4.5 函数的极值与最值

1.8 1.4 1.8 arctan , arctan x x 3.2 1.8 x 2 3.22 x 2 1.82 1.4 ( x 2 5.76) 2 ( x 3.22 )( x 2 1.82 )
x (0 , )
1.4

x
1.8
解:
f ( x) n (1 x) n n x n (1 x) n 1
n(1 x) n 1[1 (n 1) x]
x n1 1
n
令 f ( x) 0 ,
易判别 x 通过此点时 f ( x)由增变减 , 故所求最大值为 n n 1 1 ) M ( n) f ( ) ( n 1 n 1 1 n 1 1 lim M (n) lim (1 ) e n n n 1
2 3
2 2 f x 6 x x 1 , f x 6 x 1 5 x 1
2
2
2) 求驻点
令 f x 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别 因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ; 又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
(9) 4 2 12 81 96 0
2 2 5 故函数在 取最小值 0 ; 0 9 x 12 0在 x 1及 2 取最大值 5. x 2x
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例 4. 铁路上 AB 段的距离为100 Km ，工厂 C 距 A 处20 km, AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条公路， 已知
f x0
由极限的保号性得， 0 , 使得 x N 0 x0 , 有
f x 0 f x 与 x x0 异号， x N 0 x0 , x x0
由ⅰ）的结论得知 x0 必是 f x 的极大值点；
•当 在 上单调时, 最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 .
解: 显然
3 2
在闭区间
且
x0 (2 x 9 x 12 x) , 1 4 1 3 2 5 2 x 9 x 12 x , 0 x4 2
2 3
⑵ 函数的驻点与奇点也可能不是函数的极值点；
可疑极值点: 函数 f x 的驻点与奇点统称为其可疑极值点。
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定理 1 (充分条件)
ⅰ）（法则Ⅰ） 设 x0 是函数 f x 的可疑极值点， f x 在 N x0 , 内连续， 在 N 0 x0 , 内可导， 如果 x N 0 x , , 使得 0 f x x x0 0 0 则 x0 必是函数 f x 的极大（小）值点；
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定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则 则 在点 在点 取极大值 ; 取极小值 .

f ( x) f ( x) f ( x0 ) 证: (1) f ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x x0 x x0
铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货物从 B 运到工厂 C的运费最省， 问 D 点应如何选取 ？
A
20
x
D
100
B
C
解:
设 AD x (km) ,
则 CD 202 x 2 ,
总运费： y 5k 202 x 2 3k 100 x
400 y 5k ) y k ( 3 ) , ( k 为某一常数 2 32 2 (400 x ) 400 x
由 f ( x0 ) 0 知, 存在 0 , 当0 x x0 时, f ( x) 0 ; 故当 x0 x x0 时， f ( x) 0 , 当x0 x x0 时， x0 x0 x0 由第一判别法知 f ( x) 在 x0 取极大值 .
令
0 , 得驻点 x 2.4 (0 , )
驻点又唯一，
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,
因此，观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚。
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内容小结
1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点； (2) 第一充分条件： 由正变负 过 过 由负变正 为极大值； 为极小值。 为极大值
(3) 第二充分条件：
为极小值
2. 连续函数的最值

最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题根据实际意义判别 。
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
2. 设 f ( x) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 f (0) 0 , f ( x) lim 2 , 则在点 x 0 处 f ( x) ( D ). x 0 1 cos x (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 f (0) 0 ;
(C) 取得极大值 ;
(D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .
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3. 设 y f ( x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
若 f ( x0 ) 0 , 且 f ( x0 ) 0 , 则 f ( x) 在 x0 ( (A) 取得极大值 ;
第4章
§4.5
函数的极值与最值
4. 5. 1 函数的极值的判别 4. 5. 2 函数的最值问题
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4.5.1 函数的极值的判别
一、可疑极值点
1. 驻点：方程 f x 0 的解称为函数 f x 的驻点。 函数 f x 在其定义域内不可导的点称为函数的奇点。 2. 奇点： 分析：又如 x 0 是函数 f 处取得极小值且 x 的极小值点， 0 f 但函数在此 0 0 ; 分析：如函数 f x x 2 在点 xx 点并不可导， 也就是说函数的极值有可能在不可导的点处取得。 3 0 满足 f 0 0 , 但 0 不是其极值点； 但对于 f x x 而言， x 1 而对于函数 f x x 3 而言，x 0 是函数 f x 的奇点， 但函数在此点处并不取得极值。 说明： ⑴ 函数的极值可以在驻点取得，也可在奇点取得；
ⅱ）（法则Ⅱ） 设 x0 是函数 f x 的驻点， f x 在点 x0 处二阶 可导，若 f x0 0 0 , 则 x0 必是 f x 的极大（小）值点；
证明 ： ⅰ） 由条件 f x x x0 0 f x 与 x x0 异号
y
1
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1
x
结束
4. 5. 2 最值问题
则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M max
最小值
f (a) , f (b)
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特别:
•当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 .
2
1
2
5 2
x0 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , 1 4 f ( x) 2 5 0 x 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 2 f ( x) x (2 x 2 9 x 12) x1 0 , x2 1, x3 2
(2) 类似可证 .
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3) 列表判别
x ( , 0) f ( x) f ( x)
0 0
2) (0 , 5
2 5
2 , ) (5

0 0.33

是函数的极大点， 其极大值为： 是函数的极小点， 其极小值为：
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例2. 求函数 f x x 1 1 的极值 。 解: 1 ) 求导数
又
f ( x) 2 sin x 3 sin 3x ,
f ( x) 取得极大值为 f ( 2 ) 3 3
机动 目录 . 设 f ( x) n x (1 x) n , n N ，
最大值 M (n) 及 lim M (n).
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定理 (充分条件)
ⅰ）（法则Ⅰ） 设 x0 是函数 f x 的可疑极值点， f x
f x x3
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作业
P160 1 (5), (9); 2 ; 10; 14; 15 3; 5 ;
第六节 目录
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1 备用题 1. 试问 a 为何值时, f ( x) a sin x sin 3x 3 2 在 x 时取得极值 , 求出该极值, 并指出它是极大 3 还是极小. 解: f ( x) 由题意应有 2 2 2 f ( ) a cos( ) cos 3( ) 3 3 3 a2
5x
令
得
又
所以 x 15 为唯一的
极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 。
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例5. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼 睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最清楚（视角 最大）？ 解:如右图所示，设观察者与墙的距离为 x m , 则

f x 0 且 x x0 0 f x 单调增， x x0 f x 0 且 x x0 0 f x 单调减， x0 x
x x0 f x f x0 , x0 x
(B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:
A
)
f ( x0 ) 4 f ( x0 ) 0
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定理 (充分条件)
ⅰ）（法则Ⅰ） 设 x0 是函数 f x 的可疑极值点， f x
f x x3
f x f x0 ,
f x f x0 , x N 0 x0 ,
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类似地可证明极小值的情形。 ⅱ）（法则Ⅱ）
f x f x0 f x lim lim 0 x x0 x x0 x x x x0 0
类似地可证明极小值的情形。 证毕
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例1. 求函数 f x x 1 x
2 3
2 3
解: 1) 求导数 f x x x 1 x
2) 求极值可疑点
的极值。 2 1 3
3
2 3 x 5 3 5 x
2; 令 f ( x) 0 , 得 x1 5 令 f ( x) , 得 x2 0