合·应用7．现有两根木棒分别长40 cm 和50 cm ，要从下列长度的木棒中选出一条，与前面两根木棒钉成一个三角架(木棒不能余)，则可选出①5 cm ②10 cm ③40 cm ④45 cm ⑤80 cm ⑥90 cm**条 B.4条 C.5条 D.6条 思路解析：利用三角形三边关系解题.答案：A.8．在一个三角形的三个内角中，说法正确的是A.至少有一个直角B.至少有一个钝角C.至多有两个锐角D.至少有两个锐角思路解析：根据内角和定理解题.如有两个或两个以上的直角、钝角就会和内角和定理矛盾了.答案：D9．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是 A.∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 B.∠A +∠B ＝∠C C.∠A ＝21∠B ＝31∠C D.∠A ＝2∠B ＝3∠C思路解析：我们分别计算出每个选项中三个角的度数，然后确定.答案： D.10．如图5.1－12所示，按规定，一块模板中AB 、CD 的延长线应相交成85°的角，因交点不在板上，不便测量.如果你是技术工人，利用你所学的知识，能否验证这个模板是否合格？请写出你的验证过程.思路解析：它因为是AB、CD延长线相交的角，延长后正好得到三角形，我们可以根据内角和定理来验证.答案：能验证.验证方法:验证∠BAC+∠ACD是不是等于180°－85°＝95°.如果成立,此工件合格，否则不合格.11. 若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是 .思路解析：根据三角形两边之和大于第三边，可以判断只有一种可能，三边分别为：3cm、8cm、8cm；不可能是3cm、3cm、8cm.所以三角形的周长为：3+8+8＝19（cm）答案：19cm12. 在△ABC中，若∠A＝∠C＝13∠B，则∠A＝，∠B＝ .思路解析：不妨设∠A＝∠C＝ x°，则由∠A＝∠C＝13∠B可知∠B＝3x°；由三角形内角和定理得：x+x+3x＝180，解得，x＝36.所以∠A＝36°，∠B＝36°×3＝108°.答案：36°，108°.13. 若三角形的两条边长分别为6cm和8cm，且第三边的边长为偶数，则第三边长为 .思路解析：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，第三边的长x的取值范围是：14x2，又由于它的边长为偶数，则第三边长能取的值为（单位：cm）：4，6，8，10，12.答案：4cm或6cm或8cm或10cm或12cm.回顾·展望14. (2005年中考•江苏卷) 如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有A．1个B．2个C．3个D．4个思路解析：在根据三角形三边关系得到7＜第三边＜11，且周长是奇数，也就是说第三边必须是偶数，在这个范围内的偶数是8和10两个，所以满足条件的三角形有两个.答案：B．15.(2006年中考•泸州卷)一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形一定是(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)以上答案都不对思路解析：本题考查勾股定理的同时考查三角形的按照角分类.16.（2006年中考•盐城卷）已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9思路解析：利用三角形三边关系解决.x 的取值范围是：1＜x ＜9. 答案： D17.(2005年中考•江苏淮安卷)如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路解析：根据三角形三边关系得到7＜第三边＜11，又知周长是奇数，所以符合条件的边有8和10，所以满足条件的三角形共有2个. 答案：B ． 18．（2006中考·双柏卷）如图，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC ＝12、BD ＝10、AB ＝m ，那么m 的取值范围是（ ） A ．10＜m ＜12 B ．2＜m ＜22 C ．1＜m ＜11 D ．5＜m ＜6思路解析：平行四边形的对角线互相平分，我们得到AO ＝CO ＝6，DO ＝BO ＝5；在三角形AOB 中，根据三角形三边关系得到1＜m ＜11. 答案：C ．**~5.3 图形的全等及图案设计一览众山小诱学·导入材料1：问题：如图，你认为我们看到的这两幅图一样吗？它们的大小和形状相同吗？导入：显然我们看到的两幅图画的形状和大小是完全一样的，它们是能够完全重合的，我们把这样的图形叫做全等形.DA B CO图5.1-13问题：如图，正方形中有十二棵树，请你把这个正方形划分为四小块，要求每块的形状、大小都相同，并且每块中恰好有三棵树．导入：我们可以象图5.2-3这样的分，恰好是每块的形状和大小都相同，并且每块中恰好有三棵树.我们看到分成的图形是可以完全重合的，我们把这样的图形叫做全等形.温故·知新1、从同一个底版洗出的同尺寸的照片有什么关系？由同一个底版洗出的同尺寸的照片是能够完全重合的，把它们重合放在一起，它们能够完全覆盖，完全重合，它们的形状和大小完全一样.2、把我们手中的同样的三角板叠放在一起，会怎么样？我们把同样的三角板，如：都是等腰直角三角板叠放在一起，会完全重合，它们的大小和形状是完全一样的.庖丁巧解牛知识·巧学一、全等图形的概念两个能够完全重合的图形称为全等图形.如：用同一个底版冲洗的同尺寸的照片；从同一个模具中制出的工件等等.【学法一得】全等的图形必须是能够完全重合的图形，具备其它条件不能说明它们是全等图形；如：全等图形的面积相等，我们不能说面积相等的图形是全等图形.二、全等图形的性质全等图形的形状和大小都相同.【深化升华】全等图形的形状和大小都相同.同时全等图形的其它元素同样相同；如：全等图形的周长相等；全等图形的面积相等；全等图形中的对应的线段和角也是相等的.三、利用全等图形进行图案设计把全等的图形先进行图形的割补，再进行无缝隙地拼接.如图5.2-4中图1所示，是用三个全等的半圆和两个直角扇形以及两个直角三角形和一个圆拼接而成的.又如：图5.2-4中图2是很多全等的小人拼接而成的.。
【中考-章节复习六 】 第五章全等三角形1
第五章全等三角形复习及测试[知识要点]一、全等三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形 SAS全等三角形全等三角形的判定 ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a。
2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
第五章三角形周长作业设计
第五章三角形周长作业设计
本次作业设计旨在帮助学生巩固和应用他们在第五章研究的与三角形周长相关的概念和计算方法。
以下是一个简单而有效的作业设计方案。
作业要求
1. 学生需要在作业纸上画出给定的三角形形状，包括直角三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 学生需要测量每个三角形的三边长度，并在作业纸上标明。
3. 学生需要计算每个三角形的周长，并在作业纸上写出计算过程和最终结果。
4. 学生需要写下自己的观察和发现，例如是否发现了某类三角形周长的特殊规律等。
作业提示
1. 学生可以使用直尺、量角器和计算器等工具来辅助测量和计算。
2. 学生可以参考课堂上研究的三角形周长公式，根据三角形的
性质进行计算。
评分标准
1. 根据学生作业纸上的三角形形状和测量结果，检查是否准确
绘制和测量。
2. 根据学生作业纸上的计算过程和结果，检查是否正确计算了
每个三角形的周长。
3. 根据学生写下的观察和发现，评价其对于三角形周长规律的
理解和应用能力。
注意事项
1. 学生需要按照规定的标准纸张完成作业，并在纸张上注明姓名、班级和日期等信息。
2. 学生需要保持作业整洁、有条理，并用图表、表格等方式展
示计算过程和结果。
3. 作业完成后，学生需要按时上交，并参与老师的评讲和讨论。
希望以上作业设计能够帮助学生更好地理解和应用三角形周长的知识。
祝学生们在完成作业的过程中取得好成绩！。
新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》说课稿
新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》说课稿一. 教材分析新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》主要包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形三种特殊的三角形。
这一章的内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行学习的，对于学生来说，既有熟悉的内容，又有新的挑战。
本章内容不仅要求学生了解特殊三角形的性质，还要求学生能够运用这些性质解决实际问题。
因此，在教学过程中，我们需要引导学生通过观察、思考、探究，发现特殊三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，对于三角形有一定的认识。
但是，对于等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习情况，对于学生已经掌握的知识，可以适当简化讲解，对于学生比较陌生的知识，需要耐心讲解，引导学生通过观察、思考、探究，发现特殊三角形的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、思考、探究，发现特殊三角形的性质，培养学生的观察能力、思考能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对于数学学习保持好奇心和求知欲，体验成功的喜悦。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质。
2.教学难点：学生能够运用特殊三角形的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导发现法、小组合作学习法。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的基本概念和性质，引出特殊三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究等腰三角形的性质：学生分组讨论，每组找出等腰三角形的两个性质（如两边相等，两角相等），并上台展示。
教师引导学生总结等腰三角形的性质。
北师大七年级下第五章探索三角形全等的条件1
对应角相等） ∴AB∥CD，AD∥BC（内
错角相等，两直线平行）
小结：
今天我们经历了画图验证两个三角 形全等的过程，探索出两个三角形全等 的条件之一“三边对应相等的两个三角 形全等”，我们可以利用它来判别两个 三角形是否全等。
我们还知道了三角形具有稳定性， 只要三角形的三边长度确定了，这个三 角形的形状和大小就确定了。在生活
做一做：1）与小组内的同学比较各自 手中的三角尺，有没有三个内角对应相 等的三角形，它们一定全等吗？和老师 手中的三角板相比较呢？
这说明有三个角对应相等的两个三 角形不一定全等
2）已知一个三角形的三条边分别为4cm、 5cm、7cm，你能画出这个三角形吗？
看老师的作图示范，再画出这个 三角形，并与同伴画的三角形进行比较？它
问题引入：课本P146页习题第3题。
指出：与原来完全一样的三角形，即是 与原来三角形全等的三角形。
想一想：要画一个三角形与小颖画的 三角形全等。需要几个与边或角的大 小有关的条件？只知道一个条件（一 角或一边）行吗？两个条件呢？三个 条一个条件（一条边或 一个角）画三角形时，画出的三角形一定 全等吗？（2）给出两个条件画三角形时， 有几种可能的情况？每种情况下作出的三 角形一定全等吗？ 按下面的条件画三角形， 画完后小组内交流，看所画的三角形是否全 等。(其它条件不确定）
中，三角形的稳定性有广泛的应用。
作业：
P140页习题5.8 第1、2、3题
练习2。如图，已知AB=CD，BC=DA。
你能说明△ABC与△CDA全等吗？你能
说明AB∥CD，AD∥BC吗？为什么？
解：在△ABC与△CDA中，A
D
∵ AB CD(已知)
BC DA(已知)
空中导航-航行速度三角形
❖ 4.偏航 （TKE，Track Angle Error）
磁航线与磁航迹的夹角；航迹左偏为负，右 偏为正
偏航反映了飞机受侧风影响偏离预定航迹的 程度
MN
MTK
MC
航线
TKE
航迹
❖ 5. 风修正角（WCA，Wind Correction Angle）
飞机航向线偏离预定航线的角度称为风修正角 当风修正角小于实际偏流角时，侧风修正不足，飞机仍
❖ 地速向量GS：Ground Speed
❖ 大小，方向
❖ 航迹
❖ 速度的合成
GS TAS WS
❖ 根据矢量合成的法则，空速矢量、风速矢量和地速 矢量构成了一个三角形，称为航行速度三角形
❖ 航行速度三角形的构成要素包括三线五角，即三个
速度矢量——空速TAS、风速WS、地速GS和五个
角度——磁航向MH、风向WD、磁航迹MTK、偏流
应该用哪个方向起降？（不考虑磁差） 航行风的大小和方向？（km/h）
❖ 若WDm为310°，WS10m/s，MV+3°；
则：WDn=？°,WS=？kt
§2 航行速度三角形
❖ 1. 飞机的运动与分解
飞机在空气中运动，可以分解为三种运动，即飞机相对 于空气的运动、空气相对于地面的运动和飞机相对于地 面的运动。
WA WD－MTK 360。 303。 80。 360。 137。
sinWA sin DA sin(WA DA）
TAS WS
GS
DA －2。
GS＝347.6km / h MH应 MTK－DA＝80。 (2。) 82。
❖ 航行速度三角形
Nm
Nm
MTK＝80度
GS 347.6km/h
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七年级数学下册（北师大版）达标检测题五第五章 三角形（A ）一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 如图，共有三角形的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62.有下列长度（cm ）的三条小木棒，如果首尾顺次连结，能钉成三角形的是（ ）A ．10、14、24B ．12、16、32C ．16、6、4D ．8、10、12 3. 适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形4.如图AB ∥CD,AD 、BC 交于点O，∠A=420，∠C=580则∠AOB=（ ）A ．420B ．580C ．800D ．10005.下列说法中错误的是（ ）A ．三角形的中线、角平分线、高线都是线段；B.任意三角形的内角和都是180°；C.三角形中的每个内角的度数不可能都小于500； D.三角形按角分可分为锐角三角形和钝角三角形. 6.画△ABC 一边上的高，下列画法正确的是（ ）7.两个三角形有以下元素对应相等，则不能确定全等的是（ ）A ．一边两角B ．两边和其夹角C ．两边及一边所对的角D ．三条边8.如图所示，在△ABC 中，∠ACB 是钝角，让点C 在射线BD上向右移动，则（ ） A. △ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形B. △ABC 将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形C.△ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形， 接着又由锐角三角形变为钝角三角形D. △ABC 先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形9.如图，AB//ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△DEF ，则还需要补充的条件可以是（ ）A.AC=EFB.AB=DEC.∠B=∠ED.不用补充 10.下列说法不正确的是（ ） A.有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等B.有斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C.二条直角边对应相等的两个直角三角形全等D.有斜边对应相等的两个直角三角形全等二.填空题：(每小题3分，共30分)11. 如图,在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC ，则图中互余的角有 对.12. 如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 ，如果第三边长为偶数，则此三角形的周长为 .13. △ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD 将∠BAC 分为400和600的两个角，则∠B=________.14.点D 是△ABC 中BC 边上的中点，若AB=3，AC=4，则△ABD 与△ACD 的周长之差为 15.木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做的目的是 ，其中所涉及的数学道理是 .16.如图所示的是由相同的小图案无空隙、无重叠地拼接而成，将组成它的小图案画在它右17.Rt △ABC 中，锐角∠ABC 和∠CAB 的平分线交于点O ，则∠BOA =__ ___18. 如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE ，请添加一个条件使 △ABC≌△DEF，则需添加的条件是 .19.小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH ，ED=FD=a ，EH=b,则四边形风筝的周长是 . 20.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，若∠CBA=320，则∠FED= ，∠EFD=三、解答题（共60分）21. （本题8分）如图，把大小为4×4的正方形方格分割成两个全等图形，例如图1，请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格分割成两个全等图形．．．．.．1题A BCDO 4题 B. B C D A C.B C D A D. B C D A A C D 8题 EB AC D F9题16题 A C11题20题 图1画法 1画法 2画法 4画法 322. （本题10分）如图，DB 是△ABC 的高，AE 是角平分线，∠BAE=260，求∠BFE 的度数.23. （本题10分）如图，AB ＝AD, ∠B ＝∠D ，∠BAC=∠DAE, AC 与AE 相等吗？（8分） 小明的思考过程如下：AB=AD∠B=∠D △ABC ≌△ADE AC=AE ∠BAC=∠DAE说明每一步的理由。
24. （本题10分）还记得我们上学期学过的七巧板吗？它是我们的祖先的一项卓越创造，它虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形。
如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个四个角都是直角的正方形。
上图中有三对全等的三角形，如：⊿ABN ≌⊿ADN ，也有几对全等的四边形。
（1） 请你根据全等图形的特征，求出∠BAN 的度数；（2） 请你写出一对全等的四边形和另外两对全等的三角形（请把表示对应的顶点的字母写在对应的位置）。
25. （本题12分）画图并讨论：已知△ABC ，如图所示，要求画一个三角形，使它与△ABC 有一个公共的顶点C ，并且与△ABC 全等.甲同学的画法是：⑴延长BC 和AC ；⑵在BC 的延长线上取点D ，使CD=BC ；⑶在AC 的延长线上取点E ，使CE=AC ；⑷连结DE ，得△DEC.乙同学的画法是：⑴延长AC 和BC ；⑵在BC 的延长线上取点M ，使CM=AC ；⑶在AC 的延长线上取点N ，使CN=BC ；⑷连结MN ，得△MNC. 究竟哪种画法对，有如下几种可能：①甲画得对，乙画得不对；②甲画的不对，乙画得对；③甲、乙都画得对；④甲、乙都画得不对；正确的结论是 . 这道题还可这样完成：⑴用量角器量出∠ACB 的度数；⑵在∠ACB 的外部画射线CP ，使∠ACP=∠ACB ；⑶在射线CP 上取点D ，使CD=CB ；⑷连结AD ，△ADC 就是所要画的三角形.这样画的结果可记作△ABC ≌ .满足题目要求的三角形可以画出多少个呢？答案是 . 请你再设计一种画法并画出图形.26.（本题10分）有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A 、B 的距离，先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离，你能说说其中的道理吗？A BC D E F ABC D E AB C A C EHGB DFMN七年级数学下册（北师大版）达标检测题六第五章 三角形（B ）一、选择题(每小题3分，共30分)1.有木条五根，分别为12cm ，10cm ，8cm ，6cm ，4cm 任取三根能组成三角形的概率是（ ） A.107 B.53 C.97 D.322.下列判断：①三角形的三个内角中最多有一个钝角，②三角形的三个内角中至少有两个锐角，③有两个内角为500和200的三角形一定是钝角三角形，④直角三角形中两锐角的和为900，其中判断正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3. 在下列条件中：①∠A +∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B ， ④∠A=∠B= 12∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O 点， ∠1＝∠2．图中全等的三角形共有 （ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对5.如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A.带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去6.右图中三角形的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．97.如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是（） A ．这两个三角形的对应边相等 B ．这两个三角形的周长相等C ．这两个三角形的面积相等D ．这两个三角形都是锐角三角形8.在下列四组条件中，能判定△ABC ≌△A /B /C/的是（ ）A.AB=A /B /，BC= B /C /，∠A=∠A / B.∠A=∠A /，∠C=∠C /，AC= B /C/C.∠A=∠B /，∠B=∠C /，AB= B /C /D.AB=A /B /，BC= B /C /，△ABC 的周长等于△A /B /C /的周长 9.下列图中，与左图中的图案完全一致的是（ ） 10.要测量河岸相对两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，如图，可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 之长即为AB 的距离，判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL二.填空题：(每小题3分，共30分)11. 如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，若∠BOC=120°, 则∠A=________° 12.用三种方法将一个等边三角形分成三个全等的图形.13.三角形的两边长分别为2cm ，4cm ，若已知第三边长为其中一边长的2倍，则此三角形的周长为 .14.在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，若∠B=500，∠C=700，则∠DAE= .15.一个零件的形状如图所示，若∠A=600，∠B=200，∠D=300，则∠BCD= .16.如图，延长△ABC 的中线AD 至E ，使DE=AD ，连结BE ，则△ADC ≌△EDB ，其中所使用的判定方法为 ，BE 与AC 的位置关系是17.如图，△ABC ≌△DEF ， 写出一组相等的角 ，写出二组平行线 ，写出四组相等的线段 .18.如第17图，在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，当 时，△ABC ≌△DEF ，理由是 .19.如图所示，已知两个三角形全等，其中某些边的长度及某些角的度数已知，则x=20.如图，在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∠B=∠E=900，AC=DF ，AB=DE ，∠A=500，则∠DFE=② ①③ 5题 C D ABE F 6题A B C DAB C O 11题 A B CD 15题 A BE C D 16题AB C F E D17题 19题 7305cm 520甲 7305cm 乙 A B F C E D 20题三、解答题（共60分）21. （本题9分）如图在8×8的正方形网格的图形中， 有十二棵小树，请你把这个正方形划分成四小块，要求 每块的形状、大小都相同，并且每块中恰好有三棵小树，你能行吗？22.（本题10分）如图，在△ABC 中，∠ABC=520，∠ACB=680，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，BE 、CD 相交于O 点，求∠BOC 的度数.23.（本题12分）如图，直线AC ∥DF ，C 、E 分别在AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC是否互补，但是他有没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF 。